高中数学第三章函数的应用单元测评1新人教A版1.

第三单元函数的应用

A 卷

本试卷满分：100分；考试时间：90分钟

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）

1.已知α、β分别是方程2x=3-x、log2x=3-x的根，则α+β=（）

A．3 B．πC．3.2 D．2.8

2.已知ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，则方程ln x=6-2x的根所在范围是（）

A．（-1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）

3.下列函数与x轴都有公共点，其中不能用二分法求函数零点的是（）

4.某同学从家到学校先匀加速跑步，后匀速步行余下的路程．设该同学用在路上的时间为t，到学校的路程为d，能反映该学生行程的是（）

5.方程x x=2x的解有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

6.已知e≈2.7183，下列以e为底的对数中近似值有明显错误的是（）

A．1n3≈1.10

B．ln 2≈0.69f

C．ln 7≈1.95

D．ln 0.6≈0.51

7.某同学进大学时向银行申请不计复利的低息贷款，第五年后一次性还清贷款，若年利息是4%，入校时该同学贷款了2 000元，第五年后应还贷（）

A．2 433.31元

B．2 339.72元

C．2 400元

D．2 320元

8.某种成年食用牛的体重w（kg）与它胸围x（m）有近似关系：w≈200+300x，牛的出栏体重要在400～600 kg之间，它的胸围约在（）m之间．

A．0.5～1.25

B．0.67～1.00

C．0.5～1.00

D．0.67～1.33

9.已知函数f （x ）在区间（-1，5]上是连续的，并且f （x ）的部分函数值如下表，则函数

10.若f （x ）=0的惟一解同时在区间（0，1）、（0，2）、（0，4）、（0，8）内，则（ ） A ．f （x ）在区间（0，0.5）内有零点 B ．f （x ）在区间（0.5，1）内有零点 C ．f （x ）在区间[1，8）上无零点 D ．f （x ）在区间（0.5，8）内无零点

答案：l ．A 2．D 3．B 4．A 5．C 6．D 7．C 8．D 9．B 10．C

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

11.方程2x

=7-3x 的近似解是x ≈__________．（精确到0.1） 答案：x ≈1.4

12.假设你有一笔资金用于投资，选择的方案是：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番，设第x 天所得回报是y 元，则函数表达式为__________．

答案：y =0.4×2x -1

(x ∈N *)

13.我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y =55 196e 0.021t

，t ∈N ，1958年我国当时人口数量约为__________． 答案：约66 678万

14.容器里水的温度随时间变化的函数模型是y =a e bt

+20，当t =0时，y =97，计算机模拟的如图所示，则这个函数的解析式为__________.

答案：y =77e -0.027t

+20

三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤）

15.设函数f （x ）为定义在{x ∈R | x ≠0，且x ∈R ）上的奇函数．当x ≤-1时，函数y =f （x ）的图象是经过点（-3，0）和（-1，2）的射线；当-1≤x <0时，函数y =f （x ）的图象是以点（0，1）为顶点且开口向上的抛物线的一部分．

（1）求函数y =f （x ）在定义域{x ∈R |x ≠0，且x ∈R ）内的表达式； （2）画出函数的图象；

（3）若对于任意x >0时，不等式2f （x ）≥x +a 恒成立，求a 的取值范围． 答案：（1）当x ≤-1时，设f （x ）=mx +n （m ≠0），则⎩⎨

⎧=+-=+-203n m n m ⇒⎩⎨

⎧==3

1

n m ∴当x ≤-1时，f （x ）=x +3；又当-1≤x <0时，f （x ）是抛物线，则f （x ）实际上经过点（-1,2），

依题意设f （x ）=ax 2+1，则a （-1）2+1=2⇒a =1，∴当-1≤x <0时，f （x ）=x 2

+1；由奇函数的定义得出整个定义域上表达式是：

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧≥-≤<--<≤-+-≤+1,3,10,1,

01,1,1,3)(2

2

x x x x x x x x x f （2）图象如右图所示

（3）∵当x >0时，不等式2f (x )≥x +a 恒成立, ∴a ≤2f (x )-x 恒成立，即a ≤（2f (x )-x ）m in =（2f （1）-1）=-5，∴a ≤-5

16.设α、β（α<β）分别是二次方程ax 2+bx +c =0和ax 2

-bx -c =0的非零的根，求证：函数

f （x ）=

2

a x 2

+bx +c 总在区间（α，β）有零点． 答案：f （x ）=22

x a +bx +c ，则，f （a ）=a α2+b α+c -21a α2=-21a α2

，同理：f （β）=23αβ2.

∵a ≠0, ∴f （α）f （β）=-4

3a 2α2β2

<0，∴f （x ）总在区间（α，β）有零点

17.当m 为何值时，方程x 2

–mx -2m 2

=0有两个根均在（-1，4）之间?

答案：设f （x ）=x 2–mx -2m 2

，方程f （x ）=0有两个根均在（-1，4）之间等价于⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨⎧>>-≤-<<-,0)4(,0)1(,

04

9,4212f f m m 解不等式组得-

21

1421m m ⇒-21

–x 2

，并在[-1，0]内给定一组值如下表．

（2）由表中提供的数据用二分法求方程f （x ）=00的近似解（精确到0.1）． 答案：（1）∵f （x ）在[-1，0]是连续不断的函数,且f (-1) ·f (0)<0，∴方程f （x ）=0在（-1，0）至少有一个实数根

（2）∵f (-1)f (0)<0，∴f (x )=0的根x 0∈（-1，0），令x 1=-

2

1

，∵f （x 1）=0.327>0，∴f （-1）·f （-0.5）<0，∴f （x ）=0的根x 0∈（-1，-0.5）；令x 2=-0.75，∵f （x 2）=-0.124<0,∴f