高中数学教师竞赛作品《2.6函数模型及其应用(实习作业汇报)》 教学案 苏教版必修1
高中数学 2.6函数模型及其应用教案四 苏教版必修1
函数模型及其应用教学目标：使学生从所熟悉的生活、生产和其他学科的实际问题出发，进行观察、比较、分析、综合、抽象、概括和必要的逻辑推理，得出数学概念和规律，通过构造出一个对应的数学模型而使问题清晰化、具体化，找到有效的解题途径——构建数学模型，使实际生活问题抽象为数学问题．逐步把数学知识用到生产、生活的实际中，形成应用数学的意识，培养分析问题和解决问题的能力．教学重点：一是实际问题数学化，二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解.教学难点：实际问题数学化.教学过程：［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析：设每天从报社买进x份（250≤x≤400）．则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）．y在x ［250，400］上是一次函数．∴x＝400元时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．点评：自变量x的取值范围［250，400］是由问题的实际意义决定的，建立函数关系式时应注意挖掘．［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．答案：当A、B距离在起步价以内时，选择第二种方案；当A 、B 距离在（a ，a ＋10）时，选择第二种方案； 当A 、B 距离恰好为a ＋10时，选择两种方案均可以； 当A 、B 距离大于a ＋10时，选择第一种方案．（其中a 为起步价内汽车行驶的里程）点评：信息量大是数学应用题的一大特点，当所给条件错综复杂，一时难以理清关系时，可采用列表分析的方法，有些典型应用题也可以画出相应的图形，建立坐标系等． ［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故取出2（1＋8％）3（1＋2％）6万元．［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（ ）解析：由于d 0表示学生的家与学校的距离，因而首先排除A 、C 选项，又因为图中线段的斜率的绝对值表示前进速度的大小，因而排除B ，故只能选择D ．［例5］容器中有浓度为m ％的溶液a 升，现从中倒出b 升后用水加满，再倒出b 升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度 （1－b a）10·m ％ 总结解应用题的策略：一般思路可表示如下：因此，解决应用题的一般程序是：①审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；②建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；③解模：求解数学模型，得出数学结论；④还原：将用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义．［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t 元时，则每年销售量将减少 85 t 万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？解析：（1）设每年销售是x 万件，则每年销售收入为250x 万元，征收附加税金为y ＝250x ·t ％．依题意，x ＝40－85t ．所求的函数关系式为y ＝250（40－85t ）t ％．（2）依题意，250（40－85 t ）·t ％≥600，即t 2－25t ＋150≤0，∴10≤t ≤15．即税率应控制在10％～15％之间为宜． 注意点：1．在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求．2．在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图，建立坐标系等，以使实际问题数学符号化．3．对于建立的各种数学模型，要能够模型识别，充分利用数学方法加以解决，并能积累一定数量的典型的函数模型，这是顺利解决实际问题的重要资本． 本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤．函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功．本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、分段函数及较简单的指数函数和对数函数．其中，最重要的是二次函数模型．［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10＋x ）元，销售的个数为（100－10x ），则利润为y ＝（10＋x ）（100－10x ）－8（100－10x ）＝－10（x －4）2＋360（0≤x ≤10）． 因此x ＝4，即售价定为每个14元时，利润最大．［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD （如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR （公园的两边分别落在BC 和CD 上），但不能超过文物保护三角形AEF 的红线EF ．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB ＝CD ＝200m ，BC ＝AD ＝160m ，AE ＝60m ，AF ＝40m ．解析：设PO ＝x ，则S ＝－23 （x －190）2＋23 ×1902，0＜x ＜200，即x ＝190时，最大面积为24067m 2． 总结：解决函数应用题的流程图是：解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成实际问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解． 第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答． 课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km 者均按此价收费，行程超过2km ，按1.8元/km 收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km 答案：A2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．15答案：C3．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200－4x ）m ，则矩形面积为S ＝x （200－4x ）＝－4（x －25）2＋2500（0＜x ＜50），∴x ＝25时，S 有最大值2500m 2．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解答：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N*），甲、乙两家旅行收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）＝a ＋（x ＋1）·a 2 ＝a 2 x ＋32a （x ∈N*），g （x ）＝（x ＋2）·2a 3 ＝2a 3 x ＋4a3（x ∈N*），g （x ）≥f （x ），得 a 2 x ＋3a 2 ≤2a 3 x ＋4a3，∴x ≥1．因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价．试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？ 答案：（1）优惠率为33％；（2）标价在［625，750］内的商品，购买时可获得不小于13的优惠率．6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093 ，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12 t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．解析：由题意知，当0＜t ≤40，h （t ）＝－112 （t －10.5）2＋3880948；当40＜t ≤100，h （t ）＝16 （t －106.5）2－2524 ；∴t ＝10或11时，这种商品的日销售额的最大值为808.5．第30、31课时函数模型及其应用［例1］一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？［例2］某人从A地到B地乘坐出租车，有两种方案，第一种方案：租用起步价10元，每km价为1.2元的汽车；第二种方案：租用起步价为8元，每km价为1.4元的汽车，按出租车管理条例，在起步价内，不同型号行驶的里程是相等的．则此人从A地到扫地选择哪一种方案比较合适．［例3］按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，求取出后本利的和［例4］某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该生走法的是（）［例5］容器中有浓度为m％的溶液a升，现从中倒出b升后用水加满，再倒出b升后用水加满，求这样进行了10次后溶液的浓度［例6］某地方政府为保护地方电子工业发展，决定对某一进口电子产品征收附加税．已知这种电子产品国内市场零售价为每件250元，每年可销售40万件，若政府增加附加税率为每百元收t元时，则每年销售量将减少85t万件．（1）将税金收入表示为征收附加税率的函数；（2）若在该项经营中每年征收附加税金不低于600万元，那么附加税率应控制在什么范围？［例7］将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个．若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个．为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个多少元？［例8］为保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地矩形ABCD（如下图所示）上规划出一块矩形地面建造住宅区小公园POCR（公园的两边分别落在BC和CD上），但不能超过文物保护三角形AEF的红线EF．问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积．已知AB＝CD＝200m，BC＝AD＝160m，AE＝60m，AF＝40m．课后练习1．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km 计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（ ）A ．5～7kmB ．9～11kmC ．7～9kmD ．3～5km2．某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20％，要使水中杂质减少到原来的5％以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据l g 2＝0.3010，l g 3＝0.4771）A ．5B ．10C ．14D ．153．有一批材料可以建成200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如下图所示），则围成的矩形最大面积为________m 2（围墙厚度不计）．4．一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23 计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？5．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按以下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×0.2＋30＝110元，设购买商品的优惠率＝购买商品获得的优惠商品的标价． 试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在［500，800］内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可获得不小于13的优惠率？6．经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均为时间t 的函数，且销售量近似地满足关系g （t ）＝－13 t ＋1093，（t ∈N ，0＜t ≤100），在前40天里价格为f （t ）＝14 t ＋22（t ∈N ，0＜t ≤40），在后60天里价格为f （t ）＝－12t ＋52（t ∈N ，40＜t ≤100），求这种商品的日销售额的最大值．。
高中数学《函数模型及其应用》教案6 苏教版必修1
函数模型及其应用教学三维目标、重点、难点、准备。
1．1教学三维目标（1）知识与技能：使学生学会建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象或对有关发展趋势进行预测。
（2）过程与方法：通过例题与作业中的具体实例，让学生了解函数模型的广泛应用。
（3）情感态度与价值观：利用函数模型解决问题前，进行拟合检验，培养学生的负责态度。
1．2教学重点：由面临的实际问题建立函数模型，检验函数模型，并利用得到的函数模型解决问题。
1．3教学难点：如何根据面临的实际问题建立函数模型。
1．4教学准备：PPT制作与几何画板制作。
1教学过程。
（学生）：（对5种基本初等函数进行回顾）（教师）：（打开PPT）函数建模的基本思想与方法：把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述称为数学建模。
数学建模的形式是多样的。
解应用题的关键是建立数学建模，把实际问题通过分析、联想、抽象转化为数学问题。
函数知识内容丰富、应用广泛，不仅数学问题，而且社会生活、生产和自然科学领域中有许多问题都需要用函数知识来解决，如成本最底、利润最高、用料最省、路程最短等常可归纳为函数的最值问题。
现在同学们来回顾一下以前是如何来解应用题的？它的步骤是怎样的？（打开PPT）运用建模思想解函数应用题的一般步骤是：读(阅读材料，审题，找基本量或关系)；建(提取信息，抽象成数学语言，根据相关定义及数学知识建立模型)；求(根据数学思想和方法，求解函数模型，得出结论)；还(把数学结论还原到实际问题中，通过分析、判断、检验得到实际正确解答，写出答案)。
一.由变量之间的依存关系建立函数关系；（学生）：是不是题目中就已经告诉我们几个量之间的函数关系了？（教师）：是的。
而且我们以前所接触的基本上就是这样的题目。
二.由所掌握的数据资料,即根据确定性,随机性数据建立函数关系,这种往往要画散点图。
（学生）：它是不知道函数关系式的。
高中数学《函数的模型及应用》学案苏教版必修
山东省高密市第二中学高中数学《2.2.6 函数的模型及应用（1）》学案 苏教版必修1【自学目标】1． 能根据实际问题的情景建立函数模型，结合对函数性质的研究给出问题的解答；2． 能利用所学的数学知识分析、研究身边的问题，启发引导学生数学地观察世界、感受世界；3． 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.【知识要点】 解函数应用题常用函数与方程思想、转化与化归等思想方法，建立恰当的数学模型；能力方面要求注意中逻辑推理嫩里、计算能力、阅读理解能力，在具体的解题过程中主要抓住以下步骤：第一步：阅读理解、认真审题；第二步：引进数学符号，建立数学模型； 第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果； 第四步：再转化成具体问题作出规范解答.【预习自测】例1.某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元。
分别写出总成本C （万元）、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）、以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.例2.物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ，经过一 定时间t 后的 温度是T ，则()ht a a T T T T ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-210，其中a T 表示环境温度，h 称为半衰期.现在一杯用88C 0热水冲的速溶咖啡，放在24C 0的房间里，如果咖啡降温到C 040需要min 20，那么降温到C 035时，需要多长时间？例3.在经济学中，函数()x f 的边际函数()x Mf 定义为()()()x f x f x Mf -+=1。
某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x 台()*N x ∈的收入函数为()2203000x x x R -=（单位：元），其成本函数()4000500+=x x C （单位：元），利润是收入与成本之差.（1） 求利润函数()x P 及边际利润函数()x MP ；（2） 利润函数()x P 与边际利润函数()x MP 是否具有相同的最大值？例4．如图所示，有一块半径为R 的半圆形钢板，计划裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙o 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形的周长y 与腰长x 之间的函数式，并写出它的定义域.CD B A【课内练习】1.某物体一天中的温度T 是时间t 的函数T(t)=t 3-3t+60，时间单位是小时，温度单位是0C ，当t=0时表示中午12：00，其后t 值去为正，则上午8时的温度是（ ）A.80CB.1120CC.580CD.180C2.某商店卖A 、B 两种不同的价格的商品，由于A 连续两次提价20℅，同时B 连续两次降价20℅，结果都以每件23.04元售出这两种商品各一件，则与价格不提不降的情况相比较，商店盈利的情况是（ ）A.多赚5.92元B.少赚5.92元C. 多赚28.92℅D.盈利相同3.某企业生产的新产品必须先靠广告来打开销路，该产品的广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差。
高中数学教师竞赛作品2.6函数模型及其应用(实习作业汇报) 教学实践报告 苏教版必修1
《2．6函数模型及其应用（实习作业汇报）》教学实践报告（指导思想，设计方法等说明）数学教育面临着巨大的挑战。
教学内容上，新课标下“穿新鞋、走老路”的情况还比较严重；教学方法上，大部分数学课堂没有摆脱以教师传授为主的“注入式”，数学知识的形成过程被淹没，数学与实际生活缺乏生动联系，难以唤起学生的学习积极性；教学模式上，基本上还是教师讲学生听的“填鸭式”的班级授课，缺少必要的“个别化”的教师与学生间的交流，真正的“因材施教”难以实现；教学评估上，大部分是凭经验、无量化标准，难以及时准确地了解教学信息……我们传统的教学策略难以保证未来人才的真正需要、不能满足时代的需求。
把数学实习作业引入数学教学，给学生提供了更多的动手机会，获取信息的时间空间得到了充分的拓展，为实现教学的“个别化”创设了理想的环境，对激发学生的学习兴趣，增强学习的积极性，提高学习效率以及适应未来的生存都具有深远的意义。
1．“数学实习作业”的目标：通过学生自己的亲身实践获得对数学知识的深刻理解，体会数学思想方法的真谛，领悟数学的本质，培养用数学的意识。
2．“数学实习作业”的内容：实习作业是一个实践性的课题，是一种研究性学习的方式，是培养学生综合能力和创新精神的课堂。
例如在数学②第一章空间几何体中，有这样一道实习作业：“画出某些物体（如某些建筑物）的三视图和直观图，体会几何学在现实生活中的应用。
”就是考察学生的空间思维能力和动手能力。
3．“数学实习作业”的组织过程：根据内容编辑相应的数学实习作业手册，学生操作，教师给予适当的提示，并说明一下“目的”，使学生在实际过程中体会数学的真实性、趣味性、严密性、合理性。
4．“数学实习作业”的评价：应当与解答常规数学题有所区别。
在关注“实习”的结论的同时，应该更重视得出结论的过程及其蕴含的数学思想。
评价方式可以是：教师给学生评价、学生自我评价、学生相互评价等多种形式一、实践过程1．从一个实际问题引出课题学完了第二章第6节“函数模型及其应用”，学生已经认识到函数知识在实际生产、生活中有着广泛的应用。
45.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.6函数模型及其应用(2)
§2.6 函数模型及其应用(2)教学目的：熟悉借助“几何图形”和“计算利润”的常用、常见类型以及属于“增长率”、“利息”类型的应用问题，并能掌握其解法．教学过程：一．创设情境通过前一节课的学习，我们已经初步感受到函数模型应用类型问题的形式，以及分析、探索、解决这类问题的基本路数．我们应该是认识到：数学模型来源于实践，是实际问题的抽象和概括，因此首先必须对实际问题要有深刻的理解；其次，应不断培养自己的抽象概括能力和坚实的数学基础；最后，当然需要有较强的运算能力．本节课我们来探究常用、常见的类型的函数模型应用的问题．二．有关“几何图形”类型的应用问题例１（活页65P 第26课时 函数的应用举例(1)例１）如下图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，则盒子的体积V 以x 为自变量的函数表达式为 ；其定义域为 ．解析：2(2),(0,)2a V x a x x =-∈； （需要会计算柱形的体积）新教材 函数\附件\函数模型及其应用(2)课件.gsp例２（活页65P 第26课时 函数的应用举例(1)例２）某房地产公司要在荒地ABCDE(如上图)上划出一块长方形的地面修建一幢公寓楼，已知80EF m =，70BC m =，30BF m =，20AF m =，问：如何设计才能使公寓楼地面面积最大？最大面积是多少？解析：显然，要使面积最大，N 点要在AB 上，设MN x =，GN y =， 则有80702030y x --=，即280(70)3y x =--， 2238033S xy x x ∴==-+2218050(95)33x =-+， 又70,7010060,x x y ≥⎧∴≤≤⎨≥⎩ ， 95x ∴=时，max 180503S =．T例３（活页66P 第26课时 函数的应用举例(1) 课堂练习第３小题）有一批材料可以建成长为200m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形（如图），则围成的矩形的最大面积为 2m ．分析：如图，设靠墙的一边长为x ，则外围矩形的另一边长为2004x -，从而这个矩形的面积(2004)S x x =-24200x x =-+24(25)2500x =--+又因为20040x ->，所以050x <<，而25(0,50)∈， 所以25x =时，2max 2500()S m =．点评：此题函数模型是二次函数，常见且简单，因为是填空题，所以有了上述分析过程即可，不需要再组织详细的解答．练习：１．有一块半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上．写出这个梯形周长y 与腰长x间的函数式，并写出它的定义域．分析：关键是用半径R与腰长x表示上底．由对称性：CD=AB-2AE 因此只要求出AE即可．解析：设腰长AD=BC=x作DE⊥AB 垂足为E 连结BD，则∠ADB=90︒由此：Rt△ADE∽Rt△ABD，2AD AE AB∴=⋅，即22xAER=，222xCD AB AE RR∴=-=-所以周长222(2)xy R x RR=++-，整理得224xy x RR=-++，因为ABCD 是圆内接梯形，所以0,0,0AD AE CD >>>，即有2200{|0}20x x x x Rx R R⎧⎪>⎪⎪>⇒<<⎨⎪⎪->⎪⎩２．如图，已知⊙O 的半径为R ，由直径AB 的端点B 作圆的切线，从圆周上任一点P 引该切线的垂线，垂足为M ，连AP 设AP=x ，(1)写出AP+2PM 关于x 的函数关系式；(2)求此函数的最值．解析：(1)过P 作PD ⊥AB 于D ，连PB ，设AD=a ，则22x Ra =，即有22x a R=，进一步有222x PM R R=-，所以2()24x f x AP PM x R R=+=-++， 即得 2()4(02)x f x x R x R R=-++≤≤． (2)2117()()24R R f x x R =--+，当2R x =时，max 17()4R f x =； 当2x R =时，min ()2f x R =．点评：涉及“几何图形”类型的问题，对几何知识的应用要求不是太高，但熟练程度要求是较高的，虽然用的是平面几何中的很简单的知识，但是如果想不到，问题就可能被这个小小的“想不到”而卡死．所以，希望同学们适当地把平面几何知识经常回顾回顾，遇到有关问题时要有很强的应用几何知识的意识．三．“计算利润”类型问题例４．某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚得利润最大，并求出最大利润．解：设商品售价定为x 元时，利润为y 元，则(8)[60(10)10]y x x =---210[(12)16]x =---210(12)160x =--+ （10x >），当且仅当12x=时，y 有最大值160，即售价定为12元时,可获得最大利润160元．应用 (课时训练P66练习2)商品降价问题!.四．“增长率”、“利息”类型的问题例５．已知某商品的价格每上涨x %，销售的数量就减少mx %，其中为m 正常数． １．当12m =时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额最大？ ２．如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求m 的取值范围．解析：1．设商品现在定价为a 元，卖出的数量为b 个．由题设：当价格上涨x %时，销售总额为(1%)(1%)y a x b mx =+⋅-即 2[100(1)10000]10000ab y mx m x =-+-+ 取12m =得：2[(50)22500]20000ab y x =--+ 当 50x =时，max 98y ab =， 即该商品的价格上涨50%时，销售总金额最大．2．∵二次函数2[100(1)10000]10000ab y mx m x =-+-+在50(1)(,]m m --∞上递增，在50(1)[,)m m-+∞上递减， ∴欲适当地涨价，即0x >时销售总金额增加，就是需要二次函数 2[100(1)10000]10000ab y mx m x =-+-+在区间50(1)(0,)m m-上递增，所以只需要50(1)0m m->， 就是 0 < m <1 时，适当涨价能使销售总金额增加．点评：本题中的“上涨x %”、“减少mx %”都是属于“增长率”类型的问题．同学们对这类型问题应该并不陌生，初中应该就有类似问题．例６．（教材53P 例５，已经用过的例子）按复利计算一种储蓄的利息：设本金为a 元，每期利率为r ，本利和为y ，存期为x ，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式．如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？解析略．点评：这是一个典型的实际应用题的例子，它的函数模型是指数函数，它的类型是“利息”类问题．希望同学们认真温习这个例子的分析、探究和解决过程，真正把这类问题弄透彻．课时训练P67例2.五【课堂小结】本节课探究了 “几何图形”、“计算利润”、“增长率”、“利息”等类型的实际应用问题．六〖课外作业〗活页67P 第27课时 函数的应用举例(2)。
高中数学教师竞赛作品《2.6函数模型及其应用(实习作业汇报)》苏教版必修.pptx
（0≤x≤800） (800＜x≤4000)
(x＞4000)
• ∵3800∈{ x|800＜x≤4000} ∴y=(x-800) ×14% ∴y=(3800-800) ×14%
∴及参加人员 吴超 王维 缪青 赵云 袁丹 刘香 陶琳 制作：张昕薇 许诗卉
a+c=8.6
ab+c=10.4 ab2+c=12.9 解得:a=4.629 ,b=1.389 ,c=3.971
∴g(x)=4.629×1.389x+3.971
将x=3代入以上两个解析式 同学一算得：f(x)=16.1 同学二算得：g(x)=16.38
由数据知：以上两个解析式算2000年，
即x=3时，同学二的结果误差较大。
∴选“全球通”合算。
分析与解答
全球通： y1= 0.4x + 50 (x∈N)
快捷通： y2 = 0.6x
(x∈N)
• 当y1= y2时 • 即50+0.4x=0.6x时，x=250
• 此时y1=y2 = 150 • 由y1、y2函数图象得： • 当x<250时，y1>y2 • 当x>250时，y1<y2
负责人及参加人员
邵文婷 史维涛 刘书瑶 赵韵竹 陈衍 陆雨 任典
制作：王诗雅
稿费纳税的计算
• 国家规定，个人稿费纳税方法为: ⒈不超过 800元的不纳税; ⒉超过800元而不超过4000元的 ，则 按超过800元的部分的14%纳税; ⒊超过4000元的按全部稿费的11% 纳税.
实际问题
• 有人出了一本书，所得稿费为 3800元，则这个人应纳税多少 元？
y
8.6
O
x
同学（一） 选用二次函数f(x)=ax2+bx+c,并将变换后的 前三组数据代入即得a,b,c的三元一次方程组
高中数学教师竞赛作品《2.6函数模型及其应用(实习作业汇报)》 教学案 苏教版必修1
观察、点评
第三组是我国人均国民生产总值何时赶超韩国的计算问题：
我们小组在网上经调查得知：据有关部门数据统计,1998年我国人均国民生产总值为800美元,并且每年以7.5%的速度增长,到2001年底,我国人均国民生产总值已达到1000美元。而韩国,1998年,受亚洲金融危机的影响,人均国民生产总值为6321美元,现在已达到10000美元,近年平均每年以2.5%的速度增长。假设今后各国都以各自的平均速度向上增长,则2001年后多少年我国人均国民生产总值将赶上韩国？
练习、交流
巩固和运用所学知识与技能
课时小结：
建模的一般过程。
思考回答
用师生交流的形式,让学生对学习过程作小结,可以将学习过程中的感悟和经验升华、凝聚成“知识块”,进而结成知识链,完善知识结构。同时,让学生在交流中深刻体会本课时着力渗透的数学应用意识
作业：课本第88页习题2.6第5题
课后完成
巩固和运用所学知识
通过生活中的实际问题创设情境,激发和点燃学生学习的兴趣和热情
反馈练习（选用）：
某工厂今年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件,为了估测以后每个月的产量,以这三个月的产品数量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系。模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a、b、c为常数）。已知4月份该产品的产量为1.37万件,请问用以上哪个函数作为模拟函数较好,并说明理由。
通过生活中的实际问题创设情境,激发和点燃学生学习的兴趣和热情
观察、点评
第二组是个人稿费纳税的计算问题：
题目： 稿费纳税的计算
国家规定,个人稿费纳税方法为:
高中数学 2.6函数模型及其应用课件 苏教版必修1
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11
解析：(1)由题意，当 0≤x≤20 时，v(x)＝60，当 20＜x≤200 时，
设 v(x)＝ax＋b，则由已知得
22000aa＋＋bb＝＝600，⇒ab＝＝－230013，，
栏 目
60，0≤x≤20，
链 接
故 v(x)＝13（200－x），20＜x≤200.
(2)由题意及(1)可得
接
0.03x，0<x≤1 500， 即 f(x)＝0.1x－105，1 500<x≤4 500，
0.2x－555，4 500<x≤9 000.
(2)0.2×(8 200－3 500)－555＝385(元)，即这个人 10 月份应缴纳
个人所得税 385 元．
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7
►变式训练
1．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，
2．6 函数模型及其应用
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1
题型一 分段函数模型的实际应用
例 1 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从 2 月 1
日起的 300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用下图(1)的一
栏
条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用下图(2)的抛物 目
线表示．
链 接
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2
(1)写出图(1)表示的市场售价与时间的函数关系式 P＝f(t)，写出
金所得税是分段计算的；总收入不超过 3 500 元的，免征个人工资、
薪金所得税；超过 3 500 元的部分需征税，设全月应纳税所得额(所
得额指工资、薪金中应纳税的部分)为 x 元，x＝全月工资、薪金的收
入－3 500 元，税率见下表：
栏
2019-2020年高中数学《函数模型及其应用》教案3苏教版必修1
一、教材分析本节内容主要是运用所学的函数知识去解决实际问题，要求学生掌握函数应用的基本方法和步骤。
函数的应用问题是高考中的热点内容，必须下功夫练好基本功。
本节涉及的函数模型有：一次函数、二次函数、以及简单的一次函数类的分段函数。
其中，最重要的是二次函数模型。
二、教学目标分析知识与技能：1、通过社会生活、生产中的例子，使学生体会函数模型的广泛应用；2、让学生学会对数据进行分析、处理，建立模拟函数的方法和步骤，并解决实际问题；3 、了解一些简单的数学模型，熟悉数学建模；过程与方法：1、了解数学建摸，掌握根据已知条件建立函数关系式；2、培养学生分析问题、解决问题的能力；3、培养学生应用数学的意识；情感与态度：1、认识数学和生活的相互联系；2、了解数学在实际中的应用。
三、教学重难点：重点：通过仔细审题，建立数学模型，计算并解决实际问题；难点：数学建模的意识；关键：一次函数模型、二次函数模型和分段函数模型的应用。
四、教法分析：通过布置作业的形式让学生阅读课本，完成“自主学习”部分的习题，了解数学模型的概念及数学建模的思想方法。
课堂上通过讨论与学生一起分析得出数学应用题的解决应达到哪些能力要求，再通过“合作探究” 与大家一起总结解答应用题的基本步骤；最后留出足够的时间，让学生完成“巩固提高”中的练习题，巩固学生对数学应用题的认识，同时加强对相关知识点的熟悉程度。
五、学法分析：现代教育心理学的研究认为：有效的概念教学是建立在学生已有知识结构基础上的。
在初中，函数类的应用题已有所知，从直观上接触过函数模型•因此，在设计教案时，通过自主完成课案中的“自主学习”部分，让学生从一些简单的数学模型入手，熟悉函数模型，再通过课堂上的“合作探究”加深函数模型的理解，拓展函数模型，学会建立模拟函数的方法和步骤。
最后通过“巩固提高”题巩固本节内容。
整个学习过程由简入难，循序渐进，逐步提高数学能力。
目的是为了培养学生应用数学的能力。
高中数学 2.6函数模型及其应用教案二 苏教版必修1
2.6 函数模型及其应用（2）教学目标：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步了解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解.教学难点：对图、表的理解.教学方法：讲授法，尝试法.教学过程：一、情境创设已知矩形的长为4，宽为3，如果长增加x，宽减少0.5x，所得新矩形的面积为S．（1）将S表示成x的函数；（2）求面积S的最大值，并求此时x的值．二、学生活动思考并完成上述问题．三、例题解析系式，并求出6月20日当天的荔枝市场售价．练习：1．直角梯形OABC 中，AB ∥OC ，AB ＝1，OC ＝BC ＝2，直线l ：x ＝t 截此梯形所得位于l 左方图形的面积为S ，则函数S ＝f (t )的大致图象为( )2．一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以v cm3/s 的速度向容器内注入某种溶液，求容器内溶液的高度x (cm)与注入溶液的时间t (s)之间的函数关系式，并写出函数的定义域．3．向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状可能是( ) 4．某公司将进货单价为10元一个的商品按13元一个销售，每天可卖200个．若这种商品每涨价1元，销售量则减少26个．（1）售价为15元时，销售利润为多少？（2）若销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？A CDB hH C D5．根据市场调查,某商品在最近40天内的价格f(t)与时间t满足：f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t∈N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业课本P93－4，P94-16．。
高中数学 2.6函数模型(3)教案苏教版必修1
第三十五课时函数模型及其应用(3)【学习导航】知识网络学习要求1．根据条件题意写出满足题意的函数； 2． 能够根据一次函数、二次函数的单调性来求出所写函数的最大值和最小值.自学评价1．一次函数求最值主要是利用它的 单调性 ；2. 二次函数求最值也是要利用它的单调性，一般我们都先 配方 .3.无论什么函数求最值都要注意 能够取到最值的条件 .例如 定义域等.【精典范例】例1：在经济学中,函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为产100台报警系统装置,生产()Mf x =(1)()f x f x +-.某公司每月最多生x 台(x N *∈)的收入函数2()300020R x x x =-(单位:元),其成本函数为()5004000C x x =+(单位:元),利润是收入 与成本之差.（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ;（2）利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 是否具有相同的最大值?【解】由题意知,[]1,100x ∈,且x N *∈.(1)()P x = ()()R x C x -22025004000x x =-+-2300020(5004000)x x x =--+()MP x ()()1P x P x =+-2220(1)2500(1)40002025004000x x x x =-+++-⎡⎤--+-⎣⎦248040x =-(2) ()P x 22025004000x x =-+-212520()741252x =--+ 解决听课随笔当62x =或63x =时, ()P x 的最大值为74120 (元).因为()248040MP x x =-是减函数,所以当1x =时, ()MP x 的最大值为2440 (元). 因此,利润函数()P x 与边际利润函数()MP x 不具有相同的最大值.例2：某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未出租的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．（1）当每辆车的月租金定为3600时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时？租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【解】（1）当每辆车的月租金定为3600时， 未租出的车辆数为360030001250-=，∴租出了88辆车．（2）设每辆车的月租金为x (3000)x >元，则租赁公司月收益为30003000(100)(150)505050x x y x --=---⨯整理后得 21622100050x y x =-+-()2140503075050x =--+∴当4050x =时，y 的最大值为30750，即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为30750元． 点评：月收益=每辆车的租金⨯租出车辆数-车辆维护费．最值问题一定要考察取最值的条件， 因此，求定义域是必不可少的环节．例3：南京的某报刊零售点，从报社买进某报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 分析：此问题是关于利润()y 和份数()x 的关系, 根据经验我们知道:利润=每份报纸赚的钱⨯份数-卖不掉的报纸份数⨯每份报纸亏的钱,x 的取值范围是250400x ≤≤. 【解】设每天从报社买进x 份报纸，每月获得总利润y 元，则由题意，0.10(2010250)0.1510(250)y x x =+⨯-⨯- 0.5625x =+，[250,400]x ∈， ∵函数在[250,400]上是单调递增函数，∴400x =时，max 825y =元，所以，该摊主每天从报社买进400份时，每月所获利润最大，最大利润为825元． 点评: 建立目标函数后一定要注意实际应用问题中变量的取值范围追踪训练一1.冬季来临，某商场进了一批单价为30元的电暖保，如果按40元一个销售，能卖40个；若销售单价每上涨1元，销售量就减少1个，要获得最大利润时，电暖保的销售单价应该为多少？提示：设单价为x元，利润为y元，则()()()230404055625y x xx=---⎡⎤⎣⎦=--+所以当55x=时，y的最大值为625.2．某商品在近30天内每件的销售价格P（元）与时间t（天）的函数关系是20,(025,)100,(2530,)t t t NPt t t N+++<<∈⎧=⎨-+≤≤∈⎩，该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系是()40030,Q t t t N+=-+<≤∈，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天．解：第25天，日销售金额最大为1125元．【选修延伸】一、函数与图表高考热点1．（2001上海，12）根据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一．图2—6中（1）表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况．由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图1中（2）中图示为：【解】如图2所示.解：由图中的沙化面积可以利用年代总面积＝平均面积．因为题中是分了五六十年代、六七十年代、九十年代三段．所以可分别求出三段的平均面积2(253.3250.1)101620-⨯= 2(257.5253.3)102120-⨯=，2(260257.5)102510-⨯=2.如图，河流航线AC 长40km ，工厂B 位于码头C 正北30km 处，原来工厂B 所需原料需由码头A 装船沿水路到码头C 后，再改陆运到工厂B ，由于水运太长，运费颇高，工厂B 与航运局协商在AC 段上建一码头D ，并由码头D 到工厂B 修一条新公路，原料改为按由A 到D 再到B 的路线运输，设AD xkm =()040x ≤≤，每10吨的货物总运费为y 元，已知每10吨货物每千米运费水路为1元，陆路为2元. （1）试写出y 元关于x 的函数关系式； （2）要使运费最省，码头D 应建在何处？分析：①.总运费y 元=水路运费+陆路运费②.水路运费1x =⨯元,陆路长度DB 可以勾股定理求得:,30)40(22+-x陆路运费2=(元).③.建立此问题的函数模型:y x =+()040x ≤≤.对于问题(2)我们可以利用求函数值域的方法求得运费最省时,D 点的位置.以上建立实际问题的函数模型均是在弄清题意的基础上,根据几何、物理等相关的知识建立的函数模型 思维点拔：函数y a x =+在一次函数求最值主要是利用它的单调性；[](),m n m n <上的最值：当0a >时，x m=时有最小值am b +，x n =时有最大值an b +；当0a <时， x m =时有最大值am b +，x n =时有最小值an b +二次函数求最值也是利用它的单调性，一般都先配方.而求最值都要考虑取最值的条件.追踪训练二甲分公司现有电脑6台，乙1．某电脑公司在甲乙两地各有一个分公司，分公司现有同一型号 的电脑12台.现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台.已知甲地运往A 、B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A 、B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元. （1）设甲地调运x 台至B 地，该公司运往A 和B 两地的总运费为y 元，求y 关于x 的函数关系式.（2）若总运费不超过1000元，问能有几种调运方案？（3）求总运费最低的调运方案及最低运费. 分析：本题的关键在于表示出A 、B 两地的电脑台数，再用函数单调性听课随笔求最低运费.【解】（1）设甲地调运x 台至B 地，则剩下()6x -台电脑调运到A 地；乙地应调运()8x -台电脑至B 地，运往A 地()()1284x x --=+台电脑()06,x x N ≤≤∈.则总运费()()()30406508804y x x x x =+-+-++ 20960x =+， ()20960,06y x x N x ∴=+∈≤≤.（2）若使1000y ≤，即209601000x +≤，得 2x ≤ 又06,x x N ≤≤∈，02,x x N ∴≤≤∈ .0,1,2x ∴=，即能有3种调运方案.（3）20960y x =+是R 上的增函数，又06,x x N ≤≤∈，0x ∴=时，y 有最小值为960. 所以，从甲地运6台到A 地，从乙地运8台到B 地、运4台到A 地，运费最低为960元.点评:本例题属于经费预算问题，其数学模型表现为一次函数模型求最值的问题.3听课随笔【师生互动】。
精品2019-2020年最新高中数学苏教版必修一2.6《函数模型及其应用》一等奖教学设计
【学案导学设计】高中数学2.6函数模型及其应用课时作业苏教版必修1课时目标 1.能够找出简单实际问题中的函数关系式.2.初步体会应用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数模型解决实际问题.3.体会运用函数思想处理现实生活中的简单问题，培养对数学模型的应用意识．1．几种常见的函数模型(1)一次函数：y＝kx＋b(k≠0)(2)二次函数：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(3)指数函数：y＝a x(a>0且a≠1)(4)对数函数：y＝log a x(a>0且a≠1)(5)幂函数：y＝xα(α∈R)(6)指数型函数：y＝pq x＋r(7)分段函数2．面临实际问题，自己建立函数模型的步骤：(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模型；(5)检验；(6)用函数模型解释实际问题．一、填空题1．细菌繁殖时，细菌数随时间成倍增长．若实验开始时有300个细菌，以后的细菌数如下表所示：．2．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如右图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是________元．3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是________．4．某工厂6年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系图象正确的是________．(填序号)5．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是________．6．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y分别为________．7．某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，那么每台彩电原价是________元．8．麋鹿是国家一级保护动物，位于江苏省中部黄海之滨的江苏大丰麋鹿国家级自然保护区，成立于1985年，最初一年年底只有麋鹿100头，由于科学的人工培育，这种当初快要濒临灭绝的动物的数量y(头)与时间x(年)的关系可以近似地由关系式y＝alog2(x＋1)给出，则2000年年底它们的数量约为________头．9．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．二、解答题10．东方旅社有100张普通客床，若每床每夜收租费10元时，客床可以全部租出；若每床每夜收费提高2元，便减少10张客床租出；若再提高2元，便再减少10张客床租出；依此情况继续下去．为了获得租金最多，每床每夜租金选择多少？11．芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位为：元/10kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表：(1)种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝alog b t；(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．能力提升12．某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表：为依据，用函数y＝ax＋b或y＝a x＋b(a，b为常数，且a>0)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份的关系．请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由．13．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22，(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？1．函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．2．函数拟合与预测的一般步骤：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况是一般不会发生的．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．§2.6 函数模型及其应用作业设计1．75解析由表中数据观察可得细菌数y与时间x的关系式为y＝300·2x(x∈Z)．当x＝－2时，y＝300×2－2＝3004＝75.2．300解析由题意可知，收入y是销售量x的一次函数，设y ＝ax＋b，将(1,800)，(2,1300)代入得a＝500，b＝300. 当销售量为x＝0时，y＝300.3．减少7.84%解析设某商品价格为a，依题意得：a(1＋0.2)2(1－0.2)2＝a×1.22×0.82＝0.9216a，所以四年后的价格与原来价格比较(0.9216－1)a＝－0.0784a，即减少7.84%. 4．①解析由于前三年年产量的增长速度越来越快，可用指数函数刻画，后三年年产量保持不变，可用一次函数刻画．5．23cm2解析设一段长为xcm，则另一段长为(12－x)cm.∴S＝34(x3)2＋34(4－x3)2＝318(x－6)2＋23≥23(当且仅当x＝6时，取“＝”)．6．15,12解析由三角形相似得24－y24－8＝x20，得x＝54(24－y)，∴S＝xy＝－54(y－12)2＋180.∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.7．2250解析设每台彩电的原价为x元，则x(1＋40%)×0.8－x＝270，解得x＝2250(元)．8．400解析由题意，x＝1时y＝100，代入求得a＝100,2000年年底时，x＝15，代入得y＝400.9．2ln2 1024解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝12k e，∴k＝2ln2，∴y＝e2tln2，当t＝5时，∴y＝e10ln2＝210＝1024.10．解设每床每夜租金为10＋2n(n∈N)，则租出的床位为100－10n(n∈N且n<10)租金f(n)＝(10＋2n)(100－10n)＝20[－(n－52)2＋2254]，其中n∈N且n<10.所以，当n＝2或n＝3时，租金最多，若n＝2，则租出床位100－20＝80(张)；若n＝3，则租出床位100－30＝70(张)；综合考虑，n应当取3，即每床每夜租金选择10＋2×3＝16(元)．11．解(1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t的变化关系的函数不可能是常值函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·b t，Q＝alog b t中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q ＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，可得：⎩⎨⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，刻画芦荟种植成本Q 与上市时间t 的变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)当t ＝－－322×1200＝150(天)时，芦荟种植成本最低为 Q ＝1200×1502－32×150＋4252＝100(元/10kg)． 12．解 将(1,50)、(2,52)分别代入两解析式得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b 52＝2a ＋b或⎩⎪⎨⎪⎧ 50＝a ＋b ，52＝a 2＋b.(a>0) 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝48(两方程组的解相同)．∴两函数分别为y ＝2x ＋48或y ＝2x ＋48.当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝54；当x ＝3时，对于y ＝2x ＋48有y ＝56.由于56与53.9的误差较大，∴选y ＝ax ＋b 较好．13．解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则 a(1－x)m ＝22a ，即1012m ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a(1－x)n . 令22a(1－x)n ≥14a ，即(1－x)n ≥24， 1012n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥3212⎛⎫ ⎪⎝⎭，n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．。
2021年高中数学.6《函数模型及其应用》教案一苏教版必修1
2021年高中数学2.6《函数模型及其应用》教案一苏教版必修1教学目标：1．能根据实际问题的情境建立数学模型，利用计算工具，结合对函数性质的研究，给出问题的解答；2．通过实例，理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应用，了解函数模型在社会生活中的广泛应用；3．在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力，培养学生的应用意识，提高学习数学的兴趣.教学重点：一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．教学难点：从生活实例中抽象出数学模型.教学过程：一、问题情境某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为1.2﹪，问:（1）写出该城市人口数y(万人)与经历的年数x之间的函数关系式;（2）计算10年后该城市的人口数；（3）计算大约多少年后，该城市人口将达到120万?（4）如果20年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制在多少？二、学生活动回答上述问题，并完成下列各题：1．等腰三角形顶角y(单位：度)与底角x的函数关系为．2．某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数y(元)表示为茶杯个数x(个)的函数，其定义域为．三、数学应用例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为5000元，分别写出总成本C(万元)、单位成本P(万元)、销售收入R(元)以及利润L(万元)关于总产量x台的函数关系式．例2 大气温度y(℃)随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空11 km为止，大约每上升1 km，气温降低6℃，而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．求：（1） y与x的函数关系式；（2）x＝3.5 km以及x＝12km处的气温．变式：在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为26℃和14.6℃，试求山的高度．四、建构数学利用数学某型解决实际问题时，一般按照以下步骤进行：1．审题：理解问题的实际背景，概括出数学实质，尝试将抽象问题函数化；2．引进数学符号，建立数学模型，即根据所学知识建立函数关系式，并确定函数的定义域；3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答，求出结果；4．将数学问题的解代入实际问题进行检验，舍去不合题意的解，并作答.五、巩固练习1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是C(x)＝200＋10x＋0.5x2(元)，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到元．2．有m部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务．设由x部机器（x为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时)与机器的部数x的函数关系式．3．A，B两地相距150千米，某人以60千米/时的速度开车从A到B，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A，则汽车离开A地的距离x与时间t的函数关系式为．4．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需16min，快车比慢车晚发车3min，且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？5．某产品总成本C(万元)与产量x(台)满足关系C＝3000＋20x－0.1x2，其中0＜x ＜240．若每台产品售价25万元，要使厂家不亏本，则最少应生产多少台？六、要点归纳与方法小结1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．七、作业课本P84－练习1，2，3．。
《函数模型及其应用》教案1苏教版
《函数模型及其应用》教案1（苏教版必修1）函数模型及其应用（1）教学目的：使学生了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型：指数函数、对数函数以及幂函数，了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义。
教学重难点：通过图象对指数函数、对数函数、幂函数模型的增长速度对比，让学生理解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长的含义。
建立实际问题的函数模型是难点。
教学过程一、复习提问写出指数函数、对数函数、幂函数的一般形式，你知道它们的变化规律吗？二、新课例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？解：设第x天所得回报是y元，则各方案的函数模型为：方案一：y＝40（x∈N＋）方案二：y＝10x（x∈N＋）方案三：y＝0.4×（x∈N＋）方案一是常数函数，方案二是增函数，呈直线型增长，方案三也是增函数，呈指数型增长，增长速度比其它2个方案快得多，称为"指数爆炸"。
投资5天以下选方案一，投资5――8天选方案二，投资8天以上选方案三。
再看累计回报数表P114。
投资8天以下（不含8天），应选择第一种投资方案，投资8－－10天，应选择第二种投资方案；投资11天（含11天）以上，则应选择第三种方案。
例2、某公司为了实现1000万元利润目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。
现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝＋1，y＝1.002x。
其中哪个模型能符合公司的要求？分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可。
高中数学 2.6函数模型(1)教案苏教版必修1
第三十三课时函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1．了解解实际应用题的一般步骤；2．初步学会根据已知条件建立函数关系式的方法； 3．渗透建模思想，初步具有建模的能力.自学评价1．数学模型就是把 实际问题 用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述． 2. 数学建模就是把实际问题加以 抽象概括建立相应的 数学模型 的过程，是数学地解决问题的关键． 3. 实际应用问题建立函数关系式后一般都要考察 定义域 ．【精典范例】例1．写出等腰三角形顶角y （单位：度）与底角x 的函数关系． 【解】1802y x =- ()090x <<点评: 函数的定义域是函数关系的重要组成部分．实际问题中的函数的定义域，不仅要使函数表达式有意义，而且要使实际问题有意义．例2．某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元,生产每台计算机的可变成本为3000元,每台计算机的售价为5000元.分别写出总成本C (万元)、单位成本P （万元）、销售收入R （万元）以及利润L （万元）关于总产量x （台）的函数关系式.听课随笔分析：销售利润()L x =销售收入()R x -成本()C x ,其中成本()C x = (固定成本+可变成本).【解】总成本与总产量的关系为2000.3,C x x N *=+∈.单位成本与总产量的关系为2000.3,P x N x*=+∈. 销售收入与总产量的关系为0.5,R x x N *=∈.利润与总产量的关系为0.2200,L R C x x N *=-=-∈ ．例3．大气温度()y C 随着离开地面的高度()x km 增大而降低，到上空11km 为止，大约每上升1km ，气温降低6C ，而在更高的上空气温却几乎没变（设地面温度为22C ）． 求：（1）y 与x 的函数关系式； （2） 3.5x km =以及12x km =处的气温． 【解】（1）由题意，当011x ≤≤时，226y x =-， ∴当11x =时，2261144y =-⨯=-， 从而当11x >时，44y =-． 综上，所求函数关系为[]226,0,1144,(11,)x x y x ⎧-∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩；（2）由（1）知， 3.5x km =处的气温为226 3.51y =-⨯=C ，12x km =处的气温为44C -．点评:由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题得到的是关于自变量的分段函数；第2小题是已知自变量的值，求函数值的问题．追踪训练一1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x 件时的成本函数是()21200102C x x x =++（元），若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到17800元.2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监与时间t （小时）之间近似测，服药后每毫升血液中的含药量y （微克）满足如图所示的曲线.（OA 为线段，AB 为某二次函数图象的一部分，O 为原点）.()y f x =； （1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式少于49微克时，对治疗有（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不效，求服药一次治疗疾病有效的时间.解：（1）由已知得24011(5),154t t y t t ≤≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩ （2）当01t ≤≤时，449t ≥，得119t ≤≤； 当15t <≤时，214(5)49t -≥，得 1911,33t t ≥≤或， ∴1113t <≤ ∴11193t ≤≤， ∴11132399-=， 因此服药一次治疗疾病有效的时间约为3.5小时.听课随笔【选修延伸】一、函数与图象高考热点1: （2002年高考上海文，理16）一般地，家庭用电量（千瓦时）与气温（℃）有一定的关系，如图所示，图（1）表示某年12个月中每月的平均气温.图（2）表示某家庭在这年12个月中每个月的用电量.根据这些信息，以下关于该家庭用电量与其气温间关系的叙述中，正确的是（）A.气温最高时，用电量最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温渐低而增加答案：C分析：该题考查对图表的识别和理解能力.【解】经比较可发现，2月份用电量最多，而2月份气温明显不是最高.因此A项错误.同理可判断出B项错误.由5、6、7三个月的气温和用电量可得出C项正确.思维点拔：数学应用题的一般求解程序（1）审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；（2）建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；（3）解模：求解数学模型，得到数学结论；（4）结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论．追踪训练二1. 有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O 的直径，上底CD的端点在圆周上，写出这个梯形周长y和腰长x间的函数关系式，并求出它的定义域．分析：关键是用半径R 与腰长x出AE ． 解：设腰长AD BC x ==，作DE AB ⊥垂足为∴Rt ADE ∆∽Rt ABD ∆∆，∴2AD AE AB =⨯，22x AE R =，∴222x CD AB AE R R=-=-∴周长2222(2)24x y R x R Rxx RR=++-=-++， ∵ABCD 是圆内接梯形 ∴0,0,0AD AE CD >>>，即220020x xR x R R⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪->⎪⎩，解得0x <<， 即函数y 的定义域为{}0x x <<【师生互动】。
44.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.6函数模型及其应用(1)
§2.6 函数模型及其应用(1)教学目标：１．能根据实际问题的情境建立函数模型，利用计算工具，结合对函数的性质的研究，给出问题的解答；２．理解数据按拟合是对事物的发展规律估计的一种方法，会根据条件借助现代计算工具解决一些简单的实际问题；３．能利用所学的数学知识分析研究身边的问题，启发、引导学生数学地观察世界，感受世界，引导学生合作交流；４．培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．知识与技能结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性．过程与方法能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用．情感、态度、价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的作用．教学重点：重点将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．难点怎样选择数学模型分析解决实际问题．教学过程：一．问题情境材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．师（指出）：一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型．可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的．师（引导）：从本课起，我们将用约三节课的时间，来专门探究“选择数学模型，分析解决实际问题”的问题．二．问题探究例1．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？探究：1）在本例中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？ 生：涉及天数与回报资金两个量 2）分析解答：设第x 天，得到的回报为y 元，则 由方案一得：*40()y x N =∈； 由方案二得：*10()y x x N =∈； 由方案三得：1*0.42()x yx N -=⨯∈师：下面我们将三种方案对应天数与回报额列成表3）根据表格中所提供的数据，你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？生：观察表格，获取信息，体会三种函数的增长差异，特别是指数爆炸，说出自己的发现，并进行交流．师：引导学生观察表格中三种方案的数量变化情况，对于“增加量”进行比较，体会“直线增长”、“指数爆炸”等．归纳：由方案一得出：后一天与前一天比，增加量是0；由方案二得出：后一天与前一天比，增加量是10；由方案三得出：后一天与前一天比，增加量是1倍．用了函数来描述，就是：对于方案一来说，第x天的回报资金y，是天数x的常数函数；对于方案二来说，第x天的回报资金y，是天数x的一次函数；对于方案三来说，第x天的回报资金y，是天数x的指数函数．4）你能借助计算器或计算机作出函数图象，并通过图象描述一下三种方案的特点吗？生：（作三种方案对应的函数的草图）新教材函数\附件\函数模型及其应用(1)课件.gsp（第一页）三种方案各自的特点是：方案一是“一成不变的”；方案二是“直线增长的”；方案三是“指数爆炸的”．5）根据以上分析，你认为该作出如何选择？应该根据投资的天数，选择不同的方案．天数小于等于4，选择方案一；天数大于4小于等于8，选择方案二；天数大于等于9，选择方案三．解决函数应用题的基本步骤是：第一步：认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题转化成数学问题，即实际问题数学化．第二步：运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题，得出函数问题的解．第三步：将所得函数问题的解代入实际问题进行验证，看是否符合实际，并对实际问题作答．数学模型的建立在解决实际问题中，提出问题——收集数据——整理、分析数据——建立函数模型——解决问题——代入验证，这是一个完整的过程.确定函数模型后，经常需要检验，如误差较大，就要修正得到的函数模型.联想·质疑如何建立函数模型？数学模型是运用数学思想、方法和数学知 识解决实际问题的过程，数学建模可以通过右 面的框图来体现：例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但奖金不超过5万元．现有三个奖励模型：0.25y x =，7l o g 1y x =+， 1.002xy =． 问：其中哪个模型能符合公司的要求？探究：1） 本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？生：涉及三类函数模型：一次函数、对数函数、指数函数； 本例的实质就是对不同函数的增长情况进行比较．2）你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？ 生：要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元进行分析，才能做出正确选择．3）通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答． 利用解析式，结合图象，对三个模型的增长情况进行分析比较：生：利用解析式计算进行比较：根据题意，x 的取值范围是[10,1000]， 对于函数模型一：0.25y x =[10,1000]x ∈，因为函数0.25y x =在区间[10,1000]上是增函数，所以函数的值域是[2.5,250]；对于函数模型二：7log 1yx =+ [10,1000]x ∈，因为函数7log 1y x =+在区间[10,1000]上是增函数，所以函数的值域是［2.18329，4.54988］；对于函数模型三： 1.002x y= [10,1000]x ∈，因为函数 1.002xy =在区间[10,1000]上是增函数，所以函数的值域是［1.02018，7.37431］．再结合函数图像进行比较：新教材 函数\附件\函数模型及其应用(1)课件.gsp （第二页）作出判断：函数模型二7log 1y x =+ [10,1000]x ∈符合公司要求．三．教材呈现 例１（教材82P ）点评：这里给出的都是简单的、直接了当的关系，至于叙述中的某些词语的出现，是某些行业的术语，只要弄清楚这个术语的含义就可以了，没有必要在这个词的使用是否恰当甚至为什么用这样的词语等等“皮毛”问题上纠缠．如：此题中的“固定成本”、“可变成本”、“总成本”、“单位成本”等等，只要弄清：固定成本就是不管生产多少台，都要投入的一笔资金； 可变成本就是随生产台数的变化所需要投入的资金； 总成本 就是生产x 台共要投入的资金；单位成本就是对生产x 台进行核算，所得出的总成本的平均值． 所以说，只要真正将题意弄清了，就不存在什么疑难了．例２（教材82P ）解析：点评：“牛顿冷却规律”：01()()2t ha a T T T T -=-⋅，是解决这个实际问题的主要依据，解题时只要弄清楚“规律”中每一个量的意义，就能顺利解决问题． 在这个实际问题中，088T =，24a T =，h 是一个待定的常数，T 是t 的函数．至于解决问题中需要用到其他的什么数学知识和方法，那就是数学本身的问题而不属于实际问题了．解析：例３（教材83P ）点评：01．此题又有一些新的、不熟悉的词语出现，如“边际函数”，但是这一点也不要紧，我们照样的做我们该做的事就行了，只是要牢牢地抓住“定义”，准确认识到“()Mf x ”是一个刚定义的符号，而不是()M f x的意思；02．()p x 是本题给出的一个函数记号，它的含义很清楚：“利润是收入与成本之差”，故“利润函数当然就是收入函数与成本函数之差了”；03．()Mp x 就不需要再多说了吧，它就是函数()p x 的边际函数，由此可以进一步认识到：任何一个函数都有它自己的边际函数．解析：课本中关于本例的“边际利润函数”的进一步解释： 例3中边际利润函数()Mp x 当1x=时取得最大值，说明生产第二台与生产第一台的总利润差最大，即第二台利润最大，()248040Mp x x =-是减函数，说明随产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少．（其中“第二台利润最大”，是一个不太清楚的说法）我们把上述描述调整为：因为边际利润函数()248040Mp x x =-是减函数，说明随产量的增加，每台利润与前一台利润相比在减少，即：…………………………生产第1x +台的利润比生产第x 台的利润少； 生产第x 台的利润比生产第1x -台的利润少；…………………………生产第3台的利润比生产第2台的利润少； 生产第2台的利润比生产第1台的利润少．由此可以进一步明白，边际函数是比较某函数相邻的两个函数值的概念，它在经济学中的意义暂时不要去联想．生产实际中，边际函数起的是控制生产数量的作用，本例中使()0Mp x =的x ，是保证生产中有利润生产的最大值，当()0Mp x <时，生产就亏本了，也就是亏本运营．四【课堂小结】本节学习了如下内容：“根据实际问题，建立函数模型；利用函数模型，得到数学结果；运用数学结果，解决实际问题”的应用类型问题．五〖课外作业〗说明：应用类型的问题，是一个没有止境的问题，最好的办法就是掌握解决这类问题的基本原理，再通过经常不断的运用来提高自己数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力．P第26课时函数的应用举例(1) 活页65。
高中数学 2.6函数模型(2)教案苏教版必修1
第三十四课时函数模型及其应用（2）【学习导航】知识网络学习要求1．能用指数函数、对数函数解决如复利、人口增长等与增长率有关的问题， 2．提高学生根据实际问题建立函数关系的能力.自学评价1.复利把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．（就是人们常说的“利滚利”）．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ．(1)x y p r =+2.单利在计算每一期的利息时，本金还是第一期的本金．设本金为p ，每期利率为r ，存期为x ，则本金与利息和 ． (1)y p prx p rx =+=+3．在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，可以用公式 表示．()1xy N p =+【精典范例】例1：物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述:设物体的初始温度是O T ,经过一定时间t 后的温度是T ,则1()()2th a o a T T T T -=-⋅,其中a T 表示环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88c 热水冲的速容咖啡,放在24c 的房间中,如果咖啡降到40c 需要20min ,那么降温到35c 时,需要多长时间?【解】由题意知()20140248824()2h -=-⋅,即2011()42h=,解之,得10h =,故听课随笔10124(8824)()2tT -=-⋅ ,当35T =时,代入上式, 得1013524(8824)()2t-=-⋅ ,即 10111()264t= ， 两边取对数,用计算器求得25.4t ≈因此,约需要25.4min ,可降温到35c点评: 本题是利用已知的函数模型来解决物理问题，需由已知条件先确定函数式，然后再求解.本题的实质为已知自变量的值，求对应的函数值的数学问题，由于运算比较复杂，要求学生借助计算器进行计算.例2：现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：lg30.477,lg 20.301==）.分析：现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、 4个小时后的细胞总数， 【解】1小时后，细胞总数为 1131001002100222⨯+⨯⨯=⨯； 2小时后，细胞总数为 13139100100210022224⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 3小时后，细胞总数为 191927100100210024248⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯； 4小时后，细胞总数为 127127811001002100282816⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯; 可见，细胞总数y 与时间x （小时）之间的函数关系为： 31002xy ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，x N *∈由103100102x ⎛⎫⨯> ⎪⎝⎭，得83102x⎛⎫> ⎪⎝⎭，两边取以10为底的对数，得3lg 82x >，∴8lg3lg 2x >-， ∵8845.45lg3lg 20.4770.301=≈--， ∴45.45x >.答：经过46小时，细胞总数超过1010个.点评:本例用归纳猜想的方法得出了细胞总数y 与时间x 之间的函数关系式；解类似xa b >这类的不等式，通常在不等式两边同时取对数，利用对数函数的单调性求解．这种通过观察几个特殊值的特征，从而归纳出函数一般表达式的方法叫做“不完全归纳法”，是高中数学中非常重要的一种方法．例3：某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？参考数据：51.09 1.5386=，461.09 1.4116,1.09 1.6771==分析：可分别根据复利与单利的计算方法，分别计算出本息和，再进行比较，判断优劣．【解】本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后收回的本息和是100(110%5)150⨯+⨯=万元，本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回的本息和是5100(19%)153.86⨯+=万元， 因此，按年利率9%的复利一次计算要比按年利率10%的单利计算更有利，5年后多得利息3.86万元． 点评：我国现行的定期储蓄中的自动转存业务是一种类似复利计息的储蓄．追踪训练一年增加21%，第三1．某工厂的一种产品的年产量第二年比第一年比第二年增加44%，求这两年的平均增长率 ． 解：设该产品第一年的年产量为a ，两年的平均增长率为x ，则()()()21121%144%a x a +=++解得 1.32132%x =-=2．在银行进行整存整取的定期储蓄，当到期时，银行会将本息和进行自动转存，某人2005年3月1日在银行存入10000元的一年定期，年利为2.25%，若他暂时不取这笔钱，当到2010年3月1日时，该笔存款的本息和为多少元？（精确到0.01元）答案：510000(1 2.25%)11176.78⨯+≈元. 3. 已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，计算经过多少年剩留原来质量的一半？分析：设原来的质量为1，由题意可知 经过100乘1年剩留0.9576， 经过100乘2年剩留20.9576， ……听课随笔经过100乘x 年剩留0.9576x， 依题意有10.95762x=【解】设经过100乘x 年后剩留原来质量的一半，依题意，有10.95762x=， 两边取对数，得lg0.9576lg 2x =- 解得16.00x ≈.10016.001600⨯=（年）.答：约经过1600年剩留原来质量的一半.【选修延伸】一、函数与图像高考热点1.（1998全国文11，理10）向高为H 的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（ ）【解】答案B分析：如上图所示，取水深2Hh =时，注水量0'2V V V =>，即水深至一半时，实际注水量大于水瓶总水量之半.A 中0'2V V <，C 、D 中0'2VV =，故排除A 、C 、D ，选B .思维点拔：（1）解答应用题的基本步骤：①设：合理、恰当的设出变量；②写：根据题意，抽象概括数量关系，并能用数学语言表示，得到数学问题；③算：对所得数学问题进行分析、运算、求解；④答：将数学问题的解还原到生活实际问题，给出最终的答案.（2）在用数学方法解决实际问题时的能力要求有：①阅读理解能力；②抽象概括能力；③数学语言的运用能力；④分析、解决数学问题的能力.（3）分析图表是数学应用的一个重要方面，特别要能够结合图表分析函数，应好好体会．追踪训练二1．我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控手段以达到节约用水的目的．某市用水收费方法是：水费=基本费+超额费+损耗费．该市规定：（1）若每户每月用水量不超过最低限量m 立方米时，只付基本费9元和每月的定额损耗费a 元；（2）若每户每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费；（3）每户每月的损耗费不超过5元．（Ⅰ）求每户月水费y （元）与月用水量x （立方米）的函数关系；（Ⅱ）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示，试分析一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求,,m n a的值．（Ⅰ）由题意，每月用水量为x （立方米），支付费用y （元），则()9,0059,a x m y a x m n a x m +<≤⎧⎪=<≤⎨+-+>⎪⎩其中（Ⅱ）∵05a <≤，∴9914a <+≤，由表知，一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米，将4x =和5x =分别代入y 的解析式，得189(4)269(5)m n a m n a =+-+⎧⎨=+-+⎩，由②-①得8n =，从而823a m =- ③，又∵三月份用水量为2.5立方米，若2.5m >，将 2.5x =代入()9y xm n a =+-+ 得()10982.5m a =+-+，即819,a m =-这与③矛盾，∴2.5m ≤，即三月份用水量2.5立方米没有超过最低限量．此时有109a =+， ∴1a =，代入③得3m =，综上：一、二月份用水量超过最低限量，三月份用水量没有超过最低限量，且3,8,1m n a ===．点评：本例中对三月份的用水量是否超过最低限量的分析采用了假设检验的思想①② 听课随笔【师生互动】。
高中数学 2.6函数模型及其应用学案 苏教版必修1
【金版学案】2015-2016年高中数学 2.6函数模型及其应用学案苏教版必修11．解决实际问题通常按实际问题―→建立数学模型―→得到数学结果―→解决实际问题的程序进行，其中建立数学模型是关键．2．将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个，若每涨价1元，则日销售量减少10个，为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个14元．3．我们已学过的函数有：一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、分段函数、反比例函数、幂函数等．4．仅由变量的取值确定函数关系时，通常需要画散点图，观察图象，选择出最接近这一图象的函数类型，然后将已知数据代入求出具体函数表达式，这种方法称为数据拟合．,一、分段函数分段函数模型解实际应用问题是常见题型，也是高考常考题型．现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等．分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其写作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围．二、数据拟合建立函数模型，就必须考虑用什么函数来模拟，在选择函数模型时，可以通过图表直观分析，联想具有此性质的比较熟悉又比较简单的函数模型．在建立模拟函数的过程中，我们只可能建立近似的函数模型，因此所建立的函数模型只能近似地反映客观现实的量与量之间的关系，而且有时需要通过检验选择最佳模型．基础巩固1．某商场售出两台取暖器，第一台提价20%以后按960卖出，第二台降价20%以后按960元卖出，这两台取暖器卖出后，该商场(C)A．不赚不亏 B．赚了80元C．亏了80元 D．赚了160元解析：960＋960－9601＋20%－9601－20%＝－80.2．用一根长12 m 的铁丝折成一个矩形的铁框架，则能折成的框架的最大面积是________．解析：设矩形长为x m ，则宽为12(12－2x ) m ，用面积公式可得S 的最大值．答案：9 m 23．在x g a %的盐水中，加入y g b %的盐水，浓度变为c %，则x 与y 的函数关系式为________．解析：溶液的浓度＝溶质的质量溶液的质量＝x ·a %＋y ·b %x ＋y 可得：c %，解得y ＝a －c c －b x ＝c －ab －cx .答案：y ＝c －ab －cx4．某服装个体户在进一批服装时，进价已按原价打了七五折，他打算对该服装定一新标价在价目卡上，并说明按该价的20%销售．这样仍可获得25%的纯利，求此个体户给这批服装定的新标价y 与原标价x 之间的函数关系式为________．解析：由题意得20%y －0.75x ＝0.7x ×25%⇒y ＝7516x .答案：y ＝7516x5．如果本金为a ，每期利率为r ，按复利计算，本利和为y ，则存x 期后，y 与x 之间的函数关系是______________________________________________________________．解析：1期后y ＝a ＋ar ＝a (1＋r )；2期后y ＝a (1＋r )＋a (1＋r )r ＝a (1＋r )2； …归纳可得x 期后y ＝a (1＋r )x.答案：y ＝a (1＋r )x6．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，n 年后这批设备的价值为________万元．解析：1年后价值为：a －ab %＝a (1－b %)，2年后价值为：a (1－b %)－a (1－b %)·b %＝a (1－b %)2，∴n 年后价值为：a (1－b %)n.答案：a (1－b %)n7．某供电公司为了合理分配电力，采用分段计算电费政策，月用电量x (度)与相应电费y (元)之间的函数关系的图象如右图所示．(1)填空：月用电量为100度时，应交电费______元；(2)当x ≥100时，y 与x 之间的函数关系式为__________； (3)月用电量为260度时，应交电费________元．解析：由图可知：y 与x 之间是一次函数关系，用待定系数法可求解析式．答案：(1)60 (2)y ＝12x ＋10 (3)1408．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表：每户每月用水量 水价不超过12 m 3的部分 3元/m 3超过12 m 3但不超过18 m 3的部分 6元/m 3超过18 m 3的部分 9元/m 33. 解析：设每户每月用水量为x ，水价为y 元，则 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0<x ≤12，36＋（x －12）×6，12<x ≤18，36＋36＋（x －18）×9，x ＞18，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，0<x ≤12，6x －36，12<x ≤18，9x －90，x >18.∴48＝6x －36.∴x ＝14. 答案：149．国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准为每100元征8元(叫做税率为8个百分点，即8%)，计划收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调整后，不低于原计划的78%，试确定x 的范围．解析：(1)y ＝120×m ·[1＋(2x )%]×(8%－x %)＝－0.024m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)．(2)由题可知，－0.024m (x 2＋42x －400)≥120×m ×8%×78%，即x 2＋42x －88≤0，(x ＋44)(x －2)≤0， 解得－44≤x ≤2.又∵0<x ≤8，∴0<x ≤2.10．有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO 的三边组成，隧道的最大高度为4.9 m ，AB ＝10 m ，BC ＝2.4 m ．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4 m ，宽为2 m 的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部(抛物线部分为隧道顶部，AO 、BC 为壁)?解析：由已知条件分析，得知抛物线顶点坐标为(5，2.5)，C 点的坐标为(10，0)，所以设抛物线的解析式为y ＝a (x －5)2＋2.5.①把(10，0)代入①得0＝a (10－5)2＋2.5，解得a ＝－110，y ＝－110(x －5)2＋2.5.当y ＝4－2.4＝1.6时，1.6＝－110(x －5)2＋2.5，即(x －5)2＝9，解得x 1＝8，x 2＝2.显然，x 2＝2不符合题意，舍去，所以x ＝8.OC －x ＝10－8＝2.故汽车应离开右壁至少2 m 才不至于碰到隧道顶部．11．某地区上年度电价为0.8元/(kW ·h)，年用电量为a kW ·h ，本年度计划将电价下降到0.55元/(kW ·h)至0.75元/(kW ·h)之间，而用户期望电价为0.4元/(kW ·h)．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区的电力成本价为0.3元/(kW ·h)．(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；[注：收益＝实际电量×(实际电价－成本价)](2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?解析：(1)设下调后的电价为x 元/(kW ·h)，依题意知用电量增至kx －0.4＋a (kW ·h)．电力部门的收益为：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)，0.55≤x ≤0.75.(2)依题意有⎝⎛⎭⎪⎫0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a (0.8－0.3)]×(1＋20%)且0.55≤x ≤0.75.整理得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75⇒0.60≤x ≤0.75，即当电价最低定为0.60元/(kW ·h)时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%.12．为了夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建隔热层，某栋建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)．若不建隔热层，每年能源消耗费8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，求k 的值及f (x )的表达式．解析：设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费为6x ，故f (x )＝20×C (x )＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．13．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5解析：由表可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少40桶，设在进价的基础上增加x 元之后，日均销售利润为y 元，在此情况下的日均销售量为：480－40(x －1)＝520－40x ，由x >0和520－40x >0⇒0<x <13.于是得：y ＝(520－40x )x －200＝－40x 2＋520x －200.由二次函数性质知，当x ＝6.5时y 有最大值，所以当单价定为11.5元/桶时，就可获得最大利润．14．商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯； (2)按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯数为x 个，付款数为y 元，试分别建立两种优惠办法中y 与x 之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱．解析：由优惠办法(1)可得函数关系式为y 1＝20×4＋5(x －4)＝5x ＋60(x ≥4，x ∈N )， 由优惠办法(2)可得y 2＝(5x ＋20×4)×92%＝4.6x ＋73.6(x ≥4，x ∈N )，对以上两种优惠办法作比较得 y 1－y 2＝0.4x －13.6(x ≥4，x ∈N )． 令y 1－y 2＝0，得x ＝34.可知当购买34个茶杯时，两种办法付款相同； 当4≤x ＜34时，y 1＜y 2，优惠办法(1)更省钱； 当x ＞34时，y 1＞y 2，优惠办法(2)更省钱．15．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金．如果每间客房每日增加2元，客房出租数就会减少10间，若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？解析：设客房租金每间提高x 个2元，则将有10x 间客房空出，客房租金的总收入为 y ＝(20＋2x )(300－10x )＝－20x 2＋600x －200x ＋6 000＝－20(x 2－20x ＋100－100)＋6 000＝－20(x －10)2＋8 000，由此得到，当x ＝10时，y max ＝8 000.即每间租金为20＋10×2＝40(元)时，客房租金的总收入最高，每天为8 000元．能力提升16．如图，△ABO 为正三角形，直线x ＝t 截三角形△ABO 左侧的阴影图形面积为S ，当直线自左向右匀速移动时(0≤t ≤a )，阴影图形面积S 关于t 的函数图象大致是( )解析：由已知可求出S 关于t 的函数解析式：S ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2，0≤t ≤a 2，－32t 2＋3at －34a 2，a2＜t ≤a .答案：A17．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地面上，y 轴垂直于地面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮弹射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解析：(1)在y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)中，令y ＝0得x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10. ∴炮弹的最大射程为10千米．(2)∵a >0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k >0，使ka －120(1＋k 2)a 2＝3.2成立．即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，由Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇒a ≤6，此时k ＝20a ＋（－20a ）2－4a 2（a 2＋64）2a2＝10＋36－a 2a>0(不考虑另一根)．∴当a 不超过6千米，炮弹可以击中目标．18．为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比，药物释放完毕后，y与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，求每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数解析式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？解析：(1)从图中可以看出线段的端点分别为(0，0)、(0.1，1)，∴在t ∈[0，0.1]时，表达式为y ＝10t .∵点(0.1，1)也在y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a 上， ∴a ＝0.1.∴当t ≥0.1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1.∴函数解析式y ＝⎩⎨⎧10t ，0≤t ≤110，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －110，t ＞110. (2)依题意，如果学生进入教室，则有y ＜0.25. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1＜14，即⎝ ⎛⎭⎪⎫142t －0.2＜14.又∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x是减函数， ∴2t －0.2＞1.∴t ＞0.6.因此至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．。
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巩固和运用所学知识与技能
课时小结：
建模的一般过程。
思考回答
用师生交流的形式，让学生对学习过程作小结，可以将学习过程中的感悟和经验升华、凝聚成“知识块”，进而结成知识链，完善知识结构。同时，让学生在交流中深刻体会本课时着力渗透的数学应用意识
作业：课本第88页习题2.6第5题
课后完成
巩固和运用所学知识
通过生活中的实际问题创设情境，激发和点燃学生学习的兴趣和热情
观察、点评
第二组是个人稿费纳税的计算问题：
题目： 稿费纳税的计算
国家规定，个人稿费纳税方法为:
⒈不超过800元的不纳税;
⒉超过800元而不超过4000元的，则按超过800元的部分的14%纳税;
⒊超过4000元的按全部稿费的11%纳税.
有人出了一本书，所得稿费为3800元，则这个人应纳税多少元？
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观察、点评
第三组是我国人均国民生产总值何时赶超韩国的计算问题：
我们小组在网上经调查得知：据有关部门数据统计,1998年我国人均国民生产总值为800美元，并且每年以7.5%的速度增长，到2001年底，我国人均国民生产总值已达到1000美元。而韩国，1998年，受亚洲金融危机的影响，人均国民生产总值为6321美元，现在已达到10000美元，近年平均每年以2.5%的速度增长。假设今后各国都以各自的平均速度向上增长，则2001年后多少年我国人均国民生产总值将赶上韩国？
中国移动通讯公司开设了两种通讯业务：
业务类别
月租费
话费
“全球通”
50元
0.4元/分钟
“快捷通”
0
0.6元/分钟
话费均指市内通话
话费若一个月通话x分钟，两种方式的费用分别为y1元和y2元。
（1）写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）某人估计一个月通话300分钟，应选择哪种移动通讯更合算？
（3）通话在多少分钟内用“全球通”合算，在多少分钟内用“快捷通”合算？
教学构想及目标:
知识目标：通过大量实例的分析，理解函数知识在解决实际问题中的应用。
能力目标：通过解决学生实习中遇到的问题，培养学生应用数学的意识，培养学生运用已学的函数知识解决实际问题的能力。
情感目标：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生合作交流的能力与意识．
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反馈练习（选用）：
某工厂今年1月、2月、3月生产某产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系。模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx+c（其中a、b、c为常数）。已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由。
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观察、点评
第四组是我国能源生产总量的统计预测问题：
根据统计资料，我国能源生产自1985年以来发展很快，下面是我国能源生产总量（折合亿吨标准煤）的几个统计数据：Leabharlann 年份19851990
1995
2000
产量（亿吨）
8.6
10.4
12.9
16.1
你能预测2020年我国能源生产总量吗?
问题设计
问题:
1、现在移动通讯公司开设了多种通讯业务，我们可以利用函数计算选择哪种通讯业务较为实惠
2、我们知道作家写书出版后会收到一笔可观的稿费，稿费应该纳税吗？怎样纳税？
3、3、我们想通过近年来中国经济发展速度与某发达国家作比较，通过计算，推测经过多少年后能赶上该国的经济水平
4、我国能源很紧张，我们可以通过一些数据分析，了解我国能源生产情况
教学重点：
数学建模的方法
教学难点：
如何把实际问题转化为数学问题
教学方法：
研讨式教学法（讨论→交流→归纳）
所需设备：
多媒体投影（展示多媒体课件）
教师活动
学生活动
设计意图
由四个实习小组负责人向同学们介绍自己组的实习情况。
听讲、准备交流
简短的开场白，开始本节课的活动
观察、点评
第一组是中国移动通信“全球通”与“快捷通”的收费比较问题：
《2．6函数模型及其应用（实习作业汇报）》教学案
课程分析：（本课的作用和学习本课的意义）
在苏教版课标教材必修1第二章函数安排了实习作业：运用函数知识解决实际问题。这一实习作业被安排在学完函数的基本理论和函数模型及其应用之后，目的就是进一步巩固所学知识，让学生学会从生活中发现问题，培养学生运用已学函数知识解决实际问题的能力以及运用数学语言表达实习过程和实习结果的能力。