【全国市级联考】广东省中山市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题(原卷版)

中山市高二级2017-2018学年度第一学期期末统一考试
数学试卷（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设是实数，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2. 的三个内角所对的边分别为，且满足，则（）
A. B. C. D. 或
3. 等比数列的前项和为，已知，则（）
A. B. C. D.
4. 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的处
测得水柱顶端的仰角为，沿向北偏东方向前进后到达处，在处测得水柱顶端的仰角为，则水柱的高度试（）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为，则（）
A. B. C. D.
6. 设满足约束条件，则取值范围是（）
A. B. C. D.
7. 直线与曲线相切，则的值为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是（）
A. B.
C. D.
9. 双曲线上一点到左焦点的距离为是的中点，则（）
A. B. C. 或 D. 或
10. 空间四点的位置关系式（）
A. 共线
B. 共面
C. 不共面
D. 无法确定
11. 已知点为双曲线的右支上的一点，为双曲线的左、右焦点，使
（为坐标原点）且，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
12. 设等差数列的前项和为.在同一坐标系中，及的部分图象如图所示，则（）
...
A. 当时，取得最大值
B. 当时，取得最大值
C. 当时，取得最小值
D. 当时，取得最小值
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 抛物线的准线方程为__________．
14. 已知的解集为，则不等式的解集为__________．
15. ，则的最大值为__________．
16. 定义在上的函数的导函数为，若对任意的实数，有，且为奇函数，则不等
式的解集是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知分别为三个内角的对边，且.
（1）求；
（2）若为边上的中线，，求的面积.
18. 设数列的前项积为，且.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
19. 某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间满足关系：
（其中为小于的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产件产品，有件为次品，其余为合格品）
已知每生产万件合格的仪器可以盈利万元，但每生产万件次品将亏损万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
20. 如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形，，四边形为正方形，平面平面.
（1）若点是棱的中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21. 设函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个极值点和，记过点的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
22. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点与上顶点分别为，椭圆的离心率为
，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，若直线与该椭圆交于两点，直线的斜率互为相反数.
①求证：直线的斜率为定值；
②若点在第一象限，设与的面积分别为，求的最大值.。