4-1 连续性概念

不要以为函数的间断点只是个别的几个点. 注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点
★ 狄利克雷函数
1, 当x是有理数时 , y = D( x ) = 0, 当x是无理数时 ,
在定义域R内每一点处都间断 且都是第二类间 在定义域 内每一点处都间断,且都是第二类间 内每一点处都间断 断点. 断点 ★
f (0 + 0) = +∞ ,
o x
∴ x = 1为函数的第二类间断点. 为函数的第二类间断点
1 例7 讨论函数 f ( x) = sin 在x = 0处的连续性. x 解 ∵ 在x = 0处没有定义 , 处没有定义
1 且 lim+ sin 不存在. x →0 x
y = sin 1 x
∴ x = 0为第二类间断点 . 为第二类间断点
有 sin α < α ,
∆y = sin( x + ∆x ) − sin x = 2 sin
∆x ∵ cos( x + ) ≤ 1, 2
对任意的 α , 当α ≠ 0时,
∆x ∴当∆x → 0时, ∆y → 0. 故 ∆y ≤ 2 sin < ∆x , 2 即 函数 y = sin x对任意 x ∈ ( −∞ ,+∞ )都是连续的 .
解
f ( 0 − 0 ) = 0,
f (0 + 0) = 1,
y
∵ f ( 0 − 0) ≠ f ( 0 + 0),
∴ x = 0为函数的跳跃间断点 . 为函数的跳跃间断点
o
x
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 . 处的左、
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续⇔函数 f ( x)在 x0
. 处既左连续又右连续
x + 2, x ≥ 0, 例2 讨论函数 f ( x) = 在x = 0处的 x − 2, x < 0, . 连续性
解 lim f ( x ) = lim( x + 2) = 2= f ( 0), + +
∆x → 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P51, 例4
故y = a 在∀x0 ∈ ( −∞ ,+∞ )处连续
x
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 函数在一点连续必须满足的三个条件; 函数在一点连续必须满足的三个条件 2.区间上的连续函数 区间上的连续函数; 区间上的连续函数 3.间断点的分类与判别 间断点的分类与判别; 间断点的分类与判别
第一类间断点:可去型 跳跃型 第一类间断点 可去型,跳跃型 可去型 跳跃型. 间断点 第二类间断点:无穷型 振荡型 第二类间断点 无穷型,振荡型 无穷型 振荡型.
(见下图 见下图) 见下图
第 一 类 间 断 点
y 可去型
y 跳跃型
o
x0
x
o y
x0
x
第 二 类 间 断 点
y
o
x0
x
o
x 振荡型
无穷型
都连续. 故| f ( x ) |、 f ( x ) 在 x0 都连续
2
但反之不成立. 但反之不成立
− 1, x ≥ 0 例 f ( x) = x<0 1,
在 x0 = 0不 连 续
但 | f ( x ) |、 f 2 ( x ) 在 x 0 = 0 连续
x, 当x是有理数时, f ( x) = − x, 当x是无理数时,
仅在x=0处连续 其余各点处处间断 处连续, 其余各点处处间断. 仅在 处连续
★
, 1, 当x是有理数时 f ( x) = , − 1, 当x是无理数时
内每一点处都间断, 在定义域 R内每一点处都间断 但其绝对值处 内每一点处都间断 处连续. 处连续
1 2n ( ) −1 1 − x 2n x f ( x ) = x ⋅ lim = −x 2 n = x ⋅ lim n→ ∞ 1 + x n→ ∞ 1 2 n ( ) +1 x f ( x) = 0 若 | x |= 1则
x | x |< 1 ⇒ f ( x ) = 0 | x |= 1 − x | x |> 1 f ( x )除去x = ±1外连续 当x = ±1时 f (1 − 0) = 1, f (1 + 0) = −1 f ( −1 − 0) = 1, f ( −1 + 0) = −1 x = ±1都是第一类间断点（跳 跃间断点） 都是第一类间断点（ 跃间断点）
函数f(x)在点x 0 连续等价于
∆x → 0
lim ∆y = 0 或 lim [ f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )] = 0 ,
∆x → 0
y
y = f (x)
∆y
0
∆x x0 x 0 + ∆x x
1 xsin , x ≠ 0, 例1 试证函数 f ( x) = 在x = 0 x 0, x = 0, . 处连续 1 证 ∵ lim x sin = 0, x→0 x
0
且 0 ≤ f ( x ) − f ( x0 ) ≤ f ( x ) − f ( x0 )
∴ lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
lim f 2 ( x ) = lim f ( x ) ⋅ lim f ( x ) x → x0 x → x0 x → x0
处的函数值 f ( x0 ) ,即 lim f ( x ) = f ( x0 ) . x→ x
→
0
0
连续. 则称函数 f ( x ) 在点 x 0 连续.
用ε − δ语言如何叙述 ?
记∆x = x − x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
记∆y = f ( x ) − f ( x0 ) = f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ), 称为 函数 f ( x )在x0点的增量 .
y=2 x
1
∴ lim f ( x ) = 2 ≠ f (1),
o
x
∴ x = 0为函数的可去间断点 . 为函数的可去间断点
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点. 数的定义 则可使其变为连续点
如例3中 如例 中, 令 f (1) = 2,
2 x , 0 ≤ x < 1, 则 f ( x) = x ≥ 1, 1 + x , 在x = 1处连续 .
1− x 例8 讨论 f ( x) = lim 2n ⋅ x的连续性 n→∞ 1 + x 若有间断点判别其类型， 若有间断点判别其类型，并作出图形
2n
解 由于 lim q n = 0 (| q |< 1)
n→ ∞
故 若 | x |< 1则 若 | x |> 1则
1 − x 2n =x f ( x ) = x ⋅ lim 2n n→ ∞ 1 + x
sin x , 在x = 0. 例4 f ( x ) = x
y
2 1
o
1
x
2.跳跃间断点 如果 f ( x )在点 x0处左, 右极限都 跳跃间断点
存在, 但f ( x0 − 0) ≠ f ( x0 + 0), 则称点 x0为函数 f ( x )的跳跃间断点 .
− x, x ≤ 0, 例5 讨论函数 f ( x) = 在x = 0处的连续性. 1 + x, x > 0,
( 例10 证明 y = a 在 −∞,+∞)内连续
x
证
只须证明 对∀x0 ∈ ( −∞ ,+∞ )，有 x0 x lim a = a
x → x0
∆x → 0
lim ∆y = lim [a
∆x → 0 ∆x → 0
x0 + ∆x
−a ]
x0
= lim a x0 [a ∆x − 1] = a x0 lim (a ∆x − 1) = 0
又 f ( 0 ) = 0,
lim f ( x ) = f (0), x →0
由定义知
函数 f ( x )在 x = 0处连续.
单侧连续
若函数 f ( x )在( a , x 0 ]内有定义 , 且f ( x 0 − 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处左连续; 若函数 f ( x )在[ x 0 , b )内有定义 , 且f ( x 0 + 0) = f ( x 0 ), 则称f ( x )在点x 0处右连续 .
处的左、 3.第二类间断点 如果 f ( x )在点 x0处的左、 第二类间断点 右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x )的第二类间断点 . 1 例6 讨论函数 f ( x) = x , x > 0,在x = 0处的连续性 . x, x ≤ 0, y
解 f (0 − 0) = 0,
第四章 函数的连续性
4.1 连续性概念 4.2 连续函数的性质 4.3 初等函数的连续性
4.1连续性概念 连续性概念
一、函数在一点的连续性
内有定义, 定义 1 设函数 f ( x ) 在 U ( x ) 内有定义,如果函数
0
f ( x ) 当 x → x0 时的极限存在,且等于它在点 x 时的极限存在,
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 例如, 例如 有理整函数在区间 ( −∞ ,+∞ )内是连续的 .
例9 证明函数 y = sin x在区间(−∞,+∞) . 内连续 证
任取 x ∈ ( −∞ ,+∞ ),
∆x ∆x ⋅ cos( x + ) 2 2 ∆x . 则 ∆y ≤ 2 sin 2