第五章 稳定性分析(2)
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第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
2-第五章药物制剂的稳定性
四、稳定性重点考查项目
剂型
原料药 片 剂 胶 囊
稳定性重点考察项目
性状、熔点、含量、有色物质、吸湿性以及根据品种性质选定的考察 项目。 性状、如为包衣片应同时考察片芯、含量、有关物质、崩解时限或溶 出度。 性状、内容物色泽、含量、有关物质、崩解时限或溶出度、水分，软 胶囊需要检查内容物有无沉淀。 外观色泽、含量、pH值、澄明度、有关物质。 性状、含量、软化、融变时限、有关物质。 性状、含量、均匀性、粒度、有关物质，如乳膏还应检查有分层现象。 性状、含量、均匀性、粒度、有关物质。
乳 剂 混悬剂
性状、含量、分层速度、有关物质。 性状、含量、再悬性、颗粒细度、有关物质。
酊 剂 散 剂
性状、含量、有关物质、含醇量。 性状、含量、粒度、外观均匀度、有关物质。
计 量 吸 入 容器严密性、含量、有关物质、每揿动一次的释放剂量， 气雾剂 有效部位药物沉积量。 膜 剂 颗粒剂 透皮贴片 搽 剂 性状、含量、溶化时限、有关物质。 性状、含量、粒度、有关物质、溶化性。 性状、含量、有关物质、释放度。 性状、含量、有关物质。
要求用三批供试品进行；来自一、影响因素试验
影响因素试验（强化试验stress testing）是 在比加速试验更激烈的条件下进行。原料药 要求进行此项试验，其目的是探讨药物的固 有稳定性、了解影响其稳定性的因素及可能 的降解途径与降解产物，为制剂生产工艺、 包装、贮存条件与建立有关物质分析方法提 供科学依据。
二、加速试验
加速试验(Accelerated testing)是在超常的条 件下进行。其目的是通过加速药物的化学或物 理变化，为药品审评、包装、运输及贮存提供 必要的资料。 原料药物与药物制剂均需进行此项试验，供 试品要求三批，按市售包装，在温度402C， 相对湿度755%的条件下放置六个月。 所用设备应能控制温度2C，相对湿度5%， 并能对真实温度与湿度进行监测。
李雅普诺夫稳定性分析方法-文档资料
用泰勒展开,并取到一 次项,忽略高次项,故有 x 2 s i n x x 0 2 2 x 0 x s i n x 0 c o s x 0 x
• 从而有
y a y b y 0 b y x 0 2 s i n x 0 ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
1.自治系统
• 定义地:自治系统定义为不受外部影响即没 有输入作用的一类系统.
• 一般情形的系统描述: x f(x ,t),x (t0 ) x 0 ,t [t0 , ] • 线性时变系统的描述: x A (t)x ,x (t0 ) x 0 ,t t0 , • 线性时不变的描述: xA x ,x (t0 ) x 0 ,t [t0 , )
• 则有
y(s)2x0cosx0 x(s) s2asb
G(s)
• 故线性模型G(s)描述了非线性方程在 x 0 处 x 和 y 的运动特性,而Laypunov第一方法, 则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性.
• 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
• 从而要讨论三个重要概念:
1.自治系统. 2.平衡状态. 3.受扰运动.
• 显然 by0x02sinx0代入后,得到
y a y b y ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
• 两边进行拉氏变换得(初始状态 y0 0 ),则
• 从而有
y a y b y 0 b y x 0 2 s i n x 0 ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
1.自治系统
• 定义地:自治系统定义为不受外部影响即没 有输入作用的一类系统.
• 一般情形的系统描述: x f(x ,t),x (t0 ) x 0 ,t [t0 , ] • 线性时变系统的描述: x A (t)x ,x (t0 ) x 0 ,t t0 , • 线性时不变的描述: xA x ,x (t0 ) x 0 ,t [t0 , )
• 则有
y(s)2x0cosx0 x(s) s2asb
G(s)
• 故线性模型G(s)描述了非线性方程在 x 0 处 x 和 y 的运动特性,而Laypunov第一方法, 则是根据G(s)的特征值来分析其在小扰动 范围内运动稳定性.
（2）李雅普诺夫第二方法
• 也称直接法,属于直接根据系统结构判断内 部稳定性的方法.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的 稳定性.
• 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡 状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结 构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临 域内,或者使之同时返回平衡状态.
• 从而要讨论三个重要概念:
1.自治系统. 2.平衡状态. 3.受扰运动.
• 显然 by0x02sinx0代入后,得到
y a y b y ( 2 x 0 c o s x 0 ) x
• 两边进行拉氏变换得(初始状态 y0 0 ),则
第五章_控制系统的稳定性分析
, c2
b1a5 a1b3 b1
, c3
b1a7 a1b4 b1
f1
e1d 2
e1
d1e2
这样可求得n+1行系数
14
这种过程需一直进行到第n行被算完为止，系数 的完整阵列呈现一个倒三角形。
注意：
为简化计算，可用一个正整数去除或乘某一整个 行，并不改变稳定性结论。
15
劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符 号的变化，去判别特征方程式根在S平面上的具体 分布，过程如下：
27
5.3.4劳斯-赫尔维茨稳定性判据的应用
判定控制系统的稳定性
[例5-7] 系统的特征方程为：s4 2s3 3s2 4s 5 0 ，判断系统的稳定性。
[解]：排列劳斯阵如下：
s4 1 3 5 s3 2 4 0
因阵第为一，a列i 不0全, (为i 正0，~所4)以，，且系劳统斯
不稳定。
8
0
3
j 2 , j2
S0
16
显然这个系统处于临界稳定状态。
22
5.3.2 劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布 情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保证系 统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表 明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。但能判断 是否所有特征根都落在虚轴的左半平面.若用S=Z-1带 入特征方程中,求出的根的实部即为特征根距S=-1垂线 的距离.可判断稳定程度.
s2 1 5 0 由于劳斯阵第一列有两次符号变
2
如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下偏离原 来的平衡状态，并随时间的推移而发散。
因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。
第五章李雅普诺夫稳定性分析
即 x e = f (xe , t) = 0 。
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
第五章 控制系统的稳定性分析
arctan
b a
2
arctan
j
b a
jw
1
s1 tan1 b
b
a
a Re
22
若上式b为负值，则角增量为
2
2
arctan
b a
如图：
j
jw
a
2
Re
tan1 b
s2
a b
23
若根在右半平面，其角增量如图所示，
j jw
tan1 b
3
b
a
a
Re
为
2
2
arctan
b a
24
现考虑n次多项式 Ds，且在原点有q个零点，可表示为
代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增
大 ng
2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
Xi s
X0 s
27
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为
s
Gs 1Gs
DK
MK s s Mk
s
MK s Db s
令：F
s
1
G
s
1
MK DK
s s
arg1 G( j。w) 90o
列 系统的开环传递函数为
Go
(s)
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响
解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：
32
=0时，有
A(0) K
自动控制--第五章_控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
2、李雅普诺夫（李氏）意义下的稳定性
设系统 x f (x,t) xe f (xe ,t) 0
如果对每个实数 0都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) ，0 使得满足
x0 xe (,t0)
－向量范数(表示
空间距离)
的任意初始态 x0出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 ) ，在 t 都满足：
x(t; x0,t0) xe , t t0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
则称平衡状态 xe是李雅普诺夫意义下稳定，
常简称为稳定。
注意：通常实数 δ 与ε有关，一般情况下也与t0 有关
为系统的平衡状态或平衡点。
注意：
系统能维持在某 状态不再变化
1）如果系统是线性定常的，即： x Ax ，则当
A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态即
原点；
Axe 0 xe 0
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。
Axe 0 无穷多个 xe
2）对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
一、几个基本概念
1、自治系统：不受外部影响即没有输入作用的 一类动态系统。
其状态方程描述为： x f (x,t) x(t0 ) x0
其解表示为： x(t; x0 , t0 )
只需考虑自治系统（因为 稳定性是系统在自由运动
下的特性）：
表示始于初态x0的一个运 动或一条状态轨迹
些状态对应于系统的常值解（对所有t，总存在
x xe ）
如： x1 x1
x2 x1 x2 x23
x1 0
x2 0
第五章控制系统的稳定性分析
特征根的三种情况及所对应时域解： s a e at; s j sin t ,cos t ;
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
s a j e at sin t , e at cos t
s平面上实极点及稳定性
j j
j
0 c(t)
0 c(t)
0 c(t)
其中，ai>0 (i=0,1,2,…,n)，即满足系统稳定的 必要条件。 劳斯稳定判据的判别过程如下：
列出劳斯阵列 sn sn-1 sn-2 sn-3 sn-4 …… s2 s1 s0 a0 a1 b1 c1 d1 a2 a3 b2 c2 d2 a4 a5 b3 c3 d3 a6 a7 b4 c4 d4 … … … … …
k 1 2 c 2 t k 1 sin( t ), arctg b c bk k k k k k r
当- < 0时，该分量为指数衰减的振荡过程。 当- > 0时，该分量为指数发散的振荡过程。 当- = 0时，该分量为多项式发散的振荡过程。
系统稳定的充要条件 [深入理解]
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件 s平面上复极点及稳定性
j j j
0
0
0
ห้องสมุดไป่ตู้
y(t)
y(t)
y(t)
0
t
0
t
0
t
系统稳定的充要条件
S平面虚轴上重极点及稳定性
j
j
0
0
y(t)
y(t)
0
t
0
t
综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种 形式，线性系统稳定的充要条件为：闭环传递 函数所有特征根均为负数或具有负的实数部分； 即：所有特征根均在复数平面的左半部分。
第五章稳定性理论
稳定性理论5.1 外部稳定性和内部稳定性运动稳定性分为基于I/O 描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。
内容包括外部稳定性内部稳定性内部稳定性和外部稳定性关系（1）外部稳定性考虑以I/O 描述的线性因果系统，假定初始条件为零（保证系统输入输出描述的唯一性），外部稳定性定义如下：（ｔ时刻输出仅取决于ｔ时刻及之前的输入） 定义5.1 称一个因果系统为外部稳定，如果对任意有界输入u (t )，对应输出y (t )均有界，即102(),[,]()u t t t y t ββ∀≤<∞∈∞⇒≤<∞外部稳定也称为BIBO 稳定。
（有界输入－有界输出）β为有界常数。
１范数：向量各元素绝对值之和；２范数：向量各元素平方之和的１／２次方。
性质１： 非负性；齐次性；三角不等式。
定理5.1 对零初始条件线性时变系统，t 0时刻BIBO 稳定的充分必要条件是（设Ｈ（ｔ，τ）为系统脉冲响应矩阵，ｈｉｊ（ｔ，τ）一个元） 01212(,),,,,;,,,tij t h t d i q j pττβ≤<∞==∫L L 证明：先证SISO 情形。
充分性，已知脉冲响应函数绝对可积，证明系统BIBO 稳定。
由基于脉冲响应的输出关系式，有 ττβττττττd u d u t h d u t h t y tt t t t t ∫∫∫≤⋅≤=000)()(),()(),()(因此，对任意有界输入u (t )∞<≤1β)(t u∞<≤≤⇒∫10ββττβd u t y tt )()( 即系统BIBO 稳定。
再证必要性，已知系统BIBO 稳定，反设有t 1，使得∞=∫ττd t h t t 101),(构造有界输入（分段函数）⎪⎩⎪⎨⎧<−=>+==010*******),(,),(,),(,),(sgn )(ττττt h t h t h t h t u∞===⇒∫∫τττττd t h d u t h t y tt t t 1010111),()(),()(这与系统BIBO 稳定矛盾，必要性得证。
第五章稳定性分析
第五章稳定性分析第五章：控制系统的稳定性分析3.3.5 控制系统的稳定性分析稳定性的概念线性系统稳定的充要条件线性系统稳定的必要条件代数判据（⼀般情况，特殊情况，劳斯，赫尔维茨）劳斯判据的应⽤（确定稳定域判断稳定性，求系统的极点，设计系统中的参数3.3.5.1 稳定性的概念分析⼩球平衡点的稳定性定义：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称稳定。
反之，若在初始扰动的影响下，系统的过渡过程随时间的推移⽽发散，则称该系统不稳定。
3.3.5.2线性系统稳定性的充要条件设系统的微分⽅程模型为：分析系统的稳定性是分析在扰动的作⽤下，当扰动消失后系统是否能回到原来的平衡状态的性能，亦系统在作⽤下的性能，亦与系统的输⼊信号⽆关，只与系统的内部结构有关。
对上述微分⽅程描述的系统亦只与等式的左端有关，⽽与右端⽆关，亦：系统的稳定性是由下列齐次⽅程所决定：其稳定性可转化为上述齐次⽅程的解c(t)若则系统稳定，则系统不稳定。
分析齐次⽅程的解的特征。
由微分⽅程解的知识，上述⽅程对应的特征多项式为：设该⽅程有k个实根（i＝1，2，…k）r对复根（i＝1，2，…r）k＋2r＝n 且各根互异（具有相同的根时分析⽅法相同，推导稍繁琐）则上述齐次⽅程的⼀般解为：其中为常数，由式中的决定，分析可见：只有当时，否则。
注：只能是⼩于零，等于或⼤于均不⾏。
等于零的情况为临界稳定，属不稳定。
综:线性系统稳定的充要条件（iff）是：其特征⽅程式的所有根均为负实数或具有负的实部。
亦：特征⽅程的根均在根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
亦：系统的极点位于根平⾯（复平⾯、s平⾯）的左半部。
从上⾯的充要条件可以看出：系统稳定性的判断只需计算上系统的极点，看其在s平⾯上的位置，勿需去计算齐次⽅程的解（当系统复杂时的计算可能很繁），勿需去计算系统的脉冲响应。
3.3.5.3 线性系统稳定的必要条件设系统特征⽅程式中所有系数均为实数，并设（若，对特征⽅程两端乘（－1）），可以证明上述特征⽅程中所有系数均⼤于零（即）是该特征⽅程所有根在s平⾯的左半平⾯的必要条件。
控制工程-系统的相对稳定性
半次正 /负穿越：沿频率ω增加的方向，开环Nyquist轨迹自点(-1, j0） 以左的负实轴开始向下称为半次正穿越，反之为半次负穿越。
南华大学
第五章 系统的稳定性分析
GH 180
正半次穿越
负半次穿越
对应于Bode图上，在开环对数幅频特性为正值的频率范围内，沿ω 增加的方向，对数相频特性曲线自下而上穿过－180度线为正穿越；反 之，为负穿越。
20 lg GH
c1
c2
GH
0
180
c3
Bode判据的优点： Bode图可以用作渐近线的方法作出，故比较简便； Bode图上的渐近线，可以粗略的判别系统的稳定性； Bode图上可以明确 哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其中
参数进行合理选择或校正；
在调整开环增益K时，只需将Bode图中的对数幅频特性上下平移即
可，很容易看出保证稳定性所需的增益值。
南华大学
第五章 系统的稳定性分析
四、 系统的相对稳定性
相位裕度γ： 180 (c )
相位裕度：在ω为剪切频率ωc时，相频特性GH 距-180º线的相 位差值。
Im [GH]
－1
1 Kg
(ωc )
1
Re
GK ( j)
GK ( j)
Im [GH]
1
－1 (c )
实例分析 2
设系统的GK(s)为
G(s)H(s)
K
s(s 1)(s 5)
试分别求取K＝10及K＝100时的相位裕度和幅值裕度。
解：此开环系统为最小相位系统，P＝0 ：
因 1,
20lg K 20lg 2 2.84dB
在ωc处幅频特性斜率为-40dB/dec 故有：
第5章控制系统的稳定性分析
设系统闭环传递函数为
Y (s) X (s)
bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
则系统的特征方程为
b1s b0 a1s a0
ansn an-1sn-1 a1s a0 0
（5-5）
例 某单位反馈系统的开环传递函数 G(s) k
则系统的闭环传递函数
s(Ts 1)
（5-7）
a0
an
s1s2 s3 s4
sn2 sn1sn
从式（5-7）可知，要使全部特征根s1， s2，···， sn-1，sn均具有负实部，就必须满足以下两个条件：
（1）特征方程的各项系数ai(i=0，1，2， ···，n) 都不等于零。因为若有一个系数为零，则必出 现实部为零的特征根或实部有正有负的特征根， 才能满足式（5-7） 。此时系统为临界稳定（根 在虚轴上）或不稳定（根的实部为正）。
均不为零。
2. 特征方程的各项系数ai符号一致。
以上只是判定系统稳定的必要条件，而非充要条件， 因为此时还不能排除有不稳定根的存在。
罗斯稳定判据可以用来校验特征方程是否满足系 统稳定的充分条件。罗斯判据的证明比较麻烦， 这里只介绍它的应用。
特征方程系数的罗斯阵列如下：
sn an an-2 an-4 an-6
图示小球处在a点时，是稳定平衡点，因为作用 于小球上的有限干扰力消失后，小球总能回到a 点，而小球处于b、c点时为不稳定平衡点， 因 为只要有干扰力作用于小球，小球便不再回到 点b或c点。
c
b
a 小球的稳定性
上述两个实例说明系统的稳定性反映在干扰消 失后的过渡过程的性质上。这样，在干扰消失 的时刻，系统与平衡状态的偏差可以看作是系 统的初始偏差。
第五章 控制系统的稳定性分析(含习题答案)
f1 g1
劳斯阵列
注意：如果劳斯阵列第一列元素的符号不全 相同，则该列元素符号变化的次数，就是特 征方程所含实部为正的根的数目。
劳斯判据使用说明： （ 1）用一个正数去乘或除劳斯阵的某一整行，不会改变稳定性的结论。
4 3 2 例5-1 设控制系统的特征方程式为：D s s 8s 17 s 16s 5 0
Bl e
l 1
sin l t l Dr t r e r t sin r t r
r 0
n4 1
n2重实根
s pk
n3对不同的共轭复数根 s l jl
结论：控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程式的根全部具 有负实部。
5. 2 系统稳定的充要条件
s3, 4 2 j
系统特征方程具有两对共轭虚根，系统处于临界稳定。（不稳定，对应的 暂态分量为等幅振荡。)
劳斯判据使用说明：
例 5-3 ： 已知单位反馈控制系统的开环传递函数为：G s 试应用劳斯判据判断预使系统稳定的K的取值范围。 解：根据题意，可得系统的闭环传递函数为：
K s s 2 s 1 s 2
大范围稳定：系统稳定与否，与初始偏差的大小无关。 小偏差稳定：初始偏差不超过一定范围的情况下，系统是稳定的。
5. 2 系统稳定的充要条件
一、系统稳定条件分析
系统扰动输入到输出之间的传递函数：
Xo s G2 s b0 s m b1s m 1 bm 1s bm M s N s 1 G1 s G2 s H s a0 s n a1s n 1 an 1s an D s
C s D s
闭环传递函数的特征方程：D(s)=0，特征方程的根即系统传递函数的极点。
_高中生物第五章生态系统及其稳定性第2节生态系统的能量流动五作业含解析新人教版必修
第2节 生态系统的能量流动（五）一、选择题1．下列有关生态系统能量流动的叙述中，不正确的是( )A ．能量流动是单向的、不可逆转的B ．食物链越短，可供最高营养级消费的能量越多C ．初级消费者越多，次级消费者获得的能量越少D ．营养级越多，散失的能量越多[答案] C[解析] 本题考查能量流动的特点：单向流动、逐级递减。
由于相邻两个营养级之间的传递效率为10%～20%，无论初级消费者多少，次级消费者获得的能量都是初级消费者的10%～20%。
2．下图是能量流动的图解，对此图解的理解不正确的是( )A ．图中方框的大小可表示该营养级生物所具有的能量多少B ．该图中的C 所具有的能量为B 的10%～20%C ．该图中的A 表示流经该生态系统的总能量D ．图中所示四个营养级能量的关系为A≥B＋C ＋D[答案] D[解析] ⎦⎥⎥⎥⎥⎤光能进入生态系统的起点是生产者，所以确定A 为生产者，则B 、C 、D 为消费者A 所固定的能量除流入下一营养级外，还有呼吸作用消耗、流向分解者→A 所固定的能量表示流经该生态系统的总能量，A>B ＋C ＋D →C 项正确，D 项错误 3.如图表示某草原生态系统中能量流动图解，①～④表示相关过程中的能量流动量。
下列有关叙述正确的是( )A．①是流入该生态系统的总能量B．分解者获得的能量最少C．图中②/①的比值代表“草→兔”的能量传递效率D．③和④分别属于草和兔同化量的一部分[答案] D[解析]①是流入消费者的能量而非流入生态系统的总能量。
能量沿食物链流动时，只有10%～20%流向下一营养级，其余通过呼吸作用以热能形式散失，其中通过分解者的呼吸散失的较多。
草→兔能量传递效率可用兔同化量比草同化量表示。
4．在植物→昆虫→鸟的营养结构中，若能量传递效率为10%，以鸟类同化的总能量中从昆虫获得的总能量为x轴，植物供能总量为y轴，下图中绘制的相关曲线是( )[答案] D[解析]设鸟获得的总能量为常数a，则鸟从昆虫获得能量为x，从植物直接获得能量为a－x，可列式为x×10×10＋(a－x)×10＝y，即y＝10a＋90x。
第5章 系统的稳定性2(机械控制原理与技术教案)
a1 xo(t )
a0 xo(t )
xi(t )
自由响应
强迫响应
n
n
xo(t ) A1ie sit A2ie sit B(t )
i 1
i 1
系统的初态引 输入引起的 起的自由响应 自由响应
si:系统的特征根
2. 系统稳定条件
1) 当系统所有的特征根si（i=1，2，…，n)均具有负实部（位 于[s]平面的左半平面）
由系统稳定的充要条件，有
s3
1
7500 0
s2
34.6
7500K 0
s1 34.6 7500 7500K
0
34.6
s0
7500K
0
(1) 7500K>0，亦即K>0。显然，这就是由必要条件所得的结果。
(2)
34.6 7500 7500K 0 34.6
，亦即K<34.6。
故能使系统稳定的参数K的取值范围为0<K<34.6。
第五章 系统的稳定性
第五章 系统的稳定性
——系统能正常工作的首要条件
系统的稳定性与稳定条件 Routh（劳斯）稳定判据 Nyquist 稳定判据 Bode稳定判据 系统的相对稳定性
一、系统的稳定性与稳定条件
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
0 常量
当n m 当n m
② LF包围原点的圈数 = LGH包围(－1，j0)点的圈数 N=Z-P
三、NYQUIST 稳定判据
5. 判据
当由－到+时，若[GH]平面上的开环频率 特性G(j)H(j)逆时针方向包围（－1，j0）点P圈， 则闭环系统稳定。（P为G(s)H(s)在[s]平面的右半平 面的极点数）
控制工程基础第5章稳定性分析
c3
b1a7 a1b4 b1
d1
c1b2
b1c2 c1
这种过程一直进行到第n行被算完为止。 系数的完整阵列呈现为三角形。在展开的 阵列中，为了简化其后的数值计算，可用 一个正整数去除或乘某一整个行。这时， 并不改变稳定性结论。劳斯判据还说明： 实部为正的特征根数，等于劳斯阵列中第 一列的系数符号改变的次数。
显然，对于K＝10的2频率特性，满足上式，系
统稳定。对于k=40的频率特性，当0＜ω<∞
变化时，
argG j 3
所以，这时系统不稳定2 。
0
乃奎斯特稳定性判据的另一表述
令ω从-∞增长到0，相应得出的乃氏图是与 ω从0增长到十∞得出的乃氏图以实轴对称的 ，例如图所示的乃氏图。
当开环特征式具有零根时，对应的乃氏曲线 不封闭。为使其封闭，实用中可将其处理成 左根，如下图所示，其中ε为非常小的正数 ，φ从0°90°。
）并命ω从0连续增大到∞时，复数D（s）的
角连续增大
n
i 1
args
si
n
2
5.4.2 乃奎斯特稳定性判据
设反馈控制系统前向通道和反馈通道传递函
数分别为 G1s
开环传递函数为
B1 A1
s s
,
H s
B2 s, A2 s
则其
G1sH s
B1 s A1 s
B2 A2
s s
NK DK
s s
X o s X i s
argDK
j
n
2
: 0
这时如果闭环系统是稳定的，即的所有零点
也在左半平面，根据米哈伊洛夫定理推论，
argDB
j
n
2
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
2、平衡状态：状态空间中满足 xe f (xe,t) 0
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
岩体稳定性分析计算
V
1 2
•
w
Z
w
• Zw
1 2
w
Z
2 w
滑面AE长： L H Z
sin
因水压而在滑动面上产生浮力U：
1
1
HZ
U 2 w Z w • L 2 w Z w • sin
滑体ADCE面积
S (DC AG) 1
2
2
AG • (H Z )
滑体ADCE重量W
则
Ks
f 2 •[V2 cos R sin( ) U 2 ] c2 L2 R cos( ) V2 sin
由上式可求解出推力R：
R K sV2 sin f 2 (V2 cos U 2 ) c2 L2 K s cos( ) f 2 sin( )
第五章 岩体稳定性分析
联立方程求解，可分别求出抗滑稳定系数Ks和推力R
若c、U、V等于零，则
W cos • tan tan
Ks T
W sin
tan
即，Ks只与软弱结构面倾角β和岩石内摩擦角φ有关， 而与坡高无关
第五章 岩体稳定性分析
作业一
已知水平推力H=25×104N，V=50×104N，V2=15×104N， 滑面AB与BC的面积分别为L1=50m2，L2=23m2。内摩擦系数 f1=0.4，f2=0.6；粘聚力c1=c2=0。
Ks
f0 (V cos H sin ) H cos V sin
第五章 岩体稳定性分析
当单斜滑移面倾向上游时，根据抗滑体极限平衡原理
抗滑力τ： f0(V cos U H sin ) cL
滑动力T：T H cos V sin
因此，稳定系数Ks
Ks
f0 (V cos U H sin ) cL H cos V sin
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复变函数的映射轨迹
设复变量s = σ + jω，复变函数F(s) = u + jv
j
[s ]
jv [ F ( s )]
u
如：F ( s) 2s 1
F ( s) u jv 2s 1 2( j ) 1
u 2 1 v 2
j jv
j2
[ F ( s )]
Nyquist围线在[Gk(s)]平面上的映射曲线：
j
R
(1) (2)
① s = jω在[Gk(s)]平面上的映射曲线:
Gk ( s) Gk ( j )
结论： s = jω在[Gk(s)]平面上 的映射曲线为系统开环频率特 性曲线（- ∞ <ω< ∞ ）。
R
(3)
R
② 半径为无穷大的右半圆在[Gk(s)]平面上的映射曲线:
F (s )
0
LF
Re
结论：s平面上的封闭曲线包围F(s)的1个零点，则当s 沿该封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹 将顺时针包围[F(s)]平面的原点1次。
结论推广： s平面上的封闭曲线若包围F(s)的1个极点，则当s沿 该封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹将 逆时针包围[F(s)]平面的原点1次。
j
此时，s的轨迹映射到[Gk(s)]平面上的轨迹为：
K (Ti s 1) GK ( s ) |s lime j
0
m
i 1
s
v
(T s 1)
j j 1
n v
|s lime j lim
0
K
0
v
e
jv
映射曲线的形状： 半径为无穷大的圆
LF称为Ls 的映射轨迹。
柯西幅角原理
设有一复变函数为： ( s ) F
K ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
当s在[s]平面上不通过F(s)奇点的封闭曲线Ls 上运动 一周时，F(s)也必将在[F(s)]平面上沿映射曲线LF 运动：
s沿无穷小的右半圆逆时针移动时映射曲线的相位变化：
0
-
2
G( j 0 ) e
jv / 2
0
0
G( j 0) e
0 jv / 2
0
2
G( j 0 ) e
结论2：当s沿无穷小的右半圆逆时针移动时（ω由0→0 →0+ 变化），其映射曲线G(jω)的相位从vπ / 2 变 到-vπ / 2 。
解决办法： 以[s]平面的原点为圆心作一半径为无穷小的右 半圆，挖去原点后的虚轴和半径为无穷大的右半圆 重新构成奈奎斯特围线。
开环含有积分环节时新的Nyquist围线
j
1）正虚轴：
s j (0 )
2）半径为无穷大的右半圆
(1) ( 4)
( 2)
s Re
j
( R , ： ） 2 2
j
Im
[s ]
[ F ( s )]
Ls
s
0
LF
Re
F(s)的相位为：
F ( s) ( s zi ) ( s p j )
i 1 j 1
m
n
当Ls内只包围了F(s)的一个零点zi 时，s沿Ls 顺时针 方向移动一周： j
[s ]
向量(s-zi)的相位变化 为-2π
解决办法：
[s]平面上的Nyquist 围线
在[s]平面上选择一条能顺时针包围全部右半s平面和 虚轴的封闭曲线Ls如下:
j
R
(1) (2)
1）正虚轴s = jω，ω由0变化 到正无穷； 2）半径为无穷大的右半圆
R
s Re
j
( R )
(3)
R
3）负虚轴s = jω，ω 由负无 穷变化到0
s
zi s zi
Ls
j
[s ]
向量(s-zj)的相位变化 为0
s
Ls
s zj
F ( s) ( s zi ) ( s p j )
i 1 j 1
m
n
Im
[ F ( s )]
F ( s) 2
F(s)沿LF 绕原点顺时针旋 转一周，或说顺时针包围 原点一次
0
0
K 2
K
Re
第四步：求Nyquist曲线对(-1，j0)点包围的圈数N ：
N=0
第五步：判断系统的稳定性：
Z=N+P=0
——系统稳定
例2：系统的开环传递函数如下，试用奈奎斯特稳定 判据判别其稳定性。
GK ( s )
52 ( s 2)( s 2s 5)
2
解：第一步：求系统开环传递函数P ： 开环极点： s1 2
举例
例1：考虑下图所示的闭环系统，其中T和K均为正实 数，试用奈奎斯特稳定判据判别其稳定性。
R (s )
+ -
K Ts 1
C (s )
解：第一步：求系统开环传递函数：
GK ( s )
K Ts 1
第二步：求开环右极点数P ：
P=0
第三步：绘制开环频率特性的Nyquist图：
Im
G k ( j )平面
s平面上的封闭曲线包围F(s)的Z个零点，则当s沿该 封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹将顺 时针包围[F(s)]平面的原点Z次。
s平面上的封闭曲线包围F(s)的P个极点，则当s沿该 封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹将顺 时针包围[F(s)]平面的原点P次。
柯西幅角原理（柯西定理）：
零点
极点
相同
相同
可通过研究G(s)H(s)来研究F(s)：
F ( s) 1 G( s) H ( s)
G( s) H ( s) F ( s) 1
实部减1，虚轴右移 一个单位
[ F ( s )]
Im
[Gk ( s)]
F (s )
0 1
Gk (s)
Re
结论： [F(s)]平面的原点在[Gk(s)]平面中变成了(-1, j0) 点。
控制工程基础
主讲教师：韩锟
Tel：82655345（O） Email:hkun@
第五章
系统的稳定性
系 统 的 稳 定 性
一、稳定的概念和条件 二、劳斯稳定判据 三、Nyquist稳定判据 四、系统的相对稳定性
重点
重点、难点 重点
三、Nyquist稳定判据
1.柯西幅角原理
0
(3)
3）负虚轴：
s j ( 0 )
4）半径为无穷小的右半圆
s e ( 0, ：
j
2
2
）
新Nyquist围线在GK(s)平面的映射曲线
半径为无穷小的右半圆在GK(s)平面的映射曲线：
当s沿无穷小的右半圆逆时针移动时，有
s lim e
0
求P ：
P = F(s) 位于右半[s] 平面的极点数
F(s)的极点就是 Gk(s)的极点
P = 系统开环传递函数位于右半[s]平面的极点数。
Nyquist稳定判据：
N = 系统开环频率特 性的Nyquist曲线对 [Gk(s)]平面上的 (-1, j0)点顺时针包围的 圈数。 P = 系统开环传递函 数位于右半[s]平面 的极点数。
利用系统的开环频率 特性来判系统闭环的 稳定性 系统稳定的充要条件是： Z=N+P=0 Z：系统闭环右极点数； N：开环频率特性的Nyquist 轨迹顺时针包围(-1, j0)点 的圈数； P：系统开环右极点数。
说明：开环频率特性曲线穿过（-1，j0）点，此时闭 环系统临界稳定，闭环系统有极点在虚轴上。
s平面上的封闭曲线若包围F(s)的Z个零点和P个极 点，则当s沿该封闭曲线顺时针移动一周时，相应的 F(s)的轨迹将顺时针包围[F(s)]平面的原点N次，其中，
N=Z-P
极点 零点
2.Nyquist稳定判据
映射函数
闭环特征方程： 1 G ( s) H ( s ) 0 映射函数：
F ( s) 1 G( s) H ( s)
s2 , 3
24 j 2
P=0
1 2 j
第二步：绘制系统的开环Nyquist图 ：
GK ( j ) 5.2
1
0.5s 1 s 2 s 5
2
5
A( ) 1 0.25
2
5.2 (1
5
) 0.16
2
2
( ) arctan 0.25 arctan
Nyquist稳定判据
基本思想：
系统稳定的充要条件是闭环极点全部位于[s]平面的左半平面 GB(s)的极点就是F(s)的零点 充要条件是F(s)在[s]平面的右半平面（包括虚轴）无零点
在[s]平面上找一条包含整个右半[s]平面（包括虚轴） 的封闭曲线
它必包含F(s)在右半[s]平面的 Z 个零点和 P 个极点 柯西幅角原理 该[s]平面的封闭曲线在[F(s)]平面的映射曲线 顺时针包围原点的圈数 N = Z - P [F(s)]平面的原点就是[Gk(s)] 平面的(-1, j0)点 该[s]平面的封闭曲线在[Gk(s)]平面的映射曲线顺时针包 围(-1，j0)点的圈数 N = Z - P
设复变量s = σ + jω，复变函数F(s) = u + jv
j
[s ]
jv [ F ( s )]
u
如：F ( s) 2s 1
F ( s) u jv 2s 1 2( j ) 1
u 2 1 v 2
j jv
j2
[ F ( s )]
Nyquist围线在[Gk(s)]平面上的映射曲线：
j
R
(1) (2)
① s = jω在[Gk(s)]平面上的映射曲线:
Gk ( s) Gk ( j )
结论： s = jω在[Gk(s)]平面上 的映射曲线为系统开环频率特 性曲线（- ∞ <ω< ∞ ）。
R
(3)
R
② 半径为无穷大的右半圆在[Gk(s)]平面上的映射曲线:
F (s )
0
LF
Re
结论：s平面上的封闭曲线包围F(s)的1个零点，则当s 沿该封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹 将顺时针包围[F(s)]平面的原点1次。
结论推广： s平面上的封闭曲线若包围F(s)的1个极点，则当s沿 该封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹将 逆时针包围[F(s)]平面的原点1次。
j
此时，s的轨迹映射到[Gk(s)]平面上的轨迹为：
K (Ti s 1) GK ( s ) |s lime j
0
m
i 1
s
v
(T s 1)
j j 1
n v
|s lime j lim
0
K
0
v
e
jv
映射曲线的形状： 半径为无穷大的圆
LF称为Ls 的映射轨迹。
柯西幅角原理
设有一复变函数为： ( s ) F
K ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
当s在[s]平面上不通过F(s)奇点的封闭曲线Ls 上运动 一周时，F(s)也必将在[F(s)]平面上沿映射曲线LF 运动：
s沿无穷小的右半圆逆时针移动时映射曲线的相位变化：
0
-
2
G( j 0 ) e
jv / 2
0
0
G( j 0) e
0 jv / 2
0
2
G( j 0 ) e
结论2：当s沿无穷小的右半圆逆时针移动时（ω由0→0 →0+ 变化），其映射曲线G(jω)的相位从vπ / 2 变 到-vπ / 2 。
解决办法： 以[s]平面的原点为圆心作一半径为无穷小的右 半圆，挖去原点后的虚轴和半径为无穷大的右半圆 重新构成奈奎斯特围线。
开环含有积分环节时新的Nyquist围线
j
1）正虚轴：
s j (0 )
2）半径为无穷大的右半圆
(1) ( 4)
( 2)
s Re
j
( R , ： ） 2 2
j
Im
[s ]
[ F ( s )]
Ls
s
0
LF
Re
F(s)的相位为：
F ( s) ( s zi ) ( s p j )
i 1 j 1
m
n
当Ls内只包围了F(s)的一个零点zi 时，s沿Ls 顺时针 方向移动一周： j
[s ]
向量(s-zi)的相位变化 为-2π
解决办法：
[s]平面上的Nyquist 围线
在[s]平面上选择一条能顺时针包围全部右半s平面和 虚轴的封闭曲线Ls如下:
j
R
(1) (2)
1）正虚轴s = jω，ω由0变化 到正无穷； 2）半径为无穷大的右半圆
R
s Re
j
( R )
(3)
R
3）负虚轴s = jω，ω 由负无 穷变化到0
s
zi s zi
Ls
j
[s ]
向量(s-zj)的相位变化 为0
s
Ls
s zj
F ( s) ( s zi ) ( s p j )
i 1 j 1
m
n
Im
[ F ( s )]
F ( s) 2
F(s)沿LF 绕原点顺时针旋 转一周，或说顺时针包围 原点一次
0
0
K 2
K
Re
第四步：求Nyquist曲线对(-1，j0)点包围的圈数N ：
N=0
第五步：判断系统的稳定性：
Z=N+P=0
——系统稳定
例2：系统的开环传递函数如下，试用奈奎斯特稳定 判据判别其稳定性。
GK ( s )
52 ( s 2)( s 2s 5)
2
解：第一步：求系统开环传递函数P ： 开环极点： s1 2
举例
例1：考虑下图所示的闭环系统，其中T和K均为正实 数，试用奈奎斯特稳定判据判别其稳定性。
R (s )
+ -
K Ts 1
C (s )
解：第一步：求系统开环传递函数：
GK ( s )
K Ts 1
第二步：求开环右极点数P ：
P=0
第三步：绘制开环频率特性的Nyquist图：
Im
G k ( j )平面
s平面上的封闭曲线包围F(s)的Z个零点，则当s沿该 封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹将顺 时针包围[F(s)]平面的原点Z次。
s平面上的封闭曲线包围F(s)的P个极点，则当s沿该 封闭曲线顺时针移动一周时，相应的F(s)的轨迹将顺 时针包围[F(s)]平面的原点P次。
柯西幅角原理（柯西定理）：
零点
极点
相同
相同
可通过研究G(s)H(s)来研究F(s)：
F ( s) 1 G( s) H ( s)
G( s) H ( s) F ( s) 1
实部减1，虚轴右移 一个单位
[ F ( s )]
Im
[Gk ( s)]
F (s )
0 1
Gk (s)
Re
结论： [F(s)]平面的原点在[Gk(s)]平面中变成了(-1, j0) 点。
控制工程基础
主讲教师：韩锟
Tel：82655345（O） Email:hkun@
第五章
系统的稳定性
系 统 的 稳 定 性
一、稳定的概念和条件 二、劳斯稳定判据 三、Nyquist稳定判据 四、系统的相对稳定性
重点
重点、难点 重点
三、Nyquist稳定判据
1.柯西幅角原理
0
(3)
3）负虚轴：
s j ( 0 )
4）半径为无穷小的右半圆
s e ( 0, ：
j
2
2
）
新Nyquist围线在GK(s)平面的映射曲线
半径为无穷小的右半圆在GK(s)平面的映射曲线：
当s沿无穷小的右半圆逆时针移动时，有
s lim e
0
求P ：
P = F(s) 位于右半[s] 平面的极点数
F(s)的极点就是 Gk(s)的极点
P = 系统开环传递函数位于右半[s]平面的极点数。
Nyquist稳定判据：
N = 系统开环频率特 性的Nyquist曲线对 [Gk(s)]平面上的 (-1, j0)点顺时针包围的 圈数。 P = 系统开环传递函 数位于右半[s]平面 的极点数。
利用系统的开环频率 特性来判系统闭环的 稳定性 系统稳定的充要条件是： Z=N+P=0 Z：系统闭环右极点数； N：开环频率特性的Nyquist 轨迹顺时针包围(-1, j0)点 的圈数； P：系统开环右极点数。
说明：开环频率特性曲线穿过（-1，j0）点，此时闭 环系统临界稳定，闭环系统有极点在虚轴上。
s平面上的封闭曲线若包围F(s)的Z个零点和P个极 点，则当s沿该封闭曲线顺时针移动一周时，相应的 F(s)的轨迹将顺时针包围[F(s)]平面的原点N次，其中，
N=Z-P
极点 零点
2.Nyquist稳定判据
映射函数
闭环特征方程： 1 G ( s) H ( s ) 0 映射函数：
F ( s) 1 G( s) H ( s)
s2 , 3
24 j 2
P=0
1 2 j
第二步：绘制系统的开环Nyquist图 ：
GK ( j ) 5.2
1
0.5s 1 s 2 s 5
2
5
A( ) 1 0.25
2
5.2 (1
5
) 0.16
2
2
( ) arctan 0.25 arctan
Nyquist稳定判据
基本思想：
系统稳定的充要条件是闭环极点全部位于[s]平面的左半平面 GB(s)的极点就是F(s)的零点 充要条件是F(s)在[s]平面的右半平面（包括虚轴）无零点
在[s]平面上找一条包含整个右半[s]平面（包括虚轴） 的封闭曲线
它必包含F(s)在右半[s]平面的 Z 个零点和 P 个极点 柯西幅角原理 该[s]平面的封闭曲线在[F(s)]平面的映射曲线 顺时针包围原点的圈数 N = Z - P [F(s)]平面的原点就是[Gk(s)] 平面的(-1, j0)点 该[s]平面的封闭曲线在[Gk(s)]平面的映射曲线顺时针包 围(-1，j0)点的圈数 N = Z - P