No.57 全国高中数学联合竞赛模拟试题
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1.已知函数f(x)是R 上的奇函数，g(x)是R 上的偶函数，若129)()(2++=-x x x g x f ，则=+)()(x g x f ( )A ．1292-+-x x B ．1292-+x xC ．1292+--x xD ． 1292+-x x2.有四个函数：① y=sinx+cosx ② y= sinx-cosx ③ y=x x cos sin ⋅ ④ xxy cos sin = 其中在)2,0(π上为单调增函数的是 ( )A ．①B ．②C ．①和③D ．②和④3.方程x xx x x x ππ)1(12122-+=-+-的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x 为实数)，则A 中所有元素的平方和等于 ( ) A ．0 B ．1C ．2D ．44.已知点P(x,y)满足)(4)sin 4()cos 4(22R y x ∈=-+-θθθ，则点P(x,y)所在区域的面积为 A ．36π B ．32π C ．20π D ．16π ( )5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子(每次要把10个球装完)，要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为 ( ) A ．9 B ．12 C ．15 D ．186.已知数列{n a }为等差数列，且S 5=28，S 10=36，则S 15等于 ( ) A ．80B ．40C ．24D ．-487.已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是 ( )A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-8.过正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1的截面面积为S ，S max 和S min 分别为S 的最大值和最小值，则minmaxS S 的值为 ( ) A ．23 B ．26 C ．332 D ．362 9.设7log ,1sin ,82.035.0===z y x ，则x 、y 、z 的大小关系为 ( )A ．x<y<zB ．y<z<xC ．z<x<yD ． z<y<x10.如果一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P= ( )A ．181 B ．91 C ．61 D ．1813 二、填空题（本大题共4个小题，每小题8分，共32分）11.设P 是椭圆191622=+y x 上异于长轴端点的任意一点，F 1、F 2分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅221||||||OP PF PF ___________.12.已知△ABC 中，==,，试用、的向量运算式子表示△ABC 的面积，即S △ABC = ____________________.13.从3名男生和n 名女生中，任选3人参加比赛，已知3人中至少有1名女生的概率为3534，则n=__________.14.有10名乒乓球选手进行单循环赛，比赛结果显示，没有和局，且任意5人中既有1人胜其余4人，又有1人负其余4人，则恰好胜了两场的人数为____________个.三、解答题（本大题共5个小题，15-17题每小题12分，18题、19题每小题16分，共68分） 15.对于函数f(x),若f(x)=x,则称x 为f(x)的“不动点”，若x x f f =))((，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即x x f x A ==)(|{}})]([|{x x f f x B ==.(1). 求证：A ⊆B(2).若),(1)(2R x R a ax x f ∈∈-=，且φ≠=B A ，求实数a 的取值范围.16.某制衣车间有A 、B 、C 、D 共4个组，各组每天生产上衣或裤子的能力如下表，现在上衣及裤子要配套生产(一件上衣及一条裤子为一套)，问在7天内，这4个组最多能生产多少套？17.设数列}{n a 满足条件：2,121==a a ，且 ,3,2,1(12=+=++n a a a n n n ) 求证：对于任何正整数n ，都有 nnn n a a 111+≥+18.在周长为定值的△ABC 中，已知|AB|=6，且当顶点C 位于定点P 时，cosC 有最小值为257. (1).建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程.(2).过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点，求||||BN BM ⋅的最小值的集合.19.已知三棱锥O-ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，P 是底面△ABC 内的任一点，OP 与三侧面所成的角分别为α、β、γ. 求证：33arcsin32≤++<γβαπ参考答案一、选择题： ADCBC CCCBA 二、填空题：11. 25 12.13. 4 14. 1 三、解答题：15.证明(1).若A=φ，则A ⊆B 显然成立；若A ≠φ，设t ∈A ，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t ∈B,从而 A ⊆B. 解 (2)：A 中元素是方程f(x)=x 即x ax =-12的实根.由 A ≠φ，知 a=0 或 ⎩⎨⎧≥+=∆≠0410a a 即 41-≥aB 中元素是方程 x ax a =--1)1(22 即 0122243=-+--a x x a x a 的实根 由A ⊆B ，知上方程左边含有一个因式12--x ax ，即方程可化为 0)1)(1(222=+-+--a ax x a x ax因此，要A=B ，即要方程 0122=+-+a ax x a ① 要么没有实根，要么实根是方程 012=--x ax ② 的根. 若①没有实根，则0)1(4222<--=∆a a a ，由此解得 43<a 若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a ax x a +=22，代入①有 2ax+1=0.由此解得 a x 21-=,再代入②得,012141=-+a a 由此解得 43=a . 故 a 的取值范围是 ]43,41[-16.解：A 、B 、C 、D 四个组每天生产上衣与裤子的数量比分别是：76,117,129,108，且11712910876>>> ① 只能让每天生产上衣效率最高的组做上衣，生产裤子效率最高的组做裤子，才能使做的套数最多.由①知D 组做上衣效率最高，C 组做裤子效率最高，于是，设A 组做x 天上衣，其余(7-x)天做裤子；B 组做y 天上衣，其余(7-y)天做裤子;D 组做7天上衣，C 组做7天裤子.则四个组7天共生产上衣 6×7+8x+9y (件)；生产裤子11×7+10(7-x)+12(7-y) (条)依题意，有 42+8x+9y=77+10(7-x)+12(7-y)，即 769x y -=. 令 μ= 42+8x+9y=42+8x+9(769x -)=123+x 72 因为 0≤x ≤7,所以，当x=7时，此时y=3, μ取得最大值，即μmax =125.因此，安排A 、D 组都做7天上衣，C 组做7天裤子，B 组做3天上衣，4天裤子，这样做的套数最多，为125套.17.证明：令 10=a ,则有 11-++=k k k a a a ，且 ),2,1(1111 =+=+-+k a aa a k k k k 于是 ∑∑=+-=++=nk k k nk k k a aa a n 11111由算术-几何平均值不等式，可得nn n a a a a a a 132211+⋅⋅⋅≥ +n n n a aa a a a 113120+-⋅⋅⋅ 注意到 110==a a ，可知nn n nn a a a 11111+++≥，即 nnn n a a 111+≥+18.解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150k k x x k k x x +-=+-=+而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值，显然. 当k=0时，||||⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM 但)0(1162522≠=+y y x ，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||⋅的最小值的集合为空集.19.证明：由 题意可得 1sin sin sin 222=++γβα，且α、β、 )2,0(πγ∈所以 )cos()cos()2cos 2(cos 21sin sin 1sin 222γβγβγβγβα-+=+=--= 因为 )cos()cos(γβγβ+>-，所以 )](2[sin )(cos sin 222γβπγβα+-=+>当2πγβ≥+时，2πγβα>++.当2πγβ<+时，)(2γβπα+->，同样有 2πγβα>++故 2πγβα>++另一方面，不妨设 γβα≥≥，则 33sin ,33sin ≤≥γα 令 βγα2211sin )33(1sin ,33sin --==， 则 1sin sin sin12212=++γβα)cos()cos()cos()cos(sin 11112γαγαγαγαβ-+=-+=因为 γαγα-≤-11，所以 )cos()cos(11γαγα-≥- 所以 )cos()cos(11γαγα+≥+ 所以 11γαγα+≤+如果运用调整法，只要α、β、γ不全相等，总可通过调整，使111γβα++增大. 所以，当α=β=γ=33arcsin时，α+β+γ取最大值 333arcsin . 综上可知，33arcsin32≤++<γβαπ。
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全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
全国高中数学联赛模拟试题(三)
全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值为 ( )A.－1B.1C.－12D.122. S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且对任意的自然数n 都满足S n T n ＝7n ＋44n ＋27，那么a 11b 11＝ ( )A.43B.74C.32D.7871 3. 直线xcos θ＋y ＋m ＝0(式中θ是△ABC 的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(－arctan 12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan 12，π]4. 设实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为正常数且a ≠b ，那么mx＋ny 的最大值为 ( )A.a ＋b 2B.abC.2ab a ＋bD.a 2＋b 225. 如图，平面α中有△ABC 和△A 1B 1C 1分别在直线m 的两侧，它们与m 无公共点，并且关于m 成轴对称，现将α沿m 折成一个直二面角，则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n 边形必能被这n个圆面所覆盖，则n 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共54分)6. 已知0＜x ＜π2，log sinx cosx 与log cosx tanx 的首数均为零，尾数和为1，则x ＝_________.7. 设＝n 21a a a 222+++ ，其中a 1，a 2，……，a n 是两两不等的非负整数，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝___________.8. 已知不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤6的解集为{x|a ≤x ≤b}，其中0＜a ＜b，则b ＝___________.9.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.10.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.11.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)12.(设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2n x2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.13.(已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14.(设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.第二试一、(50分)如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ，又设△AFE ，△BDF 和△DEF 均为锐角三角形，他们的垂心分别为H 1，H 2，H 3.求证：(1)∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；(2)△H 1H 2H 3≌△DEF.二、(50分)设C 0，C 1，C 2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C 0是单位圆x 2＋y 2＝1；(2)任取n ∈Z 且n ≥0，圆C n ＋1位于上半平面y ≥0内及C n 的上方，与C n 外切并且与双曲线x 2－y 2＝1相切于两点，C n 的半径记为r n (n ∈Z 且n ≥0) (1)证明：r n ∈Z ； (2)求r n .三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.C全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案 第一试一、选择题 1. Ccos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝∑∑==π+π=π61k e 61k )]7k 2sin i 7k 2(cos [R 217k 2cos 21令z ＝cos 2π7＋isin 2π7，于是z 7＝1则上式＝12(z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝……＝－122. Aa 11b 11＝21a 1121b 11＝S 21T 21＝7×21＋44×21＋27＝43 3. Dθ∈[π3，π)，cos θ∈(－1，12]，则斜率k ∈[－12，1)4. B由柯西不等式ab ＝(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)≥(mx ＋ny)2，当mx ＝ny 时取等号，所以mx ＋ny ≤ab5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C 3C -＋3＝11个6. B注意到：当且仅当∠C ≥90°时，△ABC 能被以AB 为直径的圆覆盖.从而易证n ≤4，当n ＝4时，正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin5－12； log sinx cosx ＋log cosx tanx ＝1 ⇒ log sinx cosx ＝12∴ sinx ＝cos 2x ∴ sin 2＋sinx －1＝0 ∴ sinx ＝5－12(负值舍去) 8.44；＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a ＝43，b ＝410.110；f(－1)＝1＋lgb －(2＋lga)＝－2∴ lga ＝lgb ＋1，而(lga)2－4lgb ≤0∴ (lgb －1)2≤0 ∴ lgb ＝1 ∴ b ＝10，a ＝100 11.4105；过B 1作A 1B 的平行线交AB 于E ，转化为求B 点到平面B 1CE 的距离. 12.{－2，－1，0，2}若x 2－x －1＝1，则x ＝2，－1若x 2－x －1＝－1且x ＋2为偶数，得x ＝0若x ＋2＝0且x 2－x －1≠0得x ＝－2 三、13．令ω＝－12＋32i ，则有f ⑴＝c 0＋c 1＋c 2＋c 4＋c 5＋……＋c 2n ＝3n…………………①f(ω)＝c 0＋ωc 1＋ω2c 2＋c 3＋ωc 4＋ω2c 5＋……＋ω2nc 2n ＝0…………………②f(ω2)＝c 0＋ω2c 1＋ωc 2＋c 3＋ω2c 4＋ωc 5＋……＋ω4nc 2n ＝0…………………③①＋②＋③得3(c 0＋c 3＋c 6＋……)＝3n，∴ c 0＋c 3＋c 6＋……＝3n －1.②－①得c 1＋c 4＋c 7＋……＝c 2＋c 5＋c 8＋……于是c 1＋c 4＋c 7＋......＝c 2＋c 5＋c 8＋......＝c 0＋c 3＋c 6＋ (3)，14．∵ x 2＞0，∴ |x|≤1，∴ x ＝－1或0或1x ＝－1时，lg15＞lg(a ＋1)＋1，∴ －1＜a ＜12x ＝0时，lgga ＋1 ∴ 0＜a ＜2x ＝1时，lg15＞lg(a －1)＋l ∴ 0＜a ＜52又因为满足条件的整数x 只有一个，∴ a 的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a ＝1，则f(f(b))＝b ，∴ f(f(x))＝x∴ f(f(f 2(x)))＝f 2(x)∴ f(f(f 2(a)))＝f 2(a)再令a ＝f(b)，则f(f 2(b)＝bf(b)∴ f(f(f 2(b)))＝f(bf(b))＝b 2.∴ f(f(f 2(a)))＝a 2.∴ f 2(a)＝a 2， ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f()＝第二试一、⑴∵ H 1为△AEF 的垂心，∴ ∠EH 1F ＝180°－∠A ＝∠B ＋∠C∠H 2DH 3＝180°－∠H 2DB －∠H 3DC ＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B ＋∠C ∴ ∠EH 1F ＝∠H 2DH 3⑵连结FH 2，EH 3，则FH 2⊥BD ，EH 3⊥BC∴ FH 2∥EH 3 由⑴中所证∠EH 1F ＋∠EOF ＝180° ⇒ E ，D ，F ，H 1四点共圆.同理，E ，D ，H 1，H 2四点共圆，H 1，D ，F ，H 3四点共圆，E ，D ，F ，H 1，H 2，H 3六点共圆. 二圆内接四边形EH 2H 3F 中，EH 2∥FH 3， ∴ EF ＝H 2H 3，同理，DE ＝H 1H 3，DF ＝H 1H 2， ∴ △H 1H 2H 3≌△DEF.二、⑴由对称性可知r n 的圆心在y 轴上，设r n 的方程为x 2＋(y －s n )2＝r n 2，其中s n ＝r 0＋2(r 1＋r 2＋……＋r n －1)＋r n .将x 2＝y 2＋1代入其中得 y 2＋1＋y 2＋s n 2－2ys n －r n 2＝0△＝4s n 28S n 2＋8r n 2－8＝0 ⇒ 2r n 2＝S n 2＋2 从而易得r n ＝6r n －1－r n －2，∵ r 0＝1，r 1＝3，∴ 对任意n ∈N ，有r n ∈N (2)由特征根方程可得r n ＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r 0＝1，r 1＝3代入其中，得r n ＝12[(3＋22)n ＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n ，其中n 不是3的倍数，于是3n 的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d 和3d 的“数对”，其中d 不可被3整除，从而3n 的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n ，n ，12n 和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n ＋1＞3n ，从而3n 不可能是“完全数”，得到矛盾.。
2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2023年全国高中数学联合竞赛试题
暨2023年全国高中数学联合竞赛一试试题（模拟4）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若246215,S S S ==-，则8S =．3．从圆内接正八边形的8个顶点中任取3个顶点构成三角形，则所得的三角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若20231()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．7．已知在四棱锥P ABCD -中，60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．若该四棱锥存在半径为1的内切球，且PA =PC 的长为．8．令实数集123456}{,,,,,S a a a a a a =，定义函数:f S S ®，使得234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，则满足条件的f 的个数为．二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9.（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求S的最小值，其中S =．10.（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．11.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy 中，拋物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．暨2023年全国高中数学联合竞赛一试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1．已知11sin(),cos sin 36αβαβ-==，则cos(22)αβ+的值为．．角形是直角三角形的概率是．4．已知定义域为R 的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若1()1k f k ==-∑，则(0)f 的值为．答案：1．解：因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，所以()()20f f =-，()()31f f =-，()()()420=-=f f f ，即()()()()()()()()123410100+++=--+=f f f f f f f f ．若20231()1k f k ==-∑，则()()()()()123420231+++++=- f f f f f ，即()()()()()()()50512341231f f f f f f f ⎡⎤⨯++++++=-⎣⎦，可得()()()()()()1231011++=--=-f f f f f f ，所以()01f =．5．已知z 为复数，且关于x 的方程243i 0x zx +++=有实数解，则z 的最小值为．6．在平面直角坐标系中，直线l 与双曲线22:1(0,0)a b a bΓ-=>>的左右两支交于,A B 两点，与Γ的渐近线交于,C D 两点，且,,,A C D B 在l 上顺次排列．若OA OB ⊥，,,AC CD DB 成等差数列，则Γ的离心率的取值范围是．60APB BPC CPD DPA ∠=∠=∠=∠=︒,,APC BPD PB PD ∠=∠=．⎫⎪⎭123456234561())()()(()())())()()((()f f a f f a f f a f f a f f a f f a =====，二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本题满分16分）设实数,,x y z 满足0,,1x y z <<，求的最小值．10．（本题满分20分）已知函数3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数,,b c d ，满足(,()),(,()),(,()),(,())a f a b f b c f c d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，求a 的取值范围．解：已知3()22f x x x =-，若正实数a 使得存在三个两两不同的实数b ，c ，d ，满足(,())a f a ，(,())b f b ，(,())c f c ，(,())d f d 恰好为一个矩形的四个顶点，因为3()22f x x x =-是奇函数，所以若存在一个矩形，则矩形的中心在原点，则…………12分…………16分为F ，过F 的直线交C 于,A B 两点（其中点A 在第一象限），过点A 作C 的切线交x 轴于点P ，直线PB 交C 于另一点Q ，直线QA 交x 轴于点T ．(1)证明：AF AT BF QT ×=×；(2)记,,AOP AFT BQT D D D 的面积分别为123,,S S S ，当点A 的横坐标大于2时，求321S S S -的最小值．。
(完整word版)No.57全国高中数学联合竞赛模拟试题
No.57 高中数学联赛模拟试卷一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、()f x 是周期为5的奇函数，(1)8f =，则(2010)(2009)f f -= 。
2、设函数()313x x f x =+，若[]x 表示不大于x 的最大整数，则函数()()1122f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域是 。
3、0αβ≠, 123,,x x x 为多项式320x x x ααββ-++=的根，则123123111()()x x x x x x ++++= 4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。
则2000在表中出现 次。
5、已知二次函数()221f x x mx =-+，若对于[]0,1上的任意三个实数,,a b c ，函数值()()(),,f a f b f c 都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的m 的值可以是 。
6、若0)(55=+-+y x y x ，则=y 。
7、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数为 。
8、等比数列{}n a 中，120101,4a a ==，函数122010()()()()f x x x a x a x a =---L ，则函数在(0,0)处的切线方程为 。
二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）如图，已知O 为ABC ∆的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足CO AB BO CA ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 。
（1）推导出三边,,a b c 之间的关系式；（2）求tan tan tan tan A A B C+的值。
1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 … 48 64 80 … 112 144 … … … …10、（本题20分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD +=u u u r u u u r ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．11、（本题20分）已知函数()11f x x=-，n N +∈对于，定义()()()()11,n n f x f x f x f f x +==⎡⎤⎣⎦，偶函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，当0x >时，()()2009g x f x =。
全国高中数学联合竞赛一试模拟试题
中国化学会全国高中学生化学竞赛（省级赛区）试题第1题（12分）通常，硅不与水反应，然而，弱碱性水溶液能使一定量的硅溶解，生成Si(OH)4。
1-1已知反应分两步进行，试用化学方程式表示上述溶解过程。
早在上世纪50年代就发现了CH5+的存在，人们曾提出该离子结构的多种假设，然而，直至1999年，才在低温下获得该离子的振动-转动光谱，并由此提出该离子的如下结构模型：氢原子围绕着碳原子快速转动；所有C-H键的键长相等。
1-2该离子的结构能否用经典的共价键理论说明？简述理由。
1-3该离子是A.质子酸 B.路易斯酸 C.自由基 D.亲核试剂2003年5月报道，在石油中发现了一种新的烷烃分子，因其结构类似于金刚石，被称为“分子钻石”，若能合成，有可能用做合成纳米材料的理想模板。
该分子的结构简图如下：1-4该分子的分子式为；1-5该分子有无对称中心？1-6该分子有几种不同级的碳原子？1-7该分子有无手性碳原子？1-8该分子有无手性？第2题（5分）羟胺和用同位素标记氮原子（N﹡）的亚硝酸在不同介质中发生反应，方程式如下：NH2OH+HN﹡O2→ A+H2ONH2OH+HN﹡O2→ B+H2OA、B脱水都能形成N2O，由A得到N﹡NO和NN﹡O，而由B只得到NN﹡O。
请分别写出A和B的路易斯结构式。
第3题（8分）X-射线衍射实验表明，某无水MgCl2晶体属三方晶系，呈层形结构，氯离子采取立方最密堆积（ccp），镁离子填满同层的八面体空隙；晶体沿垂直于氯离子密置层的投影图如下。
该晶体的六方晶胞的参数：a=363.63pm,c=1766.63pm;p=2.53g·cm-3。
3-1 以“”表示空层，A、B、C表示Cl-离子层，a、b、c表示Mg2+离子层，给出三方层型结构的堆积方式。
3-2计算一个六方晶胞中“MgCl2”的单元数。
3-3 假定将该晶体中所有八面体空隙皆填满Mg2+离子，将是哪种晶体结构类型？第4题（7分）化合物A是一种热稳定性较差的无水的弱酸钠盐。
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷附答案
全国高中数学联合竞赛预赛模拟试卷一． 选择题（共6小题，每题6分）1．设()n n nx a x a a xx 221021+++=++ ，求n a a a 242+++ 的值为（A ）n3 （B ）23-n（C ）213-n （D ）213+n 答： 【 】2．若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是(A) ]2 ,2[- (B) ]1 ,1[- (C) ]3,0[ (D) ]3,3[- 答： 【 】 3．设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin)(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 答： 【 】 4．正方体的截平面不可能是(1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 (4) 正五边形 (5) 正六边形 下述选项正确的是：(A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4) (D) (3)(4)(5) 答：【 】 5．已知a ，b 是两个相互垂直的单位向量，而13||=c ，3=⋅a c ，4=⋅b c 。
则对于任意实数21,t t ，||21b t a t c --的最小值是(A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答： 【 】 6．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 答： 【 】 二．填空题（共6小题，每题9分） 7. 设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=32232332x x x x xM ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-=-+-=56656556x x x x x N ，求 N M = 。
8. 已知数列n x ，满足n x x n n n +=++1)1(, 且21=x ， 则2005x = 。
全国高中数学联赛模拟卷(6)(一试+二试 附详细答案)
全国高中数学联赛模拟试题(6)一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设函数32()3614f x x x x =+++，且()1f a =，()19f b =，则a b += ．2. 圆内接四边形,1,2,3, 4.ABCD AB BC CD DA ====则此圆的半径为 ．3. 函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 ．4. 函数 y =的最大值是 ．5. 设22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(1)(2)+(50)f f f ++⋅⋅⋅的值为 ．6. 已知椭圆2221(1)x y a a +=>，Rt ABC ∆以()0,1为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于两点,.B C 若ABC ∆面积的最大值为278，则a 的值为 ． 7. 如果正整数a 的各位数字之和等于5，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列123,,,,a a a 若2012,n a =则3n a = ．8. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的25个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 种（用数字作答）.二、解答题（共56分）9. (16分)已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆与直线y x =. （1）求椭圆的方程；（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.P n10．(20分) 在xoy 平面上有一系列点111222(,),(,),(,),n n n P x y P x y P x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,对每个正整数n ,点n P 位于函数2(0)y x x =≥的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1n P +彼此外切．若11x =,且1n n x x +<（*n N ∈）． （1）求证：数列1{}nx 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S，n T =求证：对任意*n N ∈，均有n T <．11. (20分) 设0,0,0,x y z >>>求证：333.2x y z xy yz zxx y y z z x ++++≥+++二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：（1，2，2）是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”的和“2010-幂次”的但不是“2012-幂次”的.四．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.全国高中数学联赛模拟试题参考答案一试一、填空题（每小题8分，共64分） 1．-2.解：由()()332()361413110f x x x x x x =+++=++++，令3()3g y y y =+，则()g y 为奇函数且单调递增.而()()3()131101f a a a =++++=, ()()3()1311019f b b b =++++=,所以(1)9g a +=-,(1)9g b +=,(1)9g b --=-,从而(1)(1)g a g b +=--,即11a b +=--, 故2a b +=-.2.24. 解：连BD ，设BAD θ∠=，那么BCD πθ∠=-，设四边形外接圆半径为R.ABD ∆中，由余弦定理知22214214cos 178cos BD θθ=+-⨯⨯=-BCD ∆中，由余弦定理知22223223cos()1312cos BD πθθ=+-⨯⨯-=+这样由178cos 1312cos θθ-=+解出1cos ,sin 5θθ==所以5BD ==. 在ABD ∆中，由正弦定理，2sin BD R θ==，从而得到R =.3. 11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.解：设=sin +cos ++.224t x x x x x π⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为-1s i n +1,4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以.22≤≤-t 又因为2=1+2sin cos ,t x x 所以2-1sin cos =2t x x ,所以2-11-1==212t t y t ⨯+，所以.212212-≤≤--y 因为-1t ≠，所以121-≠-t ，所以-1y ≠.所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈ y4. 解：函数的定义域为[15]，，且0y ≥.根据柯西不等式有：5y =22≤=5时，等号成立，即12727x =时函数取最大值5. 660.解：由于253196(4)(49)x x x x -+=--，因此449x ≤≤时，2531960x x -+≤，均有()f x =0.因此：(1)(2)...(50)(1)(2)(3)(50)f f f f f f f +++=+++，代入数据得：原式22222(153196)2(2532196)2(3533196)2(505350196)660=-++-⨯++-⨯++-⨯+= 6. 3.解：不妨设AB 的方程()10y kx k =+>，则AC 的方程为11y x k=-+. 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(1)20a k x a kx ++=2222,1B a k x a k -⇒=+ 由222111y x k x y a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222()20a k x a kx +-=2222,C a k x a k ⇒=+由弦长公式可得：AB AC ==于是 2442222224211(1)2212(1)()()1ABC k k k kSAB AC a a a k a k a k a k∆++===+++++. 令12t k k=+≥，有44222222222,(1)(1)ABC a ta Sa a t a a t t∆==-+-+因为2222(1)2(1),a a t a a t -+≥- 21a t a-=时等号成立. 因此当21a t a -=时，3max 2(),1ABC a S a ∆=-令32227(3)(839)018a a a a a =⇒---=-.解得：)3,a a a ===舍.又21=21a t a a -≥⇒≥+a ∴=舍去. 3.a ∴= 7. 100013.解：∵方程12k x x x m +++= 的非负整数解的个数为1m m k C +-.而使11,0(2)i x x i ≥≥≥的整数解个数为12m m k C -+-.现取5m =，可知，k 位“吉祥数”的个数为43().k P k C +=∵4445(1)1,(2)5,P C P C ====46(3)15,P C ==并且对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足4a b c ++=的非负整数解个数，即443115C +-=个，而2012是形如2abc 的数中的第2个“吉祥数”，因此2012是第1+5+15+15+2=38个“吉祥数”，即382012a =，从而38,3114.n n ==又4378(4)35,(5)56,P C P C ====而51()151********.k P k ==++++=∑∴从小到大的前2个六位“吉祥数”是：100004,100013.∴第114个“吉祥数”是100013，即3100013.n a = 8.33800.解：使2个a 既不同行也不同列的填法有2255200C A =种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2255200C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有20020040000⨯=种.其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有200种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有122516252406000C A =⨯=种.所以，符合题设条件的填法共有40000200600033800--=种.二．解答题（共56分）9.解：（1） 设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>.它与直线y x =1个交点，所以方程组22221x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩只有一解，即2222222()30b a x x a a b +-+-=只有一根（重根）2222222()4()(3)0a b a a b ∴∆=--+-=，化简得223a b +=又 焦点为（-1,0），（1,0），∴221a b -=，∴2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）若PQ 斜率不存在（或为0），则||||22PMQNPQ MN S ⋅===四边形 ①若PQ 斜率存在，设为(0)k k ≠，则MN 的斜率为1k-， ∴直线PQ 的方程为=+y kx k .设PQ 与椭圆交点坐标()1122(,),,P x y Q x y ，P n联立方程2212y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12,x x 为方程2222(21)4220k x k x k +++-=的根，12||||=PQ x x a ∴=-=22121k k +=+同理221||2k MN k +=+.||||42MN PQ S ⋅∴==四边形PMQN2424242121124()2522252k k k k k k k ++=-++++ 24214()24104k k k =-=++22114()124410k k -+⨯+22448k k +≥= ，当且仅当21k =时等号成立， 2211(0,]1184410k k∴∈+⨯+，221116=4(),21294410S k k ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭+⨯+四边形PMQN ② 综合①②可得：PMQN S 四边形的面积的最小值为169，最大值为2. 10．(20分) 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2n n n r y x ==， ⊙n P 与⊙1n P +彼此外切， 11n n n n P P r r ++∴=+，1n n y y +=+． 两边平方，化简得 211()4n n n n x x y y ++-=,即 22211()4n n n n x x x x ++-=,10n n x x +>> ， ∴112n n n n x x x x ++-=， 即1112()n n n N x x +-=∈，∴ 数列1{}nx 是等差数列． (2) 由题设，11x =，∴111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-， 2244(21)n n n n S r y x n ππππ====-，n T =222111]35(21)n =++++-≤111]1335(23)(21)n n ++++⋅⋅-⋅-1111111[(1)()()]23352321n n ⎫+-+-++-⎬--⎭11(1)]221n +--=< 11. (20分) 证明：223()044()x x y x y x y x y ---=≥++ ，∴234x x y x y -≥+.进而可得323.4x x xyx y -≥+类似的3234y y yzy z -≥+，3234z z zx z x -≥+. ∴3332223334x y z x xy y yz z zx x y y z z x -+-+-++≥+++2223()4x y z xy yz zx++---=3()42xy yz zx xy yz zx xy yz zx ++---++≥=二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.证明：注意到，当0a >时，有()5235323223(2)1(1)(1)a a a a a a a a a -+-+=--+=---3222(1)(1)(1)(1)(1)0a a a a a a =--=-+++≥.所以()5233(2)a a a -+≥+.因此，我们只需证明：3333(2)(2)(2)()a b c a b c +++≥++.为此，我们证明更一般的结论： 对任意正实数,,(1,2,3)i i i x y z i =，均有：3111222333()()()x y z x y z x y z ++++++≥. （1）事实上，由于3121112223331()3x x x x y z x y z x y z =≤++++++++同理，3121112223331()3y y y x y z x y z x y z ≤++++++++，3121112223331()3z z z x y z x y z x y z ≤++++++++，上述3个不等式相加可知（1）式成立.所以3333333(2)(2)(2)(11)(11)(11)()a b c a b c a b c +++=++++++≥++，原命题得证. 二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.证明：考虑ABC ∆与截线PFD ，由梅涅劳斯定理，有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=, 所以PA AF BD AF s aCP FB DC DC s c-=⋅==-（s 为ABC ∆的半周长） 于是PA s aCA a c -=-，因此()b s a PA a c-=-，这样()()()2b s a s c s a PE PA AE s a a c a c---=+=+-=-- ()()()()()()21,2s c s a s c s a s a ME PE MA ME AE s a a c a c a c-----===-=--=--- ()()()()2s c s a s c MC ME EC s c a c a c ---=+=+-=--，于是2MA MC ME ⋅=.因为ME 是点M 到ABC ∆的内切圆的切线长，所以2ME 是点M 到内切圆的幂，而MA MC ⋅是点M 到ABC ∆外接圆的幂，等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到到ABC ∆外接圆与内切圆的幂相等，因此点M 在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，同理，点N 也在在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，故OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：()1,2,2是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”和“2010-幂次”的,但不是“2012-幂次”的.解（1）设(,,)a b c 满足条件，则由222()|a b c a b c ++++得2222()|()()a b c a b c a b c ++++-++，于是()|2()a b c ab bc ca ++++. （1）由333()|a b c a b c ++++，得333222()|()()()a b c a b c a b c a b c ab bc ca ++++-++++--- 于是()|3a b c abc ++ （2）对于任意素因子5p ≥，若|()p a b c ++，则|p abc .不妨设|p a ，则0(mod )b c p +≡.又由（1）式可得0(mod )bc p ≡，于是0(mod )b c p ≡≡，这与(,,)1a b c =矛盾，故a b c ++无大于3的素因子.对于因子3，若3|()a b c ++，与上面相同的推理可得3不整除abc ，故由（2）式知，()a b c ++至多含3的一次因子.对于因子2，若2|()a b c ++，则由(,,)1a b c =，可知,,a b c 的奇偶性为两奇一偶，此时2()2(mod 4)ab bc ca ++≡，所以由（1）式知，()a b c ++至多含2的一次因子；综上所述，我们有()|6a b c ++，由,,a b c 为正整数，容易求得符合条件的数组为（1，1，1），（1，1，4）.（2）记n n n n T a b c =++，注意到多项式:()()()()f x x a x b x c =---=32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-，则32()()()0f a a a b c a ab bc ca a abc =-+++++-=，故32()()a a b c a ab bc ca a abc =++-+++，两边同乘以3n a -，得123()()()n n n n a a b c a ab bc ca a abc a ---=++-+++，对,b c 有类似的结论，将三者相加，得123()()n n n n T a b c T ab bc ca T abcT ---=++-+++.故若有3()|n a b c T -++，且2()|n a b c T -++，则必有()|n a b c T ++.由此，取2012n =，知不存在符合条件的正整数组.四.（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求.其原因如下：如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(i ，j ).第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格.同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子.这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此，在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾.图1 图2第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.。
全国高中数学联合竞赛模拟试题
选择题：1. 对于一个函数f(x) = 2x + 3，下列哪个选项是该函数的图像斜率的表示？A. 2xB. 2C. 3D. 3x2. 已知等差数列的前两项为a1 = 3，a2 = 6，公差为2，求该数列的第n 项公式。
A. an = 2n - 1B. an = 2n + 1C. an = 3n + 1D. an = 3n - 13. sin30° 的值等于：A. 0B. 1C. 0.5D. 0.8664. 在平面直角坐标系中，点P(4, 6) 是关于x 轴的对称点的坐标是：A. (4, -6)B. (-4, 6)C. (-4, -6)D. (6, 4)5. 已知二次函数f(x) = ax^2 + bx + c 的图像与x 轴有两个交点，那么下列哪个选项是该二次函数的判别式？A. b^2 - 4acB. 4ac - b^2C. 4ac + b^2D. b - 4ac填空题：1. 三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于_________度。
2. 两点之间的距离公式的一般形式为：d = __________。
3. 二次函数y = ax^2 + bx + c 的对称轴方程为：x = __________。
4. 根据二项定理，(a + b)^3 的展开式中，二次项的系数为_________。
5. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A ∪B 的元素个数为_________。
应用题：1. 已知一根直径为20 cm 的圆柱体的高为30 cm，求其体积和表面积。
2. 甲、乙两个摄氏度计的温度分别为30°C 和40°C，求转化为华氏度的温度差。
3. 从一台井中用打绳法测得水深60 米，若绳子有48 米落入井中，则绳子的长为多少？4. 餐厅有三种套餐供客人选择，分别为A 套餐100 元，B 套餐为150 元，C 套餐为200元。
一天共有120 位客人就餐，总计收入为18400 元。
全国高中数学联赛模拟试题(四)
全国高中数学联赛模拟试题(四)第一试一、选择题(共36分)1. 设变量x 满足x 2＋bx ≤－x(b ＜－1)，且f(x)＝x 2＋bx 的最小值为－12，则b ＝( )A.－ 2B.－32C.－2D.－2或－322. 已知x ∈(π2，2π3)，给出下列六个不等式①sin(sinx)＜cos(cosx) ②sin(cosx)＜sin(sinx) ③cos(sinx)＜cos(cosx) ④cos(sinx)＜sin(sinx) ⑤cos(cosx)＜sin(cosx) ⑥sin(cosx)＜cos(sinx)其中成立的个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.63. 设x 1，x 2是实系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，若x 1是虚数，x 12x 2是实数，则S ＝1＋x 1x 2＋(x 1x 2)2＋(x 1x 2)4＋(x 1x 2)8＋……＋(x 1x 2)21995的值为 ( )A.0B.－998C.998D.－9974. 在空间，从一点O 出发引四条射线OA ，OB ，OC ，OD ，如果∠AOB ＝∠BOC ＝∠DOA ＝∠AOC＝θ，则θ的值为 ( )A.π－arcsin 13B.π－arcsin 23C.π－arccos 13D.π－arccos 235. 已知a ＞32，则y ＝(sinx ＋a)(cosx ＋a)的最小值为 ( )A.a 2－aB.(a －1)2C.12(a 2－1) D.(a －)26. 在有穷数列{a n }中，首项a 1＝1，末项a n ＝1997(n ＞3)，若公差是自然数，则项数n 的所有取值之和是 ( ) A.3504 B.3501 C.1587 D.1997二、填空题(共54分)7. 用1和2这两种数字写n 位数，其中任意相邻两位不全为1，记n 位数的个数为f(n)，则f(10)＝________________. 8. 已知复数z 0，z 1，z 2，…，z n ，…满足z 0＝0，z 1＝1，z n ＋1－z n ＝α(z n －z n －1)，α＝1＋3i ，n ＝1，2，…，则在圆|z|＝10的内部共含有z n 的个数为_____________.9. 对满足不等式|log 2p|＜2的一切实数p 中，使不等式x 2＋px ＋1＞3x ＋p 都成立的x 的取值范围是_______________________. 10. 已知等腰梯形的最大边长为13，周长为28，面积为27，则它的最小边长为___________.11. 若对非零常数m ，函数f(x)满足f(x ＋m)＋f(x －m)＝2f(x)cos 2π7(x ∈R)，则f(x)是周期函数，它的一个周期是__________________.12. 已知π5＜x ＜2π，且cosxcos2x ＝cos π5cos 2π5，则x 的取值为______________.三、解答题(共计60分)13. (20分)用0，1，3，5，7五个数中任意不同的数作为一元二次方程的系数，问：(1)可以作出多少个不同的一元二次方程？ (2)在这些方程中有实数根的有多少个？14. (20分)设|S|表示集合S 中元素的个数，令n(S)表示包含空集及S 自身在内的S 的子集个数.如果A ，B ，C 三个集合满足n(A)＋n(B)＋n(C)＝n(A ∪B ∪C)，|A|＝|B|＝100，那么|A ∩B ∩C|的最小可能值是多少？15. (20分)在平面上作一条直线，使得平面上三个已知点到这条直线的距离之和达到最小.第二试一、(50分)一次数学竞赛分一、二两试共有28个题目，每个参赛者都恰好解出7个题目，每两个题恰好有两名参赛者解出.试证：必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题.二、(50分)如果一个矩形的长和宽都是奇数，在其内部是否存在这样的点，它到四个顶点的距离都是正整数.三、(50分)若四面体的六条棱长分别为a，b，c，d，e，f，体积为V，求证：a6＋b6＋c6＋d6＋e6＋f6≥432V2.其中等号当且仅当四面体为正四面体时取得.全国高中数学联赛模拟试题(四)参考答案 第一试一、选择题 1. Bx 2＋bx ≤－x(b ＜－1) ⇒ 0≤x ≤－(b ＋1)f(x)＝(x ＋b 2)2－b 24，当－(b ＋1)≥－b2时，b ≤－2f(x)min ＝f(－b 2)＝－b 24＝－12 ⇒ b ＝－2＞－2矛盾.－(b ＋1)＜－b2时，－2＜b ＜－1f(x)min ＝f(－(b ＋1))＝b ＋1＝－12 ⇒ b ＝－322. C可以验证①②③④⑥均成立，而令x ＝2π3时，⑤不成立.3. Dx 1与x 2共轭，设x 1＝r(cos θ＋isin θ)，则x 2＝r(cos θ－isin θ)∴ x 12x 2＝r(cos3θ＋isin3θ)∈R ⇒ θ＝π3或2π3∴ x 1x 2＝cos2θ＋isin2θ＝－12±32i ＝ω或ω2当x 1x 2＝ω时 S ＝1＋ω＋ω2＋ω4＋ω8＋……＋ω21995 注意到当n ≥1时2n不是3的倍数，∴ ω2n＝ω或ω2，于是ω2n ＋1＝ω2×2n＝(ω2n)2＝ω2或ωS 中共计1997项，其中前三项和为0，以后的1994项每两项和为－1，∴ S ＝－997 x 1x 2＝ω2时同理可得S ＝－997 4. C可令A ，B ，C ，D 构成正四面体，O 为其中心，则易得θ＝π－arccos 135. D令sinx ＋cosx ＝t ∈[－2，2] 则y ＝(a ＋t 2)2－t 2－24又因为a ＞32＞22所以 y ≥(a －22)2，当x ＝5π4时等号成立， ∴ y min ＝(a －22)2 6. Ba n ＝a 1＋(n －1)d即(n －1)d ＝1996＝4×499 (499为质数)∴ n 的所有取值之和为4＋499＋2×499＋4×499＝3501 二、填空题 7.144；考虑数字末位数若为2，则有f(n －1)种，若为1，则第n －1位必为2，有f(n －2)种. ∴ f(n)＝f(n －1)＋f(n －2)且f(1)＝2，f(2)＝3 8.5；z n ＋1－z n ＝α(z n －z n －1)＝α2(z n －1－z n －2)＝……＝αn (z 1－z 0)＝αn.∴ z n －z n －1＝αn －1，z n －1－z n －2＝αn －2，……，z 1－z 0＝1n 个式子相加得z n ＝αn－1α－1当α＝1＋3i 时，解不等式|z n |＜10，得n ≤4 ∴ n ＝0，1，2，3，4共有5个 9.(－∞，－1－132]∪[11＋738，＋∞)；解不等式|log 2P|＜2得14＜P ＜4x 2＋(p －3)x ＋1－p ＞0 x ＞3－p ＋p 2－2p ＋52或x ＜3－p －p 2－2p ＋52转化为上式求最大值和最小值10.5；首先最大边不能为腰长，否则面积＜2×13×12＜27设下底长为13，上底长为x ，则(13＋x)h ×12＝27(12(13－x))2＋h 2＝(12(15－x))2，解之得x ＝5，则腰长为5，故最小边长为5. 11.7m ；可假设f(x)＝cosx ，m ＝2π7，则可知7m ＝2π为f(x)的一个周期.不难验证7m 是f(x)的一个周期. 12.{3π5，7π5，9π5，2π3，4π3}cos π5cos 2π5＝5＋14·5－14＝14＝cosxcos2x令cosx ＝t ，则cos2x ＝2t 2－1∴ 2t 3－t －14＝0，即(2t －1)(t 2－t 2－14)＝0∴ t ＝12或5±14，相应的x ＝3π5，7π5，9π5，2π3，4π3三、13．(1)设所作一元二次方程为ax 2＋bx ＋c ＝0，则a ≠0a 有4种选择，b 有4种选择，c 有3种选择，共计有4×4×3＝48个不同的一元二次方程.(2)考虑b 的取值情况：①b ＝0时，方程不可能有实数根；②b ＝1时，只能取c ＝0，a 有三种可能，即有三个方程有实数根； ③b ＝3时，只能取c ＝0，a 有三种可能，即有三个方程有实数根；④b ＝5时，取c ＝0，a 有三种可能；取c ＝1，a ＝3时有一种可能；取c ＝3，a ＝1时有一种可能.共计5个方程有实数根.⑤b ＝7时，取c ＝0，a 有三种可能；取c ＝1时，a ＝3或5有两种可能；取c ＝3，a ＝1有一种可能；取c ＝5，a ＝1时有一种可能；共计7个方程有实数根. ∴ 共有3＋3＋5＋7＝18个方程有实数根.14．n(S)＝2|S|，∴ n(A ∪B ∪C)＝2100＋2100＋n(C)设|A ∪B ∪C|＝m ·|C|＝P则2m ＝2101＋2p ，2p (2m －p －1)＝2101∴ 2m －p－1＝1 m －p ＝1∴ m ＝102，P ＝101，即|A ∪B ∪C|＝102，|C|＝101 由容斥原理：|A ∩B ∩C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A ∪B|－|B ∪C|－|C ∪A|＋|A ∪B ∪C|≥97 当|A ∪C|＝|B ∪C|＝|C ∪A|＝102时等号成立. ∴ |A ∩Β∩C|min ＝9715．(1)当三点在一条直线上时，所求直线就是经过三点的直线.(2)若三点构成三角形，设为△ABC ，其边长分别为a ，b ，c ，并设a ≥b ≥c如果直线不经过其中任何一点，如果三点在直线的同侧，则只需将直线向△ABC 靠拢，直到直线经过最近的一个点，显然三点到直线的距离和在减小.对于经过一个顶点的直线，将其绕这一点旋转，使其向经过这一点较长的一边靠拢，则另外两点到该直线的距离和也在减小，直到直线与这一边重合.下面考虑直线与△ABC 相交的情况，显然直线至少应该经过三点中的一个点，否则只需将直线向两点的一侧平移，距离和显然减小.而在三角形中，经过一顶点的直线被三角形截得的线段中，当线段与最长边重合时，长度最大，利用面积法可知，此时第三点到这条直线的距离就是所求最小值. 即所求直线为△ABC 最长边所在的直线.第二试一、记题目组成的集合为X ，参赛者组成的m 元集合为Y ，若y i 解出题目x j ，就在y i ，x j 之间联一条线， 设点x j 次数为n ，它与y 1，y 2，……，y n 相连， 则X 中每一点恰与y i 相连(1≤i ≤n) ∴ 2×27＝6n n ＝9这个图共有28×9＝7m 条边，∴ m ＝36设初试共有S 道试题，解出1道，2道，3道试题的人数分别为α，β，γ，若α＋β＋γ＝36，则α＋2β＋3γ＝9S ，β＋C 32γ＝2C S 2，消去α、γ得β＝－2S 2＋29S －108＜0，矛盾.所以，必有一个参赛者，他在第一试中或者一道也没有解出或者至少解出四道题. 二、假设存在这样的点P 满足PA ，PB ，PC ，PD 均为整数， 过P 作矩形各边的垂线，设长度分别为p ，q ，r ，s. 且设p ＋q ＝a ，r ＋s ＝b 均为奇数， PD 2－PA 2＝q 2－p 2＝(q －p)(q ＋p)为整数，可知p －q 为有理数.将矩形扩大p ＋q 倍，则p －q 变为整数.∴ p ，q 为m 12，n 12的形式(m 1，n 1∈N)，同理，r ，s 为m 22，n 22的形式(m 2，n 2∈N) 显然，m 1，n 1同奇偶，m 2，n 2同奇偶若m 1，m 2同为奇，则由4(p 2＋r 2)≡2(mod 4)知p 2＋r 2不为完全平方数.矛盾. ∴ m 1，m 2铜为偶数，∴ p ，q ，r ，s 均为整数 又∵ p ＋q ＝a 为奇数，r ＋s ＝b 为奇数，∴ p ，q 中有一个为奇数，不妨设为p ，且r ，s 中有一个奇数，不妨设为r则p 2＋r 2≡2(mod 4)不为完全平方数.矛盾. 所以，不存在满足条件的点.取AB ，CD 的中点E ，F ，则AF 2＝12(b 2＋c 2－12f 2)，BF 2＝12(d 2＋e 2－12f 2)∴ EF 2＝14(b 2＋c 2＋d 2＋e 2－a 2－f 2)V ≤12AB ·EF ·CD ·13B C ABE CDF fed a bc＝224b 2＋c 2＋d 2＋e 2－a 2－f 2af 144V≤(b 2＋c 2＋d 2＋e 2－a 2－f 2)a 2·f 2 ≤14(b 2＋c 2＋d 2＋e 2－a 2－f 2)2a 2·2f 2≤14(a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＋f 26)3≤2·(a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＋f 26)3≤2·a 6＋b 6＋c 6＋d 6＋e 6＋f 66(幂平均不等式)∴ a 6＋b 6＋c 6＋d 6＋e 6＋f 6≥432V 2.沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案5
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、选择题(每小题6分，共36分)1.给定公比为q(q≠1)的等比数列{a n}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，b n=a3n-2+a3n-1+a3n，...，则数列{b n}( )(A)是等差数列(B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列2.平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )(A)16 (B)17 (C)18 (D)253.若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则（）(A)x-y≥0 (B)x+y≥0 (C)x-y≤0 (D)x+y≤04.给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么，（）(A)命题I正确，命题II不正确(B)命题II正确，命题I不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确5.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。
那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（）(A)0 (B)1 (C)2 (D)36.已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是( )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形(C)直角三角形 (D)答案不确定二、填空题(每小题9分，共54分)已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是____。
1.已知θ=arctg(5/12)，那么，复数 z＝(cos2θ +i sin2θ )/(239+i)的辐角主值是____。
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题(一试)
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）一、填空题1．设非空集合{}1,2,,9A ⊆L 满足a A ∀∈，10a A -∈，则这样的A 的个数为． 2．在锐角三角形 ABC 中，边 2BC =，2B A =，则边 AC 的取值范围是．3．设 ,R a b ∈，函数() f x ax b =+满足() 1f x ≤对任意[] 0,1?x ∈都成立，则 ab 的最大值为．4．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆2210210x y x +++=和2210240x y x +-+=上的点，则||||PM PN -的最大值为．5．已知向量1,2a b r r ==，且a r 和b r 的夹角为2π3，若a tb +r r 与ta b +r r 的夹角为钝角，则 t 的取值范围为．6．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 34；第偶数局，乙赢的概率为 34．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为．7．若 X 是棱长为 ABCD 内一点，以 X 在四面体 ABCD 的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为．8．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格 O 处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是．二、解答题9．已知复数列{}n z 满足：()()111i 1n n n z z z z n +==+≥，求2024z ．10．设非负实数 ,,?x y z 满足22210x y z ++=.值.11．已知点()() 3,00M m m ->， N 、 P 两点分别在 y 轴、 x 轴上运动，且满足·0MN NQ =u u u u r u u u r ，1 2NP PQ =u u u r u u u r ． (1)求Q 的轨迹方程；(2)若一正方形的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值．。
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案4
全国高中数学联合竞赛试题及参考答案一、(满分50分)如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 平分∠ BAD 。
在 CD 上取一点 E ， BE 与 AC 相交于 F ，延长 DF 交 BC 于 G 。
求证：∠ GAC =∠ EAC .解析：连结B D 交A C 于H ．对△BC D 用塞瓦定理，可得可得．因为A H 是∠BA D 的平分线，由角平分线定理，故．过点C 作A B 的平行线A G 的延长线于I ，过点C 作AD 的平行线交A E 的延长线于J ．则 . 所以，从而，CI =C J.又因为 CI∥AB ，C J∥A D ，故 ∠AC I=π-∠A BC =π-∠D AC =∠A CJ ． 因此，△AC I≌△AC J ．从而，∠IA C=∠JA C ，即 ∠G AC =∠EA C ．二、(满分50分)给定实数 a , b , c ，已知复数 z 1 , z 2 , z 3 满足：1133221+++z z z z z z ，求| az 1+ bz 2 + cz 3 |的值。
解析：记 ei θ=cos θ+is in θ．可设 ，，则)(31ϕθ+=i e z z ． 由题设，有ei θ+ei φ+e-i (θ+φ)=1.φ两边取虚部，有0=si n θ+si n φ-s in (θ+φ)故θ=2k π或φ=2k π或θ+φ=2k π，k∈Z ． 因而，z 1=z 2或z 2=z 3或z 3=z 1．如果z 1=z 2，代入原式即 ．故 ．这时，|a z 1+b z 2+c z 3|=|z 1||a +b±c i|=．类似地，如果z 2=z 3,则|a z 1+b z 2+cz 3|=;如果z 3=z 1,则|a z 1+b z 2+cz 3|=．所以，|a z 1+b z 2+c z 3|的值为 或 或 ．三、(满分50分)给定正整数 n ，已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…, n 克的所有物品。
全国高中数学联合竞赛模拟试题
全国高中数学联合竞赛一试模拟试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1．已知A={x|x2－4x+3<0，x∈R}，B={x|21－x+a≤0，x2－2(a+7)x+5≤0，x∈R} 若A⊆B，则实数a的取值范围是．2．已知椭圆221164x y+=的左右焦点分别为1F与2F，点P在直线l：80x-++=上. 当12F PF∠取最大值时，比12PFPF的值为.3．设xxxxxf44coscossinsin)(+-=，则)(xf的值域是。
4．一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为________.5．函数232+-+=xxxy的值域为____________.6．已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是___________.7．用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x－[lg x]－2=0的实根个数是．8．各项均为实数的等比数列{a n}前n项之和记为S n,若S10 =10, S30 =70, 则S40等于__________.二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9．（本题满分16分）如图，有一列曲线P0, P1, P2, ……，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，P k+1是对P k进行如下操作得到的：将P k的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,3,…)，记S n为曲线P k所围成图形面积。
①求数列{S n}的通项公式；②求nnS∞→lim。
10．（本题满分20分）如题10图，P是抛物线22y x=上的动点，点B C,在y轴上，圆22(1)1x y-+=内切于PBC∆，求PBC∆面积的最小值．[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c，不妨设b c>．P0P1 P2直线PB 的方程:00y by b x x --=， 化简得 000()0y b x x y x b --+=． 又圆心(1,0)到PB 的距离为1，1= ， …5分故22222000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分所以0022y b c x -+=-，002x bc x -=-，则22200020448()(2)x y x b c x +--=-． 因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2002y x =，则22204()(2)x b c x -=-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014()(2)4222PBC x S b c x x x x x ∆=-⋅=⋅=-++--48≥=． 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时004,x y ==±． 因此PBC S ∆的最小值为8． …20分 11．（本题满分20分）设2()f x x a =+. 记1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=2,3,n =，，{}R (0)2nM a n f =∈≤对所有正整数 ，. 证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41 ,2M . 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1、【解】A=(1，3)；又，a ≤－21－x∈(－1，－14)，当x ∈(1，3)时，a ≥x 2+52x －7∈(5－7，－4)． ∴ －4≤a ≤－1．2、【解】 由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于P 点。
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No.57 高中数学联赛模拟试卷一、填空题（共8题，每题8分，64分）1、()f x 是周期为5的奇函数，(1)8f =，则(2010)(2009)f f -= 。
2、设函数()313xx f x =+，若[]x 表示不大于x 的最大整数，则函数()()1122f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域是 。
3、0αβ≠, 123,,x x x 为多项式320x x x ααββ-++=的根，则123123111()()x x x x x x ++++= 4、如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行的相邻两个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行，数表从左到右、从上到下无限。
则2000在表中出现 次。
5、已知二次函数()221f x x mx =-+，若对于[]0,1上的任意三个实数,,a b c ，函数值()()(),,f a f b f c 都能构成一个三角形的三边长，则满足条件的m 的值可以是 。
6、若0)(55=+-+y x y x ，则=y 。
7、如图从第一格跳到第8格，规定每次只能跳一格或者2格，则不同的跳格方法总数为 。
8、等比数列{}n a 中，120101,4a a ==，函数122010()()()()f x x x a x a x a =--- ，则函数在(0,0)处的切线方程为 。
二、解答题（共3题，共56分） 9、（本题16分）如图，已知O 为ABC ∆的外心，,,a b c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足CO AB BO CA ⋅=⋅ 。
（1）推导出三边,,a b c 之间的关系式；（2）求tan tan tan tan A A B C+的值。
1 2 3 4 5 6 7 … 3 5 7 9 11 13 … 8 12 16 20 24 … 20 28 36 44 … 48 64 80 … 112 144 … … … …10、（本题20分）设直线:l y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线221412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0AC BD += ，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．11、（本题20分）已知函数()11f x x=-，n N +∈对于，定义()()()()11,n n f x f x f x f f x +==⎡⎤⎣⎦，偶函数()g x 的定义域为{}0x x ≠，当0x >时，()()2009g x f x =。
（1）求()g x ；（2）若存在实数(),a b a b <使得该函数在[],a b 上的最大值为ma ，最小值为mb ，求非零实数m 的取值范围。
1、8，(0)0,(2010)(2009)(0)(1)8f f f f =-=--=2、{0，1}。
解：由已知得()()()()()101,1,,1;2f x f x f x f x f x <<+-==-=所以当时值为()(){}110,0;1,0;0,122f x f x <<<<当时值为当时值为所以值域为3、－1，设12,,,n x x x 为多项式的所有正根，由韦达定理有1231213231231123x x x x x x x x x x x x βαβα⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎪=-⎪⎩ （） （） （）2（）变形为123123111)x x x x x x βα++=（ (3)代入得1231111x x x ++=- 结合(1)得1212111()()1n nx x x x x x +++++=- 4、解：由数表推得，每一行都是等差数列，第n 行的公差为12-n ， 记第n 行的第m 个数为()m n f ,,则()()(),11,11,2f n f n f n =-+-()()()21,11,1121,12224n nn f n f n f n ---=-+⇒=+算得()()()()()()()212,112,,112221n n n f n n f n m f n m m n n N ---+=+⋅⇒=+-⋅=+-∈ ()243221200025,1,3,5,6n m n n -+-==⨯=当时符合。
答案为4。
5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛22,0内的任一实数。
解：由题意当[]1,0∈x 时，()()()min 02min max f x f x f x ⎧>⎪⎨>⎪⎩ ； 当0m ≤时，()()()()()min 0102min 2max 1220,f x f f x f x f m m ⎧==>⎪⎨=>==-⇒>⎪⎩不存在；当1m ≥时，()()()()()min 1220342min 44max 01f x f m m f x m f x f ⎧==->⎪⇒<⎨=->==⎪⎩，不存在； 当102m <≤时，()()()()()22min 10012min 22max 122f x f m m m f x m f x f m⎧==->⎪⇒<<⎨=->==-⎪⎩， 所以这时102m <≤； 当112m <<时，()()()()()22min 102min 22max 01f x f m m m f x m f x f ⎧==->⎪⇒<<⎨=->==⎪⎩所以这时12m <<0m <<。
6、0 解：原方程可化为()()55x y x y x x +++=+考虑单调性0x y x y ⇒+=⇒=7、完成从第一格到第7格，每次跳一格，要跳7次才能完成。
有x 次跳1格，y 次跳2格，则27(,)x y x y N +=∈当1,3x y ==时，有14C 种跳法；当3,2x y ==时，有35C 种跳法 当5,1x y ==时，有56C 种跳法；当7,0x y ==时，有77C 种跳法共有21种跳法8、20102y x =，122010()()()()g x x a x a x a =--- 则()()()f x g x xg x ''=+ 切线斜率 505201012201012010(0)()2k f a a a a a '====9、解:（1）取AB 、AC 的中点E 、F ，则()()()2211()22CO AB CE EO AB CE AB CB CA CB CA a b ⋅=+⋅=⋅=+⋅-=-同理()2212BO CA c a ⋅=- ；所以2222c b a +=（2）()2222sin sin tan tan cos cos sin 2tan tan sin sin cos sin sin cos 2B C AA ABC A a b c a B C B C A B C Abc bc+⋅⎛⎫+=+⋅=== ⎪+-⋅⋅⎝⎭⋅10、由2211612y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 化简整理得()2223484480k x kmx m +++-=设()11A x y ，，()22B x y ，，则122834kmx x k+=-+ ()()()222184344480km k m ∆=-+-> ① 由221412y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 化简整理得()22232120k x kmx m ----=设()34C x y ，，()44D x y ，，则34223kmx x k+=- ()()()2222243120km k m ∆=-+-+> ② 因为0AC BD +=，所以()()42310x x x x -+-=，此时()()42310y y y y -+-=．由1234x x x x +=+得 2282343km km k k -=+-．所以20km =或2241343k k-=+-．由上式解得0k =或0m =．当0k =时，由①和②得m -<因m 是整数，所以m 的值为3-，2-，1-，0，1，2，3．当0m =，由①和②得k k 是整数，所以1k =-，0，1．于是满足条件的直线共有9条． 11、解：（1）因为()()()()()()()121321111,,111111x f x f x f x f f x f x f f x x x x x x x-========⎡⎤⎣⎦----- ()()[]()()xx x f x ，f xx f f x f 13,112200934-==-==为周期所以迭代函数以…所以()11,011,0x x g x x x ⎧+<⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩…图象如右：（2）因为,00,0a b ma mb m a b <>>⇒<<<；又因为0mb ≠，所以],[1b a ∉-（否则0,0===ma mb m ，矛盾）当()1111,1(,1],11ma aa b f x x mb b⎧+=⎪⎪<<-=+-∞-⎨⎪+=⎪⎩则在上是减函数由题意所以()2111,1,0,1a b mx x x x m m+=⇒--=-∞-是方程的两不同实根在有两个不同实根，()214011111004112m m g m m m m ⎧∆=+>⎪⎪⎪-=+->⇒-<<⎨⎪⎪<-⎪⎩()11110,1(1,0),11.mb aa b f x x ma b a b ⎧--=⎪⎪-<<<=---⎨⎪--=⎪⎩⇒=当时则在上是增函数由题意不合综上所述104m -<<。