3-2-2二维连续型随机变量分布 (1)

则称 X 1 Βιβλιοθήκη Baidu X 2 ,, X n 是相互独立的 .
P ( X 1 x1 ,, X n xn ) p ( X i xi ),
i 1 n
f ( x1 , x2 ,, xn ) f X i ( xi ),
i 1
概率论-第三章
n
例3 例2
设二维随机变量（ X , Y）的密度函数为 6e ( 2 x 3 y ) x 0, y 0 f ( x, y) 0 其它 判断X与Y是否独立
2、设二维随机变量（ X，Y）的概率密度为
2 x y f ( x, y ) 0 0 x, y 1 其它
求P{ X 2Y }
概率论-第三章
内容回顾
1、二维随机变量的分布函数
F ( x , y ) P { X x ,Y y } ,
FX ( x ) F ( x,). FY ( y) F (, y).
G
0
x
(4) P{( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy
概率论-第三章 画出表达式与密度函数 非零区域的交集 G
二、连续型随机变量的边缘密度
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x , y ), 由于
FX ( x ) F ( x,)
X 和 Y 相互独立
P { X xi ,Y y j } P { X xi }P {Y y j } ,

即 pij pi p j .
事件A与B独立 P ( AB) P ( A) P ( B).
F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
概率论-第三章
课前练习
1 0 已知 X ~ 1 1 4 2
0 1 1 Y ~ 1 2 4 1 1 2
考研真题
且P{ X Y 0} 1 求X与Y的联合分布
思路分析
由P{ X Y 0} 1
Y 0
X
1 0 1
P{ X 1, Y 1}
f ( x , y )dy,
求边缘概率密度 重要的公式
Y也是一个连续型随机变量， 其概率密度为
FY ( y ) F ( , y ) [ f ( x, y )dx]dy,
f X ( x)

y

f ( x , y )dy, fY ( y )


f ( x , y )dx .
分析练习题
1 0 已知 X ~ 1 1 4 2
0 1 1 Y ~ 1 2 4 1 1 2
且P{ X Y 0} 1 求X与Y的联合分布
思路分析
Y 0
X
1 0 1
pij pi p j .
1 2 1 2
1
0 1
4
1 4
0 1
1 2
二维随机变量分布函数的性质
F ( , ) lim F ( x , y ) 0 F (, y ) lim F ( x, y ) 0
x , y x , y
x
F ( , ) lim F ( x , y ) 1 F ( x,) lim F ( x, y ) 0
( 2 x y )
0
Ae
dxdy 1
A 2
概率论-第三章
例1
设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度 x 0, y 0, 其它.
2e ( 2 x y ) , f ( x, y) 0, ( 2) 求概率 P {Y X }.
分析: 将 ( X,Y )看作是平面上随机点的坐标, 即有
X 的边缘概率密度.
Y 的边缘概率密度.
概率论-第三章
例题分析 设二维随机变量（X ,Y）的密度函数为 例1
求 分析:
Ae ( 2 x y ) f ( x, y) 0 x 0, y 0 其它
（1）常数A

0



f (x, y )dxdy 1
2 x ( 2 x y ) 2 e dy x 0 0 2e 0 x0 0
x0 x0 y0 y0
同理 fY ( y )


e y f ( x , y )dx 0
x ) FY ( y ) f ( x, y ) f X ( x ) fY ( y ) F ( x, y) FX ( 概率论-第三章
求P{ X 2Y } 关键： 确定积分限
思路分析
P{ X 2Y }
1 x 2 0
2007考研 真题
x2 y
f ( x, y )dxdy
y
x 2y
dx ( 2 x y )dy 0 1 5 2 7 ( x x )dx 0 8 24
积分区域的确定：
概率论-第三章
例1
设二维随机变量（X , Y）的密度函数为
求 （ 4 ）f X ( x ), fY ( y )
2e ( 2 x y ) f ( x, y) 0 x 0, y 0 其它
发现了 什么？
分析: （ 4 ）f X ( x )




f ( x, y )dy
则 f ( X ) 和 g(Y )也相互独立 .
A与B独立 P( AB) P( A) P( B).
自己给出结论, 并推广
概率论-第三章
相互独立的推广
若对于所有的 x1 , x2 ,, xn 有
F ( x1 , x2 ,, xn ) FX 1 ( x1 )FX 2 ( x2 ) FX n ( xn ),
y
x
则称 ( X ,Y ) 是连续型的二维随机变量 ,
函数f ( x, y)称为二维随机变量( X , Y ) 的概率密度,
或称为随机变量 X 和 Y 的联合概率密度 .
概率论-第三章
2、二维联合密度函数必具有的性质
(1) f ( x, y ) 0 非负
(2)




f ( x, y )dxdy F (, ) 1
三、相互独立的随机变量
1.定义 设F ( x, y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变
量( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数. 若对于所有
x , y 有 P{ X x , Y y} P{ X x }P{Y y },
即
F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
2 x ( 2 x 3 y ) 2 e 6 e dy x 0 0 f X ( x) 0 0 x 0
分析:
x0 x0
fY ( y )


3e 3 y f ( x , y )dx 0
多维随机变量及其分布函数 二维随机变量及其概率分布 独立性与条件分布 两个随机变量函数的分布 典型例题分析
概率论-第三章
课前练一练
1 0 1、已知 X ~ 1 1 4 2 1 1 4
0 Y ~ 1 2
1 1 2
且P{ X Y 0} 1 求X与Y的联合分布
P {( X , Y ) G } f ( x , y )dxdy
G
非常重要 呦！
计算事件概率的 具体公式
概率论-第三章
3、连续型联合密度函数的几何意义
几何上, z f ( x, y) 表示空间的一个曲面 .



f ( x, y )dxdy 1,
表示介于 f (x, y)和 xoy 平面之间的空间区域的 全部体积等于1.
2
0 1
4
1 4
X与Y不独立
概率论-第三章
1
3. 二维连续型随机变量的独立性
设连续型随机变量( X , Y )的联合概率密度为 f ( x, y ),边缘概率密度分别为f X ( x ), fY ( y ),则有
X 和 Y 相互独立 f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y ). 4. X 和 Y 相互独立,
[

x


f ( x, y )dy]dx,
记
f X ( x)
x


f ( x , y )dy,
称其为随机变量 ( X , Y ) 关于 X 的边缘概率密度 .
F ( x, y )


y

f ( x , y )dxdy
概率论-第三章
f X ( x)


概率论-第三章
教 学 要 求 与 重 点 、 难 点
理解二维连续型随机变量的概念
掌握联合分布函数的定义及性质
掌握边际密度函数的计算方法
会判断相互独立的随机变量
重点：联合密度与边际密度计算 求事件的概率，判断独立性 难点：求二维联合分布函数
概率论-第三章
一、二维连续型随机变量
1、联合分布函数与联合概率密度函数
1.定义 F ( x , y ) P{ X x ,Y y } ,
对于二维随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数 F ( x, y ), 如果存在非负可积函数 f ( x, y ) 使对于任意 x, y 有
F ( x, y)
f ( u, v ) d u d v ,
当两个随机变量的取值 互不影响时， 则称二者相互独立
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的 .
直观定义
事件A与B独立 P ( AB) P ( A) P (概率论 B). -第三章
2. 二维离散型随机变量的独立性
若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为
P { X xi ,Y y j } P ij
1 2 1 2
1
0 1
4
1 4
0 1
1 2
2
0 1
4
1 4
P{ X 1, Y 1} 0
P{ X 1, Y 1} P{ X 1}P{Y 1}
概率论-第三章
1
教学 内容
本 节 内 容
§3-2-2 二维连续型随机变量 及其概率密度
一、联合分布与边际分布的 关系 二、随机变量间的独立性 三、二维随机变量的常见分布 四、例题与思考
P{( X , Y ) G }
f ( x, y ) dxdy,
G
z
P{ ( X , Y ) G }的值等于以G为底 , 以曲面z f ( x, y ) 为顶面的柱体体积.
x G
概率论-第三章
y
典型例题
概率密度为
设二维随机变量（X，Y）
2 x y f ( x, y ) 0 0 x, y 1 其它
y
概率论-第三章
2、离散型联合分布律
X 的分布律
X
Y
y1
y2
p i
p 1 p 2
x1 x2
p j
p p 11 12 由联合分布律可直接 p 21 p 22 得到边缘分布律



1 边缘分布律
概率论-第三章
p 1
p 2
Y
的分布律
---直接在表格上运做，往往更为方便！
反过来，任意一个具有上述两个性质的二元函数
f ( x , y ) 必定可以作为某个二维随机变量的密度函数。
概率论-第三章
其它性质：
(3)若f ( x, y )在点( x, y )连续，F ( x, y )是相应的 分布函数，则有
F ( x, y ) f ( x, y ) xy
2
（ 4 ） 若G是平面上的某一区域， 则
解 ( 3) F ( x, y )
例1 设二维随机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
x 0, y 0, 其它.

y
x

f ( x, y )dxdy
动手计 y x ( 2 x y ) dxdy, x 0, y 0, 0 0 2e 算是关 键—52 0, 其他. 页例 (1 e 2 x )(1 e y ), x 0, y 0. 得 F ( x , y ) 0, 其他.

P{Y X }
X Y
y
YX
f ( x , y )dxdy
0



G
O
y
2e( 2 x y )dxdy
自己动 脑思考 吧！
x
1 . 3
概率论-第三章
2e ( 2 x y ) , f ( x, y) 0, ( 3) 求分布函数 F ( x , y );