高中数学 3.1.3空间向量的数量积课件 新人教B版选修2-1
课件 1.1.3空间向量的数量积运算-高中数学选择性必修1(新教材同步课件) 共10张PPT
应用探究
【例】BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，
□ABB1A1、□ BB1C1C 的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，
求异面直线BA1与AC所成的角.
【例】已知长方体ABCD — A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为 侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．试计算：
（1）BC ED1； （2）BF AB1 ； （3）EF FC1 .
解：如图，设―A→B ＝a，―A→D ＝b， ―A→A 1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0. （1）―B→C ·―E→D 1＝b·[12(c－a)＋b]＝|b|2＝42＝16. （2）―B→F ·―A→B 1＝c－a＋12b·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
∴B―→A1·―A→C ＝－a2. ∴cos〈B―→A1，―A→C 〉＝
2－a·a22a＝－12.
又∵〈B―→A1，―A→C 〉∈[0，π]，∴〈B―→A1，―A→C 〉＝120°，
又∵异面直线所成的角是锐角或直角，
∴异面直线BA1与AC成60°角.
应用探究
拓广探索
【例】如图所示，平行六面体ABCD — A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2， AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长.
解：因为―A→C 1＝―A→B ＋―A→D ＋―A→A 1，
所以―A→C 21＝(―A→B ＋―A→D ＋―A→A 1)2 ＝―A→B 2＋―A→D 2＋A―→A12＋2(―A→B ·―A→D ＋―A→B ·―A→A 1＋―A→D ·―A→A 1).
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第1章 空间向量与立体几何 第2课时 空间向量的数量积
【变式训练】 如图,在四面体O-ABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,
∠OAC=45°,∠OAB=60°,求 与
夹角的余弦值.
解:∵ = − ,
∴ · = ·( − )= · − ·
=||| |cos<, >-||||·cos<, >
π
事实上,两向量夹角的取值范围是[0,π],异面直线所成的角的范围是 0, 2 .设
π
异面直线 l1,l2 所成的角为 θ,方向向量分别为 a,b,当 0<<a,b>≤ 时,θ=<a,b>,
2
即 cos
π
θ=cos<a,b>;当2 <<a,b><π 时,θ=π-<a,b>,即
cos θ=|cos<a,b>|.
第一章
第2课时 空间向量的数量积
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
03
随堂练习
课标定位 素养阐释
1.了解两个向量的夹角的概念.
2.掌握空间中两个向量的数量积定义及运算律和性质.
3.重点提升数学抽象、数学运算、直观想象和逻辑推理素养.
自主预习 新知导学
一、空间向量的夹角
1.空间中任意两个向量是否一定共面?
又 BC=√2,所以△BCA1 是正三角形,
π
故异面直线 A1C 与 B1C1 所成的角为3.
π
故答案为 .
3
π
答案:
3
探究三
求向量的模
【例3】 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,从同一顶点出发的三
【优化方案】2012高中数学 第3章3.1.3空间向量的数量积运算课件 新人教A版选修2-1
3.1.3 空 间 向 量 的 数 积 运 算
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．已知平面 α 内有两个非零向量 a，b，在平面 α 内 ． ， ， → → 任取一点 O，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB 叫做两个 ， ， ， 夹角 ，记作________． 〈 ， 〉 向量 a，b 的______，记作 a，b〉 ． ， 2．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量 |a||b|cos 〈a，b〉 ， 〉 数量积 或内积 ________________叫做 a 与 b 的_________(或内积 ， 或内积)， 叫做 ，它满足的运算律 记作 a·b，即 a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉 它满足的运算律 ， ＝ 〈 ， 〉 ， ＋ ＝ 交换律： 分配律： 有：(1)交换律：_________；(2)分配律：_________ 交换律 a·b＝b·a ； 分配律 a·(b＋c) λ(a·b) ＝______． ＝a·b＋a·c ； ＋ ___________；(3)(λa)·b＝______＝a·(λb) ． ＝
长都等于 a，如图所示，点 E，F 分别是 AB，AD ，如图所示， ， ， 的中点， 的中点，求： → → (1)AB·AC； → → (2)EF·BC. (2)EF·BC.
【思路点拨】 思路点拨】
→ → → → → → 【解】 (1)AB·AC＝|AB||AC|cos〈AB，AC〉 〈 1 a2 ＝a×a× ＝ . × × 2 2 (2)∵E，F 分别为 AB，AD 的中点， 的中点， ∵ ， ， → 1→ ∴EF＝ BD. 2 → → 1→ → ∴EF·BC＝ BD·BC 2 1 1 ＝ ×a×a× × × 2 2 a2 ＝ . 4
高中数学教材新课标人教B版目录完整版
高中数学（ B 版）必修一第一章集合1．1集合与集合的表示方法1．2集合之间的关系与运算第二章函数2．1函数2．2一次函数和二次函数2．3函数的应用（Ⅰ）2．4函数与方程第三章基本初等函数（Ⅰ）3．1指数与指数函数3．2对数与对数函数3．3幂函数3．4函数的应用（Ⅱ）高中数学（ B 版）必修二第一章立体几何初步1．1空间几何体1．2 点、线、面之间的位置关系第二章平面解析几何初步2．1平面真角坐标系中的基本公式2．2 直线方程2．3圆的方程2．4 空间直角坐标系高中数学（ B 版）必修三第一章算法初步1．1算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3中国古代数学中的算法案例第二章统计2．1随机抽样 2．2用样本估计总体 2．3 变量的相关性第三章概率3．1随机现象3．2古典概型3．3随机数的含义与应用3． 4概率的应用高中数学（ B 版）必修四第一章基本初等函 (Ⅱ)1．1任意角的概念与弧度制1．2 任意角的三角函数1．3三角函数的图象与性质第二章平面向量2．1向量的线性运算2．2向量的分解与向量的坐标运算2．3平面向量的数量积2．4向量的应用第三章三角恒等变换3．1和角公式3．2倍角公式和半角公式3．3三角函数的积化和差与和差化积高中数学（ B 版）必修五第一章解直角三角形1．1正弦定理和余弦定理1．2应用举例第二章数列2．1数列2．2等差数列2．3等比数列第三章不等式3．1不等关系与不等式3．2均值不等式3．3一元二次不等式及其解法3．4不等式的实际应用3．5二元一次不等式（组）与简单线性规划问题高中数学（ B 版）选修 1－ 1第一章常用逻辑用语1．1命题与量词1．2基本逻辑联结词1．3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2．1椭圆2．2双曲线第三章导数及其应用3．1导数3．2导数的运算高中数学（ B 版）选修3．31－ 2导数的应用第一章第三章统计案例数系的扩充与复数的引入第二章第四章推理与证明框图高中数学（ B 版）选修 2-1第一章常用逻辑用语1.1命题与量词 1.2基本逻辑联结词1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程 2.2椭圆 2.3双曲线2.4抛物线 2.5直线与圆锥曲线第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算 3.2空间向量在立体几何中的应用高中数学（ B 版）选修 2-2第一章导数及其应用1.1导数 1.2导数的运算1.3导数的应用 1.4定积分与微积分基本定理第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理 2.2 直接证明与间接证明2.3数学归纳法第三章数系的扩充与复数3.1数系的扩充与复数的概念 3.2 复数的运算高中数学（ B 版）选修 2-3第一章计数原理1.1 基本计数原理 1.2 排列与组合1.3 二项式定理第二章概率2.1 离散型随机变量及其分布列2.3 随机变量的数字特征2.2 条件概率与事件的独立性2.4 正态分布第三章统计案例3.1 独立性检验 3.2 回归分析高中数学（ B 版）选修 4－4第一章坐标系1.1直角坐标系平面上的压缩变换 2 极坐标系1.3曲线的极坐标方程 1.4圆的极坐标方程1.5柱坐标系和球坐标系第二章参数方程2.1 曲线的参数方程 2.2 直线和圆的参数方程2.3 圆锥曲线的参数方程高中数学（ B 版）选修 4－ 5第一章不等式的基本性质和证明的基本方法1．1 不等式的基本性质和一元二次不等式的解法式1．3绝对值不等式的解法1．41．2 基本不等绝对值的三角不等式1．5不等式证明的基本方法第二章柯西不等式与排序不等式及其应用2．1 柯西不等式2．2排序不等式2．3平均值不等式(选学)2．4最大值与最小值问题，优化的数学模型第三章数学归纳法与贝努利不等式3.1 数学归纳法原理 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式。
人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件 第一章 空间向量与立体几何 第2课时 空间向量的数量积
2
2
2
2
2
1
=2(|b|2-|a|2)=0,所以1
⊥ ,即 A1O⊥BD.
同理可证1 ⊥ ,即 A1O⊥OG.
又OG∩BD=O,OG⊂平面GBD,BD⊂平面GBD,
∴A1O⊥平面GBD.
成果验收·课堂达标检测
1.已知四面体 ABCD 的所有棱长都是 2,点 E 是 AD 的中点,则 · =( A )
作直线l(或平面α)的垂线,假设垂足为A,B,则向量 称为a在直线l(或平面
α)上的投影.
(3)空间向量的数量积
两个非零向量a与b的数量积(也称为内积)定义为a·b=|a||b|cos<a,b>.规定
零向量与任意向量的数量积为0.
名师点睛
1.空间向量的数量积是一个实数而不是一个向量.
2.数量积的正负取决于向量的夹角,注意两向量反向时夹角为π.
(λa)·b=λ(a·b),λ∈R
交换律
a·b=b·a
分配律
(a+b)·c=a·c+b·c
名师点睛
1.a⊥b的充要条件是a·b=0,这是用向量证明空间中垂直关系的根本方法,
同时也说明由a·b=0不能得到a=0或b=0.
2.向量的数量积不满足结合律.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.( × )
1
C.
4
解析 由题意得 = + = +
· = ·(
2
1
|
|
2
=
1
.故选
2
D.
1
+ 2
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B版选修21
高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3两个向量的数量积学案新人教B 版选修211．掌握空间向量的夹角与长度的概念．2．掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法．(重点) 3．能用向量的数量积解决立体几何问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 空间向量的夹角阅读教材P 85～P 86“两个向量的数量积”上面内容，完成下列问题． 1．夹角的定义已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则角∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．图31202．夹角的范围空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]．特别地，当θ＝0时，两向量同向共线；当θ＝________时，两向量反向共线，所以若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π；当〈a ，b 〉＝π2时，两向量________，记作________．【答案】 π 垂直 a ⊥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)〈a ，b 〉与(a ，b )都表示直角坐标系下的点．( ) (2)在△ABC 中，〈AB →，BC →〉＝∠B .( )(3)在正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →与A ′C ′→的夹角为45°.( )【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2 空间向量的数量积及其性质阅读教材P86“两个向量的数量积”～P87“例2”，以上部分内容，完成下列问题．1．已知空间中两个非零向量a，b，则________叫做a，b的数量积，记作________．规定：零向量与任何向量的数量积为________，即0·a＝________.【答案】|a||b|cos〈a，b〉a·b0 02．空间向量数量积满足下列运算律(1)(λa)·b＝λ(a·b)；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝________.【答案】a·b＋b·c3．空间向量数量积的性质若a，b是非零向量，e是与b方向相同的单位向量，θ是a与e的夹角，则(1)e·a＝a·e＝|a| cos θ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；(4)若θ为a，b的夹角，则cos θ＝a·b|a||b|；(5)|a·b|≤|a|·|b|.【答案】a·a下列式子中正确的是( )A．|a|a＝a2B．(a·b)2＝a2b2C．a(a·b)＝b·a2D．|a·b|≤|a||b|【解析】根据数量积的定义知，A，B，C均不正确．故选D.【答案】 D[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________[小组合作型]空间向量数量积的运算(1)如图3121，三棱锥P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，PA ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，PA →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有( )图3121A ．6对B ．5对C ．4对D ．3对(2)已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则AE →·AF →＝________.图3122(3)如图3122所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求下列数量积： ①AB →·BA 1→＝________； ②AB →·BC 1→＝________.【自主解答】 (1)AB →与BC →，PA →与AB →，PA →与BC →，PA →与CA →，PB →与BC →夹角为90°. (2)AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·12AD →＝12AB →·AD →＋14BC →·AD →＝12a 2cos 60°＝14a 2. (3)①AB →·BA 1→＝1×2cos 135° ＝－1；②AB →·BC 1→＝AB →·(BC →＋CC 1→)＝AB →·BC →＋AB →·CC 1→ ＝0.【答案】 (1)B (2)14a 2(3)①－1 ②01．求两向量数量积的解题思路 (1)解模：解出两向量的模．(2)求夹角：根据向量的方向求出两向量的夹角． (3)求结果：使用公式a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉得结果． 2．数量积的运算结果是一个数量，正、负、零皆有可能．[再练一题]1．已知空间向量a ，b 满足|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角为150°，求下列各式的值． (1)a ·b ；(2)(a ＋2b )·(2a －3b )．【解】 (1)a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4×8×cos 150°＝4×8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－16 3. (2)(a ＋2b )·(2a －3b )＝2a 2＋a ·b －6b 2＝2|a |2＋|a ||b |cos 150°－6|b |2＝2×42－163－6×82＝－352－16 3.求两个空间向量的夹角如图3123，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，求BC →1与AC →夹角的大小．图3123【精彩点拨】 (1)怎样用向量AB →，AD →，AA →1表示向量BC →1与AC →？ (2)求两向量的夹角公式是怎样的？ 【自主解答】 不妨设正方体的棱长为1， BC →1·AC →＝(BC →＋CC →1)·(AB →＋BC →)＝(AD →＋AA →1)·(AB →＋AD →)＝AD →·AB →＋AD →2＋AA →1·AB →＋AA →1·AD →＝0＋AD →2＋0＋0＝AD →2＝1， 又∵|BC →1|＝2，|AC →|＝2，∴cos 〈BC 1→，AC →〉＝BC →1·AC →|BC →1||AC →|＝12×2＝12.∵0°≤〈BC →1，AC →〉≤180°， ∴〈BC →1，AC →〉＝60°. ∴BC →1与AC →夹角的大小为60 °.1．由于向量的夹角的取值范围为[0，π]，而异面直线所成的角的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，因此利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度之间的关系．当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2时，它们相等；而当〈a ，b 〉∈ ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π时，它们互补．2．利用数量积求异面直线所成角θ的余弦值的步骤 (1)取向量；(2)求向量夹角余弦cos 〈a ，b 〉； (3)定结果cos θ＝|cos 〈a ，b 〉|.[再练一题]2.如图3124，已知直三棱柱ABC A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D ，E 分别为AB ，BB ′的中点．图3124(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 【解】 (1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ，根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE →＝b ＋12c ，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D . (2)∵AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |，|CE →|＝52|a |，∵AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. ∴异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. [探究共研型]利用数量积求距离探究1 已知A (1,2,1)，B (2,0,2)，求|AB →|的值． 【提示】 AB →＝(1，－2,1)，∴|AB →|＝12＋－22＋12＝ 6.探究2 求两点间距离或线段的长度的方法．【提示】 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a |＝a ·a 求解即可．平行四边形ABCD 中，AB ＝2AC ＝2且∠ACD ＝90°，将它沿对角线AC 折起，使AB 与CD 成60°角，求点B ，D 间的距离．图3125【精彩点拨】 (1)由已知可以得出AC 与CD ，AC 与AB 垂直吗？ (2)根据AB 与CD 成60°角可建立什么方程？能直接求出|BD →|吗？【自主解答】 由已知得AC ⊥CD ，AC ⊥AB ，折叠后AB 与CD 所成角为60°，于是，AC →·CD →＝0，BA →·AC →＝0，且〈BA →，CD →〉＝60°或120°.|BD →|2＝(BA →＋AC →＋CD →)2＝BA →2＋AC →2＋CD →2＋2BA →·AC →＋2AC →·CD →＋2BA →·CD →＝22＋12＋22＋2×2×2cos〈BA →，CD →〉，故|BD →|2＝13或5，解得|BD →|＝13或5， 即B ，D 间的距离为13或 5.1．利用空间向量的数量积与空间向量模的关系，常把空间两点距离问题转化为空间向量模的大小问题加以计算．2．用数量积求两点间距离的步骤 (1)用向量表示此距离； (2)用其他向量表示此向量； (3)用公式a ·a ＝|a |2，求|a |； (4)|a |即为所求距离．[再练一题]3.如图3126所示，在空间四边形OABC 中，OA ，OB ，OC 两两成60°角，且OA ＝OB ＝OC ＝2，E 为OA 的中点，F 为BC 的中点，试求E ，F 间的距离．图3126【解】 EF →＝EA →＋AF →＝12OA →＋12(AB →＋AC →)＝12OA →＋12[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)]＝－12OA →＋12OB →＋12OC →，所以EF 2→＝14OA →2＋14OB →2＋14OC →2＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OB →＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×12OA →·OC →＋2×12×12OB →·OC →＝2.∴|EF →|＝2，即E ，F 间的距离为 2.[构建·体系]1．已知e 1，e 2为单位向量，且e 1⊥e 2，若a ＝2e 1＋3e 2，b ＝k e 1－4e 2，a ⊥b ，则实数k 的值为( )A ．－6B ．6C ．3D ．－3【解析】 由题意可得a ·b ＝0，e 1·e 2＝0， |e 1|＝|e 2|＝1，∴(2e 1＋3e 2)·(k e 1－4e 2)＝0， ∴2k －12＝0，∴k ＝6. 【答案】 B2．在空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为( )A.12 B ．22C ．－12D ．0【解析】 OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →|·|OB →|cos ∠AOB ＝12|OA →||OC →|－12|OA →||OB →|＝0，∴OA →⊥BC →.∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D3．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·BD →＝________.【导学号：15460065】【解析】 原式＝AB →·CD →＋BC →·AD →＋CA →·(AD →－AB →)＝AB →·(CD →－CA →)＋AD →·(BC →＋CA →) ＝AB →·AD →＋AD →·BA →＝0. 【答案】 04.如图3127，四面体ABCD 的每条棱长都等于2，点E ，F 分别为棱AB ，AD 的中点，则|AB →＋BC →|＝________，|BC →－EF →|＝________，EF →与AC →所成的角为________．图3127【解析】 |AB →＋BC →|＝|AC →|＝2； EF →＝12BD →，BD →·BC →＝2×2×cos 60°＝2，故|BC →－EF →|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →－12BD →2＝BC →2－BC →·BD →＋14BD →2＝4－2＋14×4＝3.故|BC →－EF →|＝ 3.又因为EF →＝12BD →＝12(AD →－AB →)，故AC →·EF →＝12AC →·(AD →－AB →)＝12(AC →·AD →－AC →·AB →)＝0， 因为〈EF →，AC →〉∈[0°，180°]， 所以〈EF →，AC →〉＝90°. 【答案】 23 90°5.如图3128，三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M ，N 分别是A 1B ，B 1C 1上的点，且BM ＝2A 1M ，C 1N＝2B 1N .设AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c .图3128(1)试用a ，b ，c 表示向量MN →；(2)若∠BAC ＝90°，∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长． 【解】 (1)MN →＝MA 1→＋A 1B 1→＋B 1N →＝13BA 1→＋AB →＋13B 1C 1→ ＝13(c －a )＋a ＋13(b －a ) ＝13a ＋13b ＋13c . (2)∵(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a ＋b ＋c |＝5， ∴|MN →|＝13|a ＋b ＋c |＝53，即MN ＝53.我还有这些不足：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评 (建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a ，b ，c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0；②|a |＝a ·a ；③a 2b ＝b 2a ；④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2.其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a |2·b ＝|b |2·a 不一定成立，④运算正确．【答案】 D2．已知a ＋b ＋c ＝0，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，则a 与b 的夹角〈a ，b 〉＝( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．以上都不对【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|c |2，∴a ·b ＝32，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝14. 【答案】 D3．已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，连接AC ，BD ，PB ，PC ，PD ，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )A.PC →与BD → B ．DA →与PB → C.PD →与AB →D ．PA →与CD →【解析】 用排除法，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥CD ，故PA →·CD →＝0，排除D ；因为AD ⊥AB ，PA ⊥AD ，又PA ∩AB ＝A ，所以AD ⊥平面PAB ，所以AD ⊥PB ，故DA →·PB →＝0，排除B ，同理PD →·AB →＝0，排除C.【答案】 A4.如图3129，已知空间四边形每条边和对角线都等于a ，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是( )图3129A ．2BA →·AC →B ．2AD →·DB →C ．2FG →·AC →D ．2EF →·CB →【解析】 2BA →·AC →＝－a 2，故A 错；2AD →·DB →＝－a 2，故B 错；2EF →·CB →＝－12a 2，故D错；2FG →·AC →＝AC →2＝a 2，故只有C 正确．【答案】 C5．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，有下列命题： ①(AA 1→＋AD →＋AB →)2＝3AB →2； ②A 1C →·(A 1B 1→－A 1A →)＝0； ③AD 1→与A 1B →的夹角为60°. 其中正确命题的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，AD 1→与A 1B →的夹角为120°. 【答案】 B 二、填空题6．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |＝_________________.【导学号：15460066】【解析】 |2a －3b |2＝(2a －3b )2＝4a 2－12a ·b ＋9b 2＝4×|a |2＋9×|b |2－12×|a |·|b |·cos 60°＝61， ∴|2a －3b |＝61. 【答案】617．已知|a |＝2，|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则使向量a ＋λb 与λa －2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，cos 〈a ＋λb ，λa －2b 〉≠－1.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋λb ·λa －2b <0，a ＋λb ·λa －2b ≠－|a ＋λb ||λa －2b |得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－3<λ<－1＋ 3. 【答案】 (－1－3，－1＋3)8.如图3130，已知正三棱柱ABC A 1B 1C 1的各条棱长都相等，M 是侧棱CC 1的中点，则异面直线AB 1和BM 所成的角的大小是________．图3130【解析】 不妨设棱长为2，则AB →1＝BB 1→－BA →，BM →＝BC →＋12BB 1→，cos 〈AB 1→，BM →〉＝BB 1→－BA →·⎝⎛⎭⎪⎫BC →＋12BB 1→22×5＝0－2＋2－022×5＝0，故填90°.【答案】 90° 三、解答题9．如图3131，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 与BD 的交点，G 为CC 1的中点．求证：A 1O ⊥平面BDG .图3131【证明】 设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c . 则a ·b ＝0，a ·c ＝0，b ·c ＝0.而A 1O →＝A 1A →＋AO →＝A 1A →＋12(AB →＋AD →)＝c ＋12(a ＋b )，BD →＝AD →－AB →＝b －a ，OG →＝OC →＋CG →＝12(AB →＋AD →)＋12CC 1→＝12(a ＋b )＋12c .∴A 1O →·BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋12a ＋12b ·(b －a )＝c ·(b －a )＋12(a ＋b )·(b －a )＝c ·b －c ·a ＋12(b 2－a 2)＝12(|b |2－|a |2)＝0. ∴A 1O →⊥BD →. ∴A 1O ⊥BD . 同理可证A 1O →⊥OG →. ∴A 1O ⊥OG .又OG ∩BD ＝O 且A 1O ⊄平面BDG ， ∴A 1O ⊥平面BDG .10．已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AB 1的中心，F 为A 1D 1的中点，试计算：(1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→；(3)EF →·FC 1→.【解】 如图所示，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ， 则|a |＝|c |＝2，|b |＝4，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0.(1)BC →·ED 1→＝AD →·(EA 1→＋A 1D 1→)＝AD →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋AD →＝b ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋b ＝|b |2＝42＝16.(2)BF →·AB 1→＝(BA 1→＋A 1F →)·(AB →＋BB 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫AA 1→－AB →＋12AD →·(AB →＋AA 1→)＝⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋12b ·(a ＋c )＝|c |2－|a |2＝22－22＝0.(3)EF →·FC 1→＝(EA 1→＋A 1F →)·(FD 1→＋D 1C 1→) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12AA 1→－AB →＋12AD →·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AD →＋AB → ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12c －a ＋12b ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a ＝12(－a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＋a＝－12|a |2＋14|b |2＝2.[能力提升]1．已知边长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1的中心为O 1，则AO 1→·AC →的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2【解析】 AO 1→＝AA 1→＋A 1O 1→＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12(AB →＋AD →)，而AC →＝AB →＋AD →，则AO 1→·AC →＝12(AB →2＋AD →2)＝1，故选C.【答案】 C2．已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．45°【解析】 由于AB →＝AC →＋CD →＋DB →，则AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝CD →2＝1. cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →|·|CD →|＝12，得〈AB →，CD →〉＝60°.【答案】 B3．已知正三棱柱ABC DEF 的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC 的中点，若直线CF 上有一点N ，使MN ⊥AE ，则CN CF＝________.【导学号：15460067】【解析】设CN CF＝m ，由于AE →＝AB →＋BE →， MN →＝12BC →＋mAD →，又AE →·MN →＝0，得12×1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋4m ＝0，解得m ＝116. 【答案】1164.如图3132，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°，求AC 1的长．图3132【解】 ∵AC 1→＝AB →＋AD →＋AA 1→， ∴|AC 1→|＝AB →＋AD →＋AA 1→2＝ AB →2＋AD →2＋AA 1→2＋2AB →·AD →＋AB →·AA 1→＋AD →·AA 1→.∵AB ＝1，AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA 1＝∠DAA 1＝60°， ∴〈AB →，AD →〉＝90°，〈AB →，AA 1→〉＝〈AD →，AA 1→〉＝60°， ∴|AC 1→|＝1＋4＋9＋21×3×cos 60°＋2×3×cos 60° ＝23.。
数学：3.1.3《空间向量及其运算--数量积》课件(新人教a版-选修2-1)
A
证明：因为 M N 所以
AB M N AB (M A AD DN ) AB M A AB AD AB DN
M
D B N C
1 2
a
2
1 4
a
2
1 4
a
2
0
MN AB
同理，M N
CD
3.已知空间四边形 O A B C
OA ，求证：
设 OA a , 则有向线段 已知空间两个向量 记作：a b , 即 a b a b cos a , b OA 的长度叫做向量 a的长度或模 , 记作： a
a , b，则 a b cos a , b 叫做向量
a , b的数量积，
注意： ①两个向量的数量积是数量，而不是向量. ②零向量与任意向量的数量积等于零。
4 3 5 2 ( 0 1 0 7 .5 ) 85
2
2
2
A
B
| A C |
85
BD 1.已知线段 A B 、B D 在平面 内，
A B ，线段 A C
，如果
C
AB a , BD b , AC c
，求 C 、D 之间的距离.
解：∵
| C D | (C A A B B D )
、典型例题
l
l
g
g n n m
m
例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC， OB⊥AC，求证：OC⊥AB
证明：由已知
O
所以
OA B C ，OB AC
OA BC 0 , OB AC 0 OA ( OC OB ) 0
高中数学选修2-1(人教B版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习题及答案
→
→
∣→∣ ∣ ∣ →
∣→∣ ∣ ∣
→
→
④若 a = b ， b = c ，则 a = c ； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数是（ ）
→
→ →
→
→
中，必有 AC = A 1 C1 ；
−→ −
− − −→
A．4 B．3 C．2 D．1 解：C． 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，由于向量可以平移，故两个向量相 等，不一定有起点相同、终点相同，故命题①错误；两个向量的模长相等，两个向量不一定相等，还要 考虑方向因素，故命题②错误；命题③④正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1 ， 但是方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 在长方体 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 中，下列各式运算结果为 BD 1 的是（
− − − → − − − → −→ − −→ − A 1 N = A 1 A + AB + BN − → → 1 −→ = − a + b + BC 2 − → → 1 −→ = − a + b + AD 2 → → 1→ = −a + b + c. 2
（3）因为 M 是 AA 1 的中点，所以
− → −→ − − − → − MP = MA + AP − − → −→ − 1− = A 1 A + AP 2 1→ → → 1→ = − a + (a + c + b) 2 2 1→ 1→ → = a + b + c; 2 2 − − − → −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1 −→ − − − − → 1→ → NC1 = NC + CC1 = BC + AA 1 = AD + AA 1 = c +a 2 2 2
北师大版选修2-1高中数学3.1.3空间向量的数量积word教案1
1．已知向量 ，向量 与 的夹角都是 ，且 ，
试求：（ 1） ；（2） ；（3） ．
3．向量的数量积：
已知向量 ，那么 叫做 的数量积，记作 ，即 ．
已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量，作点 在 上的射影 ，作点 在 上的射影 ，那么 叫做向量 在轴 上或在 上的正射影；能够证明 的长度 ．
4．空间向量数量积的性质：
（1） ．
（2）
（3） ．
5．空间向量数量积运算律：
（1） ．
例3．如图，在空间四边形 中， ， ， ， ， ， ，求 与 的夹角的余弦值。
解：∵ ，
∴
∴ ，
因此， 与 的夹角的余弦值为 ．
说明： 由图形知向量的夹角99页练习第一、二、3题。
六．教学反思：空 间向量数量积的概念和性质。
七．作业：讲义第106页第3、4题
教学进程
学生探讨进程：（一）温习：空间向量大体定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示
已知两非零向量 ，在空间任取一点 ，作 ，那么 叫做向量 与 的夹角，记作 ；且规 定 ，显然有 ；
若 ，那么称 与 相互垂直，记作： ；
2．向量 的模：
设 ，那么有向线段 的长度叫做向量 的长度或模，记作： ；
．空间向 量的数量积（1）
教学目标：1．把握空间向量夹角和模的概念及表示方式；
2．把握两个向量的数量积的计算方式，并能利用两个向量的数量积解决立 体几何中的一些简单问题。[
教学重、难点：空间数量积的计算方式、几何意义、立体几何问题的转化。
教具预备：与教材内容相关的资料 。
教学假想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培育严谨的学习态度，培育踊跃进取的精神．
高二数学选修课件：3-1-3两个向量的数量积
人 教 B 版 数 学
如 果 <a ， b> ＝ 90° ， 则 称 ________________ ， 记 作
________．
第三章
空间向量与立体几何
2．两个向量一定共面．但在作向量a，b时，它们的基
线可能不同在任一平面内，我们把不同在任一平面内的两 条直线叫做________．把异面直线平移到一个平面内，这 时两条直线的夹角(锐角或直角)叫做________，如果所成 的角是直角，则称两条异面直线________．
(2)∵(3a － 2b)·(a ＋ 2b) ＝ 3|a|2 ＋ 4a·b － 4|b|2 ＝ 3|a|2 ＋ 4|a||b|cos120°－4|b|2，
1 ∴(3a－2b)· (a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－2)－4×16 ＝27－24－64＝－61.
第三章
空间向量与立体几何
向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，求a·b， a2，b2，(a＋2b)·(a－b)．
人 教 B 版 数 学
第三章
空间向量与立体几何
空间两个向量的数量积的性质．
与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数 量积也具有如下性质． a．a·e＝|a|cos<a，e> b．a⊥b⇔a·b＝0
人 教 B 版 数 学
c．|a|2＝a·a
d．|a·b|≤|a||b|
第三章
空间向量与立体几何
人 教 B 版 数 学
3．把平面向量的数量积
a·b＝|a||b|cos<a，b> 也叫做两个空间向量a，b的________________．
高中数学选修2-1 3.1.3空间向量的数量积运算 课件 (共22张PPT)
2.由已知三棱柱为正三棱柱 ，如果设 BB1 1,那么 0 0 2 90 60 AB=______, A1 AB A1 AC ____, BAC ____.
两条直线所成的角与两向量所成的角有时 相等有时互补，此时相等。 5.与 AB1与 C 1B 所成的角为____ 90 0 .
本节课所用知识复习：
b, a b a b cos a , b . 空间两个非零向量 a、 b 的数量积(或内积)． 叫做向量 a、
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个 实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
1
a b cos a , b a b
整理思路，规范解题过程。 解： 设BB1 1则AB= 2
AB1 AB BB1 AB AA1 BC1 BC CC1 AC AB CC1
重点：
1.理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用， 两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转 化为向量计算问题。 2. 辨析两条直线所成的角与两条直线的方向向量所成
的角的区别。认识清楚何时相等何时互补。
难点：
两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转
化为向量计算问题，向量计算问题中的化归方向。
AB1BC1 AB AA1 AC AB AA1
ABAC ABAB ABAA1 AA1 AC AA1 AB AA1 2 2 0 AB AC COS 60 AB 0 0 0 AA1 1 2 2 2 2 1 0 2
1
用新方法解题：（按照指导思路解答） 思路指导： 1. 请你结合题意选择一组基底 _______________. AB, AC , AA1. 用这一组基底 AB BB1 AB AA1 来表示AB1 =___________________, BC CC AC AB AA1 BC 1 =_______________.
人教课标版高中数学选修2-1：《空间向量的数量积运算》教案-新版
3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标（一）核心素养通过本节课的学习，同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律，能借助图形进行空间向量的运算，并通过空间几何体加深对运算的理解．会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模，并能熟练应用于立体几何证明与求值．（二）学习目标1．了解向量夹角的定义，掌握空间向量数量积的运算法则及运算律．2．掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法．3．培养学生数形结合的思想和空间想象能力，并能解决向量的综合问题．（三）学习重点1．空间向量的数量积运算法则及运算律．2．空间向量的模长公式和夹角公式．3．空间向量数量积在立体几何中的应用．（四）学习难点1．利用空间向量的数量积求模与夹角．2．将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第90页至第91页，填空： 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作a OA =，b OB =，则AOB ∠叫做向量a ，的夹角，记作><,． 如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥． 已知两个非零向量，，则><b a b a ,cos ||||叫做，的的数量积，记作⋅． 零向量与任何向量数量积为0． 特别地，⋅=><,cos ||||2||=．（2）写一写：和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？ ①数乘结合律：)()(b a b a ⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？ ①若为单位向量，则⋅=><,cos ||； ②若，⊥⇔⋅0=； ③==a ||；④若，为非零向量，则>=<,cos ||||a ba b ⋅； ⑤||||||≤⋅（当且仅当a ，b 共线时等号成立）． 2．预习自测（1）已知向量，满足：3||=，2||=，⋅6-=，则>=<,（ ）A ．0B ．3πC ．2πD ．π 【知识点】空间向量的夹角公式．【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ，∴>=<b a ,π．【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式．【答案】D ．（2）在正三棱柱111C B A ABC -中，若12BB AB =，则1AB 与B C 1所成角的大小为（）A ． 60B ． 90C ． 75D ． 105【知识点】空间向量的垂直．【解题过程】设m BB =||1，则m AB 2||=，∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ，故1AB 与B C 1所成角的大小为 90．【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0．【答案】B ．（3）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，4=AB ，3=AD ，51=AA ， 90=∠BAD ，6011=∠=∠DAA BAA ，则=||1AC ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=，故=||1AC 85．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】85．（4）已知线段AB ，BD 在平面α内，AB BD ⊥，线段α⊥AC ，且a AB =，b BD =，c AC =，则C ，D 间的距离为 ．【知识点】空间向量的模长． 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=，故C ，D 间的距离为222c b a ++．【思路点拨】利用空间向量的模长公式，转化为数量积的运算． 【答案】222c b a ++．(二)课堂设计1．知识回顾（1）空间向量线性运算法则和运算律；（2）共线向量定理的两种表达形式；（3）共面向量定理的两种表达形式．2．问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过，两个非零向量a r ，b r 一定是共面向量．那在平面向量中，我们是怎样定义两个向量的夹角的呢？（抢答） 已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作OA a =uu r r ，OB b =uu u r r ，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<，那么向量，互相垂直，记作⊥．也就是说，两个空间向量夹角的定义与平面向量一致．【设计意图】两个非零向量一定是共面，因此向量夹角的概念自然地从平面到空间，让学生体会概念的类比过程，为数量积的定义作好准备．●活动② 巩固理解，深入探究同样的，那数量积的定义呢？（抢答） 已知两个非零向量a ，b ，则><,cos ||||叫做a ，b 的的数量积（inner product ），记作a b ⋅r r ．零向量与任何向量数量积为0．特别地，2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r ．【设计意图】通过抢答，使学生深入探究，进而得到数量积定义．●活动③ 深入探究，发现规律和平面向量类似，空间向量的数量积满足哪些运算律？（抢答） ①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ， ②交换律：⋅=⋅， ③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．【设计意图】类比平面向量，得出空间向量数量积的运算律，理解更加深入．探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究，研究性质和平面向量类似，空间向量的数量积有哪些性质？（抢答） ①若为单位向量，则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ；（解释：1||=，转化为投影） ②若，为非零向量，则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ；（解释：,cos 022a b ππ<>==r r ，）③||==；（解释：,0cos 01a b <>==r r ，） ④若，为非零向量，则||||,cos b a b a >=<；（解释：定义的变形式） ⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．（解释：,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ，）【设计意图】通过类比，得到空间向量数量积的各种性质，并给予合理解释，突破难点． ●活动② 巩固理解，深入探究以上五个性质中，大家认为最重要的有哪些，它们有什么作用？（抢答）第②条，0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ，可用于证明空间向量垂直；第③条，||=，是空间向量的模长公式；第④条，||||,cos b a b a >=<，是空间向量的夹角公式．【设计意图】让学生进行思考，在深刻理解性质的同时，指出公式的作用，为后面的计算打好基础．探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习，由于两个向量必然共面，所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致．同时，我们理解了数量积的三个重要应用是？（抢答）模长、垂直、夹角．它们都是向量a ，b 的二次运算，是非线性的．【设计意图】通过学生归纳知识点和定理，培养学生数学对比、归类、整理意识． ●活动② 互动交流、初步实践例1 设，，是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题中：①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ；②=||22a b b a =r r r r ； ④22||4||9)23()23(-=-⋅+．正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律．【数学思想】转化思想．【解题过程】向量的数量积不满足结合律，所以①不正确；由向量的数量积的定义知，②正确；，不一定共线，向量不一定相等，所以③不正确；利用数量积的运算律，④正确．【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律．【答案】D ．同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ，点E ，F ，G 分别为AB ，AD ，DC 的中点，则以下运算结果为2a 的是（ ）A ．⋅2B ．⋅2C ．CA FG ⋅2D ．CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】由已知可得3,π>=<， 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π． 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算．【答案】B ．【设计意图】通过空间几何体中的向量，让学生对数量积的定义和运算更加熟练． 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中，OB =OC ，且3π=∠=∠AOC AOB ，则><BC OA ,cos 的值为（ ）A ．0B ．21C ．22D ．23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】设a OA =，b OB =，c OC =，由已知得3,,π>=>=<<，且||||=． 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=， 所以0||||,cos =>=<BC OA ．【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长．【答案】A ．同类训练 已知空间向量，，两两夹角为 60，其模都为1，则|2|+-等于（ ）A ．5B ．5C ．6D ．6【知识点】空间向量的模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||||===c b a ， 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ，∴21=⋅=⋅=⋅， ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=， ∴|2|+-5=． 【思路点拨】先计算⋅，⋅，⋅，再利用模长公式展开计算．【答案】A ．【设计意图】运用向量的夹角和模长公式，学生对数量积的运算更加熟练，基础更加牢固． ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ，P A 分别是平面α的垂线、斜线，AO 是P A 在平面α内的射影，α⊂l 且OA l ⊥，求证：PA l ⊥．【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】取直线l 的方向向量，同时取向量PA ，，∵OA l ⊥，∴0=⋅．∵α⊥PO ，且α⊂l ，∴PO l ⊥，∴0=⋅． 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=，∴PA l ⊥．【思路点拨】将向量用，来表示，从而利用数量积解决垂直问题．这是三垂线定理的向量证法，同理也可用来证明：若PA l ⊥，则OA l ⊥．【答案】见解题过程．同类训练 已知m ，n 是平面α内的两条相交直线，如果m l ⊥，n l ⊥，求证：α⊥l ．【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】在α内任作一直线g ，分别在l ，m ，n ，g 上取非零向量l ，m ，，． ∵m 与n 相交，∴向量，不平行，由向量共面的充要条件知，存在唯一的有序实数对),(y x ，使y x +=． ∵0=⋅m l ，0=⋅n l ，∴y x ⋅+⋅=⋅0=，即g l ⊥．∴l 垂直于α内的任意直线，∴α⊥l ．【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为，的线性组合，从而利用数量积证明0=⋅g l ，再由线面垂直的定义可证．这是线面垂直判定定理的向量证法．【答案】见解题过程．【设计意图】垂直问题的证明是常见题型，通过数量积的计算，避免了立体几何中辅助线的添加，极大地降低了难度．3. 课堂总结知识梳理（1）已知两个非零向量，，在空间任取一点O ，作=，=，则AOB ∠叫做向量，的夹角，记作><,．如果2,π>=<b a ，那么向量，互相垂直，记作⊥． （2）已知两个非零向量，，则><,cos ||||叫做，的的数量积（inner product ），记作⋅．零向量与任何向量数量积为0．特别地，⋅=><,cos ||||2||=．空间向量的数量积满足的运算律有：①数乘结合律：)()(⋅=⋅λλ，②交换律：⋅=⋅，③分配率：⋅+⋅=+⋅)(．（3）空间向量的数量积的性质有：①若e 为单位向量，则a e ⋅=><,cos ||；②若a ，b 为非零向量，则a b ⊥⇔a b ⋅0=；③||==a ，b 为非零向量，则||||,cos b a >=<；⑤||||||≤⋅（当且仅当，共线时等号成立）．重难点归纳（1）空间向量的数量积是向量的二维计算，是三个实数的乘积，不满足结合律．（2）空间向量的数量积主要解决向量的垂直，模长和夹角问题，在立体几何中应用非常广泛．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列命题中正确的是（ ）A ．222)(⋅=⋅ B ．||||||≤⋅C ．)()(⋅⋅=⋅⋅D ．若)(-⊥，则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】对于A 项，><=⋅,cos )(222222≤，故A 错误；对于C 项，数量积不满足结合律，故C 错误；对于D 项，有0)(=-⋅，所以⋅=⋅，但不一定等于0，故D 错误．B 项是数量积的性质．【思路点拨】深刻理解各种概念和运算．【答案】B ． 2．已知，为单位向量，其夹角为 60，则=⋅-)2(（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【知识点】向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵1||||==，>=<, 60， ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= ．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则．【答案】B ． 3．在三棱锥BCD A -中，2===AD AC AB ， 90=∠BAD ， 60=∠BAC ，则=⋅（ ）A ．2-B ．2C ．32-D ．32 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】数形结合思想． 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=．【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A ．4．在三棱锥ABC D -中，已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=，则ABC ∆是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ，∴22||||AC AB =，即AC AB =．【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形．【答案】B ．5．已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若+=与的夹角 为 ．【知识点】空间向量的夹角．【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵+=，∴点O 是BC 中点，故BC 为直径，根据圆的性质，有 90=∠BAC ，即<AB ,> 90=．【思路点拨】利用几何性质，点O 是BC 中点，BAC ∠是直角所对的圆周角．【答案】 90． 6．已知，，中每两个向量的夹角都是3π，且4||=a ，6||=b ，2||=c ，试求出||++的值．【知识点】向量模长公式．【数学思想】转化思想． 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=，∴||++10=． 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算．【答案】10．能力型 师生共研7．已知23|=a ，4|=b ，+=，λ+=，43,π>=<，若⊥， 则=λ ．【知识点】向量垂直与数量积的关系． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵⊥，∴0=⋅，即⋅+)(0)(=+λ，则0)1(22=⋅+++λλ，即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ，∴064=+λ，23-=λ． 【思路点拨】利用向量垂直的性质，列出方程求解．【答案】23-． 8．直三棱柱111C B A ABC -中， 90=∠BCA ，M ，N 分别是11B A ，11C A 的中点，1CC CA BC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）A ．101 B ．52 C ．1030 D ．22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=．=，CC =1，1||||||===，∴0=⋅=⋅=⋅，∵BM +=，+=，∴BM ⋅432=+=，又∵26||=BM ，25||=AN ，∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=． 【思路点拨】将与用．，表示，再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值．【答案】C ．探究型 多维突破9．在正三棱柱111C B A ABC -中，若侧面对角线11BC AB ⊥，求证：11AB C A ⊥． 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设=，=，BB =1，m ==||||，n =||， ∵11BC AB ⊥，且11BB AB AB +=+-=，=1BC +， ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ，∴222n m =， ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ，∴11AB C A ⊥． 【思路点拨】将1AB ，1BC ，C A 1用，，表示，再把垂直关系与数量积为零进行转化． 【答案】见解题过程．10．三棱柱111 C B A ABC -中，2221===AC AB AA ， 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ，在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11？若存在，试确定O 点的位置；若不存在，说明理由．【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】设a AB =，b AC =，AA =1，假设存在点O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11，不妨设n BB m +=1，则)(n m -+=m n n ++-=，而+=m n n ++-=)1(，∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=， 要使⊥O A 1平面C C BB 11，只需⊥O A 11BB ，⊥O A 1BC ，即01=⋅A ，0)(1=-⋅A ， ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ，])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅，解得43=m ，21=n ，+=O ，使得⊥O A 1平面C C BB 11．【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1，利用垂直条件列式解出m ，n 的值，从而确定点O 的位置．【答案】见解题过程．自助餐1．下列命题中，①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ；③⋅+=+⋅)()(；④a b b a 22=． 其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】向量数量积的概念和运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】①②③正确，④不正确，因为与的方向不一定相同，故不一定相等． 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算． 【答案】C ．2．已知向量，满足2||=，2||=，且与-2互相垂直，则>=<, ．【知识点】向量数量积的运算，夹角公式． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵与a b -2互相垂直，∴0)2(=-⋅，即022=-⋅，∴2=⋅b a ，∴22||||,cos =>=<b a ，故 45,>=<b a ． 【思路点拨】先求出b a ⋅，再利用向量夹角公式．【答案】 45．3．设A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足0=⋅，0=⋅，0=⋅，则BCD ∆（ ）A ．是钝角三角形B ．是锐角三角形C ．是直角三角形D ．无形状不确定【知识点】数量积定义的应用．【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=，∴0||||,cos >>=<BD BC ，故CBD ∠为锐角，同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角． 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定． 【答案】B ．4．已知a ，b 是两异面直线，A ，a B ∈，C ，b D ∈，b AC ⊥，b BD ⊥，且2=AB ，1=CD ，则直线a ，b 所成的角为（ ） A ． 30B ． 60C ． 90D ． 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵++=，∴⋅++=⋅)(12==，故21||||,cos =>=<CD AB ，即 60,>=<CD AB ． 【思路点拨】先求出⋅，再利用向量夹角公式． 【答案】B ．5．在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ，B ，AC ，BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段，且4=AB ，6=AC ，8=BD ，则CD 的长为 ． 【知识点】向量模长的计算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵++=，∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=，∴292||=CD ．【思路点拨】将拆分成已知长度的向量，再使用向量模长公式． 【答案】292．6．在长方体1111D C B A ABCD -中，设11==AA AD ，2=AB ，P 是11D C 的中点，则C B 1与A 1所成角的大小为 ．【知识点】向量夹角公式的运用． 【数学思想】数形结合思想．【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=，由题意得211==C B PA ，则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ，故 60,11>=<P A C B ． 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式，关键是计算出A B 11⋅．【答案】 60．。
2019-2020学年高中数学人教B版选修2-1课件： 3.1.3 两个向量的数量积
A.1
B.2
C.4
D.8
2.已知正四面体O-ABC的棱长为1. 求:(1) OA OB. (2) (OA＋OB) (CA＋CB).
【解题探究】 1.典例1中向量 APi (i=1,2,…)在向量 AB 方向上的投 影是多少? 提示:向量 A(Pi=i 1,2,…)在向量 方A向B上的投影就 是AB的长,|AB|=1.
3.已知|a|=3,|b|=2,a·b=-3,则<a,b>=
.
【解析】因为|a|=3,|b|=2,a·b=-3,
所以cos<a,b>= a b 3 1 ,
| a || b | 3 2 2
又因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>= 2 .
3的夹角为60°,那么|3a
(3)注意点:①数量积的符号由夹角的余弦值决定. ②当a≠0时由a·b=0可得a⊥b或b=0. ③空间向量没有除法运算:即若a·b=k,则没有a= k .
b
(4)a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影 |b|cos θ的乘积.
4.对空间向量数量积性质的三点说明 (1)向量模的应用:式子|a|= a a 可以解决有关空间长 度问题. (2)向量夹角的应用:空间中两条直线(特别是两条异面 直线)的夹角,可以通过求出这两个向量的夹角而求得.
【思考】 判断: (1)对于非零向量a,b,<a,b>与<a,-b>相等. ( ) (2)对于任意向量a,b,c,,都有(a·b)c=a(b·c).
() (3)若a·b=b·c,且b≠0,则a=c. ( ) (4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. ( )
高中数学选修2-1第三章 3.1 3.1.3 空间向量的数量积运算
＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵ A1O ＝ A1 A＋ AO
＝ A1 A＋12( AB＋ AD)＝c＋12a＋12b，
BD＝ AD－ AB＝b－a，
OG＝OC ＋CG＝12( AB＋ AD)＋12CC1 ＝12a＋12b－12c.
3．1．3 空间向量的数量积运算
预习课本 P90～91，思考并完成以下问题 1．空间向量的数量积的定义是什么？
结束
2．空间向量的数量积满足哪些运算律？
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[新知初探]
结束
1．空间向量的夹角
(1)如图，已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作OA
＝a，OB＝b，则 ∠AOB 叫做向量 a，b 的夹角，记作〈a，b〉．
又| AC |＝ 2，|BA1 |＝ 1＋2＝ 3，
∴cos〈 BA1
，
AC
〉＝ |
BA1 BA1
·AC || AC
＝－1＝－ |6
66，
则异面直线
BA1 与
AC
所成角的余弦值为
6 6.
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结束
利用空间向量的数量积证明垂直
[典例] 已知空间四边形 ABCD 中，AB⊥CD，AC⊥BD， 求证：AD⊥BC.
[解] 不妨设正方体的棱长为 1， 则 BC1 ·AC ＝(BC ＋CC1 )·( AB＋ BC ) ＝( AD＋ AA1 )·( AB＋ AD) ＝ AD·AB＋ AD2＋ AA1 ·AB＋ AA1 ·AD
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例5．已知长方体ABCD－A’B’C’D’， AB=AA’=2，AD=4，E为侧面AB’的中心, F为A’D’的中点，计算下列数量积：
BC ED ' 16
A' c B' E a B A
BF AB ' 0 EF FC ' 2
已知向量 a ， b ， c ，如果这三个已知向量共面，
作 l / / c ，设轴的单位向量为 c0 ，
A a l O B A' b B' c c0
在 l 上取 O 点作 OA a ，作 AB b ，连 OB， 则 OB a b ，过点 A 作 AA’垂直 l 于点 A’，
3.1.3 空间向量的数量积
1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量 a, b ，在空间任取一点 O ， OA a, OB b ， AOB 叫做向量 a 作 则 与 b 的夹角，记作 a, b ； 且规定 0 a, b ， 显然有 a, b b , a ；
例4．已知平面α⊥平面β，α∩β=l，点A、 B在α内，并且它们在l上的正射影分别为 A’，B’；C，D在β内，并且它们在l上的正 射影分别为C’，D’，求证：
AB CD A ' B ' C ' D '
l
A
B C' D' D
A'
的数量积等于零；
CC ', DD ' 分 别 和 AA ', A ' B ', B ' B 的 数 量
积等于零；
从而可得
AB CD ( AA ' A ' B ' B ' B) (CC ' C ' D ' D ' D) A' B 'C ' D '
11
。
b 6、 已知 a 2 ， 3 ， a 与 b 的夹角为 ， 且 2 c 3a 2b ， d ma b ， 3 求当 m 为何值时 c d 。 m
2
7、已知 a 和 b 是非零向量，且 a = b = a b ，
(1) (a) b (a b ) a (b ) (2) a b b a (3) a (b c ) a b a c
下面我们来证明数量积的分配律。
在平面向量中我们已经证明分配律成立。 现在假设这三个向量不共面。
若 a , b
2 记作： a b ；
，则称 a 与 b 互相垂直，
例 1．如图表示一个正方体， 求下列各对向量的夹角：
135° （1） AB 与 A ' C ' ； 45° （2） AB与C ' A ' ； 180° （3） AB与A ' D ' ；90° （4） AB与B ' A ' 。
过点 B 作 BB’垂直 l 于点 B’，则
(a b) c0 OB c0 OB ' ， a c0 OA c0 OA ' ， b c0 AB c0 A ' B ' ， 因为 OB’=OA’+A’B’，所以 (a b) c0 a c0 b c0 ， 上式两边同乘以 | c | ，即可证明 (a b) c a c b c 。
B' C
证明：因为 A’B’和 C’D’分别为 AB 和 CD 在 l 上的 正射影，又因为 α⊥β，所以 AA’//BB’，并且它们 都与 CC’，CD，DD’垂直， CC’//DD’，并且它们都与 AA’，A’B’，BB’垂直。
因此， AA ', BB ' 分别和 CC ', C ' D ', D ' D
则 a b a = b c c
3 3 2
。
－13 。
4、已知 a b 2 ，且 a 与 b 的夹角为 ， 3 3 则 a b 在 a 上的投影为 。
5、已知 a 1 ， b 1 ， 3a 2b 3 ， 则 3a b
4．空间向量数量积的性质：
(1) a e | a | cos a, e (2) a b a b 0 2 (3) | a | a a (4) | a b |≤| a | | b |
5．空间向量数量积运算律：
D' A' C' B'
D A B
C
2．向量的模： 设 OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模， 记作： | a | ； 3．向量的数量积： 已知向量 a, b ，则 | a | | b | cos a, b 叫做 a, b 的 数量积，记作 a b ， 即 a b | a | | b | cos a, b ．
其中正确有个数为（ B ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
2、已知△ABC中，A，B，C所对的边为a,
b, c，且a=3, b=1, C=30°,
则 BC CA =
3、若 a ， b ， c 满足 a b c 0 ， 且 a 3, b 1, c 4 ，
F D'
C' b D
C
练习题 1、 下列命题： ① 若 a 0 ，则 a ， b 中至少一个为 0 ； b ② ②若 a 0 且 a a ，则 b c b c ③ (a ) a b ) ； b c ( c 2 2 ④ (3a 2b) a 2b) 9 a 4 b , (3
例2．用向量方法证明：直线和平面垂直的 判定定理。 已知：m，n是平面α内的两条相交直线， 直线l与平面α的交点为B，且l⊥m，l⊥n 求证：l⊥α． l
g n
m l m g n
证明：在 内作不与 m, n 重合的任一直线 g ，
在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n, g ， ∵ m, n 相交，∴向量 m, n 不平行，由共面定理可知， 存在唯一有序实数对 ( x, y ) ，使 g xm yn ， ∴ l g xl m yl n ，又∵ l m 0, l n 0 ， ∴ l g 0 ，∴ l g ，∴ l g ，
求 a 与 a b 的夹角。
30°
8、已知 a 4 ， b 2 ，且 a 和 b 不共线，
求使 a b 与 a b 的夹角是锐角时 的
取值范围。
(－2，2)
证二：选取一组基底，设 AB a, AC b, AD c ， ∵ AB CD ，∴ a (c b) 0 ，即 a c b a ， 同理： a b b c ，， ∴ ac bc ， ∴ c (b a) 0 ，∴ AD BC 0 ，即 AD BC ．
所以，直线 l 垂直于平面内的任意一条直线， 即得 l ．
例Hale Waihona Puke ．已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,
AC⊥BD，求证：AD⊥BC．
证明：
AD BC ( AB BD) ( AC AB) 2 AB AC BD AC AB AB BD AB ( AC AB BD) AB DC 0 ．