05刚体的定轴转动习题解答

J 00 ( J 0 mR 2 )
1 1 1 2 2 J 0 0 mgR J 0 2 m( 2 R 2 v B 2 2 2
计算题 4 图
A J, r o
B
θ
mg sin T ma
定滑轮 A 的运动满足刚体定轴转动定律
Tr J
加速度和角加速度之间满足关系
a r
联立解得 B 的加速度
a
mr 2 mr J
2
g sin
a 的方向沿斜面向下。 绳中张力为
T
J mr J
2
mg sin
5. 如图所示，质量为 m1 的物体可在倾角 为 的光滑斜面上滑动。m1 的一边系有劲度系 数为 k 的弹簧，另一边系有不 可伸长的轻绳，绳绕过转动惯 量为 J，半径为 r 的小滑轮与 质量为 m2 （m1） 的物体相连。
解：答案是 A。 简 要 提 示 ： 由 定 轴 转 动 定 律 ：
FR
1 2 4F 1 MR2 ，得： t 2 mR 2
2 W M 4 F /m 所以：
6. 一电唱机的转盘正以 0 的角速度转动， 其转动惯量为 J1，现将一转动惯量为 J2 的唱片 置于转盘上， 则共同转动的角速度应为： （ ）
2
sin

2
t
；
3
32
cos

2
t ； an l
4
128
sin 2

2
t
2. 有一个板长为 a、板宽为 b 的均匀矩形 薄板，其质量为 m 。求矩形板对于与板面垂直 并通过板中心的轴的转动惯量。 解：如图，把矩形薄板分成无限多个小质 元，任取一个小质元，其面积为 dS，设薄板的 质量面密度为，则小质元质量为
，其中
m 为重物的质量， T 为绳子的张力。得：
a2 Fr 2 /( J mr 2 ) ，所以 a 1 > a 2。
5. 一半径为 R，质量为 m 的圆柱体，在切 向力 F 作用下由静止开始绕轴线作定轴转动， 则在 2 秒内 F 对柱体所作功为： （ A. F2 / m 4 F2/ m D. B. F2 / 2 m 2 F2 / m ） C.
解：答案是
2(m1 m2 ) g (m1 m2 )l
。
简要提示：由刚体定轴转动定律，
l l2 (m1g m2 g ) (m1 m2 ) 2 4 2(m1 m2 ) g 得： (m1 m2 )l
4. 如图所示，质量为 m0，半径为 r 的绕有
细线的圆柱可绕固定水平对称轴无摩擦转动， 若质量为 m 的物体缚在线索的一端并在重力作 用下，由静止开始向下运动，当 m 下降 h 的距 离时，m 的动能与 m0 的动能之比为 。
B. a 1 > a 2
a2
D. 无法确定
解：答案是 B。 简 要 提 示 ： (1) 由 刚 体 定 轴 转 动 定 律 ，
Fr J1 和 a1
r1 ，得： a1 Fr 2 / J
(2)
mg T ma2 Tr J 2 受力分析得： a r 2 2
3. 质量分别为 m 和2m、 半径分别为 r 和 2 r 的两个均匀圆盘， 同轴地粘在一起， 可以绕 通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动， 对转轴的转动惯量为9mr2 / 2，大小圆盘边缘都 绕有绳子，绳子下端都挂一质量为 m 的重物， 如图所示．求盘的角加速度的大小． 解：隔离物体，分别对重物和转盘受力分 析，如图所示。根据牛顿定律和刚体转动定律， 有：
连结在一起后， 共同的角速度为． 若轮的转 动惯量为JA，则轮的转动惯JB＝ ． 解：答案是
J A ( A ) /
简要提示：两飞轮不受外力矩的作用，所 以系统的角动量守恒，得：
J A A ( J A J B )
所 以 ： J B J A ( A ) / 6. 一位转动惯量为 J0 的花样滑冰运动员 以角速度0 自转，其角动量为 ； 转动动能为 。当其收回手臂使转动 惯 量 减 为 J0 /3 时 ， 则 其 角 速 度 变 为 ；转动动能变为 。
2 J 解：答案是 J00 ； 0 0 / 2 ； 30 ；
2 3J 0 0 /2
简要提示：角动量守恒
7. 一圆形转台可绕中心轴无摩擦的转动， 台上有一辆玩具小汽车相对台面由静止启动， 当其绕轴作顺时针圆周运动时，转台将作 转动；当汽车突然刹车停止转动的过程中，系 统的 恒。 解：答案是逆时针；角动量；动量；机械 能 三 计算题 1. 一细杆绕其上端在竖直平面内摆动，杆 与竖直方向的夹角 守恒； 而 和 不守
内最高处A 点，由于某种微小干扰，小球沿环 向下滑动，问小球滑到与环心O 在同一高度的 B 点和环的最低处的C 点时，环的角速度及小 球相对于环的速度各为多大?(设环的内壁和小 球都是光滑的，小球可视为质点，环截面半径 r<<R.) 解：选小球和环为系统．在转动过程中沿 转轴方向的合外力矩为零， 所以角动量守恒． 对 地球、小球和环系统机械能守恒。取过环心 O 的水平面为势能零点． 小球到B 点时，有：


4
cos

2
t
。 求： (1) 杆
摆动的角速度和角加速度；(2) 距上端 0.5m 处 的一点的速度和加速度。 解 ： (1)
d 2 sin t ; dt 8 2
d 3 cos t dt 16 2
(2)
aτ l
v l
2
16
FR
得
t
1 MR2 ， 2

t
， ：
mR
2F
50 0.5 0.4 16 s 2 0.98
1 2
l m 3 . 一长为 l，质量不计的 m 细杆，两端附着小球 m1 和 m2 填空题 3 图 （ m1 ＞ m2 ） ，细杆可绕通过杆 中心并垂直于杆的水平轴转动，先将杆置于水 平然后放开，则刚开始转动的角加速度应 为 。
F1
• O
（
F2
）

选择题 3 图
定减速。 4. 一轻绳绕在半径为 r 的重滑轮上，轮对 轴的转动惯量为 J，一是以力 F 向下拉绳使轮 转动；二是以重量等于 F 的重物挂在绳上使之 转动，若两种情况使轮边缘获得的切向加速度 分别为 a1 和 a2，则有： （ A.
1<
） C. a
a1 = a 2
2400 时 的 切 向 加 速 度 ；法向加速度
2 t 由 ， 2 an 2 r 0.4 m s 2
1
t
， 得 ：
2. 一质量为 0.5 k g、半径为 0.4 m 的薄圆 盘， 以每分钟 1500 转的角速度绕过盘心且垂直 盘面的轴的转动，今在盘缘施以 0.98N 的切向 力 直 至 盘 静 止 ， 则 所 需 时 间 为 s。 解：答案是 16 s。 简 要 提 示 ： 由 定 轴 转 动 定 律 ，
第五章
刚体的定轴转动
一 选择题 1. 一绕定轴转动的刚体，某时刻的角速度 为 ，角加速度为，则其转动加快的依据是： （ ） A. > 0 B. > 0，> 0 D. > 0，< 0 C. < 0，
> 0
解：答案是 B。 2. 用铅和铁两种金属制成两个均质圆盘， 质量相等且具有相同的厚度，则它们对过盘心 且垂直盘面的轴的转动惯量。 （ A. 相等； 大； B. 铅盘的大； D. 无法确定谁大谁小 ） C. 铁盘的
Ek 0 12 12 2 MR2 0 , Ek Mr 2 2 25 25
可得 Ek > Ek0。
8. 如图，一质量为 m0 的均匀直杆可绕通 过 O 点的水平轴转动， 质量为 m 的子弹水平射入静止直杆的下 端并留在直杆内，则在射入过程 （ ） A. 动能守恒 B. 动量守恒 C. 机械能守恒 D. 对 O 轴的角动量守恒 解：答案是 D。
2m 解：答案是 m 。 0
r m0
m
填空题 4 图 填空题 5 图
简要提示：由
E km 2m E km0 m 0
v r
， ，
得：
如图所示， 、 两飞轮的轴杆在一条 直线上，并可用摩擦啮合器C使它们连结．开 始时轮静止，轮以角速度A转动，设在啮 合过程中两飞轮不受其它力矩的作用．当两轮
解：答案是 C。
简要提示：铅的密度大，所以其半径小， 圆盘的转动惯量为： J Mr
2
/2
。
3. 一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑 固定轴 O 以角速度 按图示方向转动。若将 两个大小相等、方向相反但不在同一条直线的 力 F1 和 F2 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘 的角速度 的大小在刚作用后不久 A. 必然增大 B. 必然减少 C. 不会改变 D. 如何变化， 不能确 定 解：答案是 B。 简要提示：力 F1 和 F2 的对转轴力矩之和 垂直于纸面向里，根据刚体定轴转动定律，角 加速度的方向也是垂直于纸面向里，与角速度 的方向（垂直于纸面向外）相反，故开始时一
m0
选择题 8 图
中 ， 由 子 弹 和 杆 组 成 的 系 统
二 填空题 1. 半径为 30cm 的飞轮， 从静止开始以 0.5rad s–2 的角加速度匀加速转动，则飞轮边缘上一 点 在 转 过 为 为 解：答案是 。 0.15 m s–2； 0.4m s–2。
1 简要提示： aτ r 0.15m s 。
A. B. C. D.
）
自转周期增加，转动动能增加； 自转周期减小，转动动能减小； 自转周期减小，转动动能增加； 自转周期增加，转动动能减小。 简 要 提 示 ： 由 角 动 量 守 恒 ，
解：答案是 C。
2 2 MR20 Mr 2 ，得转动角频率增大， 5 5
所 以 转 动 周 期 减 小 。 转 动 动 能 为
v 式中 r ，解得 m 由静止下落 h 距离
2
时的速率
v
2(m2 m1 sin ) gh kh 2 m1 m2 J / r 2
m 2 下降到最低时， m1 、 m 2 速率为
零，代入上式，得到 m2 下降的最大距离
hmax
2 (m2 m1 sin ) g k
6. 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC 自 由转动，转动惯量为J0，环的半径为R，初始时 环的角速度为0。质量为 m 的小球静止在环
dm dS dxdy
y y b O r x x dm
a
小质元 dm 对于中心轴的转动惯量
dJ r 2 dm ( x 2 y 2 ) dxdy
整个矩形板的转动惯量
J dJ 2a 2b ( x 2 y 2 ) dxdy
2 2 a b
1 1 ab(a 2 b 2 ) m(a 2 b 2 ) 12 12
mg T ma
T mg ma
T 2r Tr J 9mr 2 / 2
由转盘和重物之间的运动学关系，有：

T’
T
a 2r
联立以上方程，可得：
a r
2g 19 r
Leabharlann Baidu
4. 如图所示，半径为 r，转动惯量为 J 的 定滑轮 A 可绕水平光滑轴 o 转动，轮上缠绕有 不能伸长的轻绳， 绳一端系有质量为 m 的物体 B， B 可在 倾角为 的光滑斜 面上滑动，求 B 的 加速度和绳中张 力。 解：物体 B 的运动满足牛顿第二定律
k θ
计算题 5 图
J m1 m2
开始时用外力托住 m2 使弹簧保持原长， 然后撤 去外力，求 m2 由静止下落 h 距离时的速率及 m2 下降的最大距离。 解： 在 m2 由静止下落 h 距离的过程中机械 能守恒，因此有
m2 gh
1 1 1 (m1 m2 )v 2 J 2 kh2 m1gh sin 2 2 2
J1 0 A． J J 1 2
J1 0 C． J 2
J1 J 2 0 B． J1
D．
J2 0 J1
解：答案是 A。 简要提示：角动量守恒 7. 已知银河系中一均匀球形天体，现时半 径为 R，绕对称轴自转周期为 T，由于引力凝 聚作用，其体积不断收缩，假设一万年后，其 半径缩小为 r，则那时该天体的： （