【高考解码】2016届高三数学二轮复习(新课标)第一部分：专题四数列(含解析)
【全国省级联考】云南省2016届高三第二次统一检测文数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合{}{}21,2,|43S T x x x ==<-,则S T = （ ）A ．{}1B ．{}2C ．1D ．2 【答案】B【解析】试题分析：因}31|{<<=x x T ,故}2{=T S ,应选B.考点：集合的交集运算.2.函数()5cos 2f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于（ ）A ．原点对称B ．y 轴对称C ．直线52x π=对称 D ．直线52x π=-对称【答案】A考点：三角函数的图象和性质的运用.3.已知i 为虚数单位，复数11z i =+在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】试题分析：因i z -=1,故对应的点在第四象限,应选D.考点：复数的概念和运算.4.已知平面向量a 与b 的夹角等于56π,那么2a b -=（ ）A ．B ．9C ．．10【答案】C【解析】 试题分析：因913)23(34444)2(22=+-⨯⨯-⨯=-,故2a b -= 91,应选C. 考点：向量的数量积公式及运用.5.设等差数列{}n a 的前n 项和为114,22,12n S S a ==-,若30m a =, 则m =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．15 【答案】B考点：等差数列的前n 项和的性质及运用.6.若运行如图所示程序框图，则输出结果S 的值为（ ）A ．37B ．49C ．920 D ．511【答案】D考点：算法流程图的识读和理解.7.下图是一个空间几何体的三视图（注：正视图也称主视图，侧视图也称左视图）正视图、侧视图、俯视图都是等腰直角三角形，如果这三个等腰直角三角形的斜边长都为,那么这个几何体的表面 积为（ ）A B ．272 C D ．272【答案】C【解析】试题分析：由三视图所提供的图形信息和数据信息可知该几何体是一个棱长均为3的正三棱锥,故其表面积为23927)23(43332132+=⨯+⨯⨯⨯=S ,故应选C. 考点：三视图的识读和理解.8.甲、乙两名学生在5次数学考试中的成缋统计如下面的茎叶图所示，若x 甲、x 乙分别表示甲、乙 两人的平均成绩，则下列结论,正确的是（ ）A ．x 甲>x 乙,乙比甲稳定B ．x 甲 >x 乙,甲比乙稳定C ．x 甲<x 乙,乙比甲稳定D ．x 甲<x 乙,甲比乙稳定【答案】A【解析】 试题分析：因x 甲8659591888274=++++=,x 乙8259286787777=++++=,故x 甲>x 乙.而甲的方差,5459524122222221=++++=s ,乙的方差2.3651044552222222=++++=s ,显然2122s s <,即乙比甲稳定.所以应选A.考点：平均数和方差的运用.9.设12,F F 是椭圆E 的两个焦点，P 为椭圆E 上的点，以1PF 为直径的圆经过2F ,若12tan PF F ∠=,则椭圆E 的离心率为（ ）A D 【答案】D考点：椭圆的几何性质及运用.【易错点晴】椭圆是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用椭圆的几何性质和题设中的条件将问题转化为求点|||,|21PF PF的值的问题.解答时充分运用题设条件12tan PF F ∠=和勾股定理,通过解直角三角形求得)2(1552||2c PF ⨯=,)2(1557|1|2c PF ⨯=,然后运用椭圆的定义建立方程求得离心率35=e .借助椭圆的定义建立方程是解答好本题的关键.10.已知体积为的长方体的八个顶点都在球O 的球面上，在这个长方体经过同一个顶点的三个面中，如果有两个面的面积分别为那么球O 的体积等于（ ）A ．323πB ．332π D 【答案】A【解析】试题分析：设这两个面的边长分别为c b a ,,,则不妨设64,34,32===abc bc ab ,则22,6,2===c b a ,则该长方体的外接球的直径4862=++=d ,故球的体积为ππ3322343=⨯=V ,应选A. 考点：球与几何体的外接和体积的计算.11.已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，以双曲线C 的一个焦点为圆 心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为（ ）A ．2214x y -=B ． 2214y x -= C ．2214x y -= D ． 221164y x -= 【答案】B考点：双曲线的几何性质及运用.【易错点晴】双曲线是圆锥曲线的重要代表曲线之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,运用双曲线的几何性质和题设中的条件运用点到直线的距离公式先求出1=b .再借助题设中的离心率25=a c 求出b a ,的值.求解时巧妙地运用设t a t c 2,5==,然后运用1==t b 求出2=a .12.设数列{}n a 的通项公式为2n a n bn =+，若数列{}n a 是单调递增数列，则实数b 的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．[)2,-+∞C ．()3,-+∞D ．9,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】 试题分析：因该函数的对称轴2b n -=,结合二次函数的图象可知当232<-b ,即3->b 时,单调递增,应选C.考点：数列的单调性等有关知识的综合运用．【易错点晴】数列是高中数学中的重要内容之一,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,借助二次函数的对称轴进行数形结合,合理准确地建立不等式是解答好本题的关键.求解时很多学生可能会出现将对称轴2b n -=放在1的左边而得12≤-b ,而得2-≥b 的答案.这是极其容易出现的错误之一. 第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.函数()cos f x x x =+的最小值为 ．【答案】2-考点：三角函数的图象和性质．14.某工厂生产的A 、B 、C 三种不同型号的产品数量之比依次为2:3:5,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A 、B 、C 三种产品中抽出样本容量为n 的样本，若样本中A 型产品有16件，则n 的值为 ．【答案】80【解析】 试题分析：因165322=⨯++n ,故80=n ,应填80. 考点：分层抽样的方法和计算．15.若,x y 满足约束条件326000x y x y -+>⎧⎪≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =-的取值范围是 ．【答案】(]4,0-考点：线性规划的知识及运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组326000x y x y -+>⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域如图, 借助题设条件搞清楚z -的几何意义是动直线z x y -=2在y 轴上的截距的取值范围问题.然后数形结合,平行移动动直线z x y -=2,通过观察可以看出当动直线经过坐标原点)0,0(O 时,0max =z ；当动直线z x y -=2经过坐标轴上的点)0,2(-A 时,4min -=z ,故其取值范围是]0,4(-.16.已知()f x 的定义域为实数集()(),,3272R x R f x f x ∀∈+=-,若()0f x =恰有n 个不同实 数根，且这n 个不同实数根之和等于75，则n = ．【答案】15考点：函数的零点、图象和性质的综合运用．【易错点晴】本题考查的是函数的零点的个数等有关知识的综合运用.解答时先依据题设条件搞清楚若x 23+是方程()0f x =的根,则x 27-一定是方程()0f x =的根.即它的根一定是成双对的出现,且满足其和为定值10.因此在求解时,先3211+=x t 是方程()0f x =的一个根,则2227x t -=也是方程()0f x =的一个根,再运用1021=+t t 求得521=+x x ,然后建立方程求得15=n .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分ABC ∆的内角A 、B 、C 对的边分别为a 、b 、c ,()sin ,5sin 5sin m B A C =+与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直.（1）求sin A 的值；（2）若a =求ABC ∆的面积S 的最大值.【答案】(1)54；(2)4. 【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及余弦定理的知识求解；(2)借助题设条件运用基本不等式求解.试题解析： （1）()sin ,5sin 5sin m B A C =+ 与()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =-- 垂直,2225sin 6sin sin 5sin 5sin 0m n B B C C A ∴=-+-= , 即2226sin sin sin sin sin 5B C B C A +-=. 根据正弦定理得22265bc b c a +-=. 由余弦定理得2223cos 25b c a A bc +-==.A 是ABC ∆的内角,4sin 5A ∴==.（2）由（1）知22265bc b c a +-=.2222625bc b c a bc a ∴=+-≥-.又10.a bc ABC =∴≤∆ 的面积sin 24,25bc A bc S ABC ==≤∴∆的面积S 最大值为4. 考点：向量的数量积、余弦定理、基本不等式等有关知识的综合运用．18.（本小题满分12分）一个盒子中装有四张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1,2,3,4, 现从盒子中随机抽取卡片，每张卡片被抽到的概率相等.（1）若一次抽取三张卡片，求抽到的三张卡片上的数字之和大于7的概率；（2）若第一次抽一张卡片，放回后搅匀再抽取一张卡片，求两次抽取中至少有一次抽到写有数字3的卡片 的概率.【答案】(1)21；(2)167.考点：列举法和古典概型的计算公式等有关知识的综合运用．19.（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 为1AA 的中点,E 为BC 的中点.（1）求证：直线AE 平面1BDC ；（2）若三棱柱 111ABC A B C - 是正三棱柱，12,4AB AA ==,求C 到平面1BDC 的距离.【答案】(1)证明见解析；考点：空间线面的位置关系和多面体的体积与面积等有关知识的综合运用．20.（本小题满分12分）已知抛物线24x y = 的焦点为F ，准线为l ,经过l 上任意一点P 作抛物 线24x y =的两条切线，切点分别为A 、B .（1）求证：PA PB ⊥； （2）求2AF FB PF - 的值.【答案】(1)证明见解析；(2)0.考点：直线与抛物线的位置关系等有关知识的综合运用．【易错点晴】本题是一道考查直线与抛物线的位置关系的综合性问题.解答本题的第一问的证明垂直问题时,直接依据题设条件将点B A P ,,的坐标设出来,然后运用点B A P ,,与抛物线的关系进行合理推证,进而获证.第二问的求解过程中,先将向量AF 与BF 的数量积算出来,再用B A ,的坐标表示算得42+=⋅a ,最后求得422+=a ,从而推得,进而推证得2=⋅.从而使得问题获解.21.（本小题满分12分）已知e 是自然对数的底数,()()()12ln ,13x F x ex x f x a x -=++=-+. （1）求曲线()y F x =在点()()1,1F 处的切线方程；（2）当4,1a x ≤≥时, 求证：()()F x f x ≥.【答案】(1)410x y --=；(2)证明见解析.考点：导数在研究函数的单调性和最值极值等方面的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数a 的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助导数的几何意义,从而求得函数)(x F 在1=x 处的切线的斜率,进而求得切线的方程为410x y --=；第二问的推证中借助导数,运用导数与函数单调性的关系运用分类整合的数学思想进行分类进行推证,从而使得问题简捷巧妙获证.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,ABC ∆是O 的内接三角形，BT 是 O 的切线，P 是线段AB 上一点,经过P 作BC 的平行直线 与BT 交于E 点，与AC 交于F 点.（1）求证：PE PF PA PB = ；（2）若13AB EBA =∠=,求O 的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)9π.考点：相似三角形的性质、圆幂定理和正弦定理等有关知识的综合运用．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直用坐标系xOy中，直线l的参数方程为33(49x tty t=-⎧⎨=-⎩为参数〕.在以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆心A的极坐标为22,3π⎛⎫⎪⎝⎭，圆A的半径为3.（1）直接写出直线l的直角坐标方程，圆A的极坐标方程；（2）设B 是线l 上的点，C 是圆A 上的点，求BC 的最小值.【答案】(1)43150x y --=，22cos sin 50ρρθθ+--=；.考点：极坐标、参数方程和圆的几何性质等有关知识的综合运用．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知常数a 是实数，()()2,42f x x a f x a =+<-的解集为{}|40x x -<< .（1）求实数a 的值；（2）若 ()()2f x f x x m --≤+对任意实数x 都成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)1=a ；(2)[)2,+∞.【解析】试题分析：(1)借助题设条件运用绝对值不等式的几何意义求解；(2)借助题设条件运用分类整合的思想分类讨论进行求解.试题解析：（1）由()42f x a <-得242x a a +<-.24242a x a a ∴-<+<-,即444x a -<<-.由已知得440a -=,解得1,1a a =∴=.（2）由()()2f x f x x m --≤+得221x x x m +---≤,设考点：绝对值不等式和分类整合思想等有关知识的综合运用．：。
2016届高考数学新课标全国二轮复习素能演练提升4函数与导数 含答案
素能演练提升四一、选择题1.设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+(a—2)x的导数是f’(x),且f’(x)是偶函数，则曲线y=f(x）在原点处的切线方程为（）A。
y=-2x B.y=3x C.y=—3x D.y=4x解析：由已知得f'(x）=3x2+2ax+a-2为偶函数，∴a=0。
∴f（x)=x3—2x,f’（x）=3x2-2。
又f’(0）=-2，f（0)=0,∴y=f(x）在原点处的切线方程为y=—2x。
答案:A2。
若函数f(x）=kx—ln x在区间(1，+∞)单调递增，则k的取值范围是(）A.(—∞,-2］B。
(-∞,-1］C。
[2,+∞） D.［1,+∞)解析:由f’（x）=k-，又f（x）在（1,+∞)上单调递增，则f'(x)≥0在x∈（1，+∞）上恒成立，即k≥在x∈（1，+∞）上恒成立.又当x∈(1，+∞)时，0〈〈1，故k≥1。
故选D。
答案:D3.函数f（x)=ax3—2ax2+（a+1)x-log2（a2—1)不存在极值点，则实数a的取值范围是()A.［1,3]B.［1，3）C。
(1，3] D。
(1，3)解析:∵a2—1>0，∴a〉1或a〈—1.又∵函数f(x)不存在极值点，令f'(x）=3ax2-4ax+a+1=0，则Δ=16a2—4×3a(a+1)=4a(a—3）≤0.∴0≤a≤3.又∵a>1或a<-1，∴1<a≤3.答案:C4。
(2015湖南浏阳一中、攸县一中、醴陵一中联考，6）已知函数f(x)=x3+ax2+cx,g(x）=ax2+2ax+c,a≠0,则它们的图象可能是(）解析:因为f’(x)=ax2+2ax+c,则函数f’(x）即g（x)图象的对称轴为x=-1,故可排除A,D；由选项C的图象可知，当x>0时，f'（x)〉0，故函数f（x)=x3+ax2+cx在(0,+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在(0,+∞）上不具有单调性，故排除C.本题应选B。
(全国通用)2016版高考数学大二轮总复习 增分策略 专题四 数列 推理与证明 第2讲 数列的求和问题课件
热点分类突破 热点一 分组转化求和 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数
列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常
见的数列，即先分别求和，然后再合并.
例1
等比数列 {an} 中， a1 ， a2 ， a3 分别是下表第一、二、
三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表
1 所以{S }是首项为 1，公差为 2 的等差数列， n
1 从而S ＝1＋(n－1)×2＝2n－1， n
1 所以 Sn＝ . 2n－1
1 Sn (2)设 bn＝ ，数列{bn}的前 n 项和为 Tn，证明 Tn<2. 2n＋1
证明 1 1 1 1 Sn 因为 bn＝ ＝ ＝ 2( － )， 2n＋1 2n－12n＋1 2n－1 2n＋1
思想变换数列 {an} 的通项公式，使之符合裂项相消
的条件.
思维升华
(2)常化的裂项公式
1 11 1 ① ＝k(n－ )； nn＋k n ＋k 1 1 1 1 ② ＝2( － )； 2n－12n＋1 2n－1 2n＋1 1 ③ ＝k ( n＋k－ n). n＋ n＋k 1
跟踪演练 3
1 1 1 1 1 1 所以 Tn＝2[(1－3)＋(3－5)＋„＋( － )] 2n－1 2n＋1
1 1 1 ＝2(1－ )< ， 2n＋1 2
1 所以 Tn<2.
思维升华
(1) 裂项相消法的基本思想就是把通项 an 分拆成 an＝ bn ＋ k － bn(k≥1 ， k∈N*) 的形式，从而达到在求和时 某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本
＋3Sn－1(n≥2).
(1)求数列{an}的通项公式；
解 3Sn－3Sn－1＝5an－an－1(n≥2)， an 1 ∴2an＝an－1， ＝ ， an－1 2
2016版高考数学大二轮总复习(全国通用 理科)配套课件：专题四 数列 推理与证明 第1讲
S6成等差数列，则q3等于( A )
1 1 A.－2 B.1 C.－2或 1 解析 若q＝1，则3a1＋6a1＝2×9a1， 1 D.－1 或2
得a1＝0，矛盾，故q≠1.
a11－q3 a11－q6 a11－q9 所以 ＋ ＝2 ， 1－q 1－q 1－q 1 3 解得 q ＝－2或 1(舍)，故选 A.
＝－6，则当Sn取最小值时，n＝________. 6
解析 设该数列的公差为d， 则a4＋a6＝2a1＋8d＝2×(－11)＋8d＝－6，解得d＝2，
nn－1 所以 Sn＝－11n＋ 2 ×2＝n2－12n＝(n－6)2－36，
所以当Sn取最小值时，n＝6.
(2)已知等比数列{an}公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，
例2
(2014· 大纲全国 ) 数列 {an} 满足 a1 ＝ 1 ， a2 ＝ 2 ， an ＋ 2 ＝
2an＋1－an＋2.
(1)设bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等差数列； 证明 由an＋2＝2an＋1－an＋2得 an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2， 即bn＋1＝bn＋2. 又b1＝a2－a1＝1， 所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列.
＝10ln e5＝50ln e＝50.
1 2 3 4
4.(2013· 江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天
植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最
6 少天数n(n∈N*)等于________.
解析 每天植树棵数构成等比数列{an}，
a11－qn 其中 a1＝2，q＝2.则 Sn＝ ＝2(2n－1)≥100， 1－q
专题四
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2016届高考数学(理)二轮专题复习演练：专题三+第4讲+数列真题体验(人教版含答案)(浙江专用)
2
2
＝2 或 q ＝－ 3( 舍 ) ．于是 a3＋ a5＋ a7＝ q ( a1＋ a3＋ a5) ＝ 2× 21＝ 42.]
2．D [ ∵ S1，S2，S4 成等比数列， ∴ S22＝ S1·S4，又 Sn 为公差为－ 1 的等差数列的前 n 项和． 从
而( a1＋ a1－ 1) 2＝a1
1 4a1－ 2×4×３ ，解得
所以 { an} 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，
通项公式为 an＝ 2n＋ 1.
(2) 由 an＝ 2n＋ 1 可知
1
1
11
1
bn＝
anan＋
＝
1
（
2
n＋
1）（
2
n＋
3）
＝
2
2n＋ 1－ 2n＋ 3
.
设数列 { bn} 的前 n 项和为 Tn，则
Tn＝b1＋ b2＋…＋ bn
11 1 11
1
m（ a1＋ am）
＝am＋ 1－ am＝1. 由 Sm＝
2
＝0，得 m( a1＋ 2) ＝ 0，则 a1＝－ 2. 又 am＝a1＋ ( m－ 1) d＝ 2，
解得 m＝ 5.]
6．A [ 依题意知， a＋ b＝ p>0，ab＝ q>0. 则 a，b，－ 2 这三个数的 6 种排序中成等差数列的 情况有： a， b，－ 2；－ 2， b， a； b， a，－ 2；－ 2， a， b. 三个数成等比数列的情况有： a，－ 2， b； b，－ 2， a.
1－ 2 ＝126，解得 n＝ 6.] 8． 3n－ 1 [ 由于 3S1， 2S2，S3 成等差数列．所以 4S2＝ 3S1＋ S3，即 3( S2－ S1) ＝ S3－ S2. ∴ 3a2＝ a3，则等比数列 { an} 的公比 q＝ 3. 故数列 { an} 的通项公式 an＝ a1qn－1＝ 3n－1 .]
2016年高考理科数学全国新课标Ⅱ卷答案及解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
2.已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
3.已知向量 ，且 ，则m=
（A） （B） （C）6（D）8
（A） （B） （C） （D）2
12.已知函数 满足 ，若函数 与 图像的交点
为 ， ，⋯， ，则 （）
（A）0（B）m（C）2m（D）4m
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22~24题为选考题。考生根据要求作答。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分。
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∴
∴ ．
∴B，C，G，F四点共圆．
（Ⅱ）∵E为AD中点， ，
∴ ，
∴在 中， ，
连接 ， ，
∴ ．
23.【解析】解：⑴整理圆的方程得 ，
由 可知圆 的极坐标方程为 ．
记直线的斜率为 ，则直线的方程为 ，
由垂径定理及点到直线距离公式知： ，
即 ，整理得 ，则 ．
24.【解析】解：⑴当 时， ，若 ；
由图得 ， ，由勾股定理得： ，
，
故选C．
7.【解析】B
平移后图像表达式为 ，
令 ，得对称轴方程： ，
故选B．
8.【解析】C
第一次运算： ，
第二次运算： ，
第三次运算： ，
故选C．
9.【解析】D
∵ ， ，
故选D．
10.【解析】C
由题意得： 在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在
2016年高考新课标Ⅱ卷理数试题答案详细解析
2016年普通高等学校招生全国统一考试新课标2理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（A ）()31-，（B ）()13-，（C ）()1,∞+（D ）()3∞--，【解析】A∴30m +>，10m -<，∴31m -<<，故选A ．（2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =（A ）{}1（B ）{12}，（C ）{}0123，，，（D ）{10123}-，，，， 【解析】C()(){}120Z B x x x x =+-<∈，{}12Z x x x =-<<∈，， ∴{}01B =，，∴{}0123A B = ，，，， 故选C ．（3）已知向量(1,)(3,2)a m b =- ，=，且()a b b +⊥，则m =（A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8【解析】D()42a b m +=-，，∵()a b b +⊥，∴()122(2)0a b b m +⋅=--=解得8m =， 故选D ．（4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a=（A ）43- （B ）34- （C （D ）2【解析】A圆2228130x y x y +--+=化为标准方程为：()()22144x y -+-=，故圆心为()14，，1d ==，解得43a =-，故选A ．（5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【解析】BE F →有6种走法，F G →有3种走法，由乘法原理知，共6318⨯=种走法故选B ．（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【解析】C几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r ，周长为c ，圆锥母线长为l ，圆柱高为h ．由图得2r =，2π4πc r ==，由勾股定理得：4l =，21π2S r ch cl =++表4π16π8π=++28π=，故选C ．（7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】B平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈， 故选B ．（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =，2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【解析】C第一次运算：0222s =⨯+=， 第二次运算：2226s =⨯+=， 第三次运算：62517s =⨯+=， 故选C ．（9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】D∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为（A ）4n m （B ）2n m（C ）4m n （D ）2mn【解析】C由题意得：()()12i i x y i n =⋅⋅⋅，，，，在如图所示方格中，而平方和小于1的点均在 如图所示的阴影中由几何概型概率计算公式知π41m n=，∴4πmn=，故选C ．（11）已知1F ，2F 是双曲线E ：22221x y a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，sin 2113MF F ∠= ,则E 的离心率为 （A（B ）32（C（D ）2 【解析】A离心率1221F F e MF MF =-，由正弦定理得122112sin 31sin sin 13F F Me MF MF F F ====---． 故选A ．（12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点 为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】B由f(-x)=2-f(x)得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称， ∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +， ∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ． 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22~24题为选考题，考生根据要求作答．（13）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【解析】2113∵4cos 5A =，5cos 13C =，3sin 5A =，12sin 13C =， ()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．（14）α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题：①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥． ②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥． ③如果a β∥，m α⊂，那么m β∥．④如果m n ∥，αβ∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等． 【解析】②③④（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 【解析】 (1,3)由题意得：丙不拿（2，3），若丙（1，2），则乙（2，3），甲（1，3）满足，若丙（1，3），则乙（2，3），甲（1，2）不满足， 故甲（1，3），（16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线()ln 1y x =+的切线，b = ． 【解析】 1ln2-ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++（设切点横坐标为1x ） ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴1ln 11ln 2b x =+=-．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S =．记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=．（Ⅰ）求1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和． 【解析】⑴设{}n a 的公差为d ，74728S a ==，∴44a =，∴4113a a d -==，∴1(1)n a a n d n =+-=． ∴[][]11lg lg10b a ===，[][]1111lg lg111b a ===，[][]101101101lg lg 2b a ===． ⑵记{}n b 的前n 项和为n T ，则1000121000T b b b =++⋅⋅⋅+[][][]121000lg lg lg a a a =++⋅⋅⋅+．当0lg 1n a <≤时，129n =⋅⋅⋅，，，；当1lg 2n a <≤时，101199n =⋅⋅⋅，，，；当2lg 3n a <≤时，100101999n =⋅⋅⋅，，，； 当lg 3n a =时，1000n =．∴1000091902900311893T =⨯+⨯+⨯+⨯=．（18）（本小题满分12分）某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【解析】 ⑴设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A ，()1()1(0.300.15)0.55P A P A =-=-+=．⑵设续保人保费比基本保费高出60%为事件B ， ()0.100.053()()0.5511P AB P B A P A +===． ⑶解：设本年度所交保费为随机变量X ．平均保费0.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.05EX a a a a a =⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 0.2550.150.250.30.1750.a a a a a a a =+++++=，∴平均保费与基本保费比值为1.23．（19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H .将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置OD '=（I ）证明：DH'⊥平面ABCD ； （II ）求二面角B D A C '--的正弦值.【解析】⑴证明：∵54AE CF ==， ∴AE CFAD CD=，∴EF AC ∥． ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，∴EF BD ⊥，∴EF D H ⊥，∴EF DH'⊥． ∵6AC =，∴3AO =；又5AB =，AO OB ⊥，∴4OB =， ∴1AEOH OD AO=⋅=，∴3DH D H '==， ∴222'OD OH D H '=+， ∴'D H OH ⊥． 又∵OH EF H =I ， ∴'D H ⊥面ABCD ． ⑵建立如图坐标系H xyz -．()500B ，，，()130C ，，，()'003D ，，，()130A -，，，()430AB =u u u r ，，，()'133AD =-u u u r ，，，()060AC =u u u r，，，设面'ABD 法向量()1n x y z =，，u r，由1100n AB n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩ 得430330x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，取345x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， ∴()1345n =-u r，，．同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r，，，∴1212cos n n n n θ⋅===u r u u ru r u u r∴sin θ=（20）（本小题满分12分）已知椭圆E :2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N在E 上，MA ⊥NA.（I ）当4t =，AM AN =时，求△AMN 的面积； （II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.【解析】 ⑴当4t =时，椭圆E 的方程为22143x y +=，A 点坐标为()20-，， 则直线AM 的方程为()2y k x =+．联立()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()2222341616120k x k x k +++-= 解得2x =-或228634k x k -=-+，则222861223434k AM k k -=+=++ 因为AM AN ⊥，所以21212413341AN k kk ==⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭因为AM AN =，0k >，212124343k k k=++，整理得()()21440k k k --+=， 2440k k -+=无实根，所以1k =．所以AMN △的面积为221112144223449AM ⎫==⎪+⎭． ⑵直线AM的方程为(y k x =+，联立(2213x y t y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并整理得，()222223230tk x x t k t +++-=解得x =x =所以AM =所以3AN k k=+因为2AM AN =所以23k k=+，整理得，23632k k t k -=-． 因为椭圆E 的焦点在x 轴，所以3t >，即236332k k k ->-，整理得()()231202k k k +-<-2k <．（21）（本小题满分12分） (I)讨论函数2(x)e 2xx f x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)e 20;x x x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈ 时，函数()2e =(0)x ax ag x x x --> 有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.【解析】⑴证明：()2e 2xx f x x -=+ ()()()22224e e 222xxx x f x x x x ⎛⎫-' ⎪=+= ⎪+++⎝⎭∵当x ∈()()22,-∞--+∞ ，时，()0f x '>∴()f x 在()()22,-∞--+∞，和上单调递增∴0x >时，()2e 0=12x x f x ->-+ ∴()2e 20x x x -++>⑵ ()()()24e 2e x x a x x ax a g x x ----'=()4e 2e 2x x x x ax a x -++=()322e 2x x x a x x-⎛⎫+⋅+⎪+⎝⎭=[)01a ∈， 由(1)知，当0x >时，()2e 2x x f x x -=⋅+的值域为()1-+∞，，只有一解． 使得2e 2t t a t -⋅=-+，(]02t ∈， 当(0,)x t ∈时()0g x '<，()g x 单调减；当(,)x t ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调增()()()222e 1e e 1e 22t t tt t t a t t h a t t t -++⋅-++===+ 记()e 2tk t t =+，在(]0,2t ∈时，()()()2e 102t t k t t +'=>+，∴()k t 单调递增 ∴()()21e 24h a k t ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，．请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD ，E ，G 分别在边DA ，DC 上（不与端点重合），且DE =DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F .(I) 证明：B ，C ，G ，F 四点共圆；(II)若1AB =，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.【解析】（Ⅰ）证明：∵DF CE ⊥∴Rt Rt DEF CED △∽△∴GDF DEF BCF ∠=∠=∠DF CF DG BC= ∵DE DG =，CD BC = ∴DF CF DG BC= ∴GDF BCF △∽△∴CFB DFG ∠=∠∴90GFB GFC CFB GFC DFG DFC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒∴180GFB GCB ∠+∠=︒．∴B ，C ，G ，F 四点共圆．（Ⅱ）∵E 为AD 中点，1AB =， ∴12DG CG DE ===， ∴在Rt GFC △中，GF GC =，连接GB ，Rt Rt BCG BFG △≌△， ∴1112=21=222BCG BCGF S S =⨯⨯⨯△四边形．（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直线坐标系xOy 中，圆C 的方程为()22625x y ++=．（I ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（II ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），l 与C 交于A 、B 两点，AB l 的斜率．【解析】解：⑴整理圆的方程得2212110x y+++=，由222cossinx yxyρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C的极坐标方程为212cos110ρρθ++=．⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为0kx y-=，=即22369014kk=+，整理得253k=，则k=（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲已知函数()1122f x x x=-++，M为不等式()2f x<的解集.（I）求M；（II）证明：当a，b M∈时，1a b ab+<+．【解析】解：⑴当12x<-时，()11222f x x x x=---=-，若112x-<<-；当1122x-≤≤时，()111222f x x x=-++=<恒成立；当12x>时，()2f x x=，若()2f x<，112x<<．综上可得，{}|11M x x=-<<．⑵当()11a b∈-，，时，有()()22110a b-->，即22221a b a b+>+，则2222212a b ab a ab b+++>++，则()()221ab a b+>+，即1a b ab+<+，证毕．。
2016届高三数学二轮复习(新课标)第一部分：专题四数列(含解析)
第1讲 等差数列、等比数列1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192 C ．10 D ．12 【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题设知d ＝1，S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝12＋9＝192.故选B.【答案】 B2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.18【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，由题可知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4(14×q 3－1)，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12.故选C.【答案】 C 3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．【解析】 由a 2，a 3，a 7成等比数列，得a 23＝a 2a 7，则2d 2＝－3a 1d ，即d ＝－32a 1.又2a 1＋a 2＝1，所以a 1＝23，d ＝－1.【答案】 23－14．(2015·北京高考)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2. (1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？ 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4. 所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ＝1，2，…)． (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16， 所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128. 由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．考什么 怎么考 题型与难度1.等差(比)数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基本量的求解 题型：三种题型均可出现难度：基础题2.等差(比)数列的判定与证明主要考查等差、等比数列的定义证明 题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题3.等差(比)数列的性质主要考查等差、等比数列的性质 题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题等差（比）数列的基本运算（自主探究型）1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．【解析】 本题考查等比数列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等比数列的通项公式．由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.【答案】 3n －12．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n . 【解】 本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前n 项和公式，考查考生的运算求解能力．(1)将已知条件中的a 3，S 3用首项a 1与公差d 表示，求得a 1，d ，即可求得数列{a n }的通项公式；(2)结合(1)利用条件b 1＝a 1，b 4＝a 15求得公比，然后利用等比数列的前n 项和公式进行计算．(1)设{a n }的公差为d ，则由已知条件得a 1＋2d ＝2，3a 1＋3×22d ＝92，即a 1＋2d ＝2，a 1＋d ＝32，解得a 1＝1，d ＝12，故通项公式为a n ＝1＋n －12，即a n ＝n ＋12.(2)由(1)得b 1＝1，b 4＝a 15＝15＋12＝8.设{b n }的公比为q ，则q 3＝b 4b 1＝8，从而q ＝2，故{b n }的前n 项和T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1.【规律感悟】 等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本的元素． (2)解题思路：①设基本量a 1和公差d (公比q )；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量．等差（比）数列的判定与证明（师生共研型）【典例1】 (2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．【解】 本题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识．(1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝⎛⎭⎫1＋32＝8×⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78.(2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1，∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n )＝2⎣⎡⎦⎤（S n ＋1－S n ）－12（S n －S n －1）， ∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n )＝12[(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)]，∴a n ＋2－12a n ＋1＝12(a n ＋1－12a n )．又a 3－12a 2＝12⎝⎛⎭⎫a 2－12a 1， ∴{a n ＋1－12a n }是首项为1，公比为12的等比数列．(3)由(2)知{a n ＋1－12a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝(12)n －1，两边同乘以2n ＋1得，a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)，∴a n ＝2（2n －1）2n ＝2n －12n －1.[一题多变]若题已知变为：a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)．求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．【解】 由a n ＋2S n ·S n －1＝0，(n ≥2)得S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0， 即1S n －1S n －1＝2(n ≥2)． 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列． 【规律感悟】 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n 为同一常数．(2)通项公式法：①若a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 或a n ＝kn ＋b (n ∈N *)，则{a n }为等差数列；②若a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m 或a n ＝pq kn ＋b (n ∈N *)，则{a n }为等比数列． (3)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列；②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，且a n ≠0，则{a n }为等比数列．[针对训练](2014·全国大纲高考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2得 a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1. 于是，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.等差（比）数列的性质（多维探究型）命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质 【典例2】 (1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84 (2)(2015·铜陵模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，则a 5＋a 6＝( ) A.125 B ．12 C ．6 D.65【解析】 (1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力．由于a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)， a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B. (2)本题主要考查等差数列的性质a m ＋a n ＝a p ＋a q .由S 10＝12得a 1＋a 102×10＝12，所以a 1＋a 10＝125，所以a 5＋a 6＝125.故选A.【答案】 (1)B (2)A命题角度二 与等差(比)数列的和有关的性质 【典例3】 (1)(2014·全国大纲高考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．64 (2)(2015·衡水中学二调)等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156【解析】 (1)利用等比数列前n 项和的性质求解．在等比数列{a n }中，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也成等比数列，故(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，则(15－3)2＝3(S 6－15)．解得S 6＝63.故选C.(2)本题主要考查等差数列的前n 项和与项的有关性质．∵3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，∴6a 4＋6a 10＝24，∴a 4＋a 10＝4，∴S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×42＝26.故选B.【答案】 (1)C (2)B【规律感悟】 等差(比)数列的性质盘点[针对训练]1．(2015·广东高考)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． 【解析】 由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10. 【答案】 10 2．(文)(2015·辽宁大连模拟)在等比数列{a n }中，a 4·a 8＝16，则a 4·a 5·a 7·a 8的值为________．【解析】 a 4a 5a 7a 8＝a 4a 8·a 5a 7＝(a 4a 8)2＝256. 【答案】 256 (理)(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．【解析】 ∵a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，∴a 10·a 11＝e 5， ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝10ln(a 10·a 11)＝10·ln e 5＝50. 【答案】 50函数与方程思想求解数列中的求值问题[思想诠释]数列中求值问题用到函数与方程思想的常见题型：1．求基本量：求等差或等比数列中的某些量时，常根据题设条件构建方程(组)求解． 2．值域(最值)：求等差或等比数列中的某些量的取值范围或最值时，经常选一变量将待求量表示成其函数或构建函数，从而转化为求函数的值域(最值)问题求解．3．单调性：研究等差(比)数列单调性时，常利用研究函数单调性的方法求解．4．比较大小：等差(比)数列中某些量的大小比较，常利用比较函数值大小的方法，如单调性法、作差法等．[典例剖析]【典例】 (2015·石家庄模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列． (1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．【审题策略】 (1)知道a 1的值，a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，联想到方程思想，列方程求解；(2)题目涉及恒成立、求最值问题，联想到函数思想，构建函数或利用函数性质求解．【解】 (1)因为a 1＝2，a 23＝a 2(a 4＋1)，又因为{a n }是正项等差数列，故公差d ≥0，所以(2＋2d )2＝(2＋d )(3＋3d )，得d ＝2或d ＝－1(舍去)，所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n .(2)因为S n ＝n (n ＋1)，b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n＝1（n ＋1）（n ＋2）＋1（n ＋2）（n ＋3）＋…＋12n （2n ＋1） ＝1n ＋1－1n ＋2＋1n ＋2－1n ＋3＋…＋12n －12n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝n 2n 2＋3n ＋1＝12n ＋1n＋3，令f (x )＝2x ＋1x (x ≥1)，则f ′(x )＝2－1x2，当x ≥1时，f ′(x )＞0恒成立，所以f (x )在[1，＋∞)上是增函数，故当x ＝1时，f (x )的最小值为f (1)＝3，即当n ＝1时，b n 的最大值为16.要使对任意的正整数n ，不等式b n ≤k 恒成立，则需使k ≥16，所以实数k 的最小值为16[针对训练](2015·山东师大附中模拟)数列{a n }的通项a n 是关于x 的不等式x 2－x ＜nx 的解集中正整数的个数，f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)求证：对n ≥2且n ∈N *恒有712≤f (n )＜1.【解】 (1)x 2－x ＜nx 等价于x (x －n －1)＜0，解得x ∈(0，n ＋1)．其中有正整数n 个，于是a n ＝n .(2)∵b n ＝n 2n ＝n ·⎝⎛⎭⎫12n ， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1×12＋2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ，∴12S n ＝1×⎝⎛⎭⎫122＋2×⎝⎛⎭⎫123＋…＋n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得12S n ＝12＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n －n ×⎝⎛⎭⎫12n ＋1，故S n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1－n ×⎝⎛⎭⎫12n .(3)证明：f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n ＜1n ＋1n＋…＋1n ＝1.由f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n，知f (n ＋1)＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋12n ＋2，于是f (n ＋1)－f (n )＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＞12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，故f (n ＋1)＞f (n )，∴f (n )当n ≥2且n ∈N *时为增函数，∴f (n )≥f (2)＝712.综上可知712≤f (n )＜1.1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1q n －1. (4)等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)．(7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n －m .(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列．3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .限时训练(十)一、选择题 1．(2015·新课标Ⅱ高考)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11【解析】 数列{a n }为等差数列，∴a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝5. 【答案】 A 2．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【解析】 由题知3a 1＋3×22d ＝12，∵a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，∴a 6＝12.故选C.【答案】 C 3．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 【解析】 由等比数列的性质得，a 3·a 9＝a 26≠0，因此a 3，a 6，a 9一定成等比数列．故选D.【答案】 D 4．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12【解析】 由题意知 S 22＝S 1·S 4，∴(2a 1＋2×12d )2＝a 1(4a 1＋4×32d )，把d ＝－1代入整理得a 1＝－12.故选D.【答案】 D5．(2015·辽宁大连模拟)数列{a n }满足a n －a n ＋1＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6( )A ．最大值为99B ．为定值99C ．最大值为100D ．最大值为200【解析】 将a n －a a ＋1＝a n a n ＋1两边同时除以a n a n ＋1可得1a n ＋1－1a n＝1，即b n ＋1－b n ＝1，所以{b n }是公差为d ＝1的等差数列，其前9项和为9（b 1＋b 9）2＝90，所以b 1＋b 9＝20，将b 9＝b 1＋8d ＝b 1＋8，代入得b 1＝6，所以b 4＝9，b 6＝11，所以b 4b 6＝99.故选B.【答案】 B 二、填空题 6．(2015·陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．【解析】 设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2 015＝2×1 010，解得a 1＝5.【答案】 5 7．(2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】 ∵⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9，a 1a 4＝8，则a 1，a 4可以看作一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，故⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a 4＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1.∵数列{a n }是递增的等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8.可得公比q ＝2，∴前n 项和S n ＝2n－1.【答案】 2n －1 8．(2014·江西高考)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】 等差数列的前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝d2n 2＋(7－d 2)n ，对称轴为d 2－7d ，对称轴介于7.5与8.5之间，即7.5＜d 2－7d ＜8.5，解得－1＜d ＜－78.【答案】 ⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题 9．(文)(2015·兰州模拟)在等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 4＝16. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的前n 项和S n . 【解】 (1)设数列{a n }的公比为q ，∵{a n }为等比数列， ∴a 4a 1＝q 3＝8， ∴q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n .(2)设数列{b n }的公差为d ，∵b 3＝a 3＝23＝8，b 5＝a 5＝25＝32，且{b n }为等差数列， ∴b 5－b 3＝24＝2d ， ∴d ＝12，∴b 1＝b 3－2d ＝－16，∴S n ＝－16n ＋n （n －1）2×12＝6n 2－22n .(理)(2014·湖北高考)已知等差数列{a n }满足：a 1＝2，且a 1，a 2，a 5成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d )2＝2(2＋4d )，化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.当d ＝0时，a n ＝2；当d ＝4时，a n ＝2＋(n －1)·4＝4n －2，从而得数列{a n }的通项公式为a n ＝2或a n ＝4n －2.(2)当a n ＝2时，S n ＝2n .显然2n ＜60n ＋800， 此时不存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立．当a n ＝4n －2时，S n ＝n [2＋（4n －2）]2＝2n 2.令2n 2＞60n ＋800，即n 2－30n －400＞0，解得n ＞40或n ＜－10(舍去)，此时存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800成立，n 的最小值为41.综上，当a n ＝2时，不存在满足题意的n ；当a n ＝4n －2时，存在满足题意的n ，其最小值为41.10．(2015·江苏高考)设a 1，a 2，a 3，a 4是各项为正数且公差为d (d ≠0)的等差数列．(1)证明：2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列；(2)是否存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列？并说明理由．【解】 (1)证明：因为2a n ＋12a n＝2a n ＋1－a n ＝2d (n ＝1，2，3)是同一个常数，所以2a 1，2a 2，2a 3，2a 4依次构成等比数列．(2)不存在，理由如下：令a 1＋d ＝a ，则a 1，a 2，a 3，a 4分别为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d (a ＞d ，a ＞－2d ，d ≠0)．假设存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列， 则a 4＝(a －d )(a ＋d )3，且(a ＋d )6＝a 2(a ＋2d )4.令t ＝da，则1＝(1－t )(1＋t )3，且(1＋t )6＝(1＋2t )4⎝⎛⎭⎫－12＜t ＜1，t ≠0， 化简得t 3＋2t 2－2＝0(*)，且t 2＝t ＋1. 将t 2＝t ＋1代入(*)式，t (t ＋1)＋2(t ＋1)－2＝t 2＋3t ＝t ＋1＋3t ＝4t ＋1＝0，则t ＝－14.显然t ＝－14不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立．因此不存在a 1，d ，使得a 1，a 22，a 33，a 44依次构成等比数列．第2讲 数列求和及其综合应用1．(2014·北京高考)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 ①q >1时，{a n }未必是递增数列，如－1，－2，－4，－8，－16…； ②{a n }是递增数列时，q 不一定大于1，如－16，－8，－4，－2，－1.故选D. 【答案】 D 2．(2015·北京高考)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0【解析】 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32＞a 1a 3，所以C 正确．【答案】 C3．(2015·武汉模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×（5－1）2d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列{1a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 【答案】 A 4．(2015·福建高考)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋3d ）＋（a 1＋6d ）＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋...＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝2×（1－210）1－2＋（1＋10）×102＝211＋53 ＝2 101.考什么 怎么考 题型与难度 1.数列的通项公式 ①考查等差、等比数列的基本量的求解； ②考查a n 与S n 的关系，递推关系等 题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题2.数列的前n项和①考查等差、等比数列前n 项和公式； ②考查用裂项相消法、错位相减法、分解组合法求和. 题型：三种题型均可出现，更多为解答题难度：中档题3.数列的综合应用 ①考查数列与函数的综合； ②考查数列与不等式的综合. 题型：解答题难度：中档题数列的通项公式（自主探究型）1．(2015·新课标Ⅱ高考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝____________．【解析】 本题主要考查等差数列的概念等，意在考查考生的运算求解能力以及转化与化归能力．当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1，所以{1S n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n.【答案】 －1n2．(2015·铜陵模拟)数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】 本题主要考查递推数列，意在考查转化与化归能力．当n ＝1时，13a 1＝3×1＋1，所以a 1＝12，当n ≥2时，①：13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＋13n a n ＝3n ＋1，②：13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＝3(n －1)＋1.①－②得：13n a n ＝(3n ＋1)－[3(n －1)＋1]，即13n a n ＝3，所以a n ＝3n ＋1，综上可得：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥23．(预测题)若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝5a n －133a n －7，则a 2 015的值为________．【解析】 本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决．由于a 1＝3，求a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，所以数列{a n }是周期为3的周期数列，所以a 2 015＝a 671×3＋2＝a 2＝1.【答案】 1【规律感悟】 求通项的常用方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n .(3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．(5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋q p －1＝p ⎝⎛⎭⎫a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解．②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1＝1a n －1p的形式．数列的前n 项和（多维探究型）命题角度一 基本数列求和、分组求和【典例1】 (2015·湖北八校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .【解】 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查考生的运算求解能力及函数与方程思想、化归与转化思想．(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n （n ＋2），n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2（1－4n）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．命题角度二 裂项相消法求和 【典例2】 (2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 本题主要考查等比数列的通项公式及裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力．(1)利用等比数列的性质可构造方程组求解a 1，a 4，进而可求数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可求解．(1)由题设知a 1 a 4＝a 2 a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.命题角度三 错位相减法求和 【典例3】 (2015·天津高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．【解】 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力．(1)根据已知条件建立关于公差d 、公比q 的方程组，求解即得；(2)利用错位相减法进行数列求和．(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧（1＋d ）＋（1＋2q ）＝2q ，q 4－3（1＋d ）＝7，⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0.又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3， 所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.【规律感悟】 1.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． (3)根据数列的周期性分组． 2．裂项后相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比． ②把两个和的形式错位相减． ③整理结果形式．[针对训练]1．(2014·湖南高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.2．(2015·山东高考)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)设数列{a n }的公差为d .令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ， 所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4（1－4n ）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19.数列的综合应用（师生共研型） 【典例4】 (2015·安徽高考)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n. 【解】 本题综合考查函数、导数的几何意义、数列以及不等式等知识．先通过导数的几何意义求出直线斜率，再求出直线与x 轴交点的横坐标，得到数列通项，最后证明不等式．(1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2， 从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫342…⎝⎛⎭⎫2n －12n 2.当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝⎛⎭⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n.综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.[一题多变]若题 (2)变为：记b n ＝lg x n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n .【解】 ∵x n ＝nn ＋1，∴b n ＝lg x n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋[lg n －lg(n ＋1)] ＝－lg(n ＋1)． 【规律感悟】1．数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．2．数列与不等式交汇问题的常用方法 (1)作差(商)比较．(2)根据数列的函数特征，判断并利用其单调性． (3)利用基本不等式求最值．[针对训练](2015·陕西汉中质检)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n＜564. 【解】 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n ＞0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. 所以T n ＝116×[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2]＝116×⎣⎡⎦⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2＜116×⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.函数与方程思想求解数列中的最值问题 [思想诠释]数列中的最值问题用到函数与方程思想的常见题型：(1)数列中的恒成立问题：转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解．(2)数列中的最大项与最小项问题：利用函数的有关性质或不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1求解． (3)数列中前n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使a n ≥0(a n ，≤0)成立时最大的n 值即可求解．[典例剖析]【典例】 (2015·江西南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n ＞a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．【审题策略】 (1)由a 1＝1，S 3＝6求a n ；由b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n 求b n ；(2)题目涉及恒成立，联想到函数思想，构建函数，利用函数性质求解．【解】 (1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1（n ≥2） ②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n .(2)λb n ＞a n 恒成立⇒λ＞n2n 恒成立，设c n ＝n2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n ＜1，数列{c n }单调递减，∴(c n )max ＝12，故λ＞12.所以实数λ的取值范围为(12，＋∞)．[针对训练](2015·辽宁大连模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列{1a n }是等差数列；(2)求数列{1a n }的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞nn ＋1.【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.1．必记公式(1)“基本数列”的通项公式①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n (n ∈N *)． ②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)． ③数列3，5，7，9，…的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． ④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n (n ∈N *)．⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1(n ∈N *)． ⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n 2(n ∈N *)．⑦数列1，3，6，10，…的通项公式是a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)．⑧数列11，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n (n ∈N *)．(2)常用的拆项公式(其中n ∈N *)①1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1. ②1n （n ＋k ）＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .③1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)． ④若等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1；1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2.⑤1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）.⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．⑧2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1. 2．重要结论(1)常见数列的前n 项和①1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.②2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n . ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.④12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)数列中不等式的放缩技巧①1K 2＜1K 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1K －1－1K ＋1 ②1K －1K ＋1＜1K 2＜1K －1－1K. ③2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．3．易错提醒(1)裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错．(2)忽略验证第一项致误：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项，忽略n ≥2的限定，忘记第一项单独求解与检验．(3)求错项数致误：错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项．限时训练(十一)一、选择题 1．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞0【解析】 由a 3，a 4，a 8成等比数列可得：(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，即3a 1＋5d ＝0，所以a 1＝－53d ，所以a 1d ＜0.又dS 4＝（a 1＋a 4）×42d ＝2(2a 1＋3d )d ＝－23d 2＜0.故选B.【答案】 B 2．(2015·保定调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)【解析】 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 【答案】 A3．(预测题)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 015项的和等于( )A.3 0232B ．3 023C ．1 512D ．3 024【解析】 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 015项的和等于S 2 015＝1 007×(1＋12)＋1＝3 0212＋1＝3 0232.【答案】 A 4．(2015·长春质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1 C.2n －12n －1 D.n ＋12n ＋1 【解析】 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，有b 1＝4，b 2＝8，则b n ＝4n ，即b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n＝4n ，S n ＋(1＋2n)a n ＝4.当n ≥2时，S n －S n －1＋(1＋2n )a n －(1＋2n －1)a n －1＝0，所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以{a n n }是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a n ＝n 2n －1.故选A. 【答案】 A5．(2015·云南第一次统一检测)在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100【解析】 由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)·(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n （n ＋1），∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101.【答案】 C 二、填空题6．(2014·全国新课标Ⅱ高考)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．【解析】 将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.【答案】 127．(理)若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________．【解析】 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)(23)n ＋1－n (n ＋4)(23)n ＝(23)n [23(n 2＋6n＋5)－n 2－4n ]＝2n3n ＋1(10－n 2)，所以当n ≤3时，a n ＋1＞a n ；当n ≥4时，a n ＋1＜a n .因此，a 1＜a 2＜a 3＜a 4，a 4＞a 5＞a 6＞…，故a 4最大，所以k ＝4. 【答案】 4(文)(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n－a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故数列{1a n }前10项的和S 10＝2(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2(1－111)＝2011.【答案】 20118．(2015·福建高考)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．【解析】 因为a ，b 为函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ＞0，a ＋b ＝p ，ab ＝q .所以a ＞0，b ＞0，所以数列a ，－2，b 不可能成等差数列，数列a ，b ，－2不可能成等比数列，数列－2，a ，b 不可能成等比数列．不妨取a ＞b ，则只需研究数列a ，b ，－2成等差数列，数列a ，－2，b 成等比数列，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝2b ，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2(舍去)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9.【答案】 9 三、解答题 9．(2015·湖北高考)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)由题意有，⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.10．(2014·山东高考)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1)。
【12份】2016版高考数学大二轮总复习(全国通用,理科)审题+解题+回扣 配套Word版文档
【12份】2016版高考数学大二轮总复习（全国通用，理科）审题+解题+回扣配套Word 版文档审题是解题的基础，深入细致的审题是成功解题的前提，审题不仅存在于解题的开端，还要贯穿于解题思路的全过程和解法后的反思回顾．正确的审题要多角度地观察，由表及里，由条件到结论，由数式到图形，洞察问题实质，选择正确的解题方向．事实上，很多考生往往对审题掉以轻心，或不知从何处入手进行审题，致使解题失误而丢分．本讲结合实例，教你正确的审题方法，给你制订一条“审题路线图”，攻克高考解答题． 一审条件挖隐含任何一个数学问题都是由条件和结论两部分构成的．条件是解题的主要素材，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．条件有明示的，有隐含的，审视条件更重要的是要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息，发挥隐含条件的解题功能． 例 1 (2014·重庆)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)若f (α2)＝34(π6<α<2π3)，求cos(α＋3π2)的值．审题路线图(1)条件：f (x )图象上相邻两个最高点距离为π ↓挖掘三角函数图象的特征f (x )的周期为π↓T ＝2π|ω|，ω>0(已知)ω＝2条件：f (x )图象关于直线x ＝π3对称↓f (π3)取到最值2×π3＋φ＝k π＋π2(k ↔Z ) ↓－π2≤φ<π2(已知)φ＝－π6↓(2)条件：f (α2)＝34↓代入f (x )sin (α－π6)＝14↓条件π6<α<2π3cos (α－π6)＝154↓欲求cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]sin α＝3＋158↓cos (α＋3π2)＝3＋158解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期为T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ↔Z .由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f (α2)＝3sin(2·α2－π6)＝34，所以sin(α－π6)＝14.由π6<α<2π3， 得0<α－π6<π2，所以cos(α－π6)＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154.所以cos(α＋3π2)＝sin α＝sin[(α－π6)＋π6]＝sin(α－π6)cos π6＋cos(α－π6)sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 跟踪演练1 (2014·四川)已知函数f (x )＝sin(3x ＋π4)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f (α3)＝45cos(α＋π4)cos 2α，求cos α－sin α的值．二审结论会转换问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向． 例2 (2015·北京)已知函数f (x )＝ln1＋x1－x. (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求证：当x ↔(0,1)时，f (x )＞2⎝⎛⎭⎫x ＋x33； (3)设实数k 使得f (x )＞k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ↔(0,1)恒成立，求k 的最大值． 审题路线图(2)x ↔(0，1)时f (x )>2(x ＋x 33)――→转化要证结论f (x )－2(x ＋x 33)>0在(0，1)上恒成立―――――――→构造函数g (x )＝f (x )－2(x ＋x 33)g (x )>0→研究函数g (x )的单调性求g (x )(3)求k 的最大值 ―――――――→构造函数h (x )＝f (x )－k (x ＋x 33)研究h (x )单调性――――――――――→讨论参数k结合(2)知k ≤2时符合题意k >2时h (x )的单调性解 (1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )， 所以f ′(x )＝11＋x ＋11－x，f ′(0)＝2.又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x . (2)令g (x )＝f (x )－2⎝⎛⎭⎫x ＋x33， 则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2)＝2x 41－x 2.因为g ′(x )>0(0<x <1)，所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )>g (0)＝0，x ↔(0,1)，即当x ↔(0,1)时，f (x )>2⎝⎛⎭⎫x ＋x 33.(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33对x ↔(0,1)恒成立． 当k >2时，令h (x )＝f (x )－k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33， 则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－(k －2)1－x 2.所以当0<x < 4k －2k 时，h ′(x )<0，因此h (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0， 4k －2k 上单调递减． 当0<x < 4k －2k 时，h (x )<h (0)＝0，即f (x )<k ⎝⎛⎭⎫x ＋x 33. 所以当k >2时，f (x )>k ⎝⎛⎭⎫x ＋x33并非对x ↔(0,1)恒成立． 综上可知，k 的最大值为2.跟踪演练2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值； (2)若a ＝1，求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；(3)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．三审图形抓特点在不少数学高考试题中，问题的条件往往是以图形的形式给出，或将条件隐含在图形之中，因此在审题时，要善于观察图形，洞悉图形所隐含的特殊关系、数值的特点、变化的趋势．抓住图形的特征，运用数形结合的数学思想方法，是破解考题的关键．例 3 如图(1)所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°.点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC＝O.沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED，如图(2)所示．(1)求证：BD⊥平面POA；(2)当PB取得最小值时，求四棱锥P－BDEF的体积．审题路线图(1)(2)(1)证明因为菱形ABCD的对角线互相垂直，所以BD⊥AC.所以BD⊥AO.因为EF⊥AC，所以PO⊥EF.因为平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED＝EF，且PO⊂平面PEF，所以PO⊥平面ABFED.因为BD⊂平面ABFED，所以PO⊥BD.因为AO ∩PO ＝O ，所以BD ⊥平面POA .(2)解 设AO ∩BD ＝H . 因为∠DAB ＝60°， 所以△BDC 为等边三角形． 故BD ＝4，HB ＝2， HC ＝2 3.设PO ＝x (0<x <23)，则OH ＝23－x ，OA ＝43－x .连接OB ，由OH ⊥BD ，得OB 2＝(23－x )2＋22. 又由(1)知PO ⊥平面BFED ， 则PO ⊥OB .所以PB ＝OB 2＋OP 2＝(23－x )2＋22＋x 2 ＝2(x －3)2＋10.当x ＝3时，PB min ＝10，此时PO ＝3＝OH ， 所以V 四棱锥P －BDEF ＝13×S 梯形BDEF ×PO＝13×(34×42－34×22)×3＝3. 跟踪演练3 如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，若O 为△ABC 的外心，则AO →·BC→的值为________．四审结构定方案数学问题中的条件和结论，很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的．在这些问题的数式结构中，往往都隐含着某种特殊关系，认真审视数式的结构特征，对数式结构进行深入分析，加工转化，可以寻找到突破问题的方案． 例4 (2015·四川)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．审题路线图解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)， 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1， 又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列， 即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10. 跟踪演练4 (1)(2015·临川一中月考)已知数列{a n }满足a 1＝6，a n ＋1－a n ＝2n ，记c n ＝a nn，且存在正整数M ，使得对一切n ↔N *，c n ≥M 恒成立，则M 的最大值为________． (2)(2014·课标全国Ⅰ)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sinA －sinB )＝(c －b )·sinC ，则△ABC 面积的最大值为________． 五审图表找规律题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，往往也暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，常常可以找到解决问题的思路和方法． 例5下表中的数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为a i ，j (i ，j ↔N *)，则 (1)a 9,9＝________；(2)表中的数82共出现________次.审题路线图审视图表数据a i ，j ――→每行成等差数列a 1，9＝a 1，1＋8×1＝10 ――→每列成等差数列a 9，9＝a 1，9＋8×9＝72――→一般规律a i ，j ＝(i ＋1)＋(j －1)·i ＝ij ＋1――→82出现次数ij ＋1＝82解的个数【详细分析】(1)a 9,9表示第9行第9列，第1行的公差为1，第2行的公差为2，……，第9行的公差为9，第9行的首项b 1＝10，则b 9＝10＋8×9＝82；(2)第1行数组成的数列a 1，j (j ＝1,2，…)是以2为首项，公差为1的等差数列，所以a 1，j ＝2＋(j －1)·1＝j ＋1；第i 行数组成的数列a i ，j (j ＝1,2，…)是以i ＋1为首项，公差为i 的等差数列，所以a i ，j ＝(i ＋1)＋(j －1)i ＝ij ＋1，由题意得a i ，j ＝ij ＋1＝82，即ij ＝81，且i ，j ↔N *，所以81＝81×1＝27×3＝9×9＝1×81＝3×27，故表格中82共出现5次． 答案 (1)82 (2)5跟踪演练 5为调查企业工人的身体情况，社保局从某企业800名男职工中随机抽取50名测量其身高，据测量，被测职工的身高全部在155cm 到195cm 之间．将测量结果按如下方式分成8组：第一组[155,160)，第二组[160,165)，……，第八组[190,195]，频率分布直方图的部分图象如图所示，频数统计表的一部分如下表，已知第一组与第八组的人数相同，第七组与第六组的人数差恰好为第八组与第七组的人数差，则x ＝________，y ＝________.六审细节更完善审题不仅要从宏观上、整体上去分析、去把握，还要更加注意审视一些细节上的问题．例如括号内的标注、数据的范围、图象的特点等．因为标注、范围大多是对数学概念、公式、定理中所涉及的一些量或解析式的限制条件．审视细节能适时地利用相关量的约束条件，调整解决问题的方向．所以说重视审视细节，更能体现审题的深刻性． 例6 各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝14a 2n＋12a n (n ↔N *)． (1)求a n ；(2)令b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n， n 为奇数，b 2n ， n 为偶数，c n ＝b 24n ＋(n ↔N *)，求{c n }的前n 项和T n .审题路线图 (1)S n ＝14a 2n ＋12a n↓(注意n ↔N *，a n >0) a 1＝2↓(下面的变形是有条件的，条件是n ≥2) a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1 ↓(进行代数式变形) (a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0 ↓(a n ＋a n －1>0) a n －a n －1＝2↓(利用等差数列的定义) a n ＝2＋(n －1)×2＝2n↓(注意b n 与a n 的关系，n 是分奇偶的) (2)b 1＝a 1＝2；b 2＝a 1＝2；b 3＝a 3＝6； b 4＝b 2＝2↓(注意c n 与b n 的关系) c 1＝b 6＝b 3＝6 c 2＝b 8＝b 4＝2↓(注意下面变化的条件是n ≥3)12221242221n n n n n c b b b a －－－＋＋＋＋＝＝＝＝＝2n －1＋2.↓T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝6＋2＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2) ＝2n ＋2n↓(当n ＝1，n ＝2时，对T n 的表达式的验证)T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ↔N *. 解 (1)a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1⇒14a 21－12a 1＝0，因为a 1>0，故a 1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －14a 2n －1－12a n －1， 所以14(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0， 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0. 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2， 即{a n }为等差数列， 所以a n ＝2n (n ↔N *)．(2)c 1＝b 6＝b 3＝a 3＝6，c 2＝b 8＝b 4＝b 2＝b 1＝a 1＝2， n ≥3时，12422n n n c b b －＋＋＝＝221212122n n n b a －－－＋＋＝＝＝＋，此时，T n ＝8＋(22＋2)＋(23＋2)＋…＋(2n －1＋2)＝2n ＋2n ；当n ＝1时，2＋2＝4≠6，不符合上式，当n ＝2时，T 2＝22＋2×2＝8＝c 1＋c 2，符合上式．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，2n ＋2n ， n ≥2且n ↔N *. 跟踪演练6 (2015·惠州市调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ↔N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练A 组 专题通关1．已知点A (－3,0)，B (0,3)，若点P 在圆x 2＋y 2－2x ＝0上运动，则△P AB 面积的最小值为( ) A ．6 B ．6 2 C ．6＋322D ．6－3222．如图所示，用K ，A 1，A 2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A 1，A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K ，A 1，A 2正常工作的概率依次是0.9,0.8,0.8，则系统正常工作概率为( )A ．0.960B ．0.864C ．0.70D ．0.5763．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为( )A.233B.476C ．6D ．74．(2015·重庆)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )A ．s ≤34？B ．s ≤56？C ．s ≤1112？D ．s ≤2524？5．(2015·佛山市高三上学期期中试题)已知a ＞0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin π2x ，x ↔[－1，0)，ax 2＋ax ＋1，x ↔[0，＋∞)，若f (t －13)＞－12，则实数t 的取值范围为________．6．(2015·福建)若锐角△ABC 的面积为103，且AB ＝5，AC ＝8，则BC 等于________． 7．已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin(3π2－A )cos(π2＋A )；(2)求tan A 值．8．数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝ln(1＋1n )，b n ＝1n －1n 2(n ↔N *)，证明：a n ＞b n .B 组 能力提高9．已知a ↔R ，函数f (x )＝16x 3＋12(a －2)x 2＋b ，g (x )＝2a ln x .(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处的切线互相垂直，求a ，b 的值； (2)设F (x )＝f ′(x )－g (x )，若对任意的x 1，x 2↔(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，求a 的取值范围．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，且过点(1，22)，右焦点为F 2.设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为－12，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求F 2P →·F 2Q →的取值范围．学生用书答案精析第一篇 活用审题路线图，教你审题不再难跟踪演练1 解 (1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为[－π2＋2k π，π2＋2k π]，k ↔Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ↔Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ↔Z .所以函数f (x )的单调递增区间为[－π4＋2k π3，π12＋2k π3]，k ↔Z .(2)由已知，有sin(α＋π4)＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45(cos αcos π4－sin αsin π4)(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ↔Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α<0， 此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 跟踪演练2 (1)解 由于函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x ，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝－1(舍去)， 当x ↔(0,1)时，函数f (x )单调递减， 当x ↔(1，＋∞)时，函数f (x )单调递增， 所以f (x )在x ＝1处取得极小值为12.(2)解 当a ＝1时，易知函数f (x )在[1，e]上为增函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.(3)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝(1－x )(1＋x ＋2x 2)x， 当x >1时，F ′(x )<0，故f (x )在区间[1，＋∞)上是减函数， 又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )<0恒成立． 即f (x )<g (x )恒成立．因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方． 跟踪演练3 8【详细分析】方法一 取边BC 的中点D ，由于O 为△ABC 的外心，所以DO →⊥BC →，所以DO →·BC →＝0，AO →＝AD →＋DO →＝12(AB →＋AC →)＋DO →，所以AO →·BC →＝[12(AB →＋AC →)＋DO →]·BC →＝12(AB→＋AC →)·(AC →－AB →) ＝12(|AC →|2－|AB →|2)＝8. 方法二 取AB 的中点E ，AC 的中点F ，连接OE ，OF ，则OE ⊥AB ，OF ⊥AC .易知向量AO →在AB →上的投影为|AE →|，AO →在AC →上的投影为|AF →|，所以AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB → ＝|AC →|·|AF →|－|AB →|·|AE →|＝5×52－3×32＝8.跟踪演练4 (1)4 (2) 3 【详细分析】(1)∵a n ＋1－a n ＝2n ， ∴a n －a n －1＝2n －2，……，a 2－a 1＝2， ∴a n －a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1] ＝n (n －1)， ∴a n ＝n (n －1)＋6，∴c n ＝a n n ＝n ＋6n －1≥5－1＝4，∵对一切n ↔N *，c n ≥M 恒成立， ∴M 的最大值为4. (2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R ，a ＝2，又(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C 可化为(a ＋b )(a －b )＝(c －b )·c ，∴a 2－b 2＝c 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc . ∴b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12＝cos A ，∴A ＝60°.∴△ABC 中，4＝a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos 60°＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc (“＝”当且仅当b ＝c 时取得)，∴S △ABC ＝12·bc ·sin A ≤12×4×32＝ 3.跟踪演练5 4 3【详细分析】由频率分布直方图可知前五组的频率之和是(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，第八组的频率是0.008×5＝0.04， 所以第六、七组的频率之和为1－0.82－0.04＝0.14. 故第八组的人数为50×0.04＝2， 第六、七组的人数之和为50×0.14＝7.由题意，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝7，y －x ＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝3.跟踪演练6 (1)解 依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4，当n ≥2时，2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，两式相减得2a n ＝(na n ＋1－13n 3－n 2－23n )－[(n －1)·a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)]．整理得(n ＋1)a n ＝na n ＋1－n (n ＋1)， 即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 又a 22－a 11＝1， 故数列{a nn }是首项为1，公差为1的等差数列，所以a nn ＝1＋1×(n －1)＝n ，所以a n ＝n 2.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＝1<74；当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14＝54<74；当n ≥3时，1a n ＝1n 2<1n (n －1)＝1n －1－1n，此时1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋122＋132＋142＋…＋1n 2<1＋14＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＝1＋14＋12－1n ＝74－1n <74. 综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.审题突破练1．D [由圆的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆的圆心G (1,0)，且圆的半径r ＝1， 由A (－3,0)，B (0,3)，得k AB ＝33＝1，所以AB 的方程为y ＝x ＋3， 即x －y ＋3＝0，所以点G (1,0)到AB 的距离d ＝|1－0＋3|2＝22＞1，所以AB 与给定的圆相离，圆上到AB 的距离的最小值t ＝d －r ＝22－1， 又|AB |＝9＋9＝32，所以△P AB 面积的最小值为12×32×(22－1)＝6－322.]2．B [由题意可知K ，A 1，A 2三类元件正常工作相互独立．A 1，A 2至少有一个正常工作的概率为P ＝1－(1－0.8)2＝0.96.所以系统正常工作的概率为P K P ＝0.9×0.96＝0.864.] 3．A [由题意知，该多面体是由正方体挖去两个小三棱锥后所成的几何体，如图所示，所以该几何体的体积为V ＝2×2×2－2×13×(12×1×1)×1＝233]4．C [由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋14＝34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝2524，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112？.]5．(0，＋∞)【详细分析】①当－1≤t －13＜0时，f (t －13)＝sin[π2(t －13)]＞－12，∴－π6＋2k π＜π2(t －13)＜7π6＋2k π(k ↔Z )．∴－13＋4k ＜t －13＜73＋4k (k ↔Z )．∵－1≤t －13＜0，∴－13＜t －13＜0，∴0＜t ＜13.②当t －13≥0时，f (t －13)＝a (t －13)2＋a (t －13)＋1＞－12(a ＞0)恒成立，∴t ≥13.综上可知：实数t 的取值范围为(0，＋∞)． 6．7【详细分析】S ＝12AB ·AC ·sin A ，∴sin A ＝32，在锐角三角形中A ＝π3，由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝7. 7．解 方法一 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，∴1＋2sin A ·cos A ＝125，∴sin 2A ＝－2425，sin(3π2－A )cos(π2＋A )＝－cos A ·(－sin A )＝sin A cos A ＝12sin 2A ＝－1225.(2)∵sin A ＋cos A ＝15，∴(sin A －cos A )2＝(sin A ＋cos A )2－4sin A cos A ＝125＋4825＝4925， 又0＜A ＜π且sin A ＋cos A ＝15，∴π2＜A ＜π， ∴sin A ＞0，cos A ＜0， ∴sin A －cos A ＝75，∴sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝－43.方法二 (1)同方法一． (2)sin 2A ＝2sin A cos Acos 2A ＋sin 2A＝2tan A 1＋tan 2A＝－2425， ∴12tan 2A ＋25tan A ＋12＝0∴tan A ＝－43或tan A ＝－34又0＜A ＜π，sin A ＋cos A ＝15，∴π2＜A ＜3π4，∴tan A ＜－1， 故tan A ＝－43.8．证明 欲证原不等式成立， 需证明ln(1＋1n )－1n ＋1n2＞0.构造函数F (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2(0＜x ≤1) 所以F ′(x )＝11＋x －1＋2x ＝x (2x ＋1)x ＋1.当0＜x ≤1时，F ′(x )＞0， 所以函数F (x )在(0,1]上单调递增． 所以函数F (x )＞F (0)＝0，即F (x )＞0. 所以∀x ↔(0,1]，ln(1＋x )－x ＋x 2＞0， 即ln(1＋x )＞x －x 2. 令x ＝1n(n ↔N *)，则有ln(1＋1n )＞1n －1n 2，即a n ＞b n .9．解 (1)f ′(x )＝12x 2＋(a －2)x ，f ′(1)＝a －32.g ′(x )＝2ax ，g ′(1)＝2a .依题意有f ′(1)g ′(1)＝－1， 且f (1)＝g (1)，可得⎩⎨⎧2a (a －32)＝－1，16＋12(a －2)＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝13，或a ＝12，b ＝712.(2)F (x )＝12x 2＋(a －2)x －2a ln x .不妨设x 1＜x 2，F (x 2)－F (x 1)＞a (x 2－x 1)，等价于F (x 2)－ax 2＞F (x 1)－ax 1. 设G (x )＝F (x )－ax ，则对任意的x 1，x 2↔(0，＋∞)， 且x 1≠x 2，都有F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1＞a ，等价于G (x )＝F (x )－ax 在(0，＋∞)上是增函数． G (x )＝12x 2－2a ln x －2x ，可得G ′(x )＝x －2ax －2＝x 2－2x －2a x，依题意有，对任意x ＞0，有x 2－2x －2a ≥0恒成立． 由2a ≤x 2－2x ＝(x －1)2－1， 可得a ≤－12.10．解 (1)因为焦距为2，所以a 2－b 2＝1. 又因为椭圆C 过点(1，22)， 所以1a 2＋12b 2＝1.故a 2＝2，b 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由题意可知，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 的方程为x ＝－12，此时P (－2，0)，Q (2，0)， 得F 2P →·F 2Q →＝－1.当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (k ≠0)，M (－12，m )(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x 212＋y 21＝1，x222＋y 22＝1，得(x 1＋x 2)＋2(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，则－1＋4mk ＝0，故4mk ＝1.此时，直线PQ 的斜率为k 1＝－4m ， 直线PQ 的方程为y －m ＝－4m (x ＋12)．即y ＝－4mx －m .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－4mx －m ，x 22＋y 2＝1消去y ， 整理得(32m 2＋1)x 2＋16m 2x ＋2m 2－2＝0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)所以x 3＋x 4＝－16m 232m 2＋1，x 3x 4＝2m 2－232m 2＋1.于是F 2P →·F 2Q →＝(x 3－1)(x 4－1)＋y 3y 4＝x 3x 4－(x 3＋x 4)＋1＋(4mx 3＋m )·(4mx 4＋m ) ＝(4m 2－1)(x 3＋x 4)＋(16m 2＋1)x 3x 4＋m 2＋1 ＝(4m 2－1)(－16m 2)32m 2＋1＋(1＋16m 2)(2m 2－2)32m 2＋1＋1＋m 2 ＝19m 2－132m 2＋1. 由于M (－12，m )在椭圆的内部，故0<m 2<78，令t ＝32m 2＋1,1<t <29，则F 2P →·F 2Q →＝1932－5132t .又因为1<t <29，所以－1<F 2P →·F 2Q →<125232.综上所述，F 2P →·F 2Q →的取值范围为(－1，125232)．第1讲 选择题的解法技巧题型概述选择题考查基础知识、基本技能，侧重于解题的严谨性和快捷性，以“小”“巧”著称．解选择题只要结果，不看过程，更能充分体现学生灵活应用知识的能力．解题策略：充分利用题干和选项提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，一定要小题巧解，避免小题大做．方法一 直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法． 例1 (1)(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 (2)(2015·广雅中学高三一模)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝3，A ＝π3，cosB ＝55，则b 等于( ) A.855 B.255 C.455 D.1255【详细分析】(1)由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. (2)由题意可得，△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝255， 再由正弦定理可得a sin A ＝bsin B，即3sinπ3＝b 255，解得b ＝455. 答案 (1)A (2)C思维升华 涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．只要推理严谨，运算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，不能一味求快导致快中出错． 跟踪演练1(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为( ) A.12 B.23 C.32D ．2 (2)(2015·四川)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32B. 32C ．－12D.12方法二 特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．例 2 (1)(2014·上海)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2](2)已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2,3，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，当n ≥1时，log 2a 1＋l og 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【详细分析】(1)若a ＝－1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x ≤0，x ＋1x－1，x >0，易知f (－1)是f (x )的最小值，排除A ，B ；若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，x ＋1x，x >0，易知f (0)是f (x )的最小值，故排除C.D 正确．(2)因为a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，所以令n ＝3，代入得a 5·a 1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，则log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＝9＝32.结合选项可知只有C 符合要求． 答案 (1)D (2)C思维升华 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解． 跟踪演练2(1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)已知O 是锐角△ABC 的外接圆圆心，∠A ＝60°，cos Bsin C·AB→＋cos C sin B·AC→＝2m ·AO →，则m 的值为( ) A.32 B. 2 C ．1 D.12方法三 排除法排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确答案． 例3 (1)(2015·课标全国Ⅱ)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关(2)(2015·浙江)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )【详细分析】(1)从2006年，将每年的二氧化硫排放量与前一年作差比较，得到2008年二氧化硫排放量与2007年排放量的差最大，A 选项正确； 2007年二氧化硫排放量较2006年降低了很多，B 选项正确；虽然2011年二氧化硫排放量较2010年多一些，但自2006年以来，整体呈递减趋势，即C 选项正确；自2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D 选项错误，故选D. (2)∵f (x )＝(x －1x)cos x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除A ，B ；当x →π时，f (x )＜0，排除C.故选D. 答案 (1)D (2)D思维升华 排除法适应于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案． 跟踪演练3 (1)已知f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )，则f ′(x )的图象是( )(2)(2015·北京)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0方法四 数形结合法在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，通过对规范图形或示意图形的观察分析，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．例4 设函数g (x )＝x 2－2(x ↔R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )＋x ＋4，x <g (x )，g (x )－x ，x ≥g (x )， 则f (x )的值域是( )A ．[－94，0]∪(1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．[－94，＋∞)D ．[－94，0]∪(2，＋∞)【详细分析】由x <g (x )得x <x 2－2，∴x <－1或x >2； 由x ≥g (x )得x ≥x 2－2，∴－1≤x ≤2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.即f (x )＝⎩⎨⎧(x ＋12)2＋74，x <－1或x >2，(x －12)2－94，－1≤x ≤2.当x <－1时，f (x )>2；当x >2时，f (x )>8.∴当x ↔(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞)． 当－1≤x ≤2时，－94≤f (x )≤0.∴当x ↔[－1,2]时，函数的值域为[－94，0]．综上可知，f (x )的值域为[－94，0]∪(2，＋∞)．答案 D思维升华 数形结合法是依靠图形的直观性进行分析的，用这种方法解题比直接计算求解更能抓住问题的实质，并能迅速地得到结果．使用数形结合法解题时一定要准确把握图形、图象的性质，否则会因为错误的图形、图象得到错误的结论．跟踪演练4 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx (－2≤x ≤4)的所有零点之和等于( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8方法五 构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．例5 已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且对于∀x ↔R ，均有f (x )>f ′(x )，则有( ) A ．e 2 016f (－2 016)<f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) B ．e 2 016f (－2 016)<f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) C ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0) D ．e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0) 【详细分析】构造函数g (x )＝f (x )e x， 则g ′(x )＝f ′(x )e x －(e x )′f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，因为∀x ↔R ，均有f (x )>f ′(x )，并且e x >0， 所以g ′(x )<0，故函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减，所以g (－2 016)>g (0)，g (2 016)<g (0)， 即f (－2 016)e－2 016>f (0)，f (2 016)e 2 016<f (0)，也就是e 2 016f (－2 016)>f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)． 答案 D思维升华 构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究． 跟踪演练5 (1)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f ′(x )是奇函数f (x )(x ↔R )的导函数，f (－1)＝0，当x >0时，xf ′(x )－f (x )＜0，则使得f (x )>0成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪(0,1) B ．(－1,0)∪(1，＋∞) C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(0,1)∪(1，＋∞)(2)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，给出下列五个命题：①四面体ABCD 每组对棱相互垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 其中正确命题的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5方法六 估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．例6 (1)已知x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，x 2是方程x ＋10x ＝3的根，则x 1＋x 2等于( ) A ．6 B ．3 C ．2 D ．1(2)如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )A.92 B ．5 C ．6 D.152【详细分析】(1)因为x 1是方程x ＋lg x ＝3的根，所以2<x 1<3， x 2是方程x ＋10x ＝3的根， 所以0<x 2<1， 所以2<x 1＋x 2<4.(2)该多面体的体积比较难求，可连接BE 、CE ，问题转化为四棱锥E －ABCD 与三棱锥E －BCF 的体积之和， 而V E －ABCD ＝13S ·h＝13×9×2＝6，所以只能选D. 答案 (1)B (2)D思维升华 估算法是根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行求解的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时(如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题)常用此种方法确定选项．跟踪演练6 (1)(2015·成都七中测试)设a ＝log 23，b ＝232，c ＝343，则( )A ．b <a <cB ．c <a <bC ．c <b <aD ．a <c <b(2)(2015·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )知识方法总结 快速破解选择题(一)直接法 (二)特例法 (三)排除法 (四)数形结合法 (五)构造法 (六)估算法选择题突破练A 组 专题通关1．(2015·温州市联考)已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x ||x |＜1}，则A ∩(∁U B )等于( ) A ．(1,2) B ．(1,2] C ．[1,2) D ．[1,2]2．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋13．(2015·湖南)执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝3，则输出的S 等于( )A.67B.37C.89D.494．(2015·浙江)存在函数f (x )满足：对任意x ↔R 都有( ) A ．f (sin 2x )＝sin x B ．f (sin 2x )＝x 2＋x C ．f (x 2＋1)＝|x ＋1| D ．f (x 2＋2x )＝|x ＋1|5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|sin x |，x ↔[－π，π]，lg x ，x >π，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是( ) A ．(0，π) B ．(－π，π) C ．(lg π，1)D ．(π，10)6．如图，在棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P 、Q 满足A 1P ＝BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A ．3∶1 B ．2∶1 C ．4∶1 D.3∶17．(2015·湖北)设x ↔R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n ]＝n 同时成立，则正整数n的最大值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．函数y＝x cos x＋sin x的图象大致为( )9．(2015·成都新都区高三诊断测试)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＜0，且S2 015＝0，则当S n取得最小值时，n的取值为( )A．1 009 B．1 008C．1 007或1 008 D．1 008或1 00910．已知四面体P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PB⊥平面ABC，AB⊥AC，且AC ＝1，PB＝AB＝2，则球O的表面积为( )A．7π B．8π C．9π D．10π11．(2015·浙江省桐乡第一中学高三联考)若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log222，则有( )A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a12．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恰好有相异两点到直线4x－3y＋25＝0的距离等于1，则r的取值范围是( )A．[4,6]B．[4,6) C．(4,6]D．(4,6)B组能力提高13．(2015·杭州调研)已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③ 14．(2015·广州联考)已知点P 是抛物线x 2＝4y 上的一个动点，则点P 到点M (2,0)的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值为( ) A.172 B. 5 C ．2 2 D.9215．(2015·北京朝阳区测试)设a 、b 为两个非零的平面向量，下列说法正确的是( ) ①若a ·b ＝0，则有|a ＋b |＝|a －b |； ②|a ·b |＝|a ||b |；③若存在实数λ，使得a ＝λb ，则|a ＋b |＝|a |＋|b |； ④若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得a ＝λb . A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 16．(2015·浙江省桐乡四校联考)已知函数f (x )＝1－|2x －1|，x ↔[0,1]．定义：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝2,3,4，…，满足f n (x )＝x 的点x ↔[0,1]称为f (x )的n 阶不动点，则f (x )的n 阶不动点的个数是( )A ．2nB ．2n 2C ．2(2n －1)D ．2n学生用书答案精析第二篇 掌握技巧，快速解答客观题第1讲 选择题的解法技巧跟踪演练1 (1)A (2)D【详细分析】(1)对任意正整数m 、n ，都有a m ＋n ＝a m ·a n ，取m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1⇒a n ＋1a n ＝a 1＝13，故数列{a n }是以13为首项，以13为公比的等比数列，则S n ＝13(1－13n )1－13＝12(1－13n )<12，由于S n <a 对任意n ↔N *恒成立，故a ≥12，即实数a 的最小值为12，选A.(2)每次循环的结果依次为：k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5＞4， ∴S ＝sin5π6＝12.选D. 跟踪演练2 (1)C (2)A【详细分析】(1)∵f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1， ∴f (－x )－g (－x )＝－x 3＋x 2＋1. ∵f (x )是偶函数，g (x )是奇函数， ∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )． ∴f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1. ∴f (1)＋g (1)＝－1＋1＋1＝1.(2)如图，当△ABC 为正三角形时，A ＝B ＝C ＝60°，取D 为BC 的中点， AO →＝23AD →，则有13AB →＋13AC →＝2m ·AO →， ∴13(AB →＋AC →)＝2m ×23AD →，∴13·2AD →＝43mAD →，∴m ＝32，故选A. 跟踪演练3 (1)A (2)C【详细分析】(1)f (x )＝14x 2＋sin(π2＋x )＝14x 2＋cos x ，故f ′(x )＝(14x 2＋cos x )′＝12x －sin x ，记g (x )＝f ′(x )，其定义域为R ，且g (－x )＝12(－x )－sin(－x )＝－(12x －sin x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以排除B ，D 两项，g ′(x )＝12－cosx ，显然当x ↔(0，π3)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，π3)上单调递减，故排除C.选A.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，若a 1＋a 2>0，a 2＋a 3＝a 1＋d ＋a 2＋d ＝(a 1＋a 2)＋2d ，由于d 正负不确定，因而a 2＋a 3符号不确定，故选项A 错；若a 1＋a 3<0，a 1＋a 2＝a 1＋a 3－d ＝(a 1＋a 3)－d ，由于d 正负不确定，因而a 1＋a 2符号不确定，故选项B 错；若0<a 1<a 2，可知a 1>0，d >0，a 2>0，a 3>0，∴a 22－a 1a 3＝(a 1＋d )2－a 1(a 1＋2d )＝d 2>0，∴a 2>a 1a 3，故选项C正确；若a 1<0，则(a 2－a 1)·(a 2－a 3)＝d ·(－d )＝－d 2≤0，故选项D 错． 跟踪演练4 C [由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＋2cos πx ＝0，得⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝－2cos πx ， 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)， h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)，又因为g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －1， 1≤x ≤4，2x －1， －2≤x <1.在同一坐标系中分别作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x ) ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象(如图)，由图象可知，函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|关于x ＝1对称， 又x ＝1也是函数h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的对称轴，所以函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x －1|(－2≤x ≤4)和h (x )＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的交点也关于x ＝1对称，且两函数共有6个交点，所以所有零点之和为6.] 跟踪演练5 (1)A (2)C【详细分析】(1)因为f (x )(x ↔R )为奇函数，f (－1)＝0，所以f (1)＝－f (－1)＝0.当x ≠0时，令g (x )＝f (x )x，则g (x )为偶函数，且g (1)＝g (－1)＝0.则当x ＞0时，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )x ′＝xf ′(x )－f (x )x 2＜0，故g (x )在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数．所以在(0，＋∞)上，当0＜x ＜1时，g (x )＞g (1)＝0⇔f (x )x ＞0⇔f (x )＞0；在(－∞，0)上，当x ＜－1时，g (x )＜g (－1)＝0⇔f (x )x ＜0⇔f (x )＞0.综上，得使f (x )＞0成立的x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.(2)构造长方体，使三组对棱恰好是长方体的三组平行面中异面的对角线，在此背景下，长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z . 对于①，需要满足x ＝y ＝z ，才能成立；。
2016届高考数学(新课标版 理)二轮复习细致讲解课件高考前瞻(共159张PPT)
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【解析】 由题意可推断:甲没去过 B 城市,但比乙去的城市多, 而丙说“三人去过同一城市”,说明甲去过 A,C 城市,而乙“没去 过 C 城市”,说明乙去过城市 A,由此可知,乙去过的城市为 A. 【答案】A
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【变式训练】 当调查某高中的学生报考大学的状况时,得 出如下结果: (1)报考 A 大学的人未报考 B 大学; (2)报考 B 大学的人也报考了 D 大学; (3)报考 C 大学的人未报考 D 大学; (4)未报考 C 大学的人报考了 B 大学. 根据以上结果,给出如下命题: ①报考 D 大学的人也报考了 A 大学; ②没有人同时报考了 B 大学和 C 大学; ③有人同时报考了 C 大学和 D 大学; ④报考 B 大学的人数与报考 D 大学的人数相同; ⑤报考 A 大学的人也报考了 C 大学. 其中,正确的命题是 .
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【解析】 若报考 A 大学的记作 A,未报考 A 大学的记作A,且关 于 B,C,D 也同样表示,则(1)A⇒B,(2)B⇒D,(3)C⇒D,(4)C⇒B,它 们的逆否命题也成立,即(1)B⇒A,(2)D⇒B,(3)D⇒C,(4)B⇒C,利 用这些关系得:
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上,强调普通高考命题必须重视且力求全面体现“一点四面” ( “一点” :以立德树人为重点; “四面” :社会主义核心价值、 依法治国、中国优秀传统文化和创新能力)的考查. 结合学科特点,数学学科的命题就必须在“中国优秀传统文 化”和“创新能力”两个方面回应这一要求.
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2016届高考数学二轮复习 4.10 等差数列、等比数列课件
解析:设数列{an}的公差为 d,则 a1=a3-2d,a5=a3+2d,
由题意得,(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,
(a3+2d+5)=(a3+3)2,整理,得(d+1)2=0,∴d=-1,则
即(a3-2d+1)·
a1+1=a3+3,故 q=1.
答案:1
能力突破点一
能力突破点二
3
3
即 2q2-q-3=0,解之得 q= 或 q=-1(舍去).
2
2
解析
关闭
答案
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点二 等差、等比数列的基本性质
思考:等差、等比数列有哪些主要性质?
提示:
类型
项的
性质
和的
性质
等差数列
2ak=am+al(m,k,l∈N*且 m,k,l
答案
能力突破点一
能力突破点二
能力突破点三
能力突破方略
能力突破模型
能力迁移训练
能力突破点一 等差、等比数列的基本运算
思考:对于等差(等比)数列中的五个基本量 a1,an,Sn,n,d(q)相关的问题,
有哪些处理方式及注意事项?
提示:(1)要明确“知三求二”问题,即已知五个基本量的其中三个就可以
求出其他两个;
能力迁移训练
)
D.28
分析推理当给出等差数列中已知两项的和求另外几项和
的时候,优先观察条件和所求式子中项的角标的规律,一般转化为利用等差
数列的性质来解决.
2016年高考数学(文)二轮复习精品资料(新课标版)专题04 数列(测试卷) 含解析
【高效整合篇】专题四 数列（一）选择题(12＊5=60分）1。
【2015高考重庆】在等差数列{}na 中,若2a =4，4a =2,则6a = ( ） A 、-1 B 、0 C 、1D 、6【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240aa a =-=⨯-=，选B 。
2。
【2016届河北省武邑中学高三上学期周日测试】已知等差数列{}na 的首项为4，公差为2，前n 项和为nS ．若544kk Sa +-=（k *∈N )，则k 的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．7或8- 【答案】B【解析】由题意,得(1)42[4(4)2]442k k k k -+⨯-++⨯=，解得7k =，故选B ．3。
【2016届湖南省常德市一中高三上第五次月考】已知等差数列{}na 中，39a a =,公差0d <;nS 是数列{}na 的前n 项和,则（ )A ．56SS > B ．56SS < C ．60S= D ．56SS =【答案】D4. 【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知数列{}na 满足11a=，12(2,)n n a a n n N *-=≥∈,则数列{}n a 的前6项和为( ）A ．63B ．127C ．6332D ．12764【答案】C【解析】由已知12(2,)n n aa n n N *-=≥∈得112n n a a -=，所以已知数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以数列{}na 的前6项和为:661163213212S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-．故选C ．5。
【2016届辽宁省大连市八中高三12月月考】在等比数列中，112a =,12q =，132n a =，则项数n 为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C【解析】由已知1111()3222n -=⨯，解得5n =,故选C ．6。
【湖北省孝感高中2015届高三十月阶段性考试】设{}na 是等比数列，公比2=q ，n S 为{}n a 的前n 项和。
2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(,理科)配套文档：专题四 数列 推理与证明 第3讲
第3讲数列的综合问题1．（2015·湖南）已知a＞0，函数f（x）＝e ax sin x(x∈[0,＋∞))．记x n为f（x）的从小到大的第n(n∈N＊）个极值点，证明:数列{f(x n）}是等比数列．2．（2014·课标全国Ⅱ)已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝3a n＋1.(1)证明{a n＋错误!｝是等比数列，并求｛a n｝的通项公式;(2)证明错误!＋错误!＋…＋错误!<错误!.1。
数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合,探求数列中的最值或证明不等式。
2。
以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用。
热点一利用S n，a n的关系式求a n1．数列{a n}中，a n与S n的关系：a n＝错误!.2．求数列通项的常用方法（1）公式法：利用等差（比)数列求通项公式．（2)在已知数列｛a n}中,满足a n＋1－a n＝f（n）,且f(1)＋f（2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n.（3）在已知数列｛a n}中，满足错误!＝f（n），且f（1)·f（2）·…·f （n）可求，则可用累积法求数列的通项a n.(4）将递推关系进行变换,转化为常见数列(等差、等比数列)．例1 数列{a n}中，a1＝1，S n为数列{a n｝的前n项和，且满足错误!＝1(n≥2）．求数列{a n｝的通项公式．思维升华给出S n与a n的递推关系，求a n，常用思路：一是利用S n －S n－1＝a n(n≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n的递推关系，先求出S n与n之间的关系，再求a n.跟踪演练1 已知正项数列｛a n｝的前n项和为S n，且S n＝错误!，则数列{a n｝的通项公式是________．热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景,给出数列所满足的条件,通常利用点在曲线上给出S n的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系,将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题,不等关系或恒成立问题．例2 已知二次函数y＝f（x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′（x)＝6x－2,数列｛a n}的前n项和为S n，点(n，S n)（n∈N*）均在函数y＝f(x）的图象上．（1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n＝错误!，T n是数列｛b n}的前n项和，求使得T n〈错误!对所有n∈N ＊都成立的最小正整数m.思维升华解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点：（1）数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数,在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件；（3)不等关系证明中进行适当的放缩．跟踪演练2 （2015·安徽)设n∈N＊,x n是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1,2）处的切线与x轴交点的横坐标．（1）求数列｛x n}的通项公式;（2)记T n＝x错误!x错误!…x错误!,证明:T n≥错误!.热点三数列的实际应用用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型—-数列模型,弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型,它的首项是什么,项数是多少,然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算,得出实际问题的结果．例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.（1)求第n年年初M的价值a n的表达式；（2）设A n＝错误!,若A n大于80万元，则M继续使用,否则须在第n 年年初对M更新，证明：必须在第九年年初对M更新．思维升华常见数列应用题模型的求解方法(1)产值模型：原来产值的基础数为N,平均增长率为p，对于时间n 的总产值y＝N(1＋p）n。
2016年高考数学专题精解课件：4.1.等差数列与等比数列
S2 a1(1 q2 ) 1 q
第十五页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
(2)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9 等于( ) (A)-6 (B)-4 (C)-2 (D)2 解析：(2)由 S8=4a3 得 8(a1 a8 ) =4a3,
解析:(1)由题意知,4S2=S1+3S3,
即 4(a1+a2)=a1+3(a1+a2+a3),所以 a2=3a3,所以 a3 = 1 .
即等比数列公比为 1 ,
a2 3
3
又 a1= 1 3
,所以
an=a1qn-1=
1 3n
.故选 A.
答案: (1)A
第十八页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
(2)已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1= 1 ,S2=a3,则 2
当且仅当 a5=a7=3 时等号成立, 所以 a5+a7 的最小值为 6. 故选 A.
第二十一页，编辑于星期五：二十三点 十八分。
方法技巧 等差、等比数列性质应用问题求解策略
(1)等差数列{an}的前
n
项和
Sn=
n(a1 2
an
)
=n
a n 1
2
(n
为奇数)是常用的转化
方法.
(2)熟练运用等差、等比数列的性质,如m+n=p+q时,若{an}为等差数列,则 am+an=ap+aq;若{an}为等比数列,则有am·an=ap·aq,可减少运算过程,提高解题正
)
4
(A) 3 (B)± 3 (C) 3 (D)± 3
高考数学二轮复习数列多选题知识点及练习题附解析
高考数学二轮复习数列多选题知识点及练习题附解析一、数列多选题1．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（ ） A ．12n k += B ．133n n a a +=- C ．()2332n a n n =+D ．()133234n n S n +=+- 【答案】ABD 【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可. 【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k = 第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k = 第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k = 第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2 此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得： 123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈用等比数列求和可得()33132n n a -=+则 ()121331333322n n n a+++--=+=+23322n +=+ 又 ()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+ 所以 133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误. 123n n S a a a a =++++23133332222n n +⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()231331322nn --=+ 2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确. 故选：ABD. 【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.2．设数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，1121,n n n S S S n++==，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ） A ．20202020a = B ．()12n n n S += C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-< 【答案】ABD 【分析】可由累乘法求得n S 的通项公式，再由()12n n n S +=得出n a n =，代入212n n n n a b a a ++=中可得()112n b n n =++.由裂项相消法求出n T ，利用数列的单调性证明1334n T n ≤-<.【详解】由题意得，12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，121121112n n n n n S S S n n S S S S S n n ---+=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅--()13112n n +⋅=，且当1n =时也成立，∴ ()12n n n S +=，易得n a n =，∴ 20202020a =，故,A B 正确； ∴ ()()()211111112222n n b n n n n n n +⎛⎫==+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-++-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 又n T n -随着n 的增加而增加， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，C 错误，D 正确， 故选：ABD. 【点睛】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且12a =，38a =则（ ） A ．512a = B ．公差3d =C ．()261n S n n =+D ．数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为64nn + 【答案】BCD 【分析】根据已知条件求出等差数列{}n a 的通项公式和前n 项和公式，即可判断选项A 、B 、C ，再利用裂项求和即可判断选项D. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，则312228a a d d =+=+=，解得：3d =，故选项B 正确； 所以()21331n a n n =+-⨯=-，对于选项A ：535114a =⨯-=，故选项A 不正确；对于选项C ：()()2222132612n n S n n n ++-⨯⎡⎤⎣⎦=⨯=+，所以故选项C 正确； 对于选项D ：()()111111313233132n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以前n 项和为111111111 325588113132n n⎛⎫-+-+-++-⎪-+⎝⎭()611132322324n nnn n⎛⎫=-==⎪++⎝⎭+，故选项D正确，故选：BCD.【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nna f n=-类型，可采用两项合并求解.4．将2n个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中0m>).已知112a=，13611a a=+，记这2n个数的和为S.下列结论正确的有（）A．3m=B．18181103354kkia=⨯+=∑C．(31)3ijja i=-⨯D．()1(31)314nS n n=+-【答案】ABD【分析】根据第一列成等差，第一行成等比可求出1361,a a，列式即可求出m，从而求出通项ija，进而可得ii a，根据错位相减法可求得181kkia=∑，再按照分组求和法，每一行求和可得S，由此可以判断各选项的真假．【详解】∵a 11＝2，a 13＝a 61+1，∴2m 2＝2+5m +1，解得m ＝3或m 12=-（舍去），A 正确； ∴()()11113213313j j j ij i a a i m i ---⎡⎤=⋅=+-⨯⋅=-⋅⎣⎦，C 错误； ∴()1313i ii a i -=-⋅，0171811223318182353533S a a a a =+++⋯+=⨯+⨯+⋯+⨯① 12181832353533S =⨯+⨯+⋯+⨯②,①-②化简计算可得：1818103354S ⨯+=,B 正确；S ＝(a 11+a 12+a 13+……+a 1n )+(a 21+a 22+a 23+……+a 2n )+……+(a n 1＋a n2＋a n 3＋……＋a nn )()()()11211131313131313nnnn a a a ---=+++---()()231131.22nn n +-=- ()1=(31)314n n n +-，D 正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.5．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <， 所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=， 根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <， 所以50a >，60a <，故A 正确； 对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >， 所以890,0a a ><， 所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===， 所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确； 对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <， 所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >， 所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确， 故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.6．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*1312lnn n n n b a b n N n++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．数列{}n n a b -单调递增B ．数列{}n n a b +单调递增C ．数列{}n a 单调递增D ．数列{}n b 从某项以后单调递增【答案】BCD 【分析】计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】由题可知，12n n n a a b +=+①，1312lnn n n n b a b n ++=++②，①-②得，1131lnn n n n n a b a b n +++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比的等比数列，∴()111ln 3-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，故C 正确．将③代入②得，()()11113311ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n-+++=+++=++⋅++，∴()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数的增长速度知，从某个()*n n N∈起，()1113ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】判定数列单调性的方法：（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.7．在n n n A B C （1,2,3,n =）中，内角,,n n n A B C 的对边分别为,,n n n a b c ，n n n A B C 的面积为n S ，若5n a =，14b =，13c =，且222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=，则（ ） A ．n n n A B C 一定是直角三角形 B ．{}n S 为递增数列 C ．{}n S 有最大值 D ．{}n S 有最小值【答案】ABD 【分析】先结合已知条件得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，得A正确，再利用面积公式得到递推关系1221875=644n n S S ++，通过作差法判定数列单调性和最值即可. 【详解】 由222124n n n a c b ++=，222124n n n a b c ++=得，222222112244n n n n n n a c a b bc+++++=+()2221122n n n a b c =++()2225122n n b c =++，故()222211125=252n n n n b c b c +++-+-， 又221125=0b c +-，22250n n b c ∴+-=，22225=n n n b c a ∴+=，故n n n A B C 一定是直角三角形，A 正确；n n n A B C 的面积为12n n n S b c =，而()4222222222221124224416n n n n n n n n n n n n a b c a b c a c a b b c +++++++=⨯=， 故()42222222222111241875161875==1616641n n n n n n n n n n n a b c a b b S S c c S +++++++==+，故22212218751875==6446434n n n n n S S SS S +-+--，又22125=244n n n n n b c b c S +=≤（当且仅当==2n n b c 时等号成立） 22121875=06344n n n S SS +∴--≥，又由14b =，13c =知n n b c ≠不是恒成立，即212n n S S +>，故1n n S S +>，故{}n S 为递增数列，{}n S 有最小值16=S ，无最大值，故BD 正确，C 错误. 故选：ABD. 【点睛】本题解题关键是利用递推关系得到()222211125=252n n n n b c b c +++-+-，进而得到22225=n n n b c a +=，再逐步突破.数列单调性常用作差法判定，也可以借助于函数单调性判断.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值【答案】AC【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值. 故选：AC 【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；二、平面向量多选题9．下列说法中错误的为（ ）A ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量1(2,3)e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的投影为||aD ．非零向量a 和b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为60° 【答案】ACD 【分析】由向量的数量积､向量的投影､基本定理与向量的夹角等基本知识，逐个判断即可求解. 【详解】对于A ，∵(1,2)a =，(1,1)b =，a 与a b λ+的夹角为锐角， ∴()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++142350λλλ=+++=+>，且0λ≠(0λ=时a 与a b λ+的夹角为0)，所以53λ>-且0λ≠，故A 错误； 对于B ，向量12(2,3)4e e =-=，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B 正确；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为||a ±，故C 错误； 对于D ，因为|||a a b =-∣，两边平方得||2b a b =⋅， 则223()||||2a ab a a b a ⋅+=+⋅=， 222||()||2||3||a b a b a a b b a +=+=+⋅+=，故23||()32cos ,||||3||a a a b a a b a a b a a ⋅+<+>===+⋅∣， 而向量的夹角范围为[]0,180︒︒， 得a 与a b λ+的夹角为30°，故D 项错误. 故错误的选项为ACD 故选：ACD 【点睛】本题考查平面向量基本定理及向量的数量积，向量的夹角等知识，对知识广度及准确度要求比较高，中档题.10．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（ ） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确． 【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立； 对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确． 对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．。
2016版高考数学大二轮总复习与增分策略(,理科)配套文档：专题四 数列 推理与证明 第4讲
第4讲推理与证明1．（2015·湖北)已知集合A＝{（x,y)|x2＋y2≤1,x，y∈Z},B＝｛(x，y)|｜x｜≤2，｜y|≤2，x,y∈Z}，定义集合A B＝｛（x1＋x2,y1＋y2)｜(x1，y1)∈A，(x2，y2）∈B},则A B中元素的个数为( )A．77 B．49 C．45 D．302．（2014·北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格"“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有（）A．2人B．3人C．4人D．5人3．（2015·山东)观察下列各式：C错误!＝40;C错误!＋C错误!＝41;C错误!＋C错误!＋C错误!＝42；C错误!＋C错误!＋C错误!＋C错误!＝43;……照此规律，当n∈N*时，C错误!＋C错误!＋C错误!＋…＋C错误!＝________.4．(2015·福建）一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N ＊)，其中x k（k＝1，2，…,n）称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0）．已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:错误!其中运算定义为00＝0,01＝1，10＝1，11＝0。
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现.2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式等综合命题.热点一归纳推理(1）归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理．(2）归纳推理的思维过程如下:错误!→错误!→错误!例1 （1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,…，第n个三角形数为错误!＝错误!n2＋错误!n，记第n个k边形数为N（n,k）(k≥3）,以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N（n,3）＝错误!n2＋错误!n，正方形数N（n，4）＝n2,五边形数N(n，5)＝错误!n2－错误!n,六边形数N(n,6）＝2n2－n……可以推测N(n，k）的表达式，由此计算N（10,24）＝____________。
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第1讲 等差数列、等比数列1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝(B )A.172B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．【答案】 23－1等差（比）数列的基本运算（自主探究型）1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．【答案】 3n －12．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式a n ＝n ＋12.(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1.【规律感悟】 等差(比)数列基本运算的关注点(1)基本量：在等差(比)数列中，首项a 1和公差d (公比q )是两个基本的元素． (2)解题思路：①设基本量a 1和公差d (公比q )；②列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少计算量．等差（比）数列的判定与证明（师生共研型）【典例1】 (2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；a 4＝78.(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列；(3)求数列{a n }的通项公式．∴a n ＝2（2n －1）2n ＝2n －12n －1.[一题多变]若题已知变为：a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)．求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列．【解】 由a n ＋2S n ·S n －1＝0，(n ≥2)得 S n －S n －1＋2S n ·S n －1＝0， 即1S n －1S n －1＝2(n ≥2)． 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列． 【规律感悟】 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n ≥1的任意自然数，验证a n ＋1－a n ⎝⎛⎭⎫或a n ＋1a n 为同一常数．(2)通项公式法：①若a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d 或a n ＝kn ＋b (n ∈N *)，则{a n }为等差数列；②若a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m 或a n ＝pq kn ＋b (n ∈N *)，则{a n }为等比数列． (3)中项公式法：①若2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则{a n }为等差数列；②若a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，且a n ≠0，则{a n }为等比数列．[针对训练](2014·全国大纲高考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．， {a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 等差（比）数列的性质（多维探究型）命题角度一 与等差(比)数列的项有关的性质 【典例2】 (1)(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84 (2)(2015·铜陵模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，则a 5＋a 6＝( ) A.125 B ．12 C ．6 D.65【解析】 (1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力．由于a 1(1＋q 2＋q 4)＝21，a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，所以q 2＝2(q 2＝－3舍去)， a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B. (2)本题主要考查等差数列的性质a m ＋a n ＝a p ＋a q .由S 10＝12得a 1＋a 102×10＝12，所以a 1＋a 10＝125，所以a 5＋a 6＝125.故选A.【答案】 (1)B (2)A命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质【典例3】(1)(2014·全国大纲高考)设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32C．63 D．64(2)(2015·衡水中学二调)等差数列{a n}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则该数列前13项的和是()A．13 B．26C．52 D．156【答案】(1)C(2)B【规律感悟】等差(比)数列的性质盘点[针对训练]1．(2015·广东高考)在等差数列{a n}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________．2．(文)(2015·辽宁大连模拟)在等比数列{a n}中，a4·a8＝16，则a4·a5·a7·a8的值为________．(理)(2014·广东高考)若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．函数与方程思想求解数列中的求值问题[思想诠释]数列中求值问题用到函数与方程思想的常见题型：1．求基本量：求等差或等比数列中的某些量时，常根据题设条件构建方程(组)求解．2．值域(最值)：求等差或等比数列中的某些量的取值范围或最值时，经常选一变量将待求量表示成其函数或构建函数，从而转化为求函数的值域(最值)问题求解．3．单调性：研究等差(比)数列单调性时，常利用研究函数单调性的方法求解．4．比较大小：等差(比)数列中某些量的大小比较，常利用比较函数值大小的方法，如单调性法、作差法等．[典例剖析]【典例】(2015·石家庄模拟)已知数列{a n}是各项均为正数的等差数列．(1)若a 1＝2，且a 2，a 3，a 4＋1成等比数列，求数列{a n }的通项公式a n ；(2)在(1)的条件下，数列{a n }的前n 项和为S n ，设b n ＝1S n ＋1＋1S n ＋2＋…＋1S 2n ，若对任意的n ∈N *，不等式b n ≤k 恒成立，求实数k 的最小值．【针对训练](2015·山东师大附中模拟)数列{a n }的通项a n 是关于x 的不等式x 2－x ＜nx 的解集中正整数的个数，f (n )＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋…＋1a n ＋n.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)求证：对n ≥2且n ∈N *恒有712≤f (n )＜1.1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1q n －1. (4)等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)．(6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)．(7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n －m .(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列．②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列．3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab . 一、选择题 1．(2015·新课标Ⅱ高考)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 2．(2014·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 3．(2014·重庆高考)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列 4．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－125．(2015·辽宁大连模拟)数列{a n }满足a n －a n ＋1＝a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n ，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6()A．最大值为99 B．为定值99C．最大值为100 D．最大值为200二、填空题7．(2015·安徽高考)已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{a n}的前n项和等于________．8．(2014·江西高考)在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n ＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为________．三、解答题9．(文)(2015·兰州模拟)在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的前n项和S n.(理)(2014·湖北高考)已知等差数列{a n}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记S n为数列{a n}的前n项和，是否存在正整数n，使得S n＞60n＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．10．(2015·江苏高考)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列．(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a22，a33，a44依次构成等比数列？并说明理由．第2讲数列求和及其综合应用1．(2014·北京高考)设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】①q>1时，{a n}未必是递增数列，如－1，－2，－4，－8，－16…；②{a n}是递增数列时，q不一定大于1，如－16，－8，－4，－2，－1.故选D.【答案】 D2．(2015·北京高考)设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是()A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0【解析】 若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32＞a 1a 3，所以C 正确．【答案】 C3．(2015·武汉模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . ∵a 5＝5，S 5＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×（5－1）2d ＝15， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n . ∴1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴数列{1a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 【答案】 A 4．(2015·福建高考)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． 【解】 (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋3d ）＋（a 1＋6d ）＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋...＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝2×（1－210）1－2＋（1＋10）×102＝211＋53 ＝2 101.数列的通项公式（自主探究型）1．(2015·新课标Ⅱ高考)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n＝____________．【解析】 本题主要考查等差数列的概念等，意在考查考生的运算求解能力以及转化与化归能力．当n ＝1时，S 1＝a 1＝－1，所以1S 1＝－1.因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1，所以1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1，所以{1S n }是以－1为首项，－1为公差的等差数列，所以1S n ＝(－1)＋(n －1)·(－1)＝－n ，所以S n ＝－1n.【答案】 －1n2．(2015·铜陵模拟)数列{a n }满足13a 1＋132a 2＋…＋13n a n ＝3n ＋1，n ∈N *，则a n ＝________．【解析】 本题主要考查递推数列，意在考查转化与化归能力．当n ＝1时，13a 1＝3×1＋1，所以a 1＝12，当n ≥2时，①：13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＋13n a n ＝3n ＋1，②：13a 1＋132a 2＋…＋13n －1a n －1＝3(n －1)＋1.①－②得：13n a n ＝(3n ＋1)－[3(n －1)＋1]，即13n a n ＝3，所以a n ＝3n ＋1，综上可得：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥2. 【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，3n ＋1，n ≥23．(预测题)若数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝5a n －133a n －7，则a 2 015的值为________．【解析】 本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决．由于a 1＝3，求a 2＝1，a 3＝2，a 4＝3，所以数列{a n }是周期为3的周期数列，所以a 2 015＝a 671×3＋2＝a 2＝1.【答案】 1【规律感悟】 求通项的常用方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法．(2)已知S n 与a n 的关系，利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求a n .(3)累加法：数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中数列{f (n )}前n 项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)．(4)累乘法：数列递推关系如a n ＋1＝g (n )a n ，其中数列{g (n )}前n 项积可求，此数列求通项公式一般采用累乘法(叠乘法)．(5)构造法：①递推关系形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ，q 为常数)可化为a n ＋1＋qp －1＝p ⎝⎛⎭⎫a n ＋q p －1(p ≠1)的形式，利用⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋q p －1是以p 为公比的等比数列求解．②递推关系形如a n ＋1＝pa n a n ＋p (p 为非零常数)可化为1a n ＋1＝1a n －1p的形式．数列的前n 项和（多维探究型）命题角度一 基本数列求和、分组求和【典例1】 (2015·湖北八校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n.【解】 本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，考查考生的运算求解能力及函数与方程思想、化归与转化思想．(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n （n ＋2），n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．命题角度二 裂项相消法求和 【典例2】 (2015·安徽高考)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 本题主要考查等比数列的通项公式及裂项相消法求和，考查考生的运算求解能力．(1)利用等比数列的性质可构造方程组求解a 1，a 4，进而可求数列的通项公式；(2)利用裂项相消法求和即可求解．(1)由题设知a 1 a 4＝a 2 a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n 1－1.命题角度三 错位相减法求和 【典例3】 (2015·天津高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．【解】 本题主要考查等差数列、等比数列及其前n 项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力．(1)根据已知条件建立关于公差d 、公比q 的方程组，求解即得；(2)利用错位相减法进行数列求和．(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意q ＞0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧（1＋d ）＋（1＋2q ）＝2q ，q 4－3（1＋d ）＝7， ⎩⎪⎨⎪⎧2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0.又因为q ＞0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)·2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1，2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ， 上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3， 所以，S n ＝(2n －3)·2n ＋3，n ∈N *.【规律感悟】 1.分组求和的常见方法 (1)根据等差、等比数列分组． (2)根据正号、负号分组． (3)根据数列的周期性分组． 2．裂项后相消的规律(1)裂项系数取决于前后两项分母的差． (2)裂项相消后前、后保留的项数一样多． 3．错位相减法的关注点(1)适用题型：等差数列{a n }乘以等比数列{b n }对应项({a n ·b n })型数列求和． (2)步骤：①求和时先乘以数列{b n }的公比． ②把两个和的形式错位相减． ③整理结果形式．[针对训练]1．(2014·湖南高考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2（1－22n ）1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.2．(2015·山东高考)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)设数列{a n }的公差为d .令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ， 所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4（1－4n ）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19.数列的综合应用（师生共研型） 【典例4】 (2015·安徽高考)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n. 【解】 本题综合考查函数、导数的几何意义、数列以及不等式等知识．先通过导数的几何意义求出直线斜率，再求出直线与x 轴交点的横坐标，得到数列通项，最后证明不等式．(1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n ＋2， 从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫342…⎝⎛⎭⎫2n －12n 2.当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫2n －12n 2＝（2n －1）2（2n ）2>（2n －1）2－1（2n ）2＝2n －22n ＝n －1n .所以T n >⎝⎛⎭⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n.综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.[一题多变]若题 (2)变为：记b n ＝lg x n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n .【解】 ∵x n ＝nn ＋1，∴b n ＝lg x n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…＋[lg n －lg(n ＋1)] ＝－lg(n ＋1)． 【规律感悟】1．数列与函数交汇问题的常见类型及解法(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题． (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、分式、求和方法对式子化简变形．另外，解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解．2．数列与不等式交汇问题的常用方法 (1)作差(商)比较．(2)根据数列的函数特征，判断并利用其单调性． (3)利用基本不等式求最值．[针对训练](2015·陕西汉中质检)正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n .证明：对于任意的n ∈N *，都有T n ＜564. 【解】 (1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n ＞0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. 所以T n ＝116×[1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2]＝116×⎣⎡⎦⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2＜116×⎝⎛⎭⎫1＋122＝564.函数与方程思想求解数列中的最值问题 [思想诠释]数列中的最值问题用到函数与方程思想的常见题型：(1)数列中的恒成立问题：转化为最值问题，利用函数的单调性或不等式求解．(2)数列中的最大项与最小项问题：利用函数的有关性质或不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1求解． (3)数列中前n 项和的最值：转化为二次函数，借助二次函数的单调性或求使a n ≥0(a n ，≤0)成立时最大的n 值即可求解．[典例剖析]【典例】 (2015·江西南昌模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 3＝6，正项数列{b n }满足b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n .(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若λb n ＞a n 对n ∈N *均成立，求实数λ的取值范围．【审题策略】 (1)由a 1＝1，S 3＝6求a n ；由b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n 求b n ；(2)题目涉及恒成立，联想到函数思想，构建函数，利用函数性质求解．【解】 (1)∵a 1＝1，S 3＝6，∴数列{a n }的公差d ＝1，a n ＝n .由题知，⎩⎪⎨⎪⎧b 1·b 2·b 3·…·b n ＝2S n ①b 1·b 2·b 3·…·b n －1＝2S n －1（n ≥2） ②①÷②得b n ＝2S n －S n －1＝2a n ＝2n (n ≥2)， 又b 1＝2S 1＝21＝2，满足上式，故b n ＝2n .(2)λb n ＞a n 恒成立⇒λ＞n2n 恒成立，设c n ＝n2n ，则c n ＋1c n ＝n ＋12n，当n ≥2时，c n ＜1，数列{c n }单调递减，∴(c n )max ＝12，故λ＞12.所以实数λ的取值范围为(12，＋∞)．[针对训练](2015·辽宁大连模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1.(1)证明：数列{1a n }是等差数列；(2)求数列{1a n }的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞nn ＋1.【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n ，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列{1a n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n （n ＋1）＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1＝n n ＋1.1．必记公式(1)“基本数列”的通项公式①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n (n ∈N *)． ②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n (n ∈N *)． ③数列3，5，7，9，…的通项公式是a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． ④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n (n ∈N *)．⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1(n ∈N *)． ⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n 2(n ∈N *)．⑦数列1，3，6，10，…的通项公式是a n ＝n （n ＋1）2(n ∈N *)．⑧数列11，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n(n ∈N *)．(2)常用的拆项公式(其中n ∈N *)①1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.②1n （n ＋k ）＝1k ⎛⎭⎫1n －1n ＋k .③1（2n －1）（2n ＋1）＝12(12n －1－12n ＋1)． ④若等差数列{a n }的公差为d ，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1；1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2. ⑤1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）.⑥1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑦1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )．⑧2n （2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1. 2．重要结论(1)常见数列的前n 项和①1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2.②2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n . ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2.④12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)数列中不等式的放缩技巧①1K 2＜1K 2－1＝12⎝⎛⎭⎫1K －1－1K ＋1 ②1K －1K ＋1＜1K 2＜1K －1－1K. ③2(n ＋1－n )＜1n＜2(n －n －1)．3．易错提醒(1)裂项求和的系数出错：裂项时，把系数写成它的倒数或者忘记系数致错．(2)忽略验证第一项致误：利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项，忽略n ≥2的限定，忘记第一项单独求解与检验．(3)求错项数致误：错位相减法求和时，易漏掉减数式的最后一项．限时训练(十一)一、选择题1．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d ＞0，dS 4＞0B ．a 1d ＜0，dS 4＜0C ．a 1d ＞0，dS 4＜0D ．a 1d ＜0，dS 4＞0【解析】 由a 3，a 4，a 8成等比数列可得：(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，即3a 1＋5d ＝0，所以a 1＝－53d ，所以a 1d ＜0.又dS 4＝（a 1＋a 4）×42d ＝2(2a 1＋3d )d ＝－23d 2＜0.故选B.【答案】 B 2．(2015·保定调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1＋1 C ．2n －1 D ．2(n －1)【解析】 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 【答案】 A3．(预测题)已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 015项的和等于( )A.3 0232B ．3 023C ．1 512D ．3 024【解析】 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1（k ∈N *），1，n ＝2k （k ∈N *），故数列的前2 015项的和等于S 2 015＝1 007×(1＋12)＋1＝3 0212＋1＝3 0232.【答案】 A 4．(2015·长春质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A.n2n －1 B.n ＋12n －1＋1 C.2n －12n －1 D.n ＋12n ＋1 【解析】 设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，有b 1＝4，b 2＝8，则b n ＝4n ，即b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n＝4n ，S n ＋(1＋2n)a n ＝4.当n ≥2时，S n －S n －1＋(1＋2n )a n －(1＋2n －1)a n －1＝0，所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1a n －1，即2·a n n ＝a n －1n －1，所以{a n n }是以12为公比，1为首项的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1，a n＝n 2n －1.故选A. 【答案】 A5．(2015·云南第一次统一检测)在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100【解析】 由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)·(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n （n ＋1），∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101. 【答案】 C 二、填空题6．(2014·全国新课标Ⅱ高考)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________．【解析】 将a 8＝2代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 7＝12；再将a 7＝12代入a n ＋1＝11－a n，可求得a 6＝－1；再将a 6＝－1代入a n ＋1＝11－a n ，可求得a 5＝2；由此可以推出数列{a n }是一个周期数列，且周期为3，所以a 1＝a 7＝12.【答案】 127．(理)若数列{n (n ＋4)(23)n }中的最大项是第k 项，则k ＝________．【解析】 设数列为{a n }，则a n ＋1－a n ＝(n ＋1)(n ＋5)(23)n ＋1－n (n ＋4)(23)n ＝(23)n [23(n 2＋6n＋5)－n 2－4n ]＝2n 3n ＋1(10－n 2)，所以当n ≤3时，a n ＋1＞a n ；当n ≥4时，a n ＋1＜a n .因此，a 1＜a 2＜a 3＜a 4，a 4＞a 5＞a 6＞…，故a 4最大，所以k ＝4. 【答案】 4(文)(2015·江苏高考)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．【解析】 由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n－a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2，则1a n ＝2n （n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故数列{1a n }前10项的和S 10＝2(1－12＋12－13＋…＋110－111)＝2(1－111)＝2011.【答案】 20118．(2015·福建高考)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于________．【解析】 因为a ，b 为函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同零点，所以⎩⎪⎨⎪⎧p 2－4q ＞0，a ＋b ＝p ，ab ＝q .所以a ＞0，b ＞0，所以数列a ，－2，b 不可能成等差数列，数列a ，b ，－2不可能成等比数列，数列－2，a ，b 不可能成等比数列．不妨取a ＞b ，则只需研究数列a ，b ，－2成等差数列，数列a ，－2，b 成等比数列，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝2b ，ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－2(舍去)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p ＝5，q ＝4，所以p ＋q ＝9.【答案】 9三、解答题 9．(2015·湖北高考)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q .已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .【解】 (1)由题意有， ⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或 ⎩⎨⎧a n ＝19（2n ＋79），b n ＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1. (2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ， 故T n ＝6－2n ＋32n －1.10．(2014·山东高考)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解】 (1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n （2n －1）（2n ＋1）＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1.当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋（－1）n －12n ＋1)解题策略四：中档大题规范练——数列解答题的解法《考试大纲》的特别要求如下：理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n 项和公式，能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．高考中数列解答题的求解主要有以下几个特点：(1)与等差、等比数列基本量有关的计算：可根据题意列方程(方程组)或利用等差、等比数列的性质求解；(2)与求和有关的题目：首先要求通项公式，并根据通项公式选择恰当的求和方法(如错位相减法、裂项相消法、分组求和法等)；(3)含S n 的式子：要根据题目特征利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2进行转化；(4)与递推数列有关的问题：要能合理转化，使之构造出新的等差、等比数列； (5)与数列有关的不等式问题：可根据数列的特征选择方法(如比较法、放缩法等)； (6)与函数有关的问题：应根据函数的性质求解． 【典例】 (12分)(2015·新课标Ⅰ高考)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．[解题流程][规范解答] (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.(4分) 又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(6分) (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.(9分)设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n＝b1＋b2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n＋1－12n＋3＝n3（2n＋3）.(12分)[解题模板]求解数列通项和求和的模板第1步：由等差(比)数列或递推公式求通项；↓第2步：根据和的表达式，选择适当的方法求和；↓第3步：明确规范地表述结论．[反思感悟]求解有关数列的综合题，首先要善于从宏观上整体把握问题，能透过给定信息的表象，揭示问题的本质，然后从微观上明确解题方向，化难为易，化繁为简，注意解题的严谨性．数列问题对能力的要求较高，特别是运算能力、归纳猜想能力、转化能力、逻辑推理能力．近几年高考加强了对数列推理能力的考查，应引起重视．[针对训练]1．(2015·河南洛阳统考)已知正项数列{a n}的前n项和为S n，∀n∈N*，2S n＝a2n＋a n.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝1a n a n＋1＋a n＋1a n，设{b n}的前n项和为T n，求T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数．【解】(1)当n＝1时，2a1＝a21＋a1，∴a21－a1＝0.∴a1＝1或0.∵a n＞0，∴a1＝1.当n≥2时，2S n＝a2n＋a n，2S n－1＝a2n－1＋a n－1，两式相减得2(S n－S n－1)＝a2n－a2n－1＋a n－a n－1，∴2a n＝a2n－a2n－1＋a n－a n－1，∴a2n－a2n－1－(a n＋a n－1)＝0，∴(a n＋a n－1)(a n－a n－1－1)＝0，∵a n＞0，∴a n＋a n－1≠0，∴a n－a n－1＝0，∴{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．∴a n＝1＋(n－1)×1＝n.(2)∵b n＝1a n a n＋1＋a n＋1a n，∴b n＝1n n＋1＋（n＋1）n＝1n n＋1（n＋n＋1）＝n＋1－nn n＋1（n＋1＋n）（n＋1－n）＝n＋1－n n n＋1＝1n－1n＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1n ＋1)＝1－1n ＋1.在T 1，T 2，T 3，…，T 100中，有理数有T 3T 8，T 15…，T 99，共9个． 2．(2015·山东实验中学模拟)已知数列{a n }是各项均为正数的等差数列，其中a 1＝1，且a 2，a 4，a 6＋2构成等比数列；数列{b n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＋b n ＝1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)如果c n ＝a n ·b n ，设数列{c n }的前n 项和为T n ，是否存在正整数n ，使得T n ＞S n 成立，若存在，求出n 的最小值，若不存在，说明理由．【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ， 依条件有a 24＝a 2(a 6＋2)，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d ＋2)，解得d ＝－12(舍)或d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)＝n .由2S n ＋b n ＝1，得S n ＝12(1－b n )，当n ＝1时，2S 1＋b 1＝1，解得b 1＝13，当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝12(1－b n )－12(1－b n －1)＝－12b n ＋12b n －1，所以b n ＝13b n －1，所以数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列，故b n ＝13n .(2)由(1)知，c n ＝a n b n ＝n3n ，所以T n ＝1×13＋2×132＋3×132＋…＋n ×13n ①13T n ＝1×132＋2×133＋3×134＋…＋n ×13n ＋1② ①－②得23T n ＝13＋132＋133＋…＋13n －n ×13n ＋1＝13－13n ·131－13－n ×13n ＋1＝12－12·13n －n3n ＋1， 所以T n ＝34－34×13n －n 2×13n ＝34－2n ＋34×13n .又S n ＝13（1－13n ）1－13＝12－12×3n ，所以T n －S n ＝14－2n ＋14×13n ，当n ＝1时，T 1＝S 1，当n ≥2时，14－2n ＋14×13n ＞0，所以T n ＞S n ，故所求的正整数n 存在，其最小值是2.专题检测(四)(时间60分钟，满分100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分) 1．(2015·重庆高考)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6【解析】 由等差数列的性质知a 2＋a 6＝2a 4，所以a 6＝2a 4－a 2＝0.故选B. 【答案】 B 2．(2014·全国新课标Ⅱ高考)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (n ＋1)B ．n (n －1) C.n （n ＋1）2 D.n （n －1）2【解析】 因为a 2，a 4，a 8成等比数列，所以a 24＝a 2·a 8，所以(a 1＋6)2＝(a 1＋2)·(a 1＋14)，解得a 1＝2.所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n (n ＋1)．故选A.【答案】 A3．(2015·河北唐山统考) 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2【解析】 设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73.故选B.【答案】 B4．等比数列{a n }的公比q ＝2，a 1＋a 2＋a 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．42 B ．63 C ．84 D ．168【解析】 a 3＋a 4＋a 5＝q 2(a 1＋a 2＋a 3)＝4×21＝84.故选C. 【答案】 C 5．(2015·山东泰安一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( )A ．9B ．8C ．7D ．6【解析】 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数．∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C.【答案】 C 6．(2015·吉林集安市高三检测)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【解析】 a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n ，又a n ＞0，∴a n ＝2n.又log 2a 2n －1＝log 222n －1＝2n －1，∴log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n [1＋（2n －1）]2＝n 2.故选C.【答案】 C 7．(2015·山东济宁微山第一中学二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 10＋a 11＝10，则ln S 20ln 110＝( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2【解析】 因为{a n }为等差数列，所以S 20＝20（a 1＋a 20）2＝10(a 10＋a 11)＝100，则ln S 20ln 110＝ln 100ln 110＝－2. 故选D.【答案】 D8．(2015·吉林长春质量检测(二))设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( )A.13n －1B.2n （n ＋1）C.6（n ＋1）（n ＋2）D.5－2n 3 【解析】 由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n－1)a n －1，从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n （n ＋1），当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n （n ＋1）.故选B. 【答案】 B9．(2015·北京东城模拟)某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A ，B 两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选A 种菜的学生，下星期一会有20%改选B 种菜；而选B 种菜的学生，下星期一会有30%改选A 种菜．用a n ，b n 分别表示在第n 个星期的星期一选A 种菜和选B 种菜的学生人数，若a 1＝300，则a n ＋1与a n 的关系可以表示为( )A ．a n ＋1＝12a n ＋150B ．a n ＋1＝13a n ＋200 C ．a n ＋1＝15a n ＋300 D ．a n ＋1＝25a n ＋180 【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝80%a n －1＋30%b n －1，a n －1＋b n －1＝500， (n ∈N *，n ≥2)，解得a n ＝12a n －1＋150，∴有a n ＋1＝12a n ＋150.故选A. 【答案】 A10．(2015·江西昌江一中模拟)已知函数y ＝f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＞1，且对任意x ，y ∈R ，等式f (x )－f (y )＝f (x ＋y )恒成立，若数列{a n }满足a 1＝f (0)，且f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ）(n ∈N *)，则a 2015的值为( ) A ．4 027 B ．4 028C ．4 029D ．4 030【解析】 令x ＝y ＝0，∴f 2(0)＝f (0)，∴f (0)＝1或0，令x ＝－1，g ＝0，∴f (－1)·f (0)＝f (－1)，∵x ＜0时，f (x )＞1，∴f (0)＝1.令x ＋y ＝0，则f (x )·f (－x )＝f (0)＝1，∴由f (a n ＋1)＝1f （－2－a n ），∴a n ＋1－2－a n ＝0，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，公差为2的等差数列，∴a n ＝2n －1.∴a 2015＝2×2015－1＝4029.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)11．(2015·新课标Ⅰ高考)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若。