第一轮复习第五单元第2讲

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第五章第2讲动能定理及其应用-2025年高考物理一轮复习PPT课件

高考一轮总复习•物理
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3.物理意义：合力的功是物体动能变化的量度． 4．适用条件 (1)既适用于直线运动，也适用于曲线运动． (2)既适用于恒力做功，也适用于变力做功． (3)力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分阶段
作用．
高考一轮总复习•物理
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1．思维辨析 (1) 一定质量的物体动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化．( √ ) (2)处于平衡状态的物体动能一定保持不变．( √ ) (3)做自由落体运动的物体，动能与下落时间的二次方成正比．( √ ) (4)物体在合外力作用下做变速运动，动能一定变化．( ) (5)物体的动能不变，所受的合外力必定为零．( )
答案
高考一轮总复习•物理
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解析：因为频闪照片时间间隔相同，对比图甲和乙可知图甲中滑块加速度大，是上滑阶段；根据牛顿第二定律可知图甲中滑块受到的合力较大，故 A 错误．从图甲中的 A 点到图乙中的 A 点，先上升后下降，重力做功为 0，摩擦力做负功；根据动能定理可知图甲经过 A 点的动能较大，故 B 错误．对比图甲、乙可知，图甲中在 A、B 之间的运动时间较短，故 C 正确．由于无论上滑还是下滑，受到的滑动摩擦力大小相等，故图甲和图乙在 A、B 之间克服摩擦力做的功相等，故 D 错误．
高考一轮总复习•物理
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2．运动员把质量是 500 g 的足球踢出后，某人观察它在空中的飞行情况，估计上升的
最大高度是 10 m，在最高点的速度为 20 m/s.估算出运动员踢球时对足球做的功为( )
A．50 J
B．100 J
C．150 J

【高考第一轮复习政治】第2讲《生产、劳动与经营》1.1考点定位：考点解读

1.生产的微观主体——企业：现代企业的组织形式；公司的类型；公司的组织形式；公司经营与公司发展；企业兼并与企业破产
2.劳动者：劳动与就业；劳动光荣；树立正确的择业观念；维护劳动者的权益
1.从知识的考查看：国家是生产的宏观参与者，企业和劳动者是生产的微观参与者。试题主要立足“生产”这一主题，重点考查了企业的经营措施，如何就业，以及解决“用工荒”等问题2.从试题类型上看：材料题考查较多，公司经营的试题多以措施类为主，并与经济发展方式，对外开放相结合。就业类试题多以措施类和原因类为主，分析就业难和“用工荒”的原因，以及解决措施
第六课投资理财的选择
课标分解
考纲细化
高考命题定位
解析银行存贷行为，比较商业保险、债券、股票的异同，解释利润、利息、股息等回报形式，说明不同的投资行为。
1.商业银行：利息、利率与本金；储蓄存款；中国商业银行体系；商业银行的业务
2.投资：投资收益与投资风险；股票；债券；商业保险
3.融资
1.从知识的考查看：立足居民投资，主要考查几种投资方式的特点，以及风险性和收益性的关系
2.从试题类型上看：试题主要以选择题为主，围绕投资方式、收益性和风险性，多以图表、曲线类试题呈现。设问方式以原因类、体现类和认识类为主。计算题主要考查利息的计算
1.从知识的考查看：立足生产的宏观背景，重点考查消费的作用，以及非公有制经济发展的经济意义
2.从试题类型上看：试题以选择题为主，材料题的考查经常将消费的作用融入到扩大内需中考查。基本经济制度结合我国国民经济健康发展、就业和分配制度来考查
第五课企业与生产者
课标分解
考纲细化
高考命题定位
识别公司的不同类型，描述、公司的经营表现与发展状况，阐述锐意进取、诚实守信在现代经济生活中的价值。评析劳动者依法维护自身权益的案例；列举几种就业途径和创业方式；树立诚实劳动、合法经营、积极创业的观念，确立正确的择业观。

【高考第一轮复习政治】第2讲《生产、劳动与经营》1.2考点定位：复习策略

【高考第一轮复习政治】第2讲《生产、劳动与经营》1.2考点定位：复习策略第四课生产与经济制度本课主要回答了为什么要生产以及生产的宏观背景。

从为什么要生产看，主要立足社会再生产四个环节，重点强调生产与消费的关系。

生产的宏观背景主要从“是什么、为什么、怎么做”三个方面阐述了我国的基本经济制度。

本单元主要阐明了为什么要生产，靠谁来生产，怎样生产的问题。

所以复习此课时必须把握消费与生产的关系，消费与就业的关系，消费与投资的关系。

从整个教材看，必须认识消费与收入分配，消费与国民经济又好又快发展的关系。

本课的主线是“为什么要生产”，所以复习中我们必须把握以下时事热点：①结合中央和地方实施扩大内需措施，特别是扩大农村需求的措施，认识消费的作用。

②结合城乡居民恩格尔系数的对比，认识生产对消费的决定作用。

③结合公有制经济领域对非公有制经济的开放政策，认识非公有制经济的作用。

④结合市场经济中对国有经济与非公有制经济的政策，分析如何处理二者关系。

第五课企业与生产者本课主要阐述了一个核心、三个主体。

一个核心就是生产。

三个主体是生产的两个微观主体——企业和劳动者，以及宏观参与者——国家。

企业主要阐述了企业的类型、结构、特点和经营措施。

劳动者主要阐明了就业的意义、就业形势、就业途径和维权。

同时教材又暗中穿插了国家这一宏观主体的作用，从企业经营到促进就业都包含了宏观调控的知识。

主要阐明了靠谁生产的问题，所以立足企业，我们必须分析价值规律与企业生产的关系，国家宏观政策与企业生产的关系，消费者需求与企业生产的关系，对外开放与企业生产的关系。

立足劳动者，我们必须分析就业与消费的关系，就业与市场经济发展的关系，就业与财政的关系。

本课的主线是“靠谁生产”，所以复习中我们必须把握以下时事热点：①结合对上市公司的了解，区分公司的类型。

②结合著名公司的经营措施，学会分析公司如何经营。

③结合我国国有企业的兼并与重组，认识企业兼并和破产的意义。

高考物理一轮复习课件：第五章第2讲动能定理及其应用

(2013届中山模拟)质量为m的物体在水平力F的作用下由静止开始在光滑地面上运动，前进一段距离之后速度大小为v，再前进一段距离使物体的速度增大为2v，则( ) A．第二过程的速度增量等于第一过程的速度增量 B．第二过程的动能增量是第一过程动能增量的3倍 C．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做的功 D．第二过程合外力做的功等于第一过程合外力做功的2倍
1.总功的计算物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力共同做功产生的效果，一般有如下两种方法： (1)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W＝F合lcos α计算． (2)由W＝Flcos α计算各个力对物体做的功W1、W2、…Wn 然后将各个外力所做的功求代数和，即 W合＝W1＋W2＋…＋Wn.
【解析】 (1)在 3 s～5 s 内物块在水平恒力 F 作用下由 B 点匀加速运动到 A 点，设加速度为 a， A 与 B 间的距离为 x，则 F－μmg＝ma 得 a＝2 m/s2 1 2 x＝2at ＝4 m. (2)设物块回到 A 点时的速度为 v A， 2 由 vA ＝2ax 得 v A＝4 m/s 设整个过程中 F 做的功为 WF， 1 2 由动能定理得：WF－2μmgx＝ mv A 2 解得：WF＝24 J.
【针对训练】 2．(2013届辽宁省实验中学检测)木球从水面上方某位置由静止开始自由下落，落入水中又继续下降一段距离后速度减小到零．把木球在空中下落过程叫做Ⅰ过程，在水中下落过程叫做Ⅱ过程．不计空气和水的摩擦阻力．下列说法中正确的是( ) A．第Ⅰ阶段重力对木球做的功等于第Ⅱ阶段木球克服浮力做的功 B．第Ⅰ阶段重力对木球做的功大于第Ⅱ阶段木球克服浮力做的功 C．第Ⅰ、第Ⅱ阶段重力对木球做的总功和第Ⅱ阶段合力对木球做的功的代数和为零 D．第Ⅰ、第Ⅱ阶段重力对木球做的总功等于第Ⅱ阶段木球克服浮力做的功【解析】根据动能定理，全过程合外力做功为零，所以，只有D项正确．【答案】 D

数学一轮复习第五章数列第2讲等差数列及其前n项和学案含解析

第2讲等差数列及其前n项和［考纲解读]1。

理解等差数列的概念及等差数列与一次函数的关系．(重点)2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并熟练掌握其推导方法，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．（重点、难点）［考向预测]从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点．预测2021年高考将会以等差数列的通项公式及其性质、等差数列的前n项和为考查重点，也可能将等差数列的通项、前n项和及性质综合考查，题型以客观题或解答题的形式呈现，试题难度一般不大,属中档题型.1．等差数列的有关概念（1）定义:一般地，如果一个数列从错误!第2项起，每一项与它前一项的错误!差都等于错误!同一个常数，那么这个数列就叫做等错误!公差，通常用字母d表示．数学语言表示为错误!a n＋1－a n＝d(n∈N＊），d为常数．(2）等差中项：若a，A,b成等差数列，则A叫做a和b的等差中项，且A＝错误!错误!.2．等差数列的通项公式与前n项和公式（1)若等差数列{a n}的首项是a1,公差是d，则其通项公式为a n＝错误!a1＋(n－1）d，可推广为a n＝a m＋错误!（n－m)d(n,m∈N＊）．（2)等差数列的前n项和公式S n＝n a1＋a n2＝错误!na1＋错误!d(其中n∈N＊）．3．等差数列的相关性质已知{a n}为等差数列，d为公差，S n为该数列的前n项和．(1)等差数列{a n}中，当m＋n＝p＋q时，错误!a m＋a n＝a p＋a q （m,n，p,q∈N*)．特别地，若m＋n＝2p，则错误!2a p＝a m＋a n(m，n，p∈N*)．(2）相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k，a k＋m，a k＋2m，…仍是等差数列,公差为错误!md(k,m∈N＊)．（3)S n，S2n－S n，S3n－S2n，…也成等差数列，公差为错误!n2d。

(4）错误!也成等差数列，其首项与{a n｝首项相同，公差为错误!错误! d。

一轮复习精品课件-第五章第2讲动能动能定理

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考点一动能定理的应用
1．动能定理公式中“＝”的意义等号表明合力做功与物体动能变化的三个关系
2．应用动能定理解题的步骤 (1)选取研究对象，明确它的运动过程。 (2)分析研究对象的受力情况和各力的做功情况：受哪些力 → 各力是否做功 → 做正功还是负功 → 做多少功 → 各力做功的代数和
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考点二动能定理的图象问题
2．(2018· 天津模拟)如图甲所示，一质量为 2 kg 的物体受水平拉力 F 作用，在粗糙水平面上做加速直线运动，其at 图象如图乙所示，t＝0 时其速度大小为 2 m/s，滑动摩擦力大小恒为 2 N，则( )
A．在 t＝6 s 的时刻，物体的速度为 18 m/s B．在 0～6 s 时间内，合力对物体做的功为 400 J C．在 0～6 s 时间内，拉力对物体的冲量为 36 N· s D．在 t＝6 s 的时刻，拉力 F 的功率为 200 W
2． (2018· 淄博二模)如图所示，倾角 θ＝37° 的斜面 AB 与水平面平滑连接于 B 点，A、B 两点之间的距离 x0＝3 m，质量 m＝3 kg 的小物块与斜面及水平面间的动摩擦因数均为 μ＝0.4。当小物块从 A 点由静止开始沿斜面下滑的同时，对小物块施加一个水平向左的恒力 F(图中未画出)。取 g＝10 m/s2。若 F＝10 N，小物块从 A 点由静止开始沿斜面运动到 B 点时撤去恒力 F，求小物块在水平面上滑行的距离 x 为(sin 37° ＝0.6，cos 37° ＝0.8)( A．5.7 m C．6.5 m B．4.7 m D．5.5 m )
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考点一动能定理的应用
[考法拓展 2] 在【例 1】中，若 BC 部分光滑，把物块仍然压缩到 D 点释放，求物块运动到 P 点时受到轨道的压力大小。

高考数学一轮复习第五章数列推理与证明第2讲等差数列课件理

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考点(kǎo di等ǎn)差1数列的基本(jīběn)运算例 1：(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列(děnɡ chā shù liè){an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为( )
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解析：方法一，设公差为 d，a4＋a5＝a1＋3d＋a1＋4d＝2a1 ＋7d＝列{an}的前 n 项和为 Sn，a1＝15，且满足2ann－＋13＝
2na－n 5＋1，已知 n，m∈N*，n>m，则 Sn－Sm 的最小值为(
第2讲等差数列(děnɡ chā shù liè)
第一页，共四十三页。
1.理解(lǐjiě)等差数列的概念.
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解
决相应的问题.
4.了解等差数列与一次函数的关系.
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1.等差数列的定义
7.等差数列的最值
在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若
a1<0，d>0，则Sn存在(cúnzài)最_小_____值.
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1.(2015 年重庆(zhònɡ qìnɡ))在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6 ＝( B )
A.－1
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考点(kǎo diǎ等n) 差2 数列的基本性质(xìngzhì)及应用例2：(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝1，S30＝5，则S40 ＝( ) A. 思路点拨：思路1，设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据 (gēnjù)题意列方程组求得a1，d，进而可用等差数列前n项和公式求S40；思路2，设{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn，由题意列出方程组求得A， B，从而得Sn，进而得S40；

2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示练习理北师大版

第2讲平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D.因为a －12b ＝(3，1)，所以a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)．所以2a ＋b＝(－2，6)．又(2a ＋b )∥c ，所以－6＝6x ，x ＝－1.故选D.2．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85B ．(－6，8) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－85D ．(6，－8)解析：选D.因为向量b 与向量a 方向相反，所以可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b ＝(6，－8)．故选D.3．已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3.所以λ＋μ＝2.故选A. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A.因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB 中，AC →＝15AB →，D 为OB 的中点，若DC →＝λOA →＋μOB →，则λμ的值为________．解析：因为AC →＝15AB →，所以AC →＝15(OB →－OA →)，因为D 为OB 的中点，所以OD →＝12OB →，所以DC →＝DO →＋OC →＝－12OB →＋(OA →＋AC →)＝－12OB →＋OA →＋15(OB →－OA →)＝45OA →－310OB →，所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625.答案：－6257．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2)，OB →＝(－2，－1)，若2AP →＝AB →，则|OP →|＝________. 解析：设P 点坐标为(x ，y )，AB →＝OB →－OA →＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP →＝(x－1，y －2)，由2AP →＝AB →得，2(x －1，y －2)＝(－3，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＝－3，2y －4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.故|OP →|＝14＋14＝22. 答案：228．已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：19．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)． 10.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝xOA →＋yBC →，求x ＋y 的值．解：不妨设⊙O 的半径为1，以圆心O 为坐标原点，以OB ，OD 为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，D (0，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD →＝xOA →＋yBC →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1，0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233.所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.[综合题组练]1．已知P ＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{b |b ＝(1，1)＋n (－1，1)，n∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A.{}（1，1） B ．{}（－1，1） C.{}（1，0）D ．{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.2．(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，合得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BC AC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →x 1AB→＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A.5＋12B ．2 C. 5D ．5＋1解析：选C.由题意， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →. 所以x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为________．解析：因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．答案：(0，2)4．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0 5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解：法一：以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin (α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin (α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，由OC →＝m OA →＋n OB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3. 法二：由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB →·OC →＝1×2×22＝1，OA →·OC →＝1×2×152＝15，OA →·OB→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35，由OC →＝m OA →＋n OB →，得OC →·OA →＝m OA →2＋n OB →·OA →，即15＝m －35n ①，同理可得OC →·OB →＝m OA →·OB →＋n OB →2，即1＝－35m ＋n ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74.所以m＋n ＝54＋74＝3.6.已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，AD 为角平分线． (1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB ，AC 的延长线于不同两点E ，F ，且满足AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，求1x＋2y的值，并说明理由．解：(1)根据角平分线定理：DB DC ＝AB AC ＝2，所以BD BC ＝23，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以AD →2＝19AB →2＋49AB →·AC →＋49AC →2＝49－49＋49＝49，所以AD ＝23.(2)因为AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13x AE →＋23y AF →，因为E ，D ，F 三点共线，所以13x ＋23y ＝1，所以1x ＋2y ＝3.。

2014一轮复习指导：第5章第2讲动能动能定理

运动包括几个物理过程，物体运动状态、受力情况均发生变
化，因而在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待．
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2．如图所示，质量为m的物块，在恒力F的作用下，沿光
滑水平面运动，物块通过A点和B点的速度分别是vA和vB，物块由A点运动到B点的过程中，力F对物块做的功W为( )
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A．小车克服重力所做的功是 mgh 1 2 B．合外力对小车做的功是 mv 2 1 2 C．推力对小车做的功是 mv ＋mgh 2 1 2 D．阻力对小车做的功是 mv ＋mgh－Fx 2
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第五章
机械能
第二讲
动能
动能定理
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活页作业
考纲展示
动能、动能定理(Ⅱ) 1.理解动能的概念，会求物体的动能和动能的变化．
复习目标
2.理解动能定理，掌握用动能定
理分析问题的基本方法.
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【变式训练】1.(2013·中山模拟)人通过滑轮将质量为m的物
体，沿粗糙的斜面由静止开始匀加速地由底端拉上斜面，物体
上升的高度为h，到达斜面顶端的速度为v，如图所示．则在此过程中( )

第2讲+孟德尔豌豆杂交实验(二)(基因的自由组合定律)(精美课件)高考生物一轮复习考点帮(全国通用)

绿色遗传因子y
F1在产生配子时，每对遗传因子彼此__分__离__，不同对的遗传因子可以_自__由__组__合_
✓ 受精时雌雄配子是随机结合的。
一、两对相对性状的杂交实验
对自由组合现象的解释
✓ 受精时雌雄配子是随机结合的。
结合方式有_1_6_种，基因型__9__种，表现型__4__种
黄色圆粒
26
26
22
25
26
不同性状的数量比 1 : 1 : 1 : 1
一、两对相对性状的杂交实验
归纳总结
自由组合定律(孟德尔第二定律) ：
格雷格尔∙孟德尔 1822—1884
控制不同性状的遗传因子的分离和组合是互
不干扰的，在形成配子时决定同一性状的成对
的遗传因子彼此分离，决定不同性状的遗传因
子自由组合。
德国的科伦斯
荷兰的德弗里斯
奥地利的丘歇马克
三、孟德尔遗传规律的再发现
✓ 1909年丹麦生物学家约翰逊给孟德尔的“遗传因子” 一词起了一个新名字，叫作基因(gene) ，并且提出表型(phenotype，表现型)的概念；
✓ 表型：指生物个体表现出来的性状，如豌豆的高茎和矮茎；
✓ 基因型：指与表型有关的基因组成，如高茎豌豆的基因型：DD或Dd，矮茎豌豆的基因型是dd；
①两大遗传定律在生物的性状遗传中同时进行，同时起作用。 ②分离定律是自由组合定律的基础。
自由组合定律的相关计算方法
一、拆分法将亲本的基因型拆分
计算每一对相对性状的杂交结果将每对性状的杂交结果相乘
方法• 例步：骤计算孟德尔两对相对性状的杂交实验中F2的表现型之比和基因型之比。
黄色圆粒
黄色圆粒
两对相对性状分别受两对遗传因子控制，控制两对性状的遗传因子间互不干扰，能够自由组合。

高中生物一轮复习习题(三维设计)必修① 第五单元第2讲细胞的分化、衰老、凋亡与癌变

必修一第五单元第2讲细胞的分化、衰老、凋亡与癌变[课时作业]一、选择题1．下列有关细胞分化的叙述，正确的是() A．原肠胚的形成与囊胚期细胞分化有关B．细胞分化使细胞数目增多C．叶肉细胞脱分化后不再具有分化能力D．浆细胞的形成与细胞分化无关解析：囊胚期细胞分化发育成原肠胚。

细胞分化是细胞形态、结构和生理功能发生变化的过程，通过分化不改变细胞的数目，但可以使细胞具备一定的功能。

叶肉细胞脱分化形成的愈伤组织还可以再分化，形成根、芽等组织。

浆细胞是淋巴细胞通过细胞分化产生的。

答案：A2．(2010·广州质检)下表表示人体三种不同细胞中的基因存在及表达情况：．) A．甲基因可能是控制胰岛素合成的基因B．丁基因可能是控制呼吸酶合成的基因C．三种细胞不同的根本原因是细胞中遗传信息不同D．三种细胞都有甲、乙、丙、丁四种基因的根本原因是人体细胞都来源于同一个受精卵解析：三种细胞都含有甲、乙、丙、丁几种基因，甲、乙、丙基因分别只在胰岛B 细胞、眼晶状体细胞、神经细胞中选择表达，丁基因在几种细胞中都可以表达，说明几种细胞功能不同。

同时，也存在着共同的生理过程，而它们共同生理过程有可能就是细胞呼吸。

三种细胞来自同一人体，都由同一个受精卵发育而来，因此细胞中的遗传信息相同。

答案：C3．下列关于干细胞和癌细胞的描述，正确的是() A．干细胞是具有正常分化能力的细胞，而癌细胞则不是B．造血干细胞可分化发育成一个完整的个体，癌细胞则不能C．癌细胞具有分裂能力，而干细胞则只能分化不能分裂D．干细胞的子细胞均不可逆地完成分化过程解析：干细胞的分化能力强，有全能性。

癌细胞是畸形分化的细胞。

癌细胞具有无限分裂能力，而干细胞一般只能进行正常的分裂分化。

答案：A4．在下列自然现象或科学研究成果中，能为“动物细胞具有全能性”观点提供直接证据的是() A．壁虎断尾后重新长出尾部B．蜜蜂未受精卵细胞发育成雄蜂C．用体外培养的皮肤治疗烧伤病人D．小鼠腺细胞的自我复制解析：细胞的全能性是指已经分化的细胞有发育成一个新的个体的潜能。

高考物理一轮复习第五章第2讲人造卫星宇宙速度

卫星b在赤道上空贴着地表做匀速圆周运动，其速度就是最大的环绕速度，也是第一宇宙速度，卫星a在赤道上随地球自转而做圆周运动，向心力小于卫星b的向心力，根据牛顿第二定律，卫星a的线速度小于 b的线速度，即a的线速度小于第一宇宙速度，C项错误； a在赤道上随地球自转而做圆周运动，自转周期等于地球的自转周期，同步卫星的周期也等于地球的自转周期，所以a做匀速圆周运动的周期等于地球同步卫星的周期，D项正确.
火星探测器需要脱离地球的束缚，故其发射速度应大于地球的第二宇
宙速度，故A正确，B错误；
由 GMRm2 ＝mvR2得，v 火＝
GM火＝ R火
0.1M地G＝ 0.5R地
55v
地，故火星的第一
宇宙速度小于地球的第一宇宙速度，故 C 错误；
由GRM2m＝mg 得， g 火＝GRM火火2＝G00..51RM地地2＝0.4g 地，故火星表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，故 D 错误.
方法点拨
比较
近地卫星
同步卫星赤道上随地球自转的物体
项目 (r1、ω1、v1、a1) (r2、ω2、v2、a2)
向心力
万有引力
万有引力
(r3、ω3、v3、a3) 万有引力的一个分力
轨道半径角速度线速度向心加
速度
r2>r1＝r3 ω1>ω2＝ω3
v1>v2>v3
a1>a2>a3
考点二
宇宙速度
基础梳理夯实必备知识
第一宇宙速度 v1＝ 7.9 km/s，是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运 (环绕速度) 动的最大环绕速度，也是人造地球卫星的最小发射速度
第二宇宙速度 v2＝11.2 km/s，是物体挣脱地球引力束缚的最小发射 (逃逸速度) 速度

2019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量第2讲平面向量基本定理及其坐标表示教案理新人教版

2019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量第2讲平面向量基本定理及其坐标表示教案理新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件．【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算．基础梳理1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线．一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA →＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA→＝(x ，y )．当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息．(2)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0，所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝0，且a n ＝(3,4)，则a 1＋a 2＋…＋a n －1的坐标为( )． A ．(4,3)B ．(－4，－3)C ．(－3，－4)D ．(－3,4)解析 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝－a n ＝(－3，－4)．答案 C2．若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( )． A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b解析设c ＝x a ＋y b ，则⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝4，x ＋y ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1.∴c ＝3a －b . 答案 B3．(xx·郑州月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，则m 的值为( )．A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析设a ＝λb (λ＜0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ＜0，∴m ＝－1. 答案 A4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a 、3b －2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c ＝( )．A ．(4,6)B ．(－4，－6)C ．(4，－6)D ．(－4,6) 解析设c ＝(x ，y )，则4a ＋(3b －2a )＋c ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－6－2＋x ＝0，－12＋12＋6＋y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－6.答案 C5．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )∥c ，则m ＝________. 解析 a ＋b ＝(1，m －1)．∵(a ＋b )∥c ，∴2－(－1)(m －1)＝0，∴m ＝－1. 答案－1考向一平面向量基本定理的应用【例1】►(xx·南京质检)如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.[审题视点] 由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.解析由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.答案 12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．【训练1】如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若AD →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________，y ＝________.解析以AB 所在直线为x 轴，以A 为原点建立平面直角坐标系如图，令AB ＝2，则AB →＝(2,0)，AC →＝(0,2)，过D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于F ，由已知得DF ＝BF ＝3，则AD →＝(2＋3， 3)．∵AD →＝xAB →＋yAC →，∴(2＋3，3)＝(2x,2y )．即有⎩⎨⎧2＋3＝2x ，3＝2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝32.另解：AD →＝AF →＋FD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32AB →＋32AC →，所以x ＝1＋32，y ＝32. 答案 1＋32 32考向二平面向量的坐标运算【例2】►(xx·合肥模拟)已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →.求M ，N 的坐标和MN →.[审题视点] 求CA →，CB →的坐标，根据已知条件列方程组求M ，N . 解 ∵A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， ∴CA →＝(1,8)，CB →＝(6,3)．∴CM →＝3CA →＝3(1,8)＝(3,24)，CN →＝2CB →＝2(6,3)＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝3，y ＋4＝24，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20.∴M (0,20)．同理可得N (9,2)，∴MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标．【训练2】在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )． A ．(－2，－4) B ．(－3，－5) C ．(3,5)D ．(2,4)解析由题意得BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(AC →－AB →)－AB →＝AC →－2AB →＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)．答案 B考向三平面向量共线的坐标运算【例3】►已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，是否存在实数k ，使得k a ＋b 与a －3b 共线，且方[审题视点] 根据共线条件求k ，然后判断方向．解若存在实数k ，则k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．若这两个向量共线，则必有 (k －3)×(－4)－(2k ＋2)×10＝0. 解得k ＝－13.这时k a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，43，所以k a ＋b ＝－13(a －3b )．即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值．【训练3】 (xx·西安质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)．∵(c ＋a )∥b ，∴－3×(1＋m )＝2×(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )， ∴3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.答案 D阅卷报告5——平面几何知识应用不熟练致误【问题诊断】在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解．【防范措施】一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等．【示例】►(xx·湖南)在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →误．＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝错因搞错向量的夹角或计算错实录－12(填错的结论多种)．正解由题意画出图形如图所示，取一组基底{AB →，AC →}，结合图形可得AD →＝12(AB →＋AC →)，BE →＝AE →－AB →＝23AC →－AB →，∴AD →·BE →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝13AC →2－12AB →2－16AB →·AC →＝13－12－16cos 60°＝－14. 答案－14【试一试】 (xx·天津)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →|的最小值为________． [尝试解析]以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x .∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，PA →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴PA →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|PA →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|PA →＋3PB →|的最小值为5. 答案 52019-2020年高考数学一轮复习第五篇平面向量第3讲平面向量的数量积教案理新人教版【xx 年高考会这样考】1．考查平面向量数量积的运算．2．考查利用数量积求平面向量的夹角、模． 3．考查利用数量积判断两向量的垂直关系．【复习指导】本讲复习时，应紧扣平面向量数量积的定义，理解其运算法则和性质，重点解决平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系．基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a 和b (如图)，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，当θ＝0°时，a 与b 同向；当θ＝180°时，a 与b 反向；如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的数量积． 4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别的，a ·a ＝|a |2或者|a |＝a ·a ；(4)cos θ＝a ·b |a ||b |；(5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a ；(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c . 6．平面向量数量积的坐标运算设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，向量a 与b 的夹角为θ，则 (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2； (2)|a |＝x 21＋y 21； (3)cos 〈a ，b 〉＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22； (4)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.7．若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB →＝a ，则|a |＝x 1－x 22＋y 1－y 22(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 两个探究(1)若a ·b ＞0，能否说明a 和b 的夹角为锐角？ (2)若a ·b ＜0，能否说明a 和b 的夹角为钝角？三个防范(1)若a ，b ，c 是实数，则ab ＝ac ⇒b ＝c (a ≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a ，b ，c 若满足a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则不一定有b ＝c ，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a ·b )c ≠a (b ·c )，这是由于(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，因此(a ·b )c 与a (b ·c )不一定相等．(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC 中，AB →与BC →的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．(人教A 版教材习题改编)已知|a |＝3，|b |＝2，若a ·b ＝－3，则a 与b 的夹角为( )． A.π3 B.π4 C.2π3 D.3π4 解析设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－33×2＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.答案 C2．若a ，b ，c 为任意向量，m ∈R ，则下列等式不一定成立的是( )． A ．(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) B ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c C ．m (a ＋b )＝m a ＋m bD ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )答案 D3．(xx·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )． A ．4 B ．3 C ．2 D ．0解析由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0. 答案 D4．已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )． A ．9 B ．4 C ．0 D ．－4 解析 a －b ＝(1－x,4)．由a ⊥(a －b )，得1－x ＋8＝0. ∴x ＝9. 答案 A5．(xx·江西)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________．解析由|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )(a －b )＝－2，得a ·b ＝2，cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，又〈a ，b 〉∈[0，π]所以〈a ，b 〉＝π3. 答案π3考向一求两平面向量的数量积【例1】►(xx·合肥模拟)在△ABC 中，M 是BC 的中点，|AM →|＝1，AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝________.[审题视点] 由M 是BC 的中点，得PB →＋PC →＝2PM →.解析如图，因为M 是BC 的中点，所以PB →＋PC →＝2PM →，又AP →＝2PM →，|AM →|＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)＝PA →·2PM →＝－4|PM →|2＝－49|AM →|2＝－49，故填－49.答案－49当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形等知识．【训练1】如图，在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.解析 AB →＝AO →＋OB →，故CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝CA →·AO →＋CA →·OB →.而AO →＝－12CA →，CA →⊥OB →.所以CA →·AB →＝－12CA 2＝－8.答案－8考向二利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |和|a －b |.[审题视点] 由平面向量数量积的运算法则得a ·b 的值，再求其夹角的余弦值，从而得其夹角．解 (1)(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，解得a ·b ＝－6. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12，又0≤θ≤π，∴θ＝2π3. (2)|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13， ∴|a ＋b |＝13.|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝37. ∴|a －b |＝37.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a |＝a ·a 要引起足够重视，是求距离常用的公式．【训练2】已知a 与b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角．解设a 与a ＋b 的夹角为θ，由|a |＝|b |得|a |2＝|b |2. 又由|b |2＝|a －b |2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2.∴a ·b ＝12|a |2，而|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝3|a |2，∴|a ＋b |＝3|a |. ∴cos θ＝a a ＋b |a ||a ＋b |＝|a |2＋12|a |2|a |·3|a |＝32. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°，即a 与a ＋b 的夹角为30°.考向三平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.[审题视点] 利用a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0及a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，求解．解 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0.整理，得x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则有1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2.当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，a －b ＝(－2,0)，∴|a －b |＝－2＋02＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，a －b ＝(2，－4)，∴|a －b |＝2 5.综上，可知|a －b |＝2或2 5.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【训练3】已知平面内A ，B ，C 三点在同一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m ，n 的值．解由于A ，B ，C 三点在同一条直线上，则AC →∥AB →，AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )，AB →＝OB →－OA →＝(n ＋2,1－m )，∴7(1－m )－(－1－m )(n ＋2)＝0，即mn ＋n －5m ＋9＝0，①又∵OA →⊥OB →，∴－2n ＋m ＝0.②联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，n ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝32.规范解答10——如何解决平面向量与解三角形的综合问题【问题研究】平面向量与三角的综合性问题大多是以三角题型为背景的一种向量描述．它需要根据向量的运算性质将向量问题转化为三角的相关知识来解答，三角知识是考查的主体．考查的要求并不高，解题时要综合利用平面向量的几何意义等将题中的条件翻译成简单的数学问题．【解决方案】解决这类问题时，首先要考虑向量工具性的作用，如利用向量的模与数量积转化边长与夹角问题，然后注意三角形中边角的向量关系式的表达形式，最后用三角知识规范解答．【示例】► (本题满分12分)(xx·安徽)△ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cos A ＝1213.(1)求AB →·AC →；(2)若c －b ＝1，求a 的值．先求sin A ，再利用面积公式求bc ，最后利用数量积及余弦定理可解决．[解答示范] 由cos A ＝1213，得sin A ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513.(2分) 又12bc sin A ＝30， ∴bc ＝156.(4分)(1)AB →·AC →＝bc cos A ＝156×1213＝144(8分) (2)a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(c －b )2＋2bc (1－cos A ) ＝1＋2×156×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1213＝25，又a ＞0(10分) ∴a ＝5.(12分)三角形的三边可与三个向量对应，这样就可以利用向量的知识来解三角形了，解决此类问题要注意内角与向量的夹角之间的联系与区别，还要注意向量的数量积与三角形面积公式之间关系的应用．【试一试】已知△ABC 的面积S 满足3≤S ≤3，且AB →·BC →＝6，设AB →与BC →的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝sin 2θ＋2sin θ·cos θ＋3cos 2θ的最小值．[尝试解答] (1)∵AB →·BC →＝6，∴|AB →|·|BC →|·cos θ＝6.∴|AB →|·|BC →|＝6cos θ. 又∵S ＝12|AB →|·|BC →|·sin(π－θ)＝3tan θ， ∴3≤3tan θ≤3，即33≤tan θ≤1. 又∵θ∈(0，π)，∴π6≤θ≤π4. (2)f (θ)＝1＋2cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋sin 2θ＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＋2，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得2θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，∴2θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤712π，34π. ∴当2θ＋π4＝34π即θ＝π4时，f (θ)min ＝3.。

2022年高考数学(文)一轮复习文档：第五章数列第2讲等差数列及其前n项和 Word版含答案

第2讲等差数列及其前n 项和,)1．等差数列的有关概念 (1)定义假如一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)等差中项数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ．(2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．1．辨明两个易误点(1)要留意概念中的“从第2项起”．假如一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．(2)留意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区分． 2．妙设等差数列中的项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元． 3．等差数列的四种推断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．1.教材习题改编等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项D ．第22项C a 1＝11，d ＝8－11＝－3，所以a n ＝11＋(n －1)×(－3)＝－3n ＋14. 由－3n ＋14＝－49，得n ＝21.故选C.2.教材习题改编已知p ：数列{a n }是等差数列，q ：数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2均为常数)，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C 若{a n }是等差数列，不妨设公差为d . 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d ，令k 1＝d ，k 2＝a 1－d ，则a n ＝k 1n ＋k 2，若数列{a n }的通项公式a n ＝k 1n ＋k 2(k 1，k 2为常数，n ∈N *)，则当n ≥2且n ∈N *时，a n －1＝k 1(n －1)＋k 2，所以a n －a n －1＝k 1(常数)(n ≥2且n ∈N *)，所以{a n }为等差数列，所以p 是q 的充要条件．3.教材习题改编等差数列{a n }的前n 项之和为S n ，若a 5＝6，则S 9为( ) A ．45 B ．54 C ．63D ．27B 法一：由于S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝9×6＝54.故选B.法二：由a 5＝6，得a 1＋4d ＝6，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )＝9×6＝54，故选B.4．(2021·金丽衢十二校联考)已知等差数列{a n }满足：a 3＝13，a 13＝33，则数列{a n }的公差为________．设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＝a 13－a 313－3＝33－1310＝2.25．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________．设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 12＝a 1＋11d ＝－8，S 9＝9a 1＋9d ×82＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝－1. 所以S 16＝16×3＋16×152×(－1)＝－72.－72等差数列的基本运算(高频考点)等差数列基本量的计算是高考的常考内容，多消灭在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属简洁题．高考对等差数列基本量计算的考查主要有以下三个命题角度： (1)求公差d 、项数n 或首项a 1； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．(1)(2021·高考全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A ．172B ．192C ．10D ．12(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，则n ＝( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 (1)由于公差为1，所以S 8＝8a 1＋8×（8－1）2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.由于 S 8＝4S 4，所以8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，所以a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192，故选B.(2)法一：由题知S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2，S n ＋2＝(n ＋2)2，由S n ＋2－S n ＝36得，(n ＋2)2－n 2＝4n ＋4＝36，所以n ＝8.法二：S n ＋2－S n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝2a 1＋(2n ＋1)d ＝2＋2(2n ＋1)＝36，解得n ＝8. 【答案】 (1)B (2)D等差数列基本运算的解题方法(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．角度一求公差d 、项数n 或首项a 11．(2021·豫东、豫北十所名校联考)已知等差数列{a n }中，a 5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．3D 依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝13，5a 1＋10d ＝35，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3，故选D.角度二求通项或特定项2．(2022·高考全国卷乙)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．99 C ．98D ．97C 设等差数列{a n }的公差为d ，由于{a n }为等差数列，且S 9＝9a 5＝27，所以a 5＝3.又a 10＝8，解得5d ＝a 10－a 5＝5，所以d ＝1，所以a 100＝a 5＋95d ＝98，选C.角度三求前n 项和3．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27. 27等差数列的判定与证明已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．【解】 (1)证明：由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1，由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．(1)推断证明一个数列是否是等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而通项公式法和前n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简洁推断．(2)用定义证明等差数列时，常接受两个式子a n ＋1－a n ＝d 和a n －a n －1＝d ，但它们的意义不同，后者必需加上“n ≥2”，否则n ＝1时，a 0无定义．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝1a n －1(n ∈N *)，求证：数列{b n }是等差数列．由于a n ＝2－1a n －1，所以a n ＋1＝2－1a n.所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1，＝12－1a n－1－1a n －1，＝a n －1a n －1＝1，所以{b n }是首项为b 1＝12－1＝1，公差为1的等差数列．等差数列的性质及最值(1)在等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝27－a 6，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198D ．297(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________．(3)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】 (1)由于a 3＋a 9＝27－a 6，2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9，所以S 11＝112(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.(2)由于{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.(3)当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d ＜－78.【答案】 (1)B (2)21 (3)⎝⎛⎭⎪⎫－1，－78应用等差数列的性质应留意的两点(1)在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m 、n 、p 、q 、k ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a k 是常用的性质． (2)把握等差数列的性质，悉心争辩每共性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．1．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，全部奇数项之和为15，全部偶数项之和为25，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40A 设这个数列有2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于nd ，即25－15＝2n ，故2n ＝10，即数列的项数为10.2．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15B ．S 16C ．S 15或S 16D ．S 17A 设{a n }的公差为d ，由于a 1＝29，S 10＝S 20，所以10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，所以S n ＝29n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225.所以当n ＝15时，S n 取得最大值．3．(2021·陕西省五校模拟)等差数列{a n }中，假如 a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66C 由等差数列的性质可知，2(a 2＋a 5＋a 8)＝(a 1＋a 4＋a 7)＋(a 3＋a 6＋a 9)＝39＋27＝66，所以a 2＋a 5＋a 8＝33，所以数列{a n }前9项的和为66＋33＝99.,)——整体思想在等差数列中的应用在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________．【解析】法一：设数列{a n }的公差为d ，首项为a 1，则⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110.法二：法一中两方程相减得－90a 1－100×99－902d ＝90，所以a 1＋110－12d ＝－1，所以S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝－110.法三：由于S 100－S 10＝（a 11＋a 100）×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝（a 1＋a 110）×1102＝（a 11＋a 100）×1102＝－110.【答案】－110(1)法一是利用等差数列的前n 项和公式求解基本量，然后求和，是等差数列运算问题的常规思路．而法二、法三都突出了整体思想，分别把a 1＋110－12d 、a 11＋a 100看成了一个整体，解起来都很便利．(2)整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这就要求同学要娴熟把握公式，理解其结构特征．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝5，a 7＋a 8＋a 9＝10，则a 19＋a 20＋a 21＝________．法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10，所以D ＝52.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20. 20,)1．若等差数列{a n }的前5项之和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15B 设{a n }的公差为d ，由S 5＝（a 2＋a 4）·52⇒25＝（3＋a 4）·52⇒a 4＝7，所以7＝3＋2d ⇒d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.2．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝( )A ．－1B ．0C ．14D ．12B 由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又由于a 2a 4＝34，数列{a n }单调递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42D ．84B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4⇒2(a 4＋a 14)＝4⇒a 1＋a 17＝2，故S 17＝17（a 1＋a 17）2＝17.4．(2021·东北三校联考(一))已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )A ．0B ．－109C ．－181D ．121B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝－14，由于a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1＋b 2＋…＋b 7＝7（b 1＋b 7）2＝72＝－112，则a 8＝－109. 5．(2021·黄冈质检)在等差数列{a n }中，假如a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135D ．80B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)＝40＋3×20＝100.6．(2021·杭州重点中学联考)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 4＜0，a 5＞|a 4|，则使S n ＞0成立的最小正整数n 为( )A ．6B ．7C ．8D ．9C 在等差数列{a n }中，由于a 4＜0，a 5＞|a 4|，所以a 5＞0，a 5＋a 4＞0，S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7×2a 42＝7a 4＜0，S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（a 4＋a 5）2＝4(a 4＋a 5)＞0.所以使S n ＞0成立的最小正整数n 为8，故选C.7．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________． a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×82d ＝36d ＝a 37. 所以m ＝37. 378．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2＝S 6，a 4＝1，则a 5＝__________．设{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝6a 1＋6×52d ，a 1＋3d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝7，d ＝－2，所以a 5＝a 4＋d ＝1＋(－2)＝－1.－19．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于________．由于a 5＝a 1＋a 92，b 5＝b 1＋b 92，所以a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝9（a 1＋a 9）29（b 1＋b 9）2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.21410．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，当k ≥2时，若S k －1＝8，S k ＝0，S k ＋1＝－10，则S n 的最大值为________．当k ≥2时，a k ＝S k －S k －1＝－8，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝－10，公差d ＝a k ＋1－a k ＝－2，S k ＝k （a 1＋a k ）2＝0，所以a 1＋a k ＝0，所以a 1＝8，所以a n ＝－2n ＋10，由a n ＝0得n ＝5，所以S 4＝S 5＝20最大．2011．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －12a n －1＋1(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1a n(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由于b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，所以b n ＋1＝1a n ＋1＝1a n2a n ＋1＝2a n ＋1a n，所以b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n＝2.又b 1＝1a 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n ，所以a n ＝1b n ＝12n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝12n －1.12．已知等差数列{a n }中，S n 是前n 项的和，a 1＝－2 017，S 2 0172 017－S 2 0152 015＝2，则S 2 019的值为________．由S 2 0172 017－S 2 0152 015＝a 1 009－a 1 008＝2. 即{a n }的公差d ＝2，又a 1＝－2 017，所以S 2 019＝2 019×(－2 017)＋2 019×2 0182×2＝2 019.2 01913．各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和． (1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式． (1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1.当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)a 2n ＝4S n －2a n －1，①a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1.②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )．由于数列{a n }各项均为正数，所以a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列．所以a n ＝2n －1.14．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝12a n －30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．由于2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4. 所以a n ＝4n －2，则b n ＝12a n －30＝2n －31，令⎩⎪⎨⎪⎧b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2n －31≤0，2（n ＋1）－31≥0，解得292≤n ≤312，由于n ∈N *，所以n ＝15，即数列{b n }的前15项均为负值，所以T 15最小．由于数列{b n }的首项是－29，公差为2，所以T 15＝15（－29＋2×15－31）2＝－225.。

2025版高考生物一轮总复习必修2第5单元孟德尔定律和伴性遗传第2讲基因的自由组合定律课件

(2)为验证该对相对性状的遗传是否遵循基因的自由组合定律，请用纯合的基因型AABB、aaBB、AAbb、aabb的雌雄果蝇为实验材料进行设计实验(要求：请写出实验思路、预期结果和结论)。
(3)基因自由组合定律是指F1产生的4种类型的精子和4种类型的卵细胞可以自由组合。( × )
(4)基因型是性状表现的内在因素，表型是基因型的表现形式。
(√ )
延|伸|探|究 1 ． F2 中还出现了亲本所没有的性状组合 —— 绿色圆粒和黄色皱粒。请思考：具有两对相对性状的纯合亲本杂交，产生的F1基因型为 AaBb，则两亲本基因型是什么？F2中重组类型是什么？所占比例又是多少？
理解重组类型的内涵及常见错误
(1)重组类型的含义：重组类型是指F2中表型与亲本不同的个体，而不是基因型与亲本不同的个体。
(2)具有两对相对性状的纯合亲本杂交，F2中重组类型所占比例并不都是6/16。
① 当亲本基因型为 YYRR 和 yyrr 时， F2 中重组类型所占比例是 6/16；
〔变式训练2〕 (2024·安徽合肥质量检测)果蝇的野生型和突变型受常染色体上的两对等位基因(A、a和B、b)控制，研究发现果蝇在A和 B同时存在时表现为野生型，其他表现为突变型。现用自然种群中的两只基因型相同的野生型雌雄果蝇杂交，子代野生型∶突变型＝3∶1，回答下列问题：
(1)若这两对等位基因遵循自由组合定律，则亲本的基因型组合为 _A_a_B__B_×__A_a_B__B_或__A__A_B_b_×__A__A_B__b___。若这两对等位基因不遵循自由组合定律，则亲本的基因型组合可能有____3___种。
F2 1RR(圆)、

2025届高考物理一轮复习课件：第2讲摩擦力

A.男演员对女演员的作用力的方向斜向右上方
B.女演员对男演员的作用力的方向竖直向下
C.男演员受到地面对他向右的摩擦力作用
D.地面对男演员的支持力与演员对地面的压力是一对平衡力
图1
跟踪训练
1.(多选)(2023·广东广州模拟)图2甲为小张站在阶梯电梯上随电梯匀速上行，图
乙为小李站在斜面电梯上随电梯匀速下行，下列说法正确的是( ACD )
动摩擦因数为μ1，纸张与纸张之间、纸张与底部摩擦片之间的动摩擦因数均为μ2，
杆中点，则每根斜杆受到地面的( B )
3
A.作用力为 G
3
3
B.作用力为 G
6
3
C.摩擦力为 G
4
3
D.摩擦力为 G
8
例3 (2023·福建三明质检)如图6所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸
的弹簧一端，弹簧的拉力为5 N时，物体A与小车均处于静止状态。若小车以
1 m/s2的加速度向右运动，则(g＝10 m/s2)( C )
第三章
相互作用——力
一、摩擦力
▲定义：两个相互接触的物体，当它们发生相对运动或具有相对运动的
趋势时，就会在接触面上产生阻碍相对运动或相对运动趋势的力，这种
力就叫做摩擦力
▲（1）摩擦力产生条件：
①两物体相互接触
②两物体间有相对运动或相对运动趋势
③两物体的接触面粗糙
④两物体相互挤压（有摩擦力必有弹力，有弹力不一定有摩擦力）
丙
与压力成正比
与接触面的材料有关
乙
甲
与接触面的粗糙程度有关
即：Ff=ųF压
ų：动摩擦因数，它的数值跟两个物体的材料和表面粗糙程度有关，它
没有单位。

第一轮复习第五单元第2讲

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