华东师大数学分析习题解答2

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华东师大数学分析答案完整版

第一章

实数集与函数

内容提要

一!实数

!"实数包括有理数和无理数!有理数可用分数"

!""#为互质整数##"#$表示#也可用有限十进小数或无限十进循环小数表示!!$是首先遇到的无理数#它与古希腊时期所发现的不可公度线段理论有直接联系#且可以表示为无限十进不循环小数!

实数的无限十进小数表示在人类实践活动中被普遍采用#我们是由无限十进小数表示出发来阐述实数理论的!

$"若$%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数

$&%%#%%!%$&%&

为实数$的&位不足近似#而有理数

$&%$&&

!#&

称为$的&位过剩近似#&%##!#$#&!

’"在数学分析课程中不等式占有重要的地位#在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方向的基础!数学归纳法是证明某些不等式的重要工具!

二!数集"确界原理

!"邻域是数学分析中重要的基本概念!某点的邻域是与该点靠近的数的集合#它是描述极限概念的基本工具!

在无限区间记号!()#%’#!()#%$#(%#&)$#!%#&)$#!()#&)$中出现的()与& )仅是常用的记号#它们并不表示具体的数!在数学分析课程范围内#不要把&)#()#)当作数来运算!

数学分析同步辅导及习题全解#上册$

$"有界集和无界集是本章中关键的概念!

要熟练掌握验证某个数集’是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数(不是数集’的上界!或下界$的方法!’"确界是数学分析的基础严格化中的重要的概念!上!下$确界是最大!小$数在无限数集情况下的推广!

确界概念有两种等价的叙述方法#以上确界为例)设’是)中一个数集#若数!满足

华东师大数学分析答案

第四章

函数的连续性

第一节连续性概念

1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：

x x f 1

)(=

； 2x x f =)(; 证：1x

x f 1

)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ,当D x x ∈0,时,有

001

1x x x x x x -=

- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ , 故当00x x x <-时,有

1x x x x x x x x ---≤-

对任意给的正数ε,取,010

0>+=x x εεδ则0x <δ,当 D x ∈ 且δ<-0x x 时,

有 ε<-=

-0

011)()(x x x f x f 可见

)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续;

2 x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ,由于 00x x x x -≤-,从而对任给正数ε,取εδ=,当δ<-0x x 时, 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故

)(x f 在0x 连续,由0x 的任意性知,)(x f 在),(+∞-∞连续;

2．指出函数的间断点及类型： 1=)(x f x

x 1

； 2=)(x f x x sin ； 3=)(x f ]cos [x ；

4=)(x f x sgn ； 5=)(x f )sgn(cos x ；

6=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；7=)(x f ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+∞

<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-曲面积分(圣才出品)

，由
换可得
利用极坐标变
因此
2．设某流体的流速为 V＝（k，y，0），求单位时间内从球面过球面的流量．
解：设流量为 E，则
的内部流
（其中
利用球坐标变换计算）
3．计算第二型曲面积分
其中 S 是平行六面体（0
≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c）的表面并取外侧为正向， f（x）、g（y）、h（z）为 S 上的连续
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第 22 章曲面积分
§1 第一型曲面积分
1．计算下列第一型曲面积分：
，其中 S 为上半球面
，其中 S 为立体
的边界曲面；
，其中 S 为柱面
被平面 z＝0，z＝H 所截取的部分；
其中 S 为平面 x＋y＋z＝1 在第一卦限中的部分。
式知
且
同理
因此原积分＝0。（2）记 L 为该椭圆的边界，则
其中 S 为所交椭圆面，是 S 在 xy 面的投影。
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4．求下列全微分的原函数：
解：（1）因 d（xyz）＝yzdx＋xzdy＋xydz，故原函数为 u（x，y，z）＝xyz＋C （2）由于
解：因为

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编

部分习题参考解答

P.4

习题

1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：

（1）a +x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数。证明（1）（反证）假设a +x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知x =a +x –a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a +x 是无理数。

（2）假设ax 是有理数，于是a

x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则a =b 。证明

由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3例2，可得0||≤-b a ，

于是0||=-b a ，从而a =b 。

另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而a =b 。

5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2

|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明

（1）|

2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，

所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+

∈R c b a ,,证明|

|||2222c b c a b a -≤+-+证明

建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA

华东师大数学分析答案完整版

.!$$% ##当$ 为无理数
&黎曼函数
)!/$%’ (#!
#当
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)##当 $%##! 和 !##!$中的无理数
’复合函数
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其中-%,!3$#3#.#3%1!$$#$#2#2/ %+$+1!$$#.,&2#2"4 !’$反函数
$7
! ! 解题分析!当&%$7 时 #$!7!&$$7 %$ !&$!$7 #容易看出7%!时#$ !&$!$ 是偶数项中的最大数!
$7&!
! 当&%$7&!时 #$7&!!!&$( % !$7&!$
!&$$!7&! &!#当7 充分大时#奇数项与数!充分靠
! 近!因为$ !&$!$ %!3是 ’ 中最大数#于是+,-’%!3#由上面分析可以看出./0’%!!
3" 单调性
设 -%,!$$#$#.#若对 ,$! #$$ #.#$! %$$ #有
!!$,!$!$$,!$$$#则称 , 在. 上是递增函数! !$$,!$!$%,!$$$#则称 , 在. 上是严格递增函数!

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案Part-II

f (b) − f (a ) |. b−a
28. Suppose that the derivative of f is bounded on ( a , +∞ ) . Show that there exist c and x0 on ( a , +∞ ) such that for any x ≥ x0 , f ( x ) < cx . 29. Suppose that f is derivable on [ a , +∞ ) and f ( a ) = 0 , and suppose that for any x ≥ a ,
d2y 1 y . ln( x 2 + y 2 ) = arc tg . Find the second differential 2 x dx 2
4. Find the following limits.
1 2 (1) lim(1 + ) n e − n ; n →∞ n
5. Find the limit
c ∈ ( a, b) such that
a 1 b − a f (a)
b f (b)
= − f (c) + cf ' (c) .
27. Suppose that f is continuous and nonlinear on [ a, b] and derivable on ( a , b ) . Show that there exists c ∈ ( a , b ) such that | f ' (c ) |>|

数学分析部分习题参考解答

数学分析

上册第三版

华东师范大学数学系

部分习题参考解答

P.4 习题

1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：

（1）a + x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数.

证明（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数. 这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数.

（2）假设ax 是有理数，于是a

ax x =

是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数.

3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b .

证明由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b .

另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a . 这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b .

5．证明：对任何R x ∈有

（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x

证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤---=x x x x

（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=-+≤--x x x x x ，

所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x

6．设+∈R c b a ,,证明 ||||2222c b c a b a -≤+-+

证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，

数学分析华师大课后习题截图版

第二章数列极限

第三章函数极限

第四章函数的连续性

第五章导数和微分

第六章微分中值定理及其应用

第七章实数的完备性

第八章不定积分

第九章定积分

第十章定积分的应用

(完整版)华东师大数学分析标准答案

第四章

函数的连续性

第一节

连续性概念

1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：

（1）

；（2）。x x f 1

)(=

x x f =)( 证：（1）的定义域为，当时，有

x f 1

)(= ),0()0,(+∞-∞=D D x x ∈0,

由三角不等式可得：，

001

1x x x x x x -=

-00x x x x --≥ 故当时，有

00x x x <-0

1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数，取则，当且时，

ε,010

0>+=x x εεδ0x

ε<-=

-0

011)()(x x x f x f 可见

在连续，由的任意性知：在其定义域内连续。

)(x f 0x 0x )(x f (2) 的定义域为对任何的，由于x x f =)(),,(+∞-∞),(0+∞-∞∈x

，从而对任给正数，取，当时，

00x x x x -≤-εεδ=δ<-0x x 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε

< 故

在连续，由的任意性知，在连续。

)(x f 0x 0x )(x f ),(+∞-∞2．指出函数的间断点及类型：（1）；（2）；（3）；

=)(x f x

x 1

=)(x f x x sin =)(x f ]cos [x （4）；（5）；

=)(x f x sgn =)(x f )sgn(cos x （6）；（7）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,=)(x f ⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧+∞

<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

P.182 习题

1．验证下列等式（1）

C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(

证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.

（2）因为C u du +=⎰

, 所以⎰

+=C x f x df )()(.

2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点

)5,2(.

解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=

⎰⎰22)()(.

于是知曲线为C x y +=2

, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以

有 C +=2

25, 解得1=C , 从而所求曲线为12

+=x y

3．验证x x y sgn 2

=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

x y -=, x y -='; 当0=x 时, y

的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim

0==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩

⎪

⎨⎧=<-=>='||0

000x x x

x x x

y 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数？

解由P.122推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。

华东师大数学分析答案完整版

三 !函数及其性质
!" 邻域
!!$*!%#$$%!%($#%&$$称为% 的$ 邻域#其中$&#! !$$*+!%*$$%!%($#%$*!%#%&$$%+$+#%+$(%+%$,称为% 的空心$ 邻域#其中$&#! !’$*+& !%$%!%#%&,$和*+( !%$%!%(,#%$分别称为% 的右邻域和左邻域#其中 ,&#!
来阐述实数理论的!
$" 若 $%%#%%!%$&%&&为非负实数#称有理数 $& %%# %%!%$ &%&
为实数$ 的& 位不足近似#而有理数
$& %$& &!!#&
称为$ 的& 位过剩近似#&%##!#$#&!
’" 在数学分析课程中不等式占有重要的地位 #在后继课程中#某些不等式可以成为某个研究方
%! %
! ! 数学分析同步辅导及习题全解#上册$
$" 有界集和无界集是本章中关键的概念!要熟练掌握验证某个数集 ’ 是有界集或无界集的方法#其中重要的是证明数 ( 不是数集’ 的上界!或下界$的方法!

华东师范大学数学分析解答

证:由函数列的每一项在连续且一致收敛于 ,可知在上也连续,因此有界.不妨设 ,
因为对任意 ,有 .所以
在上一致收敛于 ,即对对有
当取时,有
对上述则(1)式成立,且
六、（15分）设满足（1）（2）级数收敛.
求证: .
证：级数收敛，由级数收敛的柯西准则：对任何 ,有
(1)
由于
正确。
证： , 在上可积，故对且在上也可积，对
故
两边对分别取极限
由夹逼性知 .
4、若收敛，则收敛.
错误。反例收敛,但发散.
5、若在上定义的函数存在偏导数 , 且 , 在(0,0)上连续，则在(0,0)上可微.
正确
证：
=
=
有 , 在(0,0)上连续，
,
当时，，
根据定义，可知在(0,0)上可微.
6、在上连续, 若则
解：错误
将划分为两部分，其中
取 ,由积分区间可加性知
三、（15分）函数在上连续，且求证：在上有最大值或最小值。
证：1)若，显然在同时有最大、最小值ห้องสมุดไป่ตู้.
2)否则当或时
定义，存在 ,
使得或 , 或
不妨设
, (1)
由在上连续,所以在上连续，由最值定理知存在 ,使得最大（或最小）.由（1）知

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案02

第二章数列极限

习题

§1数列极限概念

1、设n a =n

)1(1-+，n=1，2，…，a=0。

（1）对下列ε分别求出极限定义中相应的N ：1ε=0.1，2ε=0.01，3ε=0.001；

（2）对1ε，2ε，3ε可找到相应的N ，这是否证明了n a 趋于0？应该怎样做才对；（3）对给定的ε是否只能找到一个N ？ 2、按ε—N 定义证明：

（1）∞→n lim 1+n n =1；（2）∞→n lim 2

12322=-+n n n ；（3）∞→n lim n n n !；

（4）∞

→n lim sin

n π=0；（5）∞→n lim n a

=0（a >0）。

3、根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：（1）∞

→n lim

1；（2）∞

→n lim

3；

（3）∞

→n lim 31n ；（4）∞→n lim n 3

；（5）∞

→n lim

1；（6）∞

→n lim

10；

（7）∞→n lim n

1。

4、证明：若∞

→n lim n a = a ，则对任一正整数k ，有∞

→n lim k n a += a 。

5、试用定义1'证明：（1）数列{

}不以1为极限；（2）数列{n n )1(-}发散。 6、证明定理2.1，并应用它证明数列{n

)1(1-+}的极限是1。

7、证明：若∞

→n lim n a = a ，则∞

→n lim |n a |= |a|。当且仅当a 为何值时反之也成立？

8、按ε—N 定义证明：（1）∞

→n lim )1(n n -+=0；

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章

第二十二章曲面积分

一、证明题

1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于

其中

为曲面S的外法线方向余弦.

2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则

其中n为曲面S的外法线方向.

3. 证明公式

其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向.

,r=(x,y,z).

4.证明: 场A=

是有势场并求其势函数.

二、计算题

1.计算下列第一型曲面积分:

(1)

,其中S为上半球面

;

(2)

,其中S为主体

的边界曲面;

(3)

,其中S为柱面

被平面Z=0,Z=H所截取的P分;

(4)

,其中S为平面在第一卦限中的部分.

2.计算

,其中S为圆锥表面的一部分.

这里θ为常数(0<θ<

3.计算下列第二型曲面积分

(1)

,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成的正方体并取处侧为正向;

(2)

,其中S是以原点中心,边长为2的正方体表面并取外侧正向;

(3)

,其中S是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所围的四面体表面并取外侧为正向;

(4)

,其中S是球面,

=1的上半部分并取外侧为正向;

(5)

,其中S是球面

=R2并取外侧为正向.

4.设某流体的流速为V=(x,y,0),求单位时间内从球面x2+y2 +z2=4的内部流过球面的流量

5.计算第二型曲面积分

其中S是平行分面体(

)表面并取外侧,f(x),g(y),h(z)为S上的连续函数,

6.设磁场强度为E(x,y,z),求从球内出发通过上半球面x2+y2 +z2=a2,z=0的磁通量,

7.应用高斯公式计算下列曲面积分:

(1)

,其中S为单位球面x2+y2+z2=1的外侧;

数学分析选论习题解.华东师大

《数学分析选论》习题解答

第一章实数理论

１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．证设数集S 有下确界，且S S ∉=ξinf ，试证：（１）存在数列ξ=⊂∞

→n n n a S a lim ,}{使；

（２）存在严格递减数列ξ=⊂∞

→n n n a S a lim ,}{使．

证明如下：

（１）据假设，ξ>∈∀a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0．现依次取,,2,1,1

Λ==

εn n n 相应地S a n ∈∃,使得

Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ．

因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞

→n n a lim .

（２）为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取

Λ,3,2,,1min 1=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ，

就能保证

Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □

２．证明§1.3例６的（ⅱ）．

证设B A ,为非空有界数集，B A S ⋃=，试证：

{}B A S inf ,inf m in inf =．

现证明如下．

由假设，B A S ⋃=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何

B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有

{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥⇒≥．

另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有