线性代数与解析几何 第二章 矩阵

么熟知的运算规律.特别是乘法运算. 么熟知的运算规律.特别是乘法运算.
求 AB . 2 3 1 1 2 ×1 + 3× 0 +1× 2 4 解 0 = 1×1 + 2 × 0 + (−1) × 2 = −1 1 2 −1 0 3 1 2 0 ×1 + 3× 0 +1× 2 2
运算性质: 运算性质: A + B = B + A, ( A + B ) + C = A + ( B + C )
A + 0 = A,
A + (− A) = 0
8
2.2.2 运算性质:
数乘
kA = k(aij )m×n = (kaij )m×n
k(lA = (kl) A ) k(A+ B) = kA+ kB (k +l)A = kA+lA
1 2 −1 3 −7 1 例4 设 A = , B = , C = 1 2, 2 4 −2 1
求 AB 及 AC. AC. 1 2−1 3 −5 5 解 AB = −2 1 = −10 10 , 2 4
k =1
s
L L L L a a L a is i1 i2 L L L L
M b j 1 M b 2j M M M bs j
M M M = L cij L M M M
总结如下: 总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B 行的元素与B 的第 j 列对应元素乘积之和. 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数. 阶数为前行数×后列数. 乘积阶数：
称为A的转置矩阵. 称为 的转置矩阵. 的转置矩阵
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运算性质
（）（A ） = A 1
T T
（2）（A + B） = A + B
T T
T
（3）（kA） = kA
T T m T
T T
（4）（AB） = B A
T T
（5）（A ） = A ），m ∈ N，An×n （
T m
（6） A = A ，An×n
A = A, A = E k+1 A = Ak ⋅ A k =1 L , ,2, k l k A A = A +l 运算性质: 运算性质: k l kl (A ) = A
1 0
因为矩阵乘法不满足交换律, 因为矩阵乘法不满足交换律,所以对于 k k k 同阶方阵A与 同阶方阵 与 B, 一般 (AB) ≠ A B .
1 2−7 1 −5 5 AC = 1 2而且AB=AC, 注意: 虽然A不是零矩阵, 而且AB=AC, 但是B不等于C 这说明消去律不成立! 但是B不等于C.这说明消去律不成立!
总结一下矩阵乘法的一些 总结一下矩阵乘法的一些反常性质: 矩阵乘法的一些反常性质 不满足交换律: 不满足交换律: AB ≠ BA 不满足消去律: 不满足消去律: AB= AC ≠> B=C 可能有零因子: 可能有零因子: AB = 0 ≠> A= 0或B = 0
| A|=| A |=| − A |= (−1) | A |= − | A |
T
n
2. 矩阵与行列式有什么区别? 矩阵与行列式有什么区别?
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2.3 逆 矩 阵 本节主要内容
逆矩阵的定义 可逆的 可逆的条件 伴随矩阵 伴随矩阵
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问题的提出: 问题的提出:
在解方程 ax=b 的时候,如果 a ≠ 0, 等式两 的时候, 边同乘以 a-1, 得 x=a-1b . 线性方程组 AX=b, 能否在一定条件下引进 AX=b, A-1 的概念,使得解为 X = A-1b ? 的概念, 由a-1 a=1想到 A-1A= E. a=1 应当满足什么条件?如何定义A A应当满足什么条件?如何定义A-1 ?
《线性代数与空间解析几何》 线性代数与空间解析几何》 第二章
矩 阵
王宝玲
哈工大数学系代数与几何教研室
2007.9
本章主要内容
矩阵的概念及运算 矩阵的概念及运算 可逆矩阵* 矩阵的初等变换与初等阵 矩阵的初等变换与初等阵 矩阵的秩 矩阵的秩 分块矩阵
2
2.1 矩阵的概念 2.1.1.矩阵的概念 1. 矩阵的定义
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特殊矩阵 对称矩阵: 对称矩阵: AT =A
aij = a ji , i, j = 1, 2, L, n
反对称矩阵: 反对称矩阵: AT = - A
aii = 0, aij = − a ji , i, j = 1, 2,L, n
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问题: 问题:
1.设A∈Mn , 其 n是 数 中 奇 ， A反 称 A|=？ 0 对 .|
A ≠ 0且B ≠ 0 ≠> AB ≠ 0
如果 AB=BA, 则称 A 与 B 可交换. AB=BA, 可交换.
祝 大 家 中秋节 快 乐 !
预习2.3预习2.3-2.4 2.3
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2.2.4 方阵的幂
AA有意义当且仅当A为方阵. AA有意义当且仅当 为方阵. 有意义当且仅当A 对于方阵相乘可以定义乘幂的概念: 对于方阵相乘可以定义乘幂的概念:
由 m×n 个数排成的 行、n列的矩形数表 个数排成的m行 列的矩形数表 a L an a 11 12 1 1n a a22 L a2n 21 A= M M M am1 am2 L amn 矩阵. 称为阶数为 m×n 的矩阵.
简记为
A ×n = (aij )m×n m
a 11 = diag(a ,L a ) O , nn 对角矩阵: 对角矩阵: 11 ann 单位矩阵: 单位矩阵: E ,In 或 En = diag(1 ,L ) ,1 ,1
数(纯)量矩阵: 量矩阵:
a 11 上三角矩阵: 上三角矩阵:
1A = A, 0 A = 0
2.2.3 矩阵乘法 Α = (aij )m×s , Β = (b )s×n ,,则 C = AB = (cij ) m×n 则 ij 其中 cij = ai1b j + ai2b j +L+ aisbsj 1 2
= ∑ aik bkj , i = 1, L , m; j = 1, L , n.
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矩阵多项式 设 f ( x) = an x + an −1 x
n n −1
+ L + a1 x + a0
A是方阵，则称 是方阵， 是方阵 n n −1 f ( A) = an A + an −1 A + L + a1 A + a0 E 仍是方阵. 的矩阵多项式， 为A的矩阵多项式，f ( A) 仍是方阵. 的矩阵多项式
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(1 kA = k A , −A = (−1 A ) )
n n
(2) | AB|=| A|| B| (行列式乘法公式) 行列式乘法公式) (3) | AA LA |=| A || A | L| A | 1 2 s 1 2 s (4) A = A
m m
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例1 设A为3阶方阵, B为4阶矩阵, 且|A|=3, 阶方阵, 为 阶矩阵, , | B |=-2, 则|| | A|= -24 . |=||B| 解 ||B| A|=|-2A|=(-2)3| A |=(-8)×3=-24. ||B |=|- |=(|=(-8)×3=例2 设A为n阶矩阵, k为非零常数,则 n阶矩阵 k为非零常数 阶矩阵, 为非零常数, |-k A|= |= . (A) –k| A | (B) k| A | (C) (-1)nk n| A | (D) kn| A |
运算性质: 运算性质: (A是m×n的矩阵) 的矩阵) 是 的矩阵 ( )0p×m A = 0p×n, A n×q = 0m×q 1 0
(2)Em A= A, AEn = A (3)A(BC) = (AB)C (4)A(B+C) = AB+ AC (B+C)A= BA+CA 学习矩阵运算, 学习矩阵运算,尤其要注意其不具备什
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2.3.1 逆矩阵的定义
定义 A为n阶方阵, 若存在 阶方阵B, 使 阶方阵, 阶方阵B 阶方阵 若存在n阶方阵 AB = BA = E 则称A 可逆矩阵, 则称A为可逆矩阵,称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 记作B = A-1. 注 定义中矩阵 A 与B的地位是相同的, 的地位是相同的, 如果 A可逆,且B是 A的逆,则B也可逆, 可逆, 的逆, 也可逆, 的逆, 互逆. 且A 也是B的逆,即A与B互逆.
2.2
矩阵运算
矩阵的线性运算 矩阵的乘法运算 方阵的幂及行列式 的乘法公式 矩阵的转置
2.2.1 矩阵的加法: ( A与B 要同形). 矩阵的加法: 与 要同形). 加 法: Α = (aij )m×n Β = (b )m×n ij
A+B=C = (cij )m×n = (aij +bij )m×n 负矩阵: 负矩阵: −Α =−(aij )m×n = (−aij )m×n 减 法: A− B = A+ (−B)
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2.2.5
方阵的行列式及乘法公式
由 n 阶方阵A的元素按原来的位置组成 阶方阵A 行列式称为方阵 的行列式, 称为方阵A 的行列式称为方阵A的行列式,记为 |A|,即
a 11 a21 | A|= M an1 a 12 a22 M an2 L an 1 L a2n M L ann
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运算性质(定理2.1): 运算性质(定理2.1): 设A, B, Ai 为 n 阶方阵, k 为数, 则有 阶方阵, 为数,
a1b2 , BA = (b1a1 + b2 a2 ) a2b2
注意: 在这个例子中, 注意: 在这个例子中,虽然 AB 与
BA 均有意义,但是AB 是 2×2 矩阵, 均有意义,但是AB 矩阵, BA是 矩阵. 而BA是 1×1 矩阵.
1 1 1 −1 例3 设 A = , B = −1 1 −1 −1
Α = diag(c,L c) ,
a 12 a22 L an 1 L a2n O M ann
a 11 a 下三角矩阵: 21 M an1
a22 M an2
行矩阵: 行矩阵:
[ a1
a2 L an ]
O L ann
列矩阵: 列矩阵:
a1 a 2 M an
2 3 1 1 例1 设 A= 1 2 −1, B = 0 0 3 1 2
注意: 注意: 在这个例子中 BA 无意义. 无意义.
例2
a 1 A= , B =[b b2 ] 1 a2
a1b1 则 AB= a2b1
则
0 0 2 2 AB = , BA= 0 0 −2 −2
注意: 注意: (1) AB与BA是同阶方阵，但AB AB与BA是同阶方阵 是同阶方阵， 不等于BA. 虽然A, B都是非零矩阵 都是非零矩阵, 不等于BA. (2) 虽然A, B都是非零矩阵, 但是 AB = 0.
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2.2.6
定义
矩阵的转置
a11 a12 L a1n a11 a21 L am1 a a L a a a L a m2 2n T 12 22 21 22 A= , A = M M M M M M am1 am2 L amn a1n a2n L amn
当 m=n 时称为n 阶方阵. 时称为n 方阵.
矩阵同形⇔它们行数 列数相同 矩阵同形⇔它们行数和列数相同. 行数和 相同. 矩阵相等⇔它们同形且对应元素相等 矩阵相等⇔它们同形且对应元素相等. 同形且对应元素相等. 方阵的行列式: | A|=| aij |n×n 或 det Α. 2.特殊矩阵 2.特殊矩阵 零矩阵: 零矩阵: 0m×n, 0