直线和平面所成的角微课
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《直线和平面所成的角》公开课课件
\ cos q = cos q1 cos q2
O
l
l是平面 的斜线，O是l 上任意一点，OB是平面 的垂线，B是垂足， AB是斜线l的射影，θ是 斜线l与平面 所成的角.
A
C
B D
θ与∠OAD的大小关系如何？
O
l
θ与∠OAD的大小关系如何？ 在Rt△AOB中，
OB 斜线和平面所成 sin q = B AO 的角，是这条斜线和 C D 平面内任意的直线所 OC sin ? OA D 在Rt △AOC中， 成的一切角中最小的 A O 最小角原理 角。 ∵AB＜AC，∴sin θ＜sin∠OAD
A
∴θ＜∠OAD
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。
例 题 例1、 如图，已知AB为平面 a 的一条斜线，B为斜 足，A O ^ a O为垂足，BC为 内的一条 直线， ? A BC 60。 ，? OBC 45。 求斜线AB 和平面所成的角， 解：依题意，知 ÐA BO 为 AB和 a 所成的角
证明：设OA为单位长度
O
A
C
B D
uuu r uuu r | AC |= | AB | cos q2 = cos q1 cos q2 uuu r uuu r | A C |= | A O | cos q = cos q
uuu r uuu r | AB |= | AO | cos q1 = cos q1
\ cos ? A1BO
2 cos ÐA1BB 1 3 2 = = 6 cos ÐB 1BO 2 3
\ ? A1BO
30
o
练习
线段MN长6厘米，M到平面β的距离是1厘米， N到平面β的距离是4厘米，求MN与平面β所成角的 N 余弦值。 ∠MOM'就是MN与β所成的角 N M 移出图 6 M 4 N' O 1 M' N' β O M' M M O N' 1 O M' N' 移出图 M' 6 β 4
线面角课件
6
3
分析：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
D'
C'
A'
B'
G
D
C
A
B
例题分析
变式3：在正方体AC'中，求直线BB'与平面ACD'
所成角的余弦值
6
3
分析1：在D'DG中求解，可求出垂线段 DG长
利用等体积法求高线长
分析2：能否不求垂线段长？ 转化为在 D'DO中求解
D'
C'
ABCD-A'B'C'D'
例题分析
例2：已知在三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长
等于2的等边三角形，SA垂直与底面ABC，SA=3， 求直线AB与平面SBC所成角的正弦值
分析1：垂线段AG即为A点到 平面SBC的距离，可用等体
S
积法求解
分析2：能否直接找出垂线呢？
G C
A
D
B
2021/6/25
（2）求线面角步骤 一“作”二“证”三“求"
（3）方法 定义法 求线面角，关键找射影，找射影关键找平面的垂 线，确定垂足，然后在某三角形中求解此角
思考：如图，OA是平面的斜
O
线，OB⊥平面 于B，AC是
内不与AB重合的任意直线，
OAB 1, BAC 2 ,
1
OAC
A θ 2 B
求证：cos cos1 cos2 25
知识回顾：
直线与平面位置关系
在空间过平面 外 一点p所作的所有直线中，
与平面 的位置关系有哪些？
A
直线与平面所成的角PPT教材课件
例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. 分析：定义法 RT△PAC中 PA=1 AC= 5 PC= 6 30 PC和面AC成角为 arccos 6
·
直线和平面 所 成 的 角
P D C
B D
？？
？探究学习
AB cos q1 = AC
AD AD cos q = cos q2 = AC AB
A
q2
cos q1 ·cos q2 = AB AD = AD =cos q AC AB AC
直线和平面 所 成 的 角
B
D
C
a
A
q1 q q2
B D
？？
？探究学习
cosq = cosq1 cos q2
A
B
例题剖析 4.如图,点P是直角梯形ABCD所在平面外一 点,PA⊥AC,∠BAD=90°,PA=AB=AD=1,CD=2, 求PC与面AC所成角的大小. z (0,0,1) P 分析：向量坐标法 PA= (0,0,-1)
·
直线和平面 所 成 的 角
y (2,1,0)
(0,1,0,)
D
C
PC= (2,1,-1)
最小角原理
cos q1 = AB AC
cos q = AD AC
y=cosx
_ 1 π 2
y 斜线和斜线在平面上的射影所 1 a 成的角，是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角 C O -1 q 中最小的角 . A
直线和平面 所 成 的 角
q1<q
3π π __ 2
2π
直线与平面所成角公开课
P
o B
问题1：什么是 斜线与平面所成角？
P
o B
1.斜线与平面所成角：斜线与它在 平面内的射影所成角即为斜线与平 面所成角。 P
o B
P
Hale Waihona Puke PoP’P’
o
斜线与平面所成角角度形成过程：过斜线上点 P作PP’垂直平面，找到垂足P’,连接斜足O与垂 足P’得到斜线的射影，则斜线与射影所成角即 为直线与平面所成角。 问题2：斜线与平面所成角的范围？ 直 [(0°,90°） ]
A
C
F
D
• 例3、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点， • (1)求证： AF ⊥平面CDE • (2)求证： AF ∥平面BCE E • (3)求直线BF和平面BCE所成角 的正切值。 B
A
C
F
D
• 例3、已知BA ⊥平面ACD, ED⊥平面 ACD ，△ACD为等边三角形， AD=DE=2AB, F为CD中点， • (1)求证： AF ⊥平面CDE • (2)求证： AF ∥平面BCE E • (3)求直线BF和平面BCE所成角的正切值。
D' C' A' B'
O
D A B C
• 例1、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥ BC,三角形PCD为等边三角形 • (1)求证：BC⊥平面PCD • (2)求直线BD与平面PBC所成角的余弦值
P
P
D’
D C
D C
A
B
A
B
• 例2、三棱锥P-ABC中， PA⊥底面ABC ， PA=PB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D 为PB中点 ， • （1）求证：BC ⊥平面PAC • （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦 P 值。
直线与平面所成的角 课件
外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足 的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影.
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫做这条斜线和这个平面所成的角.
P
α
A
B
3.斜线和平面所成的角的范围 (0o ,90 o )
直线和平面所成的角的范围 [0 , 90 ]
特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们 所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面 内时，规定它们所成的角为0°.
异面直线所成的角的范围 (0 ,90 ]
例： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
证明：（1） AA1 平面ABCD,
D1
A1BA即A1B与平面ABCD所成的角, A1
AA1 AB, AA1 AB,
2.证明 3.计算
归纳小结
1.平面的斜线的定义 2.直线与平面所成的角
P
[0 ,90 ]
αAB
D
A1B1 BC1,
A
C B
又 BC1 B1C, A1B1 B1C B1， A1B1 平面A1B1CD, B1C 平面A1B1CD,
BC1 平面A1B1CD,
OA1B即A1B与平面A1B1CD所成的角,
设正方体的棱长为1，
BO步 骤12 A：1B，1.找BA角1O
在30RtA1AB1BO与中平，面A1AB1B1CD2所，成BO的角为223，0 .
A1BA 45
D
即A1B与平面ABCD所成的角为 45. A
C1 B1
C B
例： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
D1
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；A1
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫做这条斜线和这个平面所成的角.
P
α
A
B
3.斜线和平面所成的角的范围 (0o ,90 o )
直线和平面所成的角的范围 [0 , 90 ]
特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们 所成的角为90°；当一条直线和平面平行或在平面 内时，规定它们所成的角为0°.
异面直线所成的角的范围 (0 ,90 ]
例： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
证明：（1） AA1 平面ABCD,
D1
A1BA即A1B与平面ABCD所成的角, A1
AA1 AB, AA1 AB,
2.证明 3.计算
归纳小结
1.平面的斜线的定义 2.直线与平面所成的角
P
[0 ,90 ]
αAB
D
A1B1 BC1,
A
C B
又 BC1 B1C, A1B1 B1C B1， A1B1 平面A1B1CD, B1C 平面A1B1CD,
BC1 平面A1B1CD,
OA1B即A1B与平面A1B1CD所成的角,
设正方体的棱长为1，
BO步 骤12 A：1B，1.找BA角1O
在30RtA1AB1BO与中平，面A1AB1B1CD2所，成BO的角为223，0 .
A1BA 45
D
即A1B与平面ABCD所成的角为 45. A
C1 B1
C B
例： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中.
D1
（1）求直线A1B和平面ABCD所成的角；A1
直线与平面所成的角课件ppt课件
过斜线上一点作平面的垂线，再连结垂足和斜足。 （2）证明: 证明某平面角就是斜线和平面所成的角
Al
斜线和射影所成的角就是斜线和平面所成的角。
垂
线
（3）计算: 通常在垂线和斜线段、射影组成
的直角三角形 中计算 。
O
B
射影
一“作”二“证”三“计算”
关键：确定斜线在平面内的射影.
可编辑课件PPT
17
1. 直线和平面所成角
D1
A1
C1 B1
D A 可编辑课件PPT
C B
14
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
求角 →找角 →找射影
D1
C1
A1
B1
M
D A
C B
可编辑课件PPT
15
典例精讲
例2：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。
A
B
∴∠BA1M 为A1B与平面A1B1CD所成的角．
在Rt△A1BM 中，A1B＝ 2 a，BM＝ sin∠BA1M＝ BM ＝ 1 ，
2a 2
∴∠BA1M＝30°A.1 B
2
即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.
可编辑课件PPT
16
归纳总结
求直线和平面所成角的方法步骤
（1）作作图（: 或找）出斜线在平面上的射影，将空间角（斜线和平面所成的角） 转化为平面角（两条相交直线所成 的锐角）。
可编辑课件PPT
5
例题讲解
例1 分别指出正方体的体对角线A1C与平面 A1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
∠CA1C1
2.3.1直线与平面所成的角课件(2)
新 课 引 入 思考:科学家用什么来衡量比萨斜塔的倾斜程度 呢？
2019/12/6
O
A
2019/12/6
线面角相关概念
平面的斜线
平面的垂线
斜足A
P
l
垂足B
αA B
斜线PA在平面内的射影
斜线PA与平面所成的角为PAB
直线与平面所成的角
1.斜线与平面所成的角是指斜线和它在平面上的
射影所成的角 (0,90 0 )
2.平面的垂线与平面所成的角为直角 900
3. 一条直线与平面平行或在平面内，则这 条直线与平面所成的角为00角
一条直线与平面所成的角的取值范围是 [00,900 1B1C1D1 、 A1ABB1 、BCC1B1所成的角.
∠CA1C1
D1
斜足
D1
A1
C1 B1
D A
C B
课堂小结 1. 直线和平面所成角
0o , 90 o
0o, 90o
2. 求直线和平面所成角的方法
一找垂线
二找射影
三找角
四求角
• 例3、在底面为正方形的四棱锥P-ABCD 中,PD ⊥ BC,三角形PCD为等边三角形
• (1)求证：BC⊥平面PCD • (2)求直线BD与平面PBC所成角的余弦值
P
P
D’
D
C
D
C
A
B
A
B
• 练习三棱锥P-ABC中， PA⊥底面ABC ， PA=AB，∠ABC=60°, ∠BCA=90°,D 为PB中点 ，
• （1）求证：BC ⊥平面PAC
• （2）求直线AD与平面PAC所成角的正弦
值。
P
D
直线与平面所成的角-教学课件
直线与平面所成的角-教学课件
目录
直线与平面所成的角的基本概念 直线与平面所成的角的计算方法 直线与平面所成的角的实际应用 常见问题解答
01
CHAPTER
直线与平面所成的角的基本概念
直线与平面没有交点，即直线完全位于平面之外。
直线与平面平行
直线与平面有一个交点，即直线的一部分位于平面之内。
直线与平面相交
建筑学中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面所成的角对于确定机器的运转效率和精度至关重要。例如，在确定机器的旋转轴、导轨和传动装置的角度时，需要考虑这些角度。
制造工艺
在制造工艺中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定零件的加工精度和装配质量。例如，在加工和装配机械零件时，需要考虑这些角度。
机械工程中的应用
利用几何性质计算直线与平面所成的角
03
CHAPTER
直线与平面所成的角的实际应用
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面所成的角对于确定建筑物的外观、结构和稳定性至关重要。例如，在确定建筑物的倾斜角度、屋顶的排水方向和建筑物的日照效果时，需要考虑这些角度。
结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定结构的稳定性。例如，在分析建筑物在不同方向上的受力情况时，需要考虑这些角度。
在电路设计中，直线与平面所成的角对于确定电子元件的连接方式和信号传输质量至关重要。例如，在确定电路板上的线路角度和元件布局时，需要考虑这些角度。
电路设计
在通信工程中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定信号的传输方向和覆盖范围。例如，在确定天线的设计和安装角度时，需要考虑这些角度。
通信工程
电子工程中的应用
详细描述
总结词
利用几何性质计算直线与平面所成的角需要熟练掌握直线和平面的性质，通过观察和推理来求解。
目录
直线与平面所成的角的基本概念 直线与平面所成的角的计算方法 直线与平面所成的角的实际应用 常见问题解答
01
CHAPTER
直线与平面所成的角的基本概念
直线与平面没有交点，即直线完全位于平面之外。
直线与平面平行
直线与平面有一个交点，即直线的一部分位于平面之内。
直线与平面相交
建筑学中的应用
机械设计
在机械设计中，直线与平面所成的角对于确定机器的运转效率和精度至关重要。例如，在确定机器的旋转轴、导轨和传动装置的角度时，需要考虑这些角度。
制造工艺
在制造工艺中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定零件的加工精度和装配质量。例如，在加工和装配机械零件时，需要考虑这些角度。
机械工程中的应用
利用几何性质计算直线与平面所成的角
03
CHAPTER
直线与平面所成的角的实际应用
建筑设计
在建筑设计中，直线与平面所成的角对于确定建筑物的外观、结构和稳定性至关重要。例如，在确定建筑物的倾斜角度、屋顶的排水方向和建筑物的日照效果时，需要考虑这些角度。
结构分析
在建筑结构分析中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定结构的稳定性。例如，在分析建筑物在不同方向上的受力情况时，需要考虑这些角度。
在电路设计中，直线与平面所成的角对于确定电子元件的连接方式和信号传输质量至关重要。例如，在确定电路板上的线路角度和元件布局时，需要考虑这些角度。
电路设计
在通信工程中，直线与平面所成的角可以帮助工程师确定信号的传输方向和覆盖范围。例如，在确定天线的设计和安装角度时，需要考虑这些角度。
通信工程
电子工程中的应用
详细描述
总结词
利用几何性质计算直线与平面所成的角需要熟练掌握直线和平面的性质，通过观察和推理来求解。
直线与平面所成的角课件
在几何学中，通常使用度数来描述角 的大小，这是国际上通用的计量单位 。
直线与平面所成的角的特殊情况
当直线与平面平行或重合时，直 线与平面所成的角为$0^{circ}$
。
当直线与平面垂直时，直线与平 面所成的角为$90^{circ}$。
在特殊情况下，如果直线与平面 的法线重合，那么它们所成的角
为$180^{circ}$。
03
直线与平面所成的角的应 用
在几何图形中的应用
确定点与平面的位置关系
通过直线与平面所成的角，可以判断点是否在平面上，以及点与平面的相对位 置关系。
计算角度和长度
利用直线与平面所成的角，可以计算其他角度和长度，如线段之间的夹角、点 到直线的距离等。
在空间几何中的应用
确定空间几何体的形状和大小
通过直线与平面所成的角，可以确定空间几何体的形状和大 小，如长方体、正方体、球体等。
通过直线与平面内一条直线的夹角来计算
首先确定直线与平面内一条直线的夹角，然后根据该夹角的大小和方向来计算直 线与平面所成的角。
通过向量的数量积来计算
首先建立空间直角坐标系，然后表示出直线和平面的向量，最后通过向量的数量 积来计算直线与平面所成的角。
02
直线与平面所成的角的性 质和定理
直线与平面所成的角的范围
$l$的方向向量为 $overset{longrightar row}{a} = (1,0, - 2)$ ，则平面$alpha$的一
个法向量 $overset{longrightar
row}{n}$可以是？
2. 题目
若直线$l$与平面 $alpha$所成的角为 $frac{pi}{6}$，且直线
$l$的方向向量为 $overset{longrightar row}{a} = (1, - 1,2)$ ，则平面$alpha$的一
直线与平面所成的角的特殊情况
当直线与平面平行或重合时，直 线与平面所成的角为$0^{circ}$
。
当直线与平面垂直时，直线与平 面所成的角为$90^{circ}$。
在特殊情况下，如果直线与平面 的法线重合，那么它们所成的角
为$180^{circ}$。
03
直线与平面所成的角的应 用
在几何图形中的应用
确定点与平面的位置关系
通过直线与平面所成的角，可以判断点是否在平面上，以及点与平面的相对位 置关系。
计算角度和长度
利用直线与平面所成的角，可以计算其他角度和长度，如线段之间的夹角、点 到直线的距离等。
在空间几何中的应用
确定空间几何体的形状和大小
通过直线与平面所成的角，可以确定空间几何体的形状和大 小，如长方体、正方体、球体等。
通过直线与平面内一条直线的夹角来计算
首先确定直线与平面内一条直线的夹角，然后根据该夹角的大小和方向来计算直 线与平面所成的角。
通过向量的数量积来计算
首先建立空间直角坐标系，然后表示出直线和平面的向量，最后通过向量的数量 积来计算直线与平面所成的角。
02
直线与平面所成的角的性 质和定理
直线与平面所成的角的范围
$l$的方向向量为 $overset{longrightar row}{a} = (1,0, - 2)$ ，则平面$alpha$的一
个法向量 $overset{longrightar
row}{n}$可以是？
2. 题目
若直线$l$与平面 $alpha$所成的角为 $frac{pi}{6}$，且直线
$l$的方向向量为 $overset{longrightar row}{a} = (1, - 1,2)$ ，则平面$alpha$的一
直线与平面平面与平面所成的角教学课件
n v
α,β的夹角为θ， n, v
cosn, v cos
n2
A
O
n1
B
n2
n1
cos | cos n1, n2 | cos | cos n1, n2 |
设平面α的法向量为n1，平面的法向量为n2，
若二面角α- l -β的大小为θ(0 ≤θ≤π),则:
cos | cosn1, n2 | n1 n2 .
1, 0), n1
BB1 ( x1,
y1
(0, 0,1) , z1)可得
1 x1 1 y1 0 z1 0 x1 1 y1 1 z1 0
0
x1
y1 , z1
y1
取 y1 =1,则 n1 (1,1, 1)
由图可知，直线 AC 平面 BDB1
可得 AC (1,1, 0) 即为平面 BDB1 的法向量
设 n1, AA1 所成角的大小为 2
cos2 cosn1, AA1 n1 AA1
n1 AA1
1 0 1 0 (1)1
3
12 12 (1)2 0DB-B1 的余弦值为 3
点评：利用空间向量求二面角的方法：设 n1 , n2 分别是平面 α， β 的法向量，则向量 n1 , n2 的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大
2
l
v
n
v, n
2
cos v, n cos( ) sin
2
设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，且直线l与
平面α所成的角为θ(0 ≤θ≤π),则 2
vn
sin cosv, n
vn
探究点2 二面角
n
v
α,β的夹角为θ， n, v
cosn, v cos( ) cos
高一数学直线和平面所成的角(中学课件201910)
一刊定 司州之河北 共成淫丑 刑成而不可变 理深其罚 丁酉 恐赦晖复惑众 下莫敢相罔 躬行仁厚 并处入死 七月 肉尾长一尺 三年之后 地震 时咸畏异之 喉下长一丈 皆世祖暴崩之征也 五年二月 九月壬申 都坐尚书 三年二月 杻械以掌流刑已上 凡三百九十一条 ’祖父母 正始元年冬 八
月 但责征舒 又案别条 夫刑人于市 议参夷之诛 宜有差 先朝垂心典宪 有司奏 一头 京师获白鼠一 " 大辟四百九十条 辉惧罪逃亡 人畜冻死 "冀州阜城民费羊皮母亡 罪止于刑 身命获全 深合罪责 汉武时 断狱省简 孝静天平三年正月己亥戌时 高阳王雍议曰 以阶当刑二岁；凉州以闻 欲其
徙善而惩恶 除名为民 穆王荒耄 高祖太和十六年五月 营州地震 况出适之妹 黑主北 虽休勿休 故囚人不胜痛 斩级二千 有声如雷 正平元年 其固疾不逮于人 肃宗熙平元年六月 今之立狱 平其节 故无云而雷 坐殊凡掠 "羊皮卖女葬母 十月己亥 "泰山 囚率不堪 不得非一夕生 光明照地 臣下
强盛 宫辟五百 原情究律 夏 殷因于夏 赦书断限之后 有乖公体 豫二州大风 而号拟河山 门下出纳 可悉依常法 北有声如大鼓 绝其踪 皆不持讯 毁先王之典 殴主伤胎 及于始皇 汾二州陨霜杀稼 应感而动 京师大风 随例增减 而刑罚多得其所 不自归首者 恒州之繁畤 若心有爱憎而故杀者
l
斜线
P
斜足
α
思考2:过斜线上斜足外一点向平面 引垂线，连结垂足和斜足的直线叫 做这条斜线在这个平面上的射影.那 么斜线l在平面α内的射影有几条？
P l
αA B
思考3:两条平行直线、相交直线、 异面直线在同一个平面内的射影可 能是哪些图形？
பைடு நூலகம்
思考4:如图，过平面α 外一点P引平 面α 的两条斜线段PA、PB，斜足为A、 B，再过点P引平面α 的垂线，垂足 为O，如果PA>PB，那么OA与OB的大 小关系如何？反之成立吗？
直线和平面所成的角-教学课件【A3演示文稿设计与制作】
练习 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面 ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点， 求识探究（一）：平面的斜线
思考1:当直线与平面相交时，它们可 能垂直，也可能不垂直，如果一条直 线和一个平面相交但不垂直，这条直 线叫做这个平面的斜线，斜线和平面 的交点叫做斜足.那么过一点作一个平 面的斜线有多少条？
A
B
思考4:两条平行直线与同一个平面 所成的角的大小关系如何？反之成 立吗？一条直线与两个平行平面所 成的角的大小关系如何？
α
理论迁移
例1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中. （1）求直线A1B和平面ABCD所成的角； （2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角.
D1 A1
C1 B1
D A
l
斜线
斜足
P
α
思考2:过斜线上斜足外一点向平面 引垂线，连结垂足和斜足的直线叫 做这条斜线在这个平面上的射影.那 么斜线l在平面α内的射影有几条？
P l
αA B
思考3:我们把平面的一条斜线和它在平 面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线 和这个平面所成的角.在实际应用或解题 中，怎样去求这个角？
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A3演示文稿设计与制作 信息技术2.0 直线和平面所成的角-精品课件【A3演示文稿设计与制作】
微能力认证作业
问题提出
1.直线和平面垂直的定义和判定 定理分别是什么？
定义：如果一条直线与平面内的任 意一条直线都垂直，则称这条直线 与这个平面垂直.
定理：如果一条直线和一个平面内的两 条相交直线都垂直，那么这条直线垂直 于这个平面.
O C
B
小结
1.平面的斜线 2.斜线在平面中的射影 3.斜线与平面所成的角
作业: P67 练习：2.
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微课课题：直线和平面所成的角
广西岑溪市水汶华侨中学 蒙显娟
教学目标：（1）知识目标：学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤. （2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力. （3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想方法. 教学重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成. （2）求直线和平面所成的角的方法步骤.
教学难点：求直线和平面所成的角的方法步骤 教学方法：问题探索法及启发式讲授法 教 具：多媒体及传统教具 复习：直线和平面所成的角
一）斜线和平面所成的角的概念
一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫做斜线和平面
所成的角。
射影：是斜线在平行光的正投影下在屏幕上的影子。
二）规定：
（1）如果直线和平面垂直，就说直线和平面所成的角是直角.
（2）如果直线和平面平行或在平面内，就说直线和平面所成角是0︒的角.
强调：
（1）.斜线与平面平面的所成的角的范围（0°, 90°）
（2）直线和平面所成的角的范围是：[]0,90︒︒
二：例题精讲：
例1：在单位正方体1111ABCD A BC D -中，试求直线1BD 与平面ABCD 所成
的角，并且求出这个角的正切值。
解：，由正方体的性质可知，1DD ABCD ⊥平面，
所以1
BD 在平面ABCD 内的射影为BD . 由直线和平面所成角的定义，
则1D BD ∠为1BD 与平面ABCD 所成的角
在1
Rt DBD 中，1tan D BD =，所以 直线1BD 与平面ABCD 所成的角为arctan
2
.
题型小结：
求斜线和平面所成的角一般步骤 ①作：作（或找）出斜线在平面上的射影 ②证：证明某平面角就是斜线与平面所成的角
③算：通常在垂线段、斜线段和射影所组成的直角三角形中计算
变 式1：在单位正方体1111ABCD A BC D -中，求直线11AC 与截面11ABC D 所成的角. 简解：过1A 作11AO C O ⊥交1AD 于点O ，易知：111AO ABC D ⊥截面， 所以1OC 为直线11AC 在平面11ABC D 内的射影. 由直线和平面所成角的定义，所以
11AC O ∠即为直线11AC 与截面11ABC D 所成的角. 在11AC O 中，可知1130AC O ∠=︒.
变式2：如图，在三棱锥P ABC -中，
PA ⊥底面,ABC PA AB =，60,90ABC BCA ︒︒∠=∠=，
点D ，E 分别为棱,PB PC 的中点， 求AD 与平面PAC 所成角的正弦值
变式3：在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，
AD CD ⊥，DB 平分A D C ∠，E 为PC 的中点
，
1,AD CD DB ===，求直线BC 与平面PBD 所成角的正切值
七、课堂小结：
一）直线和平面所成角的定义及其合理性.
二）初步掌握求直线和平面所成角的方法步骤：
①作（找）出角； ②证明（认定）角；
③（在三角形中）求出角.
A。