[推荐学习]高中数学必修二人教A版练习：3.2.2直线的两点式方程含解析
高中数学人教a版必修二3.2.2《直线的两点式方程》
练习4.已知点A(1，2)，B(3，1),求线段AB的垂直平分线的方程.
解：由中点公式可知,AB中点M的坐标为：(2, 3 ) 2
直线AB的斜率为：kAB
1 2 31
1 2
设线段AB的垂直平分线的斜率为k,
则有kAB·k=-1 ，求出k=2.
过点 (2, 3 ) ，斜率为2的直线方程为：y 3 2( x 2)
究为主，让学生自己开动脑筋思考直线上任意一点的坐标满足的 关系式，并利用几何画板进行动态的计算直线的斜率，引导学生 思考直线的两点式的特点和使用的前提条件。
运用由一般到特殊的思想方法得到直线的截距式方程，引入直 线在两轴上的截距，探究直线的截距式方程的特点和使用条件。 通过例1、例2巩固掌握直线的两点式方程和截距式方程的结构特 点，初步学会用方程研究直线及直线的位置关系。运用方程思想 、转化思想和由一般到特殊的思想，由直线的两点式方程，转化 为直线的截距式方程。
(2) C(-4，-5)，D (0，0)
(3) A (0，5)，B (5，0)
解：（1）将P，Q两点的坐标代入两点式可得：y311
x 0
2 2
化简，整理得2x-y-3=0
（2）将C，D两点的坐标代入两点式可得： y 0 x 0 5 0 4 0
化简，整理得5x-4y=0
（3）将A，B两点的坐标代入两点式可得：y 5 x 0 05 50
►Never underestimate your power to change yourself! 永远不要低估你改变自我的能力！
►Living without an aim is like sailing without a compass. 生活没有目标，犹如航海没有罗盘。
高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2
第23课时 直线的两点式方程直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －－4－－＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y3＝0 答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．直线方程的应用形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1．由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上，∴3a ＋32b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0，即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1，即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2；③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1．4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条．二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－－－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0．8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝－2＝－－2＋42，易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。
直线的两点式方程第一课时课后习题(带答案)-人教A版数学必修2第三章直线方程3.2.2
3.2.2 直线的两点式方程课后小练一．选择题（共5小题）1．（2015春•达州期末）过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为（）A．x﹣y+1=0B．x﹣y﹣3=0C．2x﹣y=0D．2x﹣y﹣3=02．（2015春•某某校级期末）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A．x+y﹣5=0B．3x﹣2y=0C．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=03．（2015春•贵港期中）已知点A（1，1），B（3，5），若点C（﹣2，y）在直线AB上，则y 的值是（）A．﹣5C．54．（2015春•某某校级期中）对于直线l：3x﹣y+6=0的截距，下列说法正确的是（）A．在y轴上的截距是6B．在x轴上的截距是2C．在x轴上的截距是3D．在y轴上的截距是﹣65．（2015春•景县校级期中）过点（0，5）且在两坐标轴上截距之和为2的直线方程为（）A．3x+5y+15=0B．5x+3y﹣15=0C．5x﹣3y+15=0D．3x﹣5y﹣15=0二．填空题（共4小题）6．（2015•某某校级三模）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是．7．（2015春•某某期末）过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为．8．（2014秋•某某期末）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积大于1，则b的取值X围是．9．（2014秋•邛崃市期中）若直线x﹣2y+6=0与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|值为．三．解答题（共2小题）10．（2015春•龙岗区期末）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求满足向量条件的直线l′的方程．（1）l′与l平行且过点（﹣1，3）；（2）l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为6．11．（2014秋•某某校级期末）求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．3.2.2 直线的两点式方程参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2015春•达州期末）过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为（）A．x﹣y+1=0B．x﹣y﹣3=0C．2x﹣y=0D．2x﹣y﹣3=0考点：直线的两点式方程．分析：直接利用截距式方程求解在方程即可．解答：解：过两点（﹣1，0），（0，1）的直线方程为：，即x﹣y+1=0．故选：A．点评：本题考查直线方程的求法，基本知识的考查．2．（2015春•某某校级期末）过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程是（）A．x+y﹣5=0B．3x﹣2y=0C．x+y﹣5=0或3x﹣2y=0D．x﹣y+1=0或3x﹣2y=0考点：直线的截距式方程．分析：当直线经过原点时易得直线的方程；当直线不过原点时，设直线的方程为+=1，待定系数法可得．解答：解：当直线经过原点时，直线的斜率为k==，直线的方程为y=x，即3x﹣2y=0；当直线不过原点时，设直线的方程为+=1，代入点P（2，3）可得a=5，∴所求直线方程为x+y﹣5=0综合可得所求直线方程为：x+y﹣5=0或3x﹣2y=0故选：C点评：本题考查直线的截距式方程，涉及分类讨论的思想，属基础题．3．（2015春•贵港期中）已知点A（1，1），B（3，5），若点C（﹣2，y）在直线AB上，则y 的值是（）A．﹣5C．5考点：直线的两点式方程；直线的一般式方程．分析：求出直线AB的方程，代入C的坐标即可求解结果．解答：解：点A（1，1），B（3，5），直线AB的方程为：，即2x﹣y﹣1=0，点C（﹣2，y）在直线AB上，看﹣4﹣y﹣1=0，解得y=﹣5．故选：A．点评：本题考查直线方程的求法与应用，基本知识的考查．4．（2015春•某某校级期中）对于直线l：3x﹣y+6=0的截距，下列说法正确的是（）A．在y轴上的截距是6B．在x轴上的截距是2C．在x轴上的截距是3D．在y轴上的截距是﹣6考点：直线的截距式方程．分析：分别令x=0、y=0代入直线的方程，求出直线在坐标轴上的截距．解答：解：由题意得，直线l的方程为：3x﹣y+6=0，令x=0得y=6；令y=0得x=﹣2，所以在y轴上的截距是6，在x轴上的截距是﹣2，故选：A．点评：本题考查由直线方程的一般式求出直线在坐标轴上的截距，属于基础题．5．（2015春•景县校级期中）过点（0，5）且在两坐标轴上截距之和为2的直线方程为（）A．3x+5y+15=0B．5x+3y﹣15=0C．5x﹣3y+15=0D．3x﹣5y﹣15=0考点：直线的截距式方程．分析：由题意易得直线得截距，可得截距式方程，化为一般式可得答案．解答：解：由题意可得直线的纵截距b=5，故横截距a=2﹣5=﹣3，∴所求直线的方程为+=1，化为一般式可得5x﹣3y+15=0，故选：C．点评：本题考查直线的截距式方程，属基础题．二．填空题（共4小题）6．（2015•某某校级三模）直线过点（2，﹣3），且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．考点：直线的截距式方程．分析：当直线经过原点时满足条件，直接得出；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入即可得出．解答：解：当直线经过原点时满足条件，此时直线方程为，化为3x+2y=0；当直线不经过原点时，设，把点（2，﹣3）代入可得：=1，解得a=5．∴直线方程为x﹣y﹣5=0．综上可得：直线方程为3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．故答案为：3x+2y=0或x﹣y﹣5=0．点评：本题考查了直线的截距式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2015春•某某期末）过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为﹣．考点：直线的两点式方程．分析：利用两点式求出直线的方程即可．解答：解：过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线方程为，即y=2x+3，令y=0，则x=﹣，即直线在x轴上的截距为﹣，故答案为：﹣点评：本题主要考查直线方程的求解以及截距的计算，比较基础．8．（2014秋•某某期末）直线x﹣2y+b=0与两坐标轴围成的三角形的面积大于1，则b的取值X围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．考点：直线的截距式方程．分析：由直线x﹣2y+b=0化为=1，可得直线在坐标轴上的截距分别为：b，﹣．利用＞1，解出即可．解答：解：由直线x﹣2y+b=0化为=1，∴直线在坐标轴上的截距分别为：b，﹣．∴＞1，∴|b|＞2．解得b＜﹣2或b＞2．∴b的取值X围是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．点评：本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式、含绝对值不等式的解法，属于基础题．9．（2014秋•邛崃市期中）若直线x﹣2y+6=0与x轴、y轴分别交于点A、B，则|AB|值为．考点：直线的截距式方程．分析：根据已知可先求出A，B两点的坐标，从而由两点间的距离公式即可求出|AB|值．解答：解：令x=0，则y=3，令y=0，则x=﹣6．故有A（﹣6，0），B（0，3）．故|AB|==．故答案为：．点评：本题主要考察了直线的方程，两点间的距离公式的应用，属于基础题．三．解答题（共2小题）10．（2015春•龙岗区期末）已知直线l的方程为3x+4y﹣12=0，求满足向量条件的直线l′的方程．（1）l′与l平行且过点（﹣1，3）；（2）l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为6．考点：直线的截距式方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系．分析：（1）根据直线平行对应斜率相等求出直线的斜率，利用点斜式方程求直线方程即可．（2）根据直线垂直得到对应斜率之间的关系，求出直线的斜率，利用直线与两坐标轴围成的三角形面积为6．建立方程关系即可求解解答：解：（1）直线l1：3x+4y﹣12=0，k1=﹣，∵l1∥l2∴k2=k1=﹣，∴直线l2：y=，即3x+4y﹣9=0，（2）∵l1⊥l2，∴k2=，设l2的方程为y=x+b，则它与两坐标轴交点是（0，b），（b，0），∴S=|b||b|=6，即b2=16，∴b=±4，∴直线l2的方程是y=x+4，或y=x﹣4．点评：本题主要考查直线方程的求法，利用直线平行和直线垂直得到对应直线的斜率之间的关系，求出直线斜率是解决本题的关键．11．（2014秋•某某校级期末）求经过点A（2，﹣1），B（5，1）的直线的两点式方程，并把它化成点斜式，斜截式和截距式．考点：直线的两点式方程．分析：由题意易得直线的两点式方程，化为相应的方程形式即可．解答：解：过A（2，﹣1），B（5，1）两点的直线方程为=化为点斜式方程可得：y+1=（x﹣2），化为斜截式为：y=x﹣截距式为：+=1点评：本题考查直线的方程，涉及方程形式的互化，属基础题．。
【配套K12】高中数学必修二人教A版练习：3.2.2直线的两点式方程含解析
3.2.2 直线的两点式方程【选题明细表】1.下列四个命题中的真命题是( B )(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示(C)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示解析:当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确,选项B正确.故选B.2.已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程为( A )(A)x+y+1=0 (B)x-y+1=0(C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0解析:由两点式得直线l的方程为=,即y+2=-(x-1).故选A.3.已知△ABC的三个顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( A )(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0解析:由中点坐标公式知M(2,4),N(3,2),由两点式方程知MN所在的直线方程为2x+y-8=0.故选A.4.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( A )(A)-(B)-(C)(D)2解析:由直线的两点式方程可得直线方程为=,即2x-y+3=0,令y=0得x=-.故选A.5.(2018·安徽黄山调研)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )(A)1 (B)-1(C)-2或-1 (D)-2或1解析:①当a=0时,y=2不合题意.②当a≠0时,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.6.直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( A )(A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0(C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0解析:设所求的直线方程为+=1.所以解得a=2,b=6.故所求的直线方程为3x+y-6=0.故选A.7.已知直线mx-2y-3m=0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m= .解析:直线方程可化为-=1,所以-×4=3,所以m=-.答案:-8.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).(1)求边AB所在的直线方程;(2)求中线AD所在直线的方程.解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k==2.它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.(2)B(1,5)、C(3,-5),=2,=0,所以BC的中点D(2,0).由截距式得中线AD所在的直线的方程为+=1.9.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy ( D )(A)无最小值且无最大值(B)无最小值但有最大值(C)有最小值但无最大值(D)有最小值且有最大值解析:线段AB的方程为+=1(0≤x≤3),于是y=4(1-)(0≤x≤3),从而xy=4x(1-)=-(x-)2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.故选D.10.(2018·四川宜宾模拟)过点P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( B )(A)2x-3y=0(B)3x-2y=0或x+y-5=0(C)x+y-5=0(D)2x-3y=0或x+y-5=0解析:①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时,设该直线的方程为x+y=a,把(2,3)代入所设的方程得a=5,则所求直线的方程为x+y=5即x+y-5=0;②当所求的直线与两坐标轴的截距都为0时,设该直线的方程为y=kx,把(2,3)代入所求的方程得k=,则所求直线的方程为y=x,即3x-2y=0.综上,所求直线的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故选B.11.经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .解析:当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;当a≠1时,由两点式,得=,即x-(a-1)y+3a-4=0.这个方程中,对a=1时方程为x=1也满足.所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.答案:x-(a-1)y+3a-4=012.已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.解:设所求直线为+=1,则与x轴、y轴的交点分别为(a,0),(0,b),由勾股定理知a2+b2=37.又k=-=6,所以解得或因此所求直线l的方程是x+=1或-x+=1.13.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图,BC⊥CD)上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,如图,则A(0,60),B(90,0).AB所在的直线方程为+=1,即y=60-x.所以可设P(x,60-x),其中0<x<90,开发面积S=(300-x)(240-y)=(300-x)[240-(60-x)]=-x2+20x+ 54 000(0<x<90).当x=-=15,且y=50时,S取最大值54 150.即矩形顶点P距离AE 15 m,距离BC 50 m时,面积最大,为54 150 m2.。
2020高中数学必修2同步练习：3.2.2 直线的两点式方程 含解析
3.2.2直线的两点式方程课时过关·能力提升一、基础巩固1.经过点A(3,2),B(4,3)的直线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.x-y+1=0D.x-y-1=0y-23-2=x-34-3,即x-y-1=02.若直线方程为x2−y3=1,则直线在x轴和y轴上的截距分别为()A.2,3B.-2,-3C.2,-3D.-2,3x轴交点的横坐标,与y轴交点的纵坐标,所以当x=0时,y=-3,当y=0时,x=2.故选C.3.如图,直线l的截距式方程是xa+yb=1,则()A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<0M(a,0),N(0,b),由题图知M在x轴正半轴上,N在y轴负半轴上,则a>0,b<0.4.已知△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在直线的方程为()A.2x+y-8=0B.2x-y+8=0C.2x+y-12=0D.2x-y-12=0M的坐标为(2,4),点N的坐标为(3,2),由两点式方程得y-24-2=x-32-3,即2x+y-8=0.5.已知点M(1,-2),N(m,2),若线段MN的垂直平分线的方程是x2+y=1,则实数m的值是()A.-2B.-7C.3D.1,得线段MN的中点坐标是(1+m2,0).又点(1+m2,0)在线段MN的垂直平分线上,所以1+m4+0=1,所以m=3,故选C.6.经过点(0,3),且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是.x a +yb=1,则{b=3,a+b=5,解得{a=2,b=3,则直线方程为x2+y3=1,即3x+2y-6=0.x+2y-6=07.已知直线l经过点P(-1,2),与x轴、y轴分别相交于A,B两点.若P为线段AB的中点,则直线l的方程为.A(x,0),B(0,y).由P(-1,2)为AB的中点,∴{x+02=-1,0+y2=2,∴{x=-2,y=4.由截距式得l的方程为x -2+y4=1,即2x-y+4=0.x-y+4=08.经过点(2,1),且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程为.xa+ya=1或xa+y-a=1(a≠0),把(2,1)代入直线方程得2a+1a=1或2a+1-a=1,解得a=3或a=1,所以所求直线的方程为x3+y3=1或x1+y-1=1,即x+y-3=0或x-y-1=0.3=0或x-y-1=09.求过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程.0时,设所求直线方程为y=kx,将(-5,2)代入y=kx中,得k=−25,此时直线方程为y=−25x,即2x+5y=0.当横截距、纵截距都不是0时,设所求直线方程为x2a+ya=1(a≠0),将(-5,2)代入x2a+ya=1中,得a=−12,此时直线方程为x+2y+1=0.综上所述,所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0.二、能力提升1.直线xa2−yb2=1在y轴上的截距是()A.|b|B.-b2C.b2D.±bx=0,得直线在y 轴上的截距是-b 2.2.两条直线l 1:xa−yb=1和l2:xb−ya=1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案:A3.已知光线从点A (-3,4)射出,到x 轴上的点B 后,被x 轴反射,这时反射光线恰好过点C (1,6),则BC 所在直线的方程为( ) A .5x-2y+7=0 B .2x-5y+7=0 C .5x+2y-7=0D .2x+5y-7=0A (-3,4)关于x 轴的对称点A'(-3,-4)在直线BC 上,又因为点C 的坐标为(1,6),所以直线BC 的方程为y -6-4-6=x -1-3-1,化为5x-2y+7=0.4.已知点A (1,2),B (3,1),则线段AB 的垂直平分线的方程是 .AB 的中点M 的坐标为(x ,y ),则x =1+32=2,y =2+12=32,所以M (2,32).因为直线AB 的斜率为2-11-3=−12,所以线段AB 的垂直平分线的斜率k=2,线段AB 的垂直平分线的方程为y −32=2(x −2),即4x-2y-5=0.x-2y-5=05.已知点A (-1,2),B (3,4),线段AB 的中点为M ,求过点M 且平行于直线x4−y2=1的直线l 的方程.M (1,3),直线x 4−y 2=1的方程化为斜截式为y =12x −2,其斜率为12,所以直线l 的斜率为12.故直线l 的方程是y-3=12(x −1),即x-2y+5=0.6.已知直线l 经过点(1,6)和点(8,-8).(1)求直线l 的两点式方程,并化为截距式方程; (2)求直线l 与两坐标轴围成的图形面积.因为直线l 的两点式方程为y -6-8-6=x -18-1,所以y -6-14=x -17,即y -6-2=x −1,所以y-6=-2x+2,即2x+y=8. 所以x4+y8=1.故所求截距式方程为x 4+y8=1.(2)如图,直线l 与两坐标轴围成的图形是直角三角形AOB ,且OA ⊥OB ,|OA|=4,|OB|=8,故S △AOB =12·|OA|·|OB|=12×4×8=16.故直线l 与两坐标轴围成的图形面积为16.★7.已知一条直线经过点A (-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,求此直线的方程.xa+yb =1.因为A (-2,2)在直线上, 所以−2a+2b =1.①又因为直线与两坐标轴围成的三角形的面积为1,所以12|a|·|b|=1.②由①②可得(Ⅰ){a -b =1,ab =2或(Ⅱ){a -b =-1,ab =-2.由(Ⅰ)解得{a =2,b =1或{a =-1,b =-2.方程组(Ⅱ)无解.故所求的直线方程为x2+y1=1或x -1+y -2=1,即x+2y-2=0或2x+y+2=0。
最新人教A版数学必修二同步练习3.2.2直线的两点式方程(含答案解析)
直线的两点式方程一、选择题 ( 每题 6 分, 共 30 分)1.直线-=1(ab≠0)在y 轴上的截距是()A.a 2B.-b 2C.bD.a2.直线+ =1 过一、二、三象限,则()A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<03.(2013 ·嘉兴高一检测)已知 M(3, ),A(1,2),B(3,1), 则过点 M(3, )和线段 AB 的中点的直线方程为()A.4x+2y=5B.4x-2y=5C.x+2y=5D.x-2y=54.过点 (2,4) 可作在 x 轴 ,y 轴上的截距相等的直线共()A.1 条B.2 条C.3 条D.4 条5.(2013 ·宁波高一检测 )直线 mx+3y-5=0 经过连结A(-1,-2),B(3,4) 的线段的中点 ,则实数 m= ()A.-1B.-2C.1D.2二、填空题 ( 每题 8 分, 共 24 分)6.(2013 ·梅州高一检测 )过(3,0) 点与 x 轴垂直的直线方程为,纵截距为 -2且与 y 轴垂直的直线方程为7.点 A(a,b) 和 B(3,-2) 的中点恰为原点 ,则 a+b=.8.已知直线 l 的斜率为 6 且在两坐标轴上的截距之和为10,则此直线 l 的方程为.三、解答题 (9 题 ,10 题 14 分 ,11 题 18 分)9.求经过两点 A(2,m) 和 B(n,3) 的直线方程 .10.如图 :某地汽车客运企业规定游客可随身携带必定质量的行李,假如超出规定 ,则需要购置行李票 ,行李票费 y(元 )与行李质量 x(kg) 的关系用直线AB 的方程表示 ,试求 :(1)直线 AB 的方程 .(2)游客最多可免费携带多少行李 ?11.(能力挑战题 )已知三角形的三个极点 A(-2,2),B(3,2),C(3,0), 求这个三角形的三边所在直线的方程以及 AC 边上的高线所在直线的方程 .答案分析21.【分析】选 B.令 x=0 得 y=-b .2.【分析】选 C.直线过一、二、三象限,因此它在x 轴上的截距为负,在 y 轴上的截距为正 ,所以 a<0,b>0.3.【分析】选 B.线段 AB 的中点坐标为 (2, ),M(3, ), 因此直线方程为=,即 4x-2y=5.4.【分析】选 B. 当在 x 轴 ,y 轴上的截距相等且为0 时,直线过原点方程为y=2x; 当截距不为0时 ,设为 + =1,又过 (2,4),因此方程为x+y=6, 因此有两条 .【误区警告】此题易忽视截距为零的状况而漏解.【拓展提高】常有的截距的问题(1)直线在两坐标轴上的截距相等 ,分能否过原点议论 : 过原点 ,由两点式写方程 ,可是原点斜率为 -1.(2)直线在两坐标轴上的截距之和为 0(或截距互为相反数 ),分能否过原点议论 :过原点时用两点式写方程 ,可是原点时 ,斜率为 1.(3)在 x 轴上的截距是在 y 轴上的截距的 n 倍,分直线能否过原点议论 .(4) 在 x 轴、 y 轴上的截距之比为常数,这条直线可是原点,设出截距式 ,成立方程组求解.5.【分析】选 D.因为连结A(-1,-2),B(3,4) 的线段的中点为(1,1), 因此 m+3-5=0,m=2.6【.分析】过(3,0)点与 x 轴垂直的直线方程为x=3, 纵截距为 -2 且与 y 轴垂直的直线方程为y=-2.答案 :x=3 y=-27.【分析】由题意,=0,=0 解得 a=-3,b=2,故 a+b=-1.答案 :-18.【分析】设直线方程为y=6x+b,令 x=0, 得 y=b,令 y=0 得 x=-,由题意 - +b=10.因此 b=12.因此所求直线方程为6x-y+12=0.答案 :6x-y+12=0【变式备选】若直线 l 经过点 (1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线 l 的条数为()A.1B.2C.3D.4【分析】选C.由题意知直线斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-1),x=0时 ,y=-k+1;y=0时 ,x=-+1;因此|- +1|· |-k+1|=2,即 k2+2k+1=0 或 k2-6k+1=0;能够判断知k 有三个不一样的值.9.【分析】(1) 当 n=2时 ,点 A,B的横坐标同样,直线AB垂直于x 轴 ,则直线AB的方程为x=2.(2) 当n≠ 2 时 ,过点A,B的直线的斜率是k=,又因为过点A(2,m),因此由直线的点斜式方程y-y 1=k(x-x 1)得过点 A,B 的直线的方程是10.【分析】 (1) 由图知 ,A(60,6),B(80,10), 代入两点式可得AB 方程为:y-m=(x-2). x-5y-30=0.(2) 由题意令y=0,得x=30,即游客最多可免费携带30kg行李 .11.【解题指南】求直线的方程时要选好方程的形式,要注意方程的合用范围.当直线与坐标轴平行或重合时,不可以用两点式 ,应作特别办理.【分析】如图:直线 AC 过点所求直线AC 直线 AB 经过直线 BC 经过A(-2,2),C(3,0), 由直线的两点式方程得=的方程 .A(-2,2),B(3,2), 因为其纵坐标相等,可知其方程为B(3,2),C(3,0), 因为其横坐标相等,可知其方程为,整理可得2x+5y-6=0, 这就是y=2, 这是所求直线AB 的方程 .x=3, 这就是所求直线BC 的方程 .因为A(-2,2),C(3,0),因此k AC ==- .由AC边上的高线与AC 垂直 ,设其斜率为k,则 k= ,依据直线的点斜式方程,得 y-2=(x-3), 即5x-2y-11=0, 这就是所求的AC 边上的高线所在直线的方程.。
高中数学必修二(人教A版)练习3.2.2 直线的两点式方程 Word版含答案
直线的两点式方程一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分)．过坐标平面内两点(，)和(，)的直线的方程为( )．＝－．＝＋．＝－＋．＝－－．下列说法中正确的是( )．经过定点(，)的直线都可以用方程－＝(－)来表示．经过定点(，)的直线都可以用方程＝＋来表示．不经过原点的直线都可以用方程＋＝来表示．经过任意两个不同的点(，)，(，)的直线都可以用方程(－)(－)＝(－)(－)来表示．两条直线－＝与－＝的图像可能是下图中的( )图--．若直线过点(－，－)和(，)，且点(，)在直线上，则的值为( )．．．．．过点(，)且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为( )．＋－＝．－＝．＋－＝或＋＝．＋－＝或－＝．若直线经过(，)，(，－)(∈)两点，则直线的倾斜角α的取值范围是( )．≤α≤<α<π≤α<<α≤．已知两点(，)，(，)，动点(，)在线段上运动，则( )．无最小值且无最大值．无最小值但有最大值．有最小值但无最大值．有最小值且有最大值二、填空题(本大题共小题，每小题分，共分)．过点(，)，且在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程是．．已知点(－，－)，(，)，点在轴上，且∠＝°，则点的坐标是．．已知直线过原点且平分▱的面积，若平行四边形的两个顶点分别为(，)，(，)，则直线的方程为．．若直线在轴上的截距比在轴上的截距大，且过定点(，－)，则直线的方程为．三、解答题(本大题共题，共分)．(分)如图--所示，△的三个顶点分别为(，)，(－，)，(－，)．()求边和所在直线的方程；()求边上的中线所在直线的方程．图--．(分)设直线的方程为(＋)＋＋－＝(∈)．()若在两坐标轴上的截距相等，求的方程；()若不经过第二象限，求实数的取值范围．．(分)若直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为，则直线的方程为．。
2022版数学人教A版必修二基础训练：3.2.2 直线的两点式方程Word版含解析
3.2.2直线的两点式方程根底过关练题组一直线的两点式方程 1.直线l 的两点式方程为y -0-3-0=x -(-5)3-(-5),那么直线l 的斜率为()38B.3832D.322.(2021江苏南通中学高一期中)假设直线过点(√3,-3)和点(0,-4),那么该直线的方程为() A.y =√33x -4B.y =√33x +4C.y =√3x -6D.y =√33x +23.点P (a ,2)在过点M (-2,1)和点N (3,-4)的直线上,那么a 的值是.4.某直线经过点A (1,0),B (m ,1),求这条直线的方程.5.(2021北京师范大学附属中学高二月考)△ABC 的三个顶点分别为A (0,4),B (-2,6),C (-8,0). (1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程; (2)求AC 边上的中线所在直线的方程; (3)求AC 边的中垂线的方程; (4)求AC 边上的高所在直线的方程; (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程. 题组二直线的截距式方程6.(2021湖南湘潭一中高二期中)直线2x +3y =1在两坐标轴上的截距之和是() C.16D.567.假设直线x a +y b=1过第一、三、四象限,那么() A.a >0,b >0B.a >0,b <0 C.a <0,b >0D.a <0,b <08.(2021重庆江北高二期中)直线l 1:y =ax -b (ab ≠0)和直线l 2:x a -y b=1在同一坐标系中可能是()A B C D9.(2021江苏南京江宁高级中学高二期中)直线l :x a +y b=1中,a ∈{1,3,5,7},b ∈{2,4,6,8}.假设l 与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,那么这样的直线的条数为()10.(2021四川威远中学高二期中)过点P (3,2)的直线l 与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于A ,B 两点.当P 为AB 的中点时,l 的截距式方程为.11.(2021甘肃张掖高一期末)求过点P (2,3)且分别满足以下条件的直线方程. (1)在两条坐标轴上的截距相等;(2)与两条坐标轴的正半轴所围成的三角形面积是12.12.直线l 过点(1,2)且经过第一、二、四象限,假设直线l 在两坐标轴上的截距之和为6,求直线l 的方程.13.在△ABC 中,点A 、B 的坐标分别为(-1,2),(4,3),AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上. (1)求点C 的坐标; (2)求直线MN 的方程.3.2.2直线的两点式方程根底过关练1.A 由题意知,直线l 过点(-5,0),(3,-3),所以直线l 的斜率为0-(-3)-5-3=-38. 2.A 解法一:因为直线过点(√3,-3)和点(0,-4), 所以直线的方程为y -(-4)-3-(-4)=√3-0,y =√33x -4.解法二:因为直线过点(√3,-3)和点(0,-4),所以直线的斜率为√3-0=√33,所以直线的方程为y +4=√33x ,整理得y =√33x -4.3.答案-3解析由题意得,过M ,N 两点的直线方程为y -1-4-1=x -(-2)3-(-2),即y =-x -1,又点P (a ,2)在此直线上,所以2=-a -1,解得a =-3.4.解析由直线经过点A (1,0),B (m ,1),可知该直线的斜率不可能为零,但有可能不存在. ①当直线的斜率不存在,即m =1时,直线方程为x =1;②当直线的斜率存在,即m ≠1时,利用两点式,可得直线方程为y -01-0=x -1m -1,即y =1m -1(x -1). 综上所述,当m =1时,直线方程为x =1;当m ≠1时,直线方程为y =1m -1(x -1). 5.解析(1)由A (0,4),C (-8,0)可得直线AC 的方程为y -04-0=x+80+8,即x -2y +8=0.由A (0,4),B (-2,6)可得直线AB 的方程为y -46-4=x -0-2-0,即x +y -4=0.(2)设AC 边的中点为D (x ,y ),由中点坐标公式可得x =-4,y =2,所以直线BD 的方程为y -62-6=x+2-4+2,即2x -y +10=0.(3)由直线AC 的斜率为k AC =4-00+8=12,知AC 边的中垂线的斜率为-2.又AC 的中点D (-4,2),所以AC 边的中垂线方程为y -2=-2(x +4),即2x +y +6=0.(4)AC 边上的高所在直线的斜率为-2,且过点B (-2,6),所以直线方程为y -6=-2(x +2),即2x +y -2=0. (5)易知过AB 和AC 中点的直线斜率为k =k BC =6-0-2+8=1.又AC 的中点D (-4,2),所以直线方程为y -2=x +4,即x -y +6=0.6.D 对于2x +3y =1,令x =0,可得y =13,令y =0,可得x =12, 故直线2x +3y =1在两坐标轴上的截距之和是12+13=56.应选D .7.B 因为直线过第一、三、四象限,所以它在x 轴上的截距为正,在y 轴上的截距为负,所以a >0,b <0.8.A 因为ab ≠0,所以方程y =ax -b 可化为x b a+y -b =1,由x a -y b =1知x a +y -b=1,所以l 1与l 2在y 轴上的截距相等,所以B ,D 不可能.对于A ,l 1在y 轴上的截距大于0,即-b >0,所以b <0,l 1在x 轴上的截距小于0,即b a<0,所以a >0,故A 符合题意. 对于C ,由l 1可知,b a>0,-b <0,即a >0,-b <0,此时l 2在两条坐标轴上的截距应该异号,故C 不可能. 应选A .9.B 因为a >0,b >0,所以直线l 与坐标轴围成的三角形的面积S =12ab ,于是12ab ≥10⇒ab ≥20,当a =1时,没有满足条件的b ;当a =3时,b =8;当a =5时,b ∈{4,6,8};当a =7时,b ∈{4,6,8},所以这样的直线的条数为7.应选B . 10.答案x 6+y 4=1解析设A (a ,0)(a >0),B (0,b )(b >0),∵P (3,2)为AB 的中点,∴a =6,b =4, ∴A (6,0),B (0,4),∴由截距式得l 的方程为x 6+y 4=1.11.解析(1)①假设直线经过原点,设方程为y =kx ,因为直线过点P (2,3),所以3=2k ,解得k =32,所以直线方程为y =32x ; ②假设直线不经过原点,设直线在两坐标轴上的截距为m ,那么直线方程为x m +y m=1,又因为直线过点P (2,3),所以2m +3m=1,解得m =5,所以直线方程为x 5+y 5=1,即x +y -5=0. 综上,所求直线方程为y =32x 或x +y -5=0.(2)设直线在x 轴,y 轴上的截距分别为a ,b (a >0,b >0),那么直线方程为x a +y b =1,由题意得{12ab =12,2a +3b=1,解得{a=4,b =6,所以直线方程为x 4+y 6=1,即3x +2y -12=0. 陷阱分析根据直线截距的定义,符合题意的直线方程有过原点和不经过原点这两种情况,容易漏掉过原点的情况.12.解析设直线l 在x 轴上的截距为a ,由题意可得其在y 轴上的截距为6-a ,由于直线l 过第一、二、四象限,所以a ,6-a 均大于0,所以直线l 的方程为x a +y6-a=1. 因为点(1,2)在直线l 上,所以1a +26-a=1,解得a =2或a =3.当a =2时,直线l 的方程为y =-2x +4,直线经过第一、二、四象限,符合题意; 当a =3时,直线l 的方程为y =-x +3,直线经过第一、二、四象限,符合题意. 综上,直线l 的方程为y =-2x +4或y =-x +3.13.解析(1)设点C (m ,n ),因为AC 边的中点M 在y 轴上,BC 边的中点N 在x 轴上,所以由中点坐标公式得{m -12=0,n+32=0,解得{m =1,n =-3.所以点C 的坐标为(1,-3).(2)由(1)易知点M 、N 的坐标分别为M (0,-12)、N (52,0), 所以直线MN 的方程为x 52+y-12=1,即y =15x -12.。
【人教A版】必修2《3.2.2直线的两点式方程》课后导练含解析
试求：
（1）直线 AB 的方程；
（2）旅客最多可免费携带多少行李？
解：（1）由题图知，点 A（60，6），B（80，10）. 由直线方程的两点式或斜截式可求得直线 AB 的方程是 x-5y-30=0. （2）依题意，令 y=0，得 x=30. 即旅客最多可免费携带 30 kg 行李.
又知 AC 的斜率为 k= 2 0 2 ， 23 5
∴AC 边所在直线方程为 y-0= 2 (x-3). 5
即 2x+5y-6=0.
从而可知 AC 边上高线的斜率为 1 5 ，又知 AC 边高线过点 B，由点斜式求得 y-2= 5 (x-3),
k2
2
即 5x-2y-11=0.
4 过 P（4，-3）且在坐标轴上截距相等的直线有…（ ）
A.1 条
B.2 条
C.3 条
D.4 条
解析：设直线方程为 y+3=k(x-4)(k≠0).
3 4k
令 y=0 得 x=
,令 x=0 得 y=-4k-3.
k
3 4k
由题意，
=-4k-3,
k
解得 k= 3 ,或 k=-1. 4
因而所求直线有两条.∴应选 B.
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
解析：将直线方程化为点斜式：
y-1=a(x-2)可知直线恒过定点（2，1），
又因为点（2，1）在第一象限，所以直线恒通过第一象限.
答案：A
7 直线 x-y-1=0 与两坐标轴围成的面积为_______________.
解析：令 x=0 得直线在 y 轴上截距为-1，令 y=0 得直线在 x 轴上截距为 1.
高中数学必修二3.2.2直线的两点式方程练习
xy 的截距式方程为 4－3＝ 1.
4．过 ( x1， y1) 和( x2， y2) 两点的直线方程是 (
)
y－y1Байду номын сангаасx－x1
A．
＝
y2－ y1 x2－ x1
y－y1 x－x2 B． y2－ y1＝ x1－ x2
C． ( y2－y1)( x－ x1) －( x2－ x1)( y－ y1) ＝ 0
D． ( x2－x1)( x－ x1) －( y2－ y1)( y－ y1) ＝ 0 [ 答案 ] C
43 ∴ a－b＝ 1，
a＝± b.
a＝ 1， 解得
b＝ 1
a＝ 7， 或
b＝－ 7.
当 a＝b＝ 0 时，直线过原点且过 (4 ，－ 3) ，
3
∴l
的方程为
y＝－
x 4
.
xy
3
综上所述，直线
l
的方程为
x＋ y＝ 1
或 7＋ － 7＝ 1
或
y＝－
x. 4
[ 点评 ] 明确直线方程的几种特殊形式的应用条件， 如 (2) 中 m的分类， 再如 (3) 中， 直
b－ 5 ＝ 1 008 － 2，得 b＝ 2 017.
xy
xy
2．两直线 m－ n＝ 1 与 n－ m＝ 1 的图像可能是图中的哪一个 (
)
[ 答案 ] B
3．已知 2x1－ 3y1＝ 4,2 x2－ 3y2＝ 4，则过点 A( x1，y1) ，B( x2，y2 ) 的直线 l 的方程是 (
3.2.2 直线的两点式方程练习 新人教 A 版必修 2
一、选择题
xy
1．直线 2－ 5＝ 1 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 (
高一数学人教a版必修2试题：3.2.2 直线的两点式方程 含解析
第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为导学号 09024735( B )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[解析] 将x2－y5＝1化成直线截距式的标准形式为x2＋y－5＝1，故直线x2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M(1，－2)、N(m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是导学号 09024736( C )A ．－2B ．－7C ．3D ．1[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN 的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．如右图所示，直线l 的截距式方程是xa ＋yb ＝1，则有导学号 09024737( B )A ．a>0，b>0B ．a>0，b<0C ．a<0，b>0D ．a<0，b<0[解析] 很明显M(a,0)、N(0，b)，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a>0，b<0.4．已知△ABC 三顶点A(1,2)、B(3,6)、C(5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为导学号 09024738( A )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0. 5．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b)在直线l 上，那么b 的值为导学号 09024739( D )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017.6．两直线xm －yn ＝1与xn －ym ＝1的图象可能是图中的哪一个导学号 09024740( B )[解析] 直线x m －yn＝1化为y ＝nm x －n ，直线xn －ym＝1化为y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．7．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P(0，10a)，则直线AB 的方程为导学号 09024741( C )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[解析] 依题意，a ＝2，P(0,5)．设A(x 0,2x 0)、B(－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A(4,8)、B(－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ． 8．过P(4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有导学号 09024742( B ) A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k(x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk，令x ＝0得y ＝－4k －3.。
高中数学 第三章 直线与方程 3.2.2 直线的两点式方程学案(含解析)新人教A版必修2-新人教A版
3．2.2 直线的两点式方程学习目标 1.掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围；2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围；3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标．知识点一 直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程． 答案 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)， 即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示.名称已知条件示意图方程使用范围两点式 P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1斜率存在且不为0知识点二 直线方程的截距式思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？答案 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程． 答案 由直线方程的两点式得y －0b －0＝x －a 0－a 得x a ＋yb＝1. 名称已知条件示意图方程使用范围截距式 在x ，y 轴上的截距分别为a ，b 且a ≠0，b ≠0x a ＋yb ＝1 斜率存在且不为0，不过原点知识点三 线段的中点坐标公式若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，设P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22，y ＝y 1＋y22.类型一 直线的两点式方程例1 (1)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________. 答案 －2解析 由直线方程的两点式得y －－14－－1＝x －2－3－2，即y ＋15＝x －2－5.∴直线AB 的方程为y ＋1＝－x ＋2， ∵点P (3，m )在直线AB 上， 则m ＋1＝－3＋2，得m ＝－2.(2)△ABC 的三个顶点为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： ①AC 所在直线的方程 ②BC 边的垂直平分线的方程．解 ①由直线方程的两点式得y －03－0＝x －－3－2－－3，所以AC 所在直线的方程是3x －y ＋9＝0.②因为B (2,1)，C (－2,3)，所以k BC ＝3－1－2－2＝－12，线段BC 的中点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22，1＋32，即(0,2)，所以BC 边的垂直平分线方程是y －2＝2(x －0)，整理得2x －y ＋2＝0.反思与感悟 (1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．跟踪训练1 已知△ABC 的顶点是A (－1，－1)，B (3,1)，C (1,6)．求与CB 平行的中位线的直线方程．解 方法一 由A (－1，－1)，C (1,6)，则AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52. 又因为A (－1，－1)，B (3,1)，则AB 的中点为N (1,0)．故过MN 的直线为y －052－0＝x －10－1(两点式)，即平行于CB 的中位线方程为5x ＋2y －5＝0.方法二 由B (3,1)，C (1,6)得k BC ＝6－11－3＝－52，故中位线的斜率为k ＝－52.又因为中位线过AC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52，故中位线方程为y ＝－52x ＋52(斜截式)，即5x ＋2y －5＝0.类型二 直线的截距式方程例2 求过定点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程． 解 设直线的两截距都是a ，则有①当a ＝0时，直线设为y ＝kx ，将P (2,3)代入得k ＝32，∴直线l 的方程为3x －2y ＝0；②当a ≠0时，直线设为x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a ， 把P (2,3)代入得a ＝5，∴直线l 的方程为x ＋y ＝5. ∴直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.反思与感悟 如果直线与两坐标轴都相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可．选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直．跟踪训练2 (1)直线l 过定点A (－2,3)，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，则直线l 的方程为____________．(2)直线l 过点P (43，2)，且与两坐标轴围成的三角形周长为12，则直线l 的方程为_____________．答案 (1)x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0； (2)3x ＋4y －12＝0或15x ＋8y －36＝0. 解析 (1)由题意可知直线l 的方程为x a ＋yb＝1(ab ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋3b ＝1，12|ab |＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－43，b ＝－6.∴直线l 的方程为x 4＋y2＝1或x －43＋y－6＝1， 即x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0. (2)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a >0，b >0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b ＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.类型三 直线方程的综合应用例3 已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，求BC 边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程．解 如图，过B (3，－3)，C (0,2)的两点式方程为y －2－3－2＝x －03－0，整理得5x ＋3y －6＝0. 这就是BC 边所在直线的方程．BC 边上的中线是顶点A 与BC 边中点M 所连线段，由中点坐标公式可得点M 的坐标为(3＋02，－3＋22)，即(32，－12)．过A (－5,0)，M (32，－12)的直线的方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5， 即x ＋13y ＋5＝0.这就是BC 边上中线所在直线的方程． 反思与感悟 直线方程的选择技巧(1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 跟踪训练3 如图，已知正方形ABCD 的边长是4，它的中心在原点，对角线在坐标轴上，则正方形边AB ，BC 所在的直线方程分别为__________________________________． 对称轴所在直线的方程为__________________．答案 x ＋y －22＝0，x －y ＋22＝0y ＝±x ，x ＝0，y ＝0解析 ∵AB ＝4，在Rt△OAB 中，|OA |2＋|OB |2＝|AB |2， ∴|OA |＝|OB |＝22，由直线的截距式方程可得AB 的直线方程为 x 22＋y22＝1，即x ＋y －22＝0.由上面可得：B (0,22)，C (－22，0)， ∴BC 的直线方程为x －22＋y22＝1，即x －y ＋22＝0，易得对称轴所在直线的方程为y ＝±x ，x ＝0，y ＝0.1．过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为( ) A ．y ＝x ＋3 B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝x ＋2 D ．y ＝－x －2答案 A解析 代入两点式得直线方程y －14－1＝x ＋21＋2，整理得y ＝x ＋3.2．经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的直线方程是( ) A.x 4＋y 3＝1 B.x 3＋y 4＝1 C.x 4－y3＝1 D.x 3－y4＝1 答案 C解析 由点坐标知直线在x 轴，y 轴上的截距分别为4，－3，所以直线方程为x 4＋y －3＝1，即x 4－y3＝1.3．经过M (3,2)与N (6,2)两点的直线方程为( ) A ．x ＝2 B ．y ＝2 C ．x ＝3 D ．x ＝6 答案 B解析 由M ，N 两点的坐标可知，直线MN 与x 轴平行，所以直线方程为y ＝2，故选B. 4．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是________________． 答案 4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0 解析 ①若直线过原点，则k ＝－43，∴y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0.②若直线不过原点，设x a ＋y a＝1，即x ＋y ＝a . ∴a ＝3＋(－4)＝－1，∴x ＋y ＋1＝0.5．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上的高AD 所在直线的方程； (3)BC 边上的中线AE 所在直线的方程．解 (1)直线BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2，即x ＋2y －4＝0.(2)由(1)知k BC ＝－12，则k AD ＝2，又AD 过A (－3,0)，故直线AD 的方程为y ＝2(x ＋3)，即2x －y ＋6＝0. (3)BC 边中点为E (0,2)， 故AE 所在直线方程为x －3＋y2＝1，即2x －3y ＋6＝0.与直线方程的适用条件、截距、斜率有关问题的注意点： (1)明确直线方程各种形式的适用条件点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x 、y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．(2)截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．(3)求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论．一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．方程y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点为B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b 的直线方程为x a ＋y b＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过任意不同两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线方程答案 D 解析 方程y －y 1x －x 1＝k 表示过P 1(x 1，y 1)且斜率为k 的直线，但不包括点P 1(x 1，y 1)，故A 错；对于B ，截距可正、可负、可为零，从而错误；对于截距式方程x a ＋y b＝1中要求ab ≠0. 2．直线x a 2－y b2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．|b | B ．－b 2C ．b 2D ．±b 答案 B解析 令x ＝0得，y ＝－b 2.3．以A (1,3)，B (－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( ) A ．3x －y －8＝0 B ．3x ＋y ＋4＝0 C ．3x －y ＋6＝0 D ．3x ＋y ＋2＝0答案 B解析 因为k AB ＝1－3－5－1＝13，AB 的中点坐标为(－2,2)，所以所求直线方程为y －2＝－3(x ＋2)，化简为3x ＋y ＋4＝0. 4．若直线x a ＋y b＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0 答案 C解析 因为直线l 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，且经过第一、二、三象限，故a <0，b >0.5．两条直线l 1：x a －y b ＝1和l 2：x b －y a＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )答案 A解析 两条直线化为截距式分别为x a ＋y －b ＝1，x b ＋y－a＝1. 假定l 1，判断a ，b ，确定l 2的位置，知A 项符合．6．过点(4，－3)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C解析 当a ≠0且在两坐标轴上截距相等时， 设直线方程为x a ＋y a＝1， ∵(4，－3)在直线上， ∴4a －3a＝1得a ＝1，∴直线方程为x ＋y －1＝0； 当a ≠0，且截距互为相反数时， 设直线方程x a －y a＝1，∵(4，－3)在直线上，即4a ＋3a＝1，解得：a ＝7，∴直线方程为x －y －7＝0，当与两坐标轴上截距都为零时，可设直线方程为y ＝kx ， 由－3＝4k ，得k ＝－34，∴y ＝－34x ，∴所求直线方程为x ＋y －1＝0或x －y －7＝0或y ＝－34x ，故共3条．二、填空题7．过点P (1,3)的直线l 分别与两坐标轴交于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线l 的截距式方程是_____________． 答案 x 2＋y6＝1解析 设A (m,0)，B (0，n )，由P (1,3)是AB 的中点可得m ＝2，n ＝6， 即A 、B 的坐标分别为(2,0)、(0,6)． 则l 的方程为x 2＋y6＝1.8．过点(－2,3)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线方程为________________． 答案 3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0 解析 该直线过原点时， 设直线方程为y ＝kx ，将x ＝－2，y ＝3代入得：k ＝－32，∴直线方程为3x ＋2y ＝0. 当与两坐标轴截距不为零时， 设直线方程为x a －y a＝1， ∵直线过点(－2,3)， 即－2a －3a＝1，得a ＝－5，∴直线方程为x －y ＋5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y ＋5＝0.9．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是______________． 答案 3x ＋2y －6＝0解析 由题意知，直线在y 轴上的截距为3， 则在x 轴上的截距为2，∴该直线截距式方程为x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.三、解答题10．求经过点P (－5，－4)且与两坐标轴围成的面积为5的直线方程．解 设所求直线方程为x a ＋y b ＝1.∵直线过点P (－5，－4)，∴－5a ＋－4b＝1，① 于是得4a ＋5b ＝－ab ，又由已知，得12|a |·|b |＝5， 即|ab |＝10.②由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋5b ＝－ab ，|ab |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－52，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2. 故所求直线方程为x －52＋y 4＝1或x 5＋y －2＝1. 即8x －5y ＋20＝0或2x －5y －10＝0.11．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 边的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0－22， BC 边的中点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋72，y 0＋32， 因为M 在y 轴上，所以x 0＋52＝0得x 0＝－5. 又因为N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3.即C (－5，－3)．(2)由(1)可得M ⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.12．已知三角形的顶点是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)．(1)求直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积；(2)若过点C 的直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围．解 (1)由两点式得直线AB 的方程为y －0－3－0＝x －－53－－5， 整理得3x ＋8y ＋15＝0.直线AB 在x 轴上的截距为－5，在y 轴上的截距为－158，所以直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×5×158＝7516. (2)因为k AC ＝2－00－－5＝25， k BC ＝2－－30－3＝－53.要使过点C 的直线l 与线段AB 相交，结合图形知k ≥25或k ≤－53.。
高中数学必修二(人教a版)课堂达标练：3-2-2直线的两点式方程 含解析
1．过两点A(1,1)，B(0，－1)的直线方程是( )A.y ＋11＋1＝x B.y －1－1＝x －1－1C.y －10－1＝x －1－1－1 D ．y ＝x 解析：直接运用直线的两点式方程．答案：A2．直线x a 2－yb 2＝1在y 轴上的截距是( ) A ．b 2 B ．－b 2 C ．|b| D ．±b解析：直线方程化为x a 2＋y－b 2＝1，故直线在y 轴上的截距为－b 2. 答案：B3．经过点(0，－2)，且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是( )A.x 2＋y －2＝1B.x －2＋y 2＝1 C.x 4＋y 2＝1 D.x 4－y 2＝1 解析：直线在x 轴的截距设为a ，由题意直线在y 轴上的截距为－2，所以－2＋a ＝2，a ＝4.故直线方程为x 4－y 2＝1. 答案：D4．经过点(2,1)，在x 轴上的截距为－2的直线方程是________．解析：设直线方程为x－2＋yb＝1，将(2,1)代入上式，得b＝12，即x－4y＋2＝0.答案：x－4y＋2＝05．已知点A(－3，－1)，B(1,5)，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程．解：M点的坐标是(－1,2)．①设在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若截距a，b不为0时，设方程为x a ＋yb＝1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧－1a＋2b＝1，a＝2b，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝3，b＝32.所求方程为x＋2y－3＝0.②若a＝b＝0时，则此直线过点M(－1,2)和原点(0,0)，方程为y＝－2x.所以，所求直线方程为x＋2y－3＝0或y＝－2x.课堂小结。
高中数学 3.2.2 直线的两点式方程能力提升(含解析)新人教A版必修2
【优化方案】2013-2014学年高中数学 3.2.2 直线的两点式方程能力提升（含解析）新人教A 版必修21．若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值等于( ) A ．2 B.12C ．－2D ．1解析：选B.由题意知，三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则点A 在过点B (a,0)，C (0，b )的直线上，∵直线BC 的方程为x a ＋y b ＝1.∴2a ＋2b＝1， 即1a ＋1b ＝12，故选B. 2．(2013·镇江高一检测)直线l 过点M (－1,2)，且与x 轴，y 轴交于A 、B 两点，若M 恰为AB 的中点，则直线l 的方程为__________．解析：由M (－1,2)恰为AB 的中点知，A (－2,0)，B (0,4)，由截距式得直线l 的方程为x －2＋y 4＝1. 答案：x －2＋y 4＝13．直线4x ＋3y ＋d ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求此直线在x 轴上的截距． 解：因为直线方程为4x ＋3y ＋d ＝0，分别令x ＝0，y ＝0得直线在y 轴，x 轴上的截距分别为－d 3，－d 4. ∴12×|－d 3|×|－d 4|＝6解得d ＝±12， ∴直线在x 轴上的截距为3或－3.4．直线l 过点P (4,1)，(1)若直线l 过点Q (－1,6)，求直线l 的方程；(2)若直线l 在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求直线l 的方程． 解：(1)直线l 的方程为y －16－1＝x －4－1－4，化简，得x ＋y －5＝0.(2)设直线l的方程为y－1＝k(x－4)，l在y轴上的截距为1－4k，在x轴上的截距为4－1 k ，故1－4k＝2(4－1k)，得k＝14或k＝－2，直线l的方程为y＝14x或y＝－2x＋9.。
高一数学人教A版必修2练习3.2.2 直线的两点式方程 Word版含解析
．直线的两点式方程
直线方程的两点式和截距式．
两点式直线方程不能表示与轴或与轴平行的直线．
()截距式中表示在轴上的截距，表示在轴上的截距，它们均可正可负．
()直线＋＝在轴上截距为：－，轴上截距为：．
►思考应用
直线的两点式方程能用＝(≠，≠)代替吗？
解析：不能用之代替．因为此方程中－≠，会比原来方程表示的直线少一点．
．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程()
．可以写成两点式或截距式
．可以写成两点式或斜截式或点斜式
．可以写成点斜式或截距式
．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
．过两点(，)，(，)的直线方程是()
．＝．＝
．＋＝．＝
．在，轴上的截距分别是－，的直线方程是()
＋＝＋＝
－＝＋＝
．直线过点(－，)和(，)，点( ，)在直线上，则的值为() ．．
．．
解析：由两点式可得直线方程为＝，
即＝(＋)．点( ，)代入直线方程得，＝×( ＋)＝.
．过(，)，(，)两点的直线方程是()
＋＝＋＝。
2019-2020学年高中数学人教A版必修2作业与测评：3.2.2 直线的两点式方程 Word版含解析
第23课时 直线的两点式方程A ．2B ．－3C ．－27D ．27 答案 D解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋32＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x＝27．2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，化简，得x ＋y －1＝0．又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m－1＝0，解得m ＝－2．A ．x 2－y 3＝1B ．x 2＋y 3＝1C ．y 3－x 2＝1D ．x 2＋y 3＝0答案 A解析 根据截距式方程x a ＋yb ＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y3＝1，选A ．4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x 答案 B解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝25x ；当直线不过原点时，可设其截距式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y12＝1．故选B ．轴上，求菱形各边所在的直线方程．解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y－3＝1，即3x ＋4y ＋12＝0． 同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．6．已知线段BC 的中点为D3，32．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求BC 所在直线的方程．解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．则直线BC 的截距式方程为x a ＋yb ＝1． 由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，32在直线BC 上， ∴3a ＋32b ＝1，∴6b ＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2－21a ＋54＝0， 即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝92或a ＝6． ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝92，b ＝92或⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3.故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y3＝1， 即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．一、选择题1．有关直线方程的两点式，有如下说法：①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2； ③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)．其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2x 1－x 2的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．2．若直线x a ＋yb ＝1过第一、二、三象限，则( ) A ．a>0，b>0 B ．a>0，b<0 C ．a<0，b>0 D ．a<0，b<0 答案 C解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0． 3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝12x －12D ．y ＝－12x －12 答案 B解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0在反射光线所在的直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －01－0＝x －120－12，即y ＝－2x ＋1． 4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0C ．x ＋y －5＝0D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线方程为x a －ya ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l 的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 答案 C解析 设直线的方程为x a ＋yb ＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，∴1a ＋1b ＝1，12|ab|＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝－22－2，b ＝22－2或⎩⎨⎧a ＝22－2，b ＝－22－2.∴满足条件的直线有3条． 二、填空题6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．答案 －23解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m ＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝1－(－1)－2－1＝－23．7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．答案 x ＋2y ＋8＝0解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋02＝－2，∴a ＝－8，b ＝－4．∴直线l 的方程为x －8＋y－4＝1，即x ＋2y ＋8＝0． 8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．三、解答题9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋y－138＝1．(2)因为BC 边上的中点为(2，3)， 所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1， 即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y－11＝1．10．已知直线l ：x m ＋y4－m＝1．(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4，则S＝m(4－m)2＝－(m－2)2＋42，易知当m＝2时，S有最大值2，此时直线l的方程为x＋y－2＝0．。
2016-2017学年高一数学A版二练习：3.2.2 直线的两点式方程 含解析
3.2.2直线的两点式方程【课时目标】1．掌握直线方程的两点式．2．掌握直线方程的截距式．3．进一步巩固截距的概念．1．直线方程的两点式和截距式名称已知条件示意图方程使用范围两点式P1(x1，y1)，P2（x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2错误!＝错误!斜率存在且不为0截距式在x，y轴上的截距分别为a，b且ab≠0斜率存在且不为0，不过原点2．线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为(x1，y1)、（x2，y2），设P(x，y）是线段P1P2的中点，则错误!．一、选择题1．下列说法正确的是( ）A．方程错误!＝k表示过点M（x1，y1)且斜率为k的直线方程B．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为错误!＋错误!＝1C．直线y＝kx＋b与y轴的交点到原点的距离为bD．不与坐标轴平行或垂直的直线的方程一定可以写成两点式或斜截式2．一条直线不与坐标轴平行或重合,则它的方程（)A．可以写成两点式或截距式B．可以写成两点式或斜截式或点斜式C．可以写成点斜式或截距式D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式3．直线错误!－错误!＝1在y轴上的截距是( ）A．|b| B．－b2C．b2D．±b4．在x、y轴上的截距分别是－3、4的直线方程是( )A．错误!＋错误!＝1 B．错误!＋错误!＝1C．错误!－错误!＝1 D．错误!＋错误!＝15．直线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1在同一坐标系中的图象可能是( ）6．过点（5,2)，且在x轴上的截距（直线与x轴交点的横坐标）是在y轴上的截距的2倍的直线方程是( )A．2x＋y－12＝0B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0C．x－2y－1＝0D．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0二、填空题7．已知点A(1，2),B（3,1），则线段AB的垂直平分线的点斜式方式为______________．8．过点P（6，－2），且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程是________________．9．过点P(1，3)的直线l分别与两坐标轴交于A、B两点,若P 为AB的中点，则直线l的截距式是______________．三、解答题10．已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为错误!，求直线l的方程．11．三角形ABC的三个顶点分别为A（0，4)，B(－2,6），C（－8，0）．（1)求边AC和AB所在直线的方程;(2）求AC边上的中线BD所在直线的方程；（3）求AC边上的中垂线所在直线的方程．能力提升12．已知点A（2,5）与点B(4，－7)，点P在y轴上，若｜PA｜＋｜PB|的值最小,则点P的坐标是________．13．已知直线l经过点(7，1）且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线l的方程．1．直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程,但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑．(1)点斜式应注意过P(x0，y0）且斜率不存在的情况．(2)斜截式，要注意斜率不存在的情况．（3)两点式要考虑直线平行于x轴和垂直于x轴的情况．(4)截距式要注意截距都存在的条件．2．直线方程的几种特殊形式都有明显的几何意义，在求直线方程时，应抓住这些几何特征,求直线方程．3．强调两个问题：（1）截距并非距离，另外截距相等包括截距均为零的情况,但此时不能用截距式方程表示，而应用y＝kx表示．不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线y＝1没有横截距,x＝2没有纵截距．（2)方程y－y1＝错误!(x－x1)（x1≠x2)与错误!＝错误!（x1≠x2，y1≠y2）以及（y－y1)（x2－x1)＝(x－x1）(y2－y1)代表的直线范围不同(想一想，为什么？)．3．2．2 直线的两点式方程答案知识梳理1．错误!＋错误!＝12．错误!错误!作业设计1．A 2．B3．B [令x＝0得，y＝－b2．]4．A5．B ［两直线的方程分别化为斜截式：y＝错误!x－n，y＝错误!x－m,易知两直线的斜率的符号相同，四个选项中仅有B 选项的两直线的斜率符号相同．］6．D ［当y轴上截距b＝0时，方程设为y＝kx，将(5,2)代入得,y＝错误!x，即2x－5y＝0；当b≠0时，方程设为错误!＋错误!＝1，求得b＝错误!，∴选D．]7．y－32＝2（x－2）解析k AB＝－错误!，由k·k AB＝－1得k＝2,AB的中点坐标为错误!,点斜式方程为y－错误!＝2(x－2)．8．错误!＋错误!＝1或错误!＋y＝1解析设直线方程的截距式为错误!＋错误!＝1，则错误!＋错误!＝1，解得a＝2或a＝1，则直线的方程是错误!＋错误!＝1或错误!＋错误!＝1,即错误!＋错误!＝1或错误!＋y＝1．9．错误!＋错误!＝1解析设A（m，0），B(0，n)，由P（1,3）是AB的中点可得m ＝2，n＝6,即A、B的坐标分别为（2,0）、(0,6)．则l的方程为错误!＋错误!＝1．10．解方法一设所求直线l的方程为y＝kx＋b．∵k＝6，∴方程为y＝6x＋b．令x＝0，∴y＝b,与y轴的交点为(0，b）;令y＝0,∴x＝－错误!，与x轴的交点为错误!．根据勾股定理得错误!2＋b2＝37,∴b＝±6．因此直线l的方程为y＝6x±6．方法二设所求直线为错误!＋错误!＝1，则与x轴、y轴的交点分别为（a,0）、（0,b）．由勾股定理知a2＋b2＝37．又k＝－ba＝6，∴错误!解此方程组可得错误!或错误!因此所求直线l的方程为x＋错误!＝1或－x＋错误!＝1．11．解(1)由截距式得错误!＋错误!＝1，∴AC所在直线方程为x－2y＋8＝0，由两点式得错误!＝错误!，∴AB所在直线方程为x＋y－4＝0．（2)D点坐标为（－4，2），由两点式得错误!＝错误!．∴BD所在直线方程为2x－y＋10＝0．（3）由k AC＝错误!，∴AC边上的中垂线的斜率为－2，又D（－4,2），由点斜式得y－2＝－2(x＋4)，∴AC边上的中垂线所在直线方程为2x＋y＋6＝0．12．（0,1）解析要使｜PA|＋|PB｜的值最小，先求点A关于y轴的对称点A′（－2,5),连接A′B,直线A′B与y轴的交点P即为所求点．13．解当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为错误!，∴所求直线方程为y＝错误!x,即x－7y＝0．当直线l不过原点时,设其方程错误!＋错误!＝1，由题意可得a＋b＝0，①又l经过点(7,1)，有错误!＋错误!＝1，②由①②得a＝6，b＝－6，则l的方程为错误!＋错误!＝1，即x－y －6＝0．故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．。
高一数学人教A版必修2课后训练：3.2.2 直线的两点式方程 Word版含解析
课后训练1．直线l经过点A(1,2)，且在x轴上截距为3，则直线l的方程为() A．x－y－3＝0 B．x＋y＋3＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝02．已知M73,2⎛⎫⎪⎝⎭，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线方程为()A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝53．如果直线l过(－4，－6)，(2,6)两点，点(1 005，b)在l上，则b的值为() A．2 010 B．2 011 C．2 012 D．2 0134．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是() A．1 B．－2C．－2或1 D．2或15．过点A(5,2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程为()A．x－y－3＝0B．2x－5y＝0C．2x－5y＝0或x－y－3＝0D．2x＋5y＝0或x＋y－3＝06．斜率为12且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为__________．7．一光线从点A(3,2)发出，经x轴反射后，通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线方程为__________．8．已知点A1,04⎛⎫⎪⎝⎭，B(0,1)，动点P(x，y)在直线AB上运动，则xy的最大值为__________．9．已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC的中点M在y轴上，BC 的中点N在x轴上．(1)求点C的坐标；(2)求直线MN的方程．10．如图所示，一长为3 m，宽为2 m，缺一角A的长方形木板，EF是直线段．木工师傅要在BC的中点M处作EF延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？参考答案1答案：C2答案：B3答案：C4答案：C5答案：C6答案：x－2y＋4＝0或x－2y－4＝07略8答案：1 169答案：(1)C点的坐标为(1，－3).(2)直线MN的方程为2x－10y－5＝010答案：在EB上再截|EN|＝0.3，得点N，连接MN，即可得到满足要求的画线.。
高一数学人教A版必修2课后训练：3.2.2直线的两点式方程 Word版含解析
3.2.2 直线的两点式方程练习1．一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程( )A ．可以写成两点式或截距式B ．可以写成两点式或斜截式或点斜式C ．可以写成点斜式或截距式D ．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式2．过(2,5)、(2，－5)两点的直线方程是( )A ．x ＝5B ．y ＝2C ．x ＋y ＝2D ．x ＝23．如图所示，直线l 的截距式方程是x y a b+＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0 4．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为 ( )A ．－32B ．－23C ．25D ．25．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( )A ．无最小值且无最大值B ．无最小值但有最大值C ．有最小值但无最大值D ．有最小值且有最大值6．过点(0,1)和(－2,4)的直线的两点式方程是__________．7．过点(0,2)和(－3,0)的直线的截距式方程是__________．8．过点(－1,5)，且与直线26x y +＝1垂直的直线方程是__________． 9．求过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程． 10．已知点A (－1,2)，B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线42x y -＝1的直线l 的方程．参考答案1. 答案：B2. 答案：D3. 答案：B4. 答案：A5. 答案：D6. 答案：104241201402y x y x ---+⎛⎫== ⎪----+⎝⎭或 7. 答案：32x y +-＝1 8. 答案：x －3y ＋16＝0 9. 解：设直线方程的截距式为1x y a a ++＝1， 则621a a-++＝1，解得a ＝2或a ＝1， 故直线方程是212x y ++＝1或111x y ++＝1， 即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.10. 解：由题意得M (1,3)，直线42x y -＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12， 所以直线l 的斜率为12. 所以直线l 的方程是y －3＝12 (x －1)，即x －2y ＋5＝0.。
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3.2.2 直线的两点式方程
【选题明细表】
1.下列四个命题中的真命题是( B )
(A)经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
(B)经过任意两个不同点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示
(C)不经过原点的直线都可以用方程+=1表示
(D)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
解析:当直线与y轴重合时,斜率不存在,选项A、D不正确;当直线垂直于x轴或y轴时,直线方程不能用截距式表示,选项C不正确,选项B正确.故选B.
2.已知直线l经过点A(1,-2),B(-3,2),则直线l的方程为( A )
(A)x+y+1=0 (B)x-y+1=0
(C)x+2y+1=0 (D)x+2y-1=0
解析:由两点式得直线l的方程为=,即y+2=-(x-1).故选
A.
3.已知△ABC的三个顶点A(1,2),B(3,6),C(5,2),M为AB的中点,N为AC的中点,则中位线MN所在的直线方程为( A )
(A)2x+y-8=0 (B)2x-y-8=0
(C)2x+y-12=0 (D)2x-y-12=0
解析:由中点坐标公式知M(2,4),N(3,2),由两点式方程知MN所在的直线方程为2x+y-8=0.故选A.
4.过两点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距为( A )
(A)-(B)-(C)(D)2
解析:由直线的两点式方程可得直线方程为=,即2x-y+3=0,令y=0得x=-.故选A.
5.(2018·安徽黄山调研)已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是( D )
(A)1 (B)-1
(C)-2或-1 (D)-2或1
解析:①当a=0时,y=2不合题意.②当a≠0时,令x=0,得y=2+a,令y=0,得x=,则=a+2,得a=1或a=-2.故选D.
6.直线l过点P(1,3),且与x,y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( A )
(A)3x+y-6=0 (B)x+3y-10=0
(C)3x-y=0 (D)x-3y+8=0
解析:设所求的直线方程为+=1.
所以解得a=2,b=6.故所求的直线方程为3x+y-6=0.故选A.
7.已知直线mx-2y-3m=0(m≠0)在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍,则m= .
解析:直线方程可化为-=1,
所以-×4=3,所以m=-.
答案:-
8.已知△ABC的三个顶点为A(0,3),B(1,5),C(3,-5).
(1)求边AB所在的直线方程;
(2)求中线AD所在直线的方程.
解:(1)设边AB所在的直线的斜率为k,则k==2.
它在y轴上的截距为3.所以,由斜截式得边AB所在的直线的方程为y=2x+3.
(2)B(1,5)、C(3,-5),=2,=0,
所以BC的中点D(2,0).
由截距式得中线AD所在的直线的方程为+=1.
9.已知两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy ( D )
(A)无最小值且无最大值(B)无最小值但有最大值
(C)有最小值但无最大值(D)有最小值且有最大值
解析:线段AB的方程为+=1(0≤x≤3),于是y=4(1-)(0≤x≤3),从而xy=4x(1-)=-(x-)2+3,显然当x=∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时,xy取最小值0.故选D.
10.(2018·四川宜宾模拟)过点P(2,3)并且在两坐标轴上截距相等的直线方程为( B )
(A)2x-3y=0
(B)3x-2y=0或x+y-5=0
(C)x+y-5=0
(D)2x-3y=0或x+y-5=0
解析:①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时,
设该直线的方程为x+y=a,
把(2,3)代入所设的方程得a=5,
则所求直线的方程为x+y=5即x+y-5=0;
②当所求的直线与两坐标轴的截距都为0时,
设该直线的方程为y=kx,
把(2,3)代入所求的方程得k=,
则所求直线的方程为y=x,
即3x-2y=0.
综上,所求直线的方程为3x-2y=0或x+y-5=0.故选B.
11.经过A(1,3)和B(a,4)的直线方程为 .
解析:当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;
当a≠1时,由两点式,得=,
即x-(a-1)y+3a-4=0.
这个方程中,对a=1时方程为x=1也满足.
所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.
答案:x-(a-1)y+3a-4=0
12.已知直线l的斜率为6,且被两坐标轴所截得的线段长为,求直线l的方程.
解:设所求直线为+=1,则与x轴、y轴的交点分别为(a,0),(0,b),由勾股定理知a2+b2=37.
又k=-=6,所以
解得或
因此所求直线l的方程是x+=1或-x+=1.
13.某房地产公司要在荒地ABCDE(如图,BC⊥CD)上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发.问:如何设计才能使开发面积最大?并求出
最大面积.(已知|BC|=210 m,|CD|=240 m,|DE|=300 m,|EA|=180 m)
解:以BC所在直线为x轴,AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系xOy,
如图,则A(0,60),B(90,0).
AB所在的直线方程为+=1,即y=60-x.
所以可设P(x,60-x),其中0<x<90,
开发面积S=(300-x)(240-y)=(300-x)[240-(60-x)]=-x2+20x+ 54 000(0<x<90).
当x=-=15,
且y=50时,S取最大值54 150.
即矩形顶点P距离AE 15 m,距离BC 50 m时,面积最大,为54 150 m2.。