王培丽菱形的定义、性质

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菱形的判定和性质

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识（一）菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

（二）菱形的性质：1、具有平行四边形的一切性质；2、菱形四条边都相等；3、菱形的对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4、菱形是轴对称图形；边角对角线对称性菱形对边平行；四边相等对角相等；邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称（三）菱形的判定：1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、四条边都相等的四边形是菱形；（四）菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算（S=21底×高） 2、用对角线计算（面积的两对角线的积的一半 S=21ab)ABCDE二、例题讲解考点一：菱形的判定例1：下列命题正确的是（）（A ）一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形（B ）对角线相等的四边形一定是矩形（C ）两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ）两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形练习1：菱形的对角线具有( ) A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( )A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABCDEA 'DBCA NM O练习4：如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（） ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，则四边形AEDF 是什么四边形？请说明理由．练习1：如图，AD 是Rt △ABC 斜边上的高，BE 平分∠B 交AD 于G ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图，E 是菱形ABCD 边AD 的中点，EF ⊥AC 于点H ，交CB 延长线于点F ，交AB 于点G ，求证：AB 与EF 互相平分。

菱形的性质

菱形的性质菱形是一种具有特殊性质的几何图形，在数学中被广泛研究和应用。

它的定义是一个具有四条边且四个顶点均位于同一平面内的凸四边形，其特点是四条边长度相等且相互垂直，对角线相等并且相互垂直。

本文将从菱形的角度、边角关系、对称性和应用等方面详细探讨菱形的性质。

1.菱形的角度菱形的角度特点非常明显，它的四个顶点内角均为90度。

由于垂直的性质，菱形的对边之间也是垂直的，因此其内角可以分为两组：两个锐角和两个钝角，且两两互补。

2.菱形的边角关系菱形的边角关系是菱形性质研究中的一个重要内容。

我们知道，菱形的四条边长度相等，这意味着菱形的内角也必然相等。

同时，菱形的对角线也相等，从而推断出菱形的四个内锐角和四个内钝角都相等，且每个角都为90度。

此外，由于菱形的两对角线相互垂直，就意味着菱形的两个内锐角和两个内钝角互为补角。

3.菱形的对称性菱形具有很强的对称性，这是菱形性质中的又一个重要方面。

菱形的两条对角线相交于一点，这个点被称为菱形的中心。

菱形的中心是菱形具有对称性的重要标志，它将菱形分成了四个互相对称的部分。

菱形的任意两个对角线可以分别作为对称轴，通过中心点，将菱形分成两个完全相等的部分。

这种对称性使得菱形在艺术、装饰和设计等领域得到了广泛应用。

4.菱形的应用菱形的性质使得它在各个领域得到了广泛的应用。

在数学中，菱形作为一种特殊的四边形，是几何学的基础，研究菱形性质有助于理解和解决更复杂的几何问题。

在艺术和设计中，菱形的对称性和美观性使它成为一种常用的图形元素，经常被用来装饰图案、绘画和雕塑作品。

菱形图案也常常出现在建筑物和城市规划中，如建筑立面、道路划线等。

总结：菱形是具有特殊性质的几何图形，它的四个角均为90度，每条边和对角线长度相等。

菱形具有边角对称性，在艺术、设计和建筑等领域有广泛应用。

研究菱形性质有助于理解几何学的基础知识，同时也为解决相关问题提供了思路和方法。

菱形作为一种简单而美观的图形元素，不仅在数学中具有意义，也在人们的日常生活中起着重要的作用。

王培丽菱形的定义、性质

D
边
菱形的两组对边平行且相等 A
O B 数学语言
C
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等 ∵四边形ABCD是菱形
角
菱形的邻角互补
∠DCA=∠BCA ∠ADC=∠ABC AB ∥ CD ∠ADB=∠CDB 菱形的两条对角线互相平分 ∠ABD=∠CBD AC⊥BD 对角线
∴∴ ∠DAC=∠BAC AD ∥BC ∴ ∠DAB+∠ABC= 180° ∴OA=OC;OB=OD AB=BC=CD=DA ∴ ∴ ∠DAB=∠DCB =
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
有同学是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
(1)观察得到的菱形,它是中心对称图形吗? 它是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴? 对称轴之间有什么位置关系?
菱形是中心对称图形
A B D
菱形是轴对称图形
(2)从图中你能得到哪些结论?并说明理由.
提示:从边、角、对角线、面积等方面来探讨
C
菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质.
由于平行四边形的对边相等，而菱形的邻边相等，故：菱形的性质1：菱形的四条边都相等。又：
A B
D
菱形的性质2：
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
菱形的性质和应用
学习难点：
菱形性质的探究
情景创设
前面我们学习了平行四边形和矩形，知道了如果平行四边形有一个角是直角时,成为什么图形?
(矩形,由角变化得到)
如果从边的角度,将平行四边形特殊化, 又会得到什么特殊的四边形呢?

特殊平行四边形之菱形

特殊平行四边形之菱形编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（特殊平行四边形之菱形）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为特殊平行四边形之菱形的全部内容。

一、菱形的基本定义及性质：１、菱形的定义：在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

２、菱形的性质:二. 菱形的判定:１、判定定理：在同一平面内, （1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2)定理1:四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，而且是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而增加了一些特殊的性质和判定方法. ２、面积计算：菱形的面积：S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半。

三、总结:（1）解题时注意菱形四边相等、对角线垂直这一特点,注意勾股的应用. （2）在平面直角坐标系中利用菱形求点的坐标是今后学习的重点。

例题1如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F,垂足为E,连接DF,则∠CDF等于（）A ．50°B ．60°C ．70°D ．80°例题2在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，过点C 作CD∥AB,且CD=2AB,连接BD ，BD=2．求△ABC 的面积．利用菱形中的边角关系总结规律实例:如图，边长为1的菱形ABCD 中,∠DAB=60°．连结对角线AC ，以AC 为边作第二个菱形ACEF ，使∠FAC=60°．连结AE,再以AE 为边作第三个菱形AEGH 使∠HAE=60°…按此规律所作的第n 个菱形的边长是性质判定综合运用实例:如图，在菱形ABCD 中,AB=BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE=CF,连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H 使DH=BM ，连接AM ，AH，则以下四个结论：①△BDF≌△DCE ；②∠BMD=120°；③△AMH 是等边三角形；④S 四边形ABCD =（2012•贵港)如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上,且BE=CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H 使DH=BM ，连接AM ，AH,则以下四个结论：①△BDF≌△DCE ；②∠BMD=120°；③△AMH 是等边三角形;④S 四边形ABCD = AM 2．其中正确结论的个数是（）例题.在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F,以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．（1)如图1，证明平行四边形ECFG 为菱形；（2）如图2，若∠ABC=90°，M 是EF 的中点，求∠BDM 的度数；（3）如图3，若∠ABC=120°,请直接写出∠BDG 的度数．（答题时间：45分钟) 一、选择题1、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O,AB=5,AC=6，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为( ）A ．22 B ．24 C ．48 D ．442如图，将三角形纸片△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上43的点F 处，且DE∥BC ，下列结论中,一定正确的个数是（）①△BDF 是等腰三角形；②DE=BC ；③四边形ADFE 是菱形；④∠BDF+∠FEC=2∠A ．A ．1B ．2 C ．3 D ．4*3如图，在▱ABCD 中，AE,CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF 为菱形的是( ）A ．AE=AF B ．EF⊥AC C ．∠B=60°D ．AC 是∠EAF 的平分线＊4如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于M ，O,N ，连接AN,CM,则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于E ，F ，连接EF,则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断（）A ．甲正确,乙错误B ．乙正确,甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误**5、如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC=60，△ABE 是等边三角形,M 为对角线BD(不含B 点）上任意一点,将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN,连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形ABCD 的边长为1，则AM+CM 的最小值1；②△AMB≌△ENB;③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN⊥BE;⑤当AM+BM+CM 的最小值为2时,菱形ABCD 的边长为2．A ．①②③B ．②④⑤C ．①②⑤D ．②③⑤ 二、填空题：＊6如图，菱形ABCD 的边长为8cm ，∠A=60°，DE⊥AB 于点E ，DF⊥BC于点F,则四边形BEDF 的面积为 cm 2．*7如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形,图3中有14个菱形，图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是个．＊＊8菱形ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，A （0,6），D （4，0)，将菱形ABCD 先向左平移5个单位长度，再向下平移8个单位长度，然后在坐标平面内绕点O 旋转90°，则边AB 中点的对应点的坐标为．＊＊9已知四边形ABCD 是边长为2的菱形,∠BAD=60°，对角线AC 与BD 交于点O ，过点O 的直线EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．若∠EOD=30°,求CE 的长三、解答题： *10试题（2013•盐城)如图,在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上的一点，连结AE 、BD 且AE=AB ．（1）求证：∠ABE=∠EAD ；（2）若∠AEB=2∠ADB ，求证：四边形ABCD 是菱形．213＊11已知:如图,在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线Array BD于点E，连接EC．（1)求证：AE=EC；（2)当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．＊＊12△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B、C重合)，△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．(1)如图（a）所示，当点D在线段BC上时．探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．。

菱形的判定及知识点归纳

菱形的判定及知识点归纳
菱形怎么判定，定理是什么，相关知识点考生又知晓吗？尚不了解的小伙伴们看过来，下面由小编为你精心准备了“菱形的判定及知识点归纳”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
菱形的判定
① 四条边都相等的四边形是菱形。

② 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形。

③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

菱形知识点归纳
1、菱形的定义 :有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形的性质:⑴ 矩形具有平行四边形的一切性质;
⑵ 菱形的四条边都相等;
⑶ 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

⑷ 菱形是轴对称图形。

提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。

3、菱形的判定方法:
⑴ 定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形。

⑵ 判断方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

⑶ 判断方法2:四条边相等的四边形是菱形。

4、菱形面积的计算:
菱形面积 = 底×高 = 对角线长乘积的一半 S菱形=1/2×ab(a、b 为两条对角线)
归纳:对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长乘积的一半。

希望上面对菱形知识点的总结学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们一定能很好的参加考试工作。

初中数学知识点总结:平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

菱形的定义和性质

菱形的定义和性质
一、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

二、菱形的性质：
1、对角线互相垂直且平分；
2、四条边都相等；
3、对角相等，邻角互补；
4、每条对角线平分一组对角；
5、菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
6、在60度的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的根号3倍；
7、菱形具备平行四边形的一切性质。

三、菱形的判定：
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2、四边相等的四边形是菱形；
3、关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
4、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

菱形性质和判定

菱形知识点回顾1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形：一组邻边相等）2、性质：(1)边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．3、菱形的判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形 4、识别菱形的常用方法(1）先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等． (2）先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD 的四条相等．5、面积：设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab 例题解析1.如图,菱形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，若∠BCO=55°，则∠ADO= ． 2。

如图所示,已知菱形ABCD 中，E 、F 分别在BC 和CD 上,且∠B=∠EAF=60°， ∠BAE=15°，求∠CEF 的度数.3. 如图，在Rt △ABC 中,∠ACB =90°，D 、E 分别为AB ，AC 边上的中点，连接DE ，将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE ,连接AF ,CD ．(1）求证：四边形ADCF 是菱形；（5分)（2)若BC =8，AC =6，求四边形ABCF 的周长．(5分）4. 如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm ，一只电子甲虫，从点A 开始按ABCDAEFGAB …的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm 时停下，则它停的位置是( ）A ．点FB ．点EC ．点AD ．点C第3题图EDCA练习1。

如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（－3，0)，(2，0），点D在y 轴上，则点C的坐标是．2.如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=120°，点E是AB的中点，点F是AC上的一动点,则EF+BF的最小值是．3。

《菱形》知识清单

《菱形》知识清单一、菱形的定义在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后还需要满足一组邻边相等这个条件。

二、菱形的性质1、边菱形的四条边都相等。

这是菱形最显著的特征之一。

因为菱形是平行四边形，平行四边形的对边相等，再加上菱形的一组邻边相等，所以四条边都相等。

2、角菱形的对角相等，邻角互补。

这与平行四边形的角的性质是一致的。

3、对角线菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。

对角线互相垂直这一性质使得菱形具有很多独特的特点和应用。

4、对称性菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线就是其对称轴。

同时，菱形也是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点。

5、面积菱形的面积可以用两种方法计算。

一是底乘以高，二是对角线乘积的一半。

三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

这是根据菱形的定义直接得出的判定方法。

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

可以通过证明对角线互相垂直的平行四边形的四条边相等，从而得出它是菱形。

3、四条边都相等的四边形是菱形。

这是从边的角度来判定菱形。

四、菱形性质与判定的应用1、在几何证明题中经常会利用菱形的性质和判定来证明线段相等、角相等、直线平行或垂直等关系。

例如，如果已知一个四边形的对角线互相垂直且平分，那么就可以判定这个四边形是菱形，进而利用菱形的性质来解决其他问题。

2、在实际生活中的应用菱形在建筑、设计、纺织等领域都有广泛的应用。

在建筑中，菱形的结构具有稳定性和美观性，可以用于窗户、装饰图案等。

在纺织中，菱形的图案常常出现在布料的设计上，增加了美观度和时尚感。

五、与菱形相关的常见题型1、计算类题型给定菱形的边长、对角线长度等条件，计算其面积、周长等。

比如，已知菱形的两条对角线分别为 6 和 8，求菱形的面积。

根据菱形面积等于对角线乘积的一半，可得面积为 6×8÷2 ＝ 24 。

2、证明类题型证明一个四边形是菱形。

菱形的性质

菱形的性质菱形是一种特殊的几何图形，具有一些独特的性质和特征。

它的形状酷似菱形的宝石，因此得名为“菱形”。

在这篇文章中，我们将探讨菱形的性质和其它相关内容。

首先，我们来看一下菱形的定义。

菱形是一个拥有四条相等长度的边的四边形，同时四个角也是相等的，并且相邻的两条边之间夹角为90度。

由于具备四个相等的边和四个相等的角度，菱形具有一些非常独特的性质。

对于菱形来说，最基本的性质之一就是它的对角线相互垂直。

对角线是连接菱形的非相邻顶点的线段，它们交于一个点，这个点称为菱形的“中心点”或“交点”。

这个性质对于解决一些菱形相关的问题十分重要。

另一个菱形的性质是对角线的长度相等。

也就是说，菱形的两条对角线的长度是相等的，这可以通过简单的几何推理得出。

这个性质在许多数学问题的解答中起到了重要的作用。

菱形的另一个有意思的性质是其内角和为360度。

这意味着菱形的四个角度加起来等于360度，与正方形和其他四边形不同。

这个性质可以通过将菱形划分成两个等边三角形并逐一计算每个三角形的内角和来证明。

此外，菱形还具有对称性。

具体来说，一条把菱形分成两个相等部分的线称为“对称线”。

菱形具有两条对称线：一条通过相邻顶点且垂直于每一条边，另一条通过对边的中点。

这个性质使得菱形在很多问题的解决中能够以更简洁和简洁的方式表达出来。

从这些性质中，我们可以看出菱形在几何学中扮演着重要的角色。

它的独特性质使得它成为许多问题的解决方案的基础。

此外，菱形的性质也可以延伸到其他领域，例如统计学、物理学和工程学等。

在日常生活中，我们也可以发现许多与菱形相关的事物和概念。

例如，车辆的标志往往以菱形为基础设计，以便在远处更容易识别。

此外，许多图案和装饰品中也使用了菱形的形状，以增加美感和吸引力。

总之，菱形是一种具有独特性质的几何图形。

它的对角线相互垂直，对角线长度相等，内角和为360度，具有对称性等特点。

这些性质使得菱形在几何学和其他领域中发挥了重要的作用。

菱形的定义及其性质(教案)

教案：菱形的定义及其性质第一章：菱形的定义1.1 引言向学生介绍菱形的概念，并提出问题：“你们认为菱形是什么样的图形？”引导学生通过观察实物或图片来猜测菱形的特征。

1.2 菱形的定义给出菱形的正式定义：“菱形是一个四边形，它的四条边都相等，且对角线互相垂直且平分。

”解释菱形的名称来源，菱形的特点像菱角一样。

1.3 菱形的性质引导学生观察菱形的图形，发现其性质：四条边相等对角线互相垂直对角线平分对方每个角都是直角第二章：菱形的对称性2.1 引言提出问题：“你们认为菱形有什么特殊的对称性吗？”引导学生思考菱形的对称性。

2.2 菱形的对称性给出菱形的对称性定义：“菱形具有轴对称和中心对称的性质。

”解释菱形的轴对称性：菱形有两组对边平行，可以沿两条对角线进行折叠，两边重合。

解释菱心的概念：菱形的中心点是两条对角线的交点，它是菱形的中心对称点。

2.3 菱形的对称性应用引导学生通过实际操作，画出菱形的轴对称和中心对称图形。

让学生尝试解决与菱形对称性相关的问题，如：如果给出一个菱形的一部分，能否确定整个菱形的形状？第三章：菱形的面积计算3.1 引言提出问题：“你们认为如何计算菱形的面积？”引导学生思考菱形面积的计算方法。

3.2 菱形的面积计算公式给出菱形面积的计算公式：“菱形的面积等于对角线之积的一半。

”解释公式背后的原理，通过实际操作或几何证明来说明。

3.3 菱形的面积计算应用引导学生通过实际操作，计算给定菱形的面积。

让学生尝试解决与菱形面积相关的问题，如：如果给出一个菱形的对角线长度，能否计算出其面积？第四章：菱形的构造4.1 引言提出问题：“你们认为如何构造一个菱形？”引导学生思考菱形的构造方法。

4.2 菱形的构造方法给出菱形的构造方法：“通过画两条互相垂直的线段，在对角线上分别标记四个点，连接相邻点即可得到菱形。

”解释菱形构造的原理，通过实际操作或几何证明来说明。

4.3 菱形的构造应用引导学生通过实际操作，尝试构造一个菱形。

八年级菱形的性质知识点

八年级菱形的性质知识点
菱形是一种特殊的四边形，其中所有边的长度相等，对角线相互垂直且长度相等。

在八年级的学习中，菱形的性质是不可避免的一部分。

下面将介绍八年级菱形的性质知识点。

一、菱形的定义
菱形是一种四边形，其四条边长度相等。

又称为矮胖子、斜方形。

二、菱形的性质
1. 对角线垂直
菱形的两条对角线互相垂直，也就是说，对角线相交的角度为90度。

2. 对角线相等
菱形的两条对角线相等，即AC=BD。

3. 平行四边形的性质
菱形的两个对角线将其分成两个直角三角形，这两个直角三角
形是相似的，并且它们分别与菱形三个顶点连成的三角形相似。

另外，如果菱形的两个对角线在顶点处相交，则该菱形是一个
正方形。

4. 对顶角
菱形的四个内角分别为90度、90度、90度和90度，也就是说，菱形的相邻两角和为180度。

三、菱形的应用
1. 计算菱形的面积
菱形的面积可以通过以下公式计算：
面积=对角线 1 ×对角线 2 ÷2
例如，如果菱形的对角线长分别为6厘米和8厘米，那么它的面积为6×8÷2=24平方厘米。

2. 解决几何问题
在许多几何问题中，我们需要使用到菱形的性质。

例如，我们需要计算汽车运动时的最短路径，或者掌握一些建筑物的特殊设计。

四、结论
菱形是一种特殊的四边形，其对角线相互垂直且长度相等。

在八年级菱形的学习中，我们必须掌握其性质，以便能够解决许多几何问题。

此外，菱形还具有漂亮的外观，因此在建筑和工业设计中，它们经常被用来作为特殊形状的元素。

菱形的定义、性质

A
变式：菱形ABCD的周长为16，相邻两角 B 的度数比为1:2．
O
D
⑴求菱形ABCD的对角线的长； C
⑵求菱形ABCD的面积．
(3)求菱形ABCD的高．
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120度，M、 N分别在BC、CD上，且∠EBF=60° 。
求证:△AMN是等边三角形。
A
D
N
B
C M
变式：如图，边长为a的菱形ABCD中， ∠DAB=60度，E是异于A、D两点的动点，F是CD 上的动点，满足AE+CF=a。
△ABC≌△ACD
1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ B ）
A.内角和为360度 B.对角线互相垂直
C.对边平行
D.对角线互相平分
2.下列性质中，菱形具有而矩形不具有的是（ C）
A.轴对称图形
B.邻角互补
C.对角线平分对角 D.对角相等
3.菱形对角线的平方和等于一边平方的（）
A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.8倍
矩形菱形
对边平行且相等
对边平行四边相等
四个角是直角
相互平分且相等
轴对称图形中心对称图
形
对角相等邻角互补
相互平分且垂直
且平分每一组对角
轴对称图形中心对称图
形
已知四边形ABCD是菱形
A
D
12
7 8
相等的线段：AB=CD=AD=BC
OA=OC OB=OD
5 6
O
34
B
C
相等的角：∠DAB=∠BCD ∠ABC =∠CDA
看一看
平行四边形
菱形
菱形:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

菱形的证明方法

菱形的证明方法菱形是几何学中的一个重要概念，它不仅在数学中有着重要的应用，也在日常生活中有着广泛的实际意义。

在几何学中，我们经常会遇到一些关于菱形的性质和证明方法的问题。

本文将详细介绍菱形的证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握菱形的相关知识。

首先，我们来看一下菱形的定义。

菱形是一个具有以下性质的四边形，四条边相等，相邻两条边互相垂直。

根据这个定义，我们可以得出菱形的一些基本性质，菱形的对角线互相垂直且相等，菱形的内角均为直角，菱形的对边互相平行。

这些性质是我们在证明菱形相关问题时经常会用到的重要性质。

接下来，我们将介绍菱形的证明方法。

证明菱形的方法有很多种，下面我们将分别介绍几种常用的证明方法。

首先是利用菱形的定义证明。

根据菱形的定义，我们可以通过证明四边形的四条边相等且相邻两条边互相垂直来证明一个四边形是菱形。

这种证明方法比较直接，只需要根据菱形的定义逐步推导，一般比较容易理解和掌握。

其次是利用菱形的对角线性质证明。

菱形的对角线互相垂直且相等，这一性质在证明菱形时经常会用到。

我们可以通过证明一个四边形的对角线互相垂直且相等来推导出这个四边形是菱形，这种证明方法也比较常见。

另外，还可以利用菱形的内角性质证明。

菱形的内角均为直角，这一性质在证明菱形时也经常会用到。

我们可以通过证明一个四边形的内角均为直角来推导出这个四边形是菱形，这也是一种常用的证明方法。

最后，我们还可以利用菱形的对边平行性质证明。

菱形的对边互相平行，这一性质在证明菱形时同样非常重要。

我们可以通过证明一个四边形的对边互相平行来推导出这个四边形是菱形，这也是一种常见的证明方法。

综上所述，菱形的证明方法有很多种，我们可以根据具体问题的特点选择合适的证明方法。

在实际应用中，我们需要灵活运用这些证明方法，结合具体问题的特点，合理选择证明的步骤，才能更好地解决问题。

希望本文介绍的菱形的证明方法能够帮助读者更好地理解和掌握菱形的相关知识，提高数学解题能力。

《菱形》知识清单

《菱形》知识清单一、菱形的定义在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后在此基础上增加了“一组邻边相等”这个条件。

二、菱形的性质1、边菱形的四条边都相等。

这是菱形最基本也是最显著的特征之一。

因为菱形是平行四边形，平行四边形对边相等，再加上菱形的一组邻边相等，所以四条边都相等。

2、角菱形的对角相等，邻角互补。

这一点与平行四边形的性质相同。

3、对角线（1）菱形的对角线互相垂直且平分。

两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。

（2）菱形的对角线平分一组对角。

也就是说，两条对角线与菱形的边所形成的夹角分别相等。

4、对称性菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。

同时，菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。

5、面积（1）菱形的面积可以用底乘以高来计算。

（2）由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积还可以用对角线乘积的一半来计算。

三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。

这是根据菱形的定义直接得出的判定方法。

2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

因为对角线互相垂直的平行四边形，其四条边都相等，满足菱形的定义。

3、四条边都相等的四边形是菱形。

这是从边的角度直接判定一个四边形为菱形。

四、菱形性质与判定的应用1、在几何证明题中如果已知一个四边形是菱形，那么可以利用菱形的性质来得出边、角、对角线等方面的关系，从而解决问题。

如果要证明一个四边形是菱形，则需要根据给定的条件，选择合适的判定方法进行证明。

2、在实际生活中的应用菱形的图案和结构在建筑、艺术设计、纺织等领域都有广泛的应用。

例如，一些窗户的设计采用菱形的格子，既美观又能保证结构的稳定性；在纺织品的花纹设计中，菱形图案也经常出现。

五、与菱形相关的常见题型1、计算型题目（1）已知菱形的边长、对角线长度等，求菱形的面积、周长等。

（2）根据菱形的面积和其中一条对角线的长度，求另一条对角线的长度。

菱形知识点细总结

菱形知识点细总结首先，菱形的定义非常简单明了，它是一种四条边相等的四边形，同时对角线相交于 90 度。

这样的定义很容易让人联想到正方形，因为正方形也具有这样的性质。

但菱形和正方形之间又有着一些细微的区别，比如菱形的对角线长度不相等，而正方形的对角线长度相等。

这个区别虽然看似微小，但在推导菱形的性质和定理时会有很大的差异。

菱形的性质有很多，其中最基本的性质就是四条边相等。

这个性质直接影响到了菱形的其他性质和定理。

比如菱形的对角线互相垂直平分，这一性质就是基于菱形四条边相等的基础上推导出来的。

菱形的对角线长度也有一定的关系，可以通过勾股定理来推导出菱形的对角线长度。

此外，菱形的内角和为 360 度，这个性质也是其他几何形状所不具备的，它展现了菱形在角度分布上的特殊性。

菱形的定理也是几何学中非常重要的一部分，有很多著名的定理是基于菱形的性质推导出来的。

比如菱形的内角和为 360 度就是一个非常典型的定理，它展示了菱形的对角线和四边角之间的数学关系。

此外，菱形的对角线长度之间也有一定的关系，这个关系可以通过勾股定理和正弦定理来表示。

菱形的面积和周长也是几何学中非常重要的内容，它们可以通过菱形的对角线长度和夹角来计算得出。

除了基本的性质和定理外，菱形在几何学中还有着很多应用价值。

比如在建筑设计中，很多建筑物的地面平面图就是菱形，因为菱形的形状可以使得空间的利用更加合理。

在晶体学中，菱形也是一种常见的多面体，它在晶体的结构和性质研究中有着重要的应用。

在工程设计中，菱形也经常出现在机械传动装置和结构件中，因为它的成型和连接方式非常灵活。

总之，菱形是几何学中非常重要的一种几何形状，它具有很多特殊的性质和定理，对于学习几何学和应用几何学都有着重要的意义。

同时，菱形在现实生活中也有着广泛的应用价值，可以说它在几何学中是不可或缺的一部分。

希望通过本文的细致总结，读者可以更加深入地了解菱形在几何学中的地位和意义。

菱形的证明方法

菱形的证明方法菱形是几何学中常见的图形，它具有独特的性质和特点。

在数学教学中，菱形的性质和证明方法也是重要的内容之一。

本文将介绍菱形的一种证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握菱形的相关知识。

首先，我们来看一下菱形的定义。

菱形是指四边形的四条边都相等的图形，同时具有两条对角线互相垂直且相等的性质。

菱形的性质和证明方法在几何学中具有重要的地位，因此掌握菱形的证明方法对于学生来说是非常重要的。

接下来，我们将介绍一种证明菱形的方法。

假设有一个菱形ABCD，我们要证明它是一个菱形。

首先，我们可以利用菱形的定义来证明它的四条边相等。

我们可以通过计算AB、BC、CD、DA四条边的长度，如果它们相等，那么就可以证明这个四边形是一个菱形。

其次，我们可以利用菱形的对角线性质来证明它的对角线互相垂直且相等。

我们可以利用勾股定理来证明对角线互相垂直，即证明AC^2+BD^2=AB^2+BC^2=CD^2+DA^2。

如果这个等式成立，那么就可以证明对角线互相垂直。

而要证明对角线相等，我们可以利用三角形的全等条件来证明，即证明三角形ABC与三角形CDA全等，或者证明三角形ABD与三角形BCD全等。

通过这样的证明，我们就可以得出对角线相等的结论。

最后，我们还可以利用菱形的对角线平分角的性质来证明它是一个菱形。

我们可以利用角平分线的性质来证明角BAD与角BCD相等，角ABC与角CDA相等。

通过这样的证明，我们也可以得出菱形的结论。

通过以上的证明方法，我们可以清晰地证明一个四边形是一个菱形。

在实际的学习和教学中，我们可以通过练习和实例来加深对菱形的理解，进而掌握菱形的证明方法。

同时，我们还可以通过菱形的性质和证明方法来解决一些相关的数学问题，提高数学解题的能力。

总之，菱形是几何学中重要的图形之一，掌握菱形的性质和证明方法对于学生来说是非常重要的。

通过本文介绍的证明方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握菱形的相关知识，提高数学学习的效果。

菱形的概念

菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的一切性质．对称性：菱形是中心对称图形,对角线的交点是对称中心.边：菱形的对边平行且相等．角：菱形的对角相等对角线：菱形的对角线互相平分菱形是特殊的平行四边形,它有不同于平行四边形的特殊性质：①、菱形的四边相等；②、菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴；③、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.归纳总结：菱形的性质▪①菱形具有平行四边形的一切性质；▪②菱形是中心对称图形，也是轴对称图形；▪③菱形的四边都相等；▪④菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角。

菱形基础知识强化训练一.辨别对错1、有一组邻边相等的四边形是菱形。

( )2、菱形是平行四边形。

( )二.菱形ABCD 中,O 是两条对角线的交点，已知AB ＝5cm,BO=4cm ，则对角线AC 的长为___,BD 的长为____。

（图一）三.如图，已知菱形ABCD 的一条对角线BD 恰好与其边AB 的长相等，求这个菱形的各个内角的度数.四、如图第二题中所示：□ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O（1）若AB=AD ，则□ABCD 是形；（2）若AC=BD ，则□ABCD 是形；（3）若∠ABC 是直角，则□ABCD 是形；（4）若∠BAO=∠DAO ，则□ABCD 是形。

D五、如果已知菱形ABCD 的对角线AC=4cm,BD =3cm,请你求出菱形ABCD 的面积和周长.六、如图，菱形花坛ABCD 的边长为20m ， ∠ABC ＝60度，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积（保留根号）1.已知菱形的周长是12cm ，那么它的边长是______.2.菱形ABCD 中∠ABC ＝60度，则∠BAC ＝_______.3.菱形的两条对角线的长分别为6cm 和8cm ，那么菱形的面积是_____.DA B CDO。

菱形的性质及判定

菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．知识点睛中考要求判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等〞，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的根底。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质【例1】 ☆⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 假设墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，那么1∠=度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，假设2EF =，那么菱形ABCD 的边长是______．例题精讲重、难点【例3】如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，那么OH 的长等于．图1HO DC BA【巩固】 ☆如图，菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，那么DE 的长为【例5】 ☆菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，那么菱形较短的对角线的长度为【巩固】如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，那么菱形的边长为〔〕A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，那么FPC ∠=〔〕A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒E F DBCA图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为〔〕A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒【巩固】菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于．【巩固】如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔〕A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，那么菱形的一个钝角的大小是【例8】如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，假设AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．DCAB 【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF PPF EDC B A【巩固】 ☆：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC ∆．假设60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDCBA三、与菱形相关的几何综合题【例16】等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P 〔A 点除外〕，过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME . ⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，那么其面积为．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，那么PE PC +的最小值为EPDCBA3. 菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，那么另一条对角线的长为________．4.，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．FE DCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．课后练习EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图，BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。

王培丽 菱形的定义、性质

菱形的判定和性质

菱形的性质

王培丽 菱形的定义、性质

特殊平行四边形之菱形

菱形的判定及知识点归纳

菱形的定义和性质

菱形性质和判定

《菱形》 知识清单

菱形的性质

菱形的定义及其性质(教案)

八年级菱形的性质知识点

菱形的定义、性质

菱形的证明方法

《菱形》 知识清单

菱形知识点细总结

菱形的证明方法

菱形的概念

菱形的性质及判定

王培丽菱形的定义、性质

王培丽菱形的定义、性质

《菱形》知识清单

《菱形》知识清单