红对勾文科数学10-2

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第十章·第二节
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4．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中 一个数是另一个数的两倍的概率是________．
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解析：从1,2,3,4中随机取两个数，不同的结果为 {1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共有6个基本 事件．满足一个数是另一个数两倍的取法有 {1,2}，{2,4}共 2 1 两种，∴所求事件的概率P＝6＝3.
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必考部分
必考部分·第十章
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第十章 概率
必考部分·第十章
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第二节
古典概型
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考纲解读 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的 概率.
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基本事件及事件的构成
【例1】
有两颗正四面体的玩具，其四个面上分
别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的 试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩 具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点 数．试写出：
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1．在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的 吗？ 提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和 不发芽的可能性是不相等的．
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2．古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称 古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性 相等
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(2)(ⅰ)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有 可能结果为{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}， {A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}， {A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}．{A5，A9}， {A7，A9}，共15种．
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求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事 件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件， 基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体 应用时可根据需要灵活选择 .
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1．一枚硬币连掷2次，只有一次出现正面的概率为 ( ) 2 A. 3 1 C.3 1 B. 4 1 D.2
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解析：一枚硬币连掷2次，基本事件有(正，正)，(正， 反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出现正面的事件包括 2 1 (正，反)，(反，正)，故其概率为 ＝ . 4 2
答案：D
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2．某学校举行“祖国颂”文艺汇演，高三(1)班选送的 歌舞、配乐诗朗诵、小品三个节目均被学校选中．学校在 安排这三个节目演出顺序时，歌舞节目被安排在小品节目 之前的概率为( 1 A.6 1 C. 2 ) 1 B.3 2 D. 3
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(ⅱ)在该样本的一等品中，综合指标 S 等于 4 的产品编 号分别为 A1，A2，A5，A7，则事件 B 发生的所有可能结果为 {A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5， A7}，共 6 种． 6 2 所以 P(B)＝15＝5.
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自主回顾· 打基础
合作学习· 速通关
提升素养· 破难点
课时作业
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自主回顾·打基础
强根基·固本源
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1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥 的． (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 基本事件 的 和．
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(1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于3”； (3)事件“出现点数相等”． 由于出现的结果有限，每次每颗只能有四种结 果，且每种结果出现的可能性是相等的，所以是古典概 型．由于试验次数少，故可将结果一一列出．
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考情剖析 古典概率的求法是高考热点，几乎每年都涉及，考查的主要内容 是通过题意判断所给事件为古典概型，再就是将基本事件列出或用排 列组合知识算出，由古典概型概率公式求得结果，高考对该考点单独 考查的题型为选择题，填空题、解答题常放到分布列和数学期望中 .
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解析：基本事件的总数是6个，歌舞节目被安排在小品 节目之前的所包含的基本事件的个数为3，故所求的概率等 1 于 . 2
答案：C
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3．分别写有数字1,2,3,4的4张卡片，从这4张卡片中随 机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率 是( ) 1 A.4 1 C. 2 1 B.3 2 D. 3
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【解析】
(1)这个试验的基本事件为
(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． (2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事 件： (1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．
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解：(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b1， 则第一次取1只，第二次取1只，基本事件总数为9个，
①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1， a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)共4个基本事件； ②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本 事件为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)共4个基本事 件．
A1
A2
A3
A4
A5
(1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) A6 A7 A8 A9 A10
(1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2)
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(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品 率； (2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， (ⅰ)用产品编号列出所有可能的结果； (ⅱ)设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综 合指标S都等于4”，求事件B发生的概率． 将试验结果一一列出，按古典概型的计算公式 求解．
2 ∵正方形的边长为1，∴两点距离为 的情况有(O， 2 A)，(O，B)，(O，C)，(O，D)4种，基本事件总数为10种， 4 2 故P＝ ＝ . 10 5 2 答案：5
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合作学习·速通关
抓重点·破疑难
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(2013· 山东卷)某小组共有A，B，C，D，E五位同学， 他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米2)如下表 所示： A 身高 1.69 B C D E 1.82 20.9
1.73 1.75 1.79 25.1 18.5 23.3
体重指标 19.2
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(2)“从中一次任取2只”得到的基本事件总数是3，即 a1a2，a1b1，a2b1，“2只都是正品”的基本事件数是1，所 1 以其概率为P＝ . 3
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简单的古典概型问题
【例2】
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(1)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的 2人身高都在1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在 1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．
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1 答案：3
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5．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机 (等可能)取两点，则该两点间的距离为 ________． 2 2 的概率是
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解析：如图，在正方形ABCD中，
解：(1)从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能 的结果组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)， (B，C)，(B，D)，(C，D)，共6个． 由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的 出现是等可能的． 选到的2人的身高都在1.78以下的事件有：(A，B)， (A，C)，(B，C)，共3个． 因此选到的2人的身高都在1.78以下的概率为 3 1 P＝ ＝ . 6 2
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2．如何判断一个试验是否为古典概型？ 提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特 征：有限性和等可能性．
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3．古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 P(A)＝ .
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【解析】 (1)计算10件产品的综合指标S，如下表： 产品 编号 S A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5
其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该 6 样本的一等品率为 10 ＝0.6，从而可估计该批产品的一等品 率为0.6.
(2013· 天津卷)某产品的三个质量指标分
别为x，y，z，用综合指标S＝x＋y＋z评价该产品的等 级．若S≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中， 随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
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产品编号 质量指标 (x，y，z) 产品编号 质量指标 (x，y，z)
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盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品． (1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求①连续2次取 出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个 为正品，一个为次品所包含的基本事件总数； (2)从中一次任取出2只，求2只都是正品的概率．
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解析：从写有数字1,2,3,4的4张卡片中随机抽取2张， 有12,13,14,23,24,34共6种，取出的2张卡片上的数字之和为 奇数的取法有12,14,23,34共4种，取出的2张卡片上的数字 4 2 之和为奇数的概率是6＝3.
答案：D
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(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件： (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
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解决古典概型问题首先要搞清所求问题是否是古典概型问 题，其判断依据是：1试验中所有可能出现的基本事件只 有有限个；2每个基本事件出现的可能性相等.其次要搞清 基本事件的总数以及所求事件中包含的基本事件的个数， 然后利用古典概型的概率公式求解 .