2016-2017学年安徽省黄山市高二上学期期末质量检测数学(文)试卷(带解析)

绝密★启用前2016-2017学年安徽省黄山市高二上学期期末质量检测数学（文）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．设直线11=0，l2:x−k y+1=0，若l1∥l2，则k=（）A. −1B. 1C. ±1D. 02．命题“∀x∈R，2x>0”的否定是（）A. ∃x0∈R，2x0>0B. ∃x0∈R，2x0≤0C. ∀x∈R，2x<0D. ∀x∈R，2x≤03．空间直角坐标系中，点M(2，5，8)关于x O y平面对称的点N的坐标为（）A. (−2，5，8)B. (2，−5，8)C. (2，5，−8)D. (−2，−5，8)4．已知抛物线x2=4y上一点M到焦点的距离为3，则点M到x轴的距离为（）A. 12B. 1C. 2D. 45．若圆x2+y2−6x+6y+14=0关于直线l:a x+4y−6=0对称，则直线l的斜率是（）A. −32B. 23C. −23D. 66．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7．把双曲线x29−y24=1的实轴变虚轴，虚轴变实轴，那么所得到的双曲线方程为（）A. −x29+y24=1 B. −x24+y29=1 C. x24−y29=1 D. 以上都不对8．下列判断错误的是（）A. 命题“若am2≤bm2，则a≤b”是假命题B. 直线y=12x+b不能作为函数f(x)=1e x图象的切线C. “若a=1，则直线x+y=0和直线x−a y=0互相垂直”的逆否命题为真命题D. “f′(x0)=0”是“函数f(x)在x0处取得极值”的充分不必要条件9．已知f(x)=1x ⋅cos x，则f(π)+f′(π2)=（）A. 0B. 3πC. 2πD. −3π10．如图，一个几何体的三视图是三个直角三角形，则该几何体中最长的棱长等于（）A. 22B. 3C. 33D. 911．已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B点，F为其右焦点，若A F⊥B F，设∠A B F=α，且α∈[π6，π4]，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A. [22，3−1] B. [22，1] C. [22，32] D. [33，63]第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题12．已知a>0，函数f(x)=ax2+b x+c，若x0满足关于x的方程2a x+b=0，则下列选项的命题中为假命题的是（）A. ∃x∈R，f(x)≤f(x0)B. ∃x∈R，f(x)≥f(x0)C. ∀x∈R，f(x)≤f(x0)D. ∀x∈R，f(x)≥f(x0)13．一个长方体的各顶点均在同一球面上，且同一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为__________．14．已知两圆x2+y2=10和(x−1)2+(y−3)2=10相交于A，B两点，则直线A B的方程是__________．15．正三棱柱A B C−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为B C中点，则三棱锥A−B1D C1的体积为__________．16．已知抛物线y2=2p x(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F任作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射影，M为A′B′的中点，给出下列命题：①A′F⊥B′F；②A M⊥B M；③A′F∥B M；④A′F与A M的交点在y轴上；⑤A B′与A′B交于原点.其中真命题是__________．（写出所有真命题的序号）三、解答题≤0. 17．设命题p：实数x满足x2−4a x+3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x−3x−2（1）若a=1且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.18．已知圆C:x2+(y−3)2=4，直线m:x+3y+6=0，过A(−1，0)的一条动直线l与直线m相交于N，与圆C相交于P，Q两点.（1）当l与m垂直时，求出N点的坐标，并证明：l过圆心C；（2）当|P Q|=23时，求直线l的方程.，其中k∈R且k≠0．19．已知函数f(x)=kx2e x（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当k=1时，若存在x>0，使lnf(x)>a x成立，求实数a的取值范围．20．如图1，在Rt△A B C中，∠A B C=60°，A D是斜边B C上的高，沿A D将△A BC折成60°的二面角B−A D−C.如图2.（1）证明：平面A B D⊥平面B C D；（2）在图2中，设E为B C的中点，求异面直线A E与B D所成的角.21．已知函数f(x)=13x3+ax2−b x(a，b∈R).（1）若y=f(x)图象上的点(1，−113)处的切线斜率为−4，求y=f(x)的极大值；（2）若y=f(x)在区间[−1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值.22．已知椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)经过点(1，32)，它的左焦点为F(−c，0)，直线l1:y=x−c与椭圆C交于A，B两点，△A B F的周长为a3.（1）求椭圆C的方程；（2）若点P是直线l2:y=x−3c上的一个动点，过点P作椭圆C的两条切线P M、P N，M，N分别为切点，求证：直线M N过定点，并求出此定点坐标.（注：经过椭圆C:x2a +y2b=1(a>b>0)上一点(x0，y0)的椭圆的切线方程为x0xa2+y0yb2=1）.参考答案1．A【解析】k1=−1−k≠11，解得：k=−1，故选A.2．B【解析】命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”.故选B.3．C【解析】点M(2,5,8)关于x o y平面对称的点横坐标和纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，即N(2,5,−8)，故选C.4．C【解析】根据抛物线的定义可知，点M到焦点的距离和到准线的距离相等，抛物线的准线方程为y=−1，所以点M到x轴的距离为d=3−1=2，故选C.5．A【解析】圆心坐标为(3,−3)，圆心在直线a x+4y−6=0，代入a×3+4×(−3)−6=0，解得a=6，而直线的斜率为k=−a4=−32，故选A.6．B【解析】若“α,β相交”，有可能直线“m,n相交”，所以不是充分条件，反过来，若“α,β不相交”，那α//β，也就能推出m//n，即m,n不异面，这个命题的逆否命题就是“m,n异面”，则α,β相交，所以是必要不充分条件，故选B.7．A【解析】焦点在y轴，a2=4,b2=9，所以得到的双曲线方程为y24−x29=1，故选A.8．D【解析】A.若m=0，等式成立，此时a,b为任意实数，所以是假命题，正确；B.f′(x)=−1e x<0，所以函数上任一点的切线斜率都是负数，不可能是12，也正确；C.两条直线垂直1×1+1×(−a)=0，解得a=1，原命题正确，那么逆否命题也正确；D.应是既不充分也不必要条件，因为f′(x0)=0后，还需判断x0两侧的单调性，判断是否变号，变号才是极值点，反过来，f(x)在x0处取得极值，也不一定f′(x0)=0，例如：y=|x|，在x=0处，就不满足f′(0)=0，所以D不正确，故选D.9．D【解析】f′(x)=−sin x⋅x−cos xx2，f′(π2)=−2π，f(π)=−1π，那么f(π)+f′(π2)=−3π，故选D.10．B【解析】该几何体如下图红色线所示，最长的棱为A D=22+22+1=3，故选B.【点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱.除了熟记这些，还需会根据三视图还原几何体的正放，侧放的位置，另外一个比较有效的方法是将几何体放在正方体或长方体中.11．A【解析】O F=c，所以A B=2c，那么A F=2c⋅sinα，B F=2c⋅cosα，根据对称性可知|A F|+|B F|=2a，2c⋅(cosα+sinα)=2a，整理为ca =1sinα+cosα=2sin(α+π4)，因为α∈[π6,π4]，所以α+π4∈[512π,π2]，计算sin(π6+π4)=24+64，所以22≤ca≤3−1，故选A.【点睛】考查椭圆离心率时，先分析所给的条件是不是有明显的几何关系，如果有就要用上平面几何的性质，比如本题，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，直角三角形内三边的表示，以及椭圆的对称性和椭圆的定义相结合，最后才有用角表示离心率，利用三角函数求范围.12．C【解析】由条件可知，x=−b2a是函数的对称轴，并且f(x0)是函数的顶点，所以f(x0)是函数的最小值，所以C不正确，故选C.13．【解析】设该球的半径为R，则2R=12+22+32=14，所以此球的表面积为S=4πR2= 14π.14．x+3y−5=0【解析】将(x−1)2+(y−3)2=10化为x2+y2−2x−6y=0，两圆方程相减得2x+6y−10=0，即x+3y−5=0，即直线A B的方程是x+3y−5=0.15．1【解析】试题分析：因为正三棱柱A B C−A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3,D为B C中点，所以底面B1D C1的面积为12×2×3=3，A到底面的距离为就是底面正三角形的高3，所以三棱锥A−B1D C1的体积为13×3×3=1．考点：几何体的体积的计算．16．①②③④⑤【解析】因为A，B在抛物线y2=2p x上，由抛物线的定义，得AA′=A F,B B′=B F，又A′，B′分别为A，B在l上的射影，所以A′F⊥B′F，即①正确；取A B的中点N，则M N=12(A F+B F)=12A B，所以A M⊥B M，即②正确；由②得A M平分∠A′A F，所以A′F⊥A M，又因为B M⊥A M，所以A′F∥B M，即③正确；取A B⊥x轴，则四边形A F M A′为矩形，则A′F与A M的交点在y轴上，且A B′与A′B交于原点，即④⑤正确；故填①②③④⑤.点睛：要注意填空题的一些特殊解法的利用，可减少思维量和运算量，如本题中的特殊位置法（取A B⊥x轴）.17．（1）2<x<3；（2）1<a≤2.【解析】试题分析：（1）命题p是一元二次不等式，解得a<x<3a，即1<x<3.命题q是分数不等式，解得2<x≤3，p∧q为真，也就是这两个都是真命题，故取它们的交集得2<x<3；（2）¬p是¬q的充分不必要条件，则p是q的必要不充分条件，即2<x≤3是a<x<3a的真子集，故0<a≤2,3a>a，即1<a≤2.试题解析：（1）由x2−4a x+3a2<0得(x−3a)(x−a)<0,又a>0,所以a<x<3a,当a=1时,1<x<3,即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.q为真时x−3x−2≤0等价于{x−2≠0(x−2)(x−3)≤0,得2<x≤3,即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2<x<3.（2）¬p是¬q的充分不必要条件,即¬p⇒¬q,且¬q⇒¬p, 等价于q⇒p,且p⇒q, 设A={x|a<x<3a}, B={x|2<x<3}, 则B⊂≠A;则0<a≤2,且3a>3所以实数a的取值范围是1<a≤2.考点：一元二次不等式、含有逻辑连接词命题真假性的判断．18．（1）N(−32，−32)；（2）x=−1或4x−3y+4=0.【解析】试题分析：（1）根据两直线垂直k1k2=−1，求得直线l的斜率为3，这样求出直线l的方程，联立两直线方程求交点N的坐标，并代入圆心坐标；（2）根据直线与圆相交，求出点到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出直线的斜率，得到直线l的方程.试题解析：（1）由题意，直线l的方程为y=3(x+1)，将圆心C(0，3)代入方程易知l过圆心C，联立{x +3y +6=0y =3(x +1)得{x =−32y =−32，所以N (−32，−32). （2）当直线l 与x 轴垂直时，易知x =−1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y =k (x +1)， 由|P Q |=2 3，得d ==1，解得k =43.故直线l 的方程为x =−1或4x −3y +4=0. 19．（1）当k <0时，f (x )的增区间是(−∞,0),(2,+∞)，减区间是(0,2)， 当k >0时，f (x )的减区间是(−∞,0),(2,+∞)，增区间是(0,2)（2）(−∞,2e −1) 【解析】试题分析：（1）先求函数导数f ′(x )=−k x (x −2)e x，根据k 的正负讨论导数符号变化规律，进而得单调区间（2）对应不等式有解问题，一般利用变量分离法，转化为对应函数最值问题：a <2ln x −xx最大值，再利用导数求函数g (x )=2ln x −xx,x >0最大值，先求函数导数g ′(x )=2(1−ln x )x 2，再求导函数零点x =e ，列表分析导函数符号变化规律，进而得出单调性，确定极值与最值试题解析：（1）定义域为R ，f ′(x )=−k x (x −2)e x当k <0时，x <0,x >2时，f ′(x )>0；0<x <2时，f ′(x )<0， 当k >0时，x <0,x >2时，f ′(x )<0；0<x <2时，f ′(x )>0所以当k <0时，f (x )的增区间是(−∞,0),(2,+∞)，减区间是(0,2)， 当k >0时，f (x )的减区间是(−∞,0),(2,+∞)，增区间是(0,2) （2）k =1时，f (x )=x 2e x ,x >0，由lnf (x )>a x 得：a <2ln x −xx，设g (x )=2ln x −xx,x >0，g ′(x )=2(1−ln x )x ，所以当0<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0， 所以g (x )在(0,e )上递增，在(e ,+∞)上递减，g max (x )=g (e )=2e −1，所以a 的取值范围是(−∞,2e −1)考点：利用导数求函数单调区间，利用导数求函数最值【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 20．（1）证明见解析；（2）60°. 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用面面垂直的判定定理推证；（2）借助题设及异面直线所成角的定义运用余弦定理求解. 试题解析：（1）证明：因为折起前AD 是B C 边上的高，则当△A B D 折起后， A D ⊥C D ，A D ⊥B D ，又C D ∩B D =D ，则A D ⊥平面B C D ，因为A D ⊂平面A B D ，所以平面A B D ⊥平面B C D ． （2）解：取C D 的中点F ，连结E F ，则E F //B D ， 所以∠A E F 为异面直线A E 与B D 所成的角， 连结A F 、D E ，设B D =2，则E F =1，A D =2 3，C D = 6，D F =3， 在R t ΔA D F 中，A F = AD 2+D F 2= 21，在ΔB C D 中，由题设∠B D C =60°，则B C 2=B D 2+CD 2−2B D ⋅C D cos ∠B D C =28， 即B C =2 7，从而B E =12B C = 7，cos ∠C B D =B D 2+BC 2−CD 22B D ⋅B C=，在△B D E 中，D E 2=B D 2+B E 2−2B D ⋅D E cos ∠C B D =13， 在R t ΔA D E 中，A E = AD +D E =5． 在△A E F 中，cos ∠AE F =AE 2+E F 2−A F 22A E ⋅E F=12，所以异面直线A E 与B D 所成的角为60°.考点：面面垂直的判定定理及余弦定理等有关知识的综合运用. 21．（1）当x =−1时，f (x )取极大值53；（2）最小值为32.【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义可知f (1)=−113 ，f ′(1)=−4 ，解得a =−1,b =3 ，代入函数后求函数的导数，并根据导数零点判断两侧的单调性，求函数的极大值；（2）将问题转化为f ′(x )≤0 ，当x ∈[−1,2] 恒成立，即{f ′(−1)≤0f ′(2)≤0，这样就转化为关于a ,b 的二元一次不等式组，求目标函数z =a +b 的最小值. 试题解析：（1）∵f ′(x )=x 2+2a x −b ，∴由题意可知：f ′(1)=−4，且f (1)=−113， ∴{1+2a −b =−413+a −b =−113得：{a =−1b =3，∴f (x )=13x 3−x 2−3x ，f ′(x )=x 2−2x −3=(x +1)(x −3)，令f ′(x )=0，得x 1=−1，x 2=3，∴当x =−1时，f (x )取极大值53.（2）∵y =f (x )在区间[−1，2]上是单调减函数， ∴f ′(x )=x 2+2a x −b ≤0在区间[−1，2]上恒成立， 根据二次函数图象可知f ′(−1)≤0且f ′(2)≤0，得{1−2a −b ≤04+4a −b ≤0即{2a +b −1≥04a −b +4≤0，作出不等式组表示的平面区域如图：当直线z =a +b 经过交点P (−12，2)时，z =a +b 取得最小值z =−12+2=32，∴z =a +b 的最小值为32.【点睛】导数考查三次函数是比较基本的问题，求导后变为二次函数，所以要熟练掌握二次函数的问题，比如开口，以及与x 轴的交点个数对于函数的单调性和极值的影响，如本题是在某个区间上二次函数恒小于等于0，这样根据二次函数的图象合理转化为不等式组，进行求解. 22．（1）x 24+y 23=1；（2）定点坐标为(43，−1).【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义可知ΔA B F 的周长为4a ，即4a =a 3 ，解得：a =2 ，再代入点的坐标，求得椭圆方程；（2）设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2) ，写出过这两点的切线方程，并代入点P 的坐标，得到直线M N 的方程，求出定点. 试题解析：（1）由题意得：4a =a 3，a 2=4，a =2， 又∵椭圆C 过(1，32)点，∴14+(32)2b2=1，∴b 2=3，∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。