人教A版2018年高中数学选修2-2《微积分》测试章末检测卷含解析

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2018学年高中数学人教A版选修2-2习题模块综合检测基础卷含答案

模块综合检测(基础卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2016·衡水中学高二检测)已知a ，b ∈R ，且2＋a i ，b ＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ，q 的值分别是导学号 10510875( )A ．p ＝－4，q ＝5B ．p ＝－4，q ＝3C ．p ＝4，q ＝5D ．p ＝4，q ＝3[答案] A[解析] 分别将2＋a i ，b ＋i 代入方程得：⎩⎪⎨⎪⎧(2＋a i )2＋p (2＋a i )＋q ＝0①(b ＋i )2＋p (b ＋i )＋q ＝0② 对①②整理由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q －a 2＋4＝0，(p ＋4)a ＝0，pb ＋q ＋b 2－1＝0，p ＋2b ＝0.解得p ＝－4，q ＝5.本题也可以用“韦达定理”求解： 2＋a i ＋b ＋i ＝－p ③，(2＋a i)(b ＋i)＝q ④ 由复数相等的条件对③④整理得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝－p ，a ＋1＝0，2b －a ＝q ，ab ＋2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，p ＝－4，q ＝5.故选A.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝导学号 10510876( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12，∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是导学号 10510877( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是导学号 10510878( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x [答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为导学号 10510879( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i [答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ，故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2017的值为导学号 10510880( )A.20162017B.20152016C.20132014 D ．20142015[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2017＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2017)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12016－12017)＝1－12017＝20162017.7．(2016·潍坊高二检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是导学号 10510881( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为导学号 10510882( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 9．函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为导学号 10510883( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2015·山东理，2)若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝导学号 10510884( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i[答案] A [解析] 因为z1－i＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i ， ∴z ＝1－i.故选A.11．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为导学号 10510885( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n[答案] B[解析] 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．12．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为导学号 10510886( ) A ．(－∞，－1]和[0,1] B ．[－1,0]和[1，＋∞) C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞) [答案] A[解析] y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________.导学号 10510887[答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n－S n )．14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________.导学号 10510888 [答案] (－∞，－53)和(1，＋∞)[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5，令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．(陕西高考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.导学号 10510889[答案] 1[解析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.16．已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且a 1＋a 2＝1，则1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.导学号 10510890[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)(2016·文昌中学高二检测)设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .导学号 10510891[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，①由(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，得3a －4b ＝0②联立①②解得⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35，或⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35.∴z ＝－45－35i 或z ＝45＋35i.18．(本题满分12分)已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列.导学号 10510892[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．19．(本题满分12分)设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率.导学号 10510893[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0，解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3，当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5，当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种， ∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .导学号 10510894 [证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .导学号 10510895(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n<13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加．(2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)．所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13，综上，不等式得证．22．(本题满分12分)(2015·福建文，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.导学号 10510896(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有f ′(x )＝1－x 2x.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x .由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0.解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0，x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。

高中数学人教A版选修2-2学业测评1.6 微积分基本定理 Word版含解析

【解析】由得＝±.如图，由对称性可知，＝＝＝.
【答案】
．已知()＝若(())＝，则＝.
【解析】因为()＝＝，
且＝＝－＝，
所以()＝＋＝，所以＝.
【答案】
三、解答题
．计算下列定积分．
()；
()(＋).
【解】()∵＝
＝[ －(＋)]＝.
()(＋)＝
＝＋(－－)．
．设()＝＋＋(≠)，()＝，′()＝，()＝，求()．
()＝[()＋]＝(＋＋)
＝(＋＋)＝＋＋
＝＋＋＝(＋)＋≥.
所以当＝－时，()的最小值为.
学业分层测评
(建议用时：分钟)
[学业达标]
一、选择题
等于()
．－．
．－．
【解析】＝＝－＝ .
【答案】
．设＝，＝，＝，则，，的大小关系是()
．>>．>>
．>>．>>
【解析】∵＝＝＝，
＝＝＝，＝＝＝，
∴>>.
【答案】
．(·东莞高二检测)已知积分(＋)＝，则实数＝()
．．－
．．－
【解析】(＋)＝＝＋＝，∴＝.
【解】因为()＝，所以＋＋＝，①
′()＝＋，
因为′()＝，所以＋＝，②
()＝
＝＋＋＝，③
由①②③可得＝－，＝，＝.
所以()＝－＋＋.
[能力提升]
．(·石家庄高二检测)若＝－，且>，则的值为()
．．
．．
【解析】＝(－ )
＝－－，故有－－＝－，
解得＝.
【答案】
．如图所示，在边长为的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为()
图

2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第二章

答案：A
8．求证：＋＞ .
证明：因为＋和都是正数，
所以为了证明＋＞，
只需证明( ＋ )2＞( )2，
展开得5＋2 ＞5，即2 ＞0，
此式显然成立，
所以不等式＋＞成立．
上述证明过程应用了()
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
解析：证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知D成立．
答案：D
3．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈N*)，猜想f(x)的表达式为()
A．f(x)＝ B．f(x)＝
C．f(x)＝ D．f(x)＝
解析：f(2)＝，f(3)＝，f(4)＝，猜想f(x)＝ .
答案：B
4．下列四类函数中，具有性质“对任意的x＞0，y＞0，函数f(x)满足[f(x)]y＝f(xy)”的是()
A．把a(b＋c)与loga(x＋y)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logay
B．把a(b＋c)与sin(x＋y)类比，则有sin(x＋y)＝sinx＋siny
C．把a(b＋c)与ax＋y类比，则有ax＋y＝ax＋ay
D．把(a＋b)＋c与(xy)z类比，则有(xy)z＝x(yz)
解析：(xy)z＝x(yz)是乘法的结合律，正确．
A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．(a－b)(a－c)＞0 D．(a－b)(a－c)＜0
解析：要证＜ a
只需证b2－ac＜3a2
∵a＋b＋c＝0，∴b＝－a－c
只需证(－a－c)2－ac＜3a2

【高中同步】2018人教A版选修2-2课时检测(十一) 微积分基本定理 Word版含解析

课时跟踪检测（十一）微积分基本定理层级一学业水平达标1．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛a bF ′(x )d x ＝F ′(b )－F ′(a ) B.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F ′(a )－F ′(b ) C.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (b )－F (a ) D.⎠⎛a b F ′(x )d x ＝F (a )－F (b )解析：选C 由牛顿－莱布尼茨公式知，C 正确． 2.⎠⎛0π(cos x ＋1)d x 等于( ) A ．1 B ．0 C ．π＋1D ．π解析：选D ⎠⎛0π(cos x ＋1)d x ＝(sin x ＋x ) ⎪⎪⎪π＝sin π＋π－0＝π.3．已知积分⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．1D ．－1解析：选A 因为⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，所以⎝⎛⎭⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪10＝k . 所以12k ＋1＝k ，所以k ＝2.4. ⎠⎛－a a|56x |d x ≤2 016，则正数a 的最大值为( ) A ．6 B ．56 C ．36D ．2 016解析：选A ⎠⎛－a a|56x |d x ＝2⎠⎛0a56x d x ＝2×562x 2⎪⎪⎪a0＝56a 2≤2 016，故a 2≤36，即0<a ≤6. 5.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233D.253解析：选C ∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，2≤x ≤3，4－x 2，0≤x ≤2， ∴⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛23(x 2－4)d x ＋⎠⎛02(4－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32＋⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪2＝⎣⎡⎦⎤(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫8－83－0 ＝－3－83＋8＋8－83＝233.6.⎠⎛02(x 2－x )d x ＝_ _________.解析：∵⎝⎛⎭⎫x 33－12x 2′＝x 2－x ，∴原式＝⎝⎛⎭⎫x 33－12x 220＝⎝⎛⎭⎫83－2－0＝23. 答案：237. 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，cos x －1，x >0.则⎠⎛1－1f (x )d x ＝_________. 解析：⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛01(cos x －1)d x ＝13x 3⎪⎪⎪－1＋(sin x －x ) ⎪⎪⎪1＝⎣⎡⎦⎤13×03－13×(－1)3＋[(sin 1－1)－(sin 0－0)] ＝sin 1－23.答案：sin 1－238．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝__________.解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)30＝3＋9＝12. 因为{a n }是等差数列，所以S 10＝10(a 5＋a 6)2＝5(a 5＋a 6)＝12，所以a 5＋a 6＝125. 答案：1259．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值．解：由f (－1)＝2得a －b ＋c ＝2， ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0, ②而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx 10＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2, ③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.法二：设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x ＜－32，6，－32≤x ≤32，4x ，32＜x ≤3.如图，所求积分等于阴影部分面积，即⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x ＝S ＝2×12×(6＋12)×32＋3×6＝45.层级二应试能力达标1．函数F (x )＝⎠⎛0x cos t d t 的导数是( )A ．F ′(x )＝cos xB ．F ′(x )＝sin xC ．F ′(x )＝－cos xD ．F ′(x )＝－sin x解析：选A F (x )＝⎠⎛0xcos t d t ＝sin t ⎪⎪⎪x＝sin x －sin 0＝sin x . 所以F ′(x )＝cos x ，故应选A.2．若函数f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x ＝( )A.56B.12C.23D.16解析：选A ∵f (x )＝x m＋nx 的导函数是f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x ，∴⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2⎪⎪⎪21＝56. 3．若⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则a 的值是( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．2解析：选D ⎠⎛1a⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )a 1＝(a 2＋ln a )－(1＋ln 1)＝(a 2－1)＋ln a ＝3＋ln 2. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝3，a ＞1，a ＝2，∴a ＝2.4．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( ) A ．－1 B ．－13C.13D ．1解析：选B 设⎠⎛01f (x )d x ＝c ，则c ＝⎠⎛01(x 2＋2c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2cx ⎪⎪⎪10＝13＋2c ，解得c ＝－13. 5．函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k ＝________________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2. 由题意得，⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12kx 2－13x 3⎪⎪⎪k0＝12k 3－13k 3＝16k 3＝92，∴k ＝3. 答案：36.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________解析：长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3⎪⎪⎪1＝1，则P ＝S 阴S 1＝13. 答案：137. 已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2及y ＝4－x 2所围成图形的面积(t 为常数)．(1)若t ＝2时，求S 2.(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值．解：(1)当t ＝2时，S 2＝([2－(4－x 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－2x ＝43(2－1)． (2)t ∈(0,2)，S 1＝⎠⎛0t[(4－x 2)－(4－t 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t0＝23t 3， S 2＝⎠⎛t 2[(4－t 2)－(4－x 2)]d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪2t ＝83－2t 2＋23t 3，所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2＋83，S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，令S ′＝0得t ＝0(舍去)或t ＝1，当0<t <1时，S ′<0，S 单调递减，当1<t <2时，S ′>0，S 单调递增，所以当t ＝1时，S min ＝2.8.如图，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标x 1＝0，x 2＝1，所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 22－x 33⎪⎪⎪10＝12－13＝16.抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 两交点的横坐标为 x ′1＝0，x ′2＝1－k ，所以S 2＝(x －x 2－kx )d x ＝⎝⎛⎭⎫1－k 2x 2－x 33＝16(1－k )3，又知S ＝16，所以(1－k )3＝12. 于是k ＝1－312＝1－342.。

2017-2018学年人教A版数学选修2-2课时跟踪检测(十一) 微积分基本定理含解析

课时跟踪检测（十一）微积分基本定理一、选择题1。

错误!(x3＋x2－30）d x等于( ）A．56 B．28C．14 D。

错误!解析：选D 错误!（x3＋x2－30)d x＝错误!x4＋错误!x3－30x错误!＝错误!（44－24）＋错误!（43－23)－30×（4－2)＝错误!。

2.错误!－2错误!d x等于（）A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!解析:选A 错误!－2错误!d x＝错误!－2x2d x＋错误!－2错误!d x＝错误!x3错误!＋错误!错误!＝错误!（x3－x－3)错误!＝错误!错误!－错误!错误!＝错误!。

3．设f(x)＝错误!则错误!f(x）d x等于( ）A。

错误! B.错误!C。

错误!D．不存在解析：选C 错误!f(x)d x＝错误!x2d x＋错误!（2－x)d x＝错误!x3错误!＋错误!错误!＝错误!＋错误!＝错误!.4．计算错误!(1＋错误!)d x的结果为（)A．1 B。

错误!C．1＋错误!D．1＋错误!解析：选C∵错误!错误!d x＝错误!,∴错误!(1＋错误!)d x＝错误!1d x＋错误!错误!d x＝1＋错误!。

5．（江西高考)若f(x）＝x2＋2错误!f(x）d x，则错误!（）A．－1 B．－错误!C.13D．1解析：选B∵f（x)＝x2＋2错误!f(x)d x，∴错误!f（x）d x＝错误!错误!＝错误!＋错误!∴错误!f（x）d x＝－错误!。

二、填空题6．若错误!（2x－3x2）d x＝0,则k＝________.解析：错误!（2x－3x2)d x＝（x2－x3）错误!＝k2－k3＝0，解得k＝0（舍去)或k＝1。

答案：17．计算定积分错误!－1（x2＋sin x）d x＝________.解析:错误!－1（x2＋sin x)d x＝错误!错误!＝错误!。

答案：错误!8．设f(x)＝错误!若f(f(1）)＝1，则a＝________.解析：显然f（1）＝lg1＝0，f(0)＝0＋错误!3t2d t＝t3错误!＝a3，得a3＝1，a＝1.答案：1三、解答题9．计算下列定积分．(1）∫错误!0（sin x－sin 2x)d x;(2）错误!－3(|2x＋3｜＋｜3－2x｜）d x。

2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第三章

A．0 B. C．π D．2π
解析：因为z2＝(cosθ－isinθ)2＝cos2θ－isin2θ，又z2＝－1，所以再由选择项验证得θ＝ .
答案：B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知复数z＝1＋i，则－z＝__________.
解析：－z＝－1－i＝ × －1－i＝－2i.
C．－－ i D. － i
解析：z＝＝＝＝＝－＋ i.
答案：A
10．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的()
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：z＝(a－2i)(1＋i)＝(a＋2)＋(a－2)i，则点M的坐标为(a＋2，a－2)，当a＝1时，坐标为(3，－1)，即点M在第四象限，若点M在第四象限，而a＝1却不一定成立，故“a＝1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件．
18．(本小题满分12分)已知虚数z满足|z|＝1，z2＋2z＋＜0，求z.
解析：设z＝x＋yi(x，y∈R且y≠0)，所以x2＋y2＝1，
则z2＋2z＋＝(x＋yi)2＋2(x＋yi)＋
＝(x2－y2＋3x)＋y(2x＋1)i.
因为z2＋2z＋＜0且y≠0，
所以又x2＋y2＝1，
解得故z＝－ ± i.
答案：C
5．复数 2的共轭复数是()
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
解析： 2＝＝＝－3＋4i，所以 2的共轭复数为－3－4i.
答案：A
6．已知下列命题：
①复数a＋bi不是实数；

2017-2018学年高中新课标数学人教A版选修2-2：第一章章末质量评估检测.含解析

A。

错误!B。

错误!C。

错误!，错误!D.错误!,错误!解析：∵f′(x)＝2x－错误!＝错误!，当0＜x≤错误!时，f′(x)≤0.答案：A5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈［0,1]）的最大值是（)A．1 B.错误!C．0 D．－1解析：f′（x）＝3－12x2，令f′（x）＝0，则x＝－错误!（舍去)或x＝错误!，f（0)＝0，f(1)＝－1，f错误!＝错误!－错误!＝1,∴f（x）在[0，1］上的最大值为1。

答案:A6．函数f（x)＝x3＋ax2＋3x－9,已知f（x)在x＝－3处取得极值，则a＝( )A．2 B．3C．4 D．5解析：f′（x）＝3x2＋2ax＋3，∵f′（－3）＝0.∴3×(－3)2＋2a×（－3)＋3＝0，∴a＝5。

答案:D7．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x）＝1＋e x，则质点沿着与F(x)相同的方向,从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F （x)所做的功是( ）A．1＋e B．eC。

错误!D．e－1解析:W＝错误!F(x)d x＝错误!(1＋e x)d x＝(x＋e x)错误!错误!＝（1＋e）－1＝e.答案：B8．设a＜b，函数y＝(x－a)2（x－b）的图象可能是（）A BC D解析：当x＝a或b时，f(x)＝0，f′（x）＝（x－a）(3x－a－2b），令f′(x)＝0得x＝a或x＝错误!，∵a＜b，∴a＜错误!＜b，∴f（x）在(－∞,a）及错误!上是增函数，在错误!上是减函数，x＝a是函数f（x）的极大值点，x＝错误!是函数f（x）的极小值点．故选C。

答案：C9．设函数f(x)＝x e x，则（)A．x＝1为f（x)的极大值点B．x＝1为f(x）的极小值点C．x＝－1为f（x)的极大值点D．x＝－1为f(x）的极小值点解析：利用导数的乘法法则求解．∵f(x）＝x e x，∴f′(x）＝e x＋x e x＝e x(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即e x(1＋x)≥0,即x≥－1,∴x≥－1时函数y＝f（x）为增函数，同理可求，x＜－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x）取得极小值．答案：D10．已知y＝错误!x3＋bx2＋(b＋2）x＋3是R上的单调增函数，则b的取值范围是( )A．b＜－1或b＞2 B．b≤－2或b≥2C．－1＜b＜2 D．－1≤b≤2解析:y′＝x2＋2bx＋（b＋2)．由于函数在R上单调递增，∴x2＋2bx＋(b＋2）≥0在R上恒成立，即Δ＝(2b)2－4(b＋2）≤0，解得－1≤b≤2。

(人教版)高中数学选修2-2检测模块综合检测A Word版含答案

模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．复数＝(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：∵＝＝＝＝－，∴复数对应的点的坐标为，在第四象限．答案：．函数()＝＋＋的图象在＝处的切线在轴上的截距为( )．．．－．－解析：′()＝＋，′()＝，()＝，－＝(－)，＝时，＝－.答案：．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．．①②③．①③．①．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：．函数＝－－(－<<)有( )．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值解析：′＝－－＝，得＝－，＝，当<－时，′>；当>－时，′<.当＝－时，极大值＝，取不到，无极小值．答案：．函数＝＋的单调递增区间是( )．(，＋∞) ．(－∞，)．．(，＋∞)解析：令′＝－＝>，即(－)(＋＋)>，且≠，得>.答案：．下列计算错误的是( )．＝．))＝．＝．＝解析：由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋>(∈＋)时，在验证＝时，左边的代数式为( ) ．＋＋．＋．．解析：当＝时，不等式左边为＋＋＝＋＋.答案：．函数＝－在(－∞，＋∞)上的减区间是[－]，则( )．＝．＝．＝．≤解析：∈[－]，′＝－≤，且′＝±＝，∴＝，＝.答案：．若，∈，则＋是( )．纯虚数．实数．虚数．不能确定解析：设＝＋，＝＋(，，，∈)，则＋＝(＋)(－)＋(－)(＋)＝(＋)∈.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( ) ．±．．－．解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，所以＝.答案：．函数()的定义域为，(－)＝，对任意∈，′()>，则()>＋的解集为( ) ．(－) ．(－，＋∞)．(－∞，－) ．(－∞，＋∞)解析：设()＝()－(＋)，。

2018年高中数学人教A版选修2-2模块综合检测习题含解析

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C2已知a<0,-1<b<0,则下列各式成立的是()A.a>ab>ab2B.ab2>ab>aC.ab>a>ab2D.ab>ab2>a解析∵-1<b<0,∴0<b2<1,b2>b.又a<0,∴a<ab2<0,ab2<ab.故选D.答案D)3若复数(a∈R)是纯虚数,则复数2a+2i在复平面内对应的点在(A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析-=(a+1)+(1-a)i,由题意得a=-1,所以2a+2i=-2+2i.在复平面内对应的点为(-2,2),即在第二象限.答案B4已知直线y=kx+1与曲线y=x2+ax+b相切于点A(1,3),则a-b等于()A.-4B.-1C.3D.-2解析因为点A(1,3)在直线y=kx+1上,所以k=2.又y=x2+ax+b,则y'=2x+a,所以k=y'|x=1,即2=2×1+a,所以a=0.又点A(1,3)在曲线y=x2+ax+b上,所以b=2,a-b=-2.故选D.答案D5下列推理正确的是()A.因为m>n,m>p,所以m-n>m-pB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)2≥4mnD.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n≥2解析由m>n,m>p可能有m-n<m-p,例如2-1<2-(-1),故选项A不正确;选项B显然不正确;当m,n均为正实数时,lg m,lg n不一定为正数,所以lg m+lg n≥2不一定成立,故选项D不正确.答案C6设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图,则导函数y=f'(x)的图象可能为()解析如图,可知函数f(x)在区间(-∞,0),(0,a)和(b,+∞)内是增函数,f'(x)>0,y=f'(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f'(x)<0,y=f'(x)的图象在x轴的下方.综上可知,D选项正确,故选D.答案D7用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=的项是()(n∈N*)时,第一步验证当n=1时,左边应取A.1C.1+2+3B.1+2D.1+2+3+4解析等式左边的规律是从1一直加到n+3.所以当n=1时,应为1+2+3+4.故选D.答案D8n个连续自然数按规律排成下表:根据规律,从2016到2018,箭头的方向依次为()A.↓→B.→↑C.↑→D.→↓解析由已知可得箭头变化的周期为4,故由答案A9给出以下命题:(1)若f(x)d x>0,则f(x)>0;(2)|sin x|d x=4;得从2016到2018的方向为选项A中所示.(3)F(x)是以T为周期的函数,且F'(x)=f(x),则f(x)d x=其中正确命题的个数为()f(x)d x.A.1解析(1)错误.如B.2-x d x=x2-C.3D.0>0,但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)>0.(2)正确.|sin x|d x=sin x d x+(-sin x)d x=4.(3)正确.f(x)d x=F(x)=F(a)-F(0),f(x)d x=F(x)=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),且当x>0时,f'(x)>0,g'(x)>0,则当x<0时()A.f'(x)>0,g'(x)>0B.f'(x)>0,g'(x)<0C.f'(x)<0,g'(x)>0D.f'(x)<0,g'(x)<0解析由题意可知y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数.因为当x>0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x<0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x<0时,f'(x)>0,g'(x)<0.答案B11下面给出了关于复数的四种类比推理:①复数的加减法运算法则,可以类比多项式的加减法运算法则;②由向量a的性质:|a|2=a2,可以类比得到复数z的性质:|z|2=z2;③关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈R)有两个不同实根的条件是b2-4ac>0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,c∈C)有两个不同复数根的条件是b2-4ac>0;④由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.-其中类比得到的结论正确的是( ) A.①③B.②④C.②③D.①④解析②中|z|2∈R ,而 z 2 不一定是实数.③中复数集中不能比较大小,不能用 b 2-4ac 来确定根的个数.答案 D12 如图,设 T 是直线 x=-1,x=2,y=0 以及过 x=-1,x=2 与 y=x 2 交点的直线围成的直角梯形区域,S 是T 内函数 y=x 2 图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向 T 中随机投一点,则该点落入 S 中的概率为( )A.B.C.D.解析解方程组得曲线 y=x 2 与直线 x=-1 交点的纵坐标 y 1=1;解方程组得曲线 y=x 2 与直线 x=2 交点的纵坐标 y 2=4.所以直角梯形区域 T 的面积为×[2-(-1)]= .又因为阴影部分 S 的面积为-x 2d x=x 3 -=3,所以向 T中随机投一点,则该点落入 S 中的概率为.答案 B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)13 已知 i 是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数 a 的值为.答案-2-14 已知函数 f (x )=在其图象上点(1,f (1))处的切线方程为 y=2x+1,则 f (x )在- --点(-3,f (-3))处的切线方程为 .解析在 y=2x+1 中,令 x=1,得 y=3,所以 f (1)=3,所以 a+b+c=3.对函数 f (x )=ax 2+bx+c 求导得 f'(x )=2ax+b ,则 f'(1)=2a+b=2.由已知得 f (-3)=f (3-2)=f (1)=3,对函数 f (x )=f (-x-2)求导得 f'(x )=-f'(-x-2), 所以 f'(-3)=-f'(3-2)=-2,所以 f (x )在点(-3,f (-3))处的切线方程为 y-3=-2(x+3),即 y=-2x-3.答案 y=-2x-315 设等边三角形 ABC 的边长为 a ,P △是 ABC 内的任意一点,且 P 到三边 AB ,BC ,CA 的距离分别为d 1,d 2,d 3,则有 d 1+d 2+d 3 为定值 a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体 ABCD 的棱长均为a ,P 是四面体 ABCD 内的任意一点,且点 P 到平面 ABC ,平面 ABD ,平面 ACD ,平面 BCD 的距离分别为 d 1,d 2,d 3,d 4,则有 d 1+d 2+d 3+d 4 为定值 .解析在等边三角形 ABC 中,d 1+d 2+d 3= a △为 ABC 的高,类比四面体中,d 1+d 2+d 3+d 4 也应为四面体的高 a.答案 a16 若偶函数 f (x )在 x ∈(0,+∞)时满足 f'(x )>,且 f (1)=0,则不等式 ≥0 的解集是 .解析设 g (x )=(x>0),则 g'(x )=->0,所以 g (x )在(0,+∞)内是增函数.当 x>0 时,由 ≥0= ,得 x ≥1;当 x<0 时,-x>0, ≥0⇔ ≤0⇔ - ≤0⇔-x ≤1,所以-1≤x<0.- -答案[-1,0)∪[1,+∞)三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)若复数 z 1 满足 z 1=i(2-z 1)(i 为虚数单位).(1)求 z 1; (2)求| |;(3)若|z|=1,求|z-z 1|的最大值.分析先由已知条件求出复数 z 1,再利用复数模的定义及其几何意义求解.解(1)由 z 1=i(2-z 1),得 z 1==1+i .(2)| |=|z 1|=.(3)|z-z 1|表示复数 z 与 z 1 分别对应的点 Z 与 Z 1 间的距离,Z 在圆 x 2+y 2=1 上,Z 1(1,1),显然 Z ,Z 1 间的最大距离为 +1,即|z-z 1|的最大值为 +1.18(12 分)设两抛物线 y=-x 2+2x ,y=x 2 所围成的图形为 M ,求 M 的面积.分析先求得两抛物线的交点坐标,再作出草图,结合图形求解.-解解方程组得两抛物线的交点坐标为(0,0),(1,1).函数 y=-x 2+2x 与 y=x 2 在同一坐标平面内的图象如图所示,由图可知,图形 M 的面积为(-x 2+2x-x 2)d x=(-2x 2+2x )d x= - .所以 M 的面积为 .19(12 分)△已知 ABC 的三边长分别为 a ,b ,c ,且其中任意两边长均不相等.若成等差数列,比较与的大小,并证明你的结论.解大小关系为,证明如下:要证,只需证,因为 a ,b ,c>0,所以只需证 b 2<ac. 因为成等差数列,所以≥2.所以 b 2≤ac.又 a ,b ,c 任意两边均不相等,所以 b 2<ac 成立. 故所得大小关系正确.20(12 分)△设 ABC 的两个内角 A ,B 所对的边分别为 a ,b ,复数 z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,若复数 z 1· z 2为纯虚数,试判断△ABC 的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解.△解 ABC 为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为 z 1=a+b i,z 2=cos A+icos B ,所以z1·z2=(a cos A-b cos B)+i(a cos B+b cos A).又z1·z2为纯虚数,所以①②由①及正弦定理,得sin A cos A=sin B cos B,即sin2A=sin2B.因为A,B△为ABC的内角,所以0<2A<2π,0<2B<2π,且2A+2B<2π.所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=.也就是A=B或C=.由②及正弦定理,得sin A cos B+sin B cos A≠0,即sin(A+B)≠0.因为A,B△是ABC的内角,所以0<A+B<π.所以sin(A+B)≠0成立.综上所述,知A=B或C=.故ABC为等腰三角形或直角三角形.△21(12分)已知函数f(x)=e x(ax2+a+1)(a∈R).(1)若a=-1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)≥对任意x∈[-2,-1]恒成立,求实数a的取值范围.解(1)当a=-1时,f(x)=-x2e x,f(1)=-e.f'(x)=-2x e x-x2e x.因为切点为(1,-e),则k=f'(1)=-3e,所以f(x)在点(1,-e)处的切线方程为y=-3e x+2e.(2)由题意得,f(-2)=e-2(4a+a+1)≥,解得a≥.f'(x)=e x(ax2+2ax+a+1)=e x[a(x+1)2+1].因为a≥,所以f'(x)>0恒成立,所以f(x)在[-2,-1]上单调递增.要使f(x)≥恒成立,则f(-2)=e-2(4a+a+1)≥,即a≥.故实数a的取值范围是.22(14分)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求 f (x )的单调区间;(2)若 f (x )存在极值点 x 0,且 f (x 1)=f (x 0),其中 x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3;(3)设 a>0,函数 g (x )=|f (x )|,求证:g (x )在区间[0,2]上的最大值不小于 .(1)解由 f (x )=(x-1)3-ax-b ,可得 f'(x )=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:①当 a ≤0 时,有 f'(x )=3(x-1)2-a ≥0 恒成立,所以 f (x )的单调递增区间为(-∞,+∞).②当 a>0 时,令 f'(x )=0,解得 x=1+,或 x=1- .当 x 变化时,f'(x ),f (x )的变化情况如下表:-∞,- ,3a3,x1- 1+f'(x ) + 0 - 0 +f (x )单调递极大单调递极小单调递增值减值增所以 f (x )的单调递减区间为 -,单调递增区间为 --.(2)证明因为 f (x )存在极值点,所以由(1)知 a>0,且 x 0≠1.由题意,得 f'(x 0)=3(x 0-1)2-a=0,即(x 0-1)2= ,进而f (x 0)=(x 0-1)3-ax 0-b=- x 0- -b.又 f (3-2x 0)=(2-2x 0)3-a (3-2x 0)-b= (1-x 0)+2ax 0-3a-b=- x 0- -b=f (x 0),且 3-2x 0≠x 0,由题意及(1)知,存在唯一实数 x 1 满足 f (x 1)=f (x 0),且 x 1≠x 0,因此 x 1=3-2x 0.所以 x 1+2x 0=3.(3)证明设 g (x )在区间[0,2]上的最大值为 M ,max{x ,y }表示 x ,y 两数的最大值.下面分三种情况讨论:①当 a ≥3 时,1-≤0<2≤1+ ,由(1)知,f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以 f (x )在区间[0,2]上的取值范围为[f (2),f (0)],因此 M=max{|f (2)|,|f (0)|}=max{|1-2a-b|,|-1-b|}=max{|a-1+(a+b )|,|a-1-(a+b )|}=-- - .所以 M=a-1+|a+b|≥2.②当 ≤a<3 时,1-≤0<1- <1+ <2≤1+ ,由(1)和(2)知 f (0)≥f - =f3 3,f (2)≤f 1+23 3=f 1-3 3,所以 f (x )在区间[0,2]上的取值范围为-,因此M=max-=max-----=max-=+|a+b|≥.③当0<a<时,0<1-<1+<2,由(1)和(2)知f(0)<f-=f,f(2)>f=f-,所以f(x)在区间[0,2]上的取值范围为[f(0),f(2)],因此M=max{|f(0)|,|f(2)|}=max{|-1-b|,|1-2a-b|} =max{|1-a+(a+b)|,|1-a-(a+b)|}=1-a+|a+b|>.综上所述,当a>0时,g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.。

2017-2018学年人教A版数学选修2-2模块综合检测(二)含解析

模块综合检测(二)（时间120分钟，满分150分）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)1．（辽宁高考)设复数z满足（z－2i)(2－i）＝5，则z＝（）A．2＋3i B．2－3iC．3＋2i D．3－2i解析：选A z＝错误!＋2i＝错误!＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r,则r＝错误!；类比这个结论可知:四面体PABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体PABC的体积为V，则r＝（）A.错误!B。

错误!C.错误!D.错误!解析:选C 将△ABC的三条边长a，b，c类比到四面体PABC 的四个面面积S1,S2，S3,S4,将三角形面积公式中系数错误!，类比到三棱锥体积公式中系数错误!，从而可知选C。

证明如下：以四面体各面为底，内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V，∴V＝错误!S1r＋错误! S2r＋错误!S3r＋错误!S4r，∴r＝错误!.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈;②雅安人是中国人;③雅安人一定坚强不屈"中,其中“大前提”和“小前提”分别是（)A．①②B．①③C．②③D．②①解析:选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈）”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)"，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论（③雅安人一定坚强不屈）”．故选A.4．设函数f（x）＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则错误!错误!f(－x）d x的值等于（)A。

错误! B.错误!C。

错误!D。

错误!解析：选A 由于f(x）＝x m＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f（x)＝x2＋x,于是错误!错误!f（－x)d x＝错误!错误!（x2－x)d x＝错误!错误!＝错误!.5．在数列{a n}中，a1＝错误!,且S n＝n（2n－1)a n,通过求a2，a3，a4,猜想a n的表达式为( )A。

高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.6微积分基本定理含答案

微积分根本定理[学习目的]1．直观理解并掌握微积分根本定理的含义． 2．会利用微积分根本定理求函数的定积分． [知识链接]1．导数与定积分有怎样的联络？答导数与定积分都是微积分学中两个最根本、最重要的概念，运用它们之间的联络，我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算．2．在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？答根据定积分与曲边梯形的面积的关系知：图(1)中S ＝⎠⎛ab f (x )d x ，图(2)中S ＝－⎠⎛ab f (x )d x ，图(3)中S ＝⎠⎛0b f (x )d x －⎠⎛a0f (x )d x .[预习导引] 1．微积分根本定理假设f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )．2．函数f (x )与其一个原函数的关系 (1)假设f (x )＝c (c 为常数)，那么F (x )＝cx ； (2)假设f (x )＝x n (n ≠－1)，那么F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)假设f (x )＝1x ，那么F (x )＝ln_x (x >0)；(4)假设f (x )＝e x ，那么F (x )＝e x ；(5)假设f (x )＝a x，那么F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)假设f (x )＝sin x ，那么F (x )＝－cos_x ； (7)假设f (x )＝cos x ，那么F (x )＝sin_x .要点一求简单函数的定积分例1 计算以下定积分 (1)⎠⎛123d x ； (2)⎠⎛02(2x ＋3)d x ；(3)⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ； (4)⎠⎛12(x －1)5d x .解 (1)因为(3x )′＝3，所以⎠⎛123d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3，所以⎠⎛2(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2，所以⎠⎛3－1(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1 ＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5，所以⎠⎛21(x －1)5d x＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6 ＝16. 规律方法 (1)用微积分根本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )． (2)本卷须知：①有时需先化简，再求积分；②f (x )的原函数有无穷多个，如F (x )＋c ，计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c .跟踪演练1 求以下定积分： (1)∫π20(3x ＋sin x )d x ；(2)⎠⎛21⎝⎛⎭⎫e x －1x d x . 解 (1)∵⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ′＝3x ＋sin x ， ∴∫π20(3x ＋sin x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2－cos x ⎪⎪⎪⎪π20＝⎣⎡⎦⎤32×⎝⎛⎭⎫π22－cos π2－⎝⎛⎭⎫32×0－cos 0＝3π28＋1； (2)∵(e x －ln x )′＝e x －1x，∴⎠⎛21(e x－1x )d x ＝()e x －ln x ⎪⎪⎪21＝(e 2－ln 2)－(e －0) ＝e 2－e －ln 2.要点二求较复杂函数的定积分例2 求以下定积分：(1)⎠⎛41x (1－x )d x ； (2)∫π202cos 2x2d x ；(3)⎠⎛41(2x ＋1x)d x . 解 (1)∵x (1－x )＝x －x ，又∵⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2′＝x －x .∴⎠⎛41x (1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪41 ＝⎝⎛⎭⎫23×432－12×42－⎝⎛⎭⎫23－12＝－176. (2)∵2cos 2x2＝1＋cos x ，(x ＋sin x )′＝1＋cos x ，∴原式＝∫π20(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π20＝π2＋1.(3)∵⎝⎛⎭⎫2xln 2＋2x ′＝2x ＋1x，∴⎠⎛41(2x ＋1x)d x ＝⎝⎛⎭⎫2xln 2＋2x ⎪⎪⎪41＝⎝⎛⎭⎫24ln 2＋24－⎝⎛⎭⎫2ln 2＋2＝14ln 2＋2. 规律方法求较复杂函数的定积分的方法：(1)掌握根本初等函数的导数以及导数的运算法那么，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求解，详细方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限．跟踪演练2 计算以下定积分： (1)∫π30(sin x －sin 2x )d x ；(2)⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x .解 (1)sin x －sin 2x 的一个原函数是－cos x ＋ 12cos 2x ，所以∫π30(sin x －sin 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－cos x ＋12cos 2x ⎪⎪⎪⎪π30＝⎝⎛⎭⎫－12－14－⎝⎛⎭⎫－1＋12＝－14. (2)∵e x (1＋e x )＝e x ＋e 2x ， ∴⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ′＝e x ＋e 2x ， ∴⎠⎛0ln 2e x (1＋e x )d x ＝⎠⎛0ln 2()e x ＋e 2x d x＝⎝⎛⎭⎫e x ＋12e 2x ⎪⎪⎪ln 2＝e ln 2＋12e 2ln 2－e 0－12e 0＝2＋12×4－1－12＝52.要点三定积分的简单应用例3 f (a )＝⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值．解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛10(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10＝23a －12a 2，即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.规律方法定积分的应用表达了积分与函数的内在联络，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进展性质、最值等方面的考察，解题过程中注意体会转化思想的应用．跟踪演练3 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛10f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c的值．解由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2. ① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0， ②而⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋bx ＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2， ③由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4. 要点四求分段函数的定积分例4 计算以下定积分：(1)假设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (x ≤0)cos x －1 (x >0)，求∫π2－1f (x )d x ；(2)⎠⎛30|x 2－4|d x .解 (1)∫π2－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋∫π20(cos x －1)d x ，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2，(sin x －x )′＝cos x －1∴原式＝13x 3⎪⎪⎪0－1＋(sin x －x )⎪⎪⎪⎪π20＝⎝⎛⎭⎫0＋13＋⎝⎛⎭⎫sin π2－π2－(sin 0－0) ＝43－π2.(2)∵|x 2－4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4 (x ≥2或x ≤－2)，4－x 2 (－2<x <2)，又∵⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ′＝x 2－4，⎝⎛⎭⎫4x －13x 3′＝4－x 2， ∴⎠⎛30|x 2－4|d x ＝⎠⎛20(4－x 2)d x ＋⎠⎛32(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3⎪⎪⎪20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x ⎪⎪⎪32 ＝⎝⎛⎭⎫8－83－0＋(9－12)－⎝⎛⎭⎫83－8＝233. 规律方法 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．跟踪演练4 求⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解 ∵|2x ＋3|＋|3－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x <－32，6，－32≤x ≤32，4x ，x >32，∴⎠⎛3－3(|2x ＋3|＋|3－2x |)d x＝∫－32－3(－4x )d x ＋∫32－326d x ＋∫3324x d x＝－2x 2⎪⎪⎪⎪－32－3＋6x ⎪⎪⎪32－32＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝45.1．∫π2－π2(1＋cos x )d x 等于( )A ．πB ．2C ．π－2D ．π＋2答案 D解析 ∵(x ＋sin x )′＝1＋cos x ， ∴⎪⎪∫π2－π2(1＋cos x )d x ＝(x ＋sin x )π2－π2＝π2＋sin π2－⎣⎡⎦⎤－π2＋sin ⎝⎛⎭⎫－π2＝π＋2. 2．假设⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，那么a 的值是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2答案 D解析 ⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝⎠⎛1a 2x d x ＋⎠⎛1a 1xd x ＝x 2|a 1＋ ln x ⎪⎪a1＝a 2－1＋ln a ＝3＋ln 2，解得a ＝2.3．⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝________. 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪⎪20－x 2320＝83－43＝43. 4．f (x )＝⎩⎨⎧4x －2π，0≤x ≤π2，cos x ，π2<x ≤π，计算⎠⎛0πf (x )d x .解 ⎠⎛0πf (x )d x ＝∫π20f (x )d x ＋错误!f (x )d x＝∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ，取F 1(x )＝2x 2－2πx ，那么F 1′(x )＝4x －2π；取F 2(x )＝sin x ，那么F 2′(x )＝cos x .所以∫π20(4x －2π)d x ＋错误!cos x d x ＝(2x 2－2πx )错误!＋sin x ⎪⎪⎪ππ2＝－12π2－1，即⎠⎛0πf (x )d x ＝－12π2－1.1．求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分．(2)假设被积函数是分段函数，根据定积分“对区间的可加性〞，分段积分再求和．(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分．2．由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、根底达标1．物体做变速直线运动的位移函数s ＝s (t )，那么以下命题正确的选项是( ) ①它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝s (t )⎪⎪ba ； ②它在某一时刻t ＝t 0时，瞬时速度是v ＝s ′(t 0)； ③它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝li m n →∞∑i ＝1n b －a n s ′(ξi )； ④它在时间段[a ，b ]内的位移是s ＝⎠⎛ab s ′(t )d t .A ．①B ．①②C ．①②④D ．①②③④答案 D2．假设F ′(x )＝x 2，那么F (x )的解析式不正确的选项是( ) A ．F (x )＝13x 3B ．F (x )＝x 3C ．F (x )＝13x 3＋1D ．F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析假设F (x )＝x 3，那么F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，应选B. 3．⎠⎛01(e x ＋2x )d x 等于( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1答案 C解析 ⎠⎛01(e x ＋2x )d x ＝(e x ＋x 2)|10＝(e 1＋12)－(e 0＋02)＝e.4．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，那么⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32 B ．43C ．23D ．－23答案 B解析 ⎠⎛1－1f (x )d x ＝⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋1＝13＋1＝43，应选B. 5．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，假设⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，那么x 0的值为________．答案33解析由得13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴x 20＝13，又∵0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 6．(20xx·湖南)假设⎠⎛0T x 2d x ＝9，那么常数T 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 7．⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x ＝2a ＋6且f (t )＝⎠⎛0t (x 3＋ax ＋3a －b )d x 为偶函数，求a ，b 的值．解 ∵f (x )＝x 3＋ax 为奇函数， ∴⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＝0，∴⎠⎛1－1(x 3＋ax ＋3a －b )d x＝⎠⎛1－1(x 3＋ax )d x ＋⎠⎛1－1(3a －b )d x＝0＋(3a －b )[1－(－1)]＝6a －2b . ∴6a －2b ＝2a ＋6，即2a －b ＝3， ①又f (t )＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤x 44＋a 2x 2＋(3a －b )x t 0 ＝t 44＋at 22＋(3a －b )t 为偶函数， ∴3a －b ＝0，② 由①②得a ＝－3，b ＝－9. 二、才能提升8．∫π20sin 2x2d x 等于( )A.π4B ．π2－1C ．2D ．π－24答案 D解析 ∫π20sin 2x 2d x ＝∫π201－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，应选D. 9．(20xx·江西)假设S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，那么S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ． S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.假设f [f (1)]＝1，那么a ＝________.答案 1解析因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3|a 0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1.11．设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式．解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，那么 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛a1b x d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝513a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝3.即f (x )＝4x ＋3.12．假设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值．解由积分的性质，知： ⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x ＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 三、探究与创新13．求定积分⎠⎛3－4|x ＋a |d x . 解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛3－4(x ＋a )d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时，原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛3－a(x ＋a )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a －4＋ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252. (3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛3－4[－(x ＋a )]d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫－x 22－ax 3－4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛3－4|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。

2018版数学选修2-2学案：章末检测一含答案精品

章末检测(一)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线的斜率为________．答案 2解析 ∵y ′＝cos x ＋e x ， ∴k ＝y ′|x ＝0＝cos0＋e 0＝2. 2．函数f (x )＝x e x －e x ＋1的单调增区间是________．答案 (e －1，＋∞)解析 f ′(x )＝e x ＋x e x －e x ＋1＝(x －e ＋1)e x ，令f ′(x )＞0，得x ＞e －1.3．设f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f (x )的单调增区间为________．答案 (2，＋∞)解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2(x ＋1)(x －2)x，令f ′(x )>0，可得x >2.∴f (x )的单调增区间为(2，＋∞)．4．若曲线y ＝kx ＋ln x 在点(1，k )处的切线平行于x 轴，则k ＝________. 答案－1解析求导得y ′＝k ＋1x，依题意k ＋1＝0，所以k ＝－1.5．给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′.若f ″(x )<0在D 上恒成立，则在D 上为凸函数．以下四个函数在(0，3π4)上是凸函数的个数为________． ①f (x )＝－x 3＋2x －1； ②f (x )＝ln x －2x ； ③f (x )＝sin x ＋cos x; ④f (x )＝x e x .答案 3解析 ①对于f (x )＝－x 3＋2x －1， f ′(x )＝－3x 2＋2，f ″(x )＝－6x ，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )<0，故为凸函数；②对于f (x )＝ln x －2x ，f ′(x )＝1x－2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )<0，故为凸函数；③对于f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )<0，故为凸函数；④对于f (x )＝x e x ，f ′(x )＝(x ＋1)e x ， f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈(0，3π4)时，f ″(x )>0，故不是凸函数．6．已知函数f (x )＝x －a ln x 在区间(0,2]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析函数的导数为f ′(x )＝1－ax.若函数f (x )＝x －a ln x 在区间(0,2]上单调递减，则等价为f ′(x )≤0在(0,2]上恒成立，即1－a x ≤0，即ax ≥1，即a ≥x ，∵0<x ≤2，∴a ≥2.7．若函数f (x )＝x 2＋a ln x 在区间(1，＋∞)上存在极小值，则a 的取值范围为________．答案 (－∞，－2)解析 ∵f (x )＝x 2＋a ln x ，∴f ′(x )＝2x 2＋a x(x >0)．设g (x )＝2x 2＋a ，∵函数f (x )＝x 2＋a ln x 在区间(1，＋∞)上存在极小值，∴g (1)＝2＋a <0，∴a <－2.8．已知a <0，函数f (x )＝ax 3＋12aln x ，且f ′(1)的最大值是－12，则实数a 的值为________．答案－2解析 f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝3ax 2＋12ax ，f ′(1)＝3a ＋12a .令F (a )＝3a ＋12a(a <0)，则F ′(a )＝3－12a 2＝3(a 2－4)a 2＝3(a ＋2)(a －2)a 2，∴F (a )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减， ∴F (a )max ＝F (－2)．∴a ＝－2.9．若函数f (x )＝x x 2＋a (a >0)在[1，＋∞)上的最大值为33，则实数a 的值为________．答案3－1解析 f ′(x )＝a －x 2(x 2＋a )2，当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当－a <x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．若a ≥1，即a ≥1，则当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (a )＝a 2a ＝33，解得a ＝32<1，不合题意， ∴a <1，且当x ∈[1，＋∞)时，f (x )max ＝f (1)＝11＋a ＝33，解得a ＝3－1，满足a <1.10．已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (1)存在惟一的零点x 0，且x 0>0，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－2)解析若a ＝0，令f (x )＝0，解得x ＝±33，不合题意．若a >0，则f (－1)＝－a －2<0，f (0)＝1>0，所以f (x )存在负的零点，不合题意．若a <0，则f ′(x )＝3ax (x －2a )，可得f (2a )＝1－4a2为极小值，则1－4a 2>0，解得a >2或a <－2，故a <－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2)．11．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，满足xf ′(x )＋2f (x )＝1x 2，且f (1)＝2，则函数f (x )的最大值为________．答案 e 32解析由xf ′(x )＋2f (x )＝1x 2，变形为[x 2f (x )]′＝(ln x )′，∴f (x )＝ln x ＋cx 2，∵f (1)＝2，∴c ＝2.∴f (x )＝ln x ＋2x 2 (x >0)．f ′(x )＝－2(ln x ＋32)x3，当x >e －32时，f ′(x )<0，此时函数f (x )单调递减；当0<x <e －32时，f ′(x )>0，此时函数f (x )单调递增．∴当x ＝e －32时，函数f (x )取得最大值为f (e －32)＝e 32.12．已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(2,3)解析由题意知，f ′(x )＝－x ＋4－3x＝－(x －1)(x －3)x.令f ′(x )＝0，得函数f (x )的两个极值点为1和3，故只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调．由t <1<t ＋1或t <3<t ＋1，得0<t <1或2<t <3.13．已知a ≥0，若函数f (x )＝(x ＋1)2x 2＋a 在[－1,1]上的最大值为2，则实数a 的值为________．答案 1解析求导数可得，f ′(x )＝2(x ＋1)(a －x )(x 2＋a )2，令f ′(x )＝0，可得x ＝－1或x ＝a ， ∴f (－1)＝0，f (a )＝1＋1a ，f (1)＝41＋a，若1＋1a ＝2，则有a ＝1；若41＋a ＝2，则也有a ＝1，因此a ＝1.14．设函数f (x )＝ln x ＋mx (m ∈R )，若对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a <1恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 [14，＋∞)解析对任意的b >a >0，f (b )－f (a )b －a <1恒成立，等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．设函数h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x ，则h (x )在(0，＋∞)上是单调减函数，即h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，得m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14(x >0)恒成立，得m ≥14，所以实数m 的取值范围是[14，＋∞)．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R .已知f (x )在x ＝3处取得极值． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在点A (1,16)处的切线方程．解 (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a . ∵f (x )在x ＝3处取得极值，∴f ′(3)＝6×9－6(a ＋1)×3＋6a ＝0，解得a ＝3. ∴f (x )＝2x 3－12x 2＋18x ＋8.(2)∵点A 在f (x )上，由(1)可知，f ′(x )＝6x 2－24x ＋18， f ′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切线方程为y ＝16.16．(14分)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列两个条件：(1)f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数； (2)f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b ；若不存在，请说明理由．解设g (x )＝x 2＋ax ＋bx，∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴g (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ g ′(1)＝0，g (1)＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b ＝0，a ＋b ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.经检验，当a ＝1，b ＝1时，f (x )满足题设的两个条件． 17．(14分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调增区间为(0，2)，单调减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(16分)某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x 吨与每吨产品的价格p (元/吨)之间的函数关系式为p ＝24200－15x 2，且生产x 吨产品的成本为R ＝50000＋200x (元)．问：该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？解依题意知，每月生产x 吨产品时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎫24200－15x 2x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ＞0)，故f ′(x )＝－35x 2＋24000.令f ′(x )＝0，得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．∵在(0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，且x ＝200是极大值点，∴200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．∴每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．19．(16分)设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)． (1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解 (1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，故a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x ＝(x －2)(x －3)x .令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)；当2<x <3时，f ′(x )<0，故f (x )的单调减区间为(2,3)．由此可知，f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln3.20．(16分)已知函数f (x )＝ax 3－32x 2＋1(x ∈R )，其中a >0.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若在区间[－12，12]上，f (x )>0恒成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－32x 2＋1，f (2)＝3.f ′(x )＝3x 2－3x ，f ′(2)＝6，所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －3＝6(x －2)，即6x －y －9＝0. (2)f ′(x )＝3ax 2－3x ＝3x (ax －1)．令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝1a .以下分两种情况讨论： ①若0<a ≤2，则1a ≥12.列表如下.当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (12)>0，即⎩⎨⎧5－a8>0，5＋a8>0，解不等式组，得－5<a <5.因此0<a ≤2.②若a >2，则0<1a <12.列表如下.当x ∈[－12，12]时，f (x )>0等价于⎩⎨⎧f (－12)>0，f (1a )>0，即⎩⎨⎧5－a8>0，1－12a 2>0，解不等式组，得22<a <5或a <－22(舍)．因此2<a <5.综合①②可知，a 的取值范围为(0,5)．。

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题综合检测1基础卷含答案

第一章综合检测(基础卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为导学号 10510426( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5[答案] B[解析] ∵点(1，－1)在曲线上，y ′＝3x 2－6x ， ∴y ′|x ＝1＝－3，即切线斜率为－3.∴利用点斜式得，切线方程为y ＋1＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2.故选B.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a ＝导学号 10510427( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由条件知，x ＝－3是方程f ′(x )＝0的实数根，∴a ＝5. 3．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是导学号 10510428( ) A ．5，－15 B ．5，－4 C ．－4，－15 D ．5，－16[答案] A[解析] 令y ′＝6x 2－6x －12＝0，得x ＝－1(舍去)或x ＝2，故函数y ＝f (x )＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最值可能是x 取0,2,3时的函数值，而f (0)＝5，f (2)＝－15，f (3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.4.⎠⎛241xd x 等于导学号 10510429( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2[答案] D[解析] 因为(ln x )′＝1x ，所以 ⎠⎛241xd x ＝ln x |42＝ln4－ln2＝ln2.5．已知定义在R 上的函数f (x )的导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列结论一定正确的是导学号 10510430( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e)C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e)>f (d )[答案] C[解析] 由图可知f ′(x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上取正值，在(c ，e)上取负值，故f (x )在(－∞，c )和(e ，＋∞)上单调递增，在(c ，e)上单调递减，∵a <b <c ，∴f (a )<f (b )<f (c )，故选C.6．(2016·衡水高二检测)已知函数f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1，1)，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0成立，则实数a 的取值范围为导学号 10510431( )A ．(0,1)B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)， ∴f ′(x )＝4＋3cos x >0在x ∈(－1,1)上恒成立，∴f (x )在(－1,1)上是增函数，又f (x )＝4x ＋3sin x ，x ∈(－1,1)是奇函数，∴不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0可化为f (1－a )<f (a 2－1)，从而可知，a 须满足⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，－1<a 2－1<1，1－a <a 2－1.解得1<a < 2.7．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是导学号 10510922( )[答案] D[解析] A 中，当f (x )为二次函数时，f ′(x )为一次函数，由单调性和导数值的符号关系知A 可以是正确的，同理B 、C 都可以是正确的，但D 中f (x )的单调性为增、减、增，故f ′(x )的值应为正负正，因此D 一定是错误的．8．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为导学号 10510432( )A ．1B ． 2 C.22D ． 3[答案] B[解析] 过点P 作y ＝x －2的平行直线，当与曲线y ＝x 2－ln x 相切时，P 到直线y ＝x －2的距离最小，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则有 k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0.∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)，∴y 0＝1，∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.故选B.9．如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，所耗费的功为导学号 10510433( ) A ．0.18J B ．0.26J C ．0.12J D ．0.28J[答案] A[解析] 设F (x )＝kx ，当F (x )＝1时，x ＝0.01m ，则k ＝100，∴W ＝⎠⎛00.06100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18.10．已知函数f (x )＝ln x ，则函数g (x )＝f (x )－f ′(x )的零点所在的区间是导学号 10510434( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 由题可知g (x )＝ln x －1x ，∵g (1)＝－1<0，g (2)＝ln2－12＝ln2－ln e>0，∴选B.11．已知函数f (x )＝13x 3＋12mx 2＋m ＋n 2x 的两个极值点分别为x 1、x 2，且0<x 1<1<x 2，点P (m ，n )表示的平面区域内存在点(x 0，y 0)满足y 0＝log a (x 0＋4)，则实数a 的取值范围是导学号 10510435( )A ．(0，12)∪(1,3)B ．(0,1)∪(1,3)C ．(12，1)∪(1,3]D ．(0,1)∪[3，＋∞)[答案] B[解析] f ′(x )＝x 2＋mx ＋m ＋n2，由条件知，方程f ′(x )＝0的两实根为x 1、x 2且0<x 1<1<x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)>0，f ′(1)<0，∴⎩⎨⎧m ＋n2>0，1＋m ＋m ＋n2<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n >0，3m ＋n <－2，由⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝0，3m ＋n ＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0<－1，y 0>1.由y 0＝log a (x 0＋4)知，当a >1时，1<y 0<log a 3，∴1<a <3；当0<a <1时，y 0＝log a (x 0＋4)>log a 3，由于y 0>1，log a 3<0，∴对∀a ∈(0,1)，此式都成立，从而0<a <1，综上知0<a <1或1<a <3，故选B.12．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2017x 1＋log 2017x 2＋…＋log 2017x 2016的值为导学号 10510436( )A ．－log 2017x 2016B ．－1C ．(log 2017x 2016)－1D ．1[答案] B[解析] ∵y ′|x ＝1＝n ＋1，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，得x ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，即x n ＝nn ＋1.所以log 2017x 1＋log 2017x 2＋…＋log 2017x 2016 ＝log 2017(x 1·x 2·…·x 2016)＝log 2017(12×23×…×20162017)＝－1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2016·天津文，10)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.导学号 10510437[答案] 3[解析] 由题意得f ′(x )＝(2x ＋3)e x ，则得f ′(0)＝3.14．一辆汽车的速度与时间曲线如图所示，则该汽车在这一分钟内行驶的路程为________m.导学号 10510438[答案] 900[解析] 根据题意，v 与t 的函数关系式为v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧32t ，0≤t <20，50－t ，20≤t <40，10，40≤t ≤60，∴该汽车在这一分钟内所行驶的路程为s ＝⎠⎛060v (t )d t ＝⎠⎛02032t d t ＋⎠⎛2040(50－t )d t ＋⎠⎛406010d t ＝34t 2|200＋(50t －12t 2)|4020＋10t |6040＝34×400＋(2000－800)－(1000－200)＋(600－400)＝900(m)． 15．已知函数f (x ＋2)是偶函数，x >2时f ′(x )>0恒成立(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，且f (4)＝0，则不等式(x ＋2)f (x ＋3)<0的解集为________.导学号 10510439[答案] (－∞，－3)∪(－2,1)[解析] ∵函数y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴其图象关于y 轴对称，∵y ＝f (x ＋2)的图象向右平移两个单位得到y ＝f (x )的图象，∴函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∵x >2时，f ′(x )>0，∴f (x )在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2)上单调递减，又f (4)＝0，∴f (0)＝0，∴0<x <4时，f (x )<0，x <0或x >4时，f (x )>0，由(x ＋2)f (x ＋3)<0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2<0，f (x ＋3)>0，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，f (x ＋3)<0.(2) 由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，x ＋3<0或x ＋3>4，∴x <－3；由(2)得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，0<x ＋3<4.∴－2<x <1，综上知，不等式的解集为(－∞，－3)∪(－2,1)16．(2016·北京理，14)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a .导学号 10510440①若a ＝0，则f (x )的最大值为________；②若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________． [答案] 2 a <－1[解析] ①若a ＝0，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x >0，当x >0时，－2x <0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )>0，得x <－1，f ′(x )<0，得－1<x ≤0，所以函数f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0]上单调递减，所以函数f (x )在(－∞，0]上的最大值为f (－1)＝2.综上可得，函数f (x )的最大值为2.②函数y ＝x 3－3x 与y ＝－2x 的大致图象如图所示，若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x >a 无最大值，由图象可知－2a >2，解得a <－1.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－3bx ＋c (b >0)，且g (x )＝f (x )－2是奇函数.导学号 10510441(1)求a 、c 的值；(2)若函数f (x )有三个零点，求b 的取值范围． [解析] (1)∵g (x )＝f (x )－2是奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )对x ∈R 成立， ∴f (－x )－2＝－f (x )＋2对x ∈R 成立， ∴ax 2＋c －2＝0对x ∈R 成立， ∴a ＝0且c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3bx ＋2(b >0)， ∴f ′(x )＝3x 2－3b ＝3(x －b )(x ＋b )，令f ′(x )＝0得x ＝±b ，依题意有⎩⎨⎧f (－b )>0，f (b )<0，∴b >1，故正数b 的取值范围是(1，＋∞)．18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋5，若曲线f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率为3，且x ＝23时，y ＝f (x )有极值.导学号 10510442(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[－4,1]上的最大值和最小值． [解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，(1)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×23＋b ＝0，f ′(1)＝3×12＋2a ×1＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－4.经检验得x ＝23时，y ＝f (x )有极小值，所以f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5.(2)由(1)知，f ′(x )＝3x 2＋4x －4＝(x ＋2)(3x －2)．令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝23，f ′(x )，f (x )的值随x 的变化情况如下表： ∵f (23)＝9527，f (－2)＝13，f (－4)＝－11，f (1)＝4，∴f (x )在[－4,1]上的最大值为13，最小值为－11.19．(本题满分12分)在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求切点A 的坐标及过切点A 的切线方程.导学号 10510443[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，过切点A 的切线与x 轴的交点为C .由y ′＝2x 知A 点处的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0，得x ＝x 02，即C (x 02，0)．设由曲线y ＝x 2(x ≥0)与过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，则S ＝S 曲边△AOB －S △ABC . ∵S 曲边△AOB ＝⎠⎛0x 0x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪x 00＝13x 30， S △ABC ＝12BC ·AB ＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 30，∴S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112，∴x 0＝1，∴切点A 的坐标为(1,1)，即过切点A 的切线方程为2x －y －1＝0.20．(本题满分12分)已知函数f (x )＝a 23x 3－2ax 2＋bx ，其中a 、b ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为3.导学号 10510444(1)求b 的值；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，求a 的值． [解析] (1)f ′(x )＝a 2x 2－4ax ＋b ，由题意f ′(0)＝b ＝3.(2)∵函数f (x )在x ＝1处取得极大值， ∴f ′(1)＝a 2－4a ＋3＝0，解得a ＝1或a ＝3. ①当a ＝1时，f ′(x )＝x 2－4x ＋3＝(x －1)(x －3)， x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：②当a ＝3时，f ′(x )＝9x 2－12x ＋3＝3(3x －1)(x －1)， x 、f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：综上所述，若函数f (x )在x ＝1处取得极大值，a 的值为1.21．(本题满分12分)设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x ).导学号 10510445 (1)求g (x )的单调区间和最小值； (2)讨论g (x )与g (1x)的大小关系；(3)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立．[解析] (1)由题设知g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x2，令g ′(x )＝0，得x ＝1.当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调递减区间．当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，故(1，＋∞)是g (x )的单调递增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g (1x)＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g (1x )＝2ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝－(x －1)2x 2.当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g (1x)．当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减．当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g (1x )，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g (1x)．(3)由(1)知g (x )的最小值为1，所以g (a )－g (x )<1a 对任意x >0成立⇔g (a )－1<1a ，即ln a <1，从而得0<a <e ，即a 的取值范围为(0，e)．22．(本题满分14分)(2016·全国卷Ⅱ文，20)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1).导学号 10510446(1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1, f (1))处的切线方程； (2)当x ∈(1，＋∞)时， f (x )>0，求a 的取值范围． [解析] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时， f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x－3, f ′(1)＝－2, f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时， f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(1＋x )2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1. 由x 2>1和x 1x 2＝1得x 1<1，故当x ∈(1，x 2)时， g ′(x )<0，g (x )在(1，x 2)上单调递减，此时g (x )<g (1)＝0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]．。

2018学年高中数学人教A版选修2-2习题综合检测3能力卷含答案

第三章综合检测(能力卷)时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知i 是虚数单位，a 、b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的导学号 10510855( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2－b 2＝0,2ab ＝1，解a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故a ＝1，b ＝1是(a ＋b i)2＝2i 的充分不必要条件，选A.2．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z 等于导学号 10510856( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i[答案] C[解析] 由题意可得2－z －z ＝2－(－1＋i )－1－i＝(3－i )(－1＋i )(－1－i )(－1＋i )＝－1＋2i ，故选C.3．复数z ＝m －2i1＋2i (m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于导学号 10510857( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝m －2i 1＋2i ＝(m －2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为15(m －4)，虚部为－25(m＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ m －4>0，－2(m ＋1)>0.得⎩⎪⎨⎪⎧m >4，m <－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．4．已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝导学号 10510858( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D ．12－32i[答案] D[解析] 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋(－12)2＋(32)2＝12－32i. 5．若θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在导学号 10510859( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] θ∈⎝⎛⎭⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限．6．(2016·全国卷Ⅰ理，2)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝导学号 10510924( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 [答案] B[解析] 因为(1＋i)x ＝x ＋x i ＝1＋y i ，所以x ＝y ＝1，|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝2，选B. 7．(2016·成都高二检测)若A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i(sin B －cos A )对应的点位于复平面内的导学号 10510860( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 [答案] B[解析] ∵A 、B 为锐角三角形的内角， ∴π2<A ＋B <π， ∴A >π2－B ，B >π2－A ，∴sin A >sin(π2－B )＝cos B ，sin B >sin(π2－A )＝cos A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos B －sin A <0sin B －cos A >0， ∴对应点在第二象限，故选B.8．(2016·南宁高二检测)复数z 满足条件：|2z ＋1|＝|z －i|，那么z 对应的点的轨迹是导学号 10510861( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线[答案] A[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， ∴|2z ＋1|＝(2a ＋1)2＋b 2 |z －i|＝a 2＋(b －1)2∴(2a ＋1)2＋b 2＝a 2＋(b －1)2 整理得：a 2＋b 2＋43a ＋23b ＝0.故选A.9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是导学号 10510862( )A.32B.33C.12 D ． 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤yx≤ 3.10．(2016·衡水中学高二检测)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i 为纯虚数”的导学号 10510863( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，1＋i 1－i ＝(1＋i )22＝i 为纯虚数．当a ＋i a －i ＝(a ＋i )2a 2＋1＝a 2－1＋2a ia 2＋1为纯虚数时， a 2＝1即a ＝±1，故选A.11．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R )，若复数ab ∈R ，则实数x 的值为导学号 10510864( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83[答案] C[解析] a b ＝3＋2i 4＋x i ＝(3＋2i )(4－x i )16＋x 2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i ∈R ，∴8－3x 16＋x 2＝0，∴x ＝83. 12．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是导学号 10510865( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数 [答案] C[解析] ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0， ∴z 对应的点在实轴的上方．又∵z 与z 对应的点关于实轴对称． ∴C 项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2016·北京理，9)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________.导学号 10510866[答案] －1[解析] (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ，由已知得a ＋1＝0，解得a ＝－1. 14．已知x ＋1x ＝－1，则x 2017＋1x2017的值为________.导学号 10510867[答案] －1[解析] ∵x ＋1x ＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2017＝3×672＋1，∴x 2017＝x ， ∴x 2017＋1x2017＝x ＋1x＝－1. 15．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是__________.导学号 10510868[答案] cos(α＋β)[解析] z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________时，z ＝1＋sin θ＋i(cos θ－sin θ)是实数.导学号 10510869 [答案] π4或54π[解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝π4或54π.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时，(1)z∈R .(2)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上.导学号 10510870[解析] (1)当z 为实数时，则有m 2＋2m －3＝0且m －1≠0 得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)当z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上时，则有m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0，得m (m 2＋2m －4)m －1＝0，解得m ＝0或m ＝－1±5.所以当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．18．(本题满分12分)(2016·长春高二期中)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值.导学号 10510871[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.19．(本题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z ＜0，求z .导学号 10510925[解析] 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ② 又x 2＋y 2＝1. ③由①②③得 ⎩⎨⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本题满分12分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R ).导学号 10510872(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1＋m )<0， ①log 12(3－m )<0， ② 解①得－1<m <0.解②得m <2.故不等式组的解集为{m |－1<m <0}，因此m 的取值范围是{m |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2[(1＋m )(3－m )]＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0.故m ＝1±2.21．(本题满分12分)(2016·天津高二检测)设O 为坐标原点，已知向量OZ 1→，OZ 2→分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝3a ＋5－(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，a ∈R ，若z 1＋z 2可以与任意实数比较大小，求OZ 1→·OZ 2→的值.导学号 10510873[解析] 依题意得z 1＋z 2为实数，因为z 1＋z 2＝3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －15＝0，a ＋5≠0，1－a ≠0.所以a ＝3.此时z 1＝38－i ，z 2＝－1＋i ，即OZ 1→＝(38，－1)，OZ 2→＝(－1,1)．所以OZ 1→·OZ 2→＝38×(－1)＋(－1)×1＝－118.22．(本题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .导学号 10510874(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率； (2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)．由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。

2018版数学新导学同步选修2-2人教A版：章末检测卷02含解析

答案：C
5．证明命题：“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”．现给出的证法如下：因为f(x)＝ex＋，所以f′(x)＝ex－ .因为x>0，所以ex>1,0< <1.所以ex－ >0，即f′(x)>0.所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，使用的证明方法是()
A．综合法B．分析法
C．反证法D．以上都不是
∴a2 017＝a1＋3×672＝a1＝ .
答案：A
11．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值()
A．大于0 B．小于0
C．不小于0 D．不大于0
解析：因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝0，
又因为a2＋b2＋c2≥0.所以2(ab＋bc＋ac)≤0.故选D.
答案：D
解析：A中类比的结果应为loga(xy)＝logax＋logay，B中如x＝y＝时不成立，C中如x＝y＝1时不成立，D中对于任意实数分配律成立．
答案：D
4．若a>0，b>0，则有()
A. >2b－aB. <2b－a
C. ≥2b－aD. ≤2b－a
解析：∵ －(2b－a)＝＝ ≥0，∴ ≥2b－a.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．证明： <1＋＋＋＋…＋ <n＋1(n>1)，当n＝2时，中间式子等于()
A．1B．1＋
C．1＋＋ D．1＋＋＋
解析：n＝2时中间式子的最后一项为，所以中间子式为1＋＋＋ .
B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k)
D．2(5k－2k)－3×5k

高中数学章末综合测评2含解析新人教A版选修2

章末综合测评(二)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设离散型随机变量X 的分布列为：则p 的值为( ) A.12 B.14 C.13D.16 C [由16＋13＋16＋p ＝1得p ＝13.故选C.]2．P (AB )＝110，P (A )＝13，则P (B |A )等于( )A.130 B.310 C.15D.115B [P (B |A )＝P (AB )P (A )＝11013＝310，故选B.]3．已知随机变量X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，则D (2X ＋1)等于( ) A ．6 B ．4 C ．3D ．9A [∵X ～B ⎝⎛⎭⎫6，12，∴D (X )＝6×12×12＝32， ∴D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×32＝6.故选A.]4．已知甲投球命中的概率是12，乙投球命中的概率是35.假设他们投球命中与否相互之间没有影响．如果甲、乙各投球1次，那么恰有1人投球命中的概率为( )A.16 B.14 C.23D.12D [记“甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率公式和相互独立事件的概率公式，得所求的概率为P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B )＝12×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－12×35＝12.] 5．在每次比赛中，如果运动员A 胜运动员B 的概率都是23，那么在五次比赛中，运动员A 恰有三次获胜的概率是( )A.40243B.80243C.110243D.20243 B [运动员A 恰有三次获胜的概率P ＝C 35⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫1－232＝80243.故选B.]6．设X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5]内的概率是( ) A ．95.44% B ．99.73% C ．4.56%D ．0.26%B [由X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14知μ＝－2，σ＝12，P (－3.5＜X ≤－0.5)＝P (－2－3×0.5＜X ≤－2＋3×0.5)＝0.997 3.]7．已知10件产品中有3件是次品，任取2件，若X 表示取到次品的件数，则E (X )等于( )A.35 B.815 C.1415D ．1A [由题意知，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.]8．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第一次摸到正品的条件下，第二次也摸到正品的概率是( )A.35 B.25 C.110D.59D [记“第一次摸到正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35，P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13.故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝59.] 9．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310的事件为( )A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．至多有2只是坏的C [X ＝k 表示取出的螺丝钉恰有k 只为好的，则P (X ＝k )＝C k 7C 4－k 3C 410(k ＝1,2,3,4)．∴P (X ＝1)＝130，P (X ＝2)＝310，P (X ＝3)＝12，P (X ＝4)＝16，故310表示恰好有2个是好的．]10．已知甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，若目标被击中，则它是被甲击中的概率是( )A ．0.45B ．0.6C ．0.65D ．0.75D [令事件A ，B 分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P (A )＝0.6，P (B )＝0.5，令事件C 表示目标被击中，则C ＝A ∪B ，则P (C )＝1－P (A )P (B )＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P (A |C )＝P (AC )P (C )＝0.60.8＝0.75.]11．某地区高二女生的体重X (单位：kg)服从正态分布N (50,25)，若该地区有高二女生2 000人，则体重在50 kg ～65 kg 间的女生约有( )A ．683人B ．954人C ．997人D ．994人C [由题意知，μ＝50，σ＝5， ∴P (50－3×5<X ≤50＋3×5)≈0.997 3. ∴P (50<X ≤65)＝12×0.997 3＝0.498 65，∴体重在50 kg ～65 kg 的女生大约有2 000×0.498 65≈997(人)．]12.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“－－”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A.516B.1132C.2132D.1116A [由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C 36＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P ＝2064＝516.故选A.] 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．已知随机变量ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，随机变量η＝2ξ－1，则E (η)＝________. 73 [ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13，∴E (ξ)＝5×13＝53， ∴E (η)＝E (2ξ－1)＝2E (ξ)－1＝2×53－1＝73.]14．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X 的均值为________个，方差为________．98.5 1.477 5 [由题意可知X ～B (100,98.5%)， ∴E (X )＝np ＝100×98.5%＝98.5，D (X )＝np (1－p )＝100×98.5%×1.5%＝1.477 5.]15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．0.18 [记事件M 为甲队以4∶1获胜，则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场，所以P (M )＝0.6×(0.62×0.52×2＋0.6×0.4×0.52×2)＝0.18.]16．一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论： ①从中任取3球，恰有一个白球的概率是35；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为25；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627.其中所有正确结论的序号是________．①②④ [①所求概率P ＝C 12C 24C 36＝2×620＝35，故①正确；②取到红球的次数X ～B ⎝⎛⎭⎫6，23，其方差为6×23×⎝⎛⎭⎫1－23＝43，故②正确；③设A ＝{第一次取到红球}，B ＝{第二次取到红球}，则P (A )＝23，P (AB )＝4×36×5＝25，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35，故③错；④每次取到红球的概率P ＝23，所以至少有一次取到红球的概率为1－⎝⎛⎭⎫1－233＝2627，故④正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7、0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：(1)甲试跳三次，第三次才成功的概率；(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率．[解] 记“甲第i 次试跳成功”为事件A i ，“乙第i 次试跳成功”为事件B i ，依题意得P (A i )＝0.7，P (B i )＝0.6，且A i ，B i (i ＝1,2,3)相互独立．(1)“甲第三次试跳才成功”为事件A 1 A 2A 3，且三次试跳相互独立，则P (A 1A 2A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝0.3×0.3×0.7＝0.063.所以甲第三次试跳才成功的概率为0.063.(2)设“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C .法一：(直接法)因为C ＝A 1B 1＋A 1B 1＋A 1B 1，且A 1B 1，A 1B 1，A 1B 1彼此互斥，所以P (C )＝P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＋P (A 1B 1)＝P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＋P (A 1)P (B 1)＝0.7×0.4＋0.3×0.6＋0.7×0.6＝0.88.法二：(间接法)P (C )＝1－P (A 1)P (B 1)＝1－0.3×0.4＝0.88. 所以甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88.18．(本小题满分12分)甲\乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．[解] 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为E (X )＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，D (X )＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81.工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为 E (Y )＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，D (Y )＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.由E (X )＝E (Y )知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但D (X )>D (Y )，可见乙的技术比较稳定．19．(本小题满分12分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任取3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． [解] (1)X 的所有可能取值为0,1,2. 依题意得P (X ＝0)＝C 34C 36＝15，P (X ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (X ＝2)＝C 14C 22C 36＝15.∴X 的分布列为(2)设“甲、乙都不被选中”为事件C ，则P (C )＝C 34C 36＝15，∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C 25C 36＝1020＝12，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 14C 36C 25C 36＝410＝25.20．(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．(1)求ξ的分布列； (2)求ξ的数学期望．[解] (1)必须要走到1号门才能走出，ξ可能的取值为1,3,4,6. P (ξ＝1)＝13.P (ξ＝3)＝13×12＝16.P (ξ＝4)＝13×12＝16.P (ξ＝6)＝2×⎝⎛⎭⎫13×12×1＝13. ∴ξ的分布列为：(2)E (ξ)＝1×13＋3×16＋4×16＋6×13＝72(小时)．21．(本小题满分12分)进货商当天以每份1元的进价从报社购进某种报纸，以每份2元的价格售出．若当天卖不完，剩余报纸以每份0.5元的价格被报社回收．根据市场统计，得到这个月的日销售量X (单位：份)的频率分布直方图(如图所示)，将频率视为概率．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)若进货量为n(单位：份)，当n≥X时，求利润Y的表达式；(3)若当天进货量n＝400，求利润Y的分布列和数学期望E(Y)．[解](1)由题图可得，100a＋0.002×100＋0.003×100＋0.003 5×100＝1，解得a＝0.001 5.(2)因为n≥X，所以Y＝(2－1)X－0.5(n－X)＝1.5X－0.5n.(3)销售量X的所有可能取值为200,300,400,500，由第(2)问知对应的Y分别为100,250,400.由频率分布直方图可得P(Y＝100)＝P(X＝200)＝0.20，P(Y＝250)＝P(X＝300)＝0.35，P(Y＝400)＝P(X≥400)＝0.45.利润Y的分布列为Y 100250400P 0.200.350.45所以E(Y)＝0.20×100＋0.35×250＋0.45×400＝287.5.22．(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是12外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立．(1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；(2)若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的分布列及数学期望．[解](1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A1，“甲队以3∶1胜利”为事件A2，“甲队以3∶2胜利”为事件A3，由题意知，各局比赛结果相互独立，故P (A 1)＝⎝⎛⎭⎫233＝827， P (A 2)＝C 23⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－23×23＝827，P (A 3)＝C 24⎝⎛⎭⎫232⎝⎛⎭⎫1－232×12＝427. 所以甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827，以3∶2胜利的概率为427.(2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P (A 4)＝C 24⎝⎛⎭⎫1－232⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－12＝427. 由题意知，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得 P (X ＝0)＝P (A 1＋A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝1627.又P (X ＝1)＝P (A 3)＝427，P (X ＝2)＝P (A 4)＝427，P (X ＝3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝327，故X 的分布列为所以E (X )＝0×1627＋1×427＋2×427＋3×327＝79.。