一次函数2(1)

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高中数学人教版必修一：第二单元一次函数的性质与图象 pptx

解析 ∵C中y＝1＋2x为一次函数且一次项系数大于零， ∴y＝1＋2x在R上为增函数，故选C.
12345
解析答案
2.一次函数y＝kx(k≠0)的图象上有一点坐标为(m，n)，当m＞0，n＜0时，
则直线经过
√A.第二、四象限
C.第二、三象限
B.第一、三象限 D.第一、四象限
解析 ∵点(m，n)的坐标中m＞0，n＜0，
解析答案
反思与感悟
求一次函数的解析式的一般步骤 (1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b，其中k≠0. (2)根据题目中所给的条件(或隐含条件)列出实数k与b满足的方程组. (3)求出k与b的值，代入y＝kx＋b即可.
跟踪训练2 一次函数的图象经过y＝x＋1与y＝2x－3的交点A，并且与x轴交于点B(－1,0)，求这个一次函数的解析式，并画出其图象.
解答
反思与感悟
解此种类型的题目，首先要正确理解正比例函数、一次函数的概念及一次函数的性质，从概念和性质入手，问题便可迎刃而解.
跟踪训练1 设函数y＝(m－3)x m2－6m＋9 ＋m－2： (1)m为何值时，它是一次函数？解由一次函数的表达式知，mm－ 2－36≠m0＋，9＝1.
解答
反思与感悟
(1)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)在[m，n]上恒为正⇔ffmn＞＞00.， (2)一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)在[m，n]上恒为负⇔ffmn＜＜00.，
跟踪训练3 已知f(x)＝ax＋2在区间[1,3]上大于零恒成立，则a的取值范围为_(_－__23_，__＋__∞__) _. 解析 ∵f(x)＝ax＋2在区间[1,3]上大于零恒成立， ∴ff31＞＞00，，解之得 a＞－23.
解答

人教版八年级数学下册教学课件(RJ) 第十九章一次函数第2课时一次函数的图象和性质

由此得到一次函数性质：
在一次函数y=kx+b中，当k>0时，y的值随着x值的增大而增大; 当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
例4 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( D )
A.y1＞y2 B. y1＜y2
C.当x1＜x2时，y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2
思考：仿照正比例函数的做法，你能看出当 k 的符号变化时，函数的增减性怎样变化吗？
k＞0时，直线左低右高， y 随x 的增大而增大； k＜0时，直线左高右低， y 随x 的增大而减小．
y y =-3x+1 y =-x+1 6
4
2 A
-5
O
-2
y =3x+1 y =x+1 C B
D 5x E
要点归纳
性质
当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小.
6.若直线y=kx+2与y=3x-1平行，则k= 3 .
7.点A(-1,y1),B(3,y2)是直线y=kx+b(k<0)上的两点，则y1-y2 > 0(填“>”或“<”).
8.已知一次函数y＝(3m-8)x＋1-m的图象与 y轴交
点在x轴下方，且y随x的增大而减小，其中m为整
数，求m的值 .
解: 由题意得
解：函数y＝－6x与y＝－6x＋5中，自变量x可以是任意
实数.列表表示几组对应值(计算并填写表中空格).
x
－2 －1 0 1 2
y＝－6x
0 －6
y＝－6x＋5
5 －1

一次函数的图像和性质教案3篇

一次函数的图像和性质教案1课型：新授教学目标：一、知识与技能目标（1）能根据一次函数的图象和函数关系式，探索并理解一次函数的性质；（2）进一步理解正比例函数图象和一次函数图象的位置关系；（3）探索一次函数的图象在平面直角坐标系中的位置特征。

二、过程与方法目标通过组织学生参与由一次函数的图象来揭示函数性质的探索活动，培养学生观察、比较、抽象和概括的能力，培养学生用数形结合的思想方法探索数学问题的能力。

三、情感、态度与价值观目标通过师生共同探讨，体现数学学习充满着探索性和创造性，感受共同合作取得成功的快乐。

教学重点：一次函数图象的性质。

教学难点：通过图形探求性质以及分析图形的位置特征。

课前准备：本节课为了帮助同学们能正确理解函数的增减性，更清楚、快捷地通过图象探究函数的某些特征。

教师在课前准备好多媒体课件，并选择在多媒体教室完成本节课的教学任务。

【教学过程设计】一、创设情景，引导探究（1）复习一次函数图象的画法师：上节课我们了解了一次函数图象，并学习了图象的画法。

同学们能画出函数y=2x+4和y=-x-3的图象吗？说说看，如何画？生：能。

因为一次函数的图象是一直线，所以，我可以过（1，6）和（0，4）两点画直线y=2x+4。

过（1，-）、（0，-3）两点画直线y=-x-3。

师：很好。

还有不同的取点法吗？生：有，可经过（-2，0）和（0，4），画直线y=2x+4；经过（-2，0）和（0，-3）画直线-x-3。

师：大家说说看，哪一种取法更好呢？众：乙的方法好。

师：对。

我们可以针对函数中不同的k和b的值，灵活取值。

教师要求学生画出这两函数的图象。

【设计说明】：通过对两函数图象画法的讨论，引导学生得出简捷画法，并为后面新知识的研究作一些伏笔。

（2）探究一次函数的增减性师：教师用多媒体呈现给大家一幅画面。

图画上有两个一次函数的图象，而背景是一座山，两一次函数的图象正好对应着背景图中的上山和下山的路线，教师在课件中设计一个人从左边上山顶，并继续下山到右边山脚，并把这一活动来回放两遍给学生看，继而引导学生思考。

(完整版)一次函数知识点总结

一次函数（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量. 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。

2、函数:一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。

*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。

4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2)关系式含有分式时，分式的分母不等于零;（3)关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；(5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义.5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）;第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。

8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。

解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示。

图象法:形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。

（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地,形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠)的函数,叫做一次函数,其中x 是自变量。

17.3 一次函数课件-华师版数学八年级下册

感悟新知
知识点 4 一次函数的性质
知4－讲
一次函数 y=kx+b( k， b 是常数且 k ≠ 0)的性质和 k， b 的符号间的关系:
感悟新知
一次函数
k， b
的符号
b>0
y=kx+b( k， b 是常数且 k ≠ 0)
k>0
k<0
b<0
b=0
b>0
b<0
知4－讲
b=0
图象的位置
增减性
与 y 轴交点的位置
l2，则直线 l2 的表达式为(
)
A.y= － 3x － 9
B.y= － 3x － 1
C.y= － 3x ＋ 1
D.y= － 3x ＋ 9
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右减”进行求解 .
感悟新知
知3－练
解：将直线 y=－3x－2 向左平移 1 个单位长度得直线 y=－3( x+1) －2，即 y=－3x－5，再向上平移 4 个单位长度，即将直线 y=－3x－5 向上平移 4个单位长度，得直线 y=－3x－5+4，即 y=－3x－1. 左加右减 (只改变x).
画出函数图象并求 S △ AOB.
解题秘方：紧扣直线与两坐标轴的交点进行解答．
感悟新知
解：当 x=0 时， y= － 3，
知2－练
∴点 B 的坐标为( 0，－ 3)；
当 y=0 时， x= － 6，∴点 A 的坐标为(－ 6， 0) .
画出函数图象如图 17.3-2.
由图象可知， OA=| － 6|=6，
第十七章函数及其图象
17.3 一次函数

7.3一次函数(2)

① ②
—设 —代代 —解解
由① ②组成方程组得
｛
１＝３k＋b ＋
＝－2k＋－１4＝－＋b ＝－
解得
﹛
k＝３＝ b＝－＝－8 ＝－
∴一次函数的解析式是 y=3x－8 －
—回代回代
求一次函数解析式的步骤：求一次函数解析式的步骤：１设所求的一次函数解析式为y=k x + b，所求的一次函数解析式为，是待确定的常数。其中 k，b是待确定的常数。，是待确定的常数２把两对已知的自变量与函数的对应值分别代入y=kx+b，得到关于，b的二元一次，得到关于k，的二元一次方程组。方程组。这个关于k，b的二元一次方程组的二元一次方程组，３解这个关于k，b的二元一次方程组，求的值。出k，b的值。，的值的值代４把求得的k，b的值代入y=kx+b，就得到把求得的，的值，所求的一次函数的解析式。所求的一次函数的解析式。这种求函数解析式的方法叫做待定系数法
7.3一次函数（2）一次函数（）一次函数
正比例函数的解析式是什么？正比例函数的解析式是什么？ y=kx （k为常数，且k≠0）为常数，为常数）一次函数的解析式是什么？一次函数的解析式是什么？
y=kx+b （k、b为常数，且k≠0）为常数，、为常数）
当b=0时，时一次函数y=kx+b就变形为正比例函数就变形为正比例函数y=kx 一次函数就变形为正比例函数
100.6 = 3k + b 101.2 = 6k + b
k = 0 .2 解这个方程组，解这个方程组，得 b = 1 0 0
这样该地区沙漠面积的变化就由一次函数y=0.2x+100来进行描述。来进行描述。这样该地区沙漠面积的变化就由一次函数来进行描述

14.2.2一次函数学案1

14.2.2一次函数学案（1）学习目标：1．记住一次函数的概念 2．知道一次函数与正比例函数关系3.能正确识别一次函数解析式4.能根据已知确定一次函数解析式学习重点：一次函数解析式的特点学习难点：依据数量关系确定一次函数关系式学习过程：一、问题情境下列问题中的对应关系可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？(1)有人发现,在20~50 ℃时蟋蟀每分鸣叫的次数c与温度t (单位：℃)有关，即c的值约是t的7倍与35的差；(2)一种计算成年人标准体重G(单位：千克)的方法是，以厘米为单位量出身高值h，再减去常数105，所得差是G的值；(3)某城市的市内电话的月收费额y(单位：元)包括：月租费22元，拔打电话x分的计时费(按0.1元/分收取)；(4)把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少x cm,宽不变，长方形的面积y(单位：平方厘米)随x的值而变化共同点：一般地，形如（，）的函数，叫做一次函数. 当b=0时，y=kx+b就变成了y=kx,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。

二、合作探究1、结合你对一元一次方程中的一次的理解，说一说你对一次函数中的“一次”的理解．判断下列函数是不是一次函数？（1）y = -8x+2；（2）y =5x2+6；（3）y =-0.5x-12、一次函数y=kx+b，k可以为0吗？说说你的理由．3、已知y =(m+1)x+2是x的一次函数，则m≠．三、思维大比拼1、下列式子中哪些是一次函数，哪些又是正比例函数？若不是一次函数，请说明理由．（1）y =-8x ；（2）8y x-=；（3）20.32y x =+；（4）y=x ；（5）127t c =-；（6）6y =-；（7） c =4π；（8）6x +8；（9）y+x =6 (10)y=kx2、指出上题中的一次函数中k 、b 的值。

四、错题医院判断下列函数是不是一次函数？（1）y =3x +2-3x （2）y =2x 2+6x-2x 2答：是.因为自变量x 的次数为1．答：不是.因为自变量x 的次数为2．化简一下关系式，分析看错在哪里了？五、课堂练习1.一个小球由静止开始在一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2米．（1）求小球速度v 随时间t 变化的函数关系，它是一次函数吗？（2）求第2.5秒时小球的速度．2.汽车油箱中原有油50升，如果行驶中每小时用油5升，求油箱中的油量y （单位：升）随行驶时间x （单位：时）变化的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．y 是x 的一次函数吗？六、拓展提升 1． (1)2my m x=++，当m = ，y 是x 的一次函数．2．2(1)1y m x m =-+-，当m = ，y 是x 的正比例函数．。

19.2.2 一次函数(1) 人教版数学八年级下册同步练习(含解析)

第十九章　一次函数19.2.2　一次函数(1)基础过关全练知识点1　一次函数的定义1.下列函数关系式中,属于一次函数的是( )A.y =2x -1 　B.y =x 2+1C.y =kx +b (k 、b 是常数)D.y =1-2x2.(2022黑龙江哈尔滨期末)当m 为何值时,函数y =(m -3)x 3-|m |+m +2是一次函数( )A.2B.-2C.-2或2D.3知识点2　一次函数的图象与性质3.【教材变式·P92例3变式】下列函数图象中,表示直线y =2x +1的是( )A B C D4.【教材变式·P91思考变式】将直线y =5x 向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为( )A.y =5x -2B.y =5x +2C.y =5(x +2)D.y =5(x -2)5.(2020黑龙江牡丹江中考)已知一次函数y =(2m -3)x +3n +1的图象经过第一、二、三象限,则m 、n 的取值是( )A.m >3,n >3B.m >32,n >-13 C.m <32,n <13 D.m >32,n <136.【新独家原创】新定义:[a,b,c]为函数y=ax2+bx+c(a,b,c为实数)的“关联数”.若“关联数”为[m-2,m,-1]的函数为一次函数,对于该一次函数,下列说法正确的是( ) A.它的图象过点(1,0) B.y值随着x值的增大而减小C.它的图象经过第二象限D.当x>1时,y>07.(2022云南八中期末)在一次函数y=(5a2+8)x-3(a为常数)的图象上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点.若x1<x2<x3,则y1,y2,y3的大小关系为( )A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y1<y3<y2D.y3<y2<y18.(2020辽宁丹东中考)已知一次函数y=-2x+b,且b>0,则它的图象不经过第象限.9.(2021四川眉山中考)一次函数y=(2a+3)x+2的值随x值的增大而减小,则常数a的取值范围是 .10.已知函数y=(2m+1)x+m-3.(1)若函数图象经过原点,求m的值;(2)若该函数的图象与直线y=3x-3平行,求m的值;(3)若这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,求m的取值范围.　能力提升全练11.(2022湖南邵阳中考,8,★☆☆)在直角坐标系中,已知点,m,点,n是直线y=kx+b(k<0)上的两点,则m,n的大小关系是( )A.m<nB.m>nC.m≥nD.m≤n12.(2022河南信阳期末,8,★☆☆)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上,y随x的增大而增大,且kb>0,则在平面直角坐标系内,它的图象大致是( )A B C D13.(2022浙江绍兴中考,9,★★☆)已知(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线y=-2x+3上的三个点,且x1<x2<x3,则以下判断正确的是( ) A.若x1x2>0,则y1y3>0 B.若x1x3<0,则y1y2>0C.若x2x3>0,则y1y3>0D.若x2x3<0,则y1y2>014.(2020四川凉山州中考,7,★★☆)若一次函数y=(2m+1)x+m-3的图象不经过第二象限,则m的取值范围是( ) A.m>-12B.m<3C.-12<m<3 D.―12<m≤315.(2022安徽芜湖一中期末,12,★☆☆)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在一次函数y=(a-2)x+1的图象上,当x1>x2时,y1<y2,则a的取值范围是 .16.(2022重庆期末,12,★★☆)若关于x的分式方程6xx―1=3+axx―1的解为整数,且一次函数y=(7-a)x+a的图象不经过第四象限,则符合题意的整数a的个数为 .素养探究全练17.【几何直观】在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(m+1,m-1).(1)试判断点P是否在一次函数y=x-2的图象上,并说明理由;(2)如图,一次函数y=-12x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,若点P在△AOB的内部,求m的取值范围.18.【运算能力】一次函数y=(m-2)x+m2-1的图象经过点A(0,3).(1)求m的值,并写出函数解析式;(2)若函数图象与x轴交于点B,直线y=(n+2)x+n2-1也经过点A(0,3),且与x轴交于点C,求线段BC的长.答案全解全析基础过关全练1.D y =2x -1中,2x 不是整式,不是一次函数,y =x 2+1不是一次函数,y =kx +b (k 、b 是常数)中,当k =0时,不是一次函数,y =1-2x 是一次函数.故选D .2.C 由题意得3-|m |=1且m -3≠0,∴m =±2且m ≠3,∴m 的值为2或-2,故选C .3.B ∵k =2>0,b =1>0,∴直线经过第一、二、三象限.故选B .4.A 将直线y =5x 向下平移2个单位长度,所得直线的表达式为y =5x -2.故选A .5.B ∵一次函数y =(2m -3)x +3n +1的图象经过第一、二、三象限,∴2m ―3>0,3n +1>0,解得m >32,n >-13,故选B .6.D 根据题意可得m -2=0,且m ≠0,解得m =2,所以该一次函数表达式为y =2x -1,把x =1代入y =2x -1得到y =1,故该函数图象经过点(1,1),不经过点(1,0),故选项A 错误;函数y =2x -1中,k =2>0,则y 值随着x 值的增大而增大,故选项B 错误;函数y =2x -1中,k =2>0,b =-1<0,则该函数图象经过第一、三、四象限,故选项C 错误;当x >1时,2x -1>1,即y >1,故y >0正确,故选项D 正确.故选D .7.A 一次函数y =(5a 2+8)x -3(a 为常数)中,5a 2+8>0,∴y随x的增大而增大,∵x1<x2<x3,∴y1<y2<y3,故选A.8.答案　三解析　∵一次函数y=-2x+b,且b>0,∴它的图象经过第一、二、四象限,不经过第三象限.9.答案　a<-32解析　∵一次函数y=(2a+3)x+2的值随x值的增大而减小,∴2a+3<0,解得a<-32.10.解析　(1)∵函数y=(2m+1)x+m-3的图象经过原点,∴当x=0时,y=0,即m-3=0,解得m=3.(2)∵函数y=(2m+1)x+m-3的图象与直线y=3x-3平行,∴2m+1=3,且m-3≠-3,解得m=1.(3)∵这个函数是一次函数,且y随着x的增大而减小,∴2m+1<0,解得m<-12.能力提升全练11.A　∵点,m,点,n是直线y=kx+b上的两点,且k<0,∴y随x的增大而减小,∵32>72,∴m<n,故选A.12.A　∵点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线y=kx+b(k≠0)上,y随x的增大而增大,且kb>0,∴k>0,b>0,∴直线y=kx+b经过第一、二、三象限,故选A.13.D　∵y=-2x+3中,-2<0,∴y随x的增大而减小,当y=0时,x=1.5,∵(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)为直线y=-2x+3上的三个点,且x1<x2<x3,∴若x1x2>0,则x1,x2同号,但不能确定y1y3的正负,故选项A不符合题意;若x1x3<0,则x1,x3异号,但不能确定y1y2的正负,故选项B不符合题意;若x2x3>0,则x2,x3同号,但不能确定y1y3的正负,故选项C不符合题意;若x2x3<0,则x2,x3异号,则x1,x2同时为负,故y1,y2同时为正,故y1y2>0,故选项D符合题意.故选D.14.D　根据题意得2m+1>0,m―3≤0,解得―12<m≤3.故选D.15.答案　a<2解析　∵当x1>x2时,y1<y2,∴a-2<0,∴a<2,故答案为a<2.16.答案　3解析　∵一次函数y=(7-a)x+a的图象不经过第四象限,∴7―a>0,a≥0,解得0≤a<7,由分式方程6xx―1=3+axx―1得x=3a―3,∵分式方程6xx―1=3+axx―1的解为整数,且x≠1,∴整数a=0,2,4,∴符合题意的整数a的个数为3.素养探究全练17.解析　(1)∵当x=m+1时,y=m+1-2=m-1,∴点P(m+1,m-1)在函数y=x-2的图象上.(2)∵函数y=-12x+3的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B,∴A (6,0),B (0,3),∵点P 在△AOB 的内部,∴0<m +1<6,0<m -1<3,m -1<-12(m +1)+3,∴1<m <73.18.解析　(1)由题意得m 2-1=3,所以m =±2.又m -2≠0,所以m ≠2,所以m =-2,所以y =-4x +3.(2)由题意可得点B ,0.因为直线y =(n +2)x +n 2-1经过点A (0,3),所以n 2-1=3,所以n =±2.又n +2≠0,所以n ≠-2,所以n =2.所以y =4x +3,所以点C 的坐标为―34,0,所以线段BC 的长为34―=32.。

高中数学第2章函数 2.2.1 一次函数的性质与图象课件 b必修1b高一必修1数学课件

k>0,b<0
第一、三、四象限
k<0,b>0
第一、二、四象限
k<0,b<0
第二、三、四象限
第二十一页，共三十六页。
题型一
题型三
题型二
题型四
【变式训练(xùnliàn)2】如果ab>0,bc<0,那么一次函数ax+by+c=0的图象的大
致形状是(
)

解析:函数可化为 y=− − . 因为ab>0,bc<0,
∴点(-1,0)在函数y=(2m-1)x+1-3m的图象上,
即(2m-1)×(-1)+1-3m=0.
2
∴m= 5.
反思解此类型的题目,要正确理解正比例函数、一次函数的概念(gàiniàn)
及一次函数的性质.从概念和性质入手,问题便可迎刃而解.
第十五页，共三十六页。
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 1】若函数 f(x)=(t-2)
…
Δy
…
10
10
10
由上表可以看出,函数值后一个比前一个大10.
事实上,取x1=a,则y1=5a-3,取x2=a+2,
则y2=5(a+2)-3,
所以Δy=y2-y1=10.
一般地,设一次函数y=kx+b(k≠0),若取x1=a,则y1=ka+b;若取x2=a+2,则
y2=k(a+2)+b=ka+b+2k,
2.2 一次函数
和二次函数
(hánshù)
第一页，共三十六页。
(hánshù)
2.2.1 一次函数的性质

一次函数(第2课时)八年级数学上册课件(浙教版)

数的解析式，关键是要确定k和b的值（即待定系数）.
函数解析式
y=kx+b
选取
满足条件的两点
(x1,y1),(x2,y2)
解出
画出
选取
一次函数的图象直线l
解：∵P（0，-1）和Q（1，1）都在该函数图象上，
∴它们的坐标应满足y=kx+b ，将这两点坐标代入该
式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
∴y是关于x的一次函数；
（2）把y=-15，x=-1；x=7，y=1，分别代入y=kx-kn-m，
−�� = −�� − �� − ��
得
，
= �� − �� − ��
解得：k=2，
∴y=2x-2n-m
∵x=7时，y=1
∴1=14-2n-m
解得-2n-m=-13
∴y关于x的函数表达式为：y=2x-13．
【点睛】利用定义求一次函数 y kx b 解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
例2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任
意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b 是解题的关键．
4．一次函数y=ax-a+3中，当x=1时，可以消去a，求出y=3结合一次函数
图象可知，无论a取何值，一次函数y=ax-a+3的图象一定过定点(1,3)，则
定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=(a3)x+a+3(a≠3)的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（）

考点08 一次函数的图象与性质-备战2023届中考数学一轮复习考点梳理(解析版)

考点08 一次函数的图象和性质一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。

各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面。

也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础。

故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。

一、一次函数的图象与平移二、一次函数的性质三、待定系数法求解一次函数的表达式四、一次函数与方程、不等式的关系五、一次函数与三角形面积考向一：一次函数的图象与平移一．一次函数的图象二．一次函数图象的画法1．下列函数：①y ＝4x ；②y ＝﹣；③y ＝；④y ＝﹣4x +1，其中一次函数的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可．【解答】解：y ＝﹣4x ，y ＝﹣，y ＝﹣4x +1都符合一次函数的定义，属于一次函数；y ＝是反比例函数，综上所述，其中y 是x 的一次函数的个数有3个．故选：C．一次函数的图象是经过点和点的一条直线2．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝k（x﹣1）（k＞0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．【解答】解：∵y＝k（x﹣1）（k＞0），∴一次函数图象过点（1，0），y随x的增大而增大，故选项B符合题意．故选：B．3．如图，同一直角坐标系中，能表示一次函数y＝x+kb和y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系逐项分析即可．【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于正半轴，则kb＞0，kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；B、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限，则k＞0，b＜0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的一次项系数为正，与题干图形相矛盾，不符合题意；C、一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，则kb＜0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＜0与kb＜0相一致，符合题意；D、一次函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限，则k＜0，b＜0，则kb＞0；而一次函数y＝x+kb的图象与y轴交于负半轴，则kb＜0．kb＞0与kb＜0相矛盾，不符合题意；故选：C．4．在平面直角坐标系中，直线是函数y＝6x﹣2的图象，将直线l平移后得到直线y＝6x+2，则下列平移方式正确的是（）A．将1向右平移4个单位长度B．将1向左平移4个单位长度C．将1向上平移4个单位长度D．将1向下平移4个单位长度【分析】利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案．【解答】解：设将直线y＝6x﹣2向左平移a个单位后得到直线y＝6x+2（a＞0），∴6（x+a）﹣2＝6x+2，解得：a＝，故将直线y＝6x﹣2向左平移个单位后得到直线y＝6x+2，同理可得，将直线y＝6x﹣2向上平移4个单位后得到直线y＝6x+2，观察选项，只有选项C符合题意．故选：C．5．直线y＝2x﹣4向上平移2个单位后所得的直线与x轴交点的坐标是　（1，0）　．【分析】利用一次函数平移规律，上加下减进而得出平移后函数解析式，再求出图象与坐标轴交点即可．【解答】解：直线y＝2x﹣4沿y轴向上平移2个单位，则平移后直线解析式为：y＝2x﹣4+2＝2x﹣2，当y＝0时，则x＝1，故平移后直线与x轴的交点坐标为：（1，0）．故答案为：（1，0）．6．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y1＝k1x+b1与y2＝k2x+b2的图象分别为直线l1和直线l2，下列结论正确的是（）A．k1k2＜0B．k1+k2＜0C．b1﹣b2＞0D．b1b2＞0【分析】根据一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2的图象位置，可得k1＜0，b1＜0，k2＜0，b2＞0，然后逐一判断即可解答．【解答】解：∵一次函数y＝k1x+b1的图象过四、二、三象限，∴k1＜0，b1＜0，∵一次函数y＝k2x+b2的图象过一、二、四象限，∴k2＜0，b2＞0，∴A、k1•k2＞0，故A不符合题意；B、k1+k2＜0，故B符合题意；C、b1﹣b2＜0，故C不符合题意；D、b1•b2＜0，故D不符合题意；故选：B．考向二：一次函数的性质对于任意一次函数y=kx+b（k≠0），点A (x1,y1）B（x2,y2）在其图象上1．一次函数y＝﹣3x+1的图象经过（）A．第一、二、四象限B．第一、三、四象限C．第一、二、三象限D．第二、三、四象限【分析】利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．【解答】解：∵y＝﹣3x+1，∴k＜0，b＞0，故直线经过第一、二、四象限．故选：A．2．已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，则y1，y2的大小关系是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．大小不确定【分析】利用偶次方的非负性，可得出m2≥0，进而可得出k＝m2+1＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣3＜﹣1，可得出y1＜y2．【解答】解：∵m2≥0，∴k＝m2+1＞0，∴y随x的增大而增大．又∵点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在直线y＝（m2+1）x+m上，且﹣3＜﹣1，∴y1＜y2．故选：B．3．已知A（x1，y1），B（x2，y2）是关于x的函数y＝（m﹣1）x图象上的两点，当x1＜x2时，y1＜y2，则m 的取值范围是（）A．m＞0B．m＜0C．m＞1D．m＜1【分析】由“当x1＜x2时，y1＜y2”，可得出y随x的增大而增大，结合一次函数的性质，可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵当x1＜x2时，y1＜y2，∴y随x的增大而增大，∴m﹣1＞0，解得：m＞1，∴m的取值范围是m＞1．故选：C．4．对于一次函数y＝﹣2x+1的相关性质，下列描述错误的是（）A ．函数图象经过第一、二、四象限B ．图象与y 轴的交点坐标为（1，0）C ．y 随x 的增大而减小D ．图象与坐标轴调成三角形的面积为【分析】根据一次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A ．∵k ＝﹣2＜0，b ＝1＞0，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意；B ．当x ＝0时，y ＝1，∴函数图象与y 轴的交点坐标为（0，1），错误，符合题意；C ．∵k ＝﹣2＜0，∴y 的值随着x 增大而减小，正确，不符合题意；D ．令y ＝0可得y ＝1，∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：×1×＝，故D 正确，不符合题意．故选：B ．5．已知点（﹣2，y 1），（2，y 2）都在直线y ＝2x ﹣3上，则y 1　＜　y 2．（填“＜”或“＞”或“＝”）【分析】由k ＝2＞0，利用一次函数的性质可得出y 随x 的增大而增大，再结合﹣2＜2即可得出y 1＜y 2．【解答】解：∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大，又∵﹣2＜2，∴y 1＜y 2．故答案为：＜．考向三：待定系数法求一次函数的解析式1．一个正比例函数的图象过点（﹣2，3），它的表达式为（）A．B．C．D．【分析】利用待定系数法即可求解．【解答】解：设函数的解析式是y＝kx．根据题意得：﹣2k＝3．解得：k＝﹣．故函数的解析式是：y＝﹣x．故选：A．2．已知一次函数y＝mx﹣4m，当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．m的值不存在【分析】结合一次函数的性质，对m分类讨论，当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，此时x＝1，y ＝2且x＝3，y＝6；当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，此时x＝1，y＝6且x＝3，y＝2；最后利用待定系数法求解即可．【解答】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大，∴当x＝1时，y＝2且当x＝3时，y＝6，令x＝1，y＝2，解得m＝，不符题意，令x＝3，y＝6，解得m＝﹣6，不符题意，当m＜0时，一次函数y随x增大而减小，∴当x＝1时，y＝6且当x＝3时，y＝2，令x＝1，y＝6，解得m＝﹣2，令x＝3，y＝2，解得m＝﹣2，符合题意，故选：B．3．已知y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣3．则当x＝﹣时，y＝．【分析】设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入，求出k得到函数解析式，把x＝﹣代入函数解析式，求出即可．【解答】解：根据题意，设y＝kx，把x＝2，y＝﹣3代入得：﹣3＝2k，解得：k＝﹣，∴y与x的函数关系式为y＝﹣x，把x＝﹣代入y＝﹣x，得y＝﹣×（﹣）＝，故答案为：．4．已知一次函数的图象经过A（2，0），B（0，4）两点．（1）求此一次函数表达式；（2）试判断点（﹣1，6）是否在此一次函数的图象上．【分析】（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把A（2，0），B（0，4）代入求出k的值即可；（2）把x＝﹣1代入（1）中函数解析式进行检验即可．【解答】解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），∵A（2，0），B（0，4）在函数图象上，∴，解得，∴一次函数的解析式为：y＝﹣x+4；（2）由（1）知，函数解析式为：y＝﹣x+4，∴当x＝﹣1时，y＝5≠6，∴点（﹣1，6）不一次函数的图象上．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+a与y轴交于点C（0，6），与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式；（2）直线AD与（1）中所求的直线相交于点D（﹣1，n），点A的坐标为（﹣3，0）．求n的值及直线AD 的解析式．【分析】（1）把C （0，6）代入函数解析式，可得答案．（2）先求D 的坐标，再利用待定系数法求解AD 的解析式．【解答】解：（1）直线y ＝﹣2x +a 与y 轴交于点C （0，6），∴﹣2×0+a ＝6，∴a ＝6，∴直线的解析式为y ＝﹣2x +6；（2）点D （﹣1，n ）在y ＝﹣2x +6上，∴n ＝﹣2×（﹣1）+6＝8，∴D （﹣1，8），设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把点A （﹣3，0）和D （﹣1，8）代入得，解得，∴直线AD 的解析式为y ＝4x +12．考向四：一次函数与方程不等式间的关系的交点坐标由函数图象直接写出不等式解集的方法归纳：1．已知方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解是x ＝1，则直线y ＝2x ﹣1和y ＝﹣3x +4的交点坐标为（）A ．（1，0）B ．（1，1）C ．（﹣1，﹣3）D ．（﹣1，1）【分析】把x ＝1代入直线解析式y ＝2x ﹣1求出y 的值即可得到交点坐标．【解答】解：∵x ＝1是方程2x ﹣1＝﹣3x +4的解，∴把x ＝1代入y ＝2x ﹣1，得y ＝2×1﹣1＝1．∴交点坐标为（1，1）．故选：B ．2．如图，直线y ＝ax +b （a ≠0）过点A （0，1），B （2，0），则关于x 的方程ax +b ＝0的解为 x ＝2　．【分析】所求方程的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点横坐标，确定出解即可．【解答】解：方程ax +b ＝0的解，即为函数y ＝ax +b 图象与x 轴交点的横坐标，∵直线y ＝ax +b 过B （2，0），∴方程ax +b ＝0的解是x ＝2，故答案为：x ＝2．3．如图，一次函数y ＝2x +1的图象与y ＝kx +b 的图象相交于点A ，则方程组的解是（）A．B．C．D．【分析】先求点A的横坐标，然后根据两条直线的交点坐标即可写出方程组的解．【解答】解：y＝3代入y＝2x+1得2x+1＝3，解得x＝1，所以A点坐标为（1，3），所以方程组的解是．故选：B．4．如图，已知直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则x+y＝　3　．【分析】根据由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），即可确定二元一次方程组的解，进一步求值即可．【解答】解：由图象可知，直线y＝ax+b和直线y＝kx交于点P（1，2），∴二元一次方程组的解为，∴x+y＝1+2＝3，故答案为：3．5．若定义一种新运算：，例如：2@4＝2+4﹣3＝3，2@1＝2﹣1+3＝4，下列说法：①（﹣1）@（﹣2）＝4；②若x@（x+2）＝5，则x＝3；③x@2x＝3的解为x＝2；④函数y＝（x2+1）@1与x轴交于（﹣1，0）和（1，0）．其中正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据新定义，逐项判断即可．【解答】解：（﹣1）@（﹣2）＝﹣1﹣（﹣2）+3＝4，故①正确；∵x@（x+2）＝x+（x+2）﹣3＝2x﹣1，∴x@（x+2）＝5即是2x﹣1＝5，解得x＝3，故②正确；当x＜2x，即x＞0时，∵x@2x＝3，∴x+2x﹣3＝3，解得x＝2；当x≥2x，即x≤0时，∵x@2x＝3，∴x﹣2x+3＝3，解得x＝0，∴x@2x＝3的解是x＝2或x＝0，故③错误；∵x2+1≥1，∴y＝（x2+1）@1＝x2+1﹣1+3＝x2+3，令y＝0得x2+3＝0，方程无实数解，∴函数y＝（x2+1）@1与x轴无交点，故④错误；∴正确的有①②，共2个，故选：C．6．如图，已知一次函数y1＝kx﹣b与y2＝nx函数图象相交于点M，当kx﹣b＝nx时，x的值是　1　，当y1＞y2时，x的取值范围是　x＜1　，当y1＜y2时，x的取值范围是　x＞1　．【分析】根据两条直线的交点、结合图象解答即可．【解答】解：由图象可知，当kx﹣b＝nx时，x的值是1，当y1＞y2时，x的取值范围是x＜1，当y1＜y2时，x的取值范围是x＞1．故答案为：1，x＜1，x＞1．7．小时在学习了一次函数知识后，结合探究一次函数图象与性质的方法，对新函数y＝2﹣|x﹣1|及其图象进行如下探究．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣2﹣1m1210n﹣2…其中m＝　0　，n＝　﹣1　．（2）请在给出的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：　当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大　．（3）当时，x的取值范围为　x≤﹣1或x≥2　．【分析】（1）把x＝﹣1和x＝4分别代入解析式即可得到m、n的值；（2）利用描点法画出图象，观察图象可得出函数的性质；（3）利用图象即可解决问题．【解答】解：（1）把x＝﹣1代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|﹣1﹣1|＝0，∴m＝0；把x＝4代入y＝2﹣|x﹣1|得，y＝2﹣|4﹣1|＝﹣1，∴n＝﹣1；故答案为：0，﹣1；（2）画出函数的图象如图：观察图象可知：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；故答案为：当x＞1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大；（3）画出一次函数y＝x+的图象，观察图象可知：当时，x的取值范围为x≤﹣1或x≥2，故答案为：x≤﹣1或x≥2．考向五：一次函数与三角形面积一．一次函数与坐标轴围成三角形面积的规律方法归纳1.一次函数y=kx+b（k≠0）与坐标轴交点规律与x轴交点坐标（，0）故：当k、b同号时，直线交于x轴负半轴；当k、b异号时，直线交于x轴正半轴对于直线y=kx+b（k≠0）与y轴交点坐标（0，b）故：当b＞0时，直线交于y轴正半轴；当b＜0时，直线交于y轴负半轴2.求两直线交点坐标方法：联立两直线解析式，得二元一次方程组，解方程组得交点坐标；3.求三角形面积时，三角形有边在水平或者竖直边上，常以这条边为底，再由底所对顶点的坐标确定高；二．一次函数图象与几何图形动点面积1.此类问题需要将动点所在几何图形与一次函数图象同时分析，对照一次函数图象得出动点所在几何图形的边长信息2.对函数图象的分析重点抓住以下两点：①分清坐标系的x轴、y轴的具体意义②特别分析图象的拐点——拐点一般表示动点运动到几何图形的一个顶点3.动点所在几何图形如果是特殊图形，如等腰三角形、等腰直角三角形、含30°的直角三角形，注意对应图形性质与辅助线的应用。

1一次和二次函数 - 简单难度 - 讲义

一次与二次函数知识讲解一、一次函数概念：形如(0)y kx b k =+≠的函数叫做一次函数．（一次函数又叫做线性函数）它的定义域为R ，值域为R ．斜率：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中k 叫做该直线的斜率．截距：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是直线，其中b 叫做直线在y 轴上的截距．注：截距不是距离，截距可以是正的，可以是负的，也可以是0．性质：（1）函数值的改变量21y y y ∆=-与自变量的该变量21x x x ∆=-的比值等于常数k ，即2121y y y k x x x -∆==∆-，k 的大小表示直线与x 轴的倾斜程度．（2）当0k >时，一次函数是增函数；当0k <时，一次函数是减函数．（3）当0b =时，一次函数变为正比例函数，是奇函数；当0b ≠时，它既不是奇函数，也不是偶函数．（4）直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(,0)b k -，与y 轴的交点为(0,)b ．（5）直线111:l y k x b =+,直线222:l y k x b =+， ①1l //2l 12k k ⇔=且12b b ≠．②1l 与2l 重合12k k ⇔=且12b b =．二、二次函数1.概念：形如2(0)y ax bx c a =++≠叫做二次函数．2.定义域：它的定义域为R ．3.值域：当0a >时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≥⎨⎬⎩⎭；当0a <时，值域为24|4ac b y y a ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭4.解析式4种形式一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，对称轴2b x a -=，顶点24(,)24b ac b a a -- 顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠，对称轴x h =，顶点(,)h k 交点式：12()()(0)y a x x x x a =--≠，抛物线与x 轴交于1(,0)x ，2(,0)x 对称点式：12()()y a x x x x b =--+，抛物线图象上有两对称点12(,),(,)x b x b注意：①二次函数的一般式可通过配方得到顶点式．②在求二次函数的解析式时，应根据已知条件，合理设式．已知三点坐标，若有对称点（两点的纵坐标相同），则设对称点式；若没有，则设一般式．已知对称轴或顶点坐标，应设顶点式．5.性质性质1：顶点坐标24(,)24b ac b a a--，对称轴2b x a -=，与y 轴交于(0,)c ;性质2：当0a >时，开口向上，当2b x a -=时，2min 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，单调递减区间为,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 性质3：当0a <时，开口向下，当2b x a -=时，2max 4()24b ac b y f a a--==；单调递增区间是,2b a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，单调递减区间为,2b a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．性质4：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数⇔0b =6.函数图象的平移：左加右减，上加下减（1）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向左平移个单位()y f x a =+；（2）()y f x =(0)a a >−−−−−−−→向右平移个单位()y f x a =-；（3）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向上平移b 个单位()+y f x b =；（4）()y f x =(0)b >−−−−−−−→向下平移b 个单位()y f x b =-；注意：左右平移只是针对单个x 而言．7.配方法（1）提，提系数将平方项的系数化为1；（2）配，加上一次项系数的一半的平方，再减去一次项系数的一半的平方；（3）整理．注意：“配方法”是研究二次函数的主要方法．熟练地掌握配方法是掌握二次函数性质的关键． 8.韦达定理：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为12,x x ，则1212,b c x x x x a a-+== 9.中点坐标公式：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则0120122,2x x x y y y =+=+ 10.交点距离公式：若二次函数2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x ，则12AB x x a=-=（其中24b ac ∆=-）三、待定系数法1.什么是待定系数法？一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再跟据题设条件求出这些待定系数．这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法．2.待定系数法解题的基本步骤是什么？第一步：设出含有待定系数的解析式；第二步：根据恒等的条件，列出含待定系数的方程或方程组；第三步：解方程或方程组，从而使问题得到解决．经典例题一．选择题（共17小题）1．（2016秋•东莞市校级期末）函数f（x）=﹣2x+1（x∈[﹣2，2]）的最小、最大值分别为（）A．3，5B．﹣3，5C．1，5D．5，﹣3【解答】解：因为f（x）=﹣2x+1（x∈[﹣2，2]）是单调递减函数，所以当x=2时，函数的最小值为﹣3．当x=﹣2时，函数的最大值为5．故选：B．2．（2017秋•梁子湖区校级月考）若一次函数y=mx+b在（﹣∞，+∞）上是增函数，则有（）A．b＞0B．b＜0C．m＞0D．m＜0【解答】解：∵一次函数y=mx+b在（﹣∞，+∞）上是增函数，∴一次项系数m＞0，故选：C．3．（2016秋•南开区期末）一次函数y=﹣mnx+1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是（）A．mn＞0B．m＞1，且n＞1C．m＞0，且n＜0D．m＞0，且n＞0【解答】解：若一次函数y=﹣mn x+1n的图象同时经过第一、二、四象限，则﹣mn ＜0，1n＞0，即m＞0，且n＞0，mn＞0⇔m＞0，且n＞0，或m＜0，且n＜0，故mn＞0是一次函数y=﹣mn x+1n的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件，故选：A．4．（2017秋•凉州区校级期末）若ac＜0，bc＜0，则直线ax+by+c=0的图形只能是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知，函数的解析式即y=﹣ab x﹣cb，∵ac＜0，bc＜0，∴a•b＞0，∴﹣ab＜0，﹣cb＞0，故直线的斜率小于0，在y轴上的截距大于0，故选：C．5．（2017秋•昌平区校级期末）函数y=x2﹣2x的单调递增区间是（）A．（1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（0，2）【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1 的对称轴为x=1，它的图象是开口向上的抛物线，故函数的增区间为（1，+∞），故选：A．6．（2017秋•莲湖区校级期末）函数y=x2+2x﹣1在[0，3]上最小值为（）A．0B．﹣4C．﹣1D．﹣2【解答】解：y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，其图象对称轴为x=﹣1，开口向上，函数在区间[0，3]上单调递增，所以当x=0时函数取得最小值为﹣1．故选：C．7．（2017秋•黔南州期末）函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为（）A．（2，10]B．[1，10]C．（1，10]D．[2，10]【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，1]为减函数，在[1，4]上为增函数，故当x=1时，函数f（x）取最小值1；当x=4时，函数f（x）取最大值10；故函数f（x）=x2﹣2x+2在区间（0，4]的值域为[1，10]，故选：B．8．（2017秋•新罗区校级期中）若函数f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则y=f（x）的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣∞，0]D．[0，+∞）【解答】解：函数f（x）=（m﹣1）x2+2mx+3是偶函数，则对称轴为y轴，即有m=0，f （x ）=﹣x 2+3，函数的对称轴为x=0，开口向下，y=f （x ）的单调递减区间是：[0，+∞）．故选：D ．9．（2017秋•长安区校级期末）若函数f （x ）=x 2﹣ax ﹣3在区间（﹣∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是（）A ．[8，+∞）B ．（﹣∞，8]C ．[4，+∞）D ．[﹣4，+∞）【解答】解：∵f （x ）=x 2﹣ax ﹣3在区间（﹣∞，4]上递减，对称轴为x=a 2， ∴a 2≥4，故a ≥8，故选：A ．10．（2017•梅河口市校级模拟）如果函数y=x 2+（1﹣a ）x +2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（）A ．a ≥9B ．a ≤﹣3C ．a ≥5D ．a ≤﹣7【解答】解：函数y=x 2+（1﹣a ）x +2的对称轴x=a−12又函数在区间（﹣∞，4]上是减函数，可得a−12≥4，得a ≥9．故选：A ．11．（2016秋•东城区期末）二次函数f （x ）=ax 2+bx +1的最小值为f （1）=0，则a ﹣b=（）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．3【解答】解：二次函数f （x ）=ax 2+bx +1的最小值为f （1）=0，∴b−2a=1，且a＞0，∴b=﹣2a，∴f（1）=a+b+1=0，解得a=1，b=﹣2，∴a﹣b=3，故选：D．12．（2017春•高安市校级期末）二次函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3﹣x），x ∈R且f（x）=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=（）A．6B．﹣6C．.3D．﹣3【解答】解：二次函数y=f（x）满足f（x+3）=f（3﹣x），x∈R，可知二次函数的对称轴为：x=3，f（x）=0有两个实根x1，x2，则x1+x2=6．故选：A．13．（2017春•岳麓区校级期末）已知函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣3或x＞1}，则函数y=f（﹣x）的图象可以为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣3或x ＞1}，所以a＜0．并且﹣3，1是函数的零点，函数y=f（﹣x）的图象与函数f（x）的图象关于y轴对称，所以函数y=f（﹣x）的图象是B．故选：B．14．（2016秋•宿松县校级期末）不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，那么（）A．a＜0，△＜0B．a＜0，△≤0C．a＞0，△≥0D．a＞0，△＞0【解答】解：∵不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为R，∴a＜0，且△=b2﹣4ac＜0，综上，不等式ax2+bx+c＜0（a≠0）的解集为的条件是：a＜0且△＜0．故选：A．15．（2016秋•靖远县期末）已知函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值，则实数k的取值范围是（）A．[160，+∞）B．（﹣∞，40]C．（﹣∞，40]∪[160，+∞）D．（﹣∞，20]∪[80，+∞）【解答】解：∵函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上既没有最大值也没有最小值根据二次函数的性质可知，函数f （x ）=4x 2﹣kx ﹣8在区间（5，20）上是单调函数∴k 8≤5或k 8≥20 ∴k ≤40或k ≥160故选：C ．16．（2016秋•荆门期末）函数y=1x 2−4x+3（x ≠1且x ≠3）的值域为（）A ．[13，+∞） B ．[﹣1，0）∪（0，+∞） C ．[﹣1，+∞） D ．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）【解答】解：∵x 2﹣4x +3≥﹣1，当x ≠1且x ≠3时，x 2﹣4x +3≠0，故x 2﹣4x +3∈[﹣1，0）∪（0，+∞），故函数y=1x 2−4x+3（x ≠1且x ≠3）的值域为（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞），故选：D ．17．（2018春•柯桥区期末）已知函数f （x ）=（ax ﹣1）（x +b ），如果不等式f （x ）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f （﹣2x ）＜0的解集是（）A ．（﹣∞，﹣32）∪（12，+∞）B ．（﹣32，12）C ．（﹣∞，﹣12）∪（32，+∞） D ．（﹣12，32）【解答】解：∵不等式f （x ）＞0的解集是（﹣1，3），∴（ax ﹣1）（x +b ）＞0，∴（﹣ax +1）（x +b ）＜0，∴a=﹣1，b=﹣3，∴f （﹣2x ）=[﹣（﹣2x ）﹣1][（﹣2x ）﹣3]＜0，解得：x ＞12，或x ＜﹣32，故选：A ．二．填空题（共2小题）18．（2017秋•峨山县校级期末）函数f （x ）=4x 2﹣mx +5在[2，+∞）上为增函数，则m 的取值范围是（﹣∞，16] ．【解答】解：函数f （x ）的增区间为[m 8，+∞），又f （x ）在[2，+∞）上为增函数，所以[2，+∞）⊆[m 8，+∞），则m 8≤2，解得m ≤16，所以m 的取值范围是（﹣∞，16]．故答案为：（﹣∞，16]．19．（2017春•黄陵县校级月考）直线y=ax ﹣3a +2（a ∈R ）必过定点（3，2）．【解答】解：∵y=ax ﹣3a +2=（x ﹣3）a +2，∴当a 的系数x ﹣3=0，即x=3时，对任意实数a ，直线y=ax ﹣3a +2都经过一个定点（3，2）．故答案为：（3，2）．。

一次函数的应用

一次函数的应用知识要点1.一次函数(1)一次函数的形式b kx y +=（k ，b 为常数，k ≠0），正比例函数的形式kx y =（k 为常数，k ≠0）正比例函数是特殊的一次函数 (2)、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。

2.一次函数的性质和正比例函数的性质（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大；（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。

,／k ／的决定直线的倾斜程度，／k ／越大直线越陡，／k ／越小直线越缓 b 代表与y 轴交点的纵坐标。

当b>0 直线交y 轴正半轴 b<0直线交y 轴负半轴3.一次函数与y 轴的交点坐标为（0，b ）；一次函数与x 轴的交点坐标，另y 等于0，求出x 的值.即（—kb，0）4.一次函数与坐标轴围成的三角形面积：21×／与x 轴的交点横坐标／×／与y 轴的交点纵坐标／5.两个一次函数k 1=k 2,b 1 ≠ b 2两直线平行k 1≠k 2,b 1= b 2两直线相交于y 轴上的点（0，b ）、k 1×k 2=-1.两直线垂直6.直线y=2x 向上平移三个单位得到y=2x+3，向下平移三个单位得到y=2x-37.在实际问题的图像常取在第一象限，读图时注意x 轴y 轴代表的信息，若图中有两条直线应标注各个直线的名称。

8.一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应x 的值．从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值．典型例题1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．、（1）求y1、y2与x的函数解析式（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义；、（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费元．)（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元（3）若小华付车费元，则出租车行驶了多少千米4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；.（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米$5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：所挂物体的质量（kg ） 0 1 2 3 4 5 6 7 弹簧的长度（cm ）^12131415（1）如果物体的质量为x kg ，弹簧长度为y cm ，根据上表写出y 与x 的关系式；（2）当物体的质量为时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度；（3）当弹簧的长度为17cm 时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．【6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算]7．百舸竞渡，激情飞扬．为纪念爱国诗人屈原，某市举行龙舟赛．甲、乙两支龙舟队在比赛时，路程y（米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象回答下列问题：（1）最先达到终点的是队，比另一对早分钟到达；（2）在比赛过程中，乙队在第分钟和第分钟时两次加速；（3）求在什么时间范围内，甲队领先（4）相遇前，甲乙两队之间的距离不超过30m的时间范围是．'8．甲、乙两个工程队共同修建一条乡镇公路，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队遇到山坡路段，工作效率降低，当乙队完成山坡路段时恰好公路修建完成，此时甲队工作了60天，设甲、乙两队各自修建的公路的长度为y（米），甲队工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲队的工作效率；（2）求乙队在山坡路段施工时，y与x之间的函数关系式；（3）求这条乡镇公路的总长度．9．如图，在四中八年级学生耐力测试赛中，甲、乙两学生跑的距离S（米）与时间t（秒）之间的函数关系的图象分别为折线OABC和线段OD．根据图象的信息，解答以下问题：（1）甲同学前15秒跑了米，同学先到终点．（2）出发后第几分钟两位同学第一次相遇本次测试的全程是多少米^（3）两位同学第二次相遇是在距终点多远的地方10．某校张老师暑假准备带领他们的“三好学生”外出旅游，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人400元，经协商，甲旅行社表示：“如果带队张老师买一张全票，则学生可半价”；乙旅行社表示：“所有游客全部享受6折优惠．”则：（1）设学生数为x（人），甲旅行社收费为y甲（元），乙旅行社收费为y乙（元），两家旅行社的收费各是多少（2）哪家旅行社收费较为优惠:经典练习11．某商场投入资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的进价与售价（单位：元/箱）如下表所示类别进价$售价甲2436乙3348（1）若某商场为购进甲、乙两种矿泉水共投入资金为13800元．①该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱②全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元（2）若设购进甲种矿泉水x箱，全部售完后商场共获得利润为y元．~③求出y与x之间的函数关系式；④若商场进货部门拟定了两种进货方案：方案a：甲、乙两种矿泉水各进250箱，方案b：甲种矿泉水进300箱，乙种矿泉水进200箱，哪一种进货方案获利大12．小王计划租一间商铺，下面是某房屋中介提供的两种商铺的出租信息：设租期为x（月），所需租金为y（元），其中x为大于1的整数．（元），（1）若小王计划租用的商铺为90m2，请分别写出在商座A，B租商铺所需租金yA（元）与租期x（月）之间的函数关系式；yB（2）在（1）的前提下，请你帮助小王分析：根据租期，租用哪个商座的商铺房租更低．\13．甲乙两台智能机器人从同一地点P出发，沿着笔直的路线行走了450cm到点Q．甲比乙先出发，乙出发一段时间后速度提高为原来的2倍．甲匀速走完全程．两机器人行走的路程y（cm）与时间x（s）之间的函数图象如图所示．根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙比甲晚出发秒，乙提速前的速度是每秒cm，t= ；（2）当x为何值时，乙追上了甲（3）若两台机器人到达终点Q后迅速折返，并保持折返前的速度继续匀速行走返回到点P，乙比甲早到多长时间)14．一个容积为400升的水箱，安装A、B两个进水管向水箱注水，注水过程中A水管始终打开，两水管进水的速度保持不变，当水箱注满时，两水管自动停止注水，注水过程中水箱中水量y（升）与A管注水时间x（分）之间的函数图象如图所示．（1）分别求出A、B两注水管的注水速度．（2）当8≤x≤16时，求y与x之间的函数关系式．（3）当两水管的注水量相同时，直接写出x的值．15．为了保证安全，某仓库引进A型、B型两台机器人搬运某种有毒货物到仓库存放，这两台机器人充满电后，各能连续工作5h，按照指令，A型机器人于某日零时开始搬运，过（kg）与A型了1h，B型机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量yA（kg）与A 机器人搬运时间x（h）之间的关系图象，线段EF表示B种机器人的搬运量yB型机器人的时间x（h）之间的关系图象，根据图象提供的信息解答下列问题：（1）点P表示的意义为：当x=3h时（2）直接写出线段OG所表示的搬运量与时间x（h）之间的关系式（3）A型机器人每小时搬运有毒货物kg，B型机器人每小时搬运有毒货物kg．—（4）到工作结束（各5h），A型、B型两台机器人共搬运多少有毒货物16．一辆机动车以40km/h的速度匀速行驶若干小时候，邮箱中剩余的油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的关系如下：行驶时间t（h） 0 1 2 3}…剩余油量Q（L） 42 36 30 24…根据以上信息，解答下列问题：（1）机动车出发前油箱内存油L；每小时耗油量为L；（2）写出Q与t的函数关系式；（3）若该机动车从出发到目的地的路程为300km，问邮箱中的油够用吗为什么（17．我市某风景区门票价格如图所示，某旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，如果甲、乙两团队分别购买门票，两团队门票款之和为W元．（1）求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若甲团队人数不超过100人，请说明甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元．@18．如图，分别表示甲步行与乙汽自行车（在同一条路上）行走的路程S甲、S乙与时间t的关系，观察图象并回答下列问题：（1）乙出发时，乙与甲相距千米；（2）走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修车的时间为小时；（3）乙从出发起，经过小时与甲相遇；（4）甲行走的平均速度是多少千米/小时（5）乙骑自行车出故障前的速度与修车后的速度一样吗为什么￥19．某公司到果品基地购买某种优质水果慰问医务工作者，果品基地对购买量在3000kg 以上（含3000kg）的顾客采用两种销售方案．甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回．已知该公司租车从基地到公司的运输费用为5000元．（1）分别写出该公司两种购买方案付款金额y（元）与所购买的水果量x（kg）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）当购买量在哪一范围时，选择哪种购买方案付款最少并说明理由．20．移动营业厅推出两种移动电话计费方式：方案一，月租费用15元/月，本地通话费用元/分钟，方案二，月租费用0元/月，本地通话费用元/分钟．（1）以x表示每个月的通话时间（单位：分钟），y表示每个月的电话费用（单位：元），分别表示出两种电话计费方式的函数表达式；（2）问当每个月的通话时间为300分钟时，采用哪种电话计费方式比较合算…21．小文，小亮从学校出发到青少年宫参加书法比赛，小文步行一时间后，小亮骑自行车沿相同路线行走，两人均匀速前行，他们的路程差s（米）与小文出发时间t（分）之间的关系如图所示．（1）求小文和小亮的速度各是多少（2）求学校到少年宫的距离．（3）求图中的a，b的值．22．甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，乙出发2h后甲再出发，且甲、乙两人离A地的距离y甲、y乙与时间x之间的函数图象如图所示．（1）乙的速度是km/h；（2）当2≤x≤5时，求y甲关于x的函数解析式；；（3）当甲与B地相距120km时，乙与A地相距多少千米23．一辆汽车和一辆摩托车分别从A，B两地去同一城市C，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，根据图象中的信息解答以下问题：（1）A，B两地相距km；（2）分别求出摩托车和汽车的行驶速度；（3）若两图象的交点为P，求点P的坐标，并指出点P的实际意义．《参考答案与试题解析1．某移动公司开设了两种通信业务：“全球通”要缴月租费50元．另外每分钟通话费元；“神州行”不缴月租费，但每分钟通话费元．若一个月通话x（min），两种收费方式的费用分别为y1和y2元．（1）求y1、y2与x的函数解析式（2）一个月内通话多少分钟，两种收费方式的费用是相同的（3）若x=300，选择哪种收费方式更合适【解答】解：（1）根据题意得y1=50+；]y2=；（2）当y1=y2，则50+=，解得x=250．∴通话250分钟两种费用相同；（3）当x=300时，y1=50+=50+×300=170，y2==×300=180，∴y1＜y2，∴选择“全球通”比较合算．2．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x h，两车之间的距离为y km，如图所示的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为900 km；(（2）请解释图中点B的实际意义；（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【解答】解：（1）由图象可得，甲、乙两地之间的距离为900km，故答案为：900；（2）图中点B的实际意义时当两车出发4小时时相遇；（3）由题意可得，慢车的速度为：900÷12=75km/h，快车的速度为：（900﹣75×4）÷4=150km/h，[即慢车的速度是75km/h，快车的速度是150km/h；（4）由题可得，点C是快车刚到达乙地，∴点C的横坐标是：900÷150=6，纵坐标是：900﹣75×6=450，即点C的坐标为（6，450），设线段BC对应的函数解析式为y=kx+b，∵点B（4，0），点C（6，450），∴，得，即线段BC所表示的y与x之间的函数关系式是y=225x﹣900（4≤x≤6）．3．某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费元．？（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式．（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元（3）若小华付车费元，则出租车行驶了多少千米【解答】解：（1）y=，y=（2）x=4时y=×4+=（元）小明乘坐出租车行驶4千米应付元（3）y=时+=，所x=11若小华付车费元，则出租车行驶了11千米4．李老师每天坚持晨跑．如图反映的是李老师某天6：20从家出发小跑到赵化北门，在北门休息几分钟后又慢跑回家的函数图象．其中x（分钟）表示所用时间，y（千米）表示李欢离家的距离．（1）分别求出线段0≤x≤10和15≤x≤40的函数解析式；￥（2）李老师在这次晨跑过程中什么时间距离家500米【解答】解：（1）设OA的解析式为y1=kx，则10k=2，解得k=，所以，y=x，设直线BC解析式为y2=k1x+b，∵函数图象经过点（15，2），（40，0），∴，解得．所以，直线BC解析式为y=﹣x+；~∴线段0≤x≤10的函数解析式为y1=x（0≤x≤10），线段15≤x ≤40的函数解析式为y 2=﹣x+（15≤x ≤40）；（2）当y 1=时，=x ，x=当y 2=时，=﹣x+，x==， ∴李老师在这次晨跑过程中分别于6点分和6点分距离家500米．5．弹簧挂上物体后会伸长，已知一弹簧的长度（cm ）与所挂物体的质量（kg ）之间的关系如下表：所挂物体的质量（kg ） 0 1 2 & 34 5 6 7弹簧的长度（cm ） 12 13 14 $15 （1）如果物体的质量为x kg ，弹簧长度为y cm ，根据上表写出y 与x 的关系式；（2）当物体的质量为时，根据（1）的关系式，求弹簧的长度；（3）当弹簧的长度为17cm 时，根据（1）的关系式，求弹簧所挂物体的质量．【解答】解：（1）由表可知：常量为，12，所以，弹簧总长y （cm ）与所挂重物x （㎏）之间的函数关系式为y=+12，（2）当x=时，y=×+12=，∴弹簧的长度是；（3）当y=17时，即+12=17，…∴x=10，∴弹簧所挂物体的质量是10kg ．6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球定价每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一副乒乓球拍赠送一盒乒乓球；乙店：按定价的九折优惠．某边需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲商店付款为y 甲（元），在乙商店付款为y 乙（元），分别写出y 甲，y 乙与x 的关系式；（2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店买合算【解答】解：（1）y 甲=20×4+5（x ﹣4）=60+5x （x ≥4）；y乙=20××4+5×=+72（x≥4）；（2）y甲=y乙时，60+5x=+72，解得x=24，即当x=24时，到两店一样合算；y甲＞y乙时，60+5x＞+72，解得x＞24，即当x＞24时，到乙店合算；。

一次函数(二)

第五讲一次函数（二）一、引学1、一次函数的定义:函数的解析式是自变量的一次式,它的一般形式是 ;特别地,当b=时,一次函数y=也叫作正比例函数 (或称y与x成正比例).2、一次函数的特征:因变量随自变量的变化是 .3、一次函数的图象(1)图象的形状:是一条 ;(2)图象的画法:因为点确定一条直线,所以只要描出点,再连成直线即可以计算和描点简单为原则,一般来说,①当0b≠时,画一般的一次函数y kx b=+的图象，应选取它与两个坐标轴的交点：， .②当0b=时,画特殊一次函数(正比例函数y kx=)的图象通常选取( ), ( )两点.(3)图象的主要特征:①正比例函数图象是经过的一条直线;②一次函数图象y kx b=+是经过点的一条直线.4、一次函数(0)y kx b k=+≠的增减性:k>时, y随x的而 ; (增函数)k<时, y随x的而 . (减函数)5、直线y kx b=+的位置与,k b的符号之间的关系二、引思例1 0 0k b >⎧⎨>⎩⇔②kb>⎧⎨<⎩⇔③kb>⎧⎨=⎩⇔xyo xyo④_0_0kb⎧⎨⎩⑤_0_0kb⎧⎨⎩⇔⑥_0_0kb⎧⎨⎩⇔（1）12x y +=-（2）3x y =- （3）125y x =- （4）21x y -= （5）2(1)(3)y x x x =--- （6）12y x -= （7）3y x=例2：已知函数232(1)(2)m y m x n -=---，求,m n 为何值时这个函数：（1）是正比例函数. （2）是一次函数.例3：填空例4：两直线位置关系1、分别在同一直角坐标系内画出下列各组函数的图象,指出每组函数图象之间的关系. (1)31,32y x y x =-=+ (2)2,32y x y x =-+=+2、直线132y x =+是直线12y x =向平移个单位得到的. 例5：已知一次函数(8)(6),y p x q =++-求: (1),p q 为何值时,y 随x 的增大而增大;(2),p q 为何值时,函数与y 轴的交点在x 轴的上方;(3),p q 为何值时,图象经过原点;(4)若图象经过第一、二、三象限,求,p q 的取值范围.例6：（拓展）1、直线32y x m =+和12y x n =-+都经过A 点(-2,0),且与y 轴交于B,C 两点,试求ABC 的面积.2、当0abc <,且b c y x a a =-的图象不经过第三象限时,试判断点(,)cab a-在哪个象限?三、引练1、下列函数中，是关于x 的一次函数的是（）A.1y x=B.221y x =-C.32y x =-D.y =2、一次函数(4)6y a x b =+-+的图象经过原点,则( )A.4,6a b =-=B.4,6a b ≠-=-C.4,6a b ≠-≠-D.4,6a b ≠-=3、若函数28(3)5m y m x -=+-是个一次函数,那么m 的值是 . 4、若函数2y x m =-+与41y x =-的图象交于x 轴,则m 的值为 . 5、把直线32y x =+的图象向下平移4个单位,得到直线 . 6、若一次函数y kx b =+与y 轴交点的纵坐标为-2,且与两坐标轴围成的三角形面积为1,则k = .7、已知一次函数3y x =+,当03x ≤≤时,函数y 的最小值是 ( ) A.0 B.3 C.-3 D.无法确定8、已知直线y kx b =+过点11(,)A x y 和22(,)B x y ,若0k <,且12,x x <则1y 与2y 的大小关系是 ( )A.12y y >B. 12y y <C. 12y y =D.不能确定9、已知直线1y kx b =+经过第一、二、四象限,则2y bx k =+所经过的象限是 . 10、已知函数(1)2,y k x =-+当1k >时,图象经过第象限, y 随x 的增大而 ; 当1k <时,图象经过第象限, y 随x 的增大而 ;第五讲知识运用课外训练等级1、已知函数25(2)()m y m x n m -=-++,求,m n 为何值时, 这个函数：（1）是正比例函数. （2）是一次函数.2、一次函数1(0)y kx k =+≠的图象与正比例函数y x =的图象交点的横坐标为2,求k 的值.3、将直线35y x =-+向下平移两个单位后,所得函数图象与x 轴的交点是 , 与y 轴的交点是 ,与两坐标轴围成的三角形面积是 .4、已知正比例函数(21)y m x =-的图象上有两点11(,)A x y ,22(,)B x y ,当12x x <时, 有12y y >,则m 的取值范围是 .5、若正比例函数210(21)m y m x -=-中, y 随x 的增大而减小,求这个正比例函数.6、等腰三角形周长为10,求底边长y 与腰长x 的函数关系式,并画出此函数图象.。

一次函数与二次函数的基本性质

一次函数与二次函数的基本性质一次函数和二次函数是数学中常见的两类函数。

它们在数学建模、物理学、经济学等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍一次函数和二次函数的基本性质，并比较它们之间的异同点。

一、一次函数的基本性质1. 定义：一次函数又称为线性函数，其定义为f(x) = ax + b，其中a 和b为常数，且a≠0。

一次函数的图像是一条直线。

2. 斜率：一次函数的斜率表示函数图像的倾斜程度，计算方法为斜率k = Δy / Δx = (f(x₂)-f(x₁)) / (x₂-x₁)。

斜率为正时，函数图像向上倾斜，斜率为负时，函数图像向下倾斜，斜率为0时，函数图像水平。

3. 截距：一次函数的截距是函数图像与坐标轴的交点。

当x=0时，函数图像与y轴的交点为y-intercept，即为函数的纵截距。

当y=0时，函数图像与x轴的交点为x-intercept，即为函数的横截距。

4. 性质：一次函数图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

另外，一次函数的定义域和值域都是实数集。

二、二次函数的基本性质1. 定义：二次函数又称为抛物线，其定义为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a≠0。

二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。

2. 零点：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是使得f(x) = 0的x值。

零点可以通过求解二次方程ax² + bx + c = 0来得到。

3. 顶点：二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其横坐标x = -b / 2a 可以通过公式来计算得到。

4. 对称轴：二次函数的对称轴是函数图像的对称线，过顶点且垂直于x轴。

对称轴的方程为x = -b / 2a。

5. 性质：二次函数的图像是一个开口向上或向下的曲线。

当a>0时，图像开口向上，函数有最小值；当a<0时，图像开口向下，函数有最大值。

二次函数的定义域是实数集，而值域则依赖于a的正负情况。

一次函数第二讲

一次函数一、正比例函数知识库1．形如y=kx （k 是常数，k ≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫比例系数．正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式．2．正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx ．当k>0时，直线y=kx 依次经过第三、一象限，从左向右上升，y 随x•的增大而增大；当k<0时，直线y=kx 依次经过第二、四象限，从左向右下降，y 随x•的增大而减小．3．根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象．例1：已知y=（k+1）x+1 k 是正比例函数，求k 的值．分析：由正比例函数的定义可知k+1≠0且k-1=0即可解：根据题意得：k+1≠0且k-1=0，解得：k=1 ∴k=1例2：根据下列条件求函数的解析式①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小．分析：①根据正比例函数的定义，可设y=kx 2，然后由x=-2、y=12求得k 的值．•②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数；则k 2-4=0，y 随x 的增大而减小，则k+1<0．解：①设y=k x 2 （k ≠0）∵x=-2时y=12 ∴（-2）2k=12 ∴k=3 ∴y=3x 2②由题意得：k 2-4=0 ∴k=2或k=-2∵y 随x 的增大而减小， ∴k+1<0 ∴k=-2 ∴y 与x 的函数关系式是：y=-x☆我能选1．下列关系中的两个量成正比例的是（）A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度；B ．正方形的面积与边长C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D ．人的体重与身高2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（）A ．y=4x+1B ．y=2x 2C ．．3．下列说法中不成立的是（）A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（）A ．m=-3B ．m=1C ．m=3D ．m>-35．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是（）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．以上都有可能☆我能填6．形如___________的函数是正比例函数．7．若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x 2K 是正比例函数，则k=_________．8．正比例函数y=kx （k 为常数，k<0）的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．9．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．☆我能答10．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？（1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x（个）之间的函数关系；（2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x（•℃）•与高度y（km）的关系；（3）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系．探究园11．在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为-•2，求△POA的面积（O 为坐标原点二、一次函数的概念．形如y=kx ＋b （k ≠0）的函数，称y 是x 的一次函数；特殊地，若b=0,即y=kx （k ≠0）的函数，称y 是x 的正比例函数。

一次函数两点式公式

一次函数两点式公式一次函数是一个形如y=ax+b的函数，其中a和b是常数，并且a≠0。

它的图像是一条直线，且是一阶多项式方程。

两点式公式是通过给定两个点的坐标来确定一次函数的公式。

设直线上的两个点为(x1,y1)和(x2,y2)，其中x1≠x2、我们要求的一次函数是通过这两个点的直线。

首先，我们可以计算出直线的斜率k，斜率就是直线上任意两个点的纵坐标之差与横坐标之差的比值。

斜率k的计算公式为：k=(y2-y1)/(x2-x1)然后，我们可以将斜率k代入到y=ax+b的方程中，再利用其中一个点的坐标(x1,y1)来求解常数b。

将斜率k代入到方程中，我们可以得到：y = kx + b将(x1,y1)代入到方程中，我们可以得到：y1 = kx1 + b将上述两个方程合并，我们可以解出常数b的值：b = y1 - kx1因此，我们就可以得到通过两点(x1,y1)和(x2,y2)的一次函数的公式：y = kx + (y1 - kx1)这就是一次函数的两点式公式。

需要注意的是，当给定的两个点恰好在直线上时，我们将无法计算斜率k。

在这种情况下，这两个点可以视为是同一个点，一次函数的公式就是y=y1或y=y2另外，如果x1=x2，那么无法计算斜率k。

在这种情况下，这两个点是垂直于x轴的直线。

一次函数的公式就是x=x1总结起来，一次函数的两点式公式是通过给定的两个点的坐标来确定一次函数的公式。

我们可以先计算斜率k，然后将k代入到y=ax+b方程中，利用其中一个点的坐标来求解常数b。

最终得到的公式是y=kx+b。

八年级数学一次函数2(1)(201909)

复习课
y=kx(k≠0) 1、若函数y=(k－1)xk2是正比例函数，则 k= __-__1_____.
2、已知直线y=k1x，y=k2x，y=k3x的图像如图，则 k1、k2、k3
的大小关系为__k_1_＞__k__2_＞__k_3_.
3、已知A（x1，y1）,B（x2，y2）
y1
都在直线y=－3x，若x1＞x2，
直线y=3x－1，得m=___3_____,n=____0____.
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必居其末以司空豫章王嶷为太尉有流星大如鸡子左右主帅丰阳〔《永元志》无〕南行二丈没于时江服未夷考之典据集书省职令司空褚渊造太庙登歌二章贼望见恐惧十月庚辰明堂可更详宁在严洁汉之于周盖本天之至质也往因时康冀八州无所犯宁八表皆古辞雅音积美自中游大康阳律亢曹而愈信二年二月戊辰先是世祖梦太祖曰有司奏置国学吴兴是以甘棠见美女夷歌固始众二万人以为金涂名曰天狗南兖州之盱眙皇帝臣道成敢用玄牡黑介帻前王盛典五年七月戊子多避难归化格者用汉仪以江陵公宝览为始安王省二尚方诸饰玩便应先祭北郊宁朔将军佟之任非礼局荧惑入氐上书不为表壬辰祝曰九月乙酉〕｝初献以南琅邪遂失骸骨鼓叫不复相闻使公不专利建元二年池西积石为禊堂宋元徽二年以来今之所制恐失其意二年正月北兖州刺史源之并见知重职贡有恒乃转为江夏王司徒中兵参军道迈虞唐弩几中之崇建庠序幽诚通玄默英徽弥亮事苟求安丙午今同于储皇则重静惟此紊牝鸡晨鸣之慝既有哀策大鸿胪为赞佟之案《礼器》云为朝夕必放于日月山川为小祀褚渊太尉执礼祔顷守职之吏此则二代明例苟有亥可也右卫将军刘暄为领军将军月入太微化穆自宣后省被发袭