汕头市2017-2018学年度高二下学期期末统考文科数学试题(精美word版,精校版)
2017-2018年高二下学期期末考试数学(文)试题及答案
称y＝f(x)为k 倍值函数．下列函数为２倍值函数的是
(填 上 所 有 正 确 的 序 号 )
①f(x)＝x２
②f(x)＝x３＋２x２＋２x
③f(x)＝x＋lnx
④f(x)＝exx
三 、解 答 题 (共 ７０ 分 ．解 答 应 写 出 文 字 说 明 、证 明 过 程 和 演 算 步 骤 ．)
１７．(本题满分１２分)已知z＝２＋i,a,b 为实数． (Ⅰ )若 ω＝z２＋３z－ －１２,求|ω|; (Ⅱ)若az２＋－bzz－ ＝５－２i,求实数a,b 的值．
个数是
A．０
B．１
C．２
D．３
第Ⅱ卷(共９０分)
二 、填 空 题 (每 小 题 ５ 分 ,共 计 ２０ 分 )
１３．已知幂函数y＝(m２－５m＋５)������x２－m２ ,当x∈(０,＋∞)时为增函数,则 m＝
．
１４．甲、乙、丙三位同学被问到是否参加了学校组织的 A、B、C 三个活动兴趣小组时,
甲说:我参加的兴趣小组比乙多,但没参加过 A 兴趣小组;
x
x＜
－
５ ２
C．A∩B＝ ⌀ ２．命题“∀x∈R 都有x２≥０”的否定为
A．∃x∈R 使得x２≤０ C．∀x∈R 使得x２≤０
D．A∪B＝R
B．∃x∈R 使得x２＜０ D．∀x∈R 使得x２＜０
３．已 知１z＋i＝２＋i,则 复 数 z－ ＝
A．１－３i
B．－１－３i
C．－１＋３i
D．１＋３i
４．已 知 函 数y＝f(x＋１)定 义 域 是 [－３,１],记 函 数 g(x)＝ln(１１－x)＋f(x),则 g(x)的 定 义
高二数学(文科)试题
２０１８．７
广东省汕头市2017-2018学年高二下学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜4，x∈Z}，则（）A．M∩N={0}B．N⊆M C．M⊆N D．M∪N=N2．设i是虚数单位，a∈R，若i（ai+2）是一个纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣B．﹣1 C．0 D．13．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．y=ln D．y=e x4．双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y﹣的最大值是（）A．﹣B．0 C．D．16．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为（）A．1 B．2πC．1﹣D．1﹣7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A ．B ．C ．D ．8．直线x ﹣y +m=0与圆x 2+y 2=1相交的一个充分不必要条件是（ ） A ．0＜m ＜1 B ．﹣4＜m ＜2 C ．m ＜1 D ．﹣3＜m ＜19．函数f （x ）=sin （2x +φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．10．经过函数y=﹣图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记△OAB 的面积为S ，则S=（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．111．已知向量||=1，||=2且•=0，又=+2， =m ﹣n ，∥，则等于（ ）A ．﹣B ．﹣1C ．1D ．212．已知a ＞0，若函数且g （x ）=f （x ）+2a 至少有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（，1]B ．（1，2]C ．（1，+∞）D ．[1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上）13．如果sin （x +）=，则cos （﹣x ）= ．14．当x ＜0时，f （x ）=﹣x ﹣的最小值是 ．15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E是线B1C段的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球的体积为．三、解答题（6小题，满分60分.而且他又写出必要的文字说明，证明过程或结算步骤）17．已知数列{a n}的各项均是正数，其前n项和为S n，满足S n=4﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设bn=（n∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．18．某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析．（1）按一定比例进行分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图（图1）记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩[70，90）的频率是0.2，请补全表格并绘制相应频率分（）为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA=PC=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC ∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2．（1）求证：侧面PAD⊥底面ABCD；（2）求三棱锥P﹣ACD的表面积．20．在直角坐标系xOy中，曲线C： +y2=1的右顶点是A、上顶点是B．（1）求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）过点D（0，2）且斜率为k（k＞0）的直线l交曲线C于两点M，N且•=0，其中O为坐标原点，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=e x﹣x．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=（m﹣1）x+n，若对∀x∈R，f（x）恒不小于g（x），求m+n的最大值．请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AD，DE是⊙O的切线．AD，BE的延长线交于点C．（1）求证：A、O、E、D四点共圆；（2）若OA=CE，∠B=30°，求CD长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=1，曲线D的参数方程是：（α为参数）．（1）求曲线C与曲线D的直角坐标方程；（2）若曲线C与曲线D相交于A、B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|﹣|x+|最大值为M，（1）求实数M的值；（2）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣（2+）t恒成立，求实数t的取值范围．2017-2018学年广东省汕头市高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜4，x∈Z}，则（）A．M∩N={0}B．N⊆M C．M⊆N D．M∪N=N【考点】集合的表示法．【分析】化简集合N，利用集合的交集的定义，即得出结论．【解答】解：∵集合M={x|﹣1＜x＜1}，N={x|x2＜4，x∈Z}={﹣1，0，1}，∴M∩N={0}，故选：A．2．设i是虚数单位，a∈R，若i（ai+2）是一个纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣B．﹣1 C．0 D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据所给的复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部等于0且虚部不等于0，得到结果．【解答】解：∵i（ai+2）是纯虚数，即﹣a+2i是纯虚数，∴﹣a=0，∴a=0故选：C．3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是（）A．y=x3 B．y=cosx C．y=ln D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据奇函数的定义，奇函数图象的对称性，以及y=x3和余弦函数的单调性，复合函数、反比例函数和对数函数的单调性即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：y=cosx在定义域上没有单调性，在定义域上单调递减，y=e x的图象不关于原点对称，不是奇函数，y=x3为奇函数，且在R上单调递增．故选：A．4．双曲线﹣=1的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出a，b，c即可．【解答】解：由﹣=1得a2=64，b2=36，则c2=a2+b2=64+36=100，则a=8，c=10，则双曲线的离心率e===，故选：B5．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y﹣的最大值是（）A．﹣B．0 C．D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y﹣得y=﹣2x+z+，平移直线y=﹣2x+z+，由图象可知当直线y=﹣2x+z+经过点B时，直线y=﹣2x+z+的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（，），代入目标函数z=2x+y﹣得z=2×+﹣=1．即目标函数z=2x+y﹣的最大值为1．故选：D6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为（）A．1 B．2πC．1﹣D．1﹣【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，间接法求体积即可．【解答】解：由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的圆柱，正方体的条件为1，圆柱的体积为，所以其体积为1﹣；故选C．7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=6时不满足条件i≤5，输出S的值，利用裂项法即可计算得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0满足条件i≤5，执行循环体，S=，i=2满足条件i≤5，执行循环体，S=+，i=3满足条件i≤5，执行循环体，S=++，i=4满足条件i≤5，执行循环体，S=+++，i=5满足条件i≤5，执行循环体，S=++++，i=6不满足条件i≤5，退出循环，输出S的值．由于S=++++=（1﹣）+（）+…+（﹣）=1﹣=．故选：B．8．直线x﹣y+m=0与圆x2+y2=1相交的一个充分不必要条件是（）A．0＜m＜1 B．﹣4＜m＜2 C．m＜1 D．﹣3＜m＜1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把直线与圆的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程，根据直线与圆有两个不同的交点得到此方程有两个不等的实根，即△＞0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，在四个选项中找出解集的一个真子集即为满足题意的充分不必要条件．【解答】解：联立直线与圆的方程，消去y得：2x2+2mx+m2﹣1=0，由题意得：△=（2m）2﹣8（m2﹣1）=﹣4m2+8＞0，解得：﹣＜m＜，∵0＜m ＜1是﹣＜m ＜的一个真子集，∴直线x ﹣y +m=0与圆x 2+y 2=1相交的一个充分不必要条件是0＜m ＜1． 故选A ．9．函数f （x ）=sin （2x +φ）|φ|＜）的图象向左平移个单位后关于原点对称，则φ等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．【考点】函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【分析】由条件根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=k π，k ∈z ，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f （x ）=sin （2x +φ）φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin [2（x +）+φ]=sin （2x ++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=k π，k ∈z ，∴φ=﹣，故选：D ．10．经过函数y=﹣图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记△OAB 的面积为S ，则S=（ ） A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数可求得切线l 的斜率及方程，从而可求得l 与两坐标轴交于A ，B 两点的坐标，继而可求△OAB 的面积．【解答】解：设M （x 0，y 0）为曲线y=﹣上任一点，则y 0=﹣．∵y=﹣，∴y ′=，设过曲线y=﹣上一点M 的切线l 的斜率为k ，则k=，∴切线l 的方程为：y +=（x ﹣x 0），∴当x=0时，y=﹣，即B （0，﹣）；当y=0时，x=2x 0，即A （2x 0，0）；∴S △OAB =|OA |•|OB |=×|2x 0|•|﹣|=4．故选：B ．11．已知向量||=1，||=2且•=0，又=+2，=m﹣n，∥，则等于（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量共线的等价条件建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵向量||=1，||=2且•=0∴与不共线，∵=+2，=m﹣n，∥，∴设=x，则x（+2）=m﹣n，即，则=﹣，故选：A12．已知a＞0，若函数且g（x）=f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，然后画出a=1及a=2时的分段函数的简图，由图判断a=1及a=2时满足题意，结合选项得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）=﹣2a根的个数，即函数y=f（x）的图象与直线y=﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a=1时，y=f（x）的图象如图：满足题意；当a=2时，y=f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上）13．如果sin（x+）=，则cos（﹣x）=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式首先化简再求值．【解答】解：由已知得到cosx=，而cos（﹣x）=cosx=；故答案为：．14．当x＜0时，f（x）=﹣x﹣的最小值是2．【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义．【分析】由x＜0，可得﹣x＞0，函数f（x）化为f（x）=（﹣x）+，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值和x的值．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，即有f（x）=﹣x﹣=（﹣x）+≥2=2．当且仅当x=﹣时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读，数学中有回文数，如343，12521等，两位数的回文数有11、22、33、…99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】利用列举法列举出所有的三位回文数的个数，再列举出其中所有的偶数的个数，由此能求出结果．【解答】解：三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…共有9×10=90个，其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A、A1A、A2A、A3A、…其有4×10=40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率p=．故答案为：．16．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E是线B1C段的中点，则三棱锥A﹣DED1外接球的体积为36π．【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，利用勾股定理建立方程，求出球的半径，即可求出三棱锥A﹣DED1外接球体．【解答】解：三棱锥A﹣DED1外接球为四棱锥E﹣A1D1DA外接球，设球的半径为R，则R2=（2）2+（4﹣R）2，∴R=3，∴三棱锥A﹣DED1外接球体积为=36π．故答案为：36π．三、解答题（6小题，满分60分.而且他又写出必要的文字说明，证明过程或结算步骤）17．已知数列{a n}的各项均是正数，其前n项和为S n，满足S n=4﹣a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设bn=（n∈N*），求数列{b n}的前2n项和T2n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）n为奇数时，b n==n﹣2．n为偶数时，b n=．分组分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）由S n=4﹣a n，S n+1=4﹣a n+1，两式相减得a n+1=a n﹣a n+1，得=，又a1=S1=4﹣a1，解得a1=2．故数列{a n}是以2为首项，为公比的等比数列．故a n=2×=．（2）n为奇数时，b n==n﹣2．n为偶数时，b n=．∴T2n=（b1+b3+…+b2n）+（b2+b4+…+b2n）﹣1=[﹣1+1+…+（2n﹣3）]+ +…+=+=n2﹣2n+．18．某校对高三部分学生的数学质检成绩作相对分析．（1）按一定比例进行分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图（图1）记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩[70，90）的频率是0.2，请补全表格并绘制相应频率分布直方图（图2）．【分析】（1）利用茎叶图，可得表格及频率分布直方图；（2）求出K 2，与临界值比较，即可得出结论．频率分布直方图（2）假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系， 则K 2=≈14.55＞10.828∴有99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系．19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA=PC=PD=，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD=2AB=2BC=2． （1）求证：侧面PAD ⊥底面ABCD ； （2）求三棱锥P ﹣ACD 的表面积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）取AD中点O，连接PO、CO，利用等腰三角形的性质可得PO⊥AD且PO=1．又底面ABCD为直角梯形，可得四边形ABCO是正方形，CO⊥AD且CO=1，由PC2=CO2+PO2，可得PO⊥OC，因此PO⊥平面ABCD．即可证明侧面PAD⊥底面ABCD．（2）S△ACD=，S△PAD=．利用已知可得：△PAC，△PCD都是边长为的等边三角形，故S△PAC=S△PCD=．即可得出．【解答】证明：（1）取AD中点O，连接PO、CO，由PA=PD=，得PO⊥AD且PO=1．又底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，O为AD中点，故四边形ABCO是正方形，故CO⊥AD且CO=1，故△POC中，PC2=CO2+PO2，即PO⊥OC，又AD∩CO=O，故PO⊥平面ABCD．PO⊂平面PAD，故侧面PAD⊥底面ABCD．解：（2）S△ACD===1，S△PAD===1．△PAC中，AC=PA=PC=，Rt△COD中，CD==，故△PAC，△PCD都是边长为的等边三角形，故S△PAC=S△PCD==．∴三棱锥P﹣ACD的表面积S=2+．20．在直角坐标系xOy中，曲线C： +y2=1的右顶点是A、上顶点是B．（1）求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）过点D（0，2）且斜率为k（k＞0）的直线l交曲线C于两点M，N且•=0，其中O为坐标原点，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出圆心与半径，即可求以AB为直径的圆E的标准方程；（2）直线l：y=kx+2联立C整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，利用向量知识及韦达定理，求出k，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）依题意点A（2，0）、B（0，1）故线段AB的中点E（1，），所求圆E的半径r=，故圆E的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣）2=（2）依题意，直线l：y=kx+2联立C整理得（1+4k2）x2+16kx+12=0，此时△=16（4k2﹣3）＞0，又k＞0，故k＞．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=•=x1x2+y1y2=2k（x1+x2）+（1+k2）x1x2+4==0，由k＞0得k=2故所求直线l的方程是y=2x+2．21．已知函数f（x）=e x﹣x．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）=（m﹣1）x+n，若对∀x∈R，f（x）恒不小于g（x），求m+n的最大值．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数f′（x）=e x﹣1，解f′（x）＜0和f′（x）＞0便可得出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）的极小值，并判断没有极大值；（2）根据条件可得出，对任意的x∈R，都有e x﹣mx﹣n≥0成立，然后令u（x）=e x﹣mx﹣n，求导u′（x）=e x﹣m，讨论m的取值，根据导数符号求函数的最小值，从而得出m+n≤2m﹣mlnm，同样根据导数便可求出2m﹣mlnm的最大值，这样即可求出m+n的最大值．【解答】解：（1）依题意f′（x）=e x﹣1；令f′（x）＜0得x＜0令f′（x）＞0得x＞0故函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增故函数f（x）的极小值为f（0）=1，没有极大值．（2）依题意对∀x∈R，f（x）≥g（x），即e x﹣x≥（m﹣1）x+n，即e x﹣mx﹣n≥0恒成立令u（x）=e x﹣mx﹣n，则u′（x）=e x﹣m①若m≤0，则u′（x）＞0，u（x）在R上单调递增，没有最小值，不符题意，舍去．②若m＞0，令u′（x）=0得x=lnm当u′（x）＜0，即x∈（﹣∞，lnm）时，u（x）单调递减；当u′（x）＞0，即x∈（lnm，+∞）时，u（x）单调递增．故=m﹣mlnm﹣n≥0；故m+n≤2m﹣mlnm令q（m）=2m﹣mlnm，则q′（x）=1﹣lnm当m∈（0，e）时，q′（x）＞0，q（x）单调递增；当m∈（e，+∞）时，q′（x）＜0，q（x）单调递减故q（x）max=q（e）=2e﹣elne=e，即m+n≤e，即m+n的最大值是e．请考生在第(22)(23)(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，AD，DE是⊙O的切线．AD，BE的延长线交于点C．（1）求证：A、O、E、D四点共圆；（2）若OA=CE，∠B=30°，求CD长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接EO，证明对角互补，可得A、O、E、D四点共圆；（2）若OA=CE，∠B=30°，求出AC，AD，即可求CD长．【解答】（1）证明：连接EO∵AD，DE是⊙O的切线∴∠DAO=∠DEO=90°，∴∠DAO+∠DEO=180°，∠ADE+∠AOE=180°∴A、O、E、D四点共线．（2）解：连接AE，∵CE=1，∴AO=，AB=2∵AB是圆O的直径，∴∠AEB=90°Rt△ABE中，∠B=30°，故AE=AB=，BE=3△ADE中，∠DAE=∠DEA=∠B=30°，∴∠ADE=120°∴AD==1又由切割线定理得AC2=CE•CB=1×4=4，∴AC=2故CD=AC﹣AD=1．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程是ρcosθ+ρsinθ=1，曲线D的参数方程是：（α为参数）．（1）求曲线C与曲线D的直角坐标方程；（2）若曲线C与曲线D相交于A、B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）根据公式ρ•cosθ=x，ρ•sinθ=y求出曲线C的直角坐标方程，根据得出曲线D的直角坐标方程；（2）联立得出A，B两点坐标，用两点间距离公式求出|AB|．【解答】解：（1）∵ρ•cosθ=x，ρ•sinθ=y，∴曲线C的直角坐标方程为：x+y﹣1=0，由得曲线D的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=1；（2）联立得交点A、B的坐标为（1，0），（2，﹣1）故|AB|==．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|x﹣|﹣|x+|最大值为M，（1）求实数M的值；（2）若∀x∈R，f（x）≥t2﹣（2+）t恒成立，求实数t的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据解析式分别由x的范围去绝对值，化简后可得函数f（x）的解析式，即可求出最大值M；（2）由（1）中f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，由条件和恒成立问题列出不等式，求出解集即可得实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，f（x）=|x﹣|﹣|x+|=，∴函数f（x）的最大值M是2；（2）由（1）知，函数f（x）的最小值M是﹣2，∵∀x∈R，f（x）≥t2﹣（2+）t恒成立，∴﹣2≥t2﹣（2+）t，化简得，t2﹣（2+）t+2≤0，解得，所以不等式的解集是[，2]．2018年9月1日。
广东省汕头市金山中学高二下学期期末考试数学(文)Word版含答案
θ2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷命题人：高三文科数学备课组—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =-≥，则AB =（ ）A ．{}1- B ．{}1,0-C ．{}1,3- D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =（ ）A ．52B ．32 CD． 3．已知α为锐角，cos α=，则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3- 4．设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃>（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．06．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，直角三角形中较小的锐角6θπ=．若在该大正方形区域内随机地取一点，则该点落在中间小正方形内的概率是（ ）A．14D ．127.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ） A ．6 B ．10 C ．91 D ．928. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. -99. 设曲线()()f x x m R ∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为（ ）10()0ϕϕ>个单位，所得图象对 应的函数恰为奇函数，则ϕ的为最小值为( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π11.已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4π B.12π12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为( )A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分aEDCAP 13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且u ∥v ，则实数x 的值是___.15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P 引圆16.已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PM PF PF =⋅，则该椭圆的离心率为.三、解答题:本大题共6小 题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分）在△ABC 中，角A，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）=acosB ，且，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，ABCD PA 底面⊥，ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2） 若 o 60=∠ABC ,求三棱锥P ACE -的体积19.(本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20. (本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为，且过点⎛ ⎝⎭．（1）求E 的方程； （2）是否存在直线:l y kx m =+与E 相交于,P Q 两点，且满足：①OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l 与圆221x y +=相切，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 21(本小题满分12分）已知函数f （x ）=x 2+1，g （x ）=2alnx+1（a ∈R ） （1）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的极值；（2）当a=e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g （x ）≤kx+m ≤f （x ）恒成立？若存 在，请求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=． （1）求曲线C 的普通方程和参数方程；（2）设l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段||AB 的取值范围． 23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a ∈R). (1)当a=1时，解不等式f(x)>3;(2)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案一、选择题1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA 二、填空题13．12 14．363515.16 .三、 解答题17.解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ， 可得：2acsinB=2abcosC ．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B ＜π，sinB ≠0， ∴2sinC=cosC ，即tanC=，∵0＜C ＜π， ∴C=． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ，∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜A ＜π，sinA ≠0，∴sinB=cosB ， ∴，根据正弦定理，可得，解得c=1 ∴18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OFDE ，且OF DE =．………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．…………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．……9分因为EF DO BO ===10分 所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯ (11)分1233=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．…8分 因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分 因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯…………11分123=⨯=．………………12分 19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==． (1)分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，……2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ……………………3分==…………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．…………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元．……………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………12分 20. 解：（1）由已知得221314c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k xkmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++，① 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，②把①代入②得()()2222811801414k m km k k ---=++， 即21m k +=，③又()()2221641164k m k k ∆=-+=+，由224010k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，由直线l 与圆221x y +=1=④③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴22m =， ∴直线l的方程为y x =-±21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2alnx ，x ＞0所以 h′（x ）=当a ≤0，h′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值，当a ＞0时，由h′（x ）＞0，即x 2﹣a ＞0，解得：a ＞或x ＜﹣，（舍去）由h′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x ＜，∴h （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h （x ）的极小值为h （）=a ﹣2aln=a ﹣alna ，无极大值；（2）当a=e 时，由（1）知min ()h x =h （）=h （）=e ﹣elne=0∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x=时，取等号；以（1)e +为公共切点，f′（）=g′（）=所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e ，构造函数 2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥1()e f x ∴+-≤构造函数 ()1)()2ln k x e g x e x e =+--=--(0)x >()k x '=由()0k x '> 解得 x >()0k x '< 解得 0x <<所以()k x 在上递减，在)+∞上递增min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥从而 ()1()g x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=， 所以曲线C 的普通方程为224640x y x y +--+=， 即22(2)(3)9x y -+-=， 所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22(2)(3)9x y -+-=，并整理得22(cos 2sin )40t t αα-+-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-， 所以1212||||||||AB t t t t =+=-=====设4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴||AB∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．23. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x ax a x x f ；∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案一、选择题1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA 二、填空题13．12 14．363515.16 .三、 解答题17.解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ， 可得：2acsinB=2abcosC ．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B ＜π，sinB ≠0， ∴2sinC=cosC ，即tanC=，∵0＜C ＜π， ∴C=． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ， ∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜A ＜π，sinA ≠0， ∴sinB=cosB ，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1 ∴18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OFDE ，且OF DE =．………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．…………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．……9分因为EF DO BO ===10分 所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯ (11)分123=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．…8分 因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分 因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯…………11分1233=⨯=．………………12分 19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==． (1)分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，……2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ……………………3分==…………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．…………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元．……………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………12分20. 解：（1）由已知得2213124c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k xkmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++，① 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，②把①代入②得()()2222811801414k m km k k ---=++， 即21m k +=，③又()()2221641164k m k k ∆=-+=+，由224010k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，由直线l 与圆221x y +=1=④③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴22m =， ∴直线l的方程为y x =-±21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2alnx ，x ＞0所以 h′（x ）=当a ≤0，h′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值， 当a ＞0时，由h′（x ）＞0，即x 2﹣a ＞0，解得：a＞或x＜﹣，（舍去）由h′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x＜，∴h （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h （x ）的极小值为h （）=a ﹣2aln =a ﹣alna ，无极大值；（2）当a=e 时，由（1）知min ()h x =h （）=h （）=e ﹣elne=0∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x=时，取等号；以（1)e +为公共切点，f′（）=g′（）=所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e ，构造函数 2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥1()e f x ∴+-≤构造函数 ()1)()2ln k x e g x e x e =+--=--(0)x >()k x '=由()0k x '> 解得 x >()0k x '< 解得 0x <<所以()k x 在上递减，在)+∞上递增min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥从而 ()1()g x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=， 所以曲线C 的普通方程为224640x y x y +--+=， 即22(2)(3)9x y -+-=， 所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22(2)(3)9x y -+-=，并整理得22(cos 2sin )40t t αα-+-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-， 所以1212||||||||AB t t t t =+=-=====设4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴||AB∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．23. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ；∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。
2017-2018高二文科数学试题及其答案(汕头期末)
第7题图绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测高二文科数学第 Ⅰ 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．已知集合={|13}A x x x <>或，={|12}B x x -<<，则A B =A ．{}|13x x -<<B ．{}|23x x x <>或C ．{}|11x x -<<D ．{}|13x x x <->或 2．若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则a =A ．0B ．1-C ．1 D.2 3．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为A ．16 B ．15 C ．23 D ．134．若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的取值范围是A ．[1,2]B ．[1,4]C ．[2,4]D ．[1,3]5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若16182024a a a ++=，则35S =A ．140B ．280C ．70D.4206．已知12,F F 分别是椭圆22:197x y C +=的左、右焦点，过点2F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆于点P 、Q 两点，O 为坐标原点，则1POF ∆的面积为 A ．62 B ．72C.72 D 727．执行如图所示的程序框图，若输出的S =57，则判断框内应填入的条件是 A ．4k >B ．5k >C ．6k >D ．7k >8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的侧面积为 A ．322+B ．732+C ．32+D ．37+9.已知函数()cos()sin(+)63f x x x ππ=-+，则A ．函数()f x 的最大值为3，其图象关于(,0)6π对称B ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于(,0)6π对称C ．函数()f x 的最大值为3，其图象关于直线6x π=对称D ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于直线6x π=对称10．已知1F 、2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，1B 2B 是双曲线C 的虚轴，若0112120F B F ∠=，则双曲 线C 的离心率是 A ．62B ．612+ C ．5 D ．51+11．已知函数()2||22018x f x x =+-，则使得()()32f x f x >+成立的x 的取值范围是 A ．()13,3-B ．()(),133,-∞-+∞C ． ()13,13-+D ．()(),1313,-∞-++∞12．已知函数()f x 定义在R 上恒有()()f x f x -=，且(2)()+=f x f x ，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，若实数[10,10]a ∈-，且()1f a =，则a 的取值个数为A ．5B ．10C ．19D ．20第 Ⅱ 卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(解析版)广东省汕头市2017-2018学年高二下学期期末考
绝密★启用前试卷类型：A 汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测高二理科数学考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式的解法求得集合A，再利用交集的定义和不等式的性质求解.详解：集合，.故选C.点睛：本题主要考查交集运算和一元二次不等式的解法，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用.2. 若复数的实部与虚部相等，其中是实数，则（）A. 0B. 1C. 2D.【答案】D【解析】分析：根据复数乘法运算法则化简复数，结合已知条件，求出的值，代入后求模即可得到答案.详解：复数的实部与虚部相等，又有，解得，.故选D.点睛：本题考查复数代数形式的乘法运算和复数模的求法，属于基础题.3. 甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：通过枚举法写出三个人站成一排的所有情况，再找出其中甲、丙相邻的情况，由此能求出甲、丙相邻的概率.详解：三人站成一排，所有站法有：（甲乙丙）、（甲丙乙）、（乙甲丙）、（乙丙甲）、（丙甲乙）、（丙乙甲）共6种，其中甲、丙相邻有4种，所以，甲、丙相邻的概率为.故选C.点睛：本题考查古典概型的概率的求法，解题时要注意枚举法的合理运用.4. 若变量满足约束条件，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据约束条件画出平面区域，再将目标函数转换为，则为直线的截距，通过平推法确定的取值范围.详解：（1）画直线，和，根据不等式组确定平面区域，如图所示.（2）将目标函数转换为直线，则为直线的截距.（3）画直线，平推直线，确定点A、B分别取得截距的最小值和最大值.易得,联立方程组,解得，B坐标为（4）分别将点A、B坐标代入，，的取值范围是故选B.点睛：本题主要考查线性规划问题，数形结合是解决问题的关键.目标函数型线性规划问题解题步骤：（1）确定可行区域（2）将转化为，求z的值，可看做求直线，在y轴上截距的最值。
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二(下)期末数学试卷(文科)-教师用卷
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={−1,0，1，2，3}，B ={x|x 2−3x ≥0}，则A ∩B =( )A. {−1}B. {−1,0}C. {−1,3}D. {−1,0，3} 【答案】D【解析】解：集合A ={−1,0，1，2，3}， B ={x|x 2−3x ≥0}={x|x ≤0或x ≥3}， 则A ∩B ={−1,0，3}． 故选：D ．解不等式得集合B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2. 若复数z 满足(1−i)z =1+2i ，则|z|=( )A. 52B. 32C. √102D. √62【答案】C【解析】解：由(1−i)z =1+2i ，得z =1+2i 1−i=(1+2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−12+32i ，∴|z|=√(−12)2+(32)2=√102． 故选：C ．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 已知α为锐角，cosα=√55，则tan(α−π4)=( )A. 13B. 3C. −13D. −3【答案】A【解析】解：∵α为锐角，cosα=√55，∴sinα=√1−cos 2α=2√55，tanα=sinαcosα=2，∴tan(α−π4)=tanα−11+tanα=2−11+2=13．故选：A ．由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4. 设命题p ：∀x <1，x 2<1，命题q ：∃x 0>0，2x 0>1x 0，则下列命题中是真命题的是( ) A. p ∧q B. (￢p)∧q C. p ∧(￢q) D. (￢p)∧(￢q) 【答案】B【解析】解：当x =−2时，满足x <1，但x 2<1不成立，即命题p 是假命题， 当x 0=2时，满足x 0>0，此时2x 0>1x 0，成立，即命题q 是真命题，则(￢p)∧q 是真命题，其余为假命题， 故选：B ．根据条件判断命题p ，q 的等价条件，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假过程的判断，根据条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键．5. 设实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥−1，则z =2x +y 的最大值为( )A. 5B. 4C. 6D. 0【答案】B【解析】解：实数x ，y 满足约束条件{2x −y ≤0x −2y +3≥0x ≥−1，画出可行域，结合图象可得当目标函数z =2x +y 过点A 时， 目标函数取得最大值由{x −2y +3=02x−y=0，解得A(1,2)，则z =2x +y 的最大值为4． 故选：B ．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解z 的最大值即可．本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想以及计算能力．6. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ=π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是( )A. 2−√32B. √32C. 14D. 12【答案】A【解析】解：由图可知：大正方形的边长为2，总面积为4， 而阴影区域的边长为√3−1，面积为(√3−1)2=4−2√3； 所以，飞镖落在阴影区域的概率为：P=4−2√34=2−√32．故选：A．根据几何概率计算公式，求出中间小正方形区域的面积与大正方形面积的比值即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7.图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是()A. 6B. 10C. 91D. 92【答案】B【解析】解：程序框图的意思是：输出学生考试成绩的中，90及90分以上的人数，从茎叶图中不难发现一共有10，∴n=10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.已知等比数列{a n}，且a4+a8=−2，则a6(a2+2a6+a10)的值为()A. 6B. 4C. 8D. −9【答案】B【解析】解：由题意知：a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a6a6+a10a6，∵a4+a8=−2，∴a6a2+2a6a6+a10a6=(a4+a8)2=4．故选：B．将式子“a6(a2+2a6+a10)”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N∗，且m+n= p+q，则有a m a n=a p a q可得，a6(a2+2a6+a10)=(a4+a8)2，将条件代入得到答案．本题考查了在等比数列的性质：若m，n，p，q∈N∗，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q，关键是熟练掌握等比数列的性质，需要根据条件正确的转化，一般以选择题的形式出现．9.设曲线f(x)=√m2+1cosx(m∈R)上任一点(x,y)处切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为()A. B.C. D.【答案】D【解析】解：由f(x)=√m2+1cosx(m∈R)，得f′(x)=−√m2+1sinx(m∈R)．∴y=x2g(x)=−√m2+1x2sinx．该函数为奇函数，且当x→0+时，y<0．故选：D．求出原函数的导函数，得到函数y=x2g(x)的解析式，再由函数为奇函数且当x→0+时，y<0得答案．本题考查函数的图象，考查函数奇偶性的性质及函数值的求法，是中档题．10.将函数y=2sin(x+π3)cos(x+π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为()A. π12B. π6C. π4D. π3【答案】B【解析】解：将函数y=2sin(x+π3)cos(x+π3)=sin(2x+2π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数y=sin(2x+2φ+2π3)恰为奇函数，∴2φ+2π3=kπ，k∈Z，则φ的最小值为π6，故选：B．利用二倍角的正弦公式化减函数的解析式，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ的最小值．本题主要考查二倍角的正弦公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．11.已知正三棱锥P−ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱柱的外接球的表面积为()A. 4πB. 12πC.16π3D.64π3【答案】D 【解析】解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2√3，如图：其中SA =4，AH =23×2√3×√32=2，SH =√16−4=2√3，设其外接球的球心为0，半径为R ，则：OS =OA =R ， ∴R +√R 2−4=2√3⇒R =4√33， ∴外接球的表面积S =4π×163=64π3．故选：D ．根据三视图判断正三棱锥的侧棱长与底面正三角形的边长，借助直观图求出外接球的半径，代入球的表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三棱锥的结构特征求出外接球的半径是解答本题的关键．12. 已知函数f(x)=f′(1)ee x +f(0)2x 2−x ，若存在实数m 使得不等式f(m)≤2n 2−n 成立，求实数n 的取值范围为( )A. (−∞,−12]∪[1,+∞) B. (−∞,−1]∪[12,+∞) C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,−12]∪[0,+∞)【答案】A【解析】解：由f(x)=f′(1)ee x +f(0)2x 2−x ，求导，f′(x)=f′(1)ee x +f(0)x −1，当x =1时，f′(1)=f′(1)+f(0)−1，则f(0)=1， f(0)=f′(1)e=1，则f′(1)=e ，f(x)=e x +12x 2−x ，则f′(x)=e x +x −1， 令f′(x)=0，解得：x =0，当f′(x)>0，解得：x >0，当f′(x)<0，解得：x <0， ∴当x =0时，取极小值，极小值为f(0)=1， ∴f(x)的最小值为1，由f(m)≤2n 2−n ，则2n 2−n ≥f(x)min =1， 则2n 2−n −1≥0，解得：n ≥1或n ≤−12， 实数n 的取值范围(−∞,−12∪[1,+∞)，故选：A ．求导，将x =1代入f′(x)和f(x)，即可求得函数的解析式及导函数，根据函数的单调性及最值，由题意即可求得2n 2−n ≥f(x)min =1，即可求得实数n 的取值范围．本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，一元二次不等式的解集，考查计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,1)，u =a ⃗ +2b ⃗ ，v =2a ⃗ −b ⃗ ，且u//v ，则实数x 的值是______． 【答案】12【解析】解：∵a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(x,1)，则u ⃗ =a ⃗ +2b ⃗ =(1,2)+2(x,1)=(1+2x,4)， v ⃗ =2a ⃗ −b ⃗ =2(1,2)−(x,1)=(2−x,3)， ∵u ⃗ //v ⃗ ， ∴3(1+2x)−4(2−x)=0，解得：x =12． 故答案为：12．由向量的数乘和坐标加减法运算求得u ⃗ ,v ⃗ ，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x 的值．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a ⃗ =(a 1,a 2)，b ⃗ =(b 1,b 2)，则a ⃗ ⊥b ⃗ ⇔a 1a 2+b 1b 2=0，a ⃗ //b ⃗ ⇔a 1b 2−a 2b 1=0.是基础题．14. 若f(x)={2x (x >1)1−x 2(x≤1)，则f[1f(log 26)]=______．【答案】3536【解析】解：∵f(x)={2x (x >1)1−x 2(x≤1)， ∴f(log 26)=2log 26=6， ∴f[1f(log26)]=f(16)=1−(16)2=3536． 利用函数的解析式，先求出f(log 26)的值，再求f[1f(log26)].本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数函数值的求法．15. 已知点P(x,y)在直线x +2y =3上移动，当2x +4y 取得最小值时，过点P 引圆(x −12)2+(y +14)2=12的切线，则此切线段的长度为______．【答案】√62【解析】解：利用基本不等式及x +2y =3得：2x +4y ≥2√2x ⋅4y =2√2x+2y =4√2，当且仅当2x =4y =2√2，即当x =32、y =34时，取等号，∴P(32,34).根据两点间的距离公式求出P 到圆心的距离为√(32−12)2+(34+14)2=√2，且圆的半径的平方为12，然后根据勾股定理得到此切线段的长度为√(√2)2−12=√62，故答案为：√62．要求切线段的长度，利用直角三角形中半径已知，P 与圆心的距离未知，所以根据基本不等式求出P 点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出即可．考查学生会利用基本不等式求函数的最值，会利用两点间的距离公式求线段长度，会利用勾股定理求直角的三角形的边长，属于基础题．16. 已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM|2=|PF 1|⋅|PF 2|，则椭圆的离心率为______． 【答案】√22【解析】解：在三角形PF 1F 2中，由平分线定理，可得PF 1PF 2=F 1M F 2M ，即有PF 1PF 1+PF 2=F 1MF 1M+F 2M， 由椭圆的定义可得，PF 12a=F 1M 2c，即ca =F 1M PF 1，又在△PF 1M 和△PF 2M 中， 由余弦定理可得， cos∠F 1MP =PM 2+F 1M 2−PF 122PM⋅F 1M， cos∠F 2MP =PM 2+F 2M 2−PF 222PM⋅F 2M，由cos∠F 1MP +cos∠F 2MP =0，化简可得PM 2⋅(PF 1+PF 2)=PF 1⋅F 2M 2+PF 2⋅F 1M 2，结合PF 1+PF 2=2a ，PF 1⋅F 2M =PF 2⋅F 1M ，2PM 2=PF 1⋅PF 2， 即有2a ⋅PM 2=PF 2⋅F 1M ⋅2c ，即F 1M PF 1=a2c ，可得c a =a2c ，即c =√22a ，可得e =√22．故答案为：√22．在三角形PF 1F 2中，由平分线定理，结合椭圆的定义可得ca =F 1M PF 1，又在△PF 1M 和△PF 2M中，由余弦定理和诱导公式以及椭圆的定义，化简整理可得得F 1MPF 1=a2c ，由离心率公式计算即可得到所求值．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用内角平分线定理和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2√3acsinB =a 2+b 2−c 2．(1)求角C 的大小；(2)若bsin(π−A)=acosB ，且b =√2，求△ABC 的面积． 【答案】解：(1)在△ABC 中，由2√3acsinB =a 2+b 2−c 2， 由余弦定理：a 2+b 2−c 2=2abcosC ， 可得：2√3acsinB =2abcosC ．由正弦定理：2√3sinCsinB =2sinBcosC ∵0<B <π，sinB ≠0， ∴2√3sinC =2cosC ， 即tanC =√33，∵0<C <π， ∴C =π6．(2)由bsin(π−A)=acosB ， ∴sinBsinA =sinAcosB ， ∵0<A <π，sinA ≠0， ∴sinB =cosB ， ∴B =π4，根据正弦定理b sinB =c sinC ，可得√2sin π4=csin π6，解得c =1，∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×1×sinA =√22sin(π−B −C)=√22sin(π4+π6)=√3+14． 【解析】(1)由正余弦定理化简可得角C 的大小；(2)由bsin(π−A)=acosB ，根据正弦定理化简，求出c ，即可求出△ABC 的面积． 本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．18. 如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，PA ⊥底面ABCD ，ED//PA ，且PA =2ED =2． (1)证明：平面PAC ⊥平面PCE ；(2)若∠ABC =60∘，求三棱锥P −ACE 的体积．【答案】(1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF//PA，且OF=12PA，∵DE//PA，且DE=12PA，∴OF//DE，且OF=DE．∴四边形OFED为平行四边形，则OD//EF，即BD//EF．PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD//EF，∴EF⊥平面PAC．∵EF⊂平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．(2)解法1：∵∠ABC=60∘，∴△ABC是等边三角形，得AC=2．又∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC．∴S△PAC=12PA×AC=2．∵EF⊥面PAC，∴EF是三棱锥E−PAC的高.∵EF=DO=BO=√3，∴V P−ACE=V E−PAC=13S△PAC×EF=13×2×√3=2√33．解法2：∵底面ABCD为菱形，且∠ABC=60∘，∴△ACD为等边三角形．取AD的中点M，连CM，则CM⊥AD，且CM=√3．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CM，又PA∩AD=A，∴CM⊥平面PADE，则CM是三棱锥C−PAE的高．∵S△PAE=12PA×AD=2．∴三棱锥P−ACE的体积V P−ACE=V C−PAE=13S△PAE×CM=13×2×√3=2√33．【解析】(1)连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OFED为平行四边形，则OD//EF，即BD//EF.再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD.又ABCD是菱形，得BD⊥AC.由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC.则EF⊥平面PAC.进一步得到平面PAC⊥平面PCE．(2)解法1：由∠ABC=60∘，可得△ABC是等边三角形，得AC=2.再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC.求出三角形PAC的面积证得EF是三棱锥E−PAC的高，利用P−ACE的体积等于E −PAC 的体积求解；解法2：由底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60∘，可得△ACD 为等边三角形.利用三棱锥P −ACE 的体积等于C −PAE 的体积求解．本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19. 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．(1)依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01).(若|r|>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：周光照量X(单位：小时) 30<X <50 50≤X ≤70 X >70光照控制仪最多可运行台数321 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值． 附：相关系数公式r =∑(n i=1x i −x)(y i −y)√∑(ni=1x i −x)2√∑(n i=1y i −y)2，参考数据√0.3≈0.55，√0.9≈0.95．【答案】解：(1)由已知数据可得x =2+4+5+6+85=5，y =3+4+4+4+55=4.…(1分)因为∑(5i=1x i −x)(y i −y)=(−3)×(−1)+0+0+0+3×1=6，…(2分)∑(5i=1x i −x)2=20…(3分)√∑(5i=1y i −y)2=√(−1)2+02+02+02+12=√2.…(4分)所以相关系数r =∑(n i=1x i −x)(y i −y)√∑(n i=1x i −x)2√∑(n i=1y i −y)2=62√5⋅√2=√910≈0.95.…(5分) 因为r >0.75，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系. …(6分)(2)记商家周总利润为y 元，由条件可得在过去50周里： 当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000−2×1000=1000元. …(8分)当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y =2×3000−1×1000=5000元. …(9分)当X <50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y =3×3000=9000元. …(10分)所以过去50周周总利润的平均值Y =1000×10+5000×35+9000×550=4600元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元. …(12分)【解析】(1)由题中所给的数据求得线性回归方程，然后进行预测即可；(2)由题意分类讨论X 的范围，求解即可．本题考查了线性回归方程及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，且过点(1,√32). (Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)是否存在直线l ：y =kx +m 相交于P ，Q 两点，且满足：①OP 与OQ(O 为坐标原点)的斜率之和为2；②直线l 与圆x 2+y 2=1相切.若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：(Ⅰ)依题意，e =c a =√1−b2a 2=√32，则a 2=4b 2， 由椭圆过点(1,√32).代入椭圆方程：x 24b 2+y 2b 2=1， 解得：a 2=4，b 2=1，∴椭圆的标准方程：x 24+y 2=1；(Ⅱ)设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{y =kx +m x 24+y 2=1， 整理得：(1+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0，由x 1+x 2=−8km 1+4k 2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k 2， 由k OP +k OQ =y 1x 1+y 2x 2=y 1x 1+y 2x 2x 1x 2=(kx 1+m)x 2+(kx 2+m)x 1x 1x 2=2， 2(k −1)x 1x 2+m(x 1+x 2)=0，∴2(k −1)×4(m 2−1)1+4k 2+m ×(−8km 1+4k 2)=0，整理得：m 2+k =1，由△=16(4k 2−m 2+1)=16(4k 2+k)，{m 2=1−k ≥04k 2+k>0，解得：k <−1k ，或0<k ≤1， 直线与圆x 2+y 2=1相切，则√1+k2=1， 联立解得k =0(舍去)，k =−1，∴m 2=2，即m =±√2，∴直线l 的方程y =x ±√2．【解析】(Ⅰ)由椭圆的离心率公式求得a 2=4b 2，将点(1,√32)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程；(Ⅱ)将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，求得m2+k=1，由△>0，即可求得k的取值范围，由点到直线的距离即可求得k和m的值，求得直{1−k≥0线l的方程．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式及点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．21.已知函数f(x)=x2+1，g(x)=2alnx+1(a∈R)(1)求函数ℎ(x)=f(x)−g(x)的极值；(2)当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)ℎ(x)=f(x)−g(x)=x2−2alnx，x>0，ℎ′(x)=2(x2−a)，x当a≤0，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值，当a>0时，ℎ′(x)>0，即x2−a>0，解得：a>√a或x<−√a，(舍去)ℎ′(x)<0，即x2−a<0，解得：0<x<√a，∴ℎ(x)在(0,√a)单调递减，在(√a,+∞)单调递增，∴ℎ(x)的极小值为ℎ(√a)=a−2aln√a=a−alna，无极大值；(2)当a=e时，ℎ(√a)=ℎ(√e)=e−elne=0，此时ℎ(x)=f(x)−g(x)=0，∴f(x)−g(x)≥0，当且仅当x=√e时，取等号；f′(x)=2x，f′(√e)=2√e，g′(x)=2e，g′(√e)=2√e，x∴f′(√e)=g′(√e)，且在x=√e处f(√e)=g(√e)=e+1，即x=√e时，y=f(x)与y=g(x)有公切线，切线方程y=2√ex+1−e，此时g(x)=2√ex+1−e=f(x)，满足g(x)≤kx+m≤f(x)恒成立，解得：k=2√e，m=1−e，实数k，m的值分别为2√e，1−e．【解析】(1)求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，根据函数的单调性即可求得ℎ(x)极值；(2)当a=e时，由f(x)−g(x)≥0，当且仅当x=√e时，取等号，由f′(√e)=g′(√e)，则x=√e时，y=f(x)与y=g(x)有公切线，切线方程y=2√ex+1−e，即可求得实数k，m的值．本题考查导数的综合应用，考查利用导数的求函数的单调性及最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．x=1+tcosα(t为参数，α为22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为{y=1+tsinα倾斜角)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+4=0．(Ⅰ)求曲线C的普通方程和参数方程；(Ⅱ)设l与曲线C交于A，B两点，求线段|AB|的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)因为曲线C的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ−6ρsinθ+4=0，所以曲线C的普通方程为x2+y2−4x−6y+4=0，即(x−2)2+(y−3)2=9，x=2+3cosϕ(φ为参数)．所以曲线C的参数方程为{y=3+3sinϕ(Ⅱ)把代入{y =1+tsinαx=1+tcosα代入(x −2)2+(y −3)2=9，并整理得t 2−2(cosα+2sinα)t −4=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，所以t 1+t 2=2(cosα+2sinα)，t 1t 2=−4，所以|AB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=√4(cosα+2sinα)2+16=√4(1+4sinαcosα+3sin 2α)+16 =√4(1+2sin2α+3×1−cos2α2)+16=√10(45sin2α−35cos2α)+26， 设cosφ=45，sinφ=35，∴|AB|=√10sin(2α−φ)+26，∵−1≤sin(2α−φ)≤1，∴16≤10sin(2α−φ)+26≤3，∴4≤|AB|≤6， ∴|AB|的取值范围为[4,6]．【解析】(Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程能求出曲线C 的普通方程，由此能求出曲线C 的参数方程．(Ⅱ)把代入{y =1+tsinαx=1+tcosα代入(x −2)2+(y −3)2=9，得t 2−2(cosα+2sinα)t −4=0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1+t 2=2(cosα+2sinα)，t 1t 2=−4，|AB|=|t 1|+|t 2|=|t 1−t 2|，由此能求出|AB|的取值范围．本题考查曲线的参数方程的求法，考查线段长的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23. 已知函数f(x)=|x −2|+2|x −a|(a ∈R)．(I)当a =1时，解不等式f(x)>3；(II)不等式f(x)≥1在区间(−∞,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】解：(Ⅰ)当a =1时，f(x)=|x −2|+2|x −1|，①当x ≤1时，f(x)=2−x +2(1−x)=−3x +4，由f(x)>3，得−3x +4>3，解得x <13，∴x <13；②1<x ≤2时，f(x)=2−x +2(x −1)=x ，由f(x)>3，得x >3，∴此时不等式无解；③当x >2时，f(x)=x −2+2(x −1)=3x −4，由f(x)>3，得3x −4>3，解得x >73，∴x >73；综上，不等式f(x)>3的解集为(−∞,13)∪(73,+∞)．(Ⅱ)f(x)≥1即|x −2|+2|x −a|≥1，当|x −2|≥1，即x ≤1或x ≥3时，显然|x −2|+2|x −a|≥1对任意实数a 恒成立； ∴丨x −2丨+2丨x −a 丨≥1对任意实数x 恒成立，只须丨x −2丨+2丨x −a 丨≥1对x ∈(1,3)恒成立．(1)若x ∈(1,2]时，得2|x −a|≥x −1，即a ≥3x−12，或a ≤x+12，x ∈(1,2]恒成立，则a ≥52，或a ≤1；(2)若当x ∈(2,3)时，得2|x −a|≥3−x ， 即a ≥x+32，或a ≤3x−32对x ∈(2,3)恒成立，则a ≥3，或a ≤32；对(1)(2)中a 的范围取交集，得a ≤1或a ≥3．【解析】(Ⅰ)按照x ≤1，1<x ≤2，x >2三种情况进行讨论，去掉绝对值符号可解不等式，注意三种情况要对x 的范围取并集；(Ⅱ)f(x)≥1即|x −2|+2|x −a|≥1，易知|x −2|≥1即x ≤1或x ≥3时，|x −2|+2|x −a|≥1对任意实数a 恒成立，从而丨x −2丨+2丨x −a 丨≥1对任意实数x 恒成立，只须丨x −2丨+2丨x −a 丨≥1对x ∈(1,3)恒成立.按照x ∈(1,2]，x ∈(2,3)两种情况讨论去掉绝对值符号，分离出参数a 后转化为函数的最值可得a 的范围，最后取交集可得． 对于含有绝对值的题目，本身就是分类的，问题的提出已包含了分类的原因.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，在高考试题中占有重要的位置．。
汕头市2017-2018学年度普通高中毕业班教学质量监测文科数学试题及答案解析
绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2017~2018学年度普通高中毕业班第一学期统一监测试题文 科 数 学本试卷4页，23小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅 笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴 处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂 改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1.已知集合{}2|2A x x x =>，{}|12B x x =-<≤，则A ．∅=⋂B AB ．R B A =⋃C ．A B ⊆D ．B A ⊆2.已知复数21iz i-=+，则 A ．||2z = B ．1z i =- C ．z 的实部为i - D ．1z +为纯虚数 3.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2b a =，π-2A B ＝，则cos B =A ．12 B C ．14 D ．24.已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，c a tb =-．若b c ⊥，则实数t =A ．1-B ．1C ．25．袋中装有大小相同且编号分别为1，2，3，4的四个小球，甲从袋中摸出一个小球，其号码记为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码记为b ，则由a 、b 组成的两位数中被6整除的概率为A ．332 B ．316C ．14D ．12 6.如图，在三棱锥A BCD -中，AC AB ⊥，BC BD ⊥，平面ABC ⊥平面BCD . ①AC CD ⊥②AD BC ⊥③平面ABC ⊥平面ABD ④平面ACD ⊥平面ABD .以上结论正确的个数有A ．1B ．2C ．4D ．5 7．执行下面的程序框图，如果输入的6a =，8b =，则输出的n =A ．2B ．3C ．4D ．58．如下图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为A. 323π B．3C ．32πD ．643π9.若函数()()()()2cos 20f x x x θθθπ=+++<<的图象经过点,02π⎛⎫⎪⎝⎭，则 A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预在这10则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛 11.设()ln(2)ln(2)f x x x =+--，则()f x 是A ．奇函数,且在(2,0)-上是减函数B ．奇函数，且在(2,0)-上是增函数C ．有零点，且在(2,0)-上是减函数D ．没有零点，且是奇函数12.已知函数()xe f x mx x=-（e 为自然对数的底数），若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．(,2)-∞B ．2(,)4e -∞C ．(,)e -∞D ．2(,)4e +∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省汕头市2017-2018学年高二下学期期末教学质量监测文数试题 Word版含解析
汕头市2017-2018学年度普通高中教学质量监测高二文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【题文】已知集合}{11=-<<M x x ，{}24,N x x x Z =<∈，则 A. {}0M N = B. N M ⊆ C. M N ⊆ D. M N N =【答案】A 【解析】试题分析：{}{}24,1,0,1N x x x Z =<∈=-{}0M N ∴= 考点：集合运算 【结束】2.【题文】设i 是虚数单位，R ∈a ，若(2)i ai +是一个纯虚数，则实数a 的值为 A. －12B. 1-C. 0D. 1【答案】C 【解析】试题分析：()22i ai a i +=-+为纯虚数，00a a ∴-=∴= 考点：复数运算 【结束】3.【题文】下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是 A ．3y x =B ．cos y x =C ．1ln1x y x -=+D ．xy e = 【答案】A 【解析】试题分析：A 中函数是奇函数，单调递增；B 中函数是偶函数；C 中函数不是奇函数；D 中函数不是奇函数考点：函数奇偶性单调性4.【题文】双曲线264x －2136y =的离心率为A ．45B ．54C ．34D ．43【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线方程可知222564,361008,104c a b c a c e a ==∴=∴==∴== 考点：双曲线性质 【结束】5.【题文】已知变量x ，y 满足约束条件01x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z 122x y =+-的最大值是A ．－12 B ．0 C ．12D ．1【答案】D 【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y-12得y=-2x+z+ 12，平移直线y=-2x+z+ 12， 由图象可知当直线y=-2x+z+ 12经过点B 时，直线y=-2x+z+ 12的截距最大，此时z 最大．由1x y x y =⎧⎨+=⎩，解得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即B 11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入目标函数z=2x+y- 12得z=2×12+ 12- 12=1． 即目标函数z=2x+y-12的最大值为1 考点：线性规划问题6.【题文】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为A ．1 B. 2π C. 14π-D ．12π-【答案】C 【解析】试题分析：由已知三视图得到几何体是棱长为1的正方体挖去底面半径为1的14圆柱，正方体的条件为1，14圆柱的体积为14π×1×1＝4π，所以其体积为14π-考点：由三视图求面积、体积 【结束】7.【题文】一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A ．1011B ．56C ．511D ．75【解析】 试题分析：11,0,15,,2,25,12i s s i ==≤==≤⨯11111,3,35,,1223122334s i s =+=≤=++⨯⨯⨯⨯⨯ 11114,45,,5,55,12233445i s i =≤=+++=≤⨯⨯⨯⨯11111,6,651223344556s i =++++=≤⨯⨯⨯⨯⨯不成立，输出56s =考点：程序框图 【结束】8.【题文】直线x y m -+=0与圆221x y +=相交的一个充分不必要条件是 A ．0m <<1B ．－4m <<2C ．1<mD ．－3m <<1 【答案】A 【解析】试题分析：联立直线与圆的方程，消去y 得：222210x mx m ++-=， 由题意得：()()222281480m m m ∆=--=-+>，解得：m <<∵0＜m ＜1是m <<∴直线x-y+m=0与圆221x y +=相交的一个充分不必要条件是0＜m ＜1 考点：直线与圆的位置关系 【结束】9.【题文】将函数()f x =sin(2x φ+)(φ<2π)的图象向左平移6π个单位后的图象关于原点对称，则函数φ的可能值为 A ．6πB ．－6πC ．3π D ．－3π 【答案】D 【解析】试题分析：函数()f x =sin(2x φ+)(φ<2π)的图象向左平移6π个单位后，得到函数sin 2sin 263y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得3k πϕπ+=，k ∈z ，∴3πϕ=-考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【结束】10.【题文】经过函数2y x=-图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，则S = A ．8 B ．4 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】试题分析：设M ()00,x y 为曲线2y x =-上任一点，则002y x =-． ∵2y x =-，∴'22y x =，设过曲线2y x=-上一点M 的切线l 的斜率为k ， 则22k x =，∴切线l 的方程为：()020022y x x x x +=-， ∴当x=0时，04y x =-，即B （0，04x -）； 当y=0时，x=02x ，即A （02x ，0）； ∴S △OAB=12|OA|•|OB|=12×|02x |•|04x -|=4 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 【结束】11.【题文】已知向量1,2a b == 且0a b ⋅= ，又2,,//c a b d ma nb c d =+=- ，则mn等于A. 12-B. 1-C. 1D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由1,2a b ==且0a b ⋅= 可设()()1,0,0,2a b == ()()1,4,,2c d m n ∴==- ，由//c d 可知1242m n m n -=∴=-考点：向量运算 【结束】12.【题文】已知0a >，函数2324ln ,0()34,0a x x x f x x a x x ⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩，且方程()20f x a +=至少有三个不等实根，则实 数a 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()1,+∞【答案】C 【解析】试题分析：设()()2324ln 2,02342,0a x x a x g x f x a x a x a x ⎧⋅-+>⎪=+=⎨--+≤⎪⎩，当0x ≤时()()()'22333g x x a x a x a =-=+-，所以单调增区间为(),0a -，减区间为(),a -∞-，由题意需满足()0f a -≥ 3201a a a ∴+-≥∴≥，此时方程至少一个根，当0x >时()()2'2242x a a g x x x x--=-=此时增区间为(，减区间为)+∞ 0g∴>，代入得12a >，综上可知1a ≥考点：函数导数与单调性最值 【结束】第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【题文】如果1sin()22x π+=，则cos()x -= .【答案】21【解析】试题分析：()111sin()cos cos cos 2222x x x x π+=∴=∴-==考点：三角函数诱导公式 【结束】14.【题文】当0x <时，2()f x x x=--的最小值是 . 【答案】22 【解析】试题分析：()22()f x x x x x =--=-+≥-当且仅当()2x x-=-时等号成立，取得最小值22 考点：不等式性质 【结束】15.【题文】数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 . 【答案】94【解析】试题分析：三位数的回文数为ABA ，A 共有1到9共9种可能，即1B1、2B2、3B3…B 共有0到9共10种可能，即A0A 、A1A 、A2A 、A3A 、… 共有9×10=90个，其中偶数为A 是偶数，共4种可能，即2B2，4B4，6B6，8B8， B 共有0到9共10种可能，即A0A 、A1A 、A2A 、A3A 、… 其有4×10=40个，∴三位数的回文数中，偶数的概率404909P == 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【结束】16.【题文】已知正方体ABCD －1111A B C D 的棱长为4，点E 是线段1B C 的中点，则三棱锥1A DED -外接球的体积为 .【答案】π36【解析】试题分析：三棱锥1A DED -外接球为四棱锥11E A D DA -外接球， 设球的半径为R，则(()2224R R =+-，∴R=3，∴三棱锥1A DED -外接球体积为343363ππ=考点：球的体积和表面积 【结束】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【题文】(本小题满分12分)已知数列{}n a 的各项均是正数，其前n 项和为n S ，满足4n n S a =-. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()()12log n n n a n b a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数 (∈n N*)，求数列{}n b 的前2n 项和n T 2．【答案】(1) 21()2n n a -=(2) 124112334n n T n n -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭【解析】试题分析：(1)利用()()1112n nn S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩可求得{}n a 的通项公式；（2）首先整理得数列{}n b 的通项⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-为偶数）为奇数）n n n b n n (21(22，结合其特点采用分组求和法求和试题解析：（1）由⎩⎨⎧-=-=++1144n n nn a S a S 两式相减得n n n a a a +-=++11， 2分得211=+n n a a ， 3分 又1114a S a -==得21=a 4分 故数列{}n a 是以2为首项，21为公比的等比数列 5分故21)21(212--=⎪⎭⎫⎝⎛⋅=n n n a 6分 （2）⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-为偶数）为奇数）n n n b n n (21(22 7分)()(24212312n n n b b b b b b T +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=- 8分2220212121)32(311-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+++-=n n 9分124131342411)41(12)321(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=--+-+-=n nn n n n 12分 考点：数列求通项公式与分组求和 【结束】18.【题文】(本小题满分12分)某校对高三部分学生的数学质检成绩做相应分析．(1)按一定比例分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图记录，但部分数据不小心丢失了．已知数学成绩在[70，90)的频率是0.2，请补全下表并绘制相应频率分布直方图.(2)为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩进行比较，得到统计数据如下：能够有多大的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系？附：()()()()()22-K =++++n ad bc a b c d a c b d【答案】(1)详见解析(2) 有99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系 【解析】试题分析：（1）利用茎叶图，可得表格及频率分布直方图；（2）求出2K ，与临界值比较，即可得出结论试题解析：(1) （填表正确3分，频率分布直方图正确3分）（2）假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系， 7分则828.1055.1418222020)351715(4022>≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K 10分 由%1.0001.0)828.10(2==>K P 11分 有99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系。
【期末试卷】广东省汕头市金山中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)Word版含答案
θ2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷命题人：高三文科数学备课组—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =-≥，则A B = （ ）A ．{}1- B ．{}1,0-C ．{}1,3- D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =（ ）A ．52B ．32 CD． 3．已知α为锐角，cos α=，则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3- 4．设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃>（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．06．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，直角三角形中较小的锐角6θπ=．若在该大正方形区域内随机地取一点，则该点落在中间小正方形内的概率是（ ）A．14D ．127.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ） A ．6 B ．10 C ．91 D ．928. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. -99. 设曲线()()f x x m R ∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为（ ）10()0ϕϕ>个单位，所得图象对 应的函数恰为奇函数，则ϕ的为最小值为( )A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π11.已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4π B.12π12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式 2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为( )A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分aEDCAP 13.已知向量(1,2),(,1)a b x == ，2,2u a b v a b =+=- ,且u ∥v，则实数x 的值是___.15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P 引圆16.已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PM PF PF =⋅，则该椭圆的离心率为.三、解答题:本大题共6小 题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）=acosB ，且，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，ABCD PA 底面⊥，ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2） 若 o 60=∠ABC ,求三棱锥P ACE -的体积19.(本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20. (本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为，且过点⎛ ⎝⎭．（1）求E 的方程； （2）是否存在直线:l y kx m =+与E 相交于,P Q 两点，且满足：①OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l 与圆221x y +=相切，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 21(本小题满分12分）已知函数f （x ）=x 2+1，g （x ）=2alnx+1（a ∈R ） （1）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的极值；（2）当a=e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g （x ）≤kx+m ≤f （x ）恒成立？若存 在，请求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=． （1）求曲线C 的普通方程和参数方程；（2）设l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段||AB 的取值范围． 23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a ∈R). (1)当a=1时，解不等式f(x)>3;(2)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案一、选择题1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA 二、填空题13．12 14．363515.16 .三、 解答题17.解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ， 可得：2acsinB=2abcosC ．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B ＜π，sinB ≠0， ∴2sinC=cosC ，即tanC=，∵0＜C ＜π， ∴C=． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ，∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜A ＜π，sinA ≠0，∴sinB=cosB ，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1 ∴18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．…………2分 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分 因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分 因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）解法1：因为60ABC ∠= ，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．……9分因为EF DO BO ===10分 所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯ (11)分1233=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．…8分 因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分 因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯…………11分123=⨯=．………………12分 19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==． (1)分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，……2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ……………………3分==…………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．…………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元．……………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………12分 20. 解：（1）由已知得221314c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k xkmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++，① 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，②把①代入②得()()2222811801414k m km k k ---=++， 即21m k +=，③又()()2221641164k m k k ∆=-+=+，由224010k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，由直线l 与圆221x y +=1=④③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴22m =， ∴直线l的方程为y x =-21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2alnx ，x ＞0所以 h′（x ）=当a ≤0，h′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值，当a ＞0时，由h′（x ）＞0，即x 2﹣a ＞0，解得：a ＞或x ＜﹣，（舍去）由h′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x ＜，∴h （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h （x ）的极小值为h （）=a ﹣2aln=a ﹣alna ，无极大值；（2）当a=e 时，由（1）知min ()h x =h （）=h （）=e ﹣elne=0∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x=时，取等号；以（1)e +为公共切点，f′（）=g′（）=所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e ，构造函数 2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥1()e f x ∴+-≤构造函数 ()1)()2ln k x e g x e x e =+--=--(0)x >()k x '=由()0k x '> 解得 x >()0k x '< 解得 0x <<所以()k x 在上递减，在)+∞上递增min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥从而 ()1()g x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=， 所以曲线C 的普通方程为224640x y x y +--+=， 即22(2)(3)9x y -+-=， 所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22(2)(3)9x y -+-=，并整理得22(cos 2sin )40t t αα-+-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-， 所以1212||||||||AB t t t t =+=-=====设4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴||AB∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．23. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞ ………………5分(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x ax a x x f ；∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案一、选择题1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA 二、填空题13．12 14．363515.16 .三、 解答题17.解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ， 可得：2acsinB=2abcosC ．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B ＜π，sinB ≠0， ∴2sinC=cosC ，即tanC=，∵0＜C ＜π， ∴C=． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ， ∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜A ＜π，sinA ≠0， ∴sinB=cosB ，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1 ∴18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =，所以OF DE ，且OF DE =．………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．…………2分 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥．因为PA AC A = ，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分 因为BD EF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分 因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）解法1：因为60ABC ∠= ，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．……9分因为EF DO BO ===10分 所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯ (11)分123=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．…8分 因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分 因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯…………11分1233=⨯=．………………12分 19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==． (1)分因为51()()(3)(1)000316iii x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，……2分 ，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ……………………3分==…………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．…………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元．……………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元．………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元．………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………12分20. 解：（1）由已知得2213124c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k xkmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++，① 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，②把①代入②得()()2222811801414k m km k k ---=++， 即21m k +=，③又()()2221641164k m k k ∆=-+=+，由224010k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，由直线l 与圆221x y +=1=④③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴22m =， ∴直线l的方程为y x =-21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2alnx ，x ＞0所以 h′（x ）=当a ≤0，h′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值， 当a ＞0时，由h′（x ）＞0，即x 2﹣a ＞0，解得：a＞或x＜﹣，（舍去）由h′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x＜，∴h （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h （x ）的极小值为h （）=a ﹣2aln =a ﹣alna ，无极大值；（2）当a=e 时，由（1）知min ()h x =h （）=h （）=e ﹣elne=0∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x=时，取等号；以（1)e +为公共切点，f′（）=g′（）=所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e ，构造函数 2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥1()e f x ∴+-≤构造函数 ()1)()2ln k x e g x e x e =+--=--(0)x >()k x '=由()0k x '> 解得 x >()0k x '< 解得 0x <<所以()k x 在上递减，在)+∞上递增min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥从而 ()1()g x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=， 所以曲线C 的普通方程为224640x y x y +--+=， 即22(2)(3)9x y -+-=， 所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22(2)(3)9x y -+-=，并整理得22(cos 2sin )40t t αα-+-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-， 所以1212||||||||AB t t t t =+=-=====设4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴||AB∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．23. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞ ………………5分(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=a x a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x a x a x x f ；∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。
广东省汕头市高二下学期期末教学质量检测考试文科数学试卷 Word版含答案
绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高二文科数学本试卷共4页，24小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡相应的位置上) 1．已知集合}{11=-<<M x x ，{}24,N x x x Z =<∈，则A. {}0MN = B. N M ⊆C. M N ⊆D.M N N =2．设i 是虚数单位，R ∈a ，若(2)i ai +是一个纯虚数，则实数a 的值为A. －12 B. 1- C. 0 D. 13．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是A ．3y x =B ．cos y x =C ．1ln1xy x-=+ D ．x y e = 4．双曲线264x －2136y =的离心率为A ．45B ．54 C ．34D ．43 5．已知变量x ，y 满足约束条件01x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z 122x y =+-的最大值是A ．－12 B ．0 C ．12D ．16．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为A ．1 B. 2πC. 14π-D ．12π-7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A ．1011B ．56C ．511D ．758．直线x y m -+=0与圆221x y +=相交的一个充分 不必要条件是 A ．0m <<1B ．－4m <<2C ．1<mD ．－3m <<19．将函数()f x =sin(2x φ+)(φ<2π)的图象向左平移6π个单位后的图象关于原点对称，则函数φ的可能值为(第7题图)A ．6π B ．－6π C ．3π D ．－3π 10．经过函数2y x=-图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，则S =A ．8B ．4C ．2D ．111．已知向量1,2a b ==且0a b ⋅=，又2,,//c a b d ma nb c d =+=-，则mn等于A. 12-B. 1-C. 1D. 212．已知0a >，函数2324ln ,0()34,0⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩a x x x f x x a x x ，且方程()20f x a +=至少有三个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上)13．如果1sin()22x π+=，则cos()x -= .14．当0x <时，2()f x x x=--的最小值是 .15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .16．已知正方体ABCD －1111A B C D 的棱长为4，点E 是线段1B C 的中点，则三棱锥1A DED -外接球的体积为 .三、解答题(6小题，共70分。
[小初高学习]广东省汕头市金山中学2017-2018学年高二数学下学期期末考试试题 文
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θ2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷—、选择题:本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}230B x x x =-≥，则AB =（ ）A ．{}1- B ．{}1,0-C ．{}1,3- D ．{}1,0,3-2．若复数z 满足()1i 12i z -=+，则z =（ ）A ．52B ．32CD．23．已知α为锐角，cos α=，则tan 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．13B ．3C ．13-D ．3- 4．设命题p ：1x ∀< ，21x <，命题q ：00x ∃> ，是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝5．已知变量x ，y 满足202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．6D ．06．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形， 直角三角形中较小的锐角6θπ=．若在该大正方形区域内随机地取 一点，则该点落在中间小正方形内的概率是（ ）A ．14D ．127.下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A 1，A 2，…，A 16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（ ） A ．6 B ．10 C ．91 D ．928. 已知等比数列{a n }，且a 4+a 8=-2,则a 6(a 2+2a 6+a 10）的值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. -99. 设曲线()()f x x m R =∈上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为（ ）10()0ϕϕ>个单位，所得图象对 应的函数恰为奇函数，则ϕ的为最小值为( )A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π11.已知正三棱锥P-ABC 的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）A ．4π B.12π12. 已知函数2(1)(0)()2x f f f x e x x e '=⋅+⋅-，若存在实数m 使得不等式P2()2f m n n ≤-成立，则实数n 的取值范围为( )A. [)1-,1,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦ B. (]1,1,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C. (]1,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. [)1-,0,2⎛⎤∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分a13.已知向量(1,2),(,1)a b x ==，2,2u a b v a b =+=-,且u ∥v ，则实数x 的值是___.15. 已知点P (x ,y )在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P 引圆16.已知12,F F 分别是椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点,P 是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P 作12F PF ∠的角平分线交x 轴于点M ，若2122PM PF PF =⋅，则该椭圆的离心率为.三、解答题:本大题共6小 题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足（1）求角C 的大小；（2）若bsin （π﹣A ）=acosB ，且，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分）如图，已知多面体PABCDE 的底面ABCD 是边长为2的菱形，ABCD PA 底面⊥，ED PA ，且22PA ED ==．（1）证明：平面PAC ⊥平面PCE ；（2） 若 o 60=∠ABC ,求三棱锥P ACE -的体积19.(本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X （小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y （百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0．01）．（若75.0||>r ，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周总利润的平均值．附：相关系数公式∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，参考数据55.03.0≈，95.09.0≈．20. (本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，且过点⎛ ⎝⎭．（1）求E 的方程； （2）是否存在直线:l y kx m =+与E 相交于,P Q 两点，且满足：①OP 与OQ （O 为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l 与圆221x y +=相切，若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 21(本小题满分12分）已知函数f （x ）=x 2+1，g （x ）=2alnx+1（a ∈R ） （1）求函数h （x ）=f （x ）-g （x ）的极值；（2）当a=e 时，是否存在实数k ，m ，使得不等式g （x ）≤kx+m ≤f （x ）恒成立？若存 在，请求实数k ，m 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22〜23三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=．（1）求曲线C 的普通方程和参数方程；（2）设l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段||AB 的取值范围． 23. (本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 巳知函数f(x)=|x-2|+2|x-a|(a ∈R). (1)当a=1时，解不等式f(x)>3;(2)不等式1)(≥x f 在区间（-∞，+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围.2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案一、选择题1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA 二、填空题13．12 14．363515.16 .2三、 解答题17.解：（1）在△ABC 中，由，由余弦定理：a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ， 可得：2acsinB=2abcosC ．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B ＜π，sinB≠0， ∴2sinC=cosC ，即tanC=，∵0＜C＜π， ∴C=． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ， ∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜A ＜π，sinA ≠0， ∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1 ∴18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OF PA ，且12OF PA =， 因为DE PA ，且12DE PA =， 所以OFDE ，且OF DE =．………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．…………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分 因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ．……6分（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．……9分因为EF DO BO ===10分所以13P ACE E PAC PAC V VS EF --∆==⨯……11分123=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．…8分因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分 因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯…………11分123=⨯=．………………12分19．解：（1）由已知数据可得2456855x++++==，3444545y++++==．………1分因为51()()(3)(1)000316i iix x y y=--=-⨯-++++⨯=∑，……2分，5231)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=iixx……………………3分==…………………4分所以相关系数()()0.95ni ix x y yr--===≈∑．………………5分因为0.75r>，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…………6分（2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：当X>70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元．……………………8分当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元．………………………9分当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．………………10分所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．………12分20. 解：（1）由已知得221314c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k xkmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++，① 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，②把①代入②得()()2222811801414k m km k k---=++， 即21m k +=，③又()()2221641164k m k k ∆=-+=+，由224010k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，由直线l 与圆221x y +=1=④③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴22m =， ∴直线l的方程为y x =-±．21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2alnx ，x ＞0所以 h′（x ）=当a ≤0，h′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值，当a ＞0时，由h′（x ）＞0，即x 2﹣a ＞0，解得：a ＞或x ＜﹣，（舍去）由h′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x ＜，∴h （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h （x ）的极小值为h （）=a ﹣2aln=a ﹣alna ，无极大值；（2）当a=e 时，由（1）知min ()h x =h （）=h （）=e ﹣elne=0∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x=时，取等号；以（1)e +为公共切点，f′（）=g′（）=所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e ，构造函数 2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥1()e f x ∴+-≤构造函数 ()1)()2ln k x e g x e x e =+--=--(0)x >()x k x x-'=由()0k x '> 解得 x >()0k x '< 解得 0x <<所以()k x 在上递减，在)+∞上递增min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥从而 ()1()g x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=，所以曲线C 的普通方程为224640x y x y +--+=， 即22(2)(3)9x y -+-=， 所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22(2)(3)9x y -+-=，并整理得22(cos 2sin )40t t αα-+-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-，所以1212||||||||AB t t t t =+=-=====设4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴||AB∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．23. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分 (Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=ax a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x ax a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分2017-2018学年度高二第二学期期末考试文科数学试卷答案一、选择题1-5 DCABB 6-10 ABADB 11-12 DA 二、填空题13．1214．363515. 16 .2三、 解答题17. 解：（1）在△ABC 中，由，由余弦定理：a2+b 2﹣c2=2abcosC ， 可得：2acsinB=2abcosC ．由正弦定理：2sinCsinB=sinBcosC∵0＜B ＜π，sinB≠0， ∴2sinC=cosC ，即tanC=，∵0＜C ＜π， ∴C=． （2）由bsin （π﹣A ）=acosB ， ∴sinBsinA=sinAcosB ， ∵0＜A ＜π，sinA ≠0，∴sinB=cosB ， ∴，根据正弦定理，可得，解得c=1 ∴18．（1）证明：连接 BD ，交 AC 于点O ，设PC 连接OF ，EF ．因为O ，F 分别为AC ，PC 的中点， 所以OFPA ，且12OF PA，因为DE PA ，且12DE PA =， 所以OFDE ，且OF DE =．………………1分所以四边形OFED 为平行四边形，所以OD EF ，即BD EF ．…………2分因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥． 因为ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥． 因为PA AC A =，所以BD ⊥平面PAC ．……………4分 因为BDEF ，所以EF ⊥平面PAC ．………………5分因为FE ⊂平面PCE ，所以平面PAC ⊥平面PCE ． ……6分（2）解法1：因为60ABC ∠=，所以△ABC 是等边三角形，所以2AC =．……7分又因为PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以PA AC ⊥．所以122PAC S PA AC ∆=⨯=．………8分 因为EF ⊥面PAC ，所以EF 是三棱锥E PAC -的高．……9分因为EF DO BO ===10分所以13P ACE E PACPAC V VS EF --∆==⨯……11分1233=⨯=．…12分 解法2：因为底面ABCD 为菱形，且︒=∠60ABC ，所以△ACD 为等边三角形．………7分取AD 的中点M ，连CM ，则AD CM ⊥，且3=CM ．…8分因为⊥PA 平面ABCD ，所以CM PA ⊥，又A AD PA = ，所以CM ⊥平面PADE ，所以CM 是三棱锥C PAE -的高．……………9分 因为122PAE S PA AD ∆=⨯=．……10分 所以三棱锥ACE P -的体积13P ACE C PAE PAE V V S CM --∆==⨯…………11分1233=⨯=．………………12分 19．解：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．………1分因为51()()(3)(1)000316iii x x yy =--=-⨯-++++⨯=∑， ……2分，52310)1()3()(22222512=+++-+-=-∑=i ix x ……………………3分==…………………4分所以相关系数()()0.95nii xx y y r --===≈∑．………………5分因为0.75r >，所以可用线性回归模型拟合y 与x 的关系． …………6分 （2）记商家周总利润为Y 元，由条件可得在过去50周里：当X >70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行， 周总利润Y =1×3000-2×1000=1000元． ……………………8分 当50≤X ≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行， 周总利润Y =2×3000-1×1000=5000元． ………………………9分 当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行， 周总利润Y =3×3000=9000元． ………………10分 所以过去50周周总利润的平均值10001050003590005460050Y ⨯+⨯+⨯==元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………12分 20. 解：（1）由已知得221314c a a b=+=， 解得224,1a b ==，∴椭圆E 的方程为2214x y +=； （2）把y kx m =+代入E 的方程得：()()222148410k xkmx m +++-=，设()()1122,,,P x y Q x y ，则()2121222418,1414m kmx x x x k k--+==++，① 由已知得()()12211212211212122OF OQ kx m x kx m x y y y x y x k k x x x x x x +++++=+===， ∴()()1212210k x x m x x -++=，②把①代入②得()()2222811801414k m km k k---=++， 即21m k +=，③又()()2221641164k m k k ∆=-+=+，由224010k k m k ⎧+>⎨=-≥⎩，得14k <-或01k <≤，由直线l 与圆221x y +=1= ④③④联立得0k =（舍去）或1k =-，∴22m =， ∴直线l的方程为y x =-±．21．解：（1）h （x ）=f （x ）﹣g （x ）=x 2﹣2alnx ，x ＞0所以 h′（x ）=当a ≤0，h′（x ）＞0，此时h （x ）在（0，+∞）上单调递增，无极值， 当a ＞0时，由h′（x ）＞0，即x 2﹣a ＞0，解得：a＞或x＜﹣，（舍去）由h′（x ）＜0，即x 2﹣a ＜0，解得：0＜x＜，∴h （x ）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增， ∴h （x ）的极小值为h（）=a ﹣2aln=a ﹣alna ，无极大值；（2）当a=e 时，由（1）知min ()h x = h （）=h （）=e ﹣elne=0∴f （x ）﹣g （x ）≥0， 也即 f （x ）≥g （x ），当且仅当x=时，取等号；以（1)e +为公共切点，f′（）=g′（）=所以y=f （x ）与y=g （x ）有公切线，切线方程y=2x+1﹣e ，构造函数 2()()1)(h x f x e x =--+=，显然()0h x ≥1()e f x ∴+-≤构造函数 ()1)()2ln k x e g x e x e =+--=-- (0)x >()k x '=由()0k x '> 解得 x >()0k x '< 解得 0x <<所以()k x 在上递减，在)+∞上递增min ()0k x k ∴==，即有1)()e g x +-≥从而 ()1()g x e f x ≤+-≤，此时1k m e ==-22. 解：（Ⅰ）因为曲线C 的极坐标方程为24cos 6sin 40ρρθρθ--+=， 所以曲线C 的普通方程为224640x y x y +--+=， 即22(2)(3)9x y -+-=，所以曲线C 的参数方程为23cos 33sin x y ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（Ⅱ）把代入1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩代入22(2)(3)9x y -+-=，并整理得22(cos 2sin )40t t αα-+-=， 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 所以122(cos 2sin )t t αα+=+，124t t =-，所以1212||||||||AB t t t t =+=-=====设4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=，∴||AB∵1sin(2)1αϕ-≤-≤，∴1610sin(2)263αϕ≤-+≤，∴4||6AB ≤≤， ∴||AB 的取值范围为[]4,6．23. 解：(Ⅰ)⎩⎨⎧>-+-≥32222x x x 解得37>x ⎩⎨⎧>-+-<<322221x x x 解得φ∈x⎩⎨⎧>-+-≤32221x x x 解得13x <…………………3分 不等式的解集为17(,)(,)33-∞+∞………………5分(Ⅱ)时，2>a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-+-≤++-=ax a x ax a x x a x x f ,2232,222,223)(；时，2=a 36,2()36,2x x f x x x -+≤⎧=⎨->⎩；时，2<a ⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<+-≤++-=2,2232,22,223)(x a x x a a x ax a x x f ； ∴)(x f 的最小值为)()2(a f f 或；………………8分则⎩⎨⎧≥≥1)2(1)(f a f ，解得1≤a 或3≥a .………………10分。
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二(下)期末数学试卷(文科)附解析
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x2-3x≥0}，则A∩B=（）A. B. C. D. 0，2.若复数z满足（1-i）z=1+2i，则|z|=（）A. B. C. D.3.已知α为锐角，，则=（）A. B. 3 C. D.4.设命题p：∀x＜1，x2＜1，命题q：∃x0＞0，＞，则下列命题中是真命题的是（）A. B. ￢ C. ￢ D. ￢￢5.设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A. 5B. 4C. 6D. 06.如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A. B. C. D.7.图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A. 6B. 10C. 91D. 928.已知等比数列{a n}，且a4+a8=-2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A. 6B. 4C. 8D.9.设曲线f（x）=（m∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（）A. B.C. D.10.将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为（）A. B. C. D.11.已知正三棱锥P-ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知函数，若存在实数m使得不等式f（m）≤2n2-n成立，求实数n的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量=（1，2），=（x，1），u=+2，v=2-，且u∥v，则实数x的值是______．14.若f（x）=，则f[]=______．15.已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P引圆（x-）2+（y+）2=的切线，则此切线段的长度为______．16.已知F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P作∠F1PF2的角平分线交x轴于点M，若2|PM|2=|PF1|•|PF2|，则椭圆的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若b sin（π-A）=a cos B，且，求△ABC的面积．18.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA⊥底面ABCD，ED∥PA，且PA=2ED=2．（1）证明：平面PAC⊥平面PCE；（2）若∠ABC=60°，求三棱锥P-ACE的体积．19.某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制X若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式r=，参考数据≈0.55，≈0.95．20.已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y=kx+m相交于P，Q两点，且满足：①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x2+y2=1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f（x）=x2+1，g（x）=2a ln x+1（a∈R）（1）求函数h（x）=f（x）-g（x）的极值；（2）当a=e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+4=0．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和参数方程；（Ⅱ）设l与曲线C交于A，B两点，求线段|AB|的取值范围．23.已知函数f（x）=|x-2|+2|x-a|（a∈R）．（I）当a=1时，解不等式f（x）＞3；（II）不等式f（x）≥1在区间（-∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x2-3x≥0}={x|x≤0或x≥3}，则A∩B={-1，0，3}．故选：D．解不等式得集合B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由（1-i）z=1+2i，得z=，∴|z|=．故选：C．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵α为锐角，，∴sinα==，tan=2，∴===．故选：A．由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：当x=-2时，满足x＜1，但x2＜1不成立，即命题p是假命题，当x0=2时，满足x0＞0，此时，成立，即命题q是真命题，则（￢p）q是真命题，其余为假命题，故选：B．根据条件判断命题p，q的等价条件，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假过程的判断，根据条件判断命题p，q的真假是解决本题的关键．5.【答案】B【解析】解：实数x，y满足约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z=2x+y过点A时，目标函数取得最大值由，解得A（1，2），则z=2x+y的最大值为4．故选：B．画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解z的最大值即可．本题考查线性规划的应用，考查数形结合思想以及计算能力．6.【答案】A【解析】解：由图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为-1，面积为=4-2；所以，飞镖落在阴影区域的概率为：P==．故选：A．根据几何概率计算公式，求出中间小正方形区域的面积与大正方形面积的比值即可．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．7.【答案】B【解析】解：程序框图的意思是：输出学生考试成绩的中，90及90分以上的人数，从茎叶图中不难发现一共有10，∴n=10．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：由题意知：a6（a2+2a6+a10）=a6a2+2a6a6+a10a6，∵a4+a8=-2，∴a6a2+2a6a6+a10a6=（a4+a8）2=4．故选：B．将式子“a6（a2+2a6+a10）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q可得，a6（a2+2a6+a10）=（a4+a8）2，将条件代入得到答案．本题考查了在等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q，关键是熟练掌握等比数列的性质，需要根据条件正确的转化，一般以选择题的形式出现．9.【答案】D【解析】解：由f（x）=（m∈R），得f′（x）=-（m∈R）．∴y=x2g（x）=．该函数为奇函数，且当x→0+时，y＜0．故选：D．求出原函数的导函数，得到函数y=x2g（x）的解析式，再由函数为奇函数且当x→0+时，y＜0得答案．本题考查函数的图象，考查函数奇偶性的性质及函数值的求法，是中档题．10.【答案】B【解析】解：将函数=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数y=sin（2x+2φ+）恰为奇函数，∴2φ+=kπ，k∈Z，则φ的最小值为，故选：B．利用二倍角的正弦公式化减函数的解析式，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得φ的最小值．本题主要考查二倍角的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2，如图：其中SA=4，AH=××=2，SH==2，设其外接球的球心为0，半径为R，则：OS=OA=R，∴R+=2⇒R=，∴外接球的表面积S=4π×=．故选：D．根据三视图判断正三棱锥的侧棱长与底面正三角形的边长，借助直观图求出外接球的半径，代入球的表面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积，根据三棱锥的结构特征求出外接球的半径是解答本题的关键．12.【答案】A【解析】解：由，求导，f′（x）=e x+f（0）x-1，当x=1时，f′（1）=f′（1）+f（0）-1，则f（0）=1，f（0）==1，则f′（1）=e，f（x）=e x+x2-x，则f′（x）=e x+x-1，令f′（x）=0，解得：x=0，当f′（x）＞0，解得：x＞0，当f′（x）＜0，解得：x＜0，∴当x=0时，取极小值，极小值为f（0）=1，∴f（x）的最小值为1，由f（m）≤2n2-n，则2n2-n≥f（x）min=1，则2n2-n-1≥0，解得：n≥1或n≤-，实数n的取值范围（-∞，-[1，+∞），故选A．求导，将x=1代入f′（x）和f（x），即可求得函数的解析式及导函数，根据函数的单调性及最值，由题意即可求得2n2-n≥f（x）min=1，即可求得实数n的取值范围．本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性及极值，一元二次不等式的解集，考查计算能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵=（1，2），=（x，1），则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4），=2-=2（1，2）-（x，1）=（2-x，3），∵，∴3（1+2x）-4（2-x）=0，解得：x=．故答案为：．由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a 1，a2），=（b 1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0．是基础题．14.【答案】【解析】解：∵f（x）=，∴f（log6）==6，∴f[]=f（）=1-（）2=．利用函数的解析式，先求出f（log26）的值，再求f[]．本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意分段函数函数值的求法．15.【答案】【解析】解：利用基本不等式及x+2y=3得：2x+4y≥2=2=4，当且仅当2x=4y=2，即当x=、y=时，取等号，∴P（，）．根据两点间的距离公式求出P到圆心的距离为=，且圆的半径的平方为，然后根据勾股定理得到此切线段的长度为=，故答案为：．要求切线段的长度，利用直角三角形中半径已知，P与圆心的距离未知，所以根据基本不等式求出P点的坐标，然后根据两点间的距离公式求出即可．考查学生会利用基本不等式求函数的最值，会利用两点间的距离公式求线段长度，会利用勾股定理求直角的三角形的边长，属于基础题．16.【答案】【解析】解：在三角形PF1F2中，由平分线定理，可得=，即有=，由椭圆的定义可得，=，即=，又在△PF1M和△PF2M中，由余弦定理可得，cos∠F1MP=，cos∠F2MP=，由cos∠F1MP+cos∠F2MP=0，化简可得PM2•（PF1+PF2）=PF1•F2M2+PF2•F1M2，结合PF1+PF2=2a，PF1•F2M=PF2•F1M，2PM2=PF1•PF2，即有2a•PM2=PF2•F1M•2c，即=，可得=，即c=a，可得e=．故答案为：．在三角形PF1F2中，由平分线定理，结合椭圆的定义可得=，又在△PF1M和△PF2M中，由余弦定理和诱导公式以及椭圆的定义，化简整理可得得=，由离心率公式计算即可得到所求值．本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用内角平分线定理和三角形的余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2-c2=2ab cos C，可得：2ac sin B=2ab cos C．由正弦定理：2sin C sin B=sin B cos C∵0＜B＜π，sin B≠0，∴2sin C=cos C，即tan C=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由b sin（π-A）=a cos B，∴sin B sin A=sin A cos B，∵0＜A＜π，sin A≠0，∴sin B=cos B，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴△ ．【解析】（1）由正余弦定理化简可得角C的大小；（2）由bsin（π-A）=acosB，根据正弦定理化简，求出c，即可求出△ABC的面积．本题考查三角形的正余弦定理和内角和定理的运用，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF∥PA，且OF=，∵DE∥PA，且，∴OF∥DE，且OF=DE．∴四边形OFED为平行四边形，则OD∥EF，即BD∥EF．PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD．∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．∵BD∥EF，∴EF⊥平面PAC．∵EF⊂平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE．（2）解法1：∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，得AC=2．又∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC．∴△ ．∵EF⊥面PAC，∴EF是三棱锥E-PAC的高．∵，∴△ =．解法2：∵底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，∴△ACD为等边三角形．取AD的中点M，连CM，则CM⊥AD，且．∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CM，又PA∩AD=A，∴CM⊥平面PADE，则CM是三棱锥C-PAE的高．∵△ ．∴三棱锥P-ACE的体积△ =．【解析】（1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OFED为平行四边形，则OD∥EF，即BD∥EF．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．又ABCD是菱形，得BD⊥AC．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PAC．则EF⊥平面PAC．进一步得到平面PAC⊥平面PCE．（2）解法1：由∠ABC=60°，可得△ABC是等边三角形，得AC=2．再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥AC．求出三角形PAC的面积证得EF是三棱锥E-PAC的高，利用P-ACE的体积等于E-PAC的体积求解；解法2：由底面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，可得△ACD为等边三角形．利用三棱锥P-ACE的体积等于C-PAE的体积求解．本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.【答案】解：（1）由已知数据可得，．…（1分）因为，…（2分）=20…（3分）．…（4分）所以相关系数．…（5分）因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…（6分）（2）记商家周总利润为y元，由条件可得在过去50周里：当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元．…（8分）当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元．…（9分）当X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．…（10分）所以过去50周周总利润的平均值元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．…（12分）【解析】（1）由题中所给的数据求得线性回归方程，然后进行预测即可；（2）由题意分类讨论X的范围，求解即可．本题考查了线性回归方程及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20.【答案】解：（Ⅰ）依题意，e===，则a2=4b2，由椭圆过点（1，）．代入椭圆方程：，解得：a2=4，b2=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，由x1+x2=-，x1x2=，由k OP+k OQ=+===2，2（k-1）x1x2+m（x1+x2）=0，∴2（k-1）×+m×（-）=0，整理得：m2+k=1，由△=16（4k2-m2+1）=16（4k2+k），，解得：k＜-，或0＜k≤1，直线与圆x2+y2=1相切，则=1，联立解得k=0（舍去），k=-1，∴m2=2，即m=±，∴直线l的方程y=x±．【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a2=4b2，将点（1，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）将直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，求得m2+k=1，由，即可求得k的取值范围，由点到直线的距离即可求得k和m的值，求得直线l的方程．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式及点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）h（x）=f（x）-g（x）=x2-2a ln x，x＞0，h′（x）=，当a≤0，h′（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，当a＞0时，h′（x）＞0，即x2-a＞0，解得：a＞或x＜-，（舍去）h′（x）＜0，即x2-a＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h（x）的极小值为h（）=a-2a ln=a-a lna，无极大值；（2）当a=e时，h（）=h（）=e-e lne=0，此时h（x）=f（x）-g（x）=0，∴f（x）-g（x）≥0，当且仅当x=时，取等号；f′（x）=2x，f′（）=2，g′（x）=，g′（）=2，∴f′（）=g′（），且在x=处f（）=g（）=e+1，即x=时，y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2x+1-e，此时g（x）=2x+1-e=f（x），满足g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，解得：k=2，m=1-e，实数k，m的值分别为2，1-e．【解析】（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，根据函数的单调性即可求得h（x）极值；（2）当a=e时，由f（x）-g（x）≥0，当且仅当x=时，取等号，由f′（）=g′（），则x=时，y=f（x）与y=g（x）有公切线，切线方程y=2x+1-e，即可求得实数k，m的值．本题考查导数的综合应用，考查利用导数的求函数的单调性及最值，考查利用导数求曲线的切线方程，考查计算能力，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+4=0，所以曲线C的普通方程为x2+y2-4x-6y+4=0，即（x-2）2+（y-3）2=9，所以曲线C的参数方程为（φ为参数）．（Ⅱ）把代入代入（x-2）2+（y-3）2=9，并整理得t2-2（cosα+2sinα）t-4=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，所以t1+t2=2（cosα+2sinα），t1t2=-4，所以|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|====，设，，∴，∵-1≤sin（2α-φ）≤1，∴16≤10sin（2α-φ）+26≤3，∴4≤|AB|≤6，∴|AB|的取值范围为[4，6]．【解析】（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的参数方程．（Ⅱ）把代入代入（x-2）2+（y-3）2=9，得t2-2（cosα+2sinα）t-4=0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=2（cosα+2sinα），t1t2=-4，|AB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|，由此能求出|AB|的取值范围．本题考查曲线的参数方程的求法，考查线段长的取值范围的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-2|+2|x-1|，①当x≤1时，f（x）=2-x+2（1-x）=-3x+4，由f（x）＞3，得-3x+4＞3，解得x＜，∴x＜；②1＜x≤2时，f（x）=2-x+2（x-1）=x，由f（x）＞3，得x＞3，∴此时不等式无解；③当x＞2时，f（x）=x-2+2（x-1）=3x-4，由f（x）＞3，得3x-4＞3，解得x＞，∴x＞；综上，不等式f（x）＞3的解集为（-∞，）（，+∞）．（Ⅱ）f（x）≥1即|x-2|+2|x-a|≥1，当|x-2|≥1，即x≤1或x≥3时，显然|x-2|+2|x-a|≥1对任意实数a恒成立；∴丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对任意实数x恒成立，只须丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对x∈（1，3）恒成立．（1）若x∈（1，2]时，得2|x-a|≥x-1，即a≥，或a≤，x∈（1，2]恒成立，则a≥，或a≤1；（2）若当x∈（2，3）时，得2|x-a|≥3-x，即a≥，或a≤对x∈（2，3）恒成立，则a≥3，或a≤；对（1）（2）中a的范围取交集，得a≤1或a≥3．【解析】（Ⅰ）按照x≤1，1＜x≤2，x＞2三种情况进行讨论，去掉绝对值符号可解不等式，注意三种情况要对x的范围取并集；（Ⅱ）f（x）≥1即|x-2|+2|x-a|≥1，易知|x-2|≥1即x≤1或x≥3时，|x-2|+2|x-a|≥1对任意实数a恒成立，从而丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对任意实数x恒成立，只须丨x-2丨+2丨x-a丨≥1 对x∈（1，3）恒成立．按照x∈（1，2]，x∈（2，3）两种情况讨论去掉绝对值符号，分离出参数a后转化为函数的最值可得a的范围，最后取交集可得．对于含有绝对值的题目，本身就是分类的，问题的提出已包含了分类的原因．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，在高考试题中占有重要的位置．。
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版)
2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x≥0}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，0}C．{﹣1，3}D．{﹣1，0，3} 2．（5分）若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则|z|＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知α为锐角，，则＝（）A．B．3C．D．﹣34．（5分）设命题p：∀x＜1，x2＜1，命题q：∃x0＞0，，则下列命题中是真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）5．（5分）设实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为（）A．5B．4C．6D．06．（5分）如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角．现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）图①是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，图②是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的程序框图，那么该程序框图输出的结果是（）A．6B．10C．91D．928．（5分）已知等比数列{a n}，且a4+a8＝﹣2，则a6（a2+2a6+a10）的值为（）A．6B．4C．8D．﹣99．（5分）设曲线f（x）＝（m∈R）上任一点（x，y）处切线斜率为g（x），则函数y＝x2g（x）的部分图象可以为（）A．B．C．D．10．（5分）将函数的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC的正视图和俯视图如图所示，则此三棱柱的外接球的表面积为（）A．4πB．12πC．D．12．（5分）已知函数，若存在实数m使得不等式f（m）≤2n2﹣n成立，求实数n的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知向量＝（1，2），＝（x，1），u＝+2，v＝2﹣，且u∥v，则实数x 的值是．14．（5分）若f（x）＝，则f[]＝．15．（5分）已知点P（x，y）在直线x+2y＝3上移动，当2x+4y取得最小值时，过点P引圆（x﹣）2+（y+）2＝的切线，则此切线段的长度为．16．（5分）已知F1、F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、右顶点），过点P作∠F1PF2的角平分线交x轴于点M，若2|PM|2＝|PF1|•|PF2|，则椭圆的离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若b sin（π﹣A）＝a cos B，且，求△ABC的面积．18．（12分）如图，已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，P A⊥底面ABCD，ED∥P A，且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若∠ABC＝60°，求三棱锥P﹣ACE的体积．19．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r 并加以说明（精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式r＝，参考数据≈0.55，≈0.95．20．（12分）已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）是否存在直线l：y＝kx+m相交于P，Q两点，且满足：①OP与OQ（O为坐标原点）的斜率之和为2；②直线l与圆x2+y2＝1相切．若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝2alnx+1（a∈R）（1）求函数h（x）＝f（x）﹣g（x）的极值；（2）当a＝e时，是否存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立？若存在，请求实数k，m的值；若不存在，请说明理由．选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+4＝0．（Ⅰ）求曲线C的普通方程和参数方程；（Ⅱ）设l与曲线C交于A，B两点，求线段|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣2|+2|x﹣a|（a∈R）．（I）当a＝1时，解不等式f（x）＞3；（II）不等式f（x）≥1在区间（﹣∞，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．【解答】解：集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x≥0}＝{x|x≤0或x≥3}，则A∩B＝{﹣1，0，3}．故选：D．2．【解答】解：由（1﹣i）z＝1+2i，得z＝，∴|z|＝．故选：C．3．【解答】解：∵α为锐角，，∴sinα＝＝，tan＝2，∴＝＝＝．故选：A．4．【解答】解：当x＝﹣2时，满足x＜1，但x2＜1不成立，即命题p是假命题，当x0＝2时，满足x0＞0，此时，成立，即命题q是真命题，则（￢p）∧q是真命题，其余为假命题，故选：B．5．【解答】解：实数x，y满足约束条件，画出可行域，结合图象可得当目标函数z＝2x+y过点A时，目标函数取得最大值由，解得A（1，2），则z＝2x+y的最大值为4．故选：B．6．【解答】解：由图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，而阴影区域的边长为﹣1，面积为＝4﹣2；所以，飞镖落在阴影区域的概率为：P＝＝．故选：A．7．【解答】解：程序框图的意思是：输出学生考试成绩的中，90及90分以上的人数，从茎叶图中不难发现一共有10，∴n＝10．故选：B．8．【解答】解：由题意知：a6（a2+2a6+a10）＝a6a2+2a6a6+a10a6，∵a4+a8＝﹣2，∴a6a2+2a6a6+a10a6＝（a4+a8）2＝4．故选：B．9．【解答】解：由f（x）＝（m∈R），得f′（x）＝﹣（m∈R）．∴y＝x2g（x）＝．该函数为奇函数，且当x→0+时，y＜0．故选：D．10．【解答】解：将函数＝sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，所得图象对应的函数y＝sin（2x+2φ+）恰为奇函数，∴2φ+＝kπ，k∈Z，则φ的最小值为，故选：B．11．【解答】解：由正视图与侧视图知，正三棱锥的侧棱长为4，底面正三角形的边长为2，如图：其中SA＝4，AH＝××＝2，SH＝＝2，设其外接球的球心为0，半径为R，则：OS＝OA＝R，∴R+＝2⇒R＝，∴外接球的表面积S＝4π×＝．故选：D．12．【解答】解：由，求导，f′（x）＝e x+f（0）x ﹣1，当x＝1时，f′（1）＝f′（1）+f（0）﹣1，则f（0）＝1，f（0）＝＝1，则f′（1）＝e，f（x）＝e x+x2﹣x，则f′（x）＝e x+x﹣1，令f′（x）＝0，解得：x＝0，当f′（x）＞0，解得：x＞0，当f′（x）＜0，解得：x＜0，∴当x＝0时，取极小值，极小值为f（0）＝1，∴f（x）的最小值为1，由f（m）≤2n2﹣n，则2n2﹣n≥f（x）min＝1，则2n2﹣n﹣1≥0，解得：n≥1或n≤﹣，实数n的取值范围（﹣∞，﹣∪[1，+∞），故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．【解答】解：∵＝（1，2），＝（x，1），则＝+2＝（1，2）+2（x，1）＝（1+2x，4），＝2﹣＝2（1，2）﹣（x，1）＝（2﹣x，3），∵，∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）＝0，解得：x＝．故答案为：．14．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（log26）＝＝6，∴f[]＝f（）＝1﹣（）2＝．15．【解答】解：利用基本不等式及x+2y＝3得：2x+4y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝4y＝2，即当x＝、y＝时，取等号，∴P（，）．根据两点间的距离公式求出P到圆心的距离为＝，且圆的半径的平方为，然后根据勾股定理得到此切线段的长度为＝，故答案为：．16．【解答】解：在三角形PF1F2中，由平分线定理，可得＝，即有＝，由椭圆的定义可得，＝，即＝，又在△PF1M和△PF2M中，由余弦定理可得，cos∠F1MP＝，cos∠F2MP＝，由cos∠F1MP+cos∠F2MP＝0，结合＝，即为PM2（PF1+PF2）＝PF2•PF12+PF1•PF22﹣（PF1•F2M2+PF2•F1M2），结合2PM2＝PF1•PF2，化简可得PM2•（PF1+PF2）＝PF1•F2M2+PF2•F1M2，结合PF1+PF2＝2a，PF1•F2M＝PF2•F1M，2PM2＝PF1•PF2，即有2a•PM2＝PF2•F1M•2c，即＝，可得＝，即c＝a，可得e＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2＝2ab cos C，可得：2ac sin B＝2ab cos C．由正弦定理：2sin C sin B＝2sin B cos C∵0＜B＜π，sin B≠0，∴2sin C＝2cos C，即tan C＝，∵0＜C＜π，∴C＝．（2）由b sin（π﹣A）＝a cos B，∴sin B sin A＝sin A cos B，∵0＜A＜π，sin A≠0，∴sin B＝cos B，∴，根据正弦定理，可得，解得c＝1，∴．18．【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF∥P A，且OF＝，∵DE∥P A，且，∴OF∥DE，且OF＝DE．∴四边形OFED为平行四边形，则OD∥EF，即BD∥EF．P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD．∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．∵BD∥EF，∴EF⊥平面P AC．∵EF⊂平面PCE，∴平面P AC⊥平面PCE．（2）解法1：∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，得AC＝2．又∵P A⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴P A⊥AC．∴．∵EF⊥面P AC，∴EF是三棱锥E﹣P AC的高．∵，∴＝．解法2：∵底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，∴△ACD为等边三角形．取AD的中点M，连CM，则CM⊥AD，且．∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥CM，又P A∩AD＝A，∴CM⊥平面P ADE，则CM是三棱锥C﹣P AE的高．∵．∴三棱锥P﹣ACE的体积＝．19．【解答】解：（1）由已知数据可得，．…（1分）因为，…（2分）＝20…（3分）．…（4分）所以相关系数．…（5分）因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…（6分）（2）记商家周总利润为y元，由条件可得在过去50周里：当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y＝1×3000﹣2×1000＝1000元．…（8分）当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y＝2×3000﹣1×1000＝5000元．…（9分）当X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y＝3×3000＝9000元．…（10分）所以过去50周周总利润的平均值元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．…（12分）20．【解答】解：（Ⅰ）依题意，e＝＝＝，则a2＝4b2，由椭圆过点（1，）．代入椭圆方程：，解得：a2＝4，b2＝1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0，由x1+x2＝﹣，x1x2＝，由k OP+k OQ＝+＝＝＝2，2（k﹣1）x1x2+m（x1+x2）＝0，∴2（k﹣1）×+m×（﹣）＝0，整理得：m2+k＝1，由△＝16（4k2﹣m2+1）＝16（4k2+k），，解得：k＜﹣，或0＜k≤1，直线与圆x2+y2＝1相切，则＝1，联立解得k＝0（舍去），k＝﹣1，∴m2＝2，即m＝±，∴直线l的方程y＝x±．21．【解答】解：（1）h（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣2alnx，x＞0，h′（x）＝，当a≤0，h′（x）＞0，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值，当a＞0时，h′（x）＞0，即x2﹣a＞0，解得：a＞或x＜﹣，（舍去）h′（x）＜0，即x2﹣a＜0，解得：0＜x＜，∴h（x）在（0，）单调递减，在（，+∞）单调递增，∴h（x）的极小值为h（）＝a﹣2aln＝a﹣alna，无极大值；（2）当a＝e时，h（）＝h（）＝e﹣elne＝0，此时h（x）＝f（x）﹣g（x）＝0，∴f（x）﹣g（x）≥0，当且仅当x＝时，取等号；f′（x）＝2x，f′（）＝2，g′（x）＝，g′（）＝2，∴f′（）＝g′（），且在x＝处f（）＝g（）＝e+1，即x＝时，y＝f（x）与y＝g（x）有公切线，切线方程y＝2x+1﹣e，此时g（x）＝2x+1﹣e＝f（x），满足g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，解得：k＝2，m＝1﹣e，实数k，m的值分别为2，1﹣e．选做题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）因为曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ﹣6ρsinθ+4＝0，所以曲线C的普通方程为x2+y2﹣4x﹣6y+4＝0，即（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，所以曲线C的参数方程为（φ为参数）．（Ⅱ）把代入代入（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9，并整理得t2﹣2（cosα+2sinα）t﹣4＝0，设A，B对应的参数分别为t1，t2，所以t1+t2＝2（cosα+2sinα），t1t2＝﹣4，所以|AB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝＝＝，设，，∴，∵﹣1≤sin（2α﹣φ）≤1，∴16≤10sin（2α﹣φ）+26≤3，∴4≤|AB|≤6，∴|AB|的取值范围为[4，6]．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝|x﹣2|+2|x﹣1|，①当x≤1时，f（x）＝2﹣x+2（1﹣x）＝﹣3x+4，由f（x）＞3，得﹣3x+4＞3，解得x＜，∴x＜；②1＜x≤2时，f（x）＝2﹣x+2（x﹣1）＝x，由f（x）＞3，得x＞3，∴此时不等式无解；③当x＞2时，f（x）＝x﹣2+2（x﹣1）＝3x﹣4，由f（x）＞3，得3x﹣4＞3，解得x＞，∴x＞；综上，不等式f（x）＞3的解集为（﹣∞，）∪（，+∞）．（Ⅱ）f（x）≥1即|x﹣2|+2|x﹣a|≥1，当|x﹣2|≥1，即x≤1或x≥3时，显然|x﹣2|+2|x﹣a|≥1对任意实数a恒成立；∴丨x﹣2丨+2丨x﹣a丨≥1 对任意实数x恒成立，只须丨x﹣2丨+2丨x﹣a丨≥1 对x∈（1，3）恒成立．（1）若x∈（1，2]时，得2|x﹣a|≥x﹣1，即a≥，或a≤，x∈（1，2]恒成立，则a≥，或a≤1；（2）若当x∈（2，3）时，得2|x﹣a|≥3﹣x，即a≥，或a≤对x∈（2，3）恒成立，则a≥3，或a≤；对（1）（2）中a的范围取交集，得a≤1或a≥3．。
广东省汕头市数学高二下学期文数期末考试试卷
广东省汕头市数学高二下学期文数期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·湖南期末) 已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）函数的最大值是（）A . 6B . 2C . 5D . 23. （2分）函数y=sinx﹣2x的导数是（）A . cosx﹣2xB . cosx﹣2x•ln2C . ﹣cosx+2xD . ﹣cosx﹣2x•ln24. （2分） (文科)若为等差数列，是其前n项的和，且，则（）B .C .D .5. （2分）在直角坐标系中，设，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长是（）A .B . 6C .D .6. （2分） (2018高二上·佛山期末) 已知抛物线上点到其焦点的距离为6，则该抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高二上·定州期中) 某学校有学生2500人，教师350人，后勤职工150人，为了调查对食堂服务的满意度，用分层抽样从中抽取300人，则学生甲被抽到的概率为（）A .B .D .8. （2分） (2016高一下·海珠期末) 在△ABC中，若sin2A≤sin2B+sin2C﹣ sinBsinC，则角A的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ，π）C . （0， ]D . [ ，）9. （2分） (2017高三上·会宁期末) 同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于x= 对称，③在上是增函数”的一个函数是（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高三上·大连期中) 已知定义在（0，）上的函数f（x），f'（x）为其导数，且＜恒成立，则（）A . f（）＞ f（）B . f（）＞f（）C . f（1）＜2f（）sin1D . f（）＜f（）11. （2分） (2018高二下·陆川月考) 对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）= ，则g（）+g（）+…+g（）=（）A . 2016B . 2015C . 4030D . 100812. （2分） (2017高二下·淄川开学考) 已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2017高二下·故城期末) 在平行四边形中，为一条对角线，，，则 ________．14. （1分）若实数x，y满足，则z=﹣x+y的最小值为________15. （1分） (2019高二上·余姚期中) 已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ________．16. （2分） (2017高二下·台州期末) 已知函数f（x）=x2﹣3x+lnx，则f（x）在区间[ ，2]上的最小值为________；当f（x）取到最小值时，x=________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2019高三上·安徽月考) 设函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）当，时，证明：．18. （10分）(2018·鞍山模拟) 某校为了解该校多媒体教学普及情况，根据年龄按分层抽样的方式调查了该校50名教师，他们的年龄频数及使用多媒体教学情况的人数分布如下表：（1）由以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为以40岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异？附：， .（2）若采用分层抽样的方式从年龄低于40岁且经常使用多媒体的教师中选出6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人年龄在30-39岁的概率.19. （10分） (2019高二上·长治月考) 如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．20. （10分）(2018·绵阳模拟) 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. （10分） (2015高二下·沈丘期中) 设函数已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣和x=1处取得极值．（1）求a，b的值及其单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]不等式f（x）≤c2恒成立，求c的取值范围．22. （5分）(2017·成都模拟) 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（其中t为参数），现以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）写出直线l和曲线C的普通方程；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求P到直线l的距离的最小值．23. （10分）(2017·甘肃模拟) 选修4-5：不等式选讲设函数f（x）=|x+2|+|x﹣1|．（1）求f（x）的最小值及取得最小值时x的取值范围；（2）若集合{x|f（x）+ax﹣1＞0}=R，求实数a的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9、答案：略10-1、11、答案：略12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
广东省汕头市高二下学期期末数学试卷
广东省汕头市高二下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共12题；共14分)1. （1分）抛物线y2=2x的准线方程是________2. （1分）直线和直线l2垂直，则直线l2的倾斜角的大小是________．3. （1分） (2016高二上·武邑期中) 已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是________．4. （1分）(2013·重庆理) 已知复数z= （i是虚数单位），则|z|=________．5. （1分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x﹣3y=0和x轴都相切，则该圆的标准方程是________6. （1分） (2015高二下·哈密期中) 设复数z= （i为虚数单位），则z的共轭复数的虚部是________7. （1分） (2017高二下·淄川开学考) 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率e等于________．8. （1分）已知△ABC中，A、B的坐标分别为（2，0）和（﹣2，0），若三角形的周长为10，则顶点C的轨迹方程是________．9. （1分）已知复数z满足z+|z|=2+8i，其中i为虚数单位，则|z|=________10. （1分）已知双曲线过点（4，），且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程为________ 。
11. （2分） (2015高二下·伊宁期中) 已知双曲线中心在原点，一个焦点为F1（﹣，0），点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________，离心率是________．12. （2分） (2019高二上·浙江期中) 若直线被圆C：截得的弦长为，则圆心C到直线l的距离是________， ________．二、选择题 (共4题；共8分)13. （2分）已知A（2，0），B（3，），直线l∥AB，则直线l的倾斜角为（）A . 135°B . 120°C . 60°D . 45°14. （2分） (2017高二下·榆社期中) 已知球O的半径为R，体积为V，则“R＞”是“V＞36π”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也必要条件15. （2分） (2015高二下·咸阳期中) i是虚数单位，若 =a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（）A . ﹣15B . ﹣3C . 3D . 1516. （2分）(2017·长沙模拟) 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且，则的面积为（）A . 4B . 6C . 8D . 12三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分）已知直线l1经过点A（m，1），B（﹣1，m），直线l2经过点P（1，2），Q（﹣5，0）．（1）若l1∥l2，求m的值；（2）若l1⊥l2，求m的值．18. （10分）(2018·长宁模拟) 已知复数满足，的虚部为2．（1）求复数；（2）设在复平面上的对应点分别为，，，求△ 的面积．19. （10分） (2015高二上·黄石期末) 已知圆A：（x+2）2+y2=1，圆B：（x﹣2）2+y2=49，动圆P与圆A，圆B均相切．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）已知点N（2，），作射线AN，与“P点轨迹”交于另一点M，求△MNB的周长．20. （10分）(2013·北京理) 已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（1）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．21. （10分）已知椭圆的右焦点为F，短轴长为2，点M为椭圆E上一个动点，且|MF|的最大值为．（1）求椭圆E的方程；（2）设不在坐标轴上的点M的坐标为（x0，y0），点A，B为椭圆E上异于点M的不同两点，且直线x=x0平分∠AMB，试用x0，y0表示直线AB的斜率．参考答案一、填空题 (共12题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、选择题 (共4题；共8分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共5题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、。
广东省汕头市高二下学期期末教学质量检测考试文科数学试卷Word版含答案
绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高二文科数学本试卷共4页，24小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡相应的位置上) 1．已知集合}{11=-<<M x x ，{}24,N x x x Z =<∈，则A. {}0MN = B. N ⊆C. M N ⊆D.M N N =2．设i 是虚数单位，R ∈a ，若(2)i ai +是一个纯虚数，则实数a 的值为A. －12 B. 1- C. 0 D. 13．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间(0,1)内单调递增的是A ．3y x =B ．cos y x =C ．1ln1xy x -=+D ．x y e = 4．双曲线264x －2136y =的离心率为A ．45B ．54 C ．34D ．43 5．已知变量x ，y 满足约束条件01x x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩，则z 122x y =+-的最大值是A ．－12 B ．0 C ．12D ．16．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的弧线是半径为1的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为A ．1 B. 2πC. 14π-D ．12π-7．一个算法的程序框图如图所示，该程序输出的结果为A ．1011B ．56C ．511D ．758．直线x y m -+=0与圆221x y +=相交的一个充分 不必要条件是 A ．0m <<1B ．－4m <<2C ．1<mD ．－3m <<19．将函数()f x =sin(2x φ+)(φ<2π)的图象向左平移 6π个单位后的图象关于原点对称，则函数φ的可能值为(第7题图)A ．6π B ．－6π C ．3π D ．－3π 10．经过函数2y x=-图象上一点M 引切线l 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，O 为坐标原点，记OAB ∆的面积为S ，则S =A ．8B ．4C ．2D ．111．已知向量1,2a b ==且0a b ⋅=，又2,,//c a b d ma nb c d =+=-，则mn等于A. 12-B. 1-C. 1D. 212．已知0a >，函数2324ln ,0()34,0⎧⋅->⎪=⎨--≤⎪⎩a x x x f x x a x x ，且方程()20f x a +=至少有三个不等实根，则实数a 的取值范围是A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．(]1,2C ．[)1,+∞D ．()1,+∞第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答卷相应的位置上)13．如果1sin()22x π+=，则cos()x -= .14．当0x <时，2()f x x x=--的最小值是 . 15．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读．数学中有回文数，如343、12521等，两位数的回文数有11、22、33、…、99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是 .16．已知正方体ABCD －1111A B C D 的棱长为4，点E 是线段1B C 的中点，则三棱锥1A DED -外接球的体积为 .三、解答题(6小题，共70分。
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绝密★启用前 试卷类型：A
汕头市2017~2018学年度普通高中教学质量监测
高二文科数学
考生注意：
1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并交回。
第 Ⅰ 卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目的要求的．
1．已知集合={|13}A x x x <>或，={|12}B x x -<<，则A B = A ．{}|13x x -<< B ．{}
|23x x x <>或
C ．{}|11x x -<<
D ．{}|13x x x <->或 2．若复数(1i)(i)a -+的实部与虚部相等，其中a 是实数，则a =
A ．0
B ．1-
C ．1 D.2 3．甲、乙、丙三位同学站成一排照相，则甲、丙相邻的概率为
A ．
16 B ．15 C ．23 D ．13
4．若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪
-≤⎨⎪≤⎩
，则2z x y =+的取值范围是
A ．[1,2]
B ．[1,4]
C ．[2,4]
D ．[1,3]
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若16182024a a a ++=，则35S =
A ．140
B ．280
C ．70
D.420
6．已知12,F F 分别是椭圆22
:197
x y C +=的左、右焦点，过点2F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆
于点P 、Q 两点，O 为坐标原点，则1POF ∆的面积为 A
． B
．
C.
D
7．执行如图所示的程序框图，若输出的S =57，则判断框内应填入的条件是
A ．4k >
B ．5k >
C ．6k >
D ．7k >
8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形， 则这个几何体的侧面积为 A
B
C
2
D
9.已知函数()cos()sin(+)63
f x x x ππ
=-+，则
A ．函数()f x
(,0)6π
对称
B ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于(,0)6π
对称
C ．函数()f x
6
x π
=对称
D ．函数()f x 的最大值为2，其图象关于直线6
x π
=
对称
10．已知1F 、2F 是双曲线2
2
22
:
1(0,0)x y
C a b a b -=>>的两个焦 点，1B 2B 是双曲线C 的虚轴，若0112120F B F ∠=，则双曲 线C 的离心率是 A
B
C
D
1
11．已知函数()2||22018x f x x =+-
，则使得)
()2f f x >+成立的x 的取值范围是
A
．(1-
B
．(
),1-∞+∞
C ．
(1-+
D
．(
(),11-∞++∞
12．已知函数()f x 定义在R 上恒有()()f x f x -=，且(2)()+=f x f x ，当[0,1]x ∈时，
()21x
f x =-，若实数[10,10]a ∈-，且()1f a =，则a 的取值个数为
A ．5
B ．10
C ．19
D ．20
第 Ⅱ 卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量(,21)a m m =- ，(1,2)b =- ，若//a b
，则m = ．
14．曲线()x
f x x e =+在0x =处的切线方程为
__________.
15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且23n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式是n a =______. 16．如图是一几何体的平面展开图 ，其中ABCD 为正方形，
∆PAB ，∆PBC ，∆PCD ，∆PAD 都是正三角形，E ，F 分
别为PA ，PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个命题： ①直线BE 与CF 异面；②直线BE 与AF 异面； ③直线//EF 平面PBC ；④平面⊥BCE 平面PAD . 其中正确命题的序号是________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． (一)必考题：共60分。
17．(本小题满分12分)
在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos 0=b A B ． (1)求角B 的大小；
(2)若4b =，ABC ∆a c +的值.
18．(本小题满分12分)
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，
EB ⊥平面ABCD 且//EB FD .
(1)求证：平面AEC ⊥平面BEFD ；
(2)若1
12EB FD AB ===，60BAD ∠=︒，
求多面体ABCDEF 的体积.
19．(本小题满分12分)
某连锁海鲜店主每天购进100元一袋的海鲜若干袋，并以140元一袋售出；若当天供大于求，则剩余的海鲜以60元一袋全部退回；若当天供不应求，则立即调剂120元一袋的海鲜，再以140元一袋售出.
(1)若海鲜店一天购进海鲜5袋，求当天的利润y
(单位：元)关于当天需求量n (单位：袋，*
N n ∈)
(2)店主记录了过去30天的海鲜日需求量n (单位：袋)并整理得柱状图，如图所示，且海鲜店每天均购进海鲜5袋.
(i)求该海鲜店这30天的日平均利润；
(ii)以这30天记录的需求量n 发生的频率作为概率，求海鲜店一天利润不小于200元的概率.
20．(本小题满分12分)
已知曲线C ：24x y =，过点(1,0)且斜率为k 的直线l 交曲线C 于,A B 不同两点． (1)求k 的取值范围；
(2)O 为坐标原点，若OA OB ⊥，求OAB ∆的面积．
21．(本小题满分12分) 已知函数()()2
21ln 2
f x x a x a =
-∈R (1)讨论)(x f 的单调性； (2)若()0f x >，求a 的取值范围．
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题记
分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C 的极坐标方程； (2)若点A 的极坐标为(2,)3
π
，M 是曲线C 上的一动点，求MAO ∆面积的最大值．
23．[选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 已知函数()|1||3|f x x x =-++． (1)解不等式：()8f x ≤；
(2)对任意x R ∈，2
()3f x a a ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.。