高一【数学(人教B版)】全称量词命题与存在量词命题的否定学习任务单

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全称量词命题与存在量词命题的否定新教材人教版高中必修第一册

提示不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”. 2.对省略量词的命题怎样否定？提示对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题.一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意”，它的否定是存在量词命题.反之，亦然.
素养达成
1.命题与命题的否定的真假判断一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 _一__真__一__假___.
2.全称量词命题的否定命题的否定：改变量词，否定结论全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：___x_∈__M_，__綈__p_(_x_)_. 全称量词命题的否定是_存__在__量__词__命题.
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课前预习
课堂互动
素养达成
规律方法全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定.
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课前预习
课堂互动
素养达成
【训练1】写出下列全称量词命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)对任意实数x，x2＋1≥0. 解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. (4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.
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课前预习
课堂互动
素养达成
4.命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A.∀x<0，x3＋x<0
B.∀x<0，x3＋x≥0
C.∃x≥0，x3＋x<0

第五讲全称量词命题与存在量词命题的否定-2021年新高一数学2019人教B版必修第一册

第五讲全称量词命题与存在量词命题的否定【学习目标】1.能正确写出一个命题的否定，并判断其真假．2．理解含有一个量词的命题的否定的意义．3．会对含有一个量词的命题进行否定．4．掌握全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．【基础知识】一、命题的否定1．命题的否定：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．2．命题的真假与命题的否定的真假：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．3．常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个二、全称量词命题与存在量词命题的否定1．全称量词的否定：全称量词命题p：∀x∈M，q(x)。

它的否定﹁p：∃x∈M，¬q(x)。

2．存在量词的否定：存在量词命题p：∃x∈M，p(x)。

它的否定﹁p：∀x∈M，¬p(x)。

3．结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。

4．全称量词命题与存在量词命题的否定判断真假：(1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在M中找到一个x，使得q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对M中的每一个x，均有p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成立．【考点剖析】考点一：命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：y＝sin x是周期函数；(2)p：实数的绝对值都大于0；(3)p：菱形的对角线垂直平分；(4)p：若xy＝0，则x＝0或y＝0.【解析】(1) ¬p：y＝sin x不是周期函数．假命题．(2) ¬p：实数的绝对值不都大于零．真命题．(3) ¬p：菱形的对角线不垂直或不平分．假命题．(4) ¬p：若xy＝0，则x≠0且y≠0. 假命题．【答案】见解析考点二：全称量词命题的否定例2写出下列全称量词命题的否定，并判断其否定的真假．(1)对所有正数x，x>x＋1；(2)∀x∈R，x3＋1≠0；(3)所有被5整除的整数都是奇数；(3)所有的正方形都是矩形．【解析】(1)该命题的否定：存在正数x，x≤x＋1，真命题．(2)该命题的否定：∃x∈R，x3＋1＝0，真命题．(3)该命题的否定：存在一个被5整除的整数不是奇数，真命题．(4)该命题的否定：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．【答案】见解析考点三：存在量词命题的否定例3写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假．①有些实数的绝对值是正数；②某些平行四边形是菱形；③∃x∈R，x2＋1<0；④∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.【解析】①该命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”．也即“所有实数的绝对值都不是正数”．假命题.②该命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”．假命题.③该命题的否定：“不存在x∈R，x2＋1<0”，也即“∀x∈R，x2＋1≥0”．真命题.④该命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．假命题.【答案】见解析考点四：命题的否定含有参数的应用例4已知命题p：∃x∈(1,3)，x－a≥0；若¬p是真命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(3，＋∞)C．(－∞，3] D．[3，＋∞)(2)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________．【解析】∃x∈(1,3)，x－a≥0的否定为∀x∈(1,3)，x－a<0，因为¬p为真命题，所以x<a在x∈(1,3)上恒成立．故a≥3.【答案】D【真题演练】1．有以下命题：①没有男生爱踢足球；②所有男生都不爱踢足球；③至少有一个男生不爱踢足球；④所有女生都爱踢足球．其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定的是()A．①B．②C．③D．④【解析】所有男生都爱踢足球的否定为“不是所有男生都爱踢足球”，即“至少有一个男生不爱踢足球”．【答案】 C2．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是()A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0B．存在x∉R，x3－x2＋2≥0C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0D．存在x∈R，x3－x2＋2<0【解析】命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词“对任意的x∈R”变为“存在x∈R”，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.【答案】 C3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数【解析】量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.【答案】 B4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0【解析】命题是存在量词命题，即∃x∈R，|x|>0，其否定为∀x∈R，|x|≤0.【答案】 C5．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则¬p为()A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n>1 000【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，“>”的否定为“≤”．【答案】 A6．命题“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形都不是等腰三角形D．所有三角形都是等腰三角形【解析】存在量词命题的否定为全称量词命题，注意否定结论．故选C.【答案】 C7．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为______________，此命题的否定是______________，其否定是________命题(填“真”或“假”)．【答案】∃x，y∈R，使得x＋y>1 ∀x，y∈R，x＋y≤1假8．“至多有2个人”的否定为________．【解析】“至多有两个人”含义是有0人或1人或2人，故“至多有2个人”的否定为“至少有3个人”．【答案】至少有3个人9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)任何有理数都是实数．(2)存在一个实数a，能使a2＋1＝0成立．【解析】(1)该命题的否定：至少有一个有理数不是实数．因为原命题是真命题，所以其否定是假命题．(2)该命题的否定：任意一个实数a，都不能使a2＋1＝0成立．因为a2＝－1在实数范围内不成立，所以原命题是假命题，所以其否定是真命题．【答案】见解析【过关检测】1．下列命题的否定是真命题的为()A ．p 1每一个合数都是偶数B ．p 2两条平行线被第三条直线所截内错角相等C ．p 3有些实数的绝对值是正数D ．p 4某些平行四边形是菱形【解析】若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p 1为全称量词命题，且是假命题，则﹁p 1是真命题．命题p 2，p 3，p 4均为真命题，即﹁p 2，﹁p 3，﹁p 4均为假命题．【答案】 A2．已知命题p ：∃x >0，x ＋a －1＝0，若p 为假命题，则a 的取值范围是( ) A ．{a |a <－1} B ．{a |a ≥1} C ．{a |a >1}D ．{a |a ≤－1}【解析】 ∵p 为假命题，∴¬p 为真命题，即：∀x >0，x ＋a －1≠0，即x ≠1－a ， ∴1－a ≤0，则a ≥1.∴a 的取值范围是{a |a ≥1}，故选B. 【答案】 B3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2【解析】根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D. 【答案】 D4．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋a ≠0，若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤14B ．a <14C ．a <－14或a >0D ．a ≤－14或a ≥0【解析】 ∵p 是假命题，∴命题p 的否定，即∃x ∈R ，x 2＋x ＋a ＝0是真命题．∴Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.【答案】 A5．全称量词命题“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是( ) A ．所有能被5整除的整数都不是奇数B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个能被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，而选项A ，B 是全称量词命题，所以选项A ，B 错误．因为“所有能被5整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被5整除的整数不是奇数”，所以选项D 错误，选项C 正确，故选C.【答案】 C6．下列四个命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x ＋1x ≥2B ．∃x ∈R ，x 2－x >5C ．∃x ∈R ，|x ＋1|<0D ．∀x ∈R ，|x ＋1|>0【解析】选项A ，当x <0时，x ＋1x ≥2不成立，所以A 错；选项C ，绝对值恒大于等于0，故C 错；选项D ，当x ＝－1时，|x ＋1|＝0，所以D 错，故选B.【答案】 B7．命题“至少有一个正实数x 满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝0”的否定是________________________________________________________________________．【解析】把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．【答案】所有正实数x 都不满足方程x 2＋2(a －1)x ＋2a ＋6＝08．若命题“∃x ＜2 019，x ＞a ”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】由于命题“∃x ＜2 019，x ＞a ”是假命题，因此其否定“∀x ＜2 019，x ≤a ”是真命题，所以a ≥2 019.【答案】 [2 019，＋∞)9．若命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为命题“∀x ∈R,2x 2＋3x ＋a ≠0”是假命题，所以其否定“∃x ∈R,2x 2＋3x ＋a ＝0”是真命题，所以Δ＝32－4×2×a ≥0，解得a ≤98.故实数a 的取值范围是a ≤98.【答案】 a ≤9810．写出下列命题的否定，并判断真假． (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆； (4)∃x ，y ∈Z ，使得2x ＋y ＝3； (5)∀x ∈Z ，x 2与3的和不等于0； (6)有些三角形的三个内角都为60°.【解析】 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行．”由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数．”因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x ，y ∈Z ，都有2x ＋y ≠3”． ∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3， ∴原命题为真命题，命题的否定为假命题．(5)命题的否定：∃x ∈Z ，x 2与3的和等于0.是假命题．(6)命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都为60°.是假命题．【答案】见解析11．已知命题“∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋1≠0”为假命题，求实数a 的取值范围．【解析】题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x ∈R ，使ax 2＋2x ＋1＝0”为真命题，即关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0有实数根．所以a ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，4－4a ≥0，即a ＝0，或a ≤1且a ≠0，所以a ≤1.所以实数a 的取值范围是{a |a ≤1}．【答案】 {a |a ≤1}。

新教材高中数学1.2.1命题与量词1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定练习(含解析)新人教B版必修第一册

1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定最新课程标准：(1)全称量词与存在量词．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．(2)全称量词命题与存在量词命题的否定．①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.知识点一命题1．用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是若q，则p；否命题是若綈p，则綈q；逆否命题是若綈q，则綈p.(2)四种命题间的关系知识点二全称量词和全称量词命题状元随笔全称量词命题与存在量词命题的区别(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”．(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”．知识点四全称量词命题和存在量词命题的否定1．全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，綈p(x)．2．存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，綈p(x)．状元随笔全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．[基础自测]1．下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的正方形不是菱形；④三角形的内角和是180°.A．0 B．1C．2 D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，③是存在量词命题，故有三个全称量词命题．答案：D2．下列命题中存在量词命题的个数是( )①至少有一个偶数是质数；②∃x∈R，x2≤0；③有的奇数能被2整除．A．0 B．1C．2 D．3解析：①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有存在量词符号“∃”，所以是存在量词命题；③中含有存在量词“有的”，所以是存在量词命题．答案：D3．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．答案：C4．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角. 否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”题型一全称量词命题与存在量词命题的判断与其真假[经典例题]例1 判断下列命题哪些是全称量词命题，并判断其真假．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)对顶角相等；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1}，使3x＋4>0；(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．【解析】(1)(3)(5)是全称量词命题，(1)是假命题，∵x＝0时，x2＝0.(3)是真命题．(5)是真命题.正确地识别命题中的全称量词，是解决问题的关键．方法归纳(1)要判定全称量词命题是真命题，需要判断所有的情况都成立；如果有一种情况不成立，那么这个全称量词命题就是假命题．(2)要判定存在量词命题是真命题，只需找到一种情况成立即可；如果找不到使命题成立的特例，那么这个存在量词命题是假命题．跟踪训练1 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0；(2)对任意实数x1，x2，若x1<x2，则tan x1<tan x2；(3)存在一个x∈R，使x2＋1<0.解析：(1)(2)是全称量词命题，(3)是存在量词命题．(1)∵a x>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)对任意x∈R，x2＋1>0.∴命题(3)是假命题．状元随笔判断一个命题是否为全称量词命题或存在量词命题，就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词，有些命题的量词可能隐含在命题之中，这时要根据命题含义判断形式．题型二含有一个量词的命题的否定[教材P29例2]例2 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图像经过原点；(2)q：∀x∈(－3，＋∞)，x2＞9.【解析】(1)綈p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图像不经过原点．因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图像经过原点，所以綈p是假命题．(2)綈q：∃x∈(－3，＋∞)，x2≤9.因为x＝0时，x2＝0＜9，所以綈q是真命题.先把命题否定，再判断真假．教材反思全称量词命题的否定是一个存在量词命题，存在量词命题的否定是一个全称量词命题，因此在书写他们的否定时，相应的全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词，同时否定结论．跟踪训练2 (1)命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( )A.不存在x∈R，x3－x2＋1≤0B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0D．存在x∈R，x3－x2＋1>0(2)命题“∃x∈R，x3－2x＋1＝0”的否定是( )A．∃x∈R，x3－2x＋1≠0B．不存在x∈R，x3－2x＋1≠0C．∀x∈R，x3－2x＋1＝0D．∀x∈R，x3－2x＋1≠0解析：(1)∵命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”是全称量词命题，其否定是对应的存在量词命题，∴否定命题为：存在x∈R，x3－x2＋1>0.故选D.(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A；由命题的否定要否定结论，故排除C；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”，故排除B.答案：(1)D (2)D∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，綈p(x)．∃x∈M，p(x)的否定为∀x∈M，綈p(x)．课时作业 5一、选择题1．下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x是偶数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．答案：C2．判断下列命题是存在量词命题的个数( )①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．答案：B3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为( )A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.答案：C4．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.答案：D二、填空题5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案：①③②④6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是________．解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．答案：③④7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．答案：∃x∈R，|x|＋x2<0三、解答题8．用量词符号表述下列命题：(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．9．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的梯形对角线相等；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，图像是直线；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．[尖子生题库]10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，否定为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；(3)真命题，否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解；(4)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身.。

人教高中数学B版必修一第一章 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定

栏目导引
第一章集合与常用逻辑用语
2．全称量词命题与存在量词命题的否定
q
¬q
结论
全称量词命题 ∀x∈M，q(x)
∃x∈M，¬q(x)
全称量词命题的否定是____存__在__量__词__命__题____
存在量词命题 ∃x∈M，p(x)
__∀_x_∈__M__，__¬_p_(x_)___
存在量词命题的否定是___全__称__量__词__命__题____
[注意] 全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
栏目导引
第一章集合与常用逻辑用语
1．给出下列命题： ①存在实数 x＞1，使 x2＞1； ②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数 a，使 ax2－ax＋1＝0 的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( )
第一章集合与常用逻辑用语
1.2 常用逻辑用语
栏目导引
第一章集合与常用逻辑用语
考点
学习目标
核心素养
理解全称量词、全称量词命全称量词命题与存在
题的定义，理解存在量词、数学抽象量词命题的定义
存在量词命题的定义
全称量词命题与存在掌握判断全称量词命题与量词命题的真假判断存在量词命题真假的方法
栏目导引
第一章集合与常用逻辑用语
■名师点拨 (1)要否定全称量词命题“∀x∈M，q(x)”，只需在 M 中找到一
个 x，使得 q(x)不成立，也就是命题“∃x∈M，¬q(x)”成立．
(2)要否定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”，需要验证对 M 中的
每一个 x，均有 p(x)不成立，也就是命题“∀x∈M，¬p(x)”成

全称量词命题和存在量词命题的否定高一数学精品课件

4 (3)r：有些分数不是有理数．解：(1)任意 x∈R ,2x＋1＜0，为假命题．
(2)任意 x∈R ，x2－x＋14≥0.
因为 x2－x＋14＝x－122≥0，所以是真命题． (3)一切分数都是有理数，是真命题．
题型三全称量词命题、存在量词命题为假时求参数问题 [学透用活]
[典例 3] 已知命题“∀x∈R ，函数 y＝x2＋x＋a 的图象和 x 轴至多有一个公共点”是假命题，求实数 a 的取值范围．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．[选自北师大版教材习题]请举出几个生活中的全称量词命题或存在量
词命题，并写出这些命题的否定．解：(1)这个篮子里的鸡蛋都是好的．其否定是这个篮子的鸡蛋并非都是好的． (2)某箱产品至少有一件是次品．其否定是某箱产品都是正品(答案不唯一)．
﹁ p 是真命题． (2)﹁ q：存在一个实数乘以－1 不等于它的相反数，假命题． (3)﹁ r：有的正方形的对角线不相等，假命题．
[方法技巧] 全称量词命题的否定形式与判断真假的方法
(1)全称量词命题的形式是“∀ x∈M，p(x)”，其否定形式为“∃ x
∈M，﹁ p(x)”，所以全称量词命题的否定是存在量词命题．
对全称量词命题的否定以及特点的理解 (1)全称量词命题的否定实际上是将量词“所有”否定为“并非所有”，所以全称量词命题的否定的等价形式就是存在量词命题，将全称量词调整为存在量词，就要对 p(x)进行否定，这是叙述命题的需要，不能认为对全称量词命题进行了“两次否定”．实际上，含有一个量词的命题的否定仍是一次否定． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要改写为含有全称量词的命题，再写出命题的否定命题．
∈M，﹁ p(x)”，所以存在量词命题的否定是全称量词命题．

高一数学必修一教案 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

1．5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点含量词的命题的否定p 綈p 结论全称量词命题∀x∈M，p(x)∃x∈M，綈p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题存在量词命题∃x∈M，p(x)∀x∈M，綈p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题1．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．( √)2．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．( √)3．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．( ×)一、全称量词命题的否定例1 写出下列命题的否定．(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)∀x∈R，x2－2x＋1≥0.解(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)∃x∈R，x2－2x＋1<0.反思感悟全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)，全称量词命题的否定是存在量词命题．跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其否定的真假：(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；(2)p：∀x∈N,2x>0.解(1)綈p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式Δ＝m2＋4>0恒成立，故綈p为假命题．(2)綈p：∃x∈N,2x≤0.綈p为假命题．二、存在量词命题的否定例2 写出下列命题的否定．(1)有些四边形有外接圆；(2)某些平行四边形是菱形；(3)∃x∈R，x2＋1<0.解(1)所有的四边形都没有外接圆；(2)所有平行四边形都不是菱形；(3)∀x∈R，x2＋1≥0.反思感悟对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．跟踪训练2 写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)有些实数的绝对值是正数；(2)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.解(1)命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，2x＋y≠3”．∵当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，∴命题的否定是假命题．三、全称量词命题、存在量词命题的综合应用例3 对于任意实数x，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围．解令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．延伸探究本例条件变为：“存在实数x，使不等式－x2＋4x－1>m有解”，求实数m的取值范围．解令y＝－x2＋4x－1，因为y＝－x2＋4x－1＝－(x－2)2＋3.又因为∃x∈R，－x2＋4x－1>m有解，所以只要m小于函数的最大值即可，所以所求m的取值范围是{m|m<3}．反思感悟求解含有量词的命题中参数范围的策略(1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>y max(或a<y min)．(2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>y min(或a<y max)．跟踪训练3 若命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则实数a的取值范围是( )A．a≥1 B．a>1 C．a<1 D．a≤1答案 D解析命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0是真命题，则Δ≥0，即a≤1.故选D.1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是( )A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0答案 C解析条件∀x∈R的否定是∃x∈R，结论“|x|＋x2≥0”的否定是“|x|＋x2<0”．2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1答案 C解析利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解．“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.3．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是( )A．綈p：∃x∈R，x2＋1≠0B．綈p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，綈p是假命题D．p是假命题，綈p是真命题答案 C解析命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，綈p是假命题．4．命题“同位角相等”的否定为________．答案有的同位角不相等解析全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等．5．命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是：________.答案所有的三角形都不是直角三角形解析命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定．1．知识清单：(1)全称量词命题、存在量词命题的否定．(2)命题真假的判断．2．方法归纳：转化思想．3．常见误区：否定不唯一，命题与其否定的真假性相反．1．若p：∀x∈R，|x|≤1，则( )A．綈p：∃x∈R，|x|>1B．綈p：∀x∈R，|x|>1C．綈p：∃x∈R，|x|≥1D．綈p：∀x∈R，|x|≥1答案 A解析根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，∀x∈R，|x|≤1的否定为：∃x∈R，|x|>1，故选A.2．命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定( )A．∃x>0，使得x2－x＋3≤0B．∃x>0，使得x2－x＋3>0C．∀x>0，都有x2－x＋3>0D．∀x≤0，都有x2－x＋3>0答案 B解析命题“∀x>0，都有x2－x＋3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2－x＋3>0.3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.4．命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式綈p为( )A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3>x2C．∃x∈N，x3<x2D．∃x∈N，x3≤x2答案 D解析命题p：∀x∈N，x3>x2的否定形式是存在量词命题；∴綈p：“∃x∈N，x3≤x2”．故选D.5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )A．命题綈p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题答案 C解析命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p是假命题，命题p是全称量词命题，故选C. 6．命题“∃x∈N，x2>1”的否定是________．答案∀x∈N，x2≤1解析由题意，根据存在量词命题与全称量词命题的关系可得，命题“∃x∈N，x2>1”的否定为“∀x∈N，x2≤1”．7．命题：∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是____________．答案∀x∈R，x2－x＋1≠0.解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以∃x∈R，x2－x＋1＝0的否定是：∀x∈R，x2－x＋1≠0.8．命题“任意一个x∈R，都有x2－2x＋4≤0”的否定是________．答案存在x∈R，使得x2－2x＋4>0解析原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以其否定为：存在x∈R，使得x2－2x＋4>0.9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假．(1)∀x∈R，x2>0；(2)∃x∈R，x2＝1；(3)∃x∈R，x是方程x2－3x＋2＝0的根；(4)等腰梯形的对角线垂直．解(1)命题的否定：∃x∈R，使x2≤0，因为x＝0时，02＝0，所以命题的否定为真．(2)命题的否定：∀x∈R，使x2≠1，因为x＝1时，x2＝1，所以命题的否定为假．(3)命题的否定：∀x∈R，x不是方程x2－3x＋2＝0的根，因为x＝1时，12－3×1＋2＝0，即x＝1为方程的根，所以命题的否定为假．(4)命题的否定：存在一个等腰梯形的对角线不垂直，是真命题．10．命题p是“对某些实数x，若x－a>0，则x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？解(1)命题p的否定：对任意实数x，若x－a>0，则x－b>0.(2)b≤a.11．下列命题的否定是真命题的是( )A ．三角形角平分线上的点到两边的距离相等B ．所有平行四边形都不是菱形C ．任意两个等边三角形都是相似的D ．3是方程x 2－9＝0的一个根答案 B解析 A 的否定：存在一个三角形，它的角平分线上的点到两边的距离不相等，假命题， B 的否定：有些平行四边形是菱形，真命题， C 的否定：有些等边三角形不相似，假命题， D 的否定： 3不是方程x 2－9＝0的一个根，假命题，故选B.12．已知命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0B ．0≤a ≤4C ．a ≥4D ．0<a <4答案 D解析 ∵命题“∃x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14≤0”是假命题，∴命题“∀x ∈R ，使4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，即判别式Δ＝(a －2)2－4×4×14<0，即Δ＝(a －2)2<4，则－2<a －2<2，即0<a <4，故选D.13．命题∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0的否定是________，命题∃x ∈R ，x 2＋1<0的否定是________．答案 ∃x ∈R ，x 2－x ＋3≤0 ∀x ∈R ，x 2＋1≥014．已知命题p ：任意x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >0.若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是____________．答案 {a |a ≤0，或a ≥1}解析若命题p 为真命题，则Δ＝4a 2－4a <0，∴0<a <1，所以当p 为假命题时，a 的取值范围是a ≤0或a ≥1.15．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定形式是( )A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<2x＋1D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1答案 D解析由题意可知，全称量词命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥2x＋1”的否定形式为存在量词命题“∃x∈R，∀n∈N*，使得n<2x＋1”，故选D.16．已知命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．解因为命题“存在x∈R，ax2－2ax－3>0”的否定为“对于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由命题真，其否定假；命题假，其否定真可知该命题的否定是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象(图略)，数形结合，易知不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；综上知，实数a的取值范围是{a|－3≤a≤0}．。

人教B版高一数学必修第一册全称量词命题与存在量词命题的否定-课件

其中，表示所有素数组成的集合，表示所有奇数组成的集合.
命题是假命题，因为2是素数，但是偶数.
每个素数都不是奇数.
假命题
不是每个素数都是奇数.
真命题
:每个素数都是奇数.
全称量词命题， :∀ ∈ ， ∈ .
其中，表示所有素数组成的集合，表示所有奇数组成的集合.
命题是假命题，因为2是素数，但是偶数.
全称量词命题，
¬：∃ ∈ −3， + ∞ ， 2 ≤ 9，
解析: （2）：∀ ∈ −3， + ∞ ， 2 > 9.
全称量词命题，
¬：∃ ∈ −3， + ∞ ， 2 ≤ 9，
¬: 9 ≠ 3.
是真命题， ¬是假命题
（3） : 0 > 1.
¬: 0 ≤ 1.
（1） : 0是自然数.
¬: 0不是自然数.
是真命题， ¬是假命题
（2） : 9 = 3.
¬: 9 ≠ 3.
是真命题， ¬是假命题
（3） : 0 > 1.
¬: 0 ≤ 1.
是假命题， ¬是真命题
存在量词命题，
¬：∀ ∈ ，一次函数 = + 的图像不经过原点，
是真命题，因为当 = 0 时，正比例函数 = 经过原点，
¬是假命题，因为是真命题，
或当 = 0 时，正比例函数 = 经过原点.
解析: （2）：∀ ∈ −3， + ∞ ， 2 > 9.
解析: （2）：∀ ∈ −3， + ∞ ， 2 > 9.
解析: （3）：至少有一个直角三角形不是等腰三角形.
存在量词命题，
¬：所有直角三角形都是等腰三角形.
原命题和命题的否定必须一个为真，一个为假.

全称量词命题和存在量词命题的否定【课时教学设计】-高中数学新教材必修第一册

第二课时 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定一、教学内容命题的否定的含义，全称量词命题的否定，存在量词命题的否定。

二、教学目标（1）通过分析典型的全称量词命题，能写出全称量词命题的否定，理解全称量词命题的否定是存在量词命题”，体会两种命题之间的关系。

（2）通过分析典型的存在量词命题，能写出存在量词命题的否定，理解存在量词命题的否定是全称量词命题，体会两种命题之间的关系。

三、教学重点与难点教学重点：全称量词命题和存在量词命题的否定。

教学难点：对全称量词命题和存在量词命题的否定的理解。

.三、教学过程设计预习课本，引入新课阅读课本28-31页，思考并完成以下问题1.什么是命题的否定？2.怎样表示全称量词命题的否定？3.怎样表示存在量词命题的否定？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题，教师巡视指导，解答学生在自主学习中遇到的困惑过程。

设计意图：对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉命题的否定，全称量词命题的否定和存在量词命题的否定，并建立它们之间的关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过课本的例子，抽象概念具体化，深入理解概念.（一）概念的引入【情境创设】情境:今天天气好;今天天气不好;这个礼拜的天气都好;这个礼拜的天气都不好;这个礼拜有一天天气好;这个礼拜有一天天气不好。

问题 1:以上是不是命题?有何不同?问题2:它们之间有何关系?设计意图:通过六个生活中的情境，体会否定的含义和必要性。

例1：判断下列命题的真假1.所有的素数都是奇数；2.;11||,≥+∈∀xRx3.有一个实数x，使;0322=++xx4.平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线。

真命题：2,4 假命题：1,3设计意图：让学生体会如何判断全称量词命题与存在量词命题的真假巩固练习：课本31页1,2设计意图：通过进一步的练习让学生逐渐掌握判断全称量词命题与存在量词命题的真假的技巧师生总结：(1)全称量词命题:要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0,使得p(x0)不成立即可.(2)存在量词命题:要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,找到一个x=x0,使p(x0)成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.跟踪练习：1．给出下列命题:①有一个实数x,使tan x无意义;②∀x∈R,3-x+1>2;③所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.0【答案】 B问题3：对下列全称量词命题如何进行否定?(1)所有正方形都是矩形;(2)对任意实数x，都有x-2x+1>0;(3)对任意的实数a，都有a>0.你能总结出规律吗?设计意图：通过思考和归纳，得到全称量词命题否定的方法。

1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定学案(1)-人教B版高中数学必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定导学案（1）理解命题的否定的含义，会写给定命题的否定并判断命题的真假；（2）正确掌握全称量词命题与存在量词命题的否定;（3）明确全称命题的否定是存在命题，存在命题的否定是全称命题，会判断其真假.重点：全称量词命题与存在量词命题的否定以及真假的判断. 难点：正确的对全称量词命题与存在量词命题进行否定.一、复习回顾 1.命题1）称为命题. 2）判断为的语句称为真命题. 3）判断为的语句称为假命题.2.全称量词：“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.全程量词命题：3.存在量词：“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分。

存在量词命题：二、感受新知 1.命题的否定命题的否定：，记作：，读作：“非p ”或“p 的否定”。

全称量词命题与存在量词命题的否定1.命题的否定2. 全称量词命题的否定3.存在量词命题的否定命题p命题p⌝归纳小结真假教材P29 练习A 12.全称量词命题与存在量词命题的否定（1）下面我们来探究如何对全称量词命题与存在量词命题的否定进行否定.根据要求，认真思考回答问题：1）命题:s命题s s⌝自然语言存在整数是自然数。

符号语言命题形式真假判断2）命题:r命题r r⌝自然语言存在实数的平方小于0. 每一个实数的平方都不小于0。

符号语言命题形式真假判断3）命题:q命题q q⌝自然语言每一个有理数都是实数。

符号语言命题形式真假判断（2）尝试与发现记r ：“每一个素数都是奇数。

”用类似的方法研究r 和r ⌝ 的关系、符号表示以及真假性。

（）命题 rr ⌝自然语言每一个素数都是奇数。

存在一个素数不是奇数。

符号语言命题形式真假判断(3)想一想全称量词命题,().x M p x ∀∈的否定为：存在量词命题,s().x M x ∃∈的否定为：3.经典例题例1 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）2:,1;p x R x ∀∈≥- （2）1:{1,2,3,4,5},;q x x x∀∈< （3）:s 至少有一个直角三角形不是等腰三角形。

新教材人教B版必修第一册 1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课件(33张)

【补偿训练】写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假: (1)p:被8整除的数能被4整除. (2)q:所有二次函数的图像关于y轴对称. (3)r:实数都能写成小数形式. (4)s:方程x2-8x-10=0的每一个根都不是奇数.
【解题策略】 1.对全称量词命题否定的两个步骤 (1)改变量词:把全称量词换为恰当的存在量词. (2)否定结论:原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等. 2.全称量词命题否定后的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题,其真假性与全称量词命题相反;要说明一个全称量词命题是假命题,只需举一个反例即可.
2.命题“∀x∈[2,+∞),x2≥4”的否定是 ( )
A.∀x∈[2,+∞),x2<4
B.∀x∈(-∞,2),x2≥4
C.∃x∈[2,+∞),x2<4
D.∃x∈[2,+∞),x2≥4
【解析】选C.∃x∈［2,+∞),x2<4.
3.(教材二次开发:例题改编)写出下列命题的否定,并判断所得命题的真假.
类型二全称量词命题的否定(逻辑推理)
【典例】1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则
()
A.﹁p:∀x∈A,2x∉B
B.﹁p:∀x∉A,2x∉B
C.﹁p:∃x∉A,2x∈B
D.﹁p:∃x∈A,2x∉B
2.写出下列全称量词命题的否定,并判断所得命题的真假: (1)p:对所有正数x, x >x+1. (2)q:任何一个实数除以1,仍等于这个数. (3)r:所有被5整除的整数都是奇数. (4)s:任意两个等边三角形都相似.
【思路导引】1.量词和结论都改变. 2.依据原命题和其否定一真一假解答. 3.找准量词和结论,分别进行改变和否定.

高一数学复习知识点专题讲义7---全称量词命题和存在量词命题的否定

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2
D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2
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18
(1)C (2)D [(1)因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，￢ p(x)”，所以命题“∃n∈N，n2>2n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.
(2)由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2”．]
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26
当堂达标固双基
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1．思考辨析 (1)命题“正方形都是长方形” 是全称量词命题．( ) (2)命题“有些菱形是正方形” 是全称量词命题．( ) (3)命题：∀x∈R，x2－3x＋3>0 的否定是∀x∉R，x2－3x＋ 3≤0.( )
27
[答案] (1)√ (2)× (3)×
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【例3】对于任意实数x，函数y＝x2＋4x－1的函数值恒大于实数 m，求m的取值范围．
[解] 令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5，因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可．所以所求m的取值范围是{m|m<－5}．
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求解含有量词的命题中参数范围的策略 1 对于全称量词命题“∀x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值或最小值，即a＞ ymax或a＜ymin. 2对于存在量词命题“∃x∈M，a＞y或a＜y”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值或最大值，即a＞ ymin或a＜ymax.

1.2.2全称量词命题与存在量词命题的否定课件-高一上学期数学人教B版【03】

归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤 (1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词。 (2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等。 2．全称量词命题否定的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可。
A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020 B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020 C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020
D．以上都不对
解析：命题“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是∀m， n∈Z，有m2≠n2＋2 020。
题
∀x∈M，¬p(x)
若记s:“每一个有理数都是实数”，则不难看出，这个命题的否定是¬s:“不是每一个有理数都是实数”。这里的命题s
实际上是一个全称量词命题，而且可以用符号表示为
s: ∀x∈Q， x ∈ R
而命题 ¬s 可以表述为“存在一个有理数不是实数”，因此¬s 是一个存在量词命题，可以用符号表示为
(2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)∀n∈N，n2≤2n.
思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论。
解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行。 (2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根。 (3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在。 (4)∃n∈N，n2>2n。
¬s: ∃x∈Q， x ∉ R
显然，这里的 s 是一个真命题，而¬s 是一个假命题。
尝试与发现
记 r：“每一个素数都是奇数”，用类似的方法，研究r 和¬ r的关系、符号表示以及真假性。

1.2.2 高中必修一数学教案《全称量词命题与存在量词命题的否定》

高中必修一数学教案《全称量词命题与存在量词命题的否定》教材分析本节课是高中数学人教版B版必修一第一章1.2.2《全称量词命题与存在量词命题的否定》一节，是在前面已经学习了全称量词与存在量词的基础上，对命题的否定的再认识。

同时，学好本节课也使学生对否命题与命题的否定能够进行区分，灵活运用自然语言和符号语言表达含有量词命题的否定，达到学以致用的目的。

学情分析学生仍然处于从初中相对具体的数学内容到高中相对抽象的数学知识的过渡阶段，因此在教学中，教师要充分考虑到学生的接受水平与课堂的活跃程度，适当放慢教学进度，增加具体实例的分析与解读，并且在提问时注意方式方法，尽量调动学生的积极性，踊跃参与课堂发言，同时也要做好无人敢答的心理准备，做好心理预期以及相应的内容备案。

教学目标1、能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定，能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。

2、体会由特殊到一般的推理方法，理解类比的数学方法。

3、树立正确的是非判断标准，培养敢于否定的精神，强化创新意识。

教学重点了解命题的否定的含义，理解全称量词命题与存在量词命题的否定形式。

教学难点得出命题的否定。

教学方法讲授法，讨论法，练习法教学过程一、情境导学“否定”是我们日常生活中经常使用的一个词。

2009年11月23日《人民日报》的《创新，从敢于否定开始》一文中有这样一段话：“培养一流创新人才，敢于否定的精神非常重要。

一旦下定决心进行研究，首先就要敢于否定别人的成果，并想一想：前人的成果有哪些是不对的，有什么方面可以改善，有什么地方可以加强。

”综合上述这段话，谈谈你对“否定”一词的认识，并由此猜想“命题的否定”是什么意思。

本小节我们要学习的是与命题的否定有关的知识。

二、学习新知1、命题的否定一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“┐p”，读作“非p”或“p的否定”。

2、真假命题如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然。

全称量词命题与存在量词命题的否定高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册

p : xZ ， x N ； p : x Z ， x N ．
p : x {1, 2, 3, 4, 5},1 x2 ； p : x {1, 2, 3, 4, 5},1 x2 ．
总结：
对于存在量词命题 p :“ x M ， q(x) ”而言，
它的否定
p :“ xM ， q(x) ．”
四个命题之间的关系是什么？请说出你的猜测
例 2. 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1） p : a R ，一次函数 y x a 的图像经过原点；
解：（1） p : a R ，一次函数 y x a 的图像不经过原点．
举一反例：当 a 0 时，一次函数 y x a 的图像经过原点所以 p 是假命题．
例 2. 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（2） q : x (3, ), x2 9 ．
怎样对一个命题进行否定呢？
尝试写出命题 p :“存在整数是自然数”的否定 p ：
q ：“存在整数不是自然数”.
判断下列命题的真假：（1） p :存在整数是自然数；
真命题
（2） q :存在整数不是自然数；
真命题
（3） r :任意一个整数都是自然数；假命题
（4） s :任意一个整数都不是自然数．假命题
例1：写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假 (1) p : x R, x2 1 (2)s : 至少有一个直角三角形不是等腰三角形
例 2. 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1） p : a R ，一次函数 y x a 的图像经过原点；（2） q : x (3, ), x2 9 ．
q : x {1, 2, 3, 4, 5},1 x2 ．
写出命题 p:“每一个素数都是奇数”的否定．命题 p 的否定应该是“不是每一个素数都是奇数”．即“存在素数不是奇数”．

1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定(教学设计)-高一数学同步备课系列

教学单元第一章集合与常用逻辑用语教学内容 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定教学目标学习目标1. 能写出命题的否定，并会判断真假；会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定2. 理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题核心素养1. 通过实例，使用存在量词对全称量词命题进行否定，使用全称量词对存在量词命题进行否定，培养学生的数学抽象核心素养；2. 理解全称量词命题与存在量词命题之间的关系，提升逻辑推理的核心素养；教学重难点重点：能写出命题的否定，并会判断真假；会正确的对全称量词命题和存在量词命题进行否定；难点：理解全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。

学情分析学生在上一节中，学习了全称量词与存在量词，对用数学符号表示数学命题已经不陌生，全称量词命题的否定与存在量词命题的否定是上一节内容的延伸，教材中许多数学知识也来自生活，这都是学生进一步学习的基础，为本节内容提供有力的保障和支撑。

教学过程教学环节1教师活动情境导入一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。

举例：(1) 56是7的倍数；(2) 空集是集合A={1,2,3}的真子集学生活动设计意图否定：56不是7的倍数；通过问题与思考否定：空集不是集合题的探究，引导A= {1,2,3}的真子集，学生概括出命题的否定的含义．提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

新知讲授【知识一：全称量词命题的否定】问题l 写出下列命题的否定：I c 1)存在一个矩形不是平行I通过问题探究，(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)劝年R,x+ lxl ?O.它们与原命题在形式上有什么变化？四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3) 3xER, x+lxl<O. 从命题形式看，这三个全称'量词命题的否定都变成了存＇在量词命题使学生深入理解全称量词命题的否定的概念，培养数学抽象的核心素养。

高中数学人教版(新教材)必修1学案 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

1.5 全称量词与存在量词1.5.1 全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定课前自主学习知识点1全称量词和全称量词命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．(2)将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为：.『微体验』1．思考辨析(1)命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题．()(2)命题“三角形的内角和是180°”是全称量词命题．()(3)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是全称量词命题．()2．下列命题中，不是全称量词命题的是()A．任何一个实数乘以0都等于0B．自然数都是正整数C．每一个向量都有大小D．一定存在没有最大值的二次函数知识点2存在量词和存在量词命题(1)短语“”“”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．(2)存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为：.『微体验』1．思考辨析(1)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．()(2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是存在量词命题．()(3)命题“有的无理数的平方不是有理数”是存在量词命题．()2．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有() A．2个B．3个C．4个D．5个知识点3全称量词命题和存在量词命题的否定(1)全称量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，我们只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“并非任意一个”等短语即可．也就是说，假定全称量词命题为“∀x∈M，p(x)”，则它的否定为“并非∀x∈M，p(x)”，也就是“∃x∈M，p(x)不成立”．通常，用符号“¬p(x)”表示“p(x)不成立”．(2)对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论：全称量词命题：∀x∈M，p(x)，它的否定：∃x∈M，.也就是说，全称量词命题的否定是命题．(3)存在量词命题的否定：一般来说，对含有一个量词的存在量词命题进行否定，我们只需把“存在一个”“至少有一个”“有些”等存在量词，变成“不存在一个”“没有一个”等短语即可．也就是说，假定存在量词命题为“∃x∈M，p(x)”，则它的否定为“不存在x∈M，使p(x)成立”，也就是“∀x∈M，p(x)不成立”．(4)对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论：存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定：∀x∈M，.也就是说，存在量词命题的否定是命题．『微体验』1．思考辨析(1)命题¬p的否定是p.()(2)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．()(3)从存在量词命题的否定看，是对“量词”和“p (x )”同时否定．( )2．若命题p ：∃x ＞0，x 2－3x ＋2＞0，则命题¬p 为( )A ．∃x ＞0，x 2－3x ＋2≤0B ．∃x ≤0，x 2－3x ＋2≤0C ．∀x ＞0，x 2－3x ＋2≤0D ．∀x ≤0，x 2－3x ＋2≤03．已知命题p ：∀x ＞2，x 3－8＞0，那么¬p 是__________．课堂互动探究探究一全称量词命题和存在量词命题的判定例1 (1)下列命题中全称量词命题的个数是( )①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A ．0B ．1C ．2D ．3(2)下列语句不是存在量词命题的是( )A ．有的无理数的平方是有理数B ．有的无理数的平方不是有理数C ．对于任意x ∈Z ,2x ＋1是奇数D ．存在x ∈R ,2x ＋1是奇数『方法总结』判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路跟踪训练1 用全称量词或存在量词表示下列语句．(1)不等式x 2＋x ＋1＞0恒成立；(2)当x 为有理数时，13x 2＋12x ＋1也是有理数； (3)方程3x －2y ＝10有整数解．探究二全称量词命题和存在量词命题的真假判断例2 (多选题)下面的命题中正确的是()A．∀x∈R，x2＋2＞0B．∀x∈N，x4≥1C．∃x∈Z，x3＜1D．∃x∈Q，x2＝3『方法总结』全称量词命题与存在量词命题的真假判断的技巧(1)全称量词命题的真假判断要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．(2)存在量词命题的真假判断要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．跟踪训练2判断下列命题的真假．(1)∀x∈{1,3,5},3x＋1是偶数；(2)∃x∈R，x2－6x－5＝0；(3)∃x∈R，x2－x＋1＝0；(4)∀x∈R，|x＋1|＞0.探究三全称量词命题和存在量词命题的否定例3 写出下列命题的否定，并判断真假．(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)非负数的平方是正数；(3)有的四边形没有外接圆；(4)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.『方法总结』对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题(1)确定命题类型，是全称量词命题还是存在量词命题．(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词．(3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．跟踪训练3 判断下列命题的真假，并写出它们的否定．(1)对任意x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0；(2)所有能被5整除的整数都是奇数；(3)对任意的x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1是有理数．随堂本课小结1．判定一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称量词命题中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题所涉及的意义去判断．2．含有一个量词的命题的否定(1)全称量词命题的否定是存在量词命题．全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )；¬p ：∃x ∈M ，¬p (x )．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题．存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )；¬p ：∀x ∈M ，¬p (x )．——★ 参*考*答*案 ★——课前自主学习知识点1全称量词和全称量词命题(1)所有的任意一个∀(2)∀x∈M，p(x)『微体验』1．(1)√(2)√(3)×2．D『解析』A，B，C都是全称命题，D是特称命题．知识点2存在量词和存在量词命题(1)存在一个至少有一个∃(2)∃x∈M，p(x)『微体验』1．(1)×(2)√(3)√2．C『解析』“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．知识点3全称量词命题和存在量词命题的否定(2)¬p(x) 存在量词(4)¬p(x) 全称量词『微体验』1．(1)√(2)√(3)√2．C『解析』命题p是一个存在量词命题，¬p为：∀x＞0，x2－3x＋2≤0.3．∃x＞2，x3－8≤0『解析』命题p为全称量词命题，其否定为存在量词命题，则¬p：∃x＞2，x3－8≤0.课堂互动探究探究一全称量词命题和存在量词命题的判定例1 (1)C『解析』观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词．命题①含有全称量词，而命题③可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180° ”，故有两个全称命题．(2)C『解析』因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项A ，B ，D 均为存在量词命题，选项C 为全称量词命题．跟踪训练1 解 (1)对任意实数x ，不等式x 2＋x ＋1＞0成立．(2)对任意有理数x ，13x 2＋12x ＋1是有理数． (3)存在一对整数x ，y ，使3x －2y ＝10成立．探究二全称量词命题和存在量词命题的真假判断例2 AC『解析』对A ，由于∀x ∈R ，都有x 2≥0，因而有x 2＋2≥2＞0，即x 2＋2＞0.所以命题“∀x ∈R ，x 2＋2＞0”是真命题．对B ，由于0∈N ，当x ＝0时，x 4≥1不成立．所以命题“∀x ∈N ，x 4≥1”是假命题．对C ，由于－1∈Z ，当x ＝－1时，x 3＜1成立．所以命题“∃x ∈Z ，x 3＜1”是真命题．对D ，由于使x 2＝3成立的数只有±3，±3都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3.所以命题“∃x ∈Q ，x 2＝3”是假命题．跟踪训练2 解 (1)∵3×1＋1＝4,3×3＋1＝10,3×5＋1＝16，它们均为偶数，∴该命题是真命题．(2)∵方程x 2－6x －5＝0中，Δ＝36＋20＝56＞0，∴方程有两个不相等的实根．∴该命题是真命题．(3)∵方程x 2－x ＋1＝0中，Δ＝1－4＝－3＜0，∴x 2－x ＋1＝0无实数解．∴该命题是假命题．(4)∵x ＝－1时，|－1＋1|＝0，∴该命题是假命题．探究三全称量词命题和存在量词命题的否定例3 解 (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不都平行”．由平行四边形的定义知，这是假命题．(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数”．因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真，所以命题的否定为假命题．(4)命题的否定：“∀x ，y ∈Z ，都有2x ＋y ≠3”．∵当x ＝0，y ＝3时，2x ＋y ＝3，∴原命题为真，命题的否定为假命题．跟踪训练3 解 (1)当x ＝2时，23－22＋1＝5＞0，故(1)是假命题．命题的否定：存在x ∈R ，x 3－x 2＋1＞0.(2)10能被5整除，10是偶数，故(2)是假命题．命题的否定：存在一个能被5整除的整数不是奇数．(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数，故(3)是真命题．命题的否定：存在x ∈Q ，13x 2＋12x ＋1不是有理数．。

高中数学人教版(新教材)必修1学案1：1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定学习目标1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．学习重难点：正确地对命题进行否定．学习过程知识梳理1．要说明一个全称量词命题是错误的，只需找出__________就可以了．2．全称量词命题的否定是______________．3．要证明一个存在量词命题是错误的，只要说明这个存在量词命题的否定是__________．4．存在量词命题的否定是____________．引入新课我们来看这样的一个命题：“所以得奇数都是素数.”显然，这个命题是错误的.我们只需要指出“有一个奇数不是素数”就可以说明“所以的奇数都是素数”这个全称量词命题是错误的.又如，要把命题数列1,2,3,4,5……的每一项都是偶数“加以否定，只需说明“数列1,2,3,4,5……中有有一项不是偶数”就可以了.要把命题“一元二次不等式都有实数解”加以否定，只需说明“有一个一元二次不等式没有实数解”就可以了.在上述例子中，要说明一个全称量词命题是错误的，只需找出一个反例就可以了，实际上是要说明这个全称量词命题的否定是正确的.不难发现，全称量词命题的否定是.我们来看命题：“10,102,103,104,105中有一个数能被3整除.”显然这个命题是错误的.我们只需要指出10,102,103,104,105中每一个数都不能被3整除，就可以说明“10,102,103,104,105中有一个数能被3整除”这个存在量词命题是错误的.要把命题：“方程x2-5x+6=0至少有一个负实根”加以否定，只需说明“方程x2-5x+6=0的每一个实根都不是负数.”在上述例子中，要说明一个存在量词命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，实际上是要说明这个存在量词命题的否定是正确的.不难发现，存在量词命题的否定是.例题解析例1 写出下列全称量词命题和存在量词命题的否定：（1）三个给定产品都是次品；（2）方程x2-8x+14=0有一个根是偶数.课堂检测一、选择题1．“a和b都不是偶数”的否定形式是()A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数2．命题“某些平行四边形是矩形”的否定命题是() A．某些平行四边形不是矩形B．任何平行四边形是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对3．命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是() A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称C．存在一个原函数与反函数的图像不关于y＝x对称D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称4．“存在整数m0，n0，使得m20＝n20＋1 998”的否定是() A．任意整数m，n，使得m2＝n2＋1 998B．存在整数m0，n0，使得m20≠n20＋1 998C．任意整数m，n，使得m2≠n2＋1 998D．以上都不对5．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是()A．不存在x0∈R,2x0>0B．存在x0∈R,2x0≥0C．对任意的x∈R,2x≤0D．对任意的x∈R,2x>06．命题“任意四边形都有外接圆”的否定为()A．任意四边形都没有外接圆B．任意四边形不都有外接圆C．有的四边形没有外接圆D．有的四边形有外接圆二、填空题7．命题“零向量与任意向量共线”的否定为___________________________________．8．写出命题：“对任意实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0有实根”的否定为：__________________________________________.9．命题p：对任意x∈R，使f(x)≥m成立，则命题p的否定是______________．三、解答题10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)有些质数是奇数；(2)所有二次函数的图象都开口向上；(3)存在x0∈Q，x20＝5；(4)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根．11．已知命题“存在x0∈R，ax20－2ax0－3>0”是假命题，求实数a的取值范围．能力提升12．命题r：存在x∈R，使1x2＋4x－5>0的否定为()A．对任意x∈R，1x2＋4x－5<0 B．对任意x∈R，x2＋4x－5≤0C．对任意x∈R，1x2＋4x－5≤0D．对任意x∈R，1x2＋4x－5>0——★参*考*答*案★——知识梳理1．一个反例 2.存在量词命题 3.正确的 4.全称量词命题引入新课存在量词命题全称量词命题例题解析例1 『解析』（1）“三个给定产品都是次品”是一个全称量词命题，要否定它，只需说明“在这三个给定产品中，有一个产品不是次品”即可；（2）“方程x2-8x+14=0有一个根是偶数”是一个存在量词命题，要否定它，只需说明“方程x2-8x+14=0每一个根都不是偶数”即可.解：（1）命题“三个给定产品都是次品”的而否定是：三个给定产品中至少有一个是正品.（2）命题“方程x2-8x+14=0有一个根是偶数”的否定是：方程x2-8x+14=0每一个根都不是偶数.课堂检测1．A『解析』在a、b是否为偶数的四种情况中去掉a和b都不是偶数还有三种情况，即a偶b奇，a奇b偶，a偶b偶，故选A.2．C『解析』存在量词命题的否定是把存在量词变为全称量词，然后否定结论．所以选C.3．C『解析』要把隐含的全称量词找出变为存在量词，然后否定结论．4．C『解析』存在量词命题的否定是全称量词命题，应含全称量词．5．D『解析』命题的否定是“对任意的x∈R,2x>0”．6．C7．存在一个向量与零向量不共线8．存在实数m，关于x的方程x2＋x＋m＝0没有实根9．存在x0∈R，使f(x0)<m成立10．解(1)“有些质数是奇数”是存在量词命题，其否定为“所有质数都不是奇数”，假命题．(2)“所有二次函数的图象都开口向上”是全称量词命题，其否定为“有些二次函数的图象不是开口向上”，真命题．(3)“存在x0∈Q，x20＝5”是存在量词命题，其否定为“任意x∈Q，x2≠5”，真命题．(4)“不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根”是全称量词命题，其否定为“存在实数m，使得方程x2＋2x－m＝0没有实数根”，真命题．11．解因为命题“存在x0∈R，ax20－2ax0－3>0”的否定形式为：对于任意x∈R，ax2－2ax －3≤0恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知这个否定形式的命题是真命题．事实上，当a＝0时，对任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等价条件是a<0且其判别式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a<0；综合以上两种情形可知，实数a的取值范围是『－3，0』．12．B『解析』命题可等价转化为：存在x∈R，x2＋4x－5>0；根据固定的格式写它的否定形式为：任意x∈R，x2＋4x－5≤0.』。