2020年中考数学复习讲义：专题(四)有理数乘除法-最新整理

专题四 有理数乘除法要点归纳1. 有理数乘法：(1)两个数相乘，同号得正，异号得____，并把绝对值______；(2)任何数与0相乘，都是_______.2. 倒数：乘积是1的两个数互为_______，_____没有倒数，可表示为：若ab ＝1，则a 与b 互为倒数.3. 有理数乘法运算律：(1)乘法交换律：即________；(2)乘法结合律：即_______________；(3)分配律：即a (b ＋c )＝_________.4. 有理数除法：(1)除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的_____；(2)两数相除，同号得______，异号得____，并把绝对值______；(3)0除以任何一个不等于0的数，都得_____.典例再现一、有理数乘法法则有理数乘法的步骤：先看是否有0因数，只要有一个因数为0，积就为0，在没有0因数的情况下，先确定积的符号，再把绝对值之积的绝对值.任何与1相乘都等于这个数本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数.例1 计算(1) (－6)×(＋5)； (2)13()()24-⨯- ； (3)23()174-⨯ (4)1(5)03-⨯【思路点拨】(1)异号两数相乘，积为负；(2)同号两数相乘，积为正；(3)异号得负；(4)有0因数的式子结果为0.解：(1)(6)(5)6530-⨯+=-⨯=- ；(2)13133()()24248-⨯-=⨯= ；(3) 23271()174742-⨯=-⨯=-；(4) 1(5)003-⨯=【方法规律】有理数乘法法规中“同号得正，异号得负”是针对“两数相乘”而言的，不能与加法法则相混淆；当因数中有负号时，必须用括号将负因数括起来，第一个因数有负号可省略括号，如13()()24-⨯-可写成13()24-⨯-，但不能写成1324-⨯-.例2 计算：(1)541() 1.5(1)12154-⨯⨯⨯- ； (2)(2014)(2005)0(2016)-⨯-⨯⨯-【思路点拨】非零因数相乘，首先根据负数的个数决定积的符号，把各因式相乘，0作因数连乘，积为0. 解：(1) 54154355() 1.5(1)1215412152424-⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯=(2) (2014)(2005)0(2016)0-⨯-⨯⨯-=.【方法规律】一般情况下，算乘法时带分数化成假分数.二、倒数若a 是非零有理数，则a 的倒数是1a，即1ab =⇔ A . b 互为倒数. 1b a=⇔ A . b 互为倒数. 例3.求下列各数的倒数：⑴－5；⑵－47；⑶－237；⑷1.5【思路点拨】根据定义，要求a (a 为非零数)的倒数，只要求1a即可.解：⑴因为1－5＝－15，所以－5的倒数是－15；⑵因为1－47＝－74，所以－47的倒数是－74；⑶因为1－237＝－717，所以－237的倒数是－717；⑷因为1.5＝32，且132＝23，所以1.5的倒数是23.【方法规律】求一个整数的倒数，直接写成a 分之一即可；求一个真分数的倒数，把这个数的分子、分母交换位置即可；求一个带分数的倒数，先将带分数化成假分数，然后再交换分子、分母的位置；求一个小数的倒数，先把小数化成分数后再求其倒数. 三、有理数乘法的运算律运用乘法分配律时，若括号前面为“－”号，去括号后，各项都要变号. 例4.计算：⑴(－172)×(－0.25)×(－186)×40⑵(－8)×123×(－5)×(－35)×(－0.125)；⑶－24×(116－112＋214－1112).【思路点拨】⑴、⑵利用乘法的交换律的乘法的结合律计算；⑶利用乘法的分配律可使计算简便.解：⑴原式＝－(172×0.25×186×40)＝－(172×186)×(0.25×40)＝－2×10＝－20；⑵原式＝＋(0.125×35×8×53×5)＝(0.125×8)×(35×53)×5＝5；⑶原式＝(－24)×116＋(－24)×(－112)＋(－24)×214＋(－24)×(－1112)＝－28＋36－54＋26＝－20.【方法规律】运用乘法交换律时，要连同因数的符号一起交换位置；多个有理数相乘时，通常运用交换律、结合律把能约分或互为倒数的有理数先结合，使计算简便. 四、有理数的除法法则有理数的除法法则：①除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即a ÷b ＝a ×1b(b ≠0)；②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.即：(ⅰ)当ab ＞0时，则a ÷b ＝|a ||b |；(ⅱ)当ab ＜0时，a ÷b ＝－|a ||b |；(ⅲ)0÷a ＝0(a ≠0).例5.计算：⑴(－48)÷(－6)；⑵(－6)÷(＋14)；⑶(－123)÷(－212)；⑷0÷(－3.14)；⑸1÷(－2.5)；⑹(－3.14)÷1.【思路点拨】⑴运用法则②，同号得正，先定符号，再算绝对值；⑵运用法则①，除号变乘号，除数变为它的倒数；⑶带分数化为假分数再相除；⑷0除以任何一个不为0的数都等于0；⑸小数化为分数再相除；⑹任何数除以1都等于它本身.解：⑴(－48)÷(－6)＝8； ⑵(－6)÷(＋14)＝－6×(＋4)＝－24；⑶(－123)÷(－212)＝－53×(－25)＝23； ⑷0÷(－3.14)＝0；⑸1÷(－2.5)＝1÷(－52)＝1×(－25)＝－25； ⑹(－3.14)÷1＝－3.14.【方法规律】有理数除法的法则有两个，应注意灵活运用，一般在不能整除的情况下用法则①，在能整除的情况下用法则②；0不能作除数，0作除数无意义. 五、有理数乘除法的混合运算有理数的除法可以化为乘法，因此有理数乘除混合运算可以统一成乘法运算，可以按如下步骤：①将所有除法转化为其倒数，所有的除法转化为乘法；②确定积的符号；③运用乘法运算律简化运算，并求出最后结果.例6.计算：⑴(－15)÷(－3)×(＋25)；⑵(－212)÷(－114)÷12；⑶8÷(－57)×27÷(－45)；⑷(－11116)÷(34×98)；⑸114×(－12)÷(－237300)÷(－19)×0.【思路点拨】⑴可以按从左向右的顺序计算；⑵可将除法转化为乘法再计算；⑶除法转化为乘法后，约分比较简便；⑷可先算括号里的；⑸在乘除的同级运算中，若算式中有0，则结果为0.解：⑴(－15)÷(－3)×(＋25)＝5×(＋25)＝2；⑵(－212)÷(－114)÷12＝－52×(－45)×2＝4；⑶8÷(－57)×27÷(－45)＝8×(－75)×27×(－54)＝4⑷(－11116)÷(34×98)＝－2716÷2732＝－2716×3227＝－2；⑸114×(－12)÷(－237300)÷(－19)×0＝0 【方法规律】同级运算，从左向右，除法变乘法，方便运算. 拓展探究一、带分数乘整数的技巧有时带分数乘整数，可把被乘数拆成“整数＋分数”或“整数－分数”，再用它们分别乘后面的整数，再把积相加或相减.例1计算：91819×(－15).【思路点拨】如果把带分数化成假分数直接相乘很麻烦，根据题目的特点，可以把“91819”拆成两项，然后用乘法分配律计算.解：方法一：91819×(－15)＝－(9＋1819)×15＝－(9×15＋1819×15)＝－135－27019＝－149419；方法二：91819×(－15)＝(10－119)×(－15)＝10×(－15)－119×(－15)＝－150＋1519＝－149419.【方法规律】相比较，方法二比方法一更简便，做这种乘法时，要注意：①巧妙拆项，运用乘法分配律；②不能漏乘；③要注意各数的符号. 二、乘法分配律的正用、逆用乘法分配律正用：a (b ＋c )＝ab ＋ac ；逆用：ab ＋ac ＝a (b ＋c ). 例2.计算：⑴－3.14×35.2＋6.28×(－23.3)－1.57×36.4；⑵12×(13＋14)－13×12－17×12.⑶(－1117)×15＋(＋517)×15－(－13713)×(－15)＋(＋11313)×15.【思路点拨】⑴可找每部分中的相同乘数3.14提取，二、三部分的6.28、1.57可构造出3.14；⑵前面部分可正用分配律，后两部分可逆用分配律；⑶可提取公因数15，其余的因数相加减时，可用加法的交换律、结合律，使计算简便.解：⑴原式＝－3.14×35.2－3.14×46.6－3.14×18.2＝－3.14×(35.2＋46.6＋18.2)＝－3.14×100＝－314；⑵原式＝12×13＋12×14－12×(13＋17)＝4＋3－15＝－8；⑶原式＝15×{[(－1117＋517]＋[(＋11313)＋(－13713)]}＝15×{－6＋(－4)}＝15×(－10)＝－2.【方法规律】在去括号时，要注意：①括号外面的因数是正数，去括号后式子的各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相同；②括号外的因数是负数，去括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反，添括号时与去括号的方法相同.三、倒数的整体应用例3.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，求a －5cd ＋b 的值.【思路点拨】相反数之和等于0，即a ＋b ＝0；倒数之积为1，即cd ＝1.解：由题意可知a ＋b ＝0，cd ＝1，所以a －5cd ＋b ＝(a ＋b )－5cd ＝0－5＝－5. 【方法规律】本题用整体代入法可以使计算简便. 四、有理数除法与绝对值形如求式子a |a |＋b|b |值时，可按下面两种方法分类：⑴①a ＞0，b ＞0；②a ＞0，b ＜0；③a ＜0，b ＞0；④a ＜0，b ＜0；⑵a 、b 中两个正，一个正、0个正(即两个负).其中，方法⑵更简单.例4⑴若三个有理数x ，y ，z ，满足xyz ＞0，求式子|x |x ＋y |y |＋|z |z的值.⑵已知ab ＜0，试求|a |a ＋b |b |＋ab|ab |的值.【思路点拨】由xyz ＞0，根据所求式子的特点，不妨设x 、y 、z 中有“一正两负”和“全正”两种情形；⑵由ab ＜0和所求式子的特点，不妨设a ＞0，b ＜0即可求解. 解：⑴因为xyz ＞0，所以x 、y 、z 中负数有0个或2个.当x 、y 、z 三个数全正时，原式＝x x ＋y y ＋zz＝3；当x 、y 、z 三个数中“一正两负”时，不妨设x ＞0，y ＜0，z ＜0，原式＝x x ＋y －y ＋－z z ＝－1；所以，|x |x ＋y |y |＋|z |z＝3或－1.⑵因为ab ＜0，不妨设a ＞0，b ＜0，原式＝a a ＋b －b ＋ab－ab＝－1.【方法规律】本题的分数讨论中若对x 、y 、z 的性质分别考虑，分的情形特别多而很多的答案又是重复的，因此，全面考虑负数或正数的个数比较简便，当一个式子的值与a ＞0、b ＜0与a ＜0、b ＞0无区别时，通常不妨设出其中一种情形而忽略另一种情形.例5若|x |x ＋|y |y＝0，则下列结论成立的是( )A.x ＝0或y ＝0B.x 、y 同号C.x 、y 异号D.x 、y 为任意有理数【思路点拨】因为两数之和为0，所以|x |x 与|y |y 互为相反数.当x ＞0时，|x |x ＝1，此时|y |y＝－1，则y ＜0；当x ＜0时，|x |x ＝－1，此时|y |y＝1，则y ＞0，因为x 与y 作分母，所以x 、y 均不能为0，所以x 、y 异号.解：C【方法规律】若a ＞0，则|a |a ＝1；若a ＜0，则|a |a＝－1，反过来也是成立的.五、有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算中，若没有括号，则先算乘除，再算加减，若有括号，按照先算括号里的，再算乘除，然后算加减的顺序计算.例6.计算：⑴－3.5×(16－0.5)×37÷(－14)；⑵12÷(－14)＋(1－0.2÷35)×(－6).【思路点拨】⑴先算括号里的，再把除法转化成乘法，作连乘计算；⑵先算括号里的，再算乘、除法，然后算加法.解：⑴原式＝－72×(16－12)×37÷(－14)＝－72×(16－12)×37×(－4)＝－72×(－13)×37×(－4)＝－72×13×37×4＝－2.⑵原式＝12×(－4)＋(1－15×53)×(－6)＝－2＋23×(－6)＝－6.【方法规律】同级运算要按从左至右的顺序进行运算. 六、正确使用运算律，简化计算在加减乘除混合运算中，合理运用运算律可简化运算.例7.计算：⑴(－130)÷(12＋43－16－35)；⑵－1108÷[124－(－112)－172]；⑶[(－15)－(－13)＋17]÷(－1105).【思路点拨】⑴、⑵不能用乘法分配律，但是，我们可以先算(12＋43－16－35)÷(－130)、[124－(－112)－172]÷(－1108)，再把结果倒过来；也可直接计算；⑶把除法转化为乘法，再用乘法分配律可使计算简化.解：⑴原式＝－130÷(1530＋4030－530－1830)＝－130÷3230＝－130×3032＝－132(此种解法不够简便)；⑵先算[124－(－112)－172]÷(－1108)＝124×(－108)＋112×(－108)－172×(－108)＝－92－9＋32＝－12.所以，原式＝－112.⑶原式＝15×105－13×105＋17×(－105)＝21－35－15＝－29.【方法规律】利用倒数法，先交换除数和被除数的位置，再用分配律计算，然后求其倒数，这种方法可以解决不能直接用分配律计算的问题. 七、新定义运算题例8.a 、b 均为有理数，如果规定一种新的运算“⊕”；a ⊕b ＝a 2－ab ＋a －1，求(1⊕3)⊕(－3)的值. 【思路点拨】先算出1⊕3，再用它的结果与(－3)作新运算.解：(1⊕3)⊕(－3)＝(12－1×3＋1－1)⊕(－3)＝(－2)⊕(－3)＝(－2)2－(－2)×(－3)＋(－2)－1＝4－6－3＝－5.【方法规律】理解新定义是解题的关键. 实战演练A 链接中考1.若ab ＞0，则ab的值是( )A.大于0B.小于0C.大于或等于0D.小于或等于0 2.下列说法正确的是( )A.两个有理数的和为正数，则这两个数中必有一个为正数B.两个有理数的差为负数，则被减数为负数C.两个有理数的积一定大于其中一个因数D.两个有理数相除的商大于1，则被除数大于除数 3.下列各式，表示a ，b 互为倒数的是( ) A.a ＋b ＝1 B.a ＋b ＝0 C.ab ＝1 D.ab ＝04.如果a ·1b＝－1，那么a 与b ( )A.互为相反数B.a ＝bC.互为倒数D.互为负倒数5.(－0.125)×15×(－8)×(－45)＝[(－0.125)×(－8)]×[15×(－45)]，运算中没有运用的运算律是( )A.乘法交换律B.乘法结合律C.分配律D.乘法交换律和结合律 6.下列运算过程有错误的个数是( )①(3－412)×2＝3－412×2；②－4×(－7)×(－125)＝－(4×125×7)；③91819×15＝(10－119)×15＝150－1519；④[3×(－25)]×(－2)＝3×[(－25)×(－2)]＝3×50. A.1 B.2 C.3 D.4 7.下列运算中，正确的是( )A.2÷(－23)×(－34)＝2×(－32)×(－43)B.(－1)÷(－5)×(－15)＝(－1)÷1C.(－5)÷(15－1)＝(－5)÷15－5÷(－1) D.－6÷25÷(－4)＝－6÷[25×(－4)]8．在算式2-1-1□31中的□里，填入一个运算符号，使得算式的值最小，则这个符号是（ ）A ．＋B ．－C ．×D ．÷ 9．在算式每一步后面填上该步运用的运算律:()()4052-25.1834052-25.138⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯ 4052-)25.18(3⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯=40524030⨯-⨯= .10．若两个数的商是2,被除数是－4，则除数是 ．11．化简：.;;=---=--=-nmy x b a12．被除数是213-，除数比被除数小211，则商为 ．13．按下面程序计算，如果输入的数是-2，那么输出的数是 ．14．判断下列各式乘积的符号:①()()()554-3-+⨯⨯;②()()()7-1.3-2-4⨯⨯⨯;③()()2-702015-⨯⨯⨯;④()()()()1-3.5-106-7.3-⨯⨯⨯⨯,其中积为正数的有 ，积为负数的有 （填序号）；③的计算结果为 ．15．按下面的程序计算.，若输出的数y=3，则输入的数x= .16．若a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数，x 的绝对值为2,则=-+x cdbaB 冲刺中考17．计算()⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯21-6118-9-2的结果是（ ）A ．-24B ．-12C ．-9D ．618．一个数值转换器如右图所示，根据要求回答问题:要使输出值y 小于-100,输入的最大负整数x 为 .19．已知xy <0 ,则yyx x+的值为( ) A ．0 B ．-1 C ．1 D ．2 20．若a a -=,则( )A ．1-=aaB ．a 与a 互为相反数C ．a <0D ．a 的倒数为a1 21．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2015坐标在( )A.第504个正方形的左下角B.第504个正方形的右下角C.第504个正方形的左上角D.第505个正方形的右下角22．已知a ,b ,c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负效C.正数D.非正数 23．下列说法不正确的是( )A ．一个数与它的倒数之积是1B ．一个数与它的相反数的商为-1C ．两个数的商为-1，则这两个数互为相反数D ．两个数的积为1，则这两个数互为倒数 24．a ,b 互为相反数，下列结论中不一定正确的是( )A ．055=+b aB ．1-=÷b aC ．0≤abD ．b a = 25．已知21,4=y x ，且xy <0，则y x 的值为 ．26．对于有理数a ,b (a 十b ≠0)，定义运算“△”如下:a △b =ba ab+，则2△3= ，-3△(-4) = ，27．已知a ,b ,c 是非零有理数，那么ccb b a a ++可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 28．计算:()⎪⎭⎫⎝⎛÷⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯21-735.0-615.3-1; ()()()12833--5-232÷⨯;()⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+611-4541213-3123; ()⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛÷213-149-433-43-4.29．用简便方法计算()()()()()；；5-361211-6597-30229-9441279-1÷⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⨯+÷ ()；⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+31-2-361361-187-121413 ()695.3645.1-1818365-974⨯+⨯⨯⎪⎭⎫⎝⎛+.C 决战中考30．对于任何有理数a 、b 定义运算“△”如下：,21⎪⎭⎫⎝⎛-÷=∆b a b a 如,31232132-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷=∆ 求()72∆-△4的值.31．已知x ,y ,z 都为不为0的有理数，求xyzxyz z z y y x +++x 的最大值和最小值.32．四个各不相等的整数a ,b ,c ,d ，它们的积abcd =25，求a+b+c+d 的值.33．观察图形，解答问题:(1)按下表已填写的形式完成表中的空格:(2)请用你发现的规律求出图④中的数S. 34．计算(能简算的要简算):()()()617624-21121-734113120411-318--4113212-210353-31307-1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛÷⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛；；35．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是36．观察下列等式：41-3143131-2132121-11211=⨯=⨯=⨯；；，将以上三个等式两边分别相加得： =⨯+⨯+⨯431321211；4341-141-3131-2121-1==++(1)猜想并写出：()11+n n = ;(2)直接写出下列各式的计算结果:①=⨯++⨯+⨯+⨯201520141431321211Λ ; ②()=+++⨯+⨯+⨯11431321211n n Λ ; ③当031=-+-y x 时，探究并计算()()()()()()()()2016201616614412211+++++++++++++y x y x y x y x xy Λ的值．37．观察下列等式，并根据规律计算． 1!1= 12!2⨯= 123!3⨯⨯= 1234!4⨯⨯⨯=试计算:(1)!9!10;(2) !99!100;(3) !2015!2016．。