九年级数学同步辅导与测试——正多边形和圆

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人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案

人教版九年级数学上册《24.3正多边形和圆》同步测试题及答案1.若正多边形的一个外角为72︒，则这个正多边形的中心角的度数是( )A.18︒B.36︒C.72︒D.108︒2.如图,正六边形ABCDEF内接于圆O,点M在AF上( )A.60︒B.45︒ C.30︒ D.15︒3.若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为( )A.4B.5C.6D.74.如图，正五边形ABCDE内接于O，点P为DE上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC，PD，⊥DG PC垂足为G，则∠PDG等于( )A.72°B.54°C.36°D.64°5.如图，正六边形ABCDEF内接于，正六边形的周长是12，则的半径是( )A.3B.2C.22D.236.如图是半径为4的O的内接正六边形ABCDEF，则圆心O到边AB的距离是( )O OA.23B.3C.2D.37.如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，O 的半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和弧BC 的长分别为( )A.32 πB.332 πC.332 2π3D.33 π8.如图,正三角形ABC 和正六边形ADBECF 都内接于,O 连接,OC 则∠+∠=ACO ABE ( )A.90︒B.100︒C.110︒D.120︒9.如图，正五边形ABCDE 内接于O ，P 为DE 上的一点（点P 不与点D 重合），则∠=CPD ________°.10.如图，正六边形ABCDEF内接于O，若O的周长等于6π，则正六边形的边长为______.11.早在1800多年前，魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，如图所示的圆的内接正十二边形，若该圆的半径为1，则这个圆的内接正十二边形的面积为_________________.12.如图，圆内接正六边形ABCDEF的半径为2，则该正六边形的面积是_________________.13.有一个亭子，它的地基是半径为8m的正六边形，求地基的面积.（结果保留根号）14.如图，O的周长等于8πcm，正六边形ABCDEF内接于O.（1）求圆心O 到AF 的距离.（2）求正六边形ABCDEF 的面积.参考答案及解析1.答案：C 解析：正多边形的一个外角为72︒∴正多边形的边数为360725︒÷︒=∴这个正多边形的中心角的度数是360572︒÷=︒故选：C.2.答案：C解析:连接OC ,OD多边形ABCDEF 是正六边形60∴∠=︒COD1302∴∠=∠=︒CMD COD故选:C.3.答案：C解析：内接正n 边形的边长与⊙O 的半径相等∴正n 边形的中心角为60︒360606︒÷︒=∴n 的值为6故选：C.4.答案：B解析：正五边形ABCDE 内接于O∠CPD 与所对的弧相同1362∴∠=∠=︒CPD COD故选：B.5.答案：B解析：如图，连结OA ，OBABCDEF 为正六边形1360606∴∠=︒⨯︒=AOB∴AOB △是等边三角形正六边形的周长是1211226∴=⨯=AB2∴===AO BO AB故选B.6.答案：A解析：如图，做⊥OM AB 于点M360725COD ︒∴∠==︒COD ∠180903654PDG ∠=︒-︒-︒=∴︒正六边形ABCDEF 外接半径为4的O4∴==OA OB 360606︒∠==︒AOB 1302∴∠=∠=∠=︒AOM BOM AOB122∴===AM BM OA2223∴=-=OM OA AM ∴圆心O 到边AB 的距离为23故选：A.7.答案：D解析：连接OB 、OC六边形ABCDEF 为正六边形360606︒∴∠==︒BOC 。

人教版九年级数学上学期《24.3 正多边形和圆》同步练习卷

24.3 正多边形和圆一．选择题1．如图，正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，其中A（﹣2，0）．将六边形ABCDEF 绕原点O按顺时针方向旋转2018次，每次旋转60°，则旋转后点A的对应点A'的坐标是（）A．（1，）B．（，1）C．（1，）D．（﹣1，）2．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：23．10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD4．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠QOB的度数是（）A．30°B．20°C．18°D．15°5．如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（）A．24﹣4πB．12+4πC．24+8πD．24+4π二．填空题6．如图，6个半径为1的圆围成的弧边六角形（阴影部分）的面积为．7．如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边△ABF，连接FE，FC，则∠EF A的度数是．8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P为上一点（点P与点D，点E不重合），连接PC、PD，DG⊥PC，垂足为G，∠PDG等于度．9．如图，在边长为3的正六边形ABCDEF中，将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，此时边AD′与对角线AC重叠，则图中阴影部分的面积是．10．一个蜘蛛网如图所示，若多边形ABCDEFGHI为正九边形，其中心点为点O，点M、N 分别在射线OA、OC上，则∠MON＝度．11．如图是一个摩天轮，它共有8个座舱，依次标为1～8号，摩天轮中心O的离地高度为50米，摩天轮中心到各座舱中心均相距25米，在运行过程中，当1号舱比3号舱高5米时，1号舱的离地高度为米．12．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为．13．如图，⊙O的半径为2，正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，对角线CE、DF相交于点M，则△MEF的面积是．14．如图，正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五边形B1B2B3B4B5，且A3A4∥B3B4，直线l经过B2、B3，则直线l与A1A2的夹角α＝°．15．如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边．若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC 是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为．16．如果正六边形的两条平行边间的距离是，那么这个正六边形的边长为．17．如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F、G、H，ED与⊙O相交于点M，则sin∠MFG的值为．18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线F A1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线F A1B1C1D1E1F1的长度是．19．同一个正方形的内切圆与外接圆的面积比为．三．解答题20．中心为O的正六边形ABCDEF的半径为6cm，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s的速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，PE，QB，QE，设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PBQE为平行四边形；（2）求矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比．参考答案一．选择题1．解：连接OB、OC、OE、OF，作EH⊥OD于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝∠DOC＝∠COB＝∠BOA＝60°，∵将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转，每次旋转60°，∴点A旋转6次回到点A，2018÷6＝336 (2)∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转2018次，与点E重合，在Rt△EOH中，OH＝OE＝1，EH＝OH＝∴顶点A的坐标为（1，），故选：A．2．解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，∵等边三角形ABC和正方形ADEF，都内接于⊙O，∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，∵OA＝OD＝OB，∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，∴＝＝，故选：B．3．解：从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴点O是△ACD的外心，故选：D．4．解：连接OA．∵△PQR是等边三角形，∴＝，∴OP⊥QR，∵AD∥CB∥QR，∴OP⊥AD，∴＝，∴∠AOP＝45°，∵△PQR是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴∠POQ＝120°，∠AOB＝90°，∴∠AOQ＝120°﹣45°＝75°，∴∠BOQ＝∠AOB﹣∠AOQ＝90°﹣75°＝15°，故选：D．5．解：设正六边形的中心为O，连接OA，OB．由题意，OA＝OB＝AB＝4，∴S弓形AmB＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×42＝π﹣4，∴S阴＝6•（S半圆﹣S弓形AmB）＝6•（•π•22﹣π+4）＝24﹣4π，故选：A．二．填空题6．解：如图，∵圆的半径为1，∴顺次连接六个圆的圆心，得到边长为2的正六边形，∴其面积为6，∵正六边形的内角为120°，∴正六边形相邻的两边与圆围成的扇形的面积为＝，∴6个扇形的面积为6×＝2π，∴阴影部分的面积为6﹣2π，故答案为6﹣2π．7．解：∵正五边形ABCDE，∴∠EAB＝＝108°，∵△ABF是等边三角形，∴∠F AB＝60°，∴∠EAF＝108°﹣60°＝48°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝（180°﹣48°）＝66°，故答案为：66°．8．解：连接OC、OD，如图所示：∵ABCDE是正五边形，∴∠COD＝＝72°，∴∠CPD＝∠COD＝36°，∵DG⊥PC，∴∠PGD＝90°，∴∠PDG＝90°﹣∠CPD＝90°﹣36°＝54°，故答案为：54．9．解：∵在边长为3的正六边形ABCDEF中，∠DAC＝30°，∠B＝∠BCD＝120°，AB ＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝90°，∵CD＝3，∴AD＝2CD＝6，∴图中阴影部分的面积＝S四边形ADEF+S扇形DAD′﹣S四边形AF′E′D′，∵将四边形ADEF绕顶点A顺时针旋转到四边形AD'E'F′处，∴S四边形ADEF＝S四边形AD′E′F′∴图中阴影部分的面积＝S扇形DAD′＝＝3π，故答案为：3π．10．解：根据正多边形性质得，中心角为：∠AOB＝360°÷9＝40°，∴∠MON＝2∠AOB＝80°．故答案为：80．11．解：当1号舱、3号舱在摩天轮中心上方时，如图1所示：作BA、CD分别垂直于摩天轮水平的直径，A、D为垂足，则∠BAO＝∠ODC＝90°，∠AOB+∠B＝90°，由题意得：∠BOC＝90°，OB＝OC＝25，AB＝CD+5，∴∠AOB+∠COD＝90°，∴∠B＝∠OCD，在△AOB和△DCO中，，∴△AOB≌△DCO（AAS），∴OA＝CD，AB＝OD，设OA＝x，则AB＝x+5，在Rt△AOB中，由勾股定理得：x2+（x+5）2＝252，解得：x＝15，∴AB＝15+5＝20（米），∴1号舱的离地高度为20米+50米＝70米；同理，当1号舱、3号舱在摩天轮中心下方时，如图2所示：CD＝20米，∴AB＝20﹣5＝15米，∴1号舱的离地高度为50米﹣15米＝35米；故答案为：35米或70．12．解：连接OA，OB，∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，∵∠ADB＝18°，∴∠AOB＝2∠ADB＝36°，∴这个正多边形的边数＝＝10，故答案为：10．13．解：设OE交DF于N，如图所示：∵正八边形ABCDEFGH内接于⊙O，∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，∴△ONF是等腰直角三角形，∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠MEN＝45°，∴△EMN是等腰直角三角形，∴MN＝EN，∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，∴△MEF的面积＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；故答案为：2﹣．14．解：设l交A1A2于E、交A4A3于D，如图所示：∵六边形A1A2A3A4A5A6是正六边形，六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴∠A1A2A3＝∠A2A3A4＝＝120°，∵五边形B1B2B3B4B5是正五边形，五边形的内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠B2B3B4＝＝108°，∴∠B4B3D＝180°﹣108°＝72°，∵A3A4∥B3B4，∴∠EDA3＝∠B4B3D＝72°，∴α＝∠A2ED＝360°﹣∠A1A2A3﹣∠A2A3A4﹣∠EDA3＝360°﹣120°﹣120°﹣72°＝48°，故答案为：48．15．解：如图，连接OE，根据题意可知：AB⊥CD，AE＝AO＝EO，∴∠AOC＝90°，∠AOE＝60°，∴∠EOC＝30°，∴EC是该圆内接正12边形的一边，∵△COE是顶角为30度的等腰三角形，作EG⊥OC于点G，∴EG＝OE＝，∴正12边形的面积为：12S△COE＝12×OC•EG＝12×1×＝3．故答案为：3．16．解：如图所示，∵此正多边形是正六边形，∴∠ABC＝120°，连接AC，过B作BD⊥AC于点D，∵AC＝2，∴AD＝，∠ABD＝∠ABC＝60°，∴AB＝＝＝2．故答案为：2．17．解：∵⊙O是正方形ABCD的内切圆，∴AE＝AB，EG＝BC；根据圆周角的性质可得：∠MFG＝∠MEG．∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，∴sin∠MFG＝．故答案为：．18．解：的长＝＝，的长＝＝，的长＝＝，的长＝＝，的长＝＝，的长＝＝，∴曲线F A1B1C1D1E1F1的长度＝++…+＝＝7π，故答案为7π．19．解：连接OA，OB，根据题意得：OB⊥AC，∠OAB＝45°，∴OB＝AB，∴OA＝＝OB，∴OB：OA＝1：，∴正四边形内切圆与外接圆的面积比为：π（OB）2：π（OA）2＝1：2．故答案为：1：2．三．解答题20．（1）证明：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝F A，∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝∠DEF＝∠F，∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，∴AP＝DQ＝t，PF＝QC＝6﹣t，在△ABP和△DEQ中，，∴△ABP≌△DEQ（SAS），∴BP＝EQ，同理可证PE＝QB，∴四边形PEQB为平行四边形．（2）解：连接BE、OA，则∠AOB＝＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝6，BE＝2OB＝12，当t＝0时，点P与A重合，Q与D重合，四边形PBQE即为四边形ABDE，如图1所示：则∠EAF＝∠AEF＝30°，∴∠BAE＝120°﹣30°＝90°，∴此时四边形ABDE是矩形，即四边形PBQE是矩形．当t＝6时，点P与F重合，Q与C重合，四边形PBQE即为四边形FBCE，如图2所示：同法可知∠BFE＝90°，此时四边形PBQE是矩形．综上所述，t＝0s或6s时，四边形PBQE是矩形，∴AE＝＝6，∴矩形PBQE的面积＝矩形ABDE的面积＝AB×AE＝6×6＝36；∵正六边形ABCDEF的面积＝6△AOB的面积＝6×矩形ABDE的面积＝6××36＝54，∴矩形PBQE的面积与正六边形ABCDEF的面积之比＝．。

新人教版九年级上册24.3正多边形和圆同步练习(有答案)

新人教版九级上册24.3正多边形和圆同步练习一．选择题1．若一个正多边形的中心角等于其内角，则这个正多边形的边数为（）A．3 B．4 C．5 D．62．一个正六边形的半径为R，边心距为r，那么R与r的关系是（）A．r=R B．r=R C．r=R D．r=R 3．已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B逆时针旋转，使ON边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C逆时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B，O间的距离不可能是（）A．0 B．0.8 C．2.5 D．3.4 4．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：3 5．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A．B．C．D．2二．填空题6．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为．7．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，而BC恰好是同圆内接一个正n边形的一边，则n等于．8．如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM=．9．两个正三角形内接于一个半径为R的⊙O，设它的公共面积为S，则2S与的大小关系是．10．对于平面图形A，若存在一个或一个以上的圆，使图形A上任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A被这些圆所覆盖，图1中的三角形被一个圆所覆盖，图2中的四边形被两个圆所覆盖，若长宽分别为2cm与1cm的矩形被两个半径均为r的圆覆盖，则r的最小值为cm．三．解答题（共5小题）11．已知边长为1的正七边形ABCDEFG中，对角线AD，BG的长分别为a，b（a≠b），求证：（a+b）2（a﹣b）=ab2．12．如图，某圆形场地内有一个内接于⊙O的正方形中心场地，若⊙O的半径为10米，求图中所画的一块草地的面积．（计算结果保留π）13．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一个画圆内接正三角形的方法：（1）如图，作直径AD；（2）作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；（3）联结AB、AC、BC，那么△ABC为所求的三角形．请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．14．在一节数学实践活动课上，老师拿出三个边长都为5cm的正方形硬纸板，他向同学们提出了这样一个问题：若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，用一个圆形硬纸板将其盖住，这样的圆形硬纸板的最小直径应有多大？问题提出后，同学们经过讨论，大家觉得本题实际上就是求将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆形硬纸板能盖住时的最小直径．老师将同学们讨论过程中探索出的三种不同摆放类型的图形画在黑板上，如下图所示：（1）通过计算（结果保留根号与π）．（Ⅰ）图①能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径应为cm；（Ⅱ）图②能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（Ⅲ）图③能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为cm；（2）其实上面三种放置方法所需的圆形硬纸板的直径都不是最小的，请你画出用圆形硬纸板盖住三个正方形时直径最小的放置方法，（只要画出示意图，不要求说明理由），并求出此时圆形硬纸板的直径．15．（1）已知△ABC为正三角形，点M是BC上一点，点N是AC上一点，AM、BN相交于点Q，BM=C N，证明△ABM≌△BCN，并求出∠BQM的度数．（2）将（1）中的“正△ABC”分别改为正方形ABCD、正五边形ABCDE、正六边形ABCDEF、正n边形ABCD…，“点N是AC上一点”改为点N是CD上一点，其余条件不变，分别推断出∠BQM等于多少度，将结论填入下表：正多边形正方形正五边形正六边形…正n边形∠BQM的度数…参考答案一．选择题1．B．2．A．3．D．4．D．5．C．二．填空题6．2a2．7．十二．8．48°．9．2S≥r2．10．cm．三．解答题11．证明：连结BD、EG、BE、DG，则BD=EG=GB=b，DG=BE=DA=a，DE=AB=AG=1，在四边形ABDG中，由托勒密协定理，得AD•BG=AB•DG+BD•AG，即ab=a+b ①，同理在四边形BDEG中，得BE•DG=DE•BG+BD•GE，即a2=b+b2，∴b=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）②，①×②，得ab2=（a+b）2（a﹣b）．12．解：连AC，则AC为直径，即AC=20，∵正方形ABCD中，AB=BC，∠B=90°，∴在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，2AB2=202，∴AB2=200，==（25π﹣50）米2．13．解：两位同学的方法正确．连BO、CO，∵BC垂直平分OD，∴直角△OEB中．cos∠BOE==，∠BOE=60°，由垂径定理得∠COE=∠BOE=60°，由于AD为直径，∴∠AOB=∠AOC=120°，∴AB=BC=CA，即△ABC为等边三角形．14．解：（1）（Ⅰ）连接BD，∵AD=3×5=15cm，AB=5cm，∴BD==cm；（Ⅱ）如图所示，∵三个正方形的边长均为5，∴A、B、C三点在以O为圆心，以OA为半径的圆上，∴OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为10cm；（Ⅲ）如图所示，∵CE⊥AB，AC=BC，∴AD是过A、B、C三点的圆的直径，∵OA=OB=OD，∴O为圆心，∴⊙O的半径为OA，OA==5cm，∴能盖住三个正方形所需的圆形硬纸板最小直径为5×2=10 cm；（2）如图④为盖住三个正方形时直径最小的放置方法，连接OB，ON，延长OH交AB于点P，则OP⊥AB，P为AB中点，设OG=x，则OP=10﹣x，则有：，解得：，（8分）则ON=，∴直径为．15．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=60°；（2）正方形ABCD中，由（1）得，△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=90°，同理正五边形ABCDE中，∠BQM=108°，正六边形ABCDEF中，∠BQM=120°，正n边形ABCD…中，∠BQM=，故答案为：90°；108°；120°；．。

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________考点正多边形与圆1.定义：正多边形的圆的圆心叫做这个正多边形的中心圆的半径叫做正多边形的半径正多边形每一边所对的角叫做正多边形的中心角到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2.公式：正多边形的有关概念：边长（a ）中心（O ）中心角（∠AOB ）半径（R ））边心距（r ）如图所示①．边心距222a r R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中心角360n ︒=关键点:三角形的内切圆与外接圆关系定义圆心实质半径图示外接圆经过三角形各顶点的圆外心三角形各边垂直平分线的交点交点到三角形三个顶点的距离相等内切圆与三角形各边都相切的圆内心三角形各内角平分线的交点交点到三角形各边的距离相等名校提高练习:一选择题：本题共10小题每小题3分共30分。

在每小题给出的选项中只有一项是符合题目要求的。

1.(2024·四川省泸州市·月考试卷)已知圆内接正三角形的面积为√ 3则该圆的内接正六边形的边心距是( )A. 2B. 1C. √ 3D. √ 322.同一个圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距分别为r3r4r6则r3：r4：r6等于( )A. 1:√2:√3B. √3:√2:1C. 1：2：3D. 3：2：13.如图若干个全等的正五边形排成环状图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 10B. 9C. 8D. 74.(2024·贵州省黔东南苗族侗族自治州·月考试卷)正六边形ABCDEF内接于⊙O正六边形的周长是12则⊙O的半径是( )A. √ 3B. 2C. 2√ 2D. 2√ 35.(2024·山东省·单元测试)《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法其步骤是：①在⊙O上任取一点A连接AO并延长交⊙O于点B②以点B为圆心BO为半径作圆弧分别交⊙O于C D两点③连接CO DO并延长分别交⊙O于点E F④顺次连接BC CF FA AE ED DB得到六边形AFCBDE.再连接AD EF AD EF交于点G.则下列结论不正确的是( )A. GF=GDB. ∠FGA=60°C. EFAE=√ 2 D. AF⊥AD6.(2024·江苏省·同步练习)以半径为2的圆的内接正三角形正方形正六边形的边心距为三边作三角形则该三角形的面积是( )A. √ 22B. √ 32C. √ 2D. √ 37.(2024·江苏省·同步练习)如图正十二边形A1A2…A12连接A3A7A7A10则∠A3A7A10的度数为( )A. 60°B. 65°C. 70°D. 75°8.(2024·江苏省·同步练习)如图若干个全等的正五边形排成环状．图中所示的是前3个正五边形要完成这一圆环还需正五边形的个数为( )A. 6B. 7C. 8D. 99.(2024·北京市市辖区·期末考试)如图正方形ABCD的边长为6且顶点A B C D都在⊙O上则⊙O 的半径为()．A. 3B. 6C. 3√ 2D. 6√ 210.(2024·广东省广州市·月考试卷)如图已知⊙O的周长等于4πcm则圆内接正六边形的边长为()cm．A. √ 3B. 2C. 2√ 3D. 4二填空题：本题共6小题每小题3分共18分。

人教版初三数学上册24.3正多边形和圆.3正多边形和圆》同步练习题

《24.3正多边形和圆》同步练习题—.填空题( )1.下列说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的多边形是正多边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分圆周的多边形是正多边形.其中正确的有A. 1个B . 2个C. 3个D . 4个( )2•下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A. 3个B . 4个C. 5个D . 6个( )3.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四边形一定是A .矩形B.菱形C.正方形D .不能确定( )4.如果一个正多边形的中心角为72°那么这个正多边形的边数是A . 4B . 5C . 6D . 7( )5.若正方形的边长为6,则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A . 6, 3迈B . 3问3C . 6, 3D . 6姻血( )6.半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为A . 1 : 2 : 3 B. ,3 ：,2 ：1 C . 3 : 2 : 1 D . 1 : 2 : 3 ( )7.如图，要拧开一个边长为a= 6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为A . 6 .2 mmB . 12 mmC . 6.3 mmD . 4.3 mm( )8.如图，在边长为a的正六边形内有两个小三角形，相关数据如图所示.S1 若图中阴影部分的面积为S1,两个空白三角形的面积为S2,则A . 3B . 4C . 5D . 6( )9.如图，在。

O中，0A=AB, OC丄AB,则下列结论错误的是A. △ OAB是等边三角形 B . / BAC= 30°C . OC平分弦ABD .弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长10. 如图，木工师傅从一块边长为60 cm的正三角形木板上锯出一块正六边形木板，那么这块正六边形木板的边长为___________ .11. ________ 如图，正方形ABCD内接于。

华东师大版九年级数学下册27.4：正多边形和圆同步测试试题(含答案)

华东师大版九年级数学下册第27章圆27.4 正多边形和圆同步测试题一、选择题（每小题3分，共36分）1.下面图形中，是正多边形的是(C)A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰梯形2.一个正多边形的内角和是外角和的2倍，那么它是(A)A.正六边形B.正八边形C.正十边形D.正十二边形3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(C)①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.A.3个B.4个C.5个D.6个4.正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是(A)A.12B.10C.8D.65.已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为(B)A.2 3B.3 3C.4 3D.6 36.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连结BD，则∠CBD的度数是(A)A.30°B.45°C.60°D.90°7.若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)A. 2B.2 2C.22D.18.高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB 的度数近似于(C)A.11°B.17°C.21°D.25°9.尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，连当年叱咤风云的拿破仑也不例外，我们可以只用圆规将圆等分.例如可将圆6等分，如图，只需在⊙O 上任取点A ，从点A 开始，以⊙O 的半径长为半径，在⊙O 上依次截取点B ，C ，D ，E ，F.从而点A ，B ，C ，D ，E ，F 把⊙O 六等分.下列可以只用圆规等分的是(C)①两等分；②三等分；③四等分；④五等分.A.②B.①②C.①②③D.①②③④10.如图，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC⊥AB 交⊙O 于点C ，则下列结论错误的是(D)A.弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长 C.AC ︵＝BC ︵B.弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 D.∠BAC＝30°11.正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为3∶2，则这个正多边形为(B)A.正十二边形B.正六边形C.正四边形D.正三角形12.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(D)A.38B.34C.24D.28二、填空题（每小题3分，共15分）13.如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则∠1＝30°.14.已知正六边形ABCDEF 的边心距为 3 cm ，则正六边形的半径为2cm.15.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O 的面积等于2π.16.如图，五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形，AF 是⊙O 的直径，则∠BDF 的度数是54°.17.如图，AC 是⊙O 的内接正六边形的一边，点B 在AC ︵上，且BC 是⊙O 的内接正十边形的一边.若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n ＝15.三、解答题（共49分）18.若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积.(结果保留根号)解：如图，过点O作OD⊥AB，垂足为D.∵∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形.∵正六边形的周长为24，∴AB＝4.∵OD⊥AB，∴∠AOD＝30°，AD＝2.在Rt△AOD中，根据勾股定理，得OD＝2 3.∴S△AOB ＝12×4×23＝4 3.∴S正六边形＝6×43＝24 3.19.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个五边形各条对角线，画出一个五角星.解：画法：(1)以O为圆心，OA＝2 cm为半径画圆；(2)以O点为顶点，OA为一边作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分别与圆交于点B，C，D，E；(3)分别连结AB，BC，CD，DE，EA.则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形；(4)依次连结AC，AD，BD，BE，CE.就画出了所要求的五角星.20.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5 2 cm，求⊙O的半径R.解：连结OB，OC，OD，∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，∴∠BOC＝13×360°＝120°，∠BOD＝112×360°＝30°.∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°.∴OC＝CD·cos45°＝52×22＝5(cm)，即⊙O的半径R＝5 cm.。

2019-2020学年人教版九年级数学上学期同步测试专题24-3：正多边形和圆

专题24.3正多边形和圆（测试）一、单选题1．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( )A ．6B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】003603012÷=．故这个正多边形的边数为12．故选：B ．2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（）A ．相等B ．互余C ．互补D ．互余或互补【答案】A【解析】设正多边形是正n 边形，则它的一边所对的中心角是360n ︒，正多边形的外角和是360°，则每个外角也是360n ︒，所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等，故选A ．3．在半径为R 的圆上依次截取等于R 的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D【解析】解：由题意这个正n 边形的中心角=60°，∴n=36060︒︒=6∴这个多边形是正六边形，故选：D ．4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（）A ．1BCD ．2【答案】C【解析】如图，作BG AC ⊥，依题可得：ABC ∆是边长为2的等边三角形，在Rt BGA ∆中，∵2AB =，1AG =，∴BG =故答案为：C.5 ）A ．πB ．3πC ．4πD ．12π【答案】C【解析】解：如图，六边形ABCDEF 为正六边形，作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，∴OA 为正六边形ABCDEF 的外接圆的半径，OH 为正六边形ABCDEF 的边心距，∴在Rt AOH 中，∠AOH=1806︒=30°，∴cos ∠AOH=OH OA == ∴OA=2， ∴它的外接圆的面积=2πOA （）=4π．故选：C ．6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB 的比是( )A．2B C D【答案】A【解析】过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，设AF＝EF＝GH＝DH＝k，∴AE＝DG k，∴EG＝2AE＝k，∴AB＝AD＝+2k，=∴正八边形边长与AB2故选A．7．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A ．27﹣B ．54﹣C ．D ．54【答案】B 【解析】解：设EF 交AH 于M 、交HD 于N ，连接OF 、OE 、MN ，如图所示：根据题意得：△EFO 是等边三角形，△HMN 是等腰直角三角形，∴EF ＝OF ＝6，∴△EFO 的高为：OF•sin60°＝MN ＝2（6﹣12﹣ ∴FM ＝12（6﹣12+3， ∴阴影部分的面积＝4S △AFM ＝4×12（3）×54﹣ 故选：B ．8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（）米A ．12x xB ．4 C．D ．4π【答案】A【解析】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4（米），设正方形边长是x 米，则x 2+x 2=42，解得：，所以正方形桌布的边长是米．故选：A ．9．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形(5)正n 边形的中心角360n a n ︒=，且与每一个外角相等其中真命题有( )A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个【答案】A【解析】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；(2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；(3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；(4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；(5)正n 边形的中心角360n a n︒=，且与每一个外角相等．故正确的是(1)(5)．共有2个．故选：A ．10．一个圆的内接正三角形的边长为( )AB ．4C ．D ．【答案】D【解析】根据题意画图如下：过点O 作OD ⊥BC 于D ，连接OB ，∴BD=CD=12， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=12OB ， ∴OB 2-(12OB)2=BD 2，解得：OB=2，即圆的半径为2，∴该圆的内接正方形的对角线长为4，设正方形的边长为x ，∴x 2+x 2=42，解得x=∴该圆的内接正方形的边长为故选D.11．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是()A．30°B．60°C．55°D．75°【答案】B【解析】连接OB，OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOD＝＝120°，∴∠BPD＝∠BOD＝60°，故选：B．12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( )A．B．3 C．D．【答案】B【解析】解：由题意n=6时，π≈ =3，故选：B ．13．如图，用四根长为5cm 的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动a cm ，同时添加另外四根长为5cm 的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则a 的值为（）A ．4cmB ．5cmC ． D【答案】D【解析】如图，由题意可知：△ABC 是等腰直角三角形，AB=5，AC=BC=a ．则有：a 2+a 2=52，∴a=2或-2（舍弃）故选：D ．14．如图，将边长为5的正六边形ABCDEF 沿直线MN 折叠，则图中阴影部分周长为（）A ．20B ．24C ．30D ．35【答案】C【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF 的周长=5×6=30，故选：C ．15．如图，已知O 的周长等于6cm ，则它的内接正六边形ABCDEF 的面积是（）A ．4B ．4C ．2D ．【答案】C【解析】过点O 作OH ⊥AB 于点H ，连接OA ，OB ，设⊙O 的半径为r ，∵⊙O 的周长等于6πcm ，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O 的半径为3cm ，即OA=3cm ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴AB=OA=3cm ，∵OH ⊥AB ，∴AH=12AB ，∴AB=OA=3cm ，∴AH=32cm ，=2cm ，∴S 正六边形ABCDEF =6S △OAB =6×12×3×2=2（cm2）．故选C.16．⊙O 是一个正n 边形的外接圆，若⊙O 的半径与这个正n 边形的边长相等，则n 的值为（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．8【答案】C【解析】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60°，÷︒=360606n的值为6，故选：C二、填空题17．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________．【答案】60°【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，即正多边形为六边形，∴这个正多边形的中心角的度数==60°．故答案为60°18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____．【答案】60°【解析】解：如图，过A作l∥l1，则∠4＝∠2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝120°，即∠4+∠3＝120°，∴∠2+∠3＝120°，即∠3＝120°﹣∠2，∵l1∥l2，∴l∥l2，∴∠1+∠3＝180°，∴∠1+120°﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60°．19．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____．【答案】75°【解析】解：设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知，37105 12A A A=⊙O的周长，∴∠A3OA10＝536012︒⨯＝150°，∴∠A3A7A10＝75°，故答案为：75°．20．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A ．2B ．﹣2.2C ．2.3D ．﹣2.3【答案】A【解析】如图，∵正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1∴第一次旋转后点M 1 纵坐标坐标为12 ，第二次、第三次旋转后点M 2（M 3，四次旋转后点M 4的纵坐标为﹣12﹣2，第五次旋转后点M 5的纵坐标为 12+2，第六次旋转后的点M 6的纵坐标为2．故选：A ．三、解答题21．如图，已知O ．（1）用尺规作正六边形，使得O 是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】解：（1）如图所示：,（2）如图所示：22．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．【答案】【解析】延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E.∵正六边形的边长为1，∴正六边形的半径是1，则CE＝4，则△BCE 的边EC ，△ACE 边EC ，则S △ABC ＝S △AEC －S △BEC ＝12×4×)＝23．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是怎样的？（不要求回答）温馨提示，如图1，是一个边长为a 的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相等；②正六边形的六个内角相等，都是120°；③正六边形的内角和为720°；④正六边形的外角和为360°．等．解答问题：（1）观察图2，请你在下面的横线上，再写出边长为a 的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于5条）：．（2）尺规作图：在图2中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）；（3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值．【答案】(1)见解析；（2）作图见解析；（3）．【解析】（1）①正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正六边形的面积为： a 2，周长为6a ；③正六边形有一个内切圆、外接圆，它们是同心圆；④圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧长度相等；⑤圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧的弧度相等；⑥圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的长度相等；⑦圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的弧度相等；⑧圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的圆心角（中心角）相等，都是60°；⑨圆内接正六边形的边长等于圆的半径；⑩圆内接正六边形的边心距为： a 等．（2）如图2所示：（3）如图2，连结EO，在Rt△ONE中，∵OE=DE=a，∠EON=DOE=30°，∴OE=a，∴边长为a正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值为：．24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE=CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB=CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1=∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠P AC，∴△BEC≌△APC，∴P A＝BE＝PB＋P C．（2）过点B作BE⊥PB交P A于E．∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；PE=又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴PA AE PE PC=+=．=+；（3）答：PA PC证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，∴PQ==+=∴PA PQ AQ25．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．【答案】90°72°【解析】(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝.26．如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草.(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明.(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长.(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法.(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？【答案】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC；（2）60；（3）如图（4）见解析；（4）可推广到正n边形.【解析】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，连OD，OE，OF.方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC.（2）OD//AC，OE//AB，OF//BC，如图（3）,作OM⊥BC于M，连OB，∵ΔABC是等边Δ，∴BM=BC=30，且∠OBM=30°，∴OM=10，∵OE//AB，∴∠OEM=60°，OE==20，又OE=OF=OD，∴OE+OF+OD=3OE=60，答：略.（3）如图（4）,方法1：在BC，CA，AB上分别截取BE=CF=AD，连结OD，OE，OF，方法2：在AB上任取一点D，连OD，逆时针旋转OD120°两次，得E，F.（4）设M1为A1A2上任一点，在各边上分别取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连OM1……OM5即可，∴可推广到正n边形.。

人教版九年级数学上册24.3 正多边形和圆同步练习含答案

第24章 24.3《正多边形和圆》同步练习及答案 (2)1．下列边长为a 的正多边形与边长为a 的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是( )(1)正三角形 (2)正五边形 (3)正六边形 (4)正八边形A ．(1)(2)B ．(2)(3)C ．(1)(3)D ．(1)(4)2．以下说法正确的是A ．每个内角都是120°的六边形一定是正六边形．B ．正n 边形的对称轴不一定有n 条．C ．正n 边形的每一个外角度数等于它的中心角度数．D ．正多边形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形．(3)(2006年天津市)若同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r 3，r 4，r 6，则r 3：r 4：r 6等于( )A ．BC ．1:2:3D ． 3:2:14．已知正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，图中阴影部分的面积为312，则⊙O 的半径为______________________．5．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在»AD 上，则∠BEC= ． 6．将一块正六边形硬纸片（图1），做成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图2），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图中的四边形AGA /H ，那么∠GA /H 的大小是度．7．（2006年威海市）如图，若正方形A 1B 1C 1D 1内接于正方形ABCD 的内接圆，则ABB A 11的值为（） A ．21 B ．22 C ．41 D ．42 8．从一个半径为10㎝的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为．9．如图五边形ABCDE 内接于⊙O,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E ．求证：五边形ABCDE 是正五边形10．如图，10－1、10－2、10－3、…、10－n 分别是⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD 、正五边形ABCDE 、…、正n 边形ABCD …，点M 、N 分别从点B 、C 开始以相同的速度在⊙O 上逆时针运动。

人教版九年级数学上册《24.3 正多边形和圆》同步练习

24.3 正多边形和圆一．选择题1．边长为2的正六边形的面积为（）A．6B．6C．6D．2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是上不同于点C的任意一点，则∠BPC的大小是（）A．22.5°B．45°C．30°D．50°3．如图，△ABD是⊙O的内接正三角形，四边形ACEF是⊙O的内接正四边形，若线段BC 恰是⊙O的一个内接正n边形的一条边，则n＝（）A．16B．12C．10D．84．如图，把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形ABGHI的AB边重合叠放在一起，连接EB，交HI于点K，则∠BKI的大小为（）A．90°B．85°C．84°D．80°5．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）A．2：B．：C．：D．：26．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠BDF的度数是（）A．18°B．36°C．54°D．72°7．已知圆内接正六边形的边长是1，则该圆的内接正三角形的面积为（）A．B．2C．D．8．如图，AB、AC分别为⊙O的内接正方形、内接正三边形的边，BC是圆内接正n边形的一边，则n等于（）A．8B．10C．12D．169．如图，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝（）A．75°B．54°C．72°D．60°10．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正三角形和内接正四边形的一边，若BC恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为（）A．8B．10C．12D．15二．填空题11．正方形的边长为6，则该正方形的边心距是．12．如图，在正六边形ABCDEF中，连接BD、BE、DF，则的值为．13．已知正五边形ABCDE内接于⊙O，连接BD，则∠ABD的度数是．14．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O且半径为3，则AB的长为．15．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为2，则△ADE的周长是．16．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．17．如图，⊙O半径为，正方形ABCD内接于⊙O，点E在上运动，连接BE，作AF ⊥BE，垂足为F，连接CF．则CF长的最小值为．18．已知：圆内接正方形ABCD，∠DAC的平分线交圆于E，交CD于P，若EP＝1，AP ＝3，则圆的半径r＝．三．解答题19．如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接AM，BM．（1）求证：；（2）求的度数．20．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，连接DE，AE．（1）∠CPD＝°；（2）若DC＝4，CP＝，求DP的长．21．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若⊙O的半径为2，求等边△ABC的边心距．22．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PB+PC；（2）已知：如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为劣弧BC上一动点．求证：P A＝PC+PB．23．如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF＝1，AE＝4，求DE的长度．24．如图1，△ABC为等边三角形，图2为正方形，图3为正五边形，图4为正多边形．（1）如图1当BP＝CQ时，请求出∠AOQ的度数，并说明理由（2）如图2，在正方形中，当BP＝CQ时∠AOQ＝；如图3，在正五边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ＝；（3）如图4，在正n边形中，当BP＝CQ时，∠AOQ是否有什么规律？如果有请用含有n的式子直接表示；如果没有规律，请说明理由．参考答案一．选择题1．A．2．B．3．B．4．C．5．B．6．C．7．C．8．C．9．C．10．C．二．填空题11．3．12．．13．72°．14．3．15．6+2．16．12；17．﹣1．18．．三．解答题19．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC，∴＝，∵M为的中点，∴＝，∴+＝+，∴；（2）解：连接OM，OA，OB，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BOM＝（360°﹣90°）＝135°，∴的度数时135°．20．（1）如图，连接BD，∵正方形ABCD内接于⊙O，P为上一点，∴∠DBC＝45°，∵∠CPD＝∠DBC，∴∠CPD＝45°．故答案为：45；（2）如图，作CH⊥DP于H，∵CP＝2，∠CPD＝45°，∴CH＝PH＝2，∵DC＝4，∴DH＝＝＝2，∴DP＝PH+DH＝2+2．21．（1）证明：在⊙O中，∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC，又∵∠APC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）过O作OD⊥BC于D，连接OB，则∠OBD＝30°，∠ODB＝90°，∵OB＝2，∴OD＝1，∴等边△ABC的边心距为1．22．证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE，如图1，∵A、B、P、C四点共圆，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPC+∠EPC＝180°，∴∠BAC＝∠CPE＝60°，∵PE＝PC，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝60°；又∵∠BCE＝60°+∠BCP，∠ACP＝60°+∠BCP，∴∠BCE＝∠ACP，∵△ABC、△ECP为等边三角形，∴CE＝PC，AC＝BC，在△BEC和△APC中，，∴△BEC≌△APC（SAS），∴P A＝BE＝PB+PC；（2）过点B作BE⊥PB交P A于E，连接OA，OB．如图2，∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°∴∠1＝∠3，∵∠APB＝∠AOB＝45°，∴BP＝BE，∴PE＝PB，在△ABE和△CBP中，，∴△ABE≌△CBP（SAS），∴PC＝AE，∴P A＝AE+PE＝PC+PB；23．（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD＝90°，∴∠AED＝∠AOD＝45°．（2）如图2中，连接CF，CE，CA，BD，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠BDE＝∠DBF，∠BDC＝∠ABD，∴∠ABF＝∠CDE，∵∠CF A＝∠AEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFB＝135°，∵CD＝AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF＝CE＝1，∴AC＝＝，∴AD＝AC＝，∵∠DHE＝90°，∴∠HDE＝∠HED＝45°，∴DH＝HE，设DH＝EH＝x，在Rt△ADH中，∵AD2＝AH2+DH2，∴＝（4﹣x）2+x2，解得x＝或（舍弃），∴DE＝DH＝24．（1）∠AOQ＝60°．在△ABP和△BCQ中，．∴△ABP≌△BCQ（SAS）．∴∠BAP＝∠CBQ．∴∠AOQ＝∠ABO+∠BAP＝∠ABO+∠CBQ＝∠ABC＝60°；（2）理由同（1）：正方形∠AOQ＝90°，正五边形∠AOQ＝108°，（3）正n边形∠AOQ＝．故答案为：90°，108°．。

人教版2020届九年级数学上学期同步测试专题24-3：正多边形和圆【含解析】

专题24.3正多边形和圆（测试）一、单选题1．若正多边形的一个中心角是30°，则该正多边形的边数是( ) A ．6 B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】003603012÷=．故这个正多边形的边数为12．故选：B ．2．正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角的关系是（） A ．相等 B ．互余C ．互补D ．互余或互补【答案】A【解析】设正多边形是正n 边形，则它的一边所对的中心角是360n︒，正多边形的外角和是360°，则每个外角也是360n︒，所以正多边形的一边所对的中心角与它的一个外角相等，故选A ．3．在半径为R 的圆上依次截取等于R 的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（） A ．正三角形 B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D 【解析】解：由题意这个正n 边形的中心角=60°， ∴n=36060︒︒=6 ∴这个多边形是正六边形，故选：D ．4．如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形.则原来的纸带宽为（）A ．1B 2C 3D ．2【答案】C【解析】如图，作BG AC ⊥，依题可得：ABC ∆是边长为2的等边三角形，在Rt BGA ∆中， ∵2AB =，1AG =， ∴3BG =，即原来的纸宽为3. 故答案为：C.5．已知一个正六边形的边心距为3，则它的外接圆的面积为（） A ．π B ．3πC ．4πD ．12π【答案】C 【解析】解：如图，六边形ABCDEF 为正六边形，作OH ⊥AB 于H ，连接OA ，∴OA 为正六边形ABCDEF 的外接圆的半径，OH 为正六边形ABCDEF 的边心距， ∴3 在RtAOH 中，∠AOH=1806︒=30°， ∴cos ∠AOH=OH 33OA ==∴OA=2，∴它的外接圆的面积=2πOA （）=4π．故选：C ．6．如图，正八边形各边中点构成四边形，则正八边形边长与AB的比是()A．2﹣2B．322C．1222+D．222+【答案】A【解析】过E作EF⊥AD于F，过G作GH⊥AD于H，则△AEF与△DGH是等腰直角三角形，四边形EFHG是矩形，∴AF＝EF＝DH＝GH，EG＝FH，设AF＝EF＝GH＝DH＝k，∴AE＝DG2k，∴EG＝2AE＝2k，∴AB＝AD＝2k+2k，∴正八边形边长与AB22k22 22k2k=+故选A．7．如图，在半径为6的⊙O中，正方形AGDH与正六边形ABCDEF都内接于⊙O，则图中阴影部分的面积为（）A ．27﹣93B ．54﹣183 C ．183D ．54【答案】B【解析】解：设EF 交AH 于M 、交HD 于N ，连接OF 、OE 、MN ，如图所示：根据题意得：△EFO 是等边三角形，△HMN 是等腰直角三角形， ∴EF ＝OF ＝6，∴△EFO 的高为：OF•sin60°＝6×3＝33，MN ＝2（6﹣33）＝12﹣63， ∴FM ＝12（6﹣12+63）＝33﹣3， ∴阴影部分的面积＝4S △AFM ＝4×12（33﹣3）×33＝54﹣183；故选：B ．8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（）米A ．12x xB ．4C ．42D ．4π【答案】A【解析】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4（米），设正方形边长是x 米，则 x 2+x 2=42，解得：2，所以正方形桌布的边长是2米．故选：A．9．下面给出五个命题(1)正多边形都有内切圆和外接圆，且这两个圆是同心圆(2)各边相等的圆外切多边形是正多边形(3)各角相等的圆内接多边形是正多边形(4)正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形(5)正n边形的中心角360nan︒=，且与每一个外角相等其中真命题有()A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】A【解析】解：(1)正多边形都有一个内切圆和一个外接圆，是同心圆，圆心是正多边形的中心，故正确；(2)各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，故不一定是正多边形，如菱形，故错误；(3)圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故错误；(4)边数是偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，而边数是奇数的多边形是轴对称图形，不是中心对称图形；(5)正n边形的中心角360nan︒=，且与每一个外角相等．故正确的是(1)(5)．共有2个．故选：A．10．一个圆的内接正三角形的边长为3( ) A2B．4 C．23D．22【答案】D【解析】根据题意画图如下：过点O作OD⊥BC于D，连接OB，∴BD=CD=123，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∴OD=12 OB，∴OB2-(12OB)2=BD2，解得：OB=2，即圆的半径为2，∴该圆的内接正方形的对角线长为4，设正方形的边长为x，∴x2+x2=42，解得x=22.∴该圆的内接正方形的边长为22.故选D.11．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧EF上一点，则∠BPD的度数是()A．30°B．60°C．55°D．75°【答案】B【解析】连接OB，OD，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOD＝＝120°，∴∠BPD＝∠BOD＝60°，故选：B．12．距资料，我国古代数学家祖冲之和他的儿子发展了刘徽的“割圆术”(即圆的内接正多边形边数不断增加，它的周长就越接近圆周长)，他们从圆内接正六边形算起，一直算到内接正24576边形，将圆周率精确到小数点后七位，使中国对圆周率的计算在世界上领先了一千多年，依据“割圆术”，由圆内接正六边形算得的圆周率的近似值是( ) A．B．3 C．D．【答案】B【解析】解：由题意n=6时，π≈=3，故选：B．13．如图，用四根长为5cm的铁丝，首尾相接围成一个正方形（接点不固定），要将它的四边按图中的方式向外等距离移动a cm，同时添加另外四根长为5cm的铁丝（虚线部分）得到一个新的正八边形，则a的值为（）A．4cm B．5cm C．52cm D．52cm【答案】D【解析】如图，由题意可知：△ABC是等腰直角三角形，AB=5，AC=BC=a．则有：a2+a2=52，∴a=522或-522（舍弃）故选：D．14．如图，将边长为5的正六边形ABCDEF沿直线MN折叠，则图中阴影部分周长为（）A．20 B．24 C．30 D．35【答案】C【解析】由翻折不变性可知，阴影部分的周长等于正六边形ABCDEF的周长=5×6=30，故选：C．15．如图，已知O的周长等于6cmπ，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是（）A．34B．34C．32D．273【答案】C【解析】过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，设⊙O的半径为r，∵⊙O的周长等于6πcm，∴2πr=6π，解得：r=3，∴⊙O的半径为3cm，即OA=3cm，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=16×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=3cm，∵OH⊥AB，∴AH=12 AB，∴AB=OA=3cm，∴AH=32cm，22OA AH-=332cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×3×33=273（cm2）．故选C.16．⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则n的值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【解析】⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，则这个正n边形的中心角是60°，360606÷︒=n的值为6，故选：C二、填空题17．若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是___________．【答案】60°【解析】∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为=6，即正多边形为六边形，∴这个正多边形的中心角的度数==60°．故答案为60°18．如图，六边形ABCDEF是正六边形，若l1∥l2，则∠1﹣∠2＝_____．【答案】60°【解析】解：如图，过A作l∥l1，则∠4＝∠2，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠FAB＝120°，即∠4+∠3＝120°，∴∠2+∠3＝120°，即∠3＝120°﹣∠2，∵l1∥l2，∴l∥l2，∴∠1+∠3＝180°，∴∠1+120°﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60°．19．如图，正十二边形A1A2…A12，连接A3A7，A7A10，则∠A3A7A10＝_____．【答案】75°【解析】解：设该正十二边形的中心为O，如图，连接A10O和A3O，由题意知，37105 12A A A=⊙O的周长，∴∠A3OA10＝536012︒⨯＝150°，∴∠A3A7A10＝75°，故答案为：75°．20．已知正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形外边，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作：将正方形在正六边形外绕点B顺时针旋转，使KN边与BC边重合，完成第一次旋转；再绕点C顺时针旋转，使NM边与CD边重合，完成第二次旋转；………在这样连续6次旋转的过程中，点M在图中直角坐标系中的纵坐标可能是（）A 3B．﹣2.2 C．2.3 D．﹣2.3【答案】A 【解析】如图，∵正方形MNKO和正六边形ABCDEF边长均为1∴第一次旋转后点M1纵坐标坐标为12，第二次、第三次旋转后点M2（M3）的纵坐标为﹣32，四次旋转后点M4的纵坐标为﹣12﹣3，第五次旋转后点M5的纵坐标为12+3，第六次旋转后的点M6的纵坐标为3．故选：A．三、解答题21．如图，已知O．（1）用尺规作正六边形，使得O是这个正六边形的外接圆，并保留作图痕迹；（2）用两种不同的方法把所做的正六边形分割成六个全等的三角形．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【解析】解：（1）如图所示：,（2）如图所示：22．如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，求△ABC的面积．【答案】23.【解析】延长AB，再作出过点C与格点所在的直线，交于格点E.∵正六边形的边长为1，∴正六边形的半径是1，则CE＝4，3则△BCE的边EC上的高是332，△ACE边EC上的高是32，则S△ABC＝S△AEC－S△BEC＝12×4×5333)＝323．回顾旧知：在探究有关正多边形的有关性质时，我们是从那几个方面展开的？探究的方法与过程又是怎样的？（不要求回答）温馨提示，如图1，是一个边长为a的正六边形．我们知道它具有如下的性质：①正六边形的每条边长度相等；②正六边形的六个内角相等，都是120°；③正六边形的内角和为720°；④正六边形的外角和为360°．等．解答问题：（1）观察图2，请你在下面的横线上，再写出边长为a的正六边形所具有不同于上述的性质（不少于5条）：．（2）尺规作图：在图2中作出圆内接正六边形的内切圆（不要求写作法，只保留作图痕迹）；（3）求出这个正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值．【答案】(1)见解析；（2）作图见解析；（3）．【解析】（1）①正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形；②正六边形的面积为：a2，周长为6a；③正六边形有一个内切圆、外接圆，它们是同心圆；④圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧长度相等；⑤圆内接正六边形的每条边在圆内所对的优弧的弧度相等；⑥圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的长度相等；⑦圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的劣弧的弧度相等；⑧圆内接正六边形的每条边（或说弦）在圆内所对的圆心角（中心角）相等，都是60°；⑨圆内接正六边形的边长等于圆的半径；⑩圆内接正六边形的边心距为：a等．（2）如图2所示：（3）如图2，连结EO，在Rt△ONE中，∵OE=DE=a，∠EON=DOE=30°，∴OE=a，∴边长为a正六边形外接圆半径与内切圆半径的比值为：．24．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PB+PC．下面给出一种证明方法，你可以按这一方法补全证明过程，也可以选择另外的证明方法．证明：在AP上截取AE=CP，连接BE∵△ABC是正三角形∴AB=CB∵∠1和∠2的同弧圆周角∴∠1=∠2∴△ABE≌△CBP（2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：PA=PC+ 2PB．（3）如图3，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，点P为弧BC上一动点，请探究PA、PB、PC三者之间有何数量关系，直接写出结论．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3PB【解析】证明：（1）延长BP至E，使PE＝PC，连接CE．∵∠1＝∠2＝60°，∠3＝∠4＝60°，∴∠CPE＝60°，∴△PCE是等边三角形，∴CE＝PC，∠E＝∠3＝60°；又∵∠EBC＝∠P AC，∴△BEC≌△APC，∴P A＝BE＝PB＋P C．（2）过点B作BE⊥PB交P A于E．∵∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°∴∠1＝∠3，又∵∠APB＝45°，∴BP＝BE，∴；PE2PB=又∵AB＝BC，∴△ABE≌△CBP，∴PC＝AE．∴PA AE PE PC2PB=+=．=+；（3）答：PA3PB PC证明：在AP上截取AQ＝PC，连接BQ，∵∠BAP＝∠BCP，AB＝BC，∴△ABQ≌△CBP，∴BQ＝BP．又∵∠APB＝30°，=PB∴PQ3=+=∴PA PQ AQ325．如图①②③④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形ABCDEFG…的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图①中∠MON的度数；(2)图②中，∠MON的度数是________，图③中∠MON的度数是________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系(直接写出答案)．【答案】90°72°【解析】(1)方法一：如图①，连接OB，OC.图①∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°.又∵BM＝CN，OB＝OC，∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.方法二：如图②，连接OA，OB.图②∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON，∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°.(2)90°72°(3)∠MON＝.26．如图，一个圆形街心花园，有三个出口A，B，C，每两个出口之间有一条60米长的道路，组成正三角形ABC，在中心点O处有一亭子，为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分别落在ΔABC分成三个全等的多边形，以备种植不同品种的花草.(1)请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计方案分别画在图1，图2中，并附简单说明.(2)要使三条小路把ΔABC分成三个全等的等腰梯形，应怎样设计？请把方案画在图3中，并求此时三条小路的总长.(3)请你探究出一种一般方法，使得出口D不论在什么位置，都能准确地找到另外两个出口E、F的位置，请写明这个方法.(4)你在(3)中探究出的一般方法适用于正五边形吗？请结合图5予以说明，这种方法能推广到正n边形吗？【答案】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC；（2）60；（3）如图（4）见解析；（4）可推广到正n边形.【解析】（1）方案1：D，E，F与A，B，C重合，连OD，OE，OF.方案2：OD，OE，OF分别垂直于AB，BC，AC.（2）OD//AC，OE//AB，OF//BC，如图（3）,作OM⊥BC于M，连OB，∵ΔABC是等边Δ，∴BM=BC=30，且∠OBM=30°，∴OM=10，∵OE//AB，∴∠OEM=60°，OE==20，又OE=OF=OD，∴OE+OF+OD=3OE=60，答：略.（3）如图（4）,方法1：在BC，CA，AB上分别截取BE=CF=AD，连结OD，OE，OF，方法2：在AB上任取一点D，连OD，逆时针旋转OD120°两次，得E，F.（4）设M1为A1A2上任一点，在各边上分别取A2M2=A3M3=A4M4=A5M5=A1M1，连OM1……OM5即可，∴可推广到正n边形.。

初三数学正多边形和圆同步测试题含答案新人教版

适用精选文件资料分享初三数学正多边形和圆同步测试题（含答案新人教版）初三数学正多边形和圆同步测试题（含答案新人教版）知识点相等，______________也相等的多边形叫做正多边形 . 2 ．把一个圆分成几等份，连接各点所获得的多边形是________________，它的中心角等于______________________________________________. 3.一个正多边形的外接圆的 ____________叫做这个正多边形的中心，外接圆的__________叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的 __________叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的____________叫做正多边形的边心距 . 4. 正 n 边形的半径为 R，边心距为 r ，边长为 a，（1）中心角的度数为： ______________. （2）每个内角的度数为：_______________________. （3）每个外角的度数为： ____________.（4）周长为： _________，面积为： _________. 5. 正 n 边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有 _______条，而且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它不过 _______________.（填“轴对称图形”或“中心对称图形”）一、选择题 1. 以下说法正确的选项是（）A. 各边相等的多边形是正多边形B. 各角相等的多边形是正多边形C.各边相等的圆内接多边形是正多边形 D. 各角相等的圆内接多边形是正多边形 2.（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（）A．：3 B．：2 C． 1 ：2 D．：2 3.(2013山东滨州)若正方形的边长为 6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( ) A．6，B ．，3 C．6，3 D．， 4. 以以下图，正六边形 ABCDEF内接于⊙ O，则∠ADB的度数是（）． A ．60° B ．45° C．30° D． 22．5°5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（）A. B. C.3:2:1 D.1:2:36.圆内接正五边形 ABCDE中，对角线 AC和 BD订交于点 P，则∠ APB 的度数是（）． A ．36° B ．60° C．72° D．108°7. （2013?自贡）如图，点 O是正六边形的对称中心，假如用一副三角板的角，借助点O（使该角的极点落在点O处），把这个正六边形的面积n 均分，那么 n 的全部可能取值的个数是（）A.4B.5C.6D. 78.如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O 的内接正方形，BC∥QR，则∠ AOQ的度数是（）°°°°二、填空题 9. 一个正 n 边形的边长为 a，面积为 S，则它的边心距为__________. 10. 正多边形的一此中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于 __________度. 11. 若正六边形的面积是cm 2，则这个正六边形的边长是__________. 12.已知正六边形的边心距为，则它的周长是 _______. 13. 点 M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC 上的点，且 AM=BN，点 O是正八边形的中心，则∠ MON=_____________.14.边长为 a 的正三角形的边心距、半径（外接圆的半径）和高之比为_________________. 15. 要用圆形铁片截出边长为 4cm的正方形铁片，则采纳的圆形铁片的直径最小要__________cm. 16. 若正多边形的边心距与边长的比为 1:2 ，则这个正多边形的边数是 __________. 17.一个正三角形和一个正六边形的周长相等，则它们的面积比为__________.18.(2 013? 徐州 ) 如图，在正八边形 ABCDEFGH中，四边形 BCFG的面积为 20cm2，则正八边形的面积为 ________cm2.三、解答题 19. 比较正五边形与正六边形，可以发现它们的同样点与不一样点 .正五边形正六边形比方它们的一个同样点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等 . 它们的一个不一样点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形 . 请你再写出它们的两个同样点和不一样点 . 同样点：（1）___________________________________________________________ _________; （2）___________________________________________________________ ________. 不一样点：（1）___________________________________________________________ _________; （2）__________________________________________________________________. 20. 已知，如，正六形ABCDEF的 6cm，求个正六形的外接半径R、心距 r6 、面 S6.21.如，⊙O的半径，⊙O的内接一个正多形，心距 1，求它的中心角、、面 .22.已知⊙O和⊙O上的一点A. （1）作⊙O的内接正方形ABCD和内接正六形 AEFCGH；（2）在（ 1）的作中，假如点 E 在弧 AD上，求： DE是⊙O内接正十二形的一 .23.如 1、 2、 3、⋯、 n，M、N分是⊙O 的内接正三角形ABC、正方形 ABCD、正五形 ABCDE、⋯、正 n 形 ABCDE⋯的 AB、BC 上的点，且 BM=CN， OM、ON.(1)求 1 中∠ MON的度数； (2) 2 中∠ MON的度数是 _________， 3 中∠ MON的度数是 _________；(3) 研究∠ MON的度数与正 n形数 n 的关系 ( 直接写出答案 ).24.3 正多形和知点 1. 各各角 2.正多形正多形每一所的心角 3. 心半径心角距离称形一、解：依据内接正多形的性可知，只要把此正六形再化正多形即可，即周角除以 30 的倍数就可以解决． 360÷30=12； 360÷60=6； 360÷90=4；360÷120=3； 360÷180=2．所以 n 的全部可能的共五种状况，故B． 8.D 二、填空 9. 10.144 11.4cm 12.12 13.45 ° 14.1:2:315.16. 四 17.2:3 18.40 三、解答题 19. 同样点：（1）每个内角都相等（或每个外角都相等或对角线都相等）；（2）都是轴对称图形（或都有外接圆和内切圆） . 不一样点：（1）正五边形的每个内角是108°，正六边形的每个内角是120°；（2）正五边形的对称轴是5 条，正六边形的对称轴是 6 条. 20. 21. 解：连接 OB ∵在 Rt△AOC 中，AC==1 ∴AC=OC∴∠ AOC=∠OAC=45° ∵OA=OBOC⊥AB∴AB=2AC=2 ∠AOB=2∠OAC=2×45°=90° ∴这个内接正多边形是正方形 . ∴面积为 22=4 ∴中心角为 90°，边长为 2，面积为 4. 22. (1) 作法：①作直径 AC; ②作直径 BD⊥AC; ③挨次连接 A、B、C、D 四点 ,四边形ABCD即为⊙O的内接正方形 ; ④分别以 A、C为圆心，以 OA长为半径作弧，交⊙O于 E、H、F、G; ⑤按序连接 A、E、F、C、G、H 各点 . 六边形 AEFCGH即为⊙O的内接正六边形 . (2) 证明：连接 OE、DE.∵∠ AOD＝＝90°，∠ AOE＝＝60°，∴∠ DOE＝∠ AOD－∠ AOE＝90°- 60°=30°. ∴DE为⊙O的内接正十二边形的一边 . 23.(1) 方法一：连接 OB、OC. ∵正△ ABC内接于⊙ O，∴∠ OBM=∠OCN＝30°，∠ BOC=120°. 又∵ BM=CN， OB=OC，∴△ OBM≌△ OCN（SAS）. ∴∠ BOM ＝∠ CON.∴∠ MON=∠BOC=120°. 方法二：连接 OA、OB. ∵正△ ABC 内接于⊙ O，∴AB=AC，∠ OAM=∠OBN=30°, ∠AOB=120°. 又∵ BM＝CN，∴AM=BN.又∵ OA=OB,∴△ AOM≌△ BON（SAS）. ∴∠ AOM=∠BON.∴∠ MON=∠AOB=120°. (2)90° 72° (3)∠MON= .。

人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆同步测试及答案【精】

正多边形和圆1．正六边形的边心距与边长之比为( B ) A.3∶3 B.3∶2 C ．1∶2 D.2∶2【解析】如图：设正六边形的边长是a ，则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC ＝12AB ＝12a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ， ∴正六边形的边心距与边长之比为：32a ∶a ＝3∶2. 3－1，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( D ) 图24－3－1A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC ︵＝BC ︵D ．∠BAC ＝30°【解析】因为OA ＝AB ＝OB ，所以△OAB 是等边三角形，又OC ⊥AB ，所以∠AOC ＝∠BOC ＝30°，所以∠BAC ＝15°，D 不正确．3．如图24－3－2，点O 是正六边形的对称中心，如果用一副三角板的角，借助点O (使该角的顶点落在点O 处)，把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的个数是( B )图24－3－2A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 360÷30＝12；360÷60＝6；360÷90＝4；360÷120＝3；360÷180＝2.因此n 的所有可能的值共五种情况．4．如图24－3－3，要拧开一个边长为a ＝6 mm 的正六边形螺帽，扳手张开的开口b 至少为( C )图24－3－3 A ．6 2 mm B ．12 mmC ．6 3 mmD ．4 3 mm5．已知正六边形的边心距为3，则它的周长是( B )A ．6B ．12C ．6 3D ．12 3【解析】正六边形的边长等于半径，设半径为R ，则⎝⎛⎭⎫12R 2＋(3)2＝R 2，∴R ＝2，它的周长是6R＝6×2＝12，故选B.6．若正六边形的边长为4 cm ，那么正六边形的中心角是__60__度，半径是__4__cm ，边心距是__23__cm ，它的每一个内角是__120°__．7．[2012·巴中]已知一个圆的半径为5 cm ，则它的内接正六边形的边长为__5__cm.8．已知一个正n 边形的中心角是它的一个内角的三分之一，则n ＝__8__．【解析】由360n ＝180（n －2）n ×13，得n ＝8. 9．已知⊙O 和⊙O 上的一点A ，如图24－3－4所示．图24－3－4(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题所作的图中，如果点E 在AB ︵上，试证明EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．【解析】 (1)根据正四边形和正六边形的作图方法分别作出⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)计算EB 所对的圆心角的度数．解：(1)如图所示，在⊙O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径AC 和BD ，连接AB ，BC ，CD ，DA ，得⊙O 的内接正方形ABCD ；按正六边形的作法用直尺和圆规在⊙O 中作出正六边形AEFCGH . (2)如图，连接OE .∵AE 是正六边形的一边，∴∠AOE ＝360°6＝60°.∵AB 是正方形的一边，∴∠AOB ＝360°4＝90°，∴∠BOE ＝∠AOB －∠AOE ＝90°－60°＝30°.设EB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则360°n＝30°，∴n ＝12， ∴EB 是⊙O 的内接正十二边形的一边．10．小敏在作⊙O 的内接正五边形时，先做了如下几个步骤：(1)作⊙O 的两条互相垂直的直径，再作OA 的垂直平分线交OA 于点M ，如图1；(2)以M 为圆心，BM 长为半径作圆弧，交CA 于点D ，连接BD ，如图2.若⊙O 的半径为1，则由以上作图得到的关于正五边形边长BD 的等式是( C )图24－3－5 A ．BD 2＝5－12OD B ．BD 2＝5＋12OD C ．BD 2＝5ODD ．BD 2＝52OD 11．[2013·徐州]如图24－3－6，在正八边形ABCDEFGH 中，四边形BCFG 的面积为20 cm 2，则正八边形的面积为____________cm 2.图24－3－6【解析】连接HE ，AD ，在正八边形ABCDEFGH 中，可得：HE ⊥BG 于点M ，AD ⊥BG 于点N ，∵正八边形每个内角为：（8－2）×180°8＝135°， ∴∠HGM ＝45°，∴MN ＝MG ，设MH ＝MG ＝x ，则HG ＝AH ＝AB ＝GF ＝2x ，∴BG ×GF ＝2(2＋1)x 2＝20，四边形ABGH 面积＝12(AH ＋BG )×HM ＝(2＋1)x 2＝10， ∴正八边形的面积为：10×2＋20＝40(cm 2)．12．将固定宽度的纸条打个简单的结，然后系紧，使它成为平面的结(如图24－3－7)，求证：五边形ABCDE 是正五边形．图24－3－7第13题答图证明：如图所示，连接BE ，AD ，设纸条的宽度为h ，则S △ABE ＝12AB ·h ＝12AE ·h ， ∴AB ＝AE ，同理得AB ＝BC ，BC ＝CD ，∴AE ＝AB ＝BC ＝CD .∵纸条的宽度固定，∴AE ∥BD ，CD ∥BE ，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5.由折叠性质得∠ABD ＋∠ABC ＝180°，从而得∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝∠5＝36°，由此易得∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDE ＝∠DEA ＝∠EAB ，AE ＝AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴五边形ABCDE 是正五边形．13．如图24－3－8所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三角形，顶角∠BAC ＝36°，弦BD ，CE 分别平分∠ABC ，∠ACB ，求证：五边形AEBCD 是正五边形．图24－3－8 【解析】要证明五边形AEBCD 是正五边形，只需证AE ︵＝EB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DA ︵即可．证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝72°.又∵BD 平分∠ABC ，CE 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ＝36°，即∠BAC ＝∠ABD ＝∠CBD ＝∠BCE ＝∠ACE ，∴BC ︵＝AD ︵＝CD ︵＝BE ︵＝AE ︵，∴A ，E ，B ，C ，D 是⊙O 的五等分点，∴五边形AEBCD 是正五边形．14．如图24－3－9，正五边形ABCDE ，连接对角线AC ，BD ，设AC 与BD 相交于O .(1)写出图中所有的等腰三角形；(2)判断四边形AODE 的形状，并说明理由．:学科图24－3－9解：(1)△ABO ，△ABC ，△BOC ，△DOC ，△BCD .(2)四边形AODE 是菱形，理由如下：∵AB ＝BC ，∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°， ∴∠BAC ＝∠BCA ＝12×(180°－108°)＝36°，同理得∠CBD ＝∠CDB ＝36°，∴∠ABO ＝∠ABC －∠CBD ＝72°，∠AOB ＝180°－∠ABO －∠BAC ＝72°，∴AB ＝AO ，同理得DO ＝DC ，∴OA ＝AE ＝ED ＝DO ，∴四边形AODE 是菱形．15．小刚现有一边长为a m 的正方形花布，准备做一个形状为正八边形的风筝，参加全校组织的风筝比赛，问：在这样的花布上怎样裁剪，才能得到一个面积最大的风筝？解：如图所示，在正方形ABCD 中，△DEF ，△CGH ，△BOP ，△AMN 为全等的等腰直角三角形，八边形EMNOPHGF 为正八边形．设直角边DE ＝DF ＝CG ＝CH ＝x .在Rt △DEF 中，EF ＝2x . ∵EF ＝FG ，且DC ＝DF ＋FG ＋CG ，∴x ＋x ＋2x ＝a ，解得x ＝2－22a ≈0.3a ，因此，从四个角上各剪去一个直角边长约为0.3a m 的等腰直角三角形，即可得到一个面积最大的正八边形风筝．16．小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折，旋转放置，做成科学方舟模型，如图24－3－10所示，该正五边形的边心距OB 长为2，AC 为科学方舟船头A 到船底的距离，请你计算AC ＋12AB ＝__522__．图24－3－10【解析】设正五边形的边长为a ，根据正五边形的面积等于科学方舟面积的2倍列方程求解，依题意，有12×2×a ×5＝⎝⎛⎭⎫12×AB ×a 2＋12×a ×AC ×2，即522a ＝⎝⎛⎭⎫12AB ＋AC ×a ，∴12AB ＋AC ＝522.。

人教新版数学九年级上学期《24.3正多边形和圆》同步练习(有答案)

人教新版数学九年级上学期《24.3正多边形和圆》同步练习一．选择题（共12小题）1．对于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三边形是正三边形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n=2019时，顶点A的坐标为（）A．（4，0）B．（﹣4，0）C．（2，2）D．（﹣2，2）3．如图是一个餐盘，它的外围是由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成，已知正三角形的边长为10，则该餐盘的面积是（）A．50π﹣50B．50π﹣25C．25π+50D．50π4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB为（）A．30°B．40°C．45°D．60°5．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．6．如图，半径为1的⊙O与正六边形ABCDEF相切于点A、D，则弧AD的长为（）A．B．C．D．7．半径为a的正六边形的面积等于（）A．B．C．a2D．8．如图，有一个边长为2cm的正六边形纸片，若在该纸片上剪一个最大圆形，则这个圆形纸片的直径是（）A．cm B．2cm C．2cm D．4cm 9．如图，圆O的内接正六边形的边长是12，则边心距是（）A．6 B．12 C．6D．610．如图，⊙O内切于正方形ABCD，边BC、DC上两点M、N，且MN是⊙O的切线，当△AMN的面积为4时，则⊙O的半径r是（）A．B．C．2 D．11．如图，分别把正六边形边AB、EF、CD向两个方向延长，相交于M、N、Q，则阴影部分与空白部分的面积比为（）A．B．C．D．12．如图，用一张圆形纸片完全覆盖边长为2的正方形ABCD，则该圆形纸片的面积最少为（）A．πB．C．2πD．4π二．填空题（共10小题）13．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，对角线AC，BE相交于点M．若AB=1，则BM的长为．14．如图，在正六边形ABCDEF中，延长AB交EC的延长线于点G，则∠G的度数为．15．如图，ABCDE是正五边形，已知AG=1，则FG+JH+CD=．16．在平面上将边长相等的正方形、正五边形和正六边形按如图所示的位置摆放，则∠1的度数为．17．如图，AB，AC分别为⊙O的内接正六边形，内接正方形的一边，BC是圆内接n边形的一边，则n等于．18．如图，正八边形ABCDEFGH的边长为a，I、J、K、L分别是各自所在边的中点，且四边形IJKL是正方形，则正方形IJKL的边长为（用含a的代数式表示）．19．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若AB=2，则⊙O的半径为．20．如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ 排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△A n B n C n的顶点B n、C n在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=；如图3，正三角形的边长a n=（用含n的代数式表示）．21．如图，正六边形ABCDEF中，P是边ED的中点，连接AP，则=．22．如图，正六边形ABCDEF的顶点B，C分别在正方形AMNP的边AM，MN上，若AB=1，则CN=．三．解答题（共3小题）23．如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，已知⊙O的周长等于6πcm（1）求∠ADB的度数（2）求正六边形ABCDEF的周长和面积．24．正方形ABCD的边长为1，E、F两点分别位于BC、CD上，DF=m，BE=n，∠EAF=45°，△EFC的内切圆的半径为r．（1）证明：EF=m+n；（2）证明：（m+1）（n+1）=2；（3）若m＜n，r=求m、n的值．25．在直角坐标系中，正方形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为（0、4）．（1）将正方形OABC绕点O顺时针旋转30°，得到正方形ODEF，边DE交BC于G．求G点的坐标；（2）如图，⊙O1与正方形ABCO四边都相切，直线MQ切⊙O1于点P，分别交y轴、x轴、线段BC于点M、N、Q．求证：O1N平分∠MO1Q．（3）若H（﹣4、4），T为CA延长线上一动点，过T、H、A三点作⊙O2，AS ⊥AC交O2于F．当T运动时（不包括A点），AT﹣AS是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由．参考答案一．选择题1．B．2．C．3．A．4．A．5．B．6．A．7．B．8．B．9．D．10．C．11．A．12．C．二．填空题13．．14．30°15．+1．16．42°．17．1218．a．19．2．20．，，．21．22．．三．解答题23．解：（1）连接DB，OB，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，∴∠AOB=60°，∴∠ADB=30°；（2）过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，∴AH=AB，∵⊙O的周长等于6πcm，∴⊙O的半径为：3cm，∵∠AOB=×360°=60°，OA=OB，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=3cm，∴AH=cm，∴OH=（cm），∴S正六边形ABCDEF =6S△OAB=6××3×=（cm2）．∴正六边形ABCDEF的周长=18cm．24．（1）证明：延长CB至G，使BG=DF，连接AG．在△AGB和△AFD中，∵AB=AD，∠ABG=∠ADF，BG=DF，∴△AGB≌△AFD，∴AG=AF，∠GAB=∠FAD，又∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=∠BAE+∠GAB=45°，∴∠EAG=∠EAF=45°，在△EAG和△EAF中，∵AE=AE，∠EAG=∠EAF，AG=AF，∴△EAG≌△EAF，∴EG=EF，又∵EG=EB+BG=BE+DF=n+m，∴EF=m+n．（2）在Rt△FEC中，∵EF2=CE2+CF2，∴（m+n）2=（1﹣n）2+（1﹣m）2，展开整理得mn+m+n=1，两边同加上1，左边因式分解得（m+1）（n+1）=2．=（CE+CF+EF）r，（3）∵S△EFC∴当r=时得，（1﹣m）（1﹣n）= [（1﹣m）+（1﹣n）+（m+n）]×，整理得（1﹣m）（1﹣n）=，结合第2问结论：（m+1）（n+1）=2消元得m=，n=；m=，n=．∵m＜n，∴m=，n=．25．解：（1）连接OG，∵∠AOD=∠FOC=30°，由轴对称可得∠DOG=∠COG=30°，又∴OC=4，∵CG=OC•tan∠COG=4×=，∴G（4，）；（2）∵BQ∥AM，∴∠BQM+∠AMQ=180°，根据切线长定理，∠O1QM+∠Q1MQ=180°×=90°，∴∠MO1Q=180°﹣90°=90°，由切线长定理∠NO1Q=45°，∴O1N平分∠MO1Q．（3）AQ﹣AF的值是定值为4，在AT上取点V，使TV=AS，即AT﹣AS=AV，∵AS⊥AC，∴∠THS=∠TAS=90°，∵H（﹣4、4），A（0、4），∴AH⊥AO；又∵∠OAC=45°，∴∠TAH=45°，∵∠THS=∠TAS=90°，∴∠TSH=45°，∴HT=HS；又∠HTV=∠HAS，TV=AS，∴△HTV≌△HSA，∴△HAV为等腰直角三角形，∴AT﹣AS=AV=AH=4．。

九年级数学上册第二十四章圆 24.3 正多边形和圆(拓展提高)同步检测(含解析)(新版)新人教版

24.3 正多边形和圆基础闯关全练拓展训练1.(xx云南曲靖中考)如图,AD、BE、CF是正六边形ABCDEF的对角线,图中平行四边形的个数有( )A.2个B.4个C.6个D.8个2.(xx山东威海中考)如图,正方形ABCD内接于☉O,其边长为4,则☉O的内接正三角形EFG 的边长为.能力提升全练拓展训练1.(xx河北赵县期末)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,M为EF的中点,连接DM,若☉O的半径为2,则MD的长度为( )A. B. C.2 D.12.如图,把正六边形各边按同一方向延长,使延长的线段长与原正六边形的边长相等,顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形,那么AB∶A'B'的值是( )A.1∶2B.1∶C.∶D.1∶3.如图,正六边形ABCDEF的边长为4,两顶点A,B分别在x轴和y轴上运动,则顶点D到原点O的距离的最大值和最小值分别为、.三年模拟全练拓展训练1.(xx湖北武汉江汉月考,15,★★☆)如图,为了拧开一个边长为a的正六边形螺帽,扳手张开b=30 mm时正好把螺帽嵌进,则螺帽的边长a为mm.2.(xx江西模拟,9,★★☆)如图,等边三角形ABC内接于半径为1的☉O,以BC为一边作☉O的内接矩形BCDE,则矩形BCDE的面积为.五年中考全练拓展训练1.(xx四川泸州中考,10,★★☆)以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A. B. C. D.2.(xx浙江台州中考,16,★★☆) 如图,有一个边长不定的正方形ABCD,它的两个相对的顶点A,C分别在边长为1的正六边形一组平行的对边上,另外两个顶点B,D在正六边形内部(包括边界),则正方形边长a的取值范围是.核心素养全练拓展训练1.(xx湖南常德中考)阅读理解:如图①,在平面内选一定点O,引一条有方向的射线Ox,再选定一个单位长度,那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度数θ与OM的长度m确定,有序数对(θ,m)称为M点的“极坐标”,这样建立的坐标系称为“极坐标系”.应用:在图②的极坐标系下,如果正六边形的边长为2,有一边OA在射线Ox上,则正六边形的顶点C的极坐标应记为( )A.(60°,4)B.(45°,4)C.(60°,2)D.(50°,2)2.(xx北京昌平期末)如图,点A,B,C,D,E为☉O的五等分点,动点M从圆心O出发,沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动,设运动的时间为t,∠DME的度数为y,则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是( )24.3 正多边形和圆基础闯关全练拓展训练1.答案 C ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴△OAB和△AOF都是正三角形,∴∠BAO=∠OAF=∠A FO=60°,∴∠BAF+∠AFO=180°,∴AB∥CF.同理,CF∥DE,∴AB∥CF∥DE.同理,AF∥BE∥CD,BC∥AD∥EF.∴四边形ABOF、FAOE、EFOD、CDEO、BCDO、ABCO均为平行四边形.故选C.2.答案2解析连接AC、OE、OF,作OM⊥EF于M,∵四边形ABCD是内接于☉O的正方形,∴AC是☉O的直径,AB=BC=4,∠ABC=90°,∴AC=4,∴OE=OF=2,∵OM⊥EF,∴EM=MF,∵△EFG是内接于☉O的等边三角形,∴∠G=60°,∴∠EOF=120°,∴∠OEM=30°.在Rt△OME中,∵OE=2,∠OEM=30°,∴OM=,EM=,∴EF=2.∴☉O的内接正三角形EFG的边长为2.能力提升全练拓展训练1.答案 A 如图,连接OM、OD、OF,∵正六边形ABCDEF内接于☉O,M为EF的中点,∴OM⊥OD,OM⊥EF,∠MFO=60°,∴∠MOD=∠OMF=90°,在Rt△OMF中,由勾股定理可得OM=,∴MD===.故选A.2.答案 D ∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠A'CB'=60°,设AB=BC=a,又延长的线段长与原正六边形的边长相等,所以A'C=2a,易知∠A'B'C=90°,所以B'C=a,由勾股定理可得A'B'==a,∴AB∶A'B'=a∶a=1∶.故选D.3.答案2+2;2-2解析当O、D、AB中点共线时,OD有最大值和最小值,如图,易知BD=4,BK=2,∠DBA=90°,∴DK===2,∵K为AB中点,∠AOB=90°,∴OK=BK=2,∴OD的最大值为2+2,同理,当O、D、AB中点共线时,将正六边形绕AB中点K旋转180°,此时OD取得最小值,为2-2.三年模拟全练拓展训练1.答案10解析设正多边形ABCDEF的中心是O,∴∠AOB=∠BOC=60°,∴OA=OB=AB=OC=BC,∴四边形ABCO是菱形,∴AC⊥OB,∠BAM=30°,∴AB=2BM,AM=CM=15.在Rt△ABM中,BM2+AM2=AB2,即BM2+152=(2BM)2,解得BM=5(舍负),∴a=AB=2BM=10(mm).2.答案解析如图,连接BD.∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠BDC=∠BAC=60°.∵四边形BCDE是内接于☉O的矩形,∴∠BCD=90°,BD是☉O的直径,∴∠CBD=90°-60°=30°,BD=2,∴CD=1,∴BC==,∴S矩形=BC·CD=×1=.BCDE五年中考全练拓展训练1.答案 D 如图①,连接OB,过O作OD⊥BC于D,则∠OBC=30°,OB=1,∴OD=;如图②,连接OB、OC,过O作OE⊥BC于E,则△OBE是等腰直角三角形,则2OE2=OB2,即OE=R=;如图③,连接OA、OB,过O作OG⊥AB于G,则△OAB是等边三角形,故AG=,∴OG=,故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为、、,又因为+=,=,所以该三角形是直角三角形,所以该三角形的面积为××=,故选D.2.答案≤a≤3-解析如图①,根据题意,AC为正方形对角线,则当A、C分别是正六边形平行的两边中点时,此时AC最短,正方形边长也最短,易求得AC=,∴边长最小为.当正方形四点都在正六边形上时,如图②,则OQ⊥FP,∠FOP=45°,∠FQP=60°,设FP=x,则OP=x,PQ=x,∴OQ=x+x=1,∴x=,此时边长取得最大值,为3-.∴正方形边长a的取值范围是≤a≤3-.图①图②核心素养全练拓展训练1.答案 A 如图,设正六边形的中心为D,连接AD,∵∠ADO=360°÷6=60°,OD=AD,∴△AOD是等边三角形,∴OD=OA=2,∠AOD=60°,∴OC=2OD=2×2=4,∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°,4).故选A.2.答案 B 当点M与点O重合时,∠DME为圆心角,∠DME==72°;当点M在OA上运动时,∠DME为圆内角,且逐渐变小;当点M在劣弧上运动时,∠DME为圆周角,始终不变,∠DME=∠DOE=36°;当点M在OC上运动时,∠DME为圆内角,且逐渐变大.根据上述描述,可知函数图象为选项B中图象,故选B.。

人教九年级数学上册同步训练及答案24-3 正多边形和圆

24.3正多边形和圆知能演练提升一、能力提升1.如图,在☉O中,OA=AB,OC⊥AB,则下列结论错误的是()A.弦AB的长等于圆内接正六边形的边长B.弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长C.AC⏜=BC⏜D.∠BAC=30°2.一元硬币的直径约为24 mm,则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过()A.12 mmB.12√3 mmC.6 mmD.6√3 mm3.以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是()A.√38B.√34C.√24D.√284.如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM=.5.如图,两个正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16 cm2,则该半圆的半径为 cm.6.若一个圆内接正方形的面积为36 cm2,则该圆外切正方形的面积等于cm2.7.请你用等分圆周的方法画出下面的图案.二、创新应用★8.小明发现相机快门打开过程中,光圈大小变化如图①所示,于是他绘制了如图②所示的图形.图②中六个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接正六边形和一个小正六cm2,则该圆的半径边形,若PQ所在的直线经过点M,PB=5 cm,小正六边形的面积为49√32为多少?图①图②知能演练·提升一、能力提升 1.D 2.A3.D 分别求得三角形的三边长为12,√22,√32,满足(12)2+(√22)2=(√32)2,故该三角形是直角三角形,其面积为12×12×√22=√28.4.48° 连接OA ,∵五边形ABCDE 是正五边形,∴∠AOB=360°÷5=72°.∵△AMN 是正三角形,∴∠AOM=360°÷3=120°. ∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.5.4√56.72 如图,AB=6 cm,AO=3√2 cm,PD=2PA=2AO=6√2 cm,所以圆外切正方形的面积为72 cm 2.7.解先把圆周六等分,连接各等分点以及各等分点和圆心,然后在各个小三角形内作内角平分线,最后涂色即可得到此图案. 二、创新应用8.解设两个正六边形的中心为O ,如图,连接OP ,OB ,过点O 作OG ⊥PM ,OH ⊥AB ,MN 交圆内接正六边形于点N.由题意得∠MNP=∠NMP=∠MPN=60°.∵小正六边形的面积为49√32 cm 2,∴小正六边形的边长为7√33cm,即PM=7√3 cm .∴S △MPN =12×7√3×7√3×√32=147√34(cm 2).∵OG ⊥PM ,且O 为正六边形的中心,∴PG=12PM=7√32(cm).在Rt △OPG 中,根据勾股定理得OP=√(72)2+(7√32)2=7(cm).设OB=x cm,∵OH ⊥AB ,且O 为正六边形的中心,∴BH=12x ,OH=√32x ,∴PH=(5-12x)cm.在Rt△PHO中,OP2=(√32x)2+(5-12x)2=49,解得x=8(负值舍去).∴该圆的半径为8 cm.。

度第一学期人教版九年级数学上册_24.3_正多边形和圆_同步检测

度第一学期人教版九年级数学上册_2424.3 正多边形和圆同步检测考试总分： 100 分考试时间： 90分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕1.假定正多边形面积是100，周长是40，那么它的边心距是〔〕A.5B.2.5C.10D.202.正六边形的边长等于2，那么这个正六边形的面积等于〔〕A.4√3B.6√3C.7√3D.8√33.用48m长的篱笆在空地上围成一个正六边形的绿化场地，那么这个场地的面积为〔〕A.16√3m2B.32√3m2C.√3m2D.96√3m24.如图，圆中有四条弦，每一条弦都将圆联系成面积比为1:3的两个局部，假定这些弦的交点恰是一个正方形的顶点，那么这个正方形的外接圆的面积与图中阴影局部面积的比值为〔〕A.√2πB.2−πC.πD.2π5.如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，对角线AC、BD相交于点P，以下结论：①∠BAC=36∘；②PB=PC；③四边形APDE是菱形；④AP=2BP．其中正确的结论是〔〕A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④6.如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE的边AB、AE相切于点M、N，那么劣弧MN的长度为〔〕A.1 5πB.25π C.√35π D.13π7.如图，在正五边形ABCDE中，衔接AC、AD、CE，CE交AD于点F，衔接BF，以下说法不正确的选项是〔〕A.△CDF的周长等于AD+CDB.FC平分∠BFDC.AC2+BF2=4CD2D.DE2=EF⋅CE8.以下说法中，正确的个数为〔〕(1)经过三个点一定可以作圆；(2)恣意一个三角形一定有一个外接圆，并且只要一个外接圆；(3)在同圆或等圆中，相等的弦那么所对的弧相等；(4)正多边形既是中心对称图形又是轴对称图形；(5)三角形的内心到三角形各边的距离相等；(6)三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等．A.2B.4C.3D.59.如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，假定半圆的半径为5cm，那么小正方形的边长为〔〕A.2cmB.2.5cmC.√5cmD.5√33cm10.先作半径为√22的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，那么按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为〔〕A.(√22)6B.(√22)7C.(√2)6D.(√2)7 二、填空题〔共 10 小题，每题 3 分，共 30 分〕11.假设一个正六边形的边心距的长度为√3cm ，那么它的半径的长度为________cm ．12.正六边形的边长为2，那么它的半径为________，中心角为________，面积为________．13.一个正六边形的内切圆半径是√3，那么这个正六边形的周长是________．14.半径为4的正六边形的中心角为________，边心距为________，面积为________．15.如图，⊙O 的外切正六边形与内接正六边形的边长之比是________． 16.假定一边长为40cm 的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，那么铁圈直径的最小值为________cm ．〔铁丝粗细疏忽不计〕 17.如图，把正△ABC 的外接圆对折，使点A 落在弧BC 的中点F 上，假定BC =5，��折痕在△ABC 内的局部DE 长为________．18.假定正n 边形的一个内角等于它的中心角的1.5倍，那么n =________．19.正六边形的两条对边相距20cm ，那么它的边长是________．20.假定同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距区分为r 3、r 4、r 6，那么r 3:r 4:r 6=________．三、解答题〔共 5 小题，每题 8 分，共 40 分〕21.如下图，图形(1)，(2)，(3)，(4)区分由两个相反的正三角形，正方形，正五边形，正六边形组成．此题中我们探求各图形顶点，边数，区域三者之间的关系．〔例我们规则如图(2)的顶点数为16；边数为24，像A 1A ，AH 为边，AH 不能再算边，边与边不能堆叠；区域数为9，它们由八个小三角形区域和中间区域ABCDEFGH 组成，它们相互独立．〕(1)每个图形中各有多少个顶点？多少条边？多少个区域？请将结果填入表格中．①假定P 是圆内接正三角形ABC 的外接圆的BC^上一点，那么PB +PC =PA ；②假定P是圆内接正四边形ABCD的外接圆的BC^上一点，那么PB+PD=√2PA；③假定P是圆内接正五边形ABCDE的外接圆的BC^上一点，请问PB+PE与PA有怎样的数量关系，写出结论，并加以证明；④假定P是圆内接正n边形A1A2A3...A n的外接圆的A2A3^上一点，请问PA2+ PA n与PA1又有怎样的数量关系，写出结论，不要求证明．23.正方形ABCD内接于⊙O，E、F区分为DA、DC的中点，过E、F作弦MN，假定⊙O的半径为12．(1)求弦MN的长；(2)连结OM、ON，求圆心角∠MON的度数．24.如图，O是正六边形ABCDEF的中心，衔接BD、DF、FB，(1)设△BDF的面积为S1，正六边形ABCDEF的面积为S2，那么S1与S2的数量关系是________；(2)△ABF经过旋转可与△CBD重合，请指出旋转中心和最小旋转角的度数．25.如图③，点E，D区分是正三角形ABC，正四边形ABCM，正五边形ABCMN 中以点C为顶点的一边延伸线和另一边反向延伸线上的点，且△ABE与△BCD能相互重合，DB的延伸线交AE于点F．(1)在图①中，求∠AFB的度数；(2)在图②中，∠AFB的度数为________，图③中，∠AFB的度数为________；(3)继续探求，可将此题推行到普通的正n边形状况，用含n的式子表示∠AFB的度数．答案1.A2.B3.D4.C5.B6.B7.B8.B9.C10.A11.212.260∘6√313.1214.60∘2√324√315.2√3:316.20√317.10318.519.20√33cm20.1:√2:√321.解：22.解：③PB+PE与PA满足的数量关系是：PB+PE=2PA⋅cos36∘；理由如下：作AM⊥PB于M，AN⊥PE于N，∵∠APM=∠APN∴Rt△AMP≅Rt△ANP，∴AM=AN，PM=PN；∵AB=AE，∴Rt△AMB≅Rt△ANE，∴MB=NE，∴PB+PE=(PM−MB)+(PN+NE)=2PN；∵∠APE=12∠AOE，且ABCDE为正五边形，∴∠AOE=360∘5=72∘，∴∠APE=36∘；在Rt△ANP中，PNPA=cos∠APN，∴PN=PA⋅cos36∘，∴PB+PE=2PA⋅cos36∘．④假定P是圆内接正n边形A1A2A3...A n的外接圆的A2A3^上一点时，PA2+PA n与PA1满足的数量关系是：PA2+PA n=2PA1cos(180n)0．23.解：(1)衔接OE，OF，OD，OM，ON，∵E、F区分为DA、DC的中点，∴OE⊥AD，OF⊥CD，∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC =90∘，AD =CD ，∴四边形OEDF 是矩形，OE =OF ，∴四边形OEDF 是正方形，∴OG =12OD =12×12=6，OD ⊥MN ，∴MG =√OA 2−OG 2=6√3，∴MN =2MG =12√3；(2)∵在Rt △MOG 中，OM =2OG ，∴∠M =30∘，∵OM =ON ，∴∠N =∠M =30∘，∴∠MON =120∘．24.解：(1)S 2=2S 1，如右图所示，衔接OD 、OF 、OB ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴△BDF 是正三角形，∴△ABF 、△BDC 、△DEF 、△DOF 、△BOF 、△BOD 都是全等的， ∴S 2=2S 1；(2)旋转中心是O ，最小旋转角是120∘，由于正n 边形关于对称中心O 旋转360∘n 与自身重合，而经过观察可知△ABF 必需逆时针旋转才可以与△CBD 重合，故旋转的角度=360∘3=120∘． 25.90∘，108∘；90∘108∘(3)由(1)(2)可知，在正n 边形中，∠AFB =(n−2)⋅180∘n ．。

九年级数学上册第二十四章圆24.3正多边形和圆同步检测含解析

24.3 正多边形和圆测试时间:30分钟一、选择题1.(2018北京西城期中)已知正六边形的边长为3,则这个正六边形的半径是( )A. B.2 C.3 D.32.边心距为2的等边三角形的边长是( )A.4B.4C.2D.23.(2017天津和平期末)正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3二、填空题4.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,则∠ABD=.5.(2018吉林白城大安期末)如图,正三角形的边长为12 cm,剪去三个角后成为一个正六边形,则这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为cm.三、解答题6.(2016甘肃兰州中考)如图,已知☉O,用尺规作☉O的内接正四边形ABCD(写出结论,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔描黑).7.如图,正方形ABCD的外接圆为☉O,点P在劣弧上(不与C点重合).(1)求∠BPC的度数;(2)若☉O的半径为8,求正方形ABCD的边长.8.如图,已知正五边形ABCDE中,BF与CM相交于点P,CF=DM.(1)求证:△BCF≌△CDM;(2)求∠BPM的度数.24.3 正多边形和圆一、选择题1.答案 C 如图,AB为☉O内接正六边形的一边,则∠AOB==60°.∵OA=OB,∴△OAB为等边三角形,∴AO=AB=3.故选C.2.答案 B 如图所示,∵△ABC是等边三角形,边心距OD=2,∴∠OBD=30°,∴OB=4,在Rt△OBD中,由勾股定理可得BD=2.∵OD为边心距,∴BC=2BD=4.故选B.3.答案 A 如图,△ABC是等边三角形,AD是高,点O是其外接圆的圆心,由等边三角形三线合一的性质得点O在AD上,并且点O还是它的内切圆的圆心.∵AD⊥BC,∠1=∠2=30°,∴BO=2OD,又OA=OB,∴AD=3OD,∴AD∶OA∶OD=3∶2∶1,故选A.二、填空题4.答案72°解析∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠ABC=∠C==108°,∵CD=CB,∴∠CBD==36°,∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=72°.5.答案12解析设O为正三角形ABC的中心,作ON⊥BC于N,连接OH.∵六边形DFHKGE是正六边形,正三角形ABC的边长为12 cm,∴AD=DE=DF=BF=4 cm,∴OH=4 cm.由勾股定理得ON==2cm,则正六边形DFHKGE的面积=×4×2×6=24(cm2).设这个正六边形的内部任意一点到各边的距离和为h cm,则×4×h=24,解得h=12.三、解答题6.解析如图:(过圆心O作直径DB,作直径BD的垂直平分线,交☉O于A、C两点,连接AB、BC、CD、DA,四边形ABCD即为所作的正四边形)7.解析(1)如图,连接OB,OC.∵四边形ABCD为正方形,∴∠BOC=90°,∴∠BPC=∠BOC=45°.(2)如图,过点O作OE⊥BC于点E,∵OB=OC,∠BOC=90°,∴∠OBE=45°,∵OE⊥BC,∴OE=BE,∵OE2+BE2=OB2,∴BE===4,∴BC=2BE=2×4=8,即正方形ABCD的边长为8.8.解析(1)证明:∵五边形ABCDE是正五边形,∴BC=CD,∠BCF=∠CDM,在△BCF和△CDM中,∴△BCF≌△CDM.(2)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠BCF==108°,∴∠CBF+∠CFB=180°-∠BCF=72°,∵△BCF≌△CDM,∴∠MCD=∠CBF,∴∠MCD+∠CFB=72°,∴∠BPM=∠CPF=180°-(∠MCD+∠CFB)=108°.。

湘教版九年级下册2.7 正多边形与圆同步测试(含答案)

2.7正多边形与圆基础题知识点1认识正多边形1．正八边形的每个内角为( )A．120°B．135°C．140°D．144°2．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是( )A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有( )①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．A．3个B．4个C．5个D．6个知识点2正多边形的有关作图4．用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆____________等分，再将____________平分，最后依次连接各分点即可得正八边形．5．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：(1)如图，作直径AD；(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形．请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．知识点3正多边形与圆的有关计算6．(西宁中考)一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )A．12 mm B．12 3 mm C．6 mm D．6 3 mm7．(青岛中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝( )A．30°B．35°C．45°D．60°8．若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积．(结果保留根号)中档题9．同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.62 B.34 C.63 D.4310．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )A．2a2B．3a2C．4a2D．5a211．(株洲中考)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为____________．12．在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝____________. 13．如图，已知⊙O的两直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E.求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．14．如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.(1)求证：△BCF≌△CDM；(2)求∠BPM的度数．综合题15．如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n 边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.(1)求图1中∠MON的度数；(2)图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)参考答案1．B 2.B 3.C 4.四直角5．图略．两位同学的方法正确．连BO ，CO ，设BC 交AD 于点E.∵BC 垂直平分OD ，∴在Rt △OEB 中，cos ∠BOE ＝OE OB ＝12. ∴∠BOE ＝60°.由垂径定理得∠COE ＝∠BOE ＝60°.∵AD 为直径，∴∠AOB ＝∠AOC ＝120°.∴AB ＝BC ＝CA ，即△ABC 为等边三角形．6．A 7.A8．如图，过点O 作OD ⊥AB ，垂足为点D.∵∠AOB ＝360°÷6＝60°，OA ＝OB ，∴△AOB 为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形． ∵正六边形的周长为24，∴AB ＝4.∵OD ⊥AB ，∴∠AOD ＝30°，AD ＝2.在Rt △AOD 中，根据勾股定理得OD ＝2 3.∴S △AOB ＝12×4×23＝4 3. ∴S 正六边形＝6×43＝24 3.9．A 10.A 11.π 12.30°或90°13．证明：连接OM.∵MN ⊥OB ，OE ＝12OB ＝12OM ， ∴∠EMO ＝30°.∴∠MOB ＝60°.∴∠MOC ＝30°，∠MOB ＝360°6＝60°，∠MOC ＝360°12＝30°. ∴MB 与MC 分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长．14．(1)证明：∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC ＝CD ，∠BCF ＝∠CDM.在△BCF 和△CDM 中，⎩⎨⎧BC ＝CD ，∠BCF ＝∠CDM ，CF ＝DM ，∴△BCF ≌△CDM(SAS)．(2)∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠BCF ＝180°×（5－2）5＝108°. ∴∠CBF ＋∠CFB ＝180°－∠BCF ＝72°.∵△BCF ≌△CDM ，∴∠MCD ＝∠CBF.∴∠MCD ＋∠CFB ＝72°.∴∠BPM ＝∠CPF ＝180°－(∠MCD ＋∠CFB)＝108°.15．(1)连接OB ，OC.∵正△ABC 内接于⊙O ，∴∠OBM ＝∠OBN ＝∠OCN ＝30°.∴∠BOC ＝120°.而BM ＝CN ，OB ＝OC ，∴△OBM ≌△OCN(SAS)．∴∠BOM ＝∠CON.∴∠MON ＝∠BOC ＝120°.(2)90° 72°(3)∠MON ＝360°n .。

冀教版九年级数学下册同步练习：正多边形与圆

冀教版九年级数学下册同步练习：正多边形与圆1．关于以下说法：①各角相等的多边形是正多边形；②各边相等的三角形是正三角形；③各角相等的圆内接多边形是正多边形；④各顶点等格外接圆的多边形是正多边形．你以为正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个2．教材〝大家谈谈〞第2题变式假设一个正多边形的中心角为72°，那么这个多边形的边数是( )A．4 B．5 C．6 D．73．假设一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形( )A．是轴对称图形，但不是中心对称图形B．是中心对称图形，但不是轴对称图形C．既是轴对称图形，又是中心对称图形D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形4．边长为a的正六边形的边心距为( )A．2a B．a C.32a D.12a5．2021·邯郸一模如图29－5－1中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O.那么这个正三角形和正六边形边长的比为( )图29－5－1A.6∶2B.3∶2C.3∶1 D．2∶16．从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个面积最大的正方形，那么此正方形的边长为_________．7．2021·陕西如图29－5－2，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，那么∠AFE 的度数为________．图29－5－28．应用等分圆可以作正多边形，以下只应用直尺和圆规不能作出的多边形是( )A．正三角形B．正方形C．正六边形D．正七边形9．用尺规作图(不要求写作法和证明，但要保管作图痕迹)．(1)如图29－5－3，正五边形ABCDE，求作它的中心O.图29－5－3(2)如图29－5－4，⊙O，求作⊙O的内接正八边形．图29－5－410．在学完本节课后，高静同窗设计了一个画圆内接正三角形的方法：(1)如图29－5－5，作⊙O的直径AD；(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；(3)衔接AB，AC，那么△ABC即为所求作的三角形．请你判别高静同窗的作法能否正确，假设正确，请给出△ABC是等边三角形的证明进程；假设不正确，请说明理由．图29－5－511．在一个圆内接正十边形的基础上，可以很快作出正n边形，那么n可以是( )A．5 B．8 C．12 D．1512．正多边形的中心角与该正多边形的一个内角的关系是( )A．互余B．互补C．互余或互补D．不能确定13．如图29－5－6，要拧开一个边长为a＝6 cm的正六边形螺帽，扳手张开的启齿b 至少为( )A．6 2 cm B．12 cm C．6 3 cm D．4 3 cm图29－5－614．教材习题A组第2题变式如图29－5－7，正六边形DEFGHI的顶点区分在等边三角形ABC各边上，那么S阴影∶S△ABC等于( )A．1∶2 B．1∶3 C．2∶3 D．3∶2图29－5－715．2021·株洲如图29－5－8，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，那么∠BOM＝________．图29－5－816．如图29－5－9，MN是⊙O的直径，假定∠A＝10°，∠PMQ＝40°，以PM为边作⊙O的内接正多边形，那么这个正多边形是正________边形．图29－5－917．如图29－5－10，正六边形ABCDEF内接于⊙O，假定⊙O的内接正三角形ACE的面积为48 3，试求正六边形的周长．图29－5－1018．图29－5－11区分是⊙O的内接正三角形ABC、正四边形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCD…，点M，N区分从点B，C末尾以相反的速度在⊙O上逆时针运动，AM与BN交于点P.图29－5－11(1)求图①中∠APN的度数；(2)图②中，∠APN的度数是________，图③中∠APN的度数是________；(3)试探求∠APN的度数与正多边形的边数n的关系(直接写出答案)．【详解详析】1．B [解析] ②④两种说法正确，其他两种说法错误．判定正多边形的两个条件：各边相等，各角相等，缺一不可．只具有其一时，要保证另外一个能推出来．2．B3．C [解析] ∵一个正多边形绕着它的中心旋转45°后，能与原正多边形重合， 180°÷45°＝4，∴这个正多边形绕它的中心旋转180°后能与原正多边形重合，∴这个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．4．C [解析] 如图，设正六边形的中心为O ，衔接OA ，OB ，过点O 作OC ⊥AB 于点C ，那么OA ＝OB ，∠AOB ＝60°，∴△AOB 为等边三角形，∴OA ＝a ，AC ＝12AB ＝12a ， ∴OC ＝OA 2－AC 2＝32a ，∴正六边形的边心距为32a .应选C . 5．C [解析] 设⊙O 的半径为R ，如图，衔接OA ，OB ，那么OB ⊥AC 于点G .∵OA ＝R ，∠OAG ＝30°，∠AOB ＝60°，∴△AOB 是等边三角形，AG ＝OA ·cos 30＝32R ，∴AB ＝R ，AC ＝2AG ＝3R ；∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为3R ∶R ＝3∶1.6．10 2 cm [解析] 如图，由题意知∠BOC ＝90°，BC ＝OB 2＋OC 2＝102＋102＝ 10 2(cm )．7．72° [解析] ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠EAB ＝∠ABC ＝〔5－2〕×180°5＝108°. ∵BA ＝BC ，∴∠BAC ＝∠BCA ＝36°.同理∠ABE ＝36°，∴∠AFE ＝∠ABF ＋∠BAF ＝36°＋36°＝72°.8．D [解析] 直接应用圆的半径即可将圆等分为6份，这样既可得出正三角形，也可以得出正六边形．作两条相互垂直的直径即可将圆四等分，可得出正方形，但是无法应用圆规与直尺七等分圆，故无法失掉正七边形．应选D .9．解：(1)如图①，点O 即为所求．(2)如图②，八边形ABCDEFGH 即为所求．10．解：高静同窗的作法正确．证明：如图，衔接BO ，CO ，设BC 与AD 交于点E .∵BC 垂直平分OD ，∴在Rt △OEB 中，cos ∠BOE ＝OE OB ＝12， ∴∠BOE ＝60°.由垂径定理得∠COE ＝∠BOE ＝60°.∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°，∴AB ＝BC ＝CA ，即△ABC 为等边三角形．11．A [解析] 10÷2＝5，依次衔接正十边形的第1，3，5，7，9个分点，可得正五边形．边数为偶数的正多边形，每隔一个顶点依次衔接，可得一个新的正多边形，其边数是原正多边形边数的一半．12．B [解析] 设正多边形的边数为n ，那么正多边形的中心角为360°n，正多边形的一个外角等于360°n，所以正多边形的中心角等于正多边形的一个外角，而正多边形的一个外角与该正多边形相邻的一个内角互补，所以正多边形的中心角与该正多边形的一个内角互补．应选B .13．C [解析] 设正六边形ABCDEF 的中心是O ，如下图．易得∠AOB ＝∠BOC ＝60°，∴OA ＝OB ＝AB ＝OC ＝BC ，∴四边形ABCO 是菱形．衔接AC ，那么AC ⊥OB 于点M .∵AB ＝6 cm ，∠AOB ＝60°，∴cos ∠BAC ＝AM AB，∴AM ＝AB ·cos ∠BAC ＝6×32＝3 3(cm )， ∴AC ＝2AM ＝6 3(cm )．应选C .14．C [解析] ∵六边形DEFGHI 是正六边形，∴∠EDI ＝120°，∴∠ADI ＝60°， ∴△ADI 是等边三角形，∴AD ＝DE ，同理BE ＝DE ，∴AD ＝DE ＝BE ，∴AD ∶AB ＝1∶3，∴S △ADI ＝19S △ABC ，同理S △BEF ＝19S △ABC ，S △CGH ＝ 19S △ABC ， ∴S 阴影∶S △ABC ＝2∶3.应选C .15．48° [解析] 衔接OA .∵五边形ABCDE 是正五边形，∴∠AOB ＝360°5＝72°. ∵△AMN 是正三角形，∴∠AOM ＝360°3＝120°， ∴∠BOM ＝∠AOM －∠AOB ＝48°.16．六 [解析] 如图，衔接QO ，PO .∵QO ＝PO ，∴∠OPQ ＝∠OQP .∵∠PMQ ＝40°，∴∠POQ ＝80°，∴∠OPQ ＋∠OQP ＝180°－80°＝100°，∴∠OPQ ＝∠OQP ＝50°，∴∠A ＋∠APO ＝∠POM ＝10°＋50°＝60°.∵360°60°＝6，∴以PM 为边作⊙O 的内接正多边形，那么这个正多边形是正六边形．17．解：衔接OA ，作OH ⊥AC 于点H ，那么∠OAH ＝30°.在Rt △OAH 中，设OA ＝R ，那么OH ＝12R ，由勾股定理可得AH ＝OA 2－OH 2＝ R 2－〔12R 〕2＝123R .而△ACE 的面积是△OAH 面积的6倍，即6×12×12 3R ×12R ＝48 3，解得R ＝8，即正六边形的边长为8，所以正六边形的周长为48.18．解： (1)∵BM ︵＝CN ︵， ∴∠BAM ＝∠CBN .∵∠APN 为△ABP 的外角，∴∠APN ＝∠ABP ＋∠BAM ＝∠ABP ＋∠CBN ＝∠ABC ＝60°.(2)90° 108°(3)∠APN ＝〔n －2〕×180°n .。