数列最值问题及单调性 副本

数列的最值问题及单调数列问题
求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2
，通过配方或借助图象求二
次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法①0,01<>d a 时，满足⎩⎨
⎧≤≥+0
1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；
②当0,01><d a 时，满足⎩⎨
⎧≥≤+00
1
n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .
例1、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；
【变式训练】.等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值
是( )
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值. 3. 【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列，若9
8
1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于 ．
4.（2009安徽卷理）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}
n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是：
（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1806、（2010福建理数3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
5.【2016届重庆一中高三上期半期考试数学试题卷(理科)】已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为 ．
6.【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.
7.在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取得最大
值，则d 的取值范围为 ．
例2、已知一个正项等差数列前20项的和为100，那么147a a 最大值为 （ ）
A ．25
B ．50
C ．100
D ．不存在
【变式训练】在等差数列}{n a 中0>n a ，且122060a a a +++=L ，则1110a a 的最大值等于
2.已知正项等比数列{}n a 满足:7652a a a =+,若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =,则
14
m n
+的最小值为 _____________________ 例3（2010天津文15）设{}n a 是等比数列，公比2q =
n S 为{}n a 的前n 项和. 记
21
17n n n n S S T a +-=
，*
.n N ∈设m T 为数列{}n T 的最大项，则m =
【变式训练】、（2010辽宁理数16）已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则n
a n
的最小值为__________
2、己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313a a a ，，成等比数列，若11a =，n S 是数列{}n a 前n 项的和，则
216
3
n n S a ++的最小值为
A ．4
B ． 3
C ．232-
D ．
92
3.【河南省实验中学2015届高三上学期期中考试，理15】设x 、1a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b 、y 成等比数列，则
2
12
21)(b b a a +的取值范围是 ． 4.（2008四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为_______
例4、等差数列}{n a 中，22008a =，2008200416a a =-，则其前n 项和n S 取最大值时n 等于（ ） A ．503
B ．504
C ．503或504
D ．504或505
【变式训练】【2015-2016学年江西省赣州市十二县高三上学期期中联考】设n S 是等差数列
{}n a 的前n 项和，若08
<a ，89a a >，则使0>n S 成立的最小正整数n 为 ．
A ．15
B ．16
C ．17
D ．18
2.已知*)(101
23
N n n a n ∈-=
，数列}{n a 的前项和为n S ，则使0>n S 的n 最小值
是 ．
3.【南昌二中2014—2015学年度上学期第四次考试高三数学（理）试卷】若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________．
4.在正项等比数列{}n a 中，51
2
a =
，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅L L L L 的最大正整数n 的值为________．
5、(2011陕西理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

6、若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的积，则称该数列为“m 积数列”．若正
项等比数列{}n a 是一个“2012积数列”，且11a >，则其前n 项的积最大时，
n = ________. 7【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1
{
}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000
n T -<成立的n 的最小值. 8、已知数列{}n a 为等差数列，若
5
6
1a a <-，则数列{}n a 的最小项是第________项． 9、(2012四川理科20) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立。

（Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ，当n 为何
值时，n T 最大？并求出n T 的最大值。

10、某火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……第()501n -至第50n 的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推。

问：
（1）离火山口1275米处火山灰为每平方米多少千克？（精确到1千克）？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？（参考数据：24
0.98
0.61578=，250.980.60347=，
260.980.59140=）
2 数列与函数、不等式的结合中的最值问题
(1)求数列}{n a 的前n 项和n S 的最值，主要是两种思路：①研究数列)(n f a n =的项的情况，判断n S 的最值；②直接研究n S 的通项公式，即利用类型2的思路求n S 的最值. (2) 求数列}{n a 的最值，主要有两种方法：①从函数角度考虑，利用函数)(x f y =的性质，求数列)(n f a n =的最值；②利用数列离散的特点，考察⎩⎨⎧≥≥-+11k k k k a a a a 或⎩⎨⎧≤≤-+1
1
k k k k a a a a ，然
后判断数列}{n a 的最值情况.
(3)对数列不等式恒成立问题，主要有两种方法：①通过参变分离法转化为数列的最值问题求解；②通过分类讨论，解决恒成立. 例1数列{}n a 中，112a =
，111n n n
a a a ++=-（其中*n ∈N ），则使得12372n a a a a ++++≥L 成立的n 的最小值为 ．
【变式训练】.设各项均为正数的数列
{}
n a 的前n 项和为n S ,满足
21441,,n n S a n n N *
+=--∈且11a =．
（1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2） 证明：对一切正整数n ,有
122311111
2
n n a a a a a a ++++<L ． 2.【2016届山东枣庄八中高三12月月考数学】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
()244,n S n n n N *=-+∈
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{}n b 中，令1,1
5,22
n n n b a n =⎧⎪
=⎨+≥⎪⎩， n T =22221231111n b b b b +++⋅⋅⋅+，求证：2n T <．
2.【江西六校数学，理16】若正数项数列{}n a 的前n 项和为n S ,首项11a =,),(
1
s
s n n
P +点
在曲线2
(1)y x =+上.
(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设1
1
n n n b a a +=
⋅,n T 表示数列{}n b 的前项和,若n T a ≥恒成立,求n T 及实数a 的取值范围.
3.【2016届福建省仙游一中高三上学期期中考试】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知
12a =，28a =，
1145n n n S S S +-+=（2n ≥），n T 是数列{}2log n a 的前n 项和．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求满足231111009(1)(1)(1)2016
n T T T ---≥…的最大正整数n 的值．
4.【2015届浙江省新高考单科综合调研卷文科数学试卷一】（本题满分15分）
数列}{n a 首项11=a ，前n 项和n S 与n a 之间满足)2(1
222
≥-=n S S a n n
n ．
（Ⅰ）求证：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n S 1是等差数列； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；
（Ⅲ）设存在正数k ，使12)1()1)(1(21+≥+++n k S S S n Λ对+∈∀N n 都成立，求k 的最大值．
5.在数列{}n a 中，11,2a n =≥当时，其前n 项和n S 满足：)12(22
-=n n n S a S . （Ⅰ）求证：数列}1
{
n
S 是等差数列，并用n 表示n S ；
（Ⅱ）令21
n n S b n =
+，数列{}n b 的前n 项和为.n T 求使得)3()12(22
+≤+n m n T n 对所有n N *∈都成立的实数m 的取值范围．
6.已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为()62'f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上. （1）求数列{}n a 的通项公式;
（2）设1
3+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *
∈都成立的
最小正整数m .。