数列最值问题及单调性副本

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高中数学——数列中的最值问题（相对于其他...

高中数学——数列中的最值问题（相对于其他考点算比较的难考点）

1.例题比较经典，基本都是常考题型，个别题目难度稍微大一些，基础中等偏上的同学们需要掌握

2.一般求最值需要判断数列单调性，做差或者做商，或者变成函数求导来判断，但是要注意数列是离散型的，只能取正整数。

3.趁着寒假，多花一点时间去复习自己薄弱的缓解，今年年后开学早，可以适度放松，但要有自己的学习计划，老想着玩注定与名校无缘[玫瑰][玫瑰][玫瑰]

函数的单调性 - 副本

《函数的单调性》

一、教材分析

本节课——《函数的单调性》是高中数学人教A版必修1第1章第9节第1课时的内容。本节课研究函数的单调性的意义以及根据定义或函数的图形来判断一个函数的单调性。函数是描述客观世界变化规律的数学模型，是高中数学中非常重要的内容之一，而单调性是我们系统对函数的第一个重要性质的研究。在研究函数单调性时所用的基本方法为今后的学习奠定了基础，也是学生形成知识链的重要环节。

二、教学目标

基于以上我对教材的理解，以及新课程标准的要求，我制定以下三维目标：

知识与技能目标：了解函数的单调性并能熟练地判断、证明出某一个简单的函数的单调性。

过程与方法目标：经历直观感知、通过自主探究与小组合作学习的研究过程，结合数形结合的思想来掌握判断以及证明函数单调性的一般方法。

情感态度与价值观：体会运动与变化的关系，提高学习兴趣，形成积极主动、勇于探索的学习方式；培养抽象概括、推理论证的能力，逐步地发展独立获取数学知识的能力。

三、重难点

根据新课程标准要求，结合学生的实际学习情况，我认为本节的

教学重点为：理解函数的单调性，会判断、证明函数的单调性；

难点为：正确理解函数的单调性的意义；

关键点是向学生渗透数形结合的思想，深化对函数单调性的理解。

四、教法学法分析

高中生的数学理解能力、分析能力都已比较成熟，而自控能力较差、学习的兴趣普遍不是很高。因此在教法学法上，我将采用问题式教学方法、自主探究法以及小组讨论法，从而激发学生的数学学习兴趣，充分调动学生的学习积极性。坚持了以教师为主导、学生为主体的教学原则，使学生养成独立思考、合作学习、积极探索的习惯。

高中数学求数列最值的12种题型(含答案)

求数列最值的12种题型

题型一：递推问题

1、已知数列{a n }中,a 1>0,且a n +1=

3+a n

.(1)试求a 1的值,使得数列{a n }是一个常数数列；

(2)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(3)若a 1=4,设b n =|a n +1-a n |(n =1,2,3…),并以S n 表示数列{b n }的

前n 项和,试证明：S n <5

解：（Ⅰ）欲使数列{a n }是一个常数数列,则a n +1=3+a n

=a n ,

又依a 1>0,可以得a n >0并解出：a n =32.a n =-1(舍)即a 1=

（Ⅱ）研究a n +1-a n =3+a n 2-3+a n-1

2=a n -a n-1

2(3+a n 2+3+a n-12

)(n ≥2)

注意到：2(

3+a n 2+3+a n-1

)>0因此,a n +1-a n ,a n -a n -1,…,a 2-a 1有相同的符号.要使a n +1>a n 对任意自然数都成立,只须a 2-a 1>0即

可.由3+a 12-a 1>0,解得：0<a 1<3

（Ⅲ）用与（Ⅱ）中相同的方法,可得

当a 1>3

时,a n +1<a n 对任何自然数n 都成立.

因此当a 1=4时,a n +1-a n <0

∴S n =b 1+b 2+…+b n .=|a 2-a 1|+|a 3-a 2|+…+|a n +1-a n |=a 1-a 2+a 2-a 3+…+a n -a n +1=a 1-a n +1=4-a n +1

数列的最值问题

课题：数列中的最值问题

执教：宋荷娟

班级：高三（1）班

教学目标：

1.理解函数单调性与数列单调性的关系，掌握用单调性求数列最值的方法．

2.在解决问题的过程中，体会运用函数性质研究数列性质、求数列最值的方法要领．

3.在交流的过程中，分享多角度解决问题的成功经验，提高综合分析、解决问题的能力，提升数学素养．

教学重点：利用研究函数最值的方法解决数列中的最值问题．

教学难点：利用单调性解决数列中的最值问题．

教学过程：

一．实例引入

数列作为离散函数的典型代表之一，不仅在高中数学中具有重要位置，而且，在现实生活中有着非常广泛的作用．

问题1：在一次人才招聘会上，A 、B 两家公司分别开出它们的工资标准：A 公司允诺第一年月工资为1500元，以后每年月工资比上一年月工资增加230元；B 公司允诺第一年月工资为2000元，以后每年月工资在上一年的基础上递增5%。设某人年初被A ，B 两家公司同时录用，试问：该人在A 公司工作比在B 公司工作的月工资最多时可高出多少元（精确到1元）？

【设计说明】让学生在实际情境中自觉领会和发现知识的形成过程，在思维碰撞中深刻体会其蕴含的数学思想和方法．

思路分析：由题意可知，此人在A 、B 两公司工作的第n 年月工资数分别为 *,05.12000,1270230)1(23015001N n b n n a n n n ∈⨯=+=-+=-

问题是该人在A 公司比在B 公司工资每月高出部分的最大值故需要比较和可设

所以问题转化为研究函数

最大值二．方法探究

问题2：设等差数列}{n a 的首项01>a ，公差为d ，前n 项和为n S ，若2015S S =，

数列的单调性与最值

三、解答题
10．已知数列{an}的通项公式为 an＝n2－5n＋4.
(1)数列中有多少项是负数？
(2)n 为何值时，an 有最小值？并求出最小值． (1)由 n2－5n＋4＜0，解得 1＜n＜4.
∵n∈N*，∴n＝2，3.∴数列中有两项 a2，a3 是负数． (2)∵an＝n2－5n＋4＝(n－52)2－94的对称轴方程为 n＝
2n－11 3 8．若 f(n)为 n2＋1(n∈N*)的各位上的数字之和，如 142 ＋1＝197，1＋9＋7＝17，则 f(14)＝17，记 f1(n)＝f(n)， f2(n)＝f[f1(n)]，fk＋1(n)＝f[fk(n)](k∈N*)，则 f2013(8)＝
________.
f1(8)＝11，f2(8)＝f[f1(8)]＝f(11)＝5，f3(8)＝f[f2(8)] ＝f(5)＝8，以 3 为周期出现循环，故 f2013(8)＝f3(8)
解出 n，
得在局部较大项，然后跟 a1 比较，可得最大项。
（1）求数列的最大项。设数列中除 a1 外最大项为第 n 项
由aann≥ ≥aann－＋11，， n
解出 n，
得在局部较大项，然后跟 a1 比较，可得最大项。
（2）求数列的最小项。设数列中除 a1 外最小项为第 n 项由aann≤ ≤aann－＋11，，n≥2 解出 n，得在局部较小项，然后跟 a1 比较，可得最小项。

数列的单调性专题

数列的单调性以及恒成立的问题

一、数列的单调性

（一）数列的单调性与函数的单调性的区别

【例题1】已知()2*n a n n n N λ=+∈是单调递增数列，则λ的取值范围是【例题2】给定函数y =f (x )的图像在下列图中，并且对任意a 1()0,1∈，由关系a n+1=f (a n )得到a n+1>a n (n *N ∈)，则该函数的图像是

（二）a n =f (n )的单调性

【例题3】已知{a n }的通项a n =(n 2

-1)c n +c n-1

(n *N ∈)，其中实数c ≠0，若对一切k *N ∈有

a 2k >a 2k-1，求c 的取值范围.

【例题4】已知a 1=a ，a n+1=S n +3n

，若a n+1≥a n (n *N ∈)，求a 的取值范围.

【变式训练】设数列{a n }满足a 1=2，11

n n n

a a a +=+

(n *N ∈). （I ）证明：21n a n >+对一切正整数n 成立；

（II ）令

n b =n *N ∈)，试判断b n 和b n+1的大小，并说明理由.

【例题5】已知数列{a n }中，a 1=2，对于任意的p ，q *N ∈，有a p+q =a p +a q . （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足()

1212121

n n

n n b b b a -=

-++-+++，求数列{b n }的通项公式；（III ）若3n

n n c b λ=+，是否存在实数λ，使得当n *N ∈时，c n+1>c n 恒成立？

21-22版：专题突破二　数列的单调性和最大(小)项（步步高）

三、利用数列的单调性确定变量的取值范围常利用以下等价关系：数列{an}递增⇔an＋1＞an恒成立；数列{an}递减⇔an＋1＜an恒成立，通过分离变量转化为代数式的最值来解决.
例5 已知数列{an}中，an＝n2＋λn，n∈N＋. (1)若{an}是递增数列，求λ的取值范围.
解由{an}是递增数列⇔an<an＋1⇔n2＋λn<(n＋1)2＋λ(n＋1)⇔λ>－(2n＋1)， n∈N＋⇔λ>－3. ∴λ的取值范围是(－3，＋∞).
跟踪训练2 A.a3
已知数列{an}的通项公式an＝
4 11－2n
(n∈N＋)，则{an}的最大项是
B.a4
√C.a5
D.a6
解析 f(x)＝11－4 2x在－∞，121，121，＋∞上都是增函数.
且1≤n≤5时，an>0，n≥6时，an<0. ∴{an}的最大值为a5.
例3 已知数列{an}的通项公式为an＝n2－5n＋4，n∈N＋. (1)数列中有多少项是负数？解由n2－5n＋4＜0，解得1＜n＜4. ∵n∈N＋，∴n＝2，3. ∴数列中有两项是负数.
第二章数列
专题突破二数列的单调性和最大(小)项
一、数列的单调性 (1)定义：若数列{an}满足：对一切正整数n，都有an＋1＞an(或an＋1＜an)，则称数列{an}为递增数列(或递减数列). (2)判断单调性的方法 ①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性. ②利用定义判断：作差比较法，即作差比较an＋1与an的大小；作商比较法，即作商比较an＋1与an的大小，从而判断出数列{an}的单调性.

数列的单调性讲义-高三数学二轮专题复习

数列的单调性

所谓数列，由前面的基础知识可知，实则就是函数图像上一个个孤立的点，而单调性作为函数最重要的性质之一，自然而然的单调性也是数列的一个基本性质之一.本节就数列的单调性问题进行相关总结.

一、研究数列单调性的基本方法

1、作差法：

例1、已知数列{a n }满足a n =

n+12n ，证明：数列{a n }单调递减. 证明：∵a n =

n+12n ∴a n+1=n+2

2n+1.

则a n+1−a n =n+2

2n+1−n+1

2n =−n 2n+1<0恒成立

故数列{a n }单调递减

2、作商法：

例2、已知a n =(n +1)(1011)n (n ∈N ∗)，证明：数列{a n }先递增后递减.

证明：令a n a n−1≥1(n ≥2) 即(n+1)(1011)n n∙(1011)n−1≥1

整理得：n+1n

≥1110，得n ≤10 同理，令

a n a n+1≥1 即(n+1)(1011)n (n+2)∙(1011)n+1≥1

整理得：n+1n+2≥1011，得n ≥9

∴{a n }从第1项到第9项递增，从第10项开始递减，得证.

3、函数法(导数法)

例4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并求n S 的最小值.

解：（1）略（29n a n =-）

（2）方法一：我们可以借助一个二次函数函数()28,0f x x x x =-≥，很明显这个函数在[)0,4上单调递减，在[)4,+∞上单调递增，那么可以得到最小值()()min 416f x f ==-，

秋季08-高三数学基础版-数列的单调性与最值- 学生版

一、知识梳理

1、单调数列的定义

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列，即

或者，每一项都小于它的后一项的数列叫做递增数列，即

2、证明数列单调性的方法

（1）定义法（作差法）：判断的符号

()12n n a a n ->≥()11n n a a n +<≥()11n n a a n +-≥数列的单调性与最值

（2）做商法：对于正的数列，用和1比较，若，则数列为递增数列；（3）通项公式所对应的函数的单调性

3、数列的最大项

（1）如果数列是单调递减数列，则首项为最大项

（2）如果数列从某一项开始，为单调递减数列，则最大项在前项中取得，特别地，前项呈递增数列，则第项为最大项

（3）如果通项公式为，而函数的图像可以画出，那就转化为函数的最值问题，需要注意最值处是不是整数.

特别地，如果函数为上凸函数，在处取得最大值

①如果为整数，则第项为最大项

②如果不是整数，则比较一下第项与第项，较大的项为最大项

4、数列的前项和的最大项

（1）若110,0,n n

a n n a n n >≤⎧⎨<>⎩，则在0n n =取得的最大项；（2）若1110,0,0,n n n

a n n a n n a n n ><⎧⎪==⎨⎪<>⎩，则在001,n n n =-取得相同的值，且为最大项

最小项的情形可类似写出，你也可以的！

二、常见的模型

第一类，由数列的通项公式，判断数列的单调性，求数列的最值项

模型1：

例1、

试一试 ()11n n

a n a +≥()111n n a n a +>≥0n 0n 0n 0n ()n a f n =()()0f x x >0x ()()0f x x >0x 0x 0x 0x []0x []01x +n n S n S n S 111122n a n n n

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

法一：利用单调性①差值比较法

若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；

若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.②商值比较法

若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且

()

1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；

若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且

()

1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =.

③利用放缩法

若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；

数列最值问题及单调性 - 副本

数列的最值问题及单调数列问题

求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法

(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2

，通过配方或借助图象求二

次函数最值的方法求解.

(2)邻项变号法①0,01<>d a 时，满足⎩⎨

⎧≤≥+0

1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；

②当0,01>

⎧≥≤+00

n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .

例1、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；

【变式训练】.等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值

是( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值. 3. 【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列，若9

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于．

4.（2009安徽卷理）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}

n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是：

（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1806、（2010福建理数3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于

高中数学解题方法系列：数列中求最大项或最小项的方法

法一：利用单调性 ①差值比较法

若有0)()1(1>-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；

若有0)()1(1<-+=-+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =. ②商值比较法

若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且

()

1(1>+=+n f n f a a n n ，则n n a a >+1，则 <<<<<+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为

)1(1f a =；

若有0)(>=n f a n 对于一切n ∈N *成立，且

()

1(1<+=+n f n f a a n n ，则n n a a <+1，则 >>>>>+121n n a a a a 即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最小项为

)1(1f a =.

③利用放缩法

若进行适当放缩，有n n a n f n f a =>+=+)()1(1，则 <<<<<+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递增数列，所以数列}{n a 的最小项为)1(1f a =；

若进行适当放缩，有n n a n f n f a =<+=+)()1(1，则 >>>>>+121n n a a a a ，即数列}{n a 是单调递减数列，所以数列}{n a 的最大项为)1(1f a =.

专题5等差数列的单调性和前n项和的最值问题微点1等差数列的单调性

专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题

微点1 等差数列的单调性

专题5 等差数列的单调性和前n 项和的最值问题

微点1 等差数列的单调性

【微点综述】

当0d >时，数列{}n a 是递增数列；当0d <时，数列{}n a 是递减数列；当0d =时，{}n a 是常数列．【典例刨析】例1．

1．已知点()1,5，()2,3是等差数列{}n a 图象上的两点，则数列{}n a 为（）A ．递增数列

B ．递减数列

C ．常数列

D ．无法确定

例2．（2023浙江绍兴一模）

2．已知等差数列{}n a 单调递增且满足186a a +=，则6a 的取值范围是（）A ．(),3-∞B ．()3,6C ．()3+∞，D ．()

6,+∞例3．

3．在数列{}n a 中，2

n a n kn =+，对任意的正整数n ，都有1n n a a +>恒成立，求实数k 的

取值范围.

【点睛】本题考查数列的增减性，考查数列的函数特性，考查数学转换思想例4．（2022年高考北京卷第6题）

4．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

例5．（2023·北京海淀·校考三模）

5．已知等差数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 满足()*

1n n a b n ⋅=∈N ，则“0d >”是“{}

n b 为递减数列”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件

微专题数列的单调性、最值和周期性

1－2n＋1
又aan＋n 1＝
n＋2 1－2n
＝2nn＋＋21··2nn＋－11＝22nn22＋＋33nn＋－12
n＋1
＝1＋2n2＋33n－2.
∵n≥1，∴2n2＋3n－2>0，故aan＋n 1>1，∴an＋1<an，
故数列{an}为递减数列.
反思感悟
研究数列的单调性和最大(小)项，首选作差，其次可以考虑借助函数单调性.之所以首选作差，是因为研究数列的单调性和研究函数单调性不一样，函数单调性要设任意x1<x2，而数列只需研究相邻两项an＋1，an，证明难度是不一样的.另需注意，函数f(x)在[1，＋∞)上单调，则数列an＝f(n)一定单调，反之不成立.
二、求数列中的最大(或最小)项
n－ 2 018
例2
在数列{an}中，an＝n－
，求该数列前100项中的最大项与最小项 2 019
的项数.
解
an＝nn－－
2 2
001198＝1＋
2 019－ n－ 2
2 018， 019
设 f(x)＝1＋
2
019－ x－ 2
2 018， 019
则 f(x)在区间(－∞， 2 019)与( 2 019，＋∞)上都是减函数.
由以上两种解法看，利用
an≥an＋1，
n≥2.这种方法求最大项更

高中数学常见题型解法归纳数列最值的求法

【知识要点】

一、数列是一个函数，所以函数求最值的很多方法同样适用于它，又由于数列是一个特殊的函数，在求最值时，又表现出它的特殊性.有些特殊的方法要理解并记住.

二、数列求最值常用的方法有函数、数形结合、基本不等式、导数、单调性等，特殊的方法有夹逼法等. 【方法讲评】

方法一函数的方法

使用情景比较容易求出函数的表达式

解题步骤

一般先求出函数的表达式，再利用函数的方法求出数列的最值.

【例1】在等差数列}{n a 中，1,101-==d a ，n S 为}{n a 前n 项和，求n S 的最大值.

【点评】数列是一个特殊的函数，等差数列的前n 项和可以看作是一个关于n 的二次函数

2n S An Bn =+，利用图像解答.

【反馈检测1】设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a =12，12s >0,130s <, (1)求公差d 的取值范围；

（2）指出1s ，2s ，…，12s 中哪一个值最大，并说明理由. 方法二

数形结合法

使用情景比较容易求出数列的通项

解题步骤

先求数列的通项，再对通项的图像进行研究.

【例2】在等比数列{}n a 中，)(0*

N n a n ∈>，公比)1,0(∈q ，且252825351=++a a a a a a ，3a 与5

a 的等比中项为2.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设n n a b 2log =，数列{}n b 的前n 项和为S n ，当

S S S n +++ 212

1最大时，求n 的值.

重难点06两种数列最值求法(核心考点讲与练新高考专用)(解析版)

重难点06两种数列最值求法（核心考点讲与练）

题型一：单调性法求数列最值

一、单选题

1．（2022·安徽淮南·二模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57111

25,26,n n n

a S a a

b a +=-+==，则数列{}n b （）

A ．有最大项，无最小项

B ．有最小项，无最大项

C ．既无最大项，又无最小项

D ．既有最大项，又有最小项

【答案】D

【分析】根据等差数列的首项1a ,公差d 列方程,可得1a 和d ,进而可得{}n a ,{}n b 通项,进而根据{}n b 的单调性,即可得最值.

【详解】等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d , 由571125,26,S a a =-+=得111

5102511

216263a d a a d d +=-=-⎧⎧⇒⎨

⎨+==⎩⎩ ,故()1131314n a n n =-+-=-

=13-14

n n n a b a n +=

+ 当5,n n N ≥∈时, {}n b 单调递减,故5671b b b >>>

>,且52b =

当15,n n N ≤<∈时, {}n b 单调递减,故12341b b b b >>>>,且14101

112

b b ==，故{}n b 有最大值为2,最小值为1

2 故选:D

2．（2022·北京·二模）已知等差数列{}n a 与等比数列{}n b 的首项均为－3，且31a =，448a b =，则数列{}n n a b （）

A ．有最大项，有最小项

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