数列最值问题及单调性 副本

数列的最值问题及单调数列问题

求等差数列前n 项和n S 最值的两种方法

(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式bn an S n +=2

，通过配方或借助图象求二

次函数最值的方法求解.

(2)邻项变号法①0,01<>d a 时，满足⎩⎨

⎧≤≥+0

1n n a a 的项数m 使得n S 取得最大值为m S ；

②当0,01>

⎧≥≤+00

1

n n a a 的项数m 使得n S 取得最小值为m S .

例1、在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值；

【变式训练】.等差数列}{n a 前n 项和为n S ，已知1131,13S S a ==，当n S 最大时，n 的值

是( )

(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 2、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围.(2)求{a n }前n 项和S n 最大时n 的值. 3. 【2016届云南师范大学附属中学高三月考四】数列{}n a 是等差数列，若9

8

1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，n 等于 ．

4.（2009安徽卷理）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}

n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是：

（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 1806、（2010福建理数3）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

5.【2016届重庆一中高三上期半期考试数学试题卷(理科)】已知等差数列{}n a 的公差0,d <若462824,10,a a a a ⋅=+=则该数列的前n 项和n S 的最大值为 ．

6.【2014高考北京版理第12题】若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n = 时，{}n a 的前n 项和最大.

7.在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取得最大

值，则d 的取值范围为 ．

例2、已知一个正项等差数列前20项的和为100，那么147a a 最大值为 （ ）

A ．25

B ．50

C ．100

D ．不存在

【变式训练】在等差数列}{n a 中0>n a ，且122060a a a +++=L ，则1110a a 的最大值等于

2.已知正项等比数列{}n a 满足:7652a a a =+,若存在两项,m n a a 使得14m n a a a =,则

14

m n

+的最小值为 _____________________ 例3（2010天津文15）设{}n a 是等比数列，公比2q =

n S 为{}n a 的前n 项和. 记

21

17n n n n S S T a +-=

，*

.n N ∈设m T 为数列{}n T 的最大项，则m =

【变式训练】、（2010辽宁理数16）已知数列{}n a 满足133a =，12n n a a n +-=，则n

a n

的最小值为__________

2、己知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313a a a ，，成等比数列，若11a =，n S 是数列{}n a 前n 项的和，则

216

3

n n S a ++的最小值为

A ．4

B ． 3

C ．232-

D ．

92

3.【河南省实验中学2015届高三上学期期中考试，理15】设x 、1a 、2a 、y 成等差数列，x 、1b 、2b 、y 成等比数列，则

2

12

21)(b b a a +的取值范围是 ． 4.（2008四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为_______

例4、等差数列}{n a 中，22008a =，2008200416a a =-，则其前n 项和n S 取最大值时n 等于（ ） A ．503

B ．504

C ．503或504

D ．504或505

【变式训练】【2015-2016学年江西省赣州市十二县高三上学期期中联考】设n S 是等差数列

{}n a 的前n 项和，若08

，则使0>n S 成立的最小正整数n 为 ．

A ．15

B ．16

C ．17

D ．18

2.已知*)(101

23

N n n a n ∈-=

，数列}{n a 的前项和为n S ，则使0>n S 的n 最小值

是 ．

3.【南昌二中2014—2015学年度上学期第四次考试高三数学（理）试卷】若{}n a 是正项递增等比数列，n T 表示其前n 项之积，且1020T T =，则当n T 取最小值时，n 的值为________．

4.在正项等比数列{}n a 中，51

2

a =

，673a a +=，则满足1212n n a a a a a a +++>⋅⋅⋅L L L L 的最大正整数n 的值为________．

5、(2011陕西理14)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）。

6、若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的积，则称该数列为“m 积数列”．若正

项等比数列{}n a 是一个“2012积数列”，且11a >，则其前n 项的积最大时，

n = ________. 7【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1

{

}n a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000

n T -<成立的n 的最小值. 8、已知数列{}n a 为等差数列，若

5

6

1a a <-，则数列{}n a 的最小项是第________项． 9、(2012四川理科20) 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n a a S S =+对一切正整数n 都成立。（Ⅰ）求1a ，2a 的值；（Ⅱ）设10a >，数列110lg n a a ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，当n 为何

值时，n T 最大？并求出n T 的最大值。

10、某火山喷发停止后，为测量的需要距离喷口中心50米内的圆环面为第1区、50米至100米的圆环面为第2区、……第()501n -至第50n 的圆环面为第n 区，…，现测得第1区火山灰平均每平方米为1吨、第2区每平方米的平均重量较第1区减少2%、第3区较第2区又减少2%，以此类推。问：

（1）离火山口1275米处火山灰为每平方米多少千克？（精确到1千克）？ （2）第几区内的火山灰总重量最大？（参考数据：24

0.98

0.61578=，250.980.60347=，

260.980.59140=）