江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量(教师版)

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2014年数学一轮复习试题_平面向量的应用

第二十六讲平面向量的应用一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．(2010·全国Ⅰ)已知圆O 的半径为1，P A 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么P A ·PB 的最小值为( )A ．－4＋2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2解析：设|||PA PB = ，∠APB ＝θ，则tan θ2＝1x ，cos θ＝x 2－1x 2＋1，则P AP B ＝x 2·x 2－1x 2＋1＝x 4－x 2x 2＋1＝(x 2＋1)2－3(x 2＋1)＋2x 2＋1＝x 2＋1＋2x 2＋1－3≥22－3，当且仅当x 2＋1＝2，即x 2＝2－1时，取“＝”，故PA PB的最小值为22－3，故选D. 答案：D2．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C.答案：C3．已知两点M (－3,0)，N (3,0)，点P 为坐标平面内一动点，且||||0,MN MP MNoNP +=＝0，则动点P (x ，y )到点M (－3,0)的距离d 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．6解析:因为M(-3,0),N(3,0),所以(6,0),||6,MN MN MP ===(x+3,y),NP =(x-3,y).由||||MN MP MN NP + =0得化简得y 2=-12x,所以点M 是抛物线y 2=-12x 的焦点,所以点P 到M 的距离的最小值就是原点到M(-3,0)的距离,所以d min =3.答案：B4．在△ABC 中，已知a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且a 、b 、c 成等比数列，a ＋c ＝3，cos B ＝34，则AB BC 等于( )A.32B ．－32C ．3D ．－3解析：由已知b 2＝ac ，a ＋c ＝3，cos B ＝34，得34＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a ＋c )2－3ac2ac，解得ac ＝2.则AB ·BC ＝ac ·cos 〈AB ，BC 〉＝2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32. 答案：B5．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27解析：F 23＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos60°＝28，所以|F 3|＝27，选D. 答案：D6．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足()(2)0,OB OC OB OC OA -+-= ＝0，则△ABC 的形状为( )A ．正三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．以上都不对解析：由已知得()0,CB AB AC += ＝0，设BC 中点为D ，则0CB AD =，即中线AD 与高线重合，∴△ABC 为等腰三角形．答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．若等边△ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM ＝16CB ＋23,CA 则MA MB ＝_____.解析：建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)，∴MA ＝(0,1)，MB ＝(－3，－2)．∴MA MB＝－2.答案：－28．在长江南岸渡口处，江水以12.5 km/h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为________．解析：如图所示，渡船速度为OB ，水流速度为OA ，船实际垂直过江的速度为,OD依题意知|OA |＝12.5＝252，|OB|＝25. ∵OD OB OA =+ ，∴OD OA OB OA OA =+ 2， ∵OD ⊥OA ，∴OD ·OA ＝0，∴25×252cos(∠BOD ＋90°)＋⎝⎛⎭⎫2522＝0，∴cos(∠BOD ＋90°)＝－12，∴sin ∠BOD ＝12，∴∠BOD ＝30°，∴航向为北偏西30°.答案：北偏西30°9．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，()OH m OA OB OC =++则实数m ＝________.解析：取BC 的中点D ，则2,OB OC OD +=，且OD ⊥BC ，AH ⊥BC . 由()OH m OA OB OC =++ ，可得(2)OA AH m OA OD +=+ ， ∴(1)2.AH m OA mOD =-+ .(1)2,AH BC m OA BC m OD BC =-+即0＝(m －1)·OA BC＋0，故m ＝1.答案：110．已知|a |＝2，|b |＝4，a 与b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．解析：画图可知，较短一条对角线的长度为 |a |2＋|b |2－2|a ||b |cos π3＝22＋42－2×2×4×12＝2 3.答案：2 3三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知a ＝(1，x )，b ＝(x 2＋x ，－x )，m 为实数，求使m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0成立的x 的取值范围．解：∵a ·b ＝x 2＋x －x 2＝x . ∴m (a ·b )2－(m ＋1)a ·b ＋1<0⇔mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0. (1)当m ＝0时，x ＞1.(2)当m ≠0时，m (x －1m)(x －1)<0，①当m <0时，x >1或x <1m . ②当0<m <1时，1<x <1m .③当m ＝1时，x ∈∅. ④当m >1时，1m<x <1.12．在▱ABCD 中，A (1,1)，AB＝(6,0)，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P .(1)若AD＝(3,5)，求点C 的坐标；(2)当|AB |＝|AD|时，求点P 的轨迹．解：(1)设点C 的坐标为(x 0，y 0)，又AC AD AB =+＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，即(x 0－1，y 0－1)＝(9,5)，∴x 0＝10，y 0＝6，即点C (10,6)．(2)设P (x ，y )，则BP AP AB =-＝(x －1，y －1)－(6,0)＝(x －7，y －1)，AC AM MC =+ ＝123AB MP + ＝1113()222AB AP AB =+-＝3AP AB -＝(3(x －1),3(y －1))－(6,0)＝(3x －9,3y －3)．∵||||AB AD =，∴▱ABCD 为菱形．∴BP ⊥AC ，∴(x －7，y －1)·(3x －9,3y －3)＝0，即(x －7)(3x －9)＋(y －1)(3y －3)＝0.∴x 2＋y 2－10x －2y ＋22＝0(y ≠1)．故点P 的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆且去掉与直线y ＝1的两个交点．13．已知OM ＝(cos α，sin α)，ON ＝(cos x ，sin x )，PQ ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－sin x ＋45cos α. (1)当cos α＝45sin x时，求函数y ＝ON PQ 的最小正周期；(2)当OM ON ＝1213，OM PQ ∥，α－x ，α＋x 都是锐角时，求cos2α的值．解：(1)∵cos α＝45sin x ，∴y ＝cos 2x －sin 2x ＋4sin x5cos α＝cos2x ＋sin 2x ＝cos2x ＋1－cos2x 2＝12cos2x ＋12，∴该函数的最小正周期是π. (2)∵OM ON＝cos αcos x ＋sin αsin x ＝cos(α－x )＝1213，且α－x 是锐角， ∴sin (α－x )＝1－cos 2(α－x )＝513，∵OM PQ ∥，∴－cos αsin x ＋45－sin αcos x ＝0，即sin(α＋x )＝45.∵α＋x 是锐角，∴cos(α＋x )＝1－sin 2(α＋x )＝35，∴cos2α＝cos[(α＋x )＋(α－x )]＝cos (α＋x )cos(α－x )－sin(α＋x )sin(α－x )＝35×1213－45×513＝1665，即cos2α＝1665.。

2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：平面向量

2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编10：平面向量一、填空题 1 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）已知非零向量，a b 满足(2)(2)-⊥-⊥，，a b a b a b 则向量a 与b 的夹角为______.【答案】π32 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC的中点. F 为边AB 上. 的,且,则x+y 的值为____【答案】523 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若ACy AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.【答案】314 ．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅= ,则tan tan AB= ________. 【答案】735 ．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在ABC∆中,3==BC AB ,4=AC ,设O 是ABC ∆的内心,若AC n AB m AO +=,则=n m :__★__.【答案】3:4 提示一:利用夹角相等,则有ACAC AO AB AB AO ⋅=⋅||.提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得AC AB AO 103104+=6 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.【答案】17 ．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB = , 若12BD AC ⋅=- , 则AB CE ⋅=_____.【答案】43-8 ．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）在ABC ∆中,M 为AB 的的三等分点,:1:3,AM AB N =为AC 的中点,BN 与CM 交于点E ,,AB m AC n ==,则AE =_____________________.【答案】1255m n +9 ．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）在平面直角坐标系中,O是坐标原点,()2,0A ,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】410．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）设向量a 、b 满足:|a |3=,|b |1=,a·b 23=,则向量a 与b 的夹角为__★__. 【答案】6π 11．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0m m n R n n∈≠且）则等于_.【答案】21-12．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知a 、b 、c都是单位向量,且a b c += ,则a c ⋅的值为_________.【答案】1213．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在ABC ∆中,6BC =,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-14．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】3415．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上【答案】B16．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知)2s i n ,2(),sin ,1(2x b x a ==,其中()0,x π∈,若a b a b ⋅=⋅,则tan x =_____. 【答案】1;17．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）在平面直角坐标系x O y 中,已知=(3,﹣1),=(0,2).若•=0,=λ,则实数λ的值为__________.【答案】218．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）如图,,,A B C 是直线上三点,P 是直线外一点,1==BC AB ,︒=∠90APB ,︒=∠30BPC ,则PA PC ⋅=________.【答案】74-19．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知向量a 的模为2,向量e 为单位向量,)(e a e -⊥,则向量a 与e 的夹角大小为_______.【答案】3π; 20．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知向量a 与b 的夹角为60º,300lABCP且|a |=1,|b |=2,那么2()+a b 的值为________.【答案】721．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____【答案】222．（江苏省泰州市姜堰区张甸中学2014届高三数学期中模拟试卷）已知平面向量(1,2)a = ,(1,3)b =-,则a 与b 夹角的余弦值为___________【答案】22; 23．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2,b a b ⊥-)(2,则a 与b 的夹角是________.【答案】3π24．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ .【答案】125．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b|=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______【答案】2126．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】527．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(1,),(3,4)a x b ==- ,若//a b,则实数x 的值为________.【答案】43-28．（江苏省常州市武进区2014届高三上学期期中考试数学(理)试题）已知向量(1,3)=a ,(2,1)=-b ,(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线,则实数k =________. 【答案】1-29．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）若等腰梯形ABCD中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅的值为____________【答案】330．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）设x ∈R,向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ,则x = ______. 【答案】2331．（江苏省无锡市洛社高级中学2014届高三10月月考数学试题）设平面向量(1,2)a =,与向量(1,2)a =共线的单位向量坐标为_______.【答案】525(,)55或255(,)55-- 32．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）已知向量(12,2)a x =-,()2,1b - =,若→→b a //,则实数x =______.【答案】25 二、解答题33．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）设(,1)a x = ,(2,1)b =- ,(,1)c x m m =--(,x m ∈∈R R ). (Ⅰ)若a 与b的夹角为钝角,求x 的取值范围; (Ⅱ)解关于x 的不等式a c a c +<- .【答案】(1)由题知:210a b x ⋅=-< ,解得12x <;又当2x =-时,a 与b 的夹角为π,所以当a 与b 的夹角为钝角时, x 的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-(2)由a c a c +<-知,0a c ⋅< ,即(1)[(1)]0x x m ---<;当2m <时,解集为{11}x m x -<<; 当2m =时,解集为空集;当2m >时,解集为{11}x x m <<-34．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅= ,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.【答案】解:(1)因为a ·b =2 + sin θcos θ =136 , 所以sin θcos θ = 16, 所以(sin θ +cos θ)2= 1+2sin θcos θ = 34 .又因为θ为锐角,所以sin θ + cos θ =233(2)因为a ∥b ,所以tan θ = 2,所以sin2θ = 2sin θcos θ = 2sin θcos θsin 2θ+cos 2θ = 2tan θtan 2θ+1 = 45 , cos2θ = cos 2θ-sin 2θ = cos 2θ-sin 2θsin 2θ+cos 2θ = 1-tan 2θtan 2θ+1 = — 35所以sin(2θ+ π3 ) = 12 sin2θ + 32 cos2θ = 12 ×45+32 ×(-35) = 4-331035．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知在等边三角形ABC中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ; (2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围.【答案】(1)当13=λ时,13AP AB = , 2222221()262622282CP CA AP CA CA AP AP =+=+⋅+=-⨯⨯⨯+= .∴||27CP =(2)设等边三角形的边长为a ,则221()()2CP AB CA AP AB CA AB AB a a ⋅=+⋅=+λ⋅=-+λ ,222()()PA PB PA AB AP AB AB AB a a ⋅=⋅-=λ⋅-λ=-λ+λ即2222212a a a a -+λ≥-λ+λ,∴21202λ-λ+≤,∴222222-+≤λ≤. 又00≤λ≤,∴2212-≤λ≤. 36．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）已知向量,m n的夹角为45︒,则||1,||2m n == ,又2,3a m n b m n =+=-+ .(1)求a 与b 的夹角;(2)设,2c ta b d m n =-=-,若//c d ,求实数t 的值.【答案】37．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<< 是平面上的两个向量,若向量a b + 与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅= ,且4tan 3β=,求tan α的值.【答案】(Ⅰ)由题设可得()()0,a b a b +⋅-=即220,a b -= 代入,a b 坐标可得22222cos +(1)sin cos sin 0αλαββ---=.222(1)sin sin 0,λαα∴--=0,0,22παλλ<<>∴= .(Ⅱ)由(1)知,4cos cos sin sin cos(),5a b αβαβαβ⋅=+=-=02παβ<<<∴ 02παβ-<-<33sin(),tan()54αβαβ∴-=--=-.34tan()tan 743tan tan[()]=341tan()tan 241()43αββααββαββ-+-+∴=-+==--⋅--⨯. 7tan 24α∴= 38．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）已知平面向量a =(1,2sin θ),b =(5cos θ,3).(1)若a ∥b ,求sin2θ的值; (2)若a ⊥b ,求tan(θ+π4)的值.【答案】 (1)因为a ∥b ,所以1×3-2sin θ×5cos θ=0,即5sin2θ-3=0,所以sin2θ=35(2)因为a ⊥b ,所以1×5cos θ+2sin θ×3=0 所以tan θ=-56所以tan(θ+π4)=tan θ＋tanπ41－tan θtanπ4=11139．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知,,a b c是同一平面内的三个向量,其中(1,2)a =(1)若||25c =,且//c a ,求:c 的坐标(2)若5||2b = ,且2a b + 与2a b - 垂直,求a 与b 的夹角【答案】解:设(,)c x y = 由//||25c a c =及得2212022,4420y x x x y y x y ⋅-⋅===-⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨==-+=⎩⎩⎩或所以,(2,4)(2,4)c c ==-- 或 (2)∵2a b + 与2a b - 垂直,∴(2)(2)0a b a b +⋅-=即222320a a b b +⋅-= ;∴52a b ⋅=-∴cos 1||||a ba b θ⋅==- ,∵[0,]θπ∈∴θπ=40．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式; (Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 【答案】解: (Ⅰ)∵dc ⊥,且1,2,0===⋅b a b a ,∴0)tan 3(tan 232=-+-=⋅b a m d c θθ∴)2,2(),tan 3(tan 41)(3ππθθθθ-∈-==f m (Ⅱ)设θtan =t ,又∵]3,6[ππθ-∈,∴]3,33[-∈t ,则)3(41)(3t t t g m -== )1(43)(''2-==t t g m 令0)('=t g 得1-=t (舍去) 1=t ∴)1,33(-∈t 时0)('<t g ,)3,1(∈t 时0)('>t g ,∴1=t 时,即4πθ=时, )1(g 为极小值也是最小值,)(t g 最小值为21- 41．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA = ,||4OA = ,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.【答案】(1)∵BP PA =,∴BO OP PO OA +=+ ,即2OP OB OA =+ ,∴1122OP OA OB =+ ,即12x =,12y =(2)∵3BP PA = ,∴33BO OP PO OA +=+,即43OP OB OA =+∴3144OP OA OB =+∴34x =,14y =31()()44OP AB OA OB OB OA ⋅=+⋅-131442OB OB OA OA OA OB =⋅-⋅+⋅221311244294422=⨯-⨯+⨯⨯⨯=-。

高考数学一轮复习平面向量多选题(讲义及答案)及答案

高考数学一轮复习平面向量多选题(讲义及答案)及答案一、平面向量多选题1．在三棱锥M ABC -中，下列命题正确的是（）A ．若1233AD AB AC =+，则3BC BD = B ．若G 为ABC 的重心，则111333MG MA MB MC =++C ．若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MB AC ⋅=D ．若三棱锥M ABC -的棱长都为2，P ，Q 分别为MA ，BC 中点，则2PQ = 【答案】BC 【分析】作出三棱锥M ABC -直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得. 【详解】对于A ，由已知12322233AD AB AC AD AC AB AD AC AB AD =+⇒=+⇒-=-，即2CD DB =，则32BD BD DC BC =+=，故A 错误；对于B ，由G 为ABC 的重心，得0GA GB GC ++=，又MG MA AG =+，MG MB BG =+，MG MC CG =+，3MA MB MC MG ∴++=，即111333MG MA MB MC =++，故B 正确；对于C ，若0MA BC ⋅=，0MC AB ⋅=，则0MC MA BC AB ⋅+⋅=，即()00MA BC AC CB MA BC AC C MC C M B M C ⋅++=⇒⋅++⋅⋅=⋅()00MA BC A MC MC MC MC C BC MA BC AC ⋅⋅⋅⇒⋅+-=⇒-+=⋅()000MC M CA BC AC AC CB AC CB AC C MC ⇒+=⇒+=⇒+=⋅⋅⋅⋅⋅，即0MB AC ⋅=，故C 正确；对于D ，111()()222PQ MQ MP MB MC MA MB MC MA ∴=-=+-=+- ()2112PQ MB MC MA MB MC MA ∴=+-=+-，又()2222222MB MC MA MB MC MA MB MC MB MA MC MA+-=+++⋅-⋅-⋅2221112222222222228222=+++⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，1PQ ∴==，故D 错误. 故选：BC 【点睛】关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量． (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．2．定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗C ．()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗D ．若()11,a x y =，()22,b x y =，则122a b x y x y ⊗=- 【答案】BD 【分析】对于A,B,只需根据定义列出左边和右边的式子即可,对于C,当λab 时,()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅,()()()sin ,sin,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅,显然不会恒成立. 对于D,根据数量积求出cos ,a b ,再由平方关系求出sin ,a b 的值,代入定义进行化简验证即可. 【详解】解：对于A ：()()sin ,a b a b a b λλ⊗=⋅，()sin ,a b a b a bλλλ⊗=⋅，故()()a b a b λλ⊗=⊗不会恒成立；对于B ，sin ,a b a b a b ⊗=⋅，=sin ,b a b a b a ⊗⋅，故a b b a ⊗=⊗恒成立；对于C ，若λab ，且0λ>，()()1sin ,a b c b c b c λ+⊗=+⋅，()()()sin,sin ,1sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c λλ⊗+⊗=⋅+⋅=+⋅，显然()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗不会恒成立；对于D ，1212cos ,x x y y a b a b+=⋅，212sin ,1a b a b ⎛ ⎪=- ⎪⋅⎭，即有222121212121x x y yx x y y ab a b a b a a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⊗=⋅⋅-=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⋅⎭⎭21y =⎪+⎭==1221x y xy =-.则1221a b x y x y ⊗=-恒成立. 故选：BD. 【点睛】本题考查向量的新定义，理解运算法则正确计算是解题的关键，属于较难题.3．下列关于平面向量的说法中正确的是（）A ．已知,a b 均为非零向量，若//a b ，则存在唯一的实数λ，使得λabB ．已知非零向量(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若a c b c ⋅=⋅且0c ≠，则a b =D ．若点G 为ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 【答案】AD 【分析】由向量共线定理可判断选项A ；由向量夹角的的坐标表示可判断选项B ；由数量积的运算性质可判断选项C ；由三角形的重心性质即向量线性运算可判断选项D. 【详解】对于选项A ：由向量共线定理知选项A 正确；对于选项B ：()()()1,21,11,2a b λλλλ+=+=++，若a 与a λb +的夹角为锐角，则()()122530a a b λλλλ⋅+=+++=+>解得53λ>-，当a 与a λb +共线时，()221λλ+=+，解得：0λ=，此时(1,2)a =，()1,2a b λ+=，此时a b =夹角为0，不符合题意，所以实数λ的取值范围是()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选项B 不正确；对于选项C ：若a c b c ⋅=⋅，则()0c a b ⋅-=，因为0c ≠，则a b =或c 与a b -垂直，故选项C 不正确；对于选项D ：若点G 为ABC 的重心，延长AG 与BC 交于M ，则M 为BC 的中点，所以()1222AG GM GB GC GB GC ==⨯⨯+=+，所以0GA GB GC ++=，故选项D 正确.故选：AD 【点睛】易错点睛：两个向量夹角为锐角数量积大于0，但数量积大于0向量夹角为锐角或0，由向量夹角为锐角数量积大于0，需要检验向量共线的情况. 两个向量夹角为钝角数量积小于0，但数量积小于0向量夹角为钝角或π.4．已知直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆()()22:114C x y +++=的一条动弦，G 为弦AB 的中点，23AB =（）A ．弦AB 的中点轨迹是圆B ．直线12,l l 的交点P 在定圆()()22222x y -+-=上 C ．线段PG 长的最大值为421 D ．PA PB ⋅的最小值642+ 【答案】ABC 【分析】对于选项A ：设()00,G x y ，利用已知条件先求出圆心到弦AB 的距离CG ，利用两点之间的距离公式即可得到结论；对于选项B ：联立直线的方程组求解点P 的坐标，代入选项验证即可判断；对于选项C ：利用选项A B 结论，得到圆心坐标和半径，利用1112max PG PG r r =++求解即可；对于选项D ：利用平面向量的加法法则以及数量积运算得到23PA PB PG ⋅==-，进而把问题转化为求1112min PG PG r r=--问题，即可判断.【详解】对于选项A ：设()00,G x y，2AB =G 为弦AB 的中点， GB ∴=，而()()22:114C x y+++=，半径为2，则圆心到弦AB 的距离为1CG ==，又圆心()1,1C --，()()2200111x y ∴+++=，即弦AB 的中点轨迹是圆. 故选项A 正确；对于选项B ：由310310mx y m x my m --+=⎧⎨+--=⎩，得222232113211m m x m m m y m ⎧++=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，代入()()2222x y -+-整理得2，故选项B 正确；对于选项C ：由选项A 知：点G 的轨迹方程为：()()22111x y +++=，由选项B 知：点P 的轨迹方程为：()()22222x y -+-=，()()11121,1,1,2,2,G r P r∴--=所以线段1112max 11PG PG r r =++=+=，故选项C 正确；对于选项D ：()()PA PB PG GA PG GB ⋅=+⋅+()2PG PG GA GB GA GB =+⋅++⋅ 22203PG PG GB PG =+⋅-=-，故()()2minmin3PA PBPG ⋅=-，由选项C 知：1112min 11PG PG r r =--=-=，所以()()2min136PA PB⋅=-=-，故选项D 错误；故选：A B C. 【点睛】关键点睛：本题考查了求圆的轨迹问题以及两个圆上的点的距离问题.把两个圆上的点的距离问题转化为两个圆的圆心与半径之间的关系是解决本题的关键.5．已知向量(2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是（）A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影为12-，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得||||||a b a b +=+D ．a b 【答案】BCD 【分析】若a b ⊥，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，故当a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C 正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+， a b D 正确.【详解】若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ+==，则tan θ=A 错误；若b 在a 上的投影为12-，且||1b =，则1||cos 2b a b 〈〉=-，，2πcos ,3a b 〈〉=，故B 正确；若2()2a b a b a b =+22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b 〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故a,b 0<>=，|||||a b a b =+|+，故C正确；2cos sin a b θθ+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ，故D 正确，故选：BCD ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的计算和应用，考查数量积的运算律，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（） A ．||||||a b a b ⋅≤B ．若a b c b ⋅=⋅且0b ≠，则a c =C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】AC 【分析】根据平面向量数量积定义可判断A ；由向量垂直时乘积为0，可判断B ；利用向量数量积的运算律，化简可判断C ；根据向量数量积的坐标关系，可判断D. 【详解】对于A ，由平面向量数量积定义可知cos ,a b a b a b ⋅=，则||||||a b a b ⋅≤，所以A 正确，对于B ，当a 与c 都和b 垂直时，a 与c 的方向不一定相同，大小不一定相等，所以B 错误，对于C ，两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，可得22()(||||)a b a b -=+，即22||||a b a b -⋅=，cos 1θ=-，则两个向量的夹角为π，则a 与b 共线且反向，故C 正确；对于D ，已知(1,2)a =，(1,1)b =且a 与a b λ+的夹角为锐角，可得()0a a b λ⋅+>即2||0a a b λ+⋅>可得530λ+>，解得53λ>-，当a 与a b λ+的夹角为0时，(1,2)a b λλλ+=++，所以2220λλλ+=+⇒= 所以a 与a b λ+的夹角为锐角时53λ>-且0λ≠，故D 错误；故选:AC. 【点睛】本题考查了平面向量数量积定义的应用，向量共线及向量数量积的坐标表示，属于中档题.7．关于平面向量有下列四个命题，其中正确的命题为（） A ．若a b a c ⋅=⋅，则b c =；B ．已知(,3)a k =，(2,6)b =-，若//a b ，则1k =-；C ．非零向量a 和b ，满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30º；D ．0||||||||a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】BCD 【分析】通过举反例知A 不成立，由平行向量的坐标对应成比例知B 正确，由向量加减法的意义知，C 正确，通过化简计算得D 正确．【详解】对A ，当0a = 时，可得到A 不成立；对B ，//a b 时，有326k =-，1k ∴=-，故B 正确．对C ，当||||||a b a b ==-时，a 、b 、a b -这三个向量平移后构成一个等边三角形，a b + 是这个等边三角形一条角平分线，故C 正确．对D ，22()()()()110||||||||||||a b a b a b a a a b b b +⋅-=-=-=，故D 正确．故选：BCD ．【点睛】本题考查两个向量的数量积公式，两个向量加减法的几何意义，以及共线向量的坐标特点．属于基础题．8．设a 、b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若a b a b +=-，则存在实数λ使得λa bB ．若a b ⊥，则a b a b +=-C ．若a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影向量为aD ．若存在实数λ使得λa b ，则a b a b +=-【答案】AB 【分析】根据向量模的三角不等式找出a b a b +=-和a b a b +=+的等价条件，可判断A 、C 、D 选项的正误，利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】当a b a b +=-时，则a 、b 方向相反且a b ≥，则存在负实数λ，使得λa b ，A选项正确，D 选项错误；若a b a b +=+，则a 、b 方向相同，a 在b 方向上的投影向量为a ，C 选项错误；若a b ⊥，则以a 、b 为邻边的平行四边形为矩形，且a b +和a b -是这个矩形的两条对角线长，则a b a b +=-，B 选项正确. 故选：AB. 【点睛】本题考查平面向量线性运算相关的命题的判断，涉及平面向量模的三角不等式的应用，考查推理能力，属于中等题.二、立体几何多选题9．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AA ===，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AC ，1AA ，AB 的中点．则下列结论正确的是（）A ．1AC 与EF 相交B ．11//BC 平面DEF C ．EF 与1AC 所成的角为90︒D ．点1B 到平面DEF 32【答案】BCD 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．【详解】对选项A ，由图知1AC ⊂平面11ACC A ，EF 平面11ACC A E =，且1.E AC ∉由异面直线的定义可知1AC 与EF 异面，故A 错误；对于选项B ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11B C //BC ．D ，F 分别是AC ，AB 的中点， //∴FD BC ，11B C ∴ //FD ．又11B C ⊄平面DEF ，DF ⊂平面DEF ，11B C ∴ //平面.DEF 故B 正确；对于选项C ，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(2A ，0，0)，(0B ，2，0)，1(2A ，0，2)，1(0B ，2，2)，1(0C ，0，2)，(1D ，0，0)，(2E ，0，1)，(1F ，1，0)．(1EF ∴=-，1，1)-，1(2AC =-，0，2)． 1·2020EF AC =+-=，1EF AC ∴⊥，1EF AC ∴⊥． EF 与1AC 所成的角为90︒，故C 正确；对于选项D ，设向量(n x =，y ，)z 是平面DEF 的一个法向量． (1DE =，0，1)，(0DF =，1，0)， ∴由n DE n DF ⎧⊥⎨⊥⎩，，，即·0·0n DE n DF ⎧=⎨=⎩，，，得00.x z y +=⎧⎨=⎩，取1x =，则1z =-，(1n ∴=，0，1)-，设点1B 到平面DEF 的距离为d ．又1(1DB =-，2，2)， 1·102322DB n d n-+-∴===， ∴点1B 到平面DEF 32，故D 正确．故选：BCD【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=.动点M 在侧面11ADD A 内(包含边界)运动，且满足直线//BM 平面1D EF ，则（）A ．过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为等腰梯形B ．三棱锥1D EFM -的体积为定值C ．动点M 10D ．过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面面积的最小值为10【答案】BCD【分析】由题做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，进而计算即可排除A 选项；根据//BM 平面1D EF ，由等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===即可得B 选项正确；取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知M 的轨迹为线段HI 10，故C 选项正确；过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，易知过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而得当H 位于点I 时，截面面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=【详解】解：对于A 选项，如图，取BF 中点G ，连接1A G ，由点E ，F 分别在1CC ，1BB 上，12C E EC →→=，12BF FB →→=，故四边形11A D EG 为平行四边形，故11//AG D E ，由于在11A B G △，F 为1B G 中点，当N 为11A B 中点时，有11////NF A G D E ，故过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，此时22133532D N ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，223110EF =+=，故梯形1D EFN 不是等腰梯形，故A 选项错误；对于B 选项，三棱锥1D EFM -的体积等于三棱锥1M D EF -的体积，由于//BM 平面1D EF ，故三棱锥1M D EF -的体积等于三棱锥1B D EF -的体积，三棱锥1B D EF -的体积等于三棱锥1D BEF -的体积，而三棱锥1D BEF -的体积为定值，故B 选项正确；对于C 选项，取1AA 靠近1A 点的三等分点H ， 1DD 靠近D 点的三等分点I ，易知1////HB AG NF ，1//BI D F ，由于1,HI BI I NF D F F ==，故平面//BHI 平面1D EF ，故M 的轨迹为线段HI ，其长度为10，故C 选项正确；对于D 选项，过M 点做BE 的平行线交1AA 于P ，交1DD 于O ，连接,BP OE ，则过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，易知当H 位于点I 时，平行四边形BPOE 边BP 最小，且为AB ，此时截面平行四边形BPOE 的面积最小，为四边形ABEI 的面积，且面积为310S AB BE =⋅=，故D 选项正确；故选：BCD【点睛】本题解题的关键在于根据题意，依次做出过1D ，E ，F 的平面截正方体所得截面为梯形1D EFN ，过B ，E ，M 的平面截正方体所得截面即为平行四边形BPOE ，进而讨论AD 选项，通过//BM 平面1D EF ，并结合等体积转化法得1111D EFM M D EF B D EF D BEF V V V V ----===知B 选项正确，通过构造面面平行得M 的轨迹为线段HI ，进而讨论C 选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.。

2014年江苏省高考数学试卷教师版

2014 年江苏省高考数学试卷一、填空题（本大题共14 小题，每题 5 分，合计 70 分）1．（5 分）（2014?江苏）已知会合A={ ﹣2，﹣ 1， 3， 4} ，B={ ﹣ 1， 2， 3} ，则 A ∩B= { ﹣1，3}．【剖析】依据会合的基本运算即可获得结论．【解答】解：∵ A={ ﹣2，﹣1，3，4} ，B={ ﹣1，2，3} ，∴A∩B={ ﹣1，3} ，故答案为： { ﹣1，3}（．分）（江苏）已知复数2．（i 为虚数单位），则 z 的实部为 212 52014?z=（5+2i）【剖析】依据复数的相关观点，即可获得结论．【解答】解： z=（ 5+2i）2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i，故 z 的实部为 21，故答案为： 213．（5 分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n 的值是5．【剖析】算法的功能是求知足2n＞20 的最小的正整数 n 的值，代入正整数 n 验证可得答案．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求知足2n＞20 的最小的正整数 n 的值，∵ 24＜，25＞，=1620=3220∴输出 n=5．故答案为： 5．4．（5 分）（2014?江苏）从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为 6 的概率是．【剖析】第一列举并求出“从 1，2，3，6 这 4 个数中一次随机抽取2 个数”的基本领件的个数再从中找到知足“所取 2 个数的乘积为 6”的事件的个数，利用概率公式计算即可．【解答】解：从 1， 2， 3， 6 这 4 个数中一次随机抽取2 个数的全部基本领件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共 6个，所取 2 个数的乘积为 6 的基本领件有（ 1， 6），（2，3）共 2 个，故所求概率 P=．故答案为：．5．（5 分）（2014?江苏）已知函数y=cosx 与 y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是．【剖析】因为函数 y=cosx与 y=sin（ 2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得= ．依据φ的范围和正弦函数的单一性即可得出．y=sin（ 2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交【解答】解：∵函数y=cosx与点，∴= ．∵ 0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=．故答案为：．6．（5 分）（ 2014?江苏）为了认识一片经济林的生长状况，随机抽测了此中60 株树木的底部周长（单位： cm），所得数据均在区间 [ 80，130] 上，其频次分布直方图如下图，则在抽测的60 株树木中，有 24 株树木的底部周长小于 100cm ．【剖析】依据频次 =小矩形的面积 =小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频次，再依据频数 =样本容量×频次求出底部周长小于 100cm 的频数．【解答】解：由频次散布直方图知：底部周长小于 100cm 的频次为（ 0.015+0.025）× 10=0.4，∴底部周长小于 100cm 的频数为 60×0.4=24（株）．故答案为： 24．7．（ 5 分）（ 2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{ a n } 中，若 a 2=1，a 8=a 6+2a 4，则 a 6 的值是 4 ．【剖析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列 { a n } 的公比为 q ＞ 0， a 1＞0．∵ a 8=a 6+2a 4，∴，化为 q 4﹣ q 2﹣2=0，解得 q2．=2∴ a 6== × 2 ．=1 2 =4故答案为： 4．8．（5 分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S 1， S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且= ，则的值是．【剖析】设出两个圆柱的底面半径与高，经过侧面积相等，推出高的比，而后求解体积的比．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为 R ， r ；高分别为 H ，h ；∵ = ，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．9．（ 5 分）（ 2014?江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线 x+2y﹣3=0 被圆（x﹣ 2）2+（y+1）2=4 截得的弦长为．【剖析】求出已知圆的圆心为C（2，﹣1），半径 r=2．利用点到直线的距离公式，算出点 C 到直线直线 l 的距离 d，由垂径定理加以计算，可得直线x+2y﹣ 3=0被圆截得的弦长．【解答】解：圆（ x﹣ 2）2+（y+1）2=4的圆心为（，﹣），半径r=2，C21∵点 C 到直线直线 x+2y﹣3=0 的距离 d==，∴依据垂径定理，得直线x+2y﹣3=0 被圆（ x﹣ 2）2+（y+1）2=4 截得的弦长为2=2=故答案为：．10．（5 分）（2014?江苏）已知函数 f（x）=x2+mx﹣1，若对于随意 x∈ [ m，m+1] ，都有 f（ x）＜ 0 成立，则实数 m 的取值范围是（﹣，0）．【分析】由条件利用二次函数的性质可得＜，由此求得 m 的范围．＜【解答】解：∵二次函数 f（ x） =x2+mx﹣1 的图象张口向上，对于任意x ∈ [ m ， m+1]，都有 f （ x ）＜ 0成立，∴＜，＜＜＜即，解得﹣＜m＜0，＜故答案为：（﹣，0）．11．（ 5分）（江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线2+ （a，b 为2014?y=ax常数）过点 P（2，﹣ 5），且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，则 a+b 的值是﹣3 ．【剖析】由曲线 y=ax2+ （a，b 为常数）过点 P（2，﹣5），且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，可得 y| x=2﹣，且′x=2，解方程可得答案．= 5y | =【解答】解：∵直线 7x+2y+3=0 的斜率 k=，曲线 y=ax2+ （ a，b 为常数）过点 P（ 2，﹣ 5），且该曲线在点 P 处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行，∴y′=2ax﹣，∴，解得：，故 a+b=﹣3，故答案为：﹣312（．5 分）（ 2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是22．【剖析】由=3，可得= +，=﹣，从而由AB=8，AD=5，=3 ，?=2，结构方程，从而可得答案．【解答】解：∵=3，∴= +，=﹣，又∵ AB=8，AD=5，∴?（ +）?（﹣）=| | 2﹣?﹣ ||2﹣? ==25﹣12=2，故 ? =22，故答案为： 22．13．（5 分）（2014?江苏）已知 f（ x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[ 0，3）时，f（x）=| x2﹣ 2x+ | ，若函数 y=f（x）﹣a 在区间 [ ﹣3，4] 上有 10 个零点（互不同样），则实数 a 的取值范围是【剖析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线（0，）．y=a 的图象，利用数形联合判断a 的范围即可．【解答】解： f（x）是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[ 0，3）时， f（x）=| x2﹣ 2x+ | ，若函数 y=f（ x）﹣a 在区间 [ ﹣3，4] 上有 10 个零点（互不同样），在同一坐标系中画出函数f（x）与y=a 的图象如图：由图象可知，．故答案为：（ 0，）．14．（ 5 分）（2014?江苏）若△ ABC的内角知足 sinA+sinB=2sinC，则小值是．【剖析】依据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可获得结论．【解答】解：由正弦定理得a+ b=2c，得 c= （a+b），cosC的最由余弦定理得 cosC====≥=，当且仅当时，取等，故≤cosC＜ 1，故cosC的最小值是．故答案为：．二、解答题（本大题共 6 小题，合计 90 分）15．（ 14 分）（ 2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=．（1）求 sin（ +α）的值；（2）求 cos（﹣2α）的值．【剖析】（1）经过已知条件求出 cosα，而后利用两角和的正弦函数求sin（ +α）的值；（ 2）求出 cos2α，而后利用两角差的余弦函数求cos（﹣2α）的值．【解答】解：α∈（，π），sin α= ．∴ cosα=﹣=（ 1） sin（ +α）=sinαsin α==﹣；cos +cos∴ sin（ +α）的值为：﹣．（2）∵α∈（，π），sin α= ．∴ cos2α=1﹣2sin2α=，sin2 α=2sin αcos﹣α=∴ cos（﹣ 2α）=cosαsin2α=﹣．cos2 +sin=cos（﹣2α）的值为：﹣．16．（ 14 分）（ 2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中， D，E，F 分别为棱 PC，AC， AB 的中点，已知 PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线 PA∥平面 DEF；（2）平面 BDE⊥平面 ABC．【剖析】（1）由 D、E 为 PC、AC 的中点，得出 DE∥ PA，从而得出 PA∥平面 DEF；（ 2）要证平面 BDE⊥平面 ABC，只要证 DE⊥平面 ABC，即证 DE⊥ EF，且 DE⊥AC即可．【解答】证明：（1）∵ D、 E为 PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵ PA?平面 DEF，DE? 平面 DEF，∴PA∥平面 DEF；（2）∵ D、E 为 PC、AC的中点，∴ DE= PA=3；又∵ E、F 为 AC、AB 的中点，∴ EF= BC=4；222∴ DE +EF =DF，∴∠ DEF=90°，∴ DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥ AC，∴ DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴ DE⊥平面 ABC；∵DE? 平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC．17．（ 14 分）（ 2014?江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中， F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，极点 B 的坐标为（ 0，b），连结 BF2并延伸交椭圆于点 A，过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C，连结 F1C．（1）若点 C 的坐标为（，），且 BF2= ，求椭圆的方程；（2）若 F1C⊥AB，求椭圆离心率 e 的值．【剖析】（1）依据椭圆的定义，成立方程关系即可求出a，b 的值．（ 2）求出 C 的坐标，利用 F ⊥AB 成立斜率之间的关系，解方程即可求出e的1C值．【解答】解：（1）∵ C 的坐标为（，），∴，即，∵，∴a2=（）2=2，即 b2=1，则椭圆的方程为+y2=1．（2）设 F1（﹣ c， 0），F2（ c，0），∵ B（ 0， b），∴直线 BF ：y=﹣x+b ，代入椭圆方程 +（＞＞）得（）x2﹣，2=1 a b0=0解得 x=0，或 x=，∵ A（，﹣），且 A，C 对于 x 轴对称，∴ C（，），则=﹣=，∵F1C⊥ AB，∴×（）=﹣1，由 b2=a2﹣c2得，即 e= ．18．（ 16 分）（ 2014?江苏）如图，为保护河上古桥 OA，规划建一座新桥BC，同时建立一个圆形保护区，规划要求：新桥BC与河岸AB 垂直；保护区的界限为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC相切的圆，且古桥两头 O 和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于 80m，经丈量，点 A 位于点 O 正北方向 60m 处，点 C 位于点 O 正东方向 170m 处（ OC为河岸）， tan∠ BCO= ．（1）求新桥 BC的长；（2）当 OM 多长时，圆形保护区的面积最大？【剖析】（1）在四边形 AOCB中，过 B 作 BE⊥ OC于 E，过 A 作 AF⊥BE于 F，设出 AF，而后经过解直角三角形列式求解 BE，进一步获得 CE，而后由勾股定理得答案；（2）设 BC与⊙ M 切于 Q，延伸 QM、 CO交于 P，设 OM=xm，把 PC、PQ 用含有 x 的代数式表示，再联合古桥两头 O 和 A 到该圆上随意一点的距离均许多于80m 列式求得 x 的范围，获得 x 取最小值时圆的半径最大，即圆形保护区的面积最大．【解答】解：（1）如图，过 B 作 BE⊥OC于 E，过 A 作 AF⊥BE于 F，∵∠ ABC=90°，∠ BEC=90°，∴∠ ABF=∠BCE，∴．设 AF=4x（ m），则 BF=3x（ m）．∵∠AOE=∠AFE=∠OEF=90°，∴ OE=AF=4x（m），EF=AO=60（m），∴ BE=（3x+60）m ．∵，∴ CE=（m）．∴（m）．∴，解得： x=20．∴BE=120m，CE=90m，则 BC=150m；（ 2）如图，设 BC与⊙ M 切于 Q，延伸 QM、CO交于 P，∵∠ POM=∠ PQC=90°，∴∠ PMO=∠ BCO．设 OM=xm，则 OP= m，PM= m．∴ PC=m，PQ=m．设⊙ M 半径为 R，∴ R=MQ=m=m．∵A、 O 到⊙ M 上任一点距离许多于 80m，则 R﹣AM≥80，R﹣OM≥80，∴136﹣﹣（ 60﹣x）≥ 80， 136﹣﹣x≥ 80．解得： 10≤x≤ 35．∴当且仅当 x=10 时 R 取到最大值．∴ OM=10m 时，保护区面积最大．19．（ 16 分）（ 2014?江苏）已知函数f （x）=e x+e﹣x，此中 e 是自然对数的底数．（1）证明： f（x）是 R 上的偶函数；（2）若对于 x 的不等式 mf （x）≤ e﹣x+m﹣1 在（ 0， +∞）上恒成立，务实数 m 的取值范围；（3）已知正数 a 知足：存在 x0∈[ 1，+∞），使得 f（x0）＜ a（﹣ x03+3x0）成立，试比较 e a﹣1与 a e﹣1的大小，并证明你的结论．【剖析】（1）依据函数奇偶性的定义即可证明f（ x）是 R 上的偶函数；（2）利用参数分别法，将不等式 mf（ x）≤ e﹣x+m﹣ 1 在（ 0， +∞）上恒成立，进行转变求最值问题即可务实数 m 的取值范围；（3）结构函数，利用函数的单一性，最值与单一性之间的关系，分别进行议论即可获得结论．【解答】解：（1）∵ f（ x） =e x+e﹣x，∴ f（﹣ x） =e﹣x+e x=f（x），即函数： f（x）是 R 上的偶函数；（2）若对于 x 的不等式 mf （x）≤ e﹣x+m﹣1 在（ 0， +∞）上恒成立，即 m（e x+e﹣x﹣1）≤ e﹣x﹣1，∵x＞0，∴e x+e﹣x﹣1＞0，即 m≤在（0，+∞）上恒成立，设 t=e x，（t＞ 1），则∵=﹣m≤在（ 1，+∞）上恒成立，=﹣，当且仅当t=2时等成立，∴ m．（3）令g（x）=e x+e﹣x﹣a（﹣x3+3x），则 g′（x）=e x﹣e﹣x+3a（x2﹣1），当 x＞1， g′（x）＞ 0，即函数 g（x）在 [ 1，+∞）上单一递加，故此时 g（x）的最小值 g（1） =e+ ﹣ 2a，因为存在 x0∈[ 1，+∞），使得 f（x0）＜ a（﹣ x03+3x0）成立，故 e+ ﹣2a＜0，即 a＞（e+ ），令 h（x） =x﹣（ e﹣ 1） lnx﹣1，则 h′（x）=1﹣，由 h′（x）=1﹣=0，解得 x=e﹣1，当 0＜x＜ e﹣ 1 时， h′（ x）＜ 0，此时函数单一递减，当 x＞e﹣ 1 时， h′（ x）＞ 0，此时函数单一递加，∴h（ x）在（ 0，+∞）上的最小值为 h（ e﹣ 1），注意到 h（ 1） =h（e）=0，∴当 x∈（ 1，e﹣1）? （0，e﹣1）时， h（ e﹣1）≤ h（ x）＜ h（1）=0，当 x∈（ e﹣1，e）? （ e﹣ 1， +∞）时， h（ x）＜ h（ e） =0，∴h（ x）＜ 0，对随意的 x∈（ 1，e）成立．① a∈（（e+），e）?（1，e）时，h（a）＜0，即a﹣1＜（e﹣1）lna，从而e a﹣ 1＜a e﹣1 ，②当 a=e 时， a e﹣1=e a﹣1，③当 a∈（ e， +∞） ? （ e﹣1，+∞）时，当a＞e﹣1 时， h（a）＞ h（e）=0，即 a﹣ 1＞（ e﹣1） lna，从而 e a﹣1＞a e﹣1．20．（ 16 分）（ 2014?江苏）设数列 { a n} 的前 n 项和为 S n，若对随意的正整数n，总存在正整数 m，使得 S n=a m，则称 { a n} 是“H数列”．（1）若数列 { a n} 的前 n 项和为 S n=2n（n∈N*），证明： { a n} 是“H数列”；（2）设 { a n } 是等差数列，其首项 a1=1，公差 d＜0，若 { a n} 是“H数列”，求 d 的值；（3）证明：对随意的等差数列 { a n} ，总存在两个“H数列”{b n} 和{ c n } ，使得 a n=b n+c n （n∈N*）成立．【剖析】（1）利用“当 n≥2 时， a n =S n﹣S n﹣1，当 n=1 时， a1=S1”即可获得 a n，再利用“H数”列的意义即可得出．（ 2）利用等差数列的前n 项和即可得出 S n，对 ? n∈ N*，? m∈N*使 S n=a m，取n=2 和依据 d＜ 0 即可得出；（ 3）设{ a n} 的公差为 d，结构数列： b n=a1﹣（ n﹣ 1）a1=（2﹣n）a1，c n =（n﹣1）（a1+d），可证明 { b n} 和{ c n} 是等差数列．再利用等差数列的前n 项和公式及其通项公式、“H”意义即可得出．的【解答】解：（1）当 n≥2 时， a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当 n=1 时， a1=S1=2．当 n=1 时， S1=a1．当 n≥2 时， S n n+1．=a∴数列 { a n} 是“H”数列．（ 2） S n==，对 ? n∈N*， ? m∈N*使 S n m，即，=a取 n=2 时，得 1+d=（m ﹣1）d，解得，∵ d＜ 0，∴ m＜2，又 m∈N*，∴ m=1，∴ d=﹣1．（3）设 { a n } 的公差为 d，令 b n=a1﹣（ n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对 ? n∈N*， b n+1﹣ b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对 ? n∈N*， c n+1﹣ c n=a1+d，则 b n+c n =a1+（n﹣1）d=a n，且数列 { b n} 和{ c n} 是等差数列．数列 { b n} 的前 n 项和 T n=，令 T n=（2﹣m）a1，则．当 n=1 时， m=1；当 n=2 时， m=1．当 n≥3 时，因为 n 与 n﹣3 的奇偶性不一样，即 n（n﹣3）为非负偶数， m∈N*．所以对 ? n∈ N*，都可找到 m∈N*，使 T n=b m成立，即 { b n } 为 H 数列．数列 { c n} 的前 n 项和 R n=，令 c m=（m﹣ 1）（a1+d）=R n，则 m=．∵对 ? n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴ m∈N*．**所以对 ? n∈ N ，都可找到 m∈N ，使 R n=c m成立，即 { c n } 为 H 数列．三、附带题（本大题包含选做题和必做题两部分）（一）选择题（此题包含21、22、23、24 四小题，请选定此中两个小题作答，若多做，则按作答的前两个小题评分）【选修 4-1：几何证明选讲】21．（ 10 分）（ 2014?江苏）如图， AB 是圆 O 的直径， C，D 是圆 O 上位于AB异侧的两点，证明：∠ OCB=∠D．【剖析】利用 OC=OB，可得∠ OCB=∠ B，利用同弧所对的圆周角相等，即可得出结论．【解答】证明：∵ OC=OB，∴∠ OCB=∠B，∵∠ B=∠ D，∴∠ OCB=∠D．【选修 4-2：矩阵与变换】22．（ 10 分）（2014?江苏）已知矩阵A=，B=，向量=，x，y 为实数，若 A =B ，求 x+y 的值．【剖析】利用矩阵的乘法，联合 A =B ，可得方程组，即可求x，y 的值，从而求得 x+y 的值．【解答】解：∵矩阵A=， B=，向量=，A=B，∴，∴x=﹣，y=4，∴x+y=【选修 4-3：极坐标及参数方程】（．江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程（t232014?为参数），直线 l 与抛物线 y2=4x 订交于 AB 两点，则线段 AB 的长为．【剖析】直线 l 的参数方程化为一般方程，与抛物线 y2=4x 联立，求出 A，B 的坐标，即可求线段 AB 的长．【解答】解：直线 l 的参数方程为（t为参数），化为一般方程为x+y=3，22与抛物线 y =4x 联立，可得 x ﹣10x+9=0，∴| AB| =故答案为：8=8．．【选修 4-4：不等式选讲】24．（ 2014?江苏）已知 x＞ 0， y＞ 0，证明（ 1+x+y2）（1+x2+y）≥ 9xy．【剖析】由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥，两式相乘可得结论．【解答】证明：由均值不等式可得1+x+y2≥3，1+x2+y≥分别当且仅当 x=y2=1，x2=y=1 时等成立，( 二）必做题（本部分包含25、26 两题，每题 10 分，合计 20 分）25．（ 10 分）（ 2014?江苏）盒中共有 9 个球，此中有 4 个红球， 3 个黄球和 2 个绿球，这些球除颜色外完整同样．（ 1）从盒中一次随机拿出 2 个球，求拿出的 2 个球颜色同样的概率 P；（ 2）从盒中一次随机拿出 4 个球，此中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1，x2，x3，随机变量 X 表示 x1，x2， x3中的最大数，求X 的概率散布和数学希望E（X）．【剖析】（1）先求出取 2 个球的全部可能，再求出颜色同样的全部可能，最后利用概率公式计算即可；（2）先判断 X 的全部可能值，在分别求出全部可能值的概率，列出散布列，依据数学希望公式计算即可．【解答】解（ 1 ）一次取 2 个球共有=36 种可能， 2 个球颜色同样共有=10 种可能状况∴拿出的 2 个球颜色同样的概率P=．（ 2）X 的全部可能值为 4，3，2，则（PX=4）=，P（X=3）=于是 P（X=2） =1﹣P（X=3）﹣ P（ X=4）=，X的概率散布列为X234P故 X 数学希望 E（X）=．26．（10 分）（2014?江苏）已知函数 f0（x）=（x＞0），设f n（x）为f n﹣1（x）的导数， n∈N*．（ 1）求 2f1（）+ f2（）的值；（ 2）证明：对随意n∈ N*，等式 | nf n﹣1（） + f n（） | =都成立．【剖析】（1）因为求两个函数的相除的导数比较麻烦，依据条件和结论先将原函数化为： xf0（ x）=sinx，而后两边求导后依据条件两边再求导得： 2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，把 x= 代入式子求值；（2）由（ 1）得， f0（x）+xf1（x）=cosx和 2f1（x）+xf2（x）=﹣sinx，利用同样的方法再对所得的式子两边再求导，并利用引诱公式对所得式子进行化简、概括，再进行猜想获得等式，用数学概括法进行证明等式成立，主要利用假设的条件、引诱公式、求导公式以及题意进行证明，最后再把x= 代入所给的式子求解考证．【解答】解：（1）∵ f0（x）=，∴ xf0（x）=sinx，则两边求导， [ xf0（ x）] ′=（sinx）′，∵f n（ x）为 f n﹣1（ x）的导数， n∈ N*，∴ f0（ x） +xf1（x）=cosx，两边再同时求导得， 2f1（x） +xf2（x）=﹣sinx，将 x= 代入上式得， 2f1（）+ f2（）=﹣1，（2）由（ 1）得， f0（x）+xf1（x）=cosx=sin（ x+ ），恒成立两边再同时求导得， 2f1（x） +xf2（x）=﹣sinx=sin（x+π），再对上式两边同时求导得，3f2（x） +xf3（x）=﹣cosx=sin（ x+），同理可得，两边再同时求导得，4f3（x）+xf4（x） =sinx=sin（ x+2π），猜想得，nf n﹣1（ x）+xf n（ x） =sin（x+）对随意n∈ N*恒成立，下边用数学概括法进行证明等式成立：①当n=1 时，成立，则上式成立；②假定n=k（k＞ 1 且k∈N*）时等式成立，即，∵[ kf k﹣1（x）+xf k（x）] ′=kf﹣1′（x） +f k（x）+xf k′（x）=（k+1）f k（ x） +xf k+1（ x）又===，∴那么 n=k+1（k＞1 且 k∈ N*）时．等式也成立，由①②得， nf n﹣1（x） +xf n（x）=sin（x+）对随意n∈N*恒成立，令x=代入上式得，nf n﹣1（）+ f n（）=sin（+） =± cos =±，所以，对随意n∈ N*，等式 | nf n﹣1（）+ f n（）| =都成立．。

2014年平面向量高考题及答案

平面向量【知识点】1、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．2、向量加法运算：⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=． ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++．3、向量减法运算：⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 4、向量数乘运算：⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+．baCBAa b C C -=A -AB =B⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．5、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．6、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）7、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++⎛⎫⎪++⎝⎭．（当时，就为中点公式。

江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选1分类汇编10：平面向量

【答案】提示一:利用夹角相等,则有 .
提示二:利用角平分线定理,根据相似比求得
．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三10月月考数学试题）已知非零向量a,b满足|a|=|a+b|=1,a与b夹角为120°,则向量b的模为________.
【答案】1
．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）如图, 在等腰三角形中, 底边 , , , 若 , 则 =_____.
【答案】
．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）已知是的外心, ,若且 ,则 _____________.
【答案】
．（江苏省盐城市2014届高三上学期期中考试数学试题）在中,若 ,则 = ________.
【答案】
．（江苏省兴化市2014届高三第一学期期中调研测试）已知在中, , ,设是的内心,若 ,则 __★__.
(1)若 ,且 ,求: 的坐标
(2)若 ,且与垂直,求与的夹角
【答案】解:设由得
所以,
(2)∵ 与垂直,∴
即 ;∴
∴ ,∵ ∴
．（江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题）设平面向量 ,若存在实数和角 ,其中 ,使向量 ,且 .
(Ⅰ)求的关系式;
(Ⅱ)若 ,求的最小值,并求出此时的值.
【答案】解: (Ⅰ)∵ ,且 ,∴
∴
(Ⅱ)设 ,又∵ ,∴ ,则
令得 (舍去)
∴ 时 , 时 ,∴ 时,即时,
为极小值也是最小值, 最小值为
．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）如图,在△OAB中,已知P为线段AB上的一点,
(1)若 ,求 , 的值;
(2)若 , , ,且与的夹角为60°时,求的值.

【聚焦典型题】(苏教版)2014届高考一轮数学(理)：《平面向量的数量积》

则|b|＝________.
32
单击题号显示结果 1 2 3 4
5
答案显示
B C D -16
单击图标显示详解
考向一平面向量数量积的运算
【审题视点】
【例1】►(1)若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.
(1)直接利用数量积的
(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是由于
三点提醒 (a·b)·c表示一个与c共线的向量，a·(b·c)表示一个与a共线的向
量，而a与c不一定共线，因此(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等． (3)向量夹角的概念要领会，比如在等边三角形ABC中，A→B与 B→C的夹角应为120°，而不是60°.
1、选择题 2 、填空题 3、解答题
考点梳理
1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 θ，则数量|a||b|cos θ 叫作 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a·b，即 a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a＝0. (2)几何意义：数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量 a，b 的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝ a·a＝ x21＋y21.
所以P→A·(P→B＋P→C)＝P→A·2P→M＝－4|P→M|2
M/
＝－49|A→M|2＝－49，故填－49.
答案 (1)－6 (2)－49

2014江苏高考导航一轮复习第五章平面向量,复数

第五章平面向量，复数第1课平面向量的有关概念机线性运算【基础检测】1．化简下列各式：AB →＋BC →＋CA →＝_____，MA →－MB →＝_____，(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →_____．答案：0 BA → AC →2．若向量λe 1－e 2与e 1－λe 2共线则实数λ的值等于__________．解析：∵λe 1－e 2与e 1－λe 2共线，∴存在实数k ，使λe 1－e 2＝k (e 1－λe 2)，化简得(λ－k ) e 1＋(kλ－1) e 2＝0.∵e 1、e 2不共线，∴由平面向量的基本定理可知：λ－k ＝0且kλ－1＝0，解得λ＝±1，故λ＝±1. 答案：±13．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，以CA →，CB →为基底，则CD →＝__________．答案：12(CA →＋CB →)4．判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若|a|＝|b|，则a ＝b ； (2)若a ＝b ，则|a|＝|b|； (3)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (4)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； (5)若|a|＝0，则a ＝0； (6)若λ＝0，则λa ＝0；(7)在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； (8)所有的单位向量的终点构成的图形是一个单位圆．解析：(1)不正确，因为a 与b 的方向不一定相同． (2)正确，因为相等的两个向量的长度一定相等．(3)正确．∵a ＝b ，∴a 与b 的长度相等且方向相同．∵b ＝c ，∴b 与 c 的长度相等且方向相同．∴a 与c 的长度相等且方向相同，∴a ＝c.(4)不正确，因为当b ＝0 时，a 与 c 不一定平行． (5)正确，因为长度为零的向量就是零向量． (6)不正确，因为当λ＝0 时，λa ＝0.(7)正确，因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD 中对边AB ，CD 平行且相等． (8)不正确，因为没有明确向量的起点在何处，单独讨论终点没有意义．5．已知|AB →|＝3，|AC →|＝5，则|BC →|的取值范围是__________．解析：当AB →与AC →异向时，|BC →|可取最大值8；当AB →与AC →同向时，|BC →|可取最小值2．所以|BC →|的取值范围是[2，8]．答案：[2，8]【经典例题】例1 若3m ＋2n ＝a ，m －3n ＝b ，其中a ，b 是已知向量，求m ，n ．解记3m ＋2n ＝a ①，m －3n ＝b ② 3×②得3m －9n ＝3b ③，①－③得11n ＝a －3b ，∴n ＝111a －311b ④将④代入②有：m ＝b ＋3n ＝311a ＋211b ．例2 设a ，b 是两个不共线向量，若a 与b 起点相同，t 为实数，t 为何值时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？解设a －t b ＝λ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b ) (λ∈R )，化简整理得：⎝⎛⎭⎫23λ－1a ＋⎝⎛⎭⎫t －13λb ＝0， ∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧23λ－1＝0t －λ3＝0⇒⎩⎨⎧λ＝32t ＝12，故t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三向量的终点在一条直线上．例3 如图，在△ABC 中，AM ∶AB ＝1∶3，AN ∶AC ＝1∶4，BN 与CM 交于点E ，且AB →＝a ，AC →＝b ，则AE →＝__________(用a ，b 表示)．解析：法一：以A 为原点，AB →，AC →所在直线分别为x ，y 轴，则M (13，0)，N (0，14).故方程为3x ＋y＝1，直线BN 方程为x ＋4y ＝1，解得交点E (311，211)，从而AE →＝311a ＋211b .法二：由题意知：AM →＝12AB →＝13a ，AN →＝14AC →＝14b .BN →＝AN →－AB →＝14b －a ，CM →＝AM →－AC →＝13a －b设EN →＝λBN →，EM →＝μCM →，则EN →＝λ4b －λa ，EM →＝μ3a －μb .∴AE →＝AN →－EN →＝14b －(λ4b －λa )＝λa ＋1－λ4b ，AE →＝AM →－EM →＝13a －(μ3a －μb )＝1－μ3a ＋μb ，∴λa ＋1－λ4b ＝1－μ3a ＋μb ，而a ，b 不共线．∴λ＝1－μ3且1－λ4＝μ.∴λ＝311.因此AE →＝311a ＋211b .答案：311a ＋211b【自主反馈】1．在平行四边形ABCD 中，E 为边DC 的中点，若以AB →，AD →为该平面的一组基底，则BE →＝__________．答案：AD →－12AB →2．设a ，b 是两个非零向量，给出下列四个命题： A ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B ．若a ⊥b ，则|a ＋b |＝|a |－|b |C ．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD ．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b|＝|a |－|b | 以上正确命题的个数是__________．解析：∵|a ＋b |＝|a|－|b |，∴(a ＋b )2＝(|a |－|b |)2，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2－2|a ||b |＋|b |2，∴a ·b ＝－|a ||b |.∵a ·b ＝|a ||b |·cos ﹤a ，b ﹥，∴cos ﹤a ，b ﹥＝－1，∴﹤a ，b ﹥＝π，此时a 与b 反向共线，因此A 错误．当a ⊥b 时，a 与b 不反向也不共线，因此B 错误．若|a ＋b |＝|a |－|b |，则存在实数λ＝－1，使b ＝－a ，满足a 与b 反向共线，故C 正确．若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a ＋b |＝|a ＋λa |＝|1＋λ||a |，|a |－|b |＝|a |－|λa |＝(1－|λ|)|a |，只有当－1≤λ≤0时，|a ＋b |＝|a |－|b |才能成立，否则不能成立，故D 错误．答案：13．已知向量a 、b 不共线，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A ，B ，C ，D 四点中，一定共线的三点是__________．解析：AD →＝CD →－CA →＝CD →＋AC →＝CD →＋AB →＋BC →＝(7a －2b )＋(a ＋2b )＋(－5a ＋6b )＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →.因为AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．答案：A ，B ，D4．P 为△ABC 平面上一点，PA ＋PB ＋PC＝0，则P 为△ABC 的__________心．答案：重5．(2007·辽宁改编)若函数y ＝f (x )的图象按向量a 平移后，得到函数y ＝f (x －1)－2的图象，则向量a 等于__________．解析：由y ＝f (x )得到y ＝f (x －1)－2，只需向右平移1个单位，再向下平移2个单位，∴a ＝(1，－2)．答案：(1，－2)6．(2012·新课标全国卷)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝__________．解析：∵a ，b 的夹角为45°，|a |＝1，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos 45°＝22|b |， ∴|2a －b |2＝4－4³22|b |＋|b |2＝10.∴|b |＝3 2. 答案：3 27．如图所示，已知点D ，E ，F 分别是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，求证：EA →＋FB →＋DC →＝0.证明：连结DE ，EF ，FD .因为D ，E ，F 分别是△ABC 三边的中点，所以四边形ADEF 为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得ED →＋EF →＝EA →①，同理在平行四边形BEFD 中，FD →＋FE →＝FB →②，在平行四边形CFDE 中，DF →＋DE →＝DC →③，将①②③相加，得EA →＋FB →＋DC →＝ED →＋EF →＋FD →＋FE →＋DE →＋DF →＝(EF →＋FE →)＋(ED →＋DE →)＋(FD →＋DF →)＝0.8．(2006·江西高考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过原点O )，则S 200＝__________．解析：∵OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A ，B ，C 三点共线，∴a 1＋a 200＝1，故根据等差数列的前n 项和公式得S 200＝(a 1＋a 200)³2002＝100.答案：1009．(2011·常州模拟)如图所示，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则m n 等于________．解析：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0， ∴OA ⊥OB ，且∠OBC ＝30°，又∵∠AOC ＝30°，∴OC →⊥AB →. ∴(mOA →＋nOB →)·(OB →－OA →)＝0， ∴－mOA →2＋nOB →2＝0，∴3n －m ＝0，即m ＝3n ，∴mn ＝3.答案：310．(2012·南京模拟)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________．解析：AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，于是得⎩⎨⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，所以λ＋μ＝43.答案：4311．(2007·江西高考理，15)如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为__________．解析：法一：∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.则m ＋n ＝2.法二：如图，过点O ，作OE ∥AM 且交AC 于点E ，则|EO →||AM →|＝|EN →||AN →|，又因为点O 是BC 的中点，所以EO →＝12AB →＝12mAM →，AE →＝12AC →＝12nAN →，EN →＝AN →－AE →＝2－n 2AN →，故有12m ＝2－n 2，所以m ＋n ＝2.法三：当点M 、N 分别与点B 、C 重合时，易知m ＋n ＝2. 答案：2第2课平面向量的坐标运算及数量积【基础检测】1．若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c ＝__________(用a ，b 表示)．答案：12a －32b2．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α＝__________．解析：∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0，即tan α＝34．答案：343．已知平行四边形ABCD 的两条对角线交于点E ，设AB ＝e 1，AD ＝e 2，用e 1，e 2来表示ED →，则ED →＝__________．答案：－12e 1＋12e 24．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋4b 与a －2b 平行，则实数m 的值为__________．解析：m a ＋4b ＝(2m －4，3m ＋8)，a －2b ＝(4，－1)，若m a ＋b 与a －2b 平行，则2m －44＝－3m －8，即2m －4＝－12m －32，解之得m ＝－2. 答案：－25．(2012·高考安徽卷)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3；则a ·b 的最小值是________．解析：利用向量减法的三角形法则及数量积的运算公式求解．由向量减法的三角形法则知，当a 与b 共线且反向时，|2a －b |的最大值为3.此时设a ＝λb (λ＜0)，则有|2a －b |＝|2λb －b |＝3， ∴|b |＝3|2λ－1|，|a |＝3|λ||2λ－1|.又由a ·b ＝|a |·|b |cos (a ，b )，知当a 与b 共线且反向时，a ·b 最小．有：a ·b ＝|a |·|b |·cos π＝－9|λ|(2λ－1)2＝9λ4λ2－4λ＋1＝9－⎝⎛⎭⎫－4λ－1λ－4≥－98⎝⎛⎭⎫当且仅当λ＝－12时取“＝”，∴最小值为－98. 答案：－98【经典例题】例1 平面直角坐标系xOy 中，O 是原点(如图)．已知点A (16，12)、B (－5，15)． (1)求| OA →|，|AB →|；(2)求∠OAB .解 (1)由OA →＝(16，12)，AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)，得|OA →|＝162＋122＝20，|AB →|＝(－21) 2＋32＝15 2. (2)cos ∠OAB ＝cos 〈AO →，AB →〉＝AO →·AB →|AO →||AB →|.其中AO →·AB →＝－OA →·AB →＝－(16,12)·(－21,3)＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.故cos ∠OAB ＝30020³152＝22.∴∠OAB ＝45°.例2 已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2). (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解 (1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0 x 2＋y 2＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－4， ∴c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4).(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0.∴2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝－1，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.例3 已知点O (0，0)，A (1，2)，B (4，5)及O P →＝OA →＝t AB →，试问： (1)当t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形OABP 是否能成为平行四边形？若能，则求出t 的值；若不能，请说明理由.解 (1)∵O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，∴OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3).OP →＝(1＋3t ，2＋3t )，则P (1＋3t ，2＋3t )，若P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23；若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0，所以t ＝－13；若P 在第三象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜02＋3t ＜0，所以t <－23.(2)∵OA →＝(1,2)，PB →＝PO →＋OB →＝(3－3t ,3－3t ). 若OABP 是平行四边形，则OA →＝PB →，即⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝13－3t ＝2，而此方程组无解，故四边形OABP 不可能是平行四边形.例4 (泰州市2011～2012学年第一学期期末，17)如图，半径为1圆心角为23π圆弧AB ︵上有一点C ．（1）当C 为圆弧AB ︵中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值. （2）当C 在圆弧AB ︵上运动时，D 、E 分别为线段OA 、OB 的中点，求²的取值范围．解（1）以O 为原点，以为x 轴正方向，建立图示坐标系，设D （t ，0）（0≤t ≤1），C （2222，-） AE DC∴+=（2222t ，+-） ∴2||OD OC +=212212++-t t =122+-t t （0≤t ≤1）当22=t 时，最小值为22 （2）设=（cos α，sin α）（0≤α≤23π） -==（0，21-）—（cos α，sin α）=（ααsin 21cos ---，）又∵D （021，），E （0，21-）∴=（2121--，） ∴CE ·DE =)sin 21(cos 21αα++=41)4sin(22++πα ∵4π≤4πα+≤47π∴CE ²DE ∈[22412241+-，]【自主反馈】1．(2010·北京高考)a ，b 为非零向量，“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )为一次函数”的__________．解析：由a ⊥b ，得a ·b ＝0，f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2a ·b ＋(b 2－a 2)x －a ·b ，若a ⊥b ，f (x )＝(b 2－a 2)x ，不一定是一次函数，若f (x )为一次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ＝0b 2－a 2≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ⊥b |b |≠|a |.答案：必要而不充分条件2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题的是________(填上所有真命题的序号)． ①若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0； ③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ； ④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .解析：a ·b ＝0⇒a ⊥b ，|a |2＝|b |2⇒(a ＋b )·(a －b )＝0⇒(a ＋b )⊥(a －b )；a ·b ＝a ·c ⇒a ⊥(b －c )；故①、③、④均错．答案：②3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，a ＋b ＝(3，1)，则|a －b |＝__________．答案：24．设两个非零向量a ＝(x ，2x )，b ＝(x ＋1，x ＋3)，若向量a 与b 的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是__________．解析：∵向量a ＝(x ，2x )，b ＝(x ＋1，x ∴a·b ＝3x 2＋7x ＞0，解得：x ＞0或x ＋3)≠2x (x ＋1)，∴x ≠1答案：x ＜－73或0＜x ＜1或x ＞15．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为__________．解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ²b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ²b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6．答案：66．(2012·江苏高考，9)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →的值是__________．解析：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB →·AF →＝2⇒2x ＝2⇒x ＝1，所以F (1,2)，AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. 答案： 27．(无锡市2012届高三上学期期末考试试卷，13)设点O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，且0222=+-AB AC AC ，则AO BC ∙的范围是．解析：取BC 的中点D ，则2211()()()()22BC AO BC AD DO BC AD AC AB AB AC b c ⋅=⋅+=⋅=-⋅+=- ，又由已知知：2220b b c -+=，得222c b b =-+，且02b <<，∴22111()[,2)244BC AO b b b ⋅=-=--∈- ，即AO BC ∙的范围是1[,2)4-。

【高考复习方案】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第25讲平面向量基本定理及坐标表示

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第25讲
平面向量基本定理及坐标表示
• 双向固基础
—— 链接教材 ——
1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，2)，则3a－ 2b=____________．
[答案] (7，－7)
[解析] 3a－2b＝3(3，－1)－2(1，2)＝(7，－7)．
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平面向量基本定理及坐标表示
图5-25-2
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• 双向固基础
(2)平面向量的坐标运算
向量 a b a ＋b a －b λa 坐标 (x1，y1) (x2，y2)
(x1＋x2，y1＋y2) ________________
________________ (x1－x2，y1－y2) ________________ (λx1，λy1)
1→ 1→ → 3AB）＋（AF－3AD）， 1 → → 1→ → → → → → ∴AC＝(AE＋AF)－3(AB＋AD)＝(AE＋AF)－3AC， 4→ → → 3 3 ∴ AC ＝AE＋AF，∴m＝n＝，m＋n＝ . 3 4 2
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平面向量基本定理及坐标表示
•
［归纳总结］平面向量基本定理的作用： (1)能把平面上的不同向量用基底向量表示出来，其做点面法是：先选择一组不共线的基底，通过向量的加、减、数讲乘，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，有时还利用考向量相等建立方程组，再解出某些相关的值．向 (2)平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，即a＝(x，y)一一对应，向量 → 对应点A(x，y)． OA
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第25讲

2014年高中数学题型分析(平面向量)

2014年全国高考理科数学试题分类汇编：平面向量（教师）1、（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，【答案】A2、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设0,P ABC ∆是边AB上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P 00∙≥∙.则（）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =【答案】D3、2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））在四边形ABCD中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）A B ．C ．5 D ．10【答案】C4、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P O PO A O B R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D5、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．⎝⎦C ．⎝D ．⎝ 【答案】D6、（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】A7、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥-,则=λ（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-1【答案】B8、（2013年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（）A B C ．D ．【答案】A9、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______.【答案】210、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量(1)a k =，,(9 6)b k =-，.若//a b ,则实数 k = __________【答案】34-11、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB =,2AC =,若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥, 则实数λ的值为__________.【答案】71212、（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.【答案】t =2.13、（2013年高考北京卷（理））向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb(λ,μ∈R),则λμ=_________.【答案】414、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则的最大值等于________.【答案】215、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））设E D ，分别是A B C ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.【答案】1216、（2013年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________.【答案】217、（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________【答案】5218、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形ABCD中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为______. 【答案】122014年全国高考理科数学试题分类汇编：平面向量（学生）1、（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（）A ．3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-B ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，-C ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，2、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设0,P ABC ∆是边AB上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00∙≥∙.则（）A ．090=∠ABCB ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =3、2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））在四边形ABCD中,(1,2)AC =,(4,2)BD =-,则四边形的面积为（）A B ．C ．5 D ．104、（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P O PO A O B R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（）A ．B ．C ．D ．5、（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））在平面上,12AB AB ⊥,121OB OB ==,12AP AB AB =+.若12OP <,则OA 的取值范围是（）A ．0,2⎛ ⎝⎦B ．22⎛ ⎝⎦C ．2⎛ ⎝D ．2⎛ ⎝6、（2013年高考湖南卷（理））已知,a b 是单位向量,0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是（）A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦7、（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥-,则=λ（）A ．4-B ．3-C ．2-D ．-18、（2013年高考湖北卷（理））已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为（）ABC．D． 9、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =_______.10、（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）已知向量(1)a k =，,(9 6)b k =-，.若//a b ,则实数 k = __________11、（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知向量AB 与AC的夹角为120°,且3AB =,2AC =,若AP AB AC λ=+,且AP BC ⊥, 则实数λ的值为__________.12、（2013年高考新课标1（理））已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =t a +(1-t)b ,若b ·c =0,则t =_____.13、（2013年高考北京卷（理））向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb(λ,μ∈R),则λμ=_________.14、（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||b 的最大值等于________.15、（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））设E D ，分别是A B C ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若21λλ+= (21λλ，为实数),则21λλ+的值为__________.16、（2013年高考四川卷（理））在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB AD AO λ+=,则λ=_________.17、（2013年高考江西卷（理））设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为3π,若123a e e =+,12b e =,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________18、（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在平行四边形ABCD中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为______.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解(江苏卷)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）一、填空题（共14小题；共70分）1. 已知集合A=−2,−1,3,4，B=−1,2,3，那么A∩B=．2. 已知复数z=5−2i2，那么z的实部为．3. 如图是一个算法流程图，则输出的n的值是．4. 从1，2，3，6这四个数中一次随机地取两个数，则所取两个数的乘积为6的概率是．5. 已知函数y=cos x与y=sin2x+φ0≤φ≤π，它们的图象有一个横坐标为π3的交点，那么φ的值是．6. 为了了解一片经济林的生产状况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在80,130内，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100 cm．7. 在各项均为正数的等比数列a n中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是．8. 已知甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且S1S2=94，则V1V2=．9. 在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y−3=0被圆x−22+y+12=4截得的弦长为．10. 已知函数f x=x2+mx−1，若对于任意的x∈m,m+1，都有f x<0成立，则实数m的取值范围是．11. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P2,−5，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12. 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP=3PD，AP⋅BP=2，那么AB⋅AD的值是．13. 已知f x是定义在R上且周期为3的函数，当x∈0,3时，f x=x2−2x+12.若函数y=f x−a在区间−3,4上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是 .14. 若△ABC的内角满足sin A+B=2sin C，则cos C的最小值是．二、解答题（共6小题；共78分）15. 已知α∈π2,π ，sinα=55．（1）求sinπ4+α 的值；（2）求cos5π6−2α 的值．16. 如图，在三棱锥P−ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．（1）求证：直线PA∥平面DEF；（2）求证：平面BDE⊥平面ABC．17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x2y2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，顶点B的坐标为0,b，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C．（1）若点C的坐标为43,13，且BF2=2，求椭圆的方程；（2）若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值．18. 如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界是以圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端点O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m .经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O.正东方向170 m处（OC为河岸），tan∠BCO=43（1）求新桥BC的长；（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大?19. 已知函数f x=e x+e−x．（1）求证：f x是R上的偶函数；（2）若关于x的不等式mf x≤e−x+m−1在0,+∞上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存在x0∈1,+∞，使得f x0<a−x03+3x0成立，试比较e a−1与a e−1的大小，并证明你的结论．20. 设数列a n的前n项和为S n．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称a n是“ H数列”．（1）若数列a n的前n项和S n=2n n∈N∗，证明：a n是“ H数列”；（2）设a n是等差数列，其首项a1=1，公差d<0．若a n是“ H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列a n，总存在两个“ H数列” b n和c n，使得a n=b n+c n n∈N∗成立．答案第一部分1. −1,3【解析】由题意知A∩B=−1,3．2. 21【解析】由题意知z=5−2i2=52−2×5×2i+2i2=21−20i，实部为21，虚部为−20．3. 5【解析】列表如下：故输出的n的值为5．4. 13【解析】从1，2，3，6中随机取两个数，基本事件为1,2，1,3，1,6，2,3，2,6，3,6，共6个．其中满足乘积为6的基本事件为1,6，2,3，共2个，故所求的概率为13．5. π6【解析】由题意知cosπ3=12=sin2×π3+φ ，解得2π3+φ=π6+2kπ，k∈Z或2π3+φ=5π6+2kπ，k∈Z，故φ=−π2+2kπ，k∈Z或φ=π6+2kπ，k∈Z．又φ∈0,π，则φ=π6．6. 24【解析】由题图知底部周长在80,90内的频率为0.015×10=0.15，底部周长在90,100内的频率为0.025×10=0.25，样本容量为60，则0.15+0.25×60=24（株）．7. 4【解析】由已知，得a2q6=a2q4+2a2q2，即q4−q2−2=0，解得q2=2，从而a6=a2q4=4．8. 32【解析】由题意知，S1S2=πr12πr22=r12r22=94，所以r1r2=32，圆柱的侧面积S侧=2πrℎ，又S侧1=2πr1ℎ1=S侧2=2πr2ℎ2，则ℎ1ℎ2=r2r1=23，所以V1V2=S1ℎ1S2ℎ2=94×23=32．9. 2555【解析】由题意知圆的圆心为2,−1，半径为2，则圆心2,−1到直线x+2y−3=0的距离为12+22=355；所以所求弦长为222−3552=2555．10. −22,0【解析】因为二次函数开口向上，在区间m,m+1上始终满足f x<0，所以只需f m<0,f m+1<0即可，m2+m2−1<0,m+12+m m+1−1<0,解得−22<m<22,−32<m<0,故实数m的取值范围为 −22,0．11. −3【解析】由点P2,−5在曲线y=ax2+bx 上，得4a+b2=−5．⋯⋯①由y=ax2+bx ，得yʹ=2ax−bx2．由题意，得2a⋅2−b4=−72．⋯⋯②联立①②，解得a=−1，b=−2，所以a+b=−3．12. 22【解析】以AB，AD为基底，因为CP=3PD，AP⋅BP=2，又AP=AD+DP=AD+14AB，BP=BC+CP=AD−34AB，所以AP⋅BP=2= AD+14AB⋅ AD−34AB=AD2−1AD⋅AB−3AB2.因为AB=8，AD=5，所以2=25−316×64−12AB⋅AD，故AB⋅AD=22．13. 0,12【解析】画出函数图象，根据图象交点个数得出a的取值范围即可，图象如下：14. 6−24【解析】因为sin A+2sin B=2sin C，由正弦定理得a+2b=2c．所以cos C=a2+b2−c22ab=4a2+4b2− a+2b 2=3a2+2b2−2≥23a2⋅2b2−2=64−24,当且仅当3a2=2b2即=时取等号．第二部分15. （1）因为α∈π2,π ,sinα=55，所以cosα=− 2α=−255．故sin π4+α =sinπ4cosα+cosπ4sinα=2× −25+2×5 =−1010.（2）由（1）知sin2α=2sinαcosα=2×55× −255=−45，cos2α=1−2sin2α=1−2×552=35，所以cos 5π6−2α =cos5π6cos2α+sin5π6sin2α= −32×35+12× −45=−4+33.16. （1）因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥PA．因为PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以PA∥平面DEF．（2）因为D，E分别为PC，AC的中点所以DE=12PA=3．因为E，F分别为AC，AB的中点，所以EF=12BC=4，所以DE2+EF2=DF2，所以∠DEF=90∘，所以DE⊥EF．因为DE∥PA，PA⊥AC，所以DE⊥AC，因为AC∩EF=E，AC⊂平面ABC，EF⊂平面ABC，所以DE⊥平面ABC．因为DE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC．17. （1）因为点C43,13在椭圆上，所以169a+19b=1，即16a +1b=9．因为BF22=b2+c2=a2，所以a2=22=2，所以b2=1，所以椭圆的方程为x 22+y2=1．（2）设焦点F1的坐标为−c,0，F2的坐标为c,0，因为点B的坐标为0,b，所以直线BF2的方程为y=−bcx+b．联立x2a2+y2b2=1,y=−bcx+b,整理得1a2+1c2x2−2cx=0，解得x=0或x=2a 2ca2+c2．因为点A的坐标为2a 2ca2+c2,b−2a2ba2+c2，且A，C关于x轴对称，所以点C的坐标为2a 2ca2+c2,2a2ba2+c2−b ，所以k F1C =2a2ba2+c2−b2a2c22+c=a2b−bc23a c+c．因为AB⊥CF1，所以a 2b−bc23a2c+c3× −bc=−1，由b2=a2−c2，得c2a2=15，即e=55．18. （1）如图所示，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy .由条件知A0,60，C170,0，直线BC的斜率K BC=−tan∠BCO=−43.又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=34.设点B的坐标a,b，则k BC=b−0a−170=−43，k AB=b−60a−0=34，解得a=80,b=120，所以BC=170−802+0−1202=150 . 因此新桥BC的长是150 m .（2）设保护区的边界圆M的半径为r m，OM=d m0≤d≤60 . 由条件知，直线BC的方程为y=−43x−170，即4x+3y−680=0 . 由于圆M与直线BC相切，故点M0,d到直线BC的距离是r，即r=22=680−3d5.因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，所以r−d≥80,r−60−d≥80,即680−3d5−d≥80,680−3d5−60−d≥80,解得10≤d≤35 .故当d=10时，r=680−3d5最大，即圆面积最大．所以当10 m时，圆形保护区的面积最大．19. （1）任意的x∈R，f−x=e−x+e x=f x，所以f x是R上的偶函数．（2）由题意，m e x+e−x≤e−x+m−1，即m e x+e−x−1≤e−x−1．因为x∈0,+∞，所以e x+e−x−1>0，即m≤e −x−1e+e−1对x∈0,+∞恒成立．令t=e x t>1，则m≤1−tt−t+1对任意t∈1,+∞恒成立．因为1−tt2−t+1=−t−1t−12+t−1+1=−1t−1+1+1≥−13，当且仅当t=2，即x=ln2时等号成立，所以实数m的取值范围是 m m≤−13．（3）fʹx=e x−e−x，当x>1时，fʹx>0，所以f x在1,+∞上单调递增．令ℎx0=a−x03+3x0，ℎʹx0=−3a x0+1x0−1，因为a>0，x0>1，所以ℎʹx0<0，即ℎx0在x∈1,+∞上单调递减．因为存在x0∈1,+∞，使得f x0<a−x03+3x0成立，所以f1=e+1e <2a，即a>12e+1e．因为ln a e−1e=ln a e−1−lne a−1=e−1ln a−a+1，设m a=e−1ln a−a+1，则mʹa=e−1a −1=e−1−aa，a>12e+1e．当12e+1e<a<e−1时，mʹa>0，m a单调递增；当a>e−1时，mʹa<0，m a单调递减．因此m a至多有两个零点，又m1=m e=0，所以当a>e时，m a<0，当12e+1e<a<e时，m a>0，当a=e时，m a=0．因为m a<0⇔a e−1<e a−1，m a>0⇔a e−1>e a−1，m a=0⇔a e−1=e a−1．综上，当12e+e−1<a<e时，a e−1>e a−1；当a=e时，a e−1=e a−1；当a>e时，a e−1<e a−1．20. （1）首先a1=S1=2，当n≥2时，a n=S n−S n−1 =2n−2n−1=2n−1,所以a n=2,n=1, 2n−1,n≥2,所以对任意的n∈N∗,S n=2n=a n+1，因此数列a n是“ H数列”．（2）由题意a n=1+n−1d,数列a n是“ H数列”，则存在k∈N∗，使n+n n−12d=1+k−1d，故k=n−1+n n−1+1,由于n n−12∈N∗,k∈N∗，则n−1d∈Z对一切正整数n均成立，所以d=−1．（3）首先，若d n=bn（b为常数），则数列d n的前n项和S n=n n+12b,是数列d n中的第n n+12项，因此数列d n是“ H数列”．对任意的等差数列a n，a n=a1+n−1d（d为公差），设b n=na1，c n=d−a1n−1，则a n=b n+c n,而数列b n,c n都是“ H数列”，结论成立．所以，对任意的等差数列a n，总存在两个“ H数列” b n和c n，使得a n=b n+c n n∈N∗成立．。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编11：平面向量(学生版)

∵ A、B、D三点共线,∴ ABBD即3e12e2 =[3e1(1e2 ]uu u r uuu r u r ur u r u r u r3332(1(2 ADABBCCD( 3e12e2 +(e1 +e2 +(2e1e2 = (3e2 o若A90 ,则ABAD2(3e203 uuu r uu u r uuu r uuu r ur u r u r u r ur ur uu u r uuu r u r2 o若B90 ,则ABBD9e12(1e20uu u r uuu r u r2 u r2 7 2 o若D90 ,则BDAD(1(3e203或1 uuu r uuu r u r2综上所述实数的值为3或1或48. 7 2 49.1 ;又当x2时, a与b的夹角为, 21所以当a与b的夹角为钝角时, x的取值范围为(,2(2, 2(2由acac知, ac0 ,即( x1[ x(m1]0 ; (1由题知: ab2 x10 ,解得x第11页，共13页
当m2时,解集为{x m1x1} ;当m2时,解集为空集;当m2时,解集为{x 1xm1} 50.【解析】由a与b2c垂直，a(b2cab2ac0，即4sin(8cos(0，tan(2；bc(sincos,4cos4sin| bc |2sin22sincoscos216cos232cossin16sin 21730sincos1715sin 2，最大值为32，所以| bc |的最大值为4 2。由tantan所以a ∥ b .16得sinsin16coscos，即4cos4cossinsin0，51θ =0, 3即5sin2θ -3=0,所以sin2θ = 5 (2因为a⊥b,所以1×5cosθ +2sinθ ×3=0 5所以tanθ =6 π tanθ＋tan 4 1 π所以tan(θ + = = 4 π 11 1－tanθ tan 4 52.已知e1 , e2是夹角为60°的单位向量,且a2e1e2 , b3e12e2 .(1求ab ;(2求a与b的夹角a, b.解:(1 ab =( (2e1e2(3e12e2 =-6 e 1 + e1e2 +2 e 2 =(2 | a || 2e1e2 |(2e1e27 ,同理得| b |7 , 222 7 2ab 1所以cosa, b,又a, b[0,180] ,所以a, b=120°. 2 | a || b | 53. (1 AB(3,5, AC(1,1求两条对角线长即为求| ABAC |与| ABAC | ,第12页，共13页

「精选」人教版最新江苏省高三数学一轮复习备考试题：平面向量(含答案)及参考答案-精选文档

高考一轮复习备考试题(附参考答案) 平面向量一、填空题1、（2014年江苏高考）如图，在平行四边形ABCD 中，已知5,8==AD AB ，2,3=⋅=BP AP PD CP ，则AD AB ⋅的值是 ▲ ．2、（2013年江苏高考）设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=，若AC AB DE 21λλ+= （21λλ，为实数），则21λλ+的值为。

3、（2012年江苏高考）如图，在矩形ABCD 中，22AB BC ==，，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ．4、（2015届江苏南京高三9月调研）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(0，－1)．若(a ＋λb )⊥a ，则实数λ＝ ▲ ．5、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知△ABC 中，∠C =90°，34CA CB ==，，D E 、分别为边CA CB 、上的点，且6BD CA ⋅=， 8A E C B⋅=，则AE BD ⋅= ▲ ． 6、（2015届江苏苏州高三9月调研）如图,AB 是半径为3的圆O 的直径,P 是圆O 上异于,A B 的一点 Q 是线段AP 上靠近A 的三等分点,且4,AQ AB ⋅=则BQ BP ⋅的值为 ▲7、（南京市2014届高三第三次模拟）在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →的取值范围为 ▲ ．8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ▲ ．9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O ，A ，B ，C 满足2OA BC ⋅=，3OB CA ⋅=，则OC AB ⋅ = ▲ ．10、（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△ABC 中，已知π3BAC ∠=，2AB =，3AC =， 2DC BD =，3AE ED =，则BE = ▲ ．11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知|OA →|＝1，|OB →|＝2，∠AOB ＝2π3，OC →＝12OA →＋14OB →，则OA →与OC →的夹角大小为 ▲12、（2014江苏百校联考一）如图，PQ 是半径为1的圆A 的直径，△ABC 是边长为1的正三角形，则CQ BP ∙的最大值为13、（2014南通二模）在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 14、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））如图，在△ABC 中，BO 为边AC 上的中线，2BG GO =，设CD ∥AG ，若15AD AB AC =+λ()∈R λ，则λ的值为 ▲15、（兴化市2014届高三上学期期中）已知在ABC ∆中，3==BC AB ，4=AC ，设O 是ABC ∆的内心，若AC n AB m AO +=，则=n m :3:4．二、解答题1、（2013年江苏高考）已知(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，，παβ<<<0。

江苏省南京2014届高三数学一轮复习平面向量单元训练

南京大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：平面向量本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线（其中n mn R n m 则且)0,≠∈等于( )A ．21-B ．21C ．2D ．2【答案】A2．已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两个切点，那么PA PB •的最小值为( ) A ．42-+ B ．32-+C ．422-+D ．322-+【答案】D 3．已知的夹角是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b ) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b的夹角是( )A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π【答案】B5．已知向量a ，b 满足：||3,||5,a b a b λ===且，则实数λ=( )A ．35B ．53C ．35±D ．53±【答案】C6．若等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，3AB =，2BC =45ABC ∠=，则AC BD ⋅ 的值为( ) A ．3- B ．7- C ．3 D ．9 【答案】A7．如图，在OAB ∆中，点P 是线段OB 及AB 、AO 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OP xOA yOB =+，则在直角坐标平面上，实数对(),x y 所表示的区域在直线3y x -=的右下侧部分的面积是( )A ．72B ．92C ．4D ．不能求【答案】A8．已知，，且，则向量与向量的夹角是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B9．已知a,b 是不共线的向量，=λa+b, =a+μb,(λ,μ∈R ），则A 、B 、C 共线的充要条件是( )A ．λ+μ=1B ．λ-μ=1C ．λμ=1D ．λμ=-1 【答案】C 10．已知向量，若，则等于( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C11．设M 是□ABCD 的对角线的交点，O 是任意一点，则OA OB OC OD +++等于( )A ．OMB ． 2OMC ． 3OMD ． 4OM【答案】D12．在平面直角坐标系中，点A(1，2)、点B(3，1)到直线l 的距离分别为1，2，则符合条件的直线条数为( ) A ．3 B ．2 C ．4 D ．1 【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知221,2,()0a b a b a ==-⋅=,则a 与b 的夹角为【答案】4π 14．已知AB =212ke e + CB =213e e + CD =212e e - ，若A 、B 、D 三点共线，则k=___________. 【答案】-415．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若，，，则的值为___________. 【答案】316．已知，，A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，若由向量1253OP OA OB OC λ=++确定的点P 与A B C ，，共面，那么λ=【答案】215三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知1e ，2e 是夹角为60°的单位向量，且122a e e =+，1232b e e =-+。

【创新设计】2014版高考数学一轮复习 5.4 平面向量的应用理苏教版

5.4 平面向量的应用一、填空题1.如图,在△ABC 中,AD ⊥AB,BC 3 BD,AD 1,AD ΑC==则·等于________.解析AC AD AC AD cos DAC AC cos DAC AC sin BAC 1BC sinB BC BD13BD 3.BD⋅=⋅∠=⋅∠=∠==⋅=⋅=答案 32．在△ABC 中，若BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c 且a·b＝b·c＝c·a, 则△ABC 的形状是____________．解析由a·b＝b·c＝c·a，a ＋b ＋c ＝0，得AB ＝BC ＝CA ，所以△ABC 为等边三角形．答案等边三角形3．设O 为坐标原点，A (1，1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2≥1，0≤x ≤1，0≤y ≤1.则OA →·OB →的最大值是________．解析 OA →·OB →＝(1,1)·(x ，y )＝x ＋y ，当B 取点A 时，(x ＋y )max ＝2. 答案 24．已知△ABO 三顶点的坐标为A (1,0)，B (0,2)，O (0,0)，P (x ，y )是坐标平面内一点，且满足AP →·OA →≤0，BP →·OB →≥0，则OP →·AB →的最小值为________．解析由已知得AP →·OA →＝(x －1，y )·(1,0)＝x －1≤0，且BP →·OB →＝(x ，y －2)·(0,2)＝2(y －2)≥0，即x ≤1，且y ≥2，所以OP →·AB →＝(x ，y )·(－1,2)＝－x ＋2y ≥－1＋4＝3.答案 35．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →＝________.解析 AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB ，所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52.答案 526．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且AB →·CD →＝BC →·AE →，则a 2，b 2，c 2成________数列．解析由AB →·CD →＝BC →·AE →，得(CB →－CA →)·(CB →＋CA →)＝(AC →－AB →)·(AC →＋AB →)，即CB →2－CA →2＝AC →2－AB →2，所以a 2－b 2＝b 2－c 2，所以a 2，b 2，c 2成等差数列．答案等差7．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝1，那么c ＝________.解析由题知AB →·AC →＋BA →·BC →＝2，即AB →·AC →－AB →·BC →＝AB →·(AC →＋CB →) ＝AB →2＝2⇒c ＝|AB →|＝ 2. 答案28．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (0，－1)，B (－3，－4)两点，若点C 在∠AOB 的平分线上，且|OC |→＝10，则点C 的坐标是________．解析设C (x ，y )，则x 2＋y 2＝10，且C 在∠AOB 平分线上，OA →·OC→|OA →||OC →|＝OC →·OB→|OC →||OB →|，∴－y10＝－3x －4y 510，推出y ＝3x . 给合点的位置关系，取x ＝－1，y ＝－3，即(－1，－3)．答案 (－1，－3)9．已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，则PA →·PB →的最小值为________．解析设|PA →|＝|PB →|＝t ，∠APB ＝θ，则cos θ2＝t1＋t2，cos θ＝t 2－1t 2＋1， PA →·PB →＝t 2·t 2－1t 2＋1＝t 4－t 2t 2＋1＝t 2＋1＋2t 2＋1－3≥22－3. 当且仅当t 2＋1＝2，即t 2＝2－1时等号成立，所以PA →·PB →的最小值为22－3.答案 22－310．设OM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，ON →＝(0,1)，O 为坐标原点，动点P (x ，y )满足0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝y －x 的最小值是________．解析因为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋12y ≤1，0≤y ≤1，所以可行域如图所示，所以当直线y －x ＝z 经过点A (1,0)时，z min ＝－1.答案－111．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．解析如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)，所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎪⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得．答案 212．下列命题中：①若|a ·b |＝|a |·|b |，则a ∥b ；②a ＝(－1,1)在b ＝(3,4)方向上的投影为15；③若△ABC 中，a ＝5，b ＝8，c ＝7，则BC →·CA →＝20；④若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|b |，则|2b |>|a ＋2b |.真命题的序号是________．解析 ①由|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|＝|a ||b |，cos θ＝±1，θ＝0或π，所以a ∥b ，①正确．②a 在b 上的投影为a ·b |b |＝15，②正确．③BC →·CA →＝－ab cos C ＝－12(a 2＋b 2－c 2)＝－12(52＋82－72)＝－20，③不正确．④由|a ＋b |＝|b |，得(a ＋b )2＝b 2，即a 2＋2a ·b ＝0，所以a 2＋4a ·b ＝2a ·b ＝－a 2<0，所以4b 2>a 2＋4a ·b ＋4b 2＝(a ＋2b )2，即|2b |>|a ＋2b |，即④正确．答案 ①②④13．直线l 与函数y ＝sin x (x ∈[0，π])的图象相切于点A ，且l ∥OP ，O 为坐标原点，P为图象的极值点，l 与x 轴交于B 点，过切点A 作x 轴的垂线，垂足为C ，则BA →·BC ＝________. 解析由条件，P 为⎝⎛⎭⎪⎫π2，1，设切点A (x 0，y 0)，即A (x 0，sin x 0)，直线OP 斜率为2π，切线斜率为(sin x )′|x ＝x 0＝cos x 0＝2π，∴切线方程为：y －sin x 0＝2π(x －x 0)，令y ＝0，x ＝x 0－πsin x 02，从而B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－πsin x 02，0，C 为(x 0,0)，从而BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x 0，sin x 0，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x 0，0. 则BA →·BC →＝π24sin 2x 0＝π24(1－cos 2x 0)＝π24⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4π2＝π24－1.答案 π24－1二、解答题14．已知在锐角△ABC 中的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，定义向量m ＝(sin B ，－3)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos 2B ，4cos 2B 2－2，且m ∥n .(1)求函数f (x )＝sin 2x cos B －cos 2x sin B 的单调递减区间； (2)若b ＝1，求△ABC 的面积的最大值．解析 (1)因为m ∥n ，所以⎝⎛⎭⎪⎫4cos 2B2－2sin B ＋3cos 2B ＝2sin B cos B ＋3cos 2B ＝sin 2B＋3cos 2B ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B ＋π3＝0，所以B ＝π3.所以f (x )＝sin(2x －B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.于是由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋512π，k π＋1112π，k ∈Z .(2)当b ＝1时，由余弦定理，得1＝a 2＋c 2－2ac cosπ3＝a 2＋c 2－ac ≥ac ，所以S △ABC ＝12ac sin π3≤34，当且仅当a ＝c ＝1时等号成立，所以(S △ABC )max ＝34.15．已知向量m ＝(2cos x2，1)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1(x ∈R )，设函数f (x )＝m ·n －1.(1)求函数f (x )的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若f (A )＝513，f (B )＝35，求f (A ＋B )的值．解析 (1)f (x )＝m ·n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos x 2，1·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x2，1－1＝2cos x 2sin x2＋1－1＝sin x .因为x ∈R ，所以函数f (x )的值域为[－1,1]．(2)因为f (A )＝513，f (B )＝35，所以sin A ＝513，sin B ＝35.因为A ，B 都是锐角，所以cos A ＝1－sin 2A ＝1213，cos B ＝1－sin 2B ＝45，故f (A ＋B )＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝513×45＋1213×35＝5665，即f (A ＋B )的值为5665. 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(2a ＋c )·BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，试求AB →·CB →的最小值．解析 (1)因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0，所以(2a ＋c )ac cos B ＋abc cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，所以(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0，即2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0，因为sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝－12，所以B ＝2π3.(2)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3，所以12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，即ac ≤4，所以AB →·CB →＝ac cos 2π3＝－12ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立，所以AB →·CB →的最小值为－2.17．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解析 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →(－1,1)则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210， |AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.18．已知向量OA →＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)，动点M 到定直线y ＝1的距离等于d ，并且满足OM →·AM →＝k (CM →·BM →－d 2)，其中O 为坐标原点，k 为参数．(1)求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型． (2)当k ＝12时，求|OM →＋2AM →|的最大值和最小值．解析 (1)设M (x ，y )，则由OA →＝(2,0)，OC →＝AB →＝(0,1)且O 为原点得，A (2,0)，B (2,1)，C (0,1)．从而OM →＝(x ，y )，AM →＝(x －2，y )，CM →＝(x ，y －1)，BM →＝(x －2，y －1)，d ＝|y －1|，代入OM →·AM→＝k (CM →·BM →－d 2)，得(1－k )x 2＋2(k －1)x ＋y 2＝0为所求的轨迹方程．当k ＝1时，所求轨迹是一条直线y ＝0；当k ≠1时，(x －1)2＋y 21－k ＝1，若k ＝0，则为圆；若0<k <1或k <0，则为椭圆；若k >1，则为双曲线． (2)由(1)知当k ＝12时，点M 的轨迹方程为(x －1)2＋2y 2＝1，则0≤x ≤2， ∴|OM →＋2AM →|＝＝3x －42＋9y 2＝3x －42＋92－92x －12＝92x 2－15x ＋16＝ 92⎝ ⎛⎭⎪⎫x －532＋72， ∴当x ＝53时，|OM →＋2AM →|min ＝72＝142；当x ＝0时，|OM →＋2AM →|max ＝16＝4.。