鄂州高中2012年素质班招生数学试卷练习试卷

鄂州高中2011年自主招生考试试题！

数学 试题卷Ⅰ

考生注意：

1、本试卷分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两大部分，卷Ⅰ4页，卷Ⅱ3页，共7页，三大题，23小题，满分120分。考试时间120分钟。

2、请将所有答案写在卷Ⅱ指定位置上，答案写在卷Ⅰ上无效。

一、选择题（每小题四个选项中，只有一个正确。每小题4分，共48分） 1、 设212()n n f x a x a x a x =++⋅⋅⋅+（n 为正整数），若(1)f =2

n ，则（ ）

A. 21n a n =- ，1()3f 的最小值为1

B. n a n =，1()3

f 的最小值为

1

3 C. 21n a n =- ，1()3f 的最小值为13 D. n a n =，1()3f 的最小值为2

3

2、如图，点A 、B 在反比例函数8

y x

=的图像上，过点A 作AC ⊥y 轴，过点B 作BD ⊥x

轴，垂足分别为C 、D ，则（ ） A.AB 与CD 平行 B.AB 与CD 相交

C.AB 与CD 可能平行也可能相交

D.以上答案都不对

3、设有A 、B 两个杯子，A 杯中装有12升甲溶液，B 杯中装有12升乙溶液。现在从A 杯中取出一定量的甲溶液，倒入B 杯并搅拌均匀，再从B 杯中取出等量的混合液倒入A 杯。测得A 杯中甲溶液和乙溶液的比为4:1，则第一次从A 杯中取出的甲溶液是（ ）升。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

4、一圆周上均匀分布着2000个点，从中均等地选出A 、B 、C 、D 四个不同的点，则弦AB 与CD 相交的概率是（ ）

A. 23

B. 14

C. 12

D. 1

3

5、正整数n 小于100，并且满足3

[][][]3464

n n n n ++=，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，

则这样的正整数n 的个数为（ ）

A. 4

B. 6

C. 8

D. 10

6、已知三角形的三条边长a 、b 、c 是互不相等的整数，且满足abc+2ab+ac+bc+2a+2b+c=138，则此三角形的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 不确定

7、设a 、b 为任意不相等的正数，又2244

,b a x y a b

++==，则x 、y 一定（ ） A. 都大于4 B. 至少有一个大于4

C. 都不小于4

D. 至少有一个小于4

8、已知抛物线22y ax ax m =-+与x 轴交于A (1,0)-、B 两点，与y 轴负半轴交于C ，且

6ABC S ∆=，则（ ）

A.在y 轴右侧该抛物线上不存在点M ，使3ACM S ∆=

B. 在y 轴右侧该抛物线上存在两个点M ，使3ACM S ∆=

C. 在y 轴右侧该抛物线上存在唯一点M (2,3)，使3ACM S ∆=

D. 在y 轴右侧该抛物线上存在唯一点M (2,3)-，使3ACM S ∆= 9、已知1111f x

=

-，11

1n n

f f +=

-，（其中n 为正整数），则2011f =（ ） A.

1x x - B. 1x - C. 1

x

D. x 10、如图所示，在ABC ∆中AC=10，BC=6，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且

1

902

AED C ︒∠=+∠，则CE=（ ）

A. 6

B. 8

C.7

D. 5

11、已知对于任意两组正实数12,,,n

a a a ⋅⋅⋅；12,,,n

b b b ⋅⋅⋅总有

22

22

221212

112

2()()()n n

n n a a a b b b a b

a b a b ++⋅⋅⋅++

+⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+。当且仅当

1212n n a a a

b b b ==⋅⋅⋅=时取等号，据此，我们可以得到：正数,,a b

c 满足1a b c ++=，则111

a b c

++的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C.9 D.12

12、如图，ABC ∆中，AB=6 ，AC=4，

BC=5

，

BAC ∠的平分线AD 之中垂线EF 交BC 延长线于F ，则（ ） A. 2ACB B ∠=∠，AF=6 B. 2ACB B ∠=∠，AF=4 C. 2ACB B ∠=∠，AF=5 D. 3ACB B ∠=∠，AF=6

二、填空题（每小题4分，共24分）

13、如图所示，已知ABC ∆中30B ∠= ，90C ∠=

，D 为BC 中点，DE ⊥AB

于E ，连结CE ，则tan ACE ∠= 。 14

、方程x =

的根为 。 15、正实数x ，y ，z 满足320xy yz +=，则222252x y z ++的最小值为 。

16、已知a ，b ，c 满足

14ab a b =+，15bc b c =+，1

6

ca c a =+，则abc

ab bc ca

++= 。

17、写出方程1230012300x x x x x x ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅的一组正整数解 。

18、对于三个数a ，b ，c ，用m i n {,,}a

b c 表示这三个数中最小的数，则2min{1,(1),2}x x x +--的最大值为 。

三、解答题（19、20、21、22题每题10分，第23题8分，共48分）

19、已知α，β是一元二次方程2

1x x o +-=的两个根，是否存在正整数对（m , n ），使得

64m n αβ+为定值；若存在，求出m , n 最小时相应的定值；若不存在请说明理由。

20、给定100个实数12,100,,a a a ⋅⋅⋅满足123430a a a -+≥，234430a a a -+≥，…，

991001430a a a -+≥，10012430a a a -+≥，求证这100个数全相等。

21、已知二次函数2

2(1)1y x m x m =++-+。（1）随着m 的变化，该二次函数图像的顶点

P 是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数表达式；如果不是，请说明理由；（2）如果直线1y x =+经过二次函数22(1)1y x m x m =++-+图像的顶点P ，求此时m 的值。

22、如图，点A ，B ，C ，D 四点顺次在⊙O 上 ，AB=BD ，BM ⊥AC 于M ，小华对此进行了研究：首先，他取ABD ∆为正三角形，且AC 为⊙O 直径，计算后发现：AM=DC+CM ；接着，他取ABD ∆为等腰Rt ∆，AC 平分BAD ∠，试问AM=DC+CM 还成立吗？小华利用

这种情形还计算出tan 22.51=

，请问他的结论正确吗？另外，小华还猜想，一般地

AM=DC+CM 恒成立，请你帮助他证明或否定这个结论。（对于前面两问只须作出肯定或否定问答，无须证明）

23、已知：0a >，01b <≤，求证：(1)(1)(1)ab b b ab ab b ab -+-+-+≤。