2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末数学(文)试题附答案

2018-2019学年重庆市部分区县高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1310x y +-=的倾斜角是（ ） A ．30o B ．60o C ．120o D ．150o【答案】C【解析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可． 【详解】3+y ﹣1＝0的斜率为：3， 直线的倾斜角为：α． 所以tanα3= α＝120° 故选：C ． 【点睛】本题考查直线的倾斜角的求法，基本知识的应用．2．在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数不可能是（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】根据四种命题间的关系，可得出答案. 【详解】在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，这四个命题中真命个数可以为0、2或4. 故选：C. 【点睛】本题考查四种命题间的关系，考查学生的推理能力，属于基础题. 3．命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定是（ ） A ．()0,x ∀∈+∞，e ln x x ≤ B ．()0,x ∃∈+∞，e ln x x > C ．()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤D ．()0,x ∃∈+∞，e ln x x <【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题，写出答案即可. 【详解】命题“()0,x ∀∈+∞，e ln x x >”的否定是()0,x ∃∈+∞，e ln x x ≤. 故选：C. 【点睛】全程命题p ：x M ∀∈，()p x ，它的否定p ⌝：0x M ∃∈，()p x ⌝. 4．曲线()sin cos f x x x =在点,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线斜率为（ ） A ．3 B ．14-C ．14D ．12【答案】D【解析】求出导数后可得切线斜率． 【详解】1()sin 22f x x =，则()cos 2f x x '=，1()cos(2)662f ππ'=⨯=．故选：D. 【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题关键．5．若圆22220x y x y m ++-+=3，则实数m =（ ） A ．32-B ．-1C ．1D ．32【答案】B【解析】将圆的方程化为标准方程，即可求出半径的表达式，从而可求出m 的值. 【详解】由题意，圆的方程可化为()()22112x y m ++-=-， 23m -=1m =-. 故选：B. 【点睛】本题考查圆的方程，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6．已知离心率为2的双曲线C 的中心在原点，焦点与椭圆22143x y +=的焦点重合，则该双曲线的方程为（ ）A ．224413x y -=B ．22143x y -= C ．2213y x -=D ．224413x y -= 【答案】A【解析】求出椭圆焦点即得双曲线焦点得c ，再由离心率得a ，最后由222b c a =-求得b ，从而得双曲线方程． 【详解】椭圆22143x y +=的焦点为(1,0)±，它也是双曲线的焦点，所以1c =，又12c e a a ===，12a =，∴2222131()2b c a =-=-=所以双曲线方程是2211344x y -=，即224413y x -=． 故选：A. 【点睛】本题考查求双曲线的方程，掌握双曲线的几何性质是解题关键． 7．已知直线l 与平面α，β，则下列说法正确的是（ ） A ．若//l α，//αβ，则l β// B ．若l α⊥，αβ⊥，则l β// C ．若l α⊂，l β//，则//αβ D ．若l α⊂，l β⊥，则αβ⊥【答案】D【解析】结合空间中点、线、面的位置关系，对四个选项逐个分析，即可选出答案. 【详解】A 、B 选项中，直线l 都可以在平面β内，故错误；C 选项中，α内要有两条相交直线均与β平行，才有//αβ，故错误；D 选项中，α内有一条直线与β垂直，则αβ⊥. 故选：D. 【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，考查学生的空间想象能力，属于基础题.8．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为1的正三角形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积是（ ）A ．1B ．2C ．13+D ．3【答案】D【解析】根据三视图画出直观图，进而求出该几何体的表面积即可. 【详解】该几何体的直观图为如图所示的正四棱锥P ABCD -，且1AB =，1PH =，其中PH AD ⊥于H ，故表面积为14111132⨯⨯⨯+⨯=.故选：D. 【点睛】本题考查三视图，考查几何体表面积的求法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于基础题.9．已知某圆柱形容器的轴截面是边长为2的正方形，容器中装满液体，现向此容器中放入一个实心小球，使得小球完全被液体淹没，则此时容器中所余液体的最小容量为（ ） A ．π3B ．2π3C ．πD ．4π3【答案】B【解析】小球恰好与圆柱侧面和底面同时相切时，容器中所余液体最小，求出圆柱的体积及小球的体积，相减可求出答案. 【详解】圆柱的轴截面是边长为2的正方形，可知圆柱底面半径为1，母线长为2，故圆柱体积为2π， 当小球与圆柱的侧面、上下底面都相切时所余液体容量最小，此时1212r =⨯=，小球的体积为4π3，所余液体容量为42π2π33π-=. 故选：B.【点睛】本题考查圆柱的性质，考查圆柱的内切球问题，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题.10．条件甲：关于x 的不等式 sin cos 1a x b x +>的解集为空集，条件乙：1a b +≤，则甲是乙的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别求出条件甲、乙所对应的,a b 的关系式，比较两个关系式所表示的图形，可得出结论. 【详解】由题意，当0a b ==时，不等式 sin cos 1a x b x +>的解集为空集， 当,a b 不都为0时，()22sin cos sin a x b x a b x ϕ+=++，22sin a b ϕ=+，22cos a b ϕ=+.因为()22sin 1a b x ϕ++>的解集为空集，所以221a b +≤，即221a b +≤.如下图，221a b +≤表示以原点为圆心，半径为1的圆及其内部，1a b +≤表示为圆内接正方形及其内部，所以甲是乙的必要不充分条件. 故答案为：A.【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，考查三角函数的恒等变换，考查不等式表示的平面区域，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.11．已知椭圆C ：22197x y +=的左焦点为F ，点()2,1A ，P 为椭圆C 上一动点，则PAF △的周长的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．7D ．10【答案】B【解析】计算可得1AF =，6PF PF '+=，可知PAF △的周长为PA AF FP ++()7PA PF '=+-，结合PA PF AF ''-≥-，可求得周长的最小值.【详解】设椭圆的右焦点为F '，3,7,2a b c ===，点()2,1A -在椭圆内，点()2,0F -，且6PF PF '+=，1AF =，()222213AF '=+=，PAF △的周长为()16PA AF FP PA PF '++=++-()77PA PF AF ''=+-≥-，当且仅当P 位于射线F A '与椭圆的交点时，等号成立，所以周长的最小值为4.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查三角形周长，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 12．已知函数2()ln 1f x x x ax =-+有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(0,1)D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】B【解析】求出导函数()f x '，题意说明()0f x '=有两个不等实根．【详解】由题意()ln 12ln 210f x x ax x ax '=+-=-+=有两个不等实根，ln 12x a x+=， 设ln 1()x g x x +=，221(ln 1)ln ()x xg x x x -+'==-，当01x <<时，()0g x '>，()g x 递增，当1x >时，()0g x '<，()g x 递减，1x =时，(1)1g =为极大值也是最大值，x →+∞时，()0g x →，且()0>g x ，当0x →时，()g x →-∞，所以当021a <<，即102a <<时，直线2y a =与()g x 的图象有两个交点，即ln 12x a x+=有两个不等实根． 故选：B. 【点睛】本题考查导数与极值，考查零点零点与方程根的个数问题．解题关键是把方程根的个数转化函数图象交点个数，通过研究函数性质确定结论．二、填空题13．过原点且与直线4710x y ++=平行的直线方程是________. 【答案】470x y +=【解析】根据平行直线的性质，可设出所求直线方程，进而将()0,0代入，可求出该直线方程. 【详解】设与直线4710x y ++=平行的直线方程为()4701x y c c ++=≠， 将()0,0代入，得0c =，即所求直线为470x y +=. 故答案为：470x y +=. 【点睛】本题考查直线方程，考查平行直线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 14．已知正三棱柱111ABC A B C -中，3AB =，12AA =，则此三棱柱外接球的表面积为_____.【答案】8π【解析】求出其外接球半径即可求表面积，外接球心是正三棱柱上下底中心连线的中点． 【详解】如图，设,M N 是正三棱柱111ABC A B C -的上下底中心，O 是MN 的中点，则O 是三棱柱外接球心， 由已知3313AM =⨯=，1OM =，所以22112OA =+=，24()8S OA ππ==． 故答案为：8π．【点睛】本题考查球的表面积，求出球的半径是解题关键．正三棱柱中上下底中心连线的中点就是外接球球心．15．若函数()2()3xf x exax =++在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为_____.【答案】[22,22]-【解析】由()0f x '≥在R 上恒成立即可． 【详解】2()[(2)3]x f x e x a x a '=++++，函数()2()3x f x e x ax =++在R 上单调递增， 则2()[(2)3]0x f x e x a x a '=++++≥在R 上恒成立，即2(2)30x a x a ++++≥在R 上恒成立，∴2(2)4(3)0a a ∆=+-+≤，解得2222a -≤≤ 故答案为：[2,2]-． 【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间．如果()0f x '=的点是孤立的，则()0f x '≥确定的区间也是增区间．16．若圆()()22342x y -+-=上存在两点A ，B ，使得60APB ︒∠=，P 圆外一动点，则P 点到原点距离的最小值为________. 【答案】522-【解析】对于点P ，若圆上存在两点A ，B 使得60APB ︒∠=，只需由点P 引圆的两条切线所夹角不小于60︒即可，可知动点P 在以()3,4为圆心，半径为(2,22的圆环内运动，当P 在线段OC 上时，OP 最小，求解即可.【详解】如图，圆的半径为2AC =()3,4C ，对于点P ，若圆上存在两点A ，B 使得60APB ︒∠=，只需由点P 引圆的两条切线所夹角不小于60︒即可， 从而点P 距圆心()3,4的距离要不超过22sin 30AC︒=，故动点P 在以()3,4为圆心，半径为2,22⎤⎦的圆环内运动， 当P 在线段OC 上时，OP 最小，最小值为22522OC -=-. 故答案为：522-【点睛】本题考查圆的性质，考查数形结合的数学思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.三、解答题17．已知x 轴是曲线3()f x x ax b =++在点(1,(1))A f 处的切线. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】（Ⅰ）3()32f x x x =-+（Ⅱ）()f x 的极大值为4，极小值为0【解析】（Ⅰ）由()01f '=和(1)0f =可求得,a b ；（Ⅱ）求出导函数()f x '，由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间，则可得极值点．【详解】（Ⅰ）2()3f x x a '=+，由题知()01f '=且(1)0f =，即30a +=且10a b ++=，3a ∴=-，2b =，3()32f x x x ∴=-+；（Ⅱ）2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，()f x ∴在(,1)-∞-上单增，在(1,1)-上单减，在(1,)+∞上单增，故()f x 的极大值为(1)4f -=，极小值为(1)0f =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查导数与极值．求极值时一定要注意0()0f x '=，时，0x 不一定是极值点，还要满足在0x 两侧，()f x '的符号相反．18．已知0a >，命题p ：2120x x --≤，命题q ：()222x a -≥.（1）当3a =时，若命题()p q ∧⌝为真，求x 的取值范围； （2）若p 是q ⌝的充分条件，求a 的取值范围.【答案】（1）14x -<≤；（2）5a >【解析】（1）由命题()p q ∧⌝为真，可知,p q ⌝都是真命题，结合,p q ⌝对应的x 的范围，可求出答案； （2）利用充分条件对应的关系列出不等式，求解即可. 【详解】（1）由题意，2120x x --≤34x ⇔-≤≤，即命题p ：34x -≤≤， 当3a =时，命题q ⌝：()229x -<，即q ⌝：15x -<<， 若()p q ∧⌝为真，则,p q ⌝都是真命题，则14x -<≤； （2）由题意，q ⌝：22a x a -<<+，p ：34x -≤≤， 若p 是q ⌝的充分条件，则[]()3,42,2a a -⊆-+，即2423a a +>⎧⎨-<-⎩，解得5a >. 故a 的取值范围是5a >. 【点睛】本题考查复合命题间的关系，考查充分性的应用，考查不等式的解法，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题.19．在ABC V 中，边AB ，AC ，BC 所在直线的方程分别为1y =-，350x y --=，250x y +-=. （1）求BC 边上的高所在的直线方程；（2）若圆E 过直线50x y --=上一点及A 点，当圆E 面积最小时，求其标准方程.【答案】（1）250x y --=；（2）22531222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）联立直线AB 和AC 的方程，可求出A 点坐标，由直线BC 的斜率，可求得BC 边上的高所在的直线的斜率，然后利用点斜式可求得所求直线方程；（2）过点A 向直线50x y --=作垂线，垂足记为D ，当圆E 以线段AD 为直径时面积最小，求出D 点的坐标，进而可求出圆心的坐标和半径，即可得到该圆的标准方程. 【详解】（1）联立1350y x y =-⎧⎨--=⎩，解得点()2,1A -，又直线BC 的斜率为12-，故BC 边上的高所在直线方程为()122y x +=-，即250x y --=；（2）过点A 向直线50x y --=作垂线，垂足记为D ，显然，当圆E 以线段AD 为直径时面积最小，易知直线AD 的斜率为1-，则直线AD 的方程为()12y x +=--，由()5012x y y x --=⎧⎨+=--⎩，解得点()3,2D -，故圆E 的圆心为53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径为225323222⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以圆E 面积最小时，标准方程为22531222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直线方程与圆的方程，考查圆的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.20．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,,E F G 分别是的棱11111,,AA A D A B 的中点.（Ⅰ）求证：直线//FG 平面DBE ；（Ⅱ）求四棱锥E BDFG -的体积.【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）连接11D B ，可证//FG DB ，从而得线面平行；（Ⅱ）四边形DBGF 为等腰梯形，且上底是下底的一半，因此有23DBF DBGF S S ∆=梯形，这样有3322E BDFG E DBF B DEF V V V ---∴==，三棱锥B DEF -的底面DEF ∆面积易求，高就是BA ，体积易得． 【详解】（Ⅰ）连接11D B ，则11//FG D B ，又11//D B DB ，//FG DB ∴，又FG ⊂/平面DBE ，BD ⊂平面DBE ，∴直线//FG 平面DBE ；（Ⅱ）连接FB ，由//FG DB ，12FG DB =，BG DF =知，DBGF 为等腰梯形，故23DBF DBGF S S ∆=梯形， 3322E BDFG E DBF B DEF V V V ---∴==，1341122DEF S ∆=---=，点B 到平面DEF 的距离为2，313322322E BDFG V -∴=⨯⨯⨯=.【点睛】本题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积．由线面平行的判定定理证线面平行是基本方法．棱锥的体积在高不易求得时，可转换底．21．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，()3,M m 为抛物线C 上一点，且5MF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的垂直平分线的横截距的取值范围.【答案】（1）28y x =；（2）()6,+∞ 【解析】（1）由抛物线的定义知2M p MF x =+，即可求出p 的值，进而求出抛物线C 的方程； （2）设直线AB 的方程为2x my =+，与抛物线方程联立，可求得A ，B 两点的中点坐标，进而求得线段AB 的垂直平分线方程，令0y =，可求得横截距的表达式，求出取值范围即可.【详解】（1）由抛物线的定义知2M p MF x =+，即352p +=，∴4p =，故抛物线C 的方程为28y x =； （2）由题意，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，联立282x m x y y =+⎧=⎨⎩，得28160y my --=， ∴线段AB 中点纵坐标为1242y y m +=，横坐标为()1221224222m y y x x m ++=+=+， ∴AB 的垂直平分线方程为()2442y m m x m -=---，令0y =得246x m =+，由题知直线AB 不与x 轴垂直，否则中垂线的横截距不存在，即0m ≠，∴()6,x ∈+∞.【点睛】本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.22．已知函数2()ln f x ax x x =--，0a >.（Ⅰ）求()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 在(0,)+∞上存在两个零点，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）()f x 在1180,4a a ⎛++ ⎝⎭上单减，在118,4a a ⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单增（Ⅱ）(0,1) 【解析】（Ⅰ）求出()f x '．由()0f x '>确定增区间，由()0f x '<确定减区间；（Ⅱ）由函数值变化，只要极小值小于0即可．极小值点0x 满足200210ax x --=，求出0x 的范围，即可得a 的取值范围（因为02012x a x +=），200000001()ln ln 02x f x ax x x x x +=--=--<，结合相应函数的单调性可得． 【详解】 （Ⅰ）2121()21ax x f x ax x x '--=--=，0a >Q ，118()0a f x x '++∴>⇒> 故()f x 在1180,4a a ⎛++ ⎪ ⎪⎝⎭上单减，在118,4a a ⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单增； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当0x →时()f x →+∞，当x →+∞时()f x →+∞，故()f x 在(0,)+∞上存在两个零点，只需()00f x <，其中0x 即为方程2210ax x --=的正根，()200000000011ln ln ln 022x x f x ax x x x x x +-∴=--=--=-<， 显然1ln 2x y x -=-在(0,)+∞上单减，故01x >即可， 022*******(0,1)22x a x x x ⎛⎫+∴==+∈ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查导数与函数的单调性的关系，考查函数零点个数问题，考查导数与极值的关系．利用导数确定函数的单调性与极值后，本题函数存在两个零点的条件是极小值小于0即可．。