2018-2019学年人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2
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【高考数学】2018版人教A版高中数学必修二同步学习课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.1
证明
引申探究
本例中若M，N分别是SA，BD的中点，试证明，MN∥平面SBC.
证明 连接 AC ，由平行四边形的性质可知 AC 必过 BD 的中点 N ，在
△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，
所以MN∥SC，
又因为SC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，
所以MN∥平面SBC.
证明
反思与感悟
利用直线与平面平行的判定定理证线面平行的步骤
证明：BC1∥平面A1CD. 证明 如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点.
又∵D是AB的中点，连接DF，
则BC1∥DF.
∵DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，
∴BC1∥平面A1CD.
证明
反思与感悟
证明以柱体为背景包装的线面平行证明题，常用线面平行的判定定理， 遇到题目中含有线段中点，常利用取中点去寻找平行线.
该直线与此平面平行
a⊄α b⊂α ⇒a∥α a∥b
题型探究
类型一 直线与平面位置关系的判定
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是
A.相交
C.b⊂α
B.b∥α
D.b∥α或b⊂α
解析 由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.
解析
答案
反思与感悟
用判定定理判定直线a和平面α平行时，必须具备三个条件：
答案 平行．
答案
思考2
如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面 吗？直线a与平面α相交吗？
答案 由于直线a∥b，所以两条直线共面．直线a与平面α不相交．
答案
梳理
线面平行的判定定理 表示 定理 直线与平面平 行的判定定理 图形 文字 此平 平面外一条直线与____ 符号
2018-2019学年人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1
就会有无数个公共点.
用符号语言描述：A∈l，B∈l且A∈α ，B∈α ⇒l⊂α ；
⇓ A∈l，B∈l且C∉l⇒A，B，C定平面； P∈α 且P∈β ⇒α ∩β =l且P∈l.
如果一条直线上的两点 平面的三公理：(1)公理1：_____________________
在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ______________________________________
且无大小之分；平面可用α ，β ，r等表示，也可用表
示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的 字母表示.
2.观察如图所示的点、线、面的位置关系，你能够把 图形中所显示的位置关系表示出来吗？
平面α 与平面β 交于直线l 用文字语言描述：(1)_______________________.
⇓ 直线a在平面α 内 (2)________________.
直线b在平面β 内 (3)________________.
直线a与直线b交于点A (4)____________________.
点A在直线l上，在平面α 内， (5)__________________________
也在平面β 内 _____________.
α ∩β = l 用符号语言描述：(1)________.
(3)直线l经过平面α 外一点P和平面α 内一点Q.
提示：因为不在同一直线上的三点可以确定一个平面.
故三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪.
3.若平面α 与平面β 不重合且有一个公共点，那么α 与β 的位置关系如何？
提示：α 与β 一定相交.
通过探究你发现了平面的哪些性质？ 用文字语言描述：两点可定一直线；三点不共线，可
⇓
用符号语言描述：A∈l，B∈l且A∈α ，B∈α ⇒l⊂α ；
⇓ A∈l，B∈l且C∉l⇒A，B，C定平面； P∈α 且P∈β ⇒α ∩β =l且P∈l.
如果一条直线上的两点 平面的三公理：(1)公理1：_____________________
在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ______________________________________
且无大小之分；平面可用α ，β ，r等表示，也可用表
示平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的 字母表示.
2.观察如图所示的点、线、面的位置关系，你能够把 图形中所显示的位置关系表示出来吗？
平面α 与平面β 交于直线l 用文字语言描述：(1)_______________________.
⇓ 直线a在平面α 内 (2)________________.
直线b在平面β 内 (3)________________.
直线a与直线b交于点A (4)____________________.
点A在直线l上，在平面α 内， (5)__________________________
也在平面β 内 _____________.
α ∩β = l 用符号语言描述：(1)________.
(3)直线l经过平面α 外一点P和平面α 内一点Q.
提示：因为不在同一直线上的三点可以确定一个平面.
故三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪.
3.若平面α 与平面β 不重合且有一个公共点，那么α 与β 的位置关系如何？
提示：α 与β 一定相交.
通过探究你发现了平面的哪些性质？ 用文字语言描述：两点可定一直线；三点不共线，可
⇓
人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.2
【解析】由等角定理，两角两组对边分别平行，一组
方向相同，另一组方向相反，则两角互补，所以 β =135°.
答案：135°
5.在正方体ABCD-EFGH中，AH与BD所成的角是________. 【解析】连接HF，AF，则HF∥BD，
所以AH与BD所成角等于AH与HF所成角，
即∠AHF，因为AH=HF=AF， 故∠AHF=60°.
①错误.②平面内的直线和平面外的直线，可能是异面
直线，可能是平行直线，也可能相交，所以②错误.③
在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是
异面直线，所以③错误.④在空间中，两条不平行的直 线还可能是异面直线，所以④错误.
3.已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC=30°，则∠PQR等于 ( )
这两个角相等或互补 ___________________.
【深度思考】 结合教材P47例3你认为怎样求出异面直线所成的角？
通过平移作出或找到异面直线所成的角 第一步：___________________________________.
证明所作或所找的角即是 第二步：_______________________.
A.30°
C.150°
B.30°或150°
D.以上结论都不对
【解析】选B.由定理知当∠PQR与∠ABC方向相同时， ∠PQR=30°，当∠PQR与∠ABC方向相反时，
∠PQR=150°.
4.已知角α 和角β 的两边分别平行且一组边方向相同， 另一组边的方向相反，若α =45°，则β =______.
2.1.2
空间中直线与直线之间的位置关系
【自主预习】 主题1：空间两直线的位置关系
如图长方体，观察图中的直线，你能得出哪些位置关
2018学年高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 精品
【证明】已知：a，b，c，d是两两相交且不共点的四 条直线.求证：a，b，c，d共面. 证明：(1)无三线共点情况，如图①. 设a∩d=M，b∩d=N，c∩d=P，a∩b=Q，a∩c=R， b∩c=S. 因为a∩d=M，所以a，d可确定一个平面α.
因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α.所以NQ⊂α， 即b⊂α.
3.两个平面有三个公共点，这两个平面重合吗？ 提示：不一定.当三点在同一条直线上时，不能判定两 个平面重合；当三点不在同一条直线上时，根据不共 线的三点确定一个平面，可知两平面重合.
【探究总结】 知识归纳：
方法总结：证明共点、线、面问题的方法 (1)归一法：两个元素共点或线或面，然后推证第三个 元素归到一起. (2)重合法：三个元素两两定点或定线或定面然后推证 其重合.
【巩固训练】 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面 ABC1D1=E.求证：B，E，D1三点共线.
【证明】如图，连接A1B，BD1，CD1， 因为A1C∩平面ABC1D1=E， 所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1， 因为A1C⊂平面A1BCD1， 所以E∈平面A1BCD1，
同理c⊂α.所以a，b，c，d共面.
(2)有三线共点的情况，如图②.设b，c，d三线相交于 点K，与a分别交于G，F，E且K∉a，因为K∉a，K和a 确定一个平面，设为β.因为G∈a，a⊂β，所以G∈β. 所以GK⊂β，即b⊂β.同理c⊂β，d⊂β.所以a，b，c， d共面.由(1)，(2)知a，b，c，d共面.
用文字语言描述：两点可定一直线；三点不共线，可⇓ຫໍສະໝຸດ 定一平面；两平面若有一个公共点
就会有无数个公共点.
用符号语言描述：A∈l，B∈l且A∈α，B∈α⇒l⊂α；
2018年秋人教A版高中数学必修2课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2-2-3、4 精品
[活学活用] 如右图所示，在矩形 ABCD 中，E 为 AB 上一点，将 B 点 沿线段 EC 折起至点 P，连接 PA，PC，PD，取 PD 中点 F，若 有 AF∥平面 PEC，试确定 E 点的位置．
解：取 PC 的中点 G，连接 GE，GF.如右图． 由条件知 GF∥CD，EA∥CD， ∴GF∥EA，则 G，E，A，F 四点共面． ∵AF∥平面 PEC，平面 GEAF∩平面 PEC＝GE， ∴AF∥GE.∴四边形 GEAF 为平行四边形． ∵GF＝12CD，∴EA＝12CD＝12BA， ∴E 为 AB 的中点．
2.2.3 & 2.2.4 直线与平面平行的性质、 平面与平面平行的性质
直线与平面平行的性质
[导入新知]
线面平行的性质定理 (1) 文 字 语 言 ： 一 条 直 线 与 一 个 平 面 平 行 ， 则 ___过__这__条__直__线__的__任__一__平__面__与__此__平__面__的__交__线___与该直线平行．
又因为 AO1⊂平面 AB1D1，所以点 E 也在平面 AB1D1 内， 所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点； 连接 AC 交 BD 于 O，连接 C1O 与 A1C 交于点 F，则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点．
下面证明 A1E＝EF＝FC. 因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1＝EO1， 平面 A1C1C∩平面 C1BD＝C1F， 平面 AB1D1∥平面 C1BD，所以 EO1∥C1F. 在△A1C1F 中，O1 是 A1C1 的中点，所以 E 是 A1F 的中点， 即 A1E＝EF；同理可证 OF∥AE，所以 F 是 CE 的中点， 即 CF＝FE，所以 A1E＝EF＝FC.
[类题通法] 1．在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面 相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质． 2．要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联 系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用 到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方 法．
人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.4
共面 时，两条直线才平行. 用文字语言描述：当两直线_____
⇓
如果两个平行平面同时和第三个
平面相交，那么它们交线平行
【深度思考】 结合教材P60例5你认为怎样运用两平面平行的性质定
理证线线平行？ 找到两平行平面 第一步：_______________.
找到(或作出)与两平行平面都相交的第三 第二步：_____________________________________ 个平面 _______.
答案：平行
5.过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1，C1，B的平面与 底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是
________.
【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平 面A1C1B=l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B=A1C1，所以
l∥A1C1(面面平行的性质定理).
利用性质定理说明交线平行 第三步：_________________________.
【预习小测】 1.平面α 与圆台的上、下底面分别相交于直线m，n，
则m，n的位置关系是
A.相交 B.异面
(
)
D.平行或异面
C.平行
【解析】选C.因为圆台的上、下两个底面平行，平面 α 与圆台的上、下底面的交线分别为m，n，所以m∥n.
【解题指南】利用面面平行的性质证明EH∥BD， GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行
四边形.
【证明】
同理，AC∥HF.
⇒EG∥HF.同理，EH∥FG. 故四边形EHFG是平行四边形.
【规律总结】证明线线平行的四种常用方法 (1)定义法：在同一平面内没有公共点的两直线平行.
人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1
的解析过程)
【证明】因为SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC.所以SA⊥BC. 又因为∠ACB=90°，即AC⊥BC.SA∩AC=A.
所以BC⊥平面SAC.
又AD⊂平面SAC.所以AD⊥BC， 又AD⊥SC，SC∩BC=C.所以AD⊥平面SBC.
【互动探究】 1.如果直线l与平面α 内的无数条直线垂直，则直线l与 平面α 互相垂直吗？
提示：θ 1≥θ ，因为斜线与平面所成的角是斜线与平 面内过斜足的直线所成角中的最小角.
个平面垂直 ，这条ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ线叫做这个平面的斜线.斜线与 ___________ 平面的交点叫斜足.
(2)射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过 垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.
(3)直线与平面所成的角： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的 ①定义：_______________________________________
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定
【自主预习】 主题1：直线与平面垂直
1.如图，阳光下直立于地面的旗杆AB与它在地面上的
影子BC的位置关系是什么？随着太阳的移动，旗杆AB 与影子BC所成的角度会发生改变吗？
提示：垂直关系，所成的角度不变，都为90°.
2.木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺 在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图.如
锐角 ，叫做这条直线和这个平面所成的角； _____
②垂直：当直线AP垂直于平面α 时，它们所成的角为
90° ； _____
③平行或直线在平面内：当直线PA与平面α 平行或在 0° ； 平面α 内时，它们所成的角为____
0°≤θ ≤90° ④范围：直线与平面所成角的范围：______________.
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如图①，∠AOB 为二面角 α－a－β 的平面角． 方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半 平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.
如图②，∠AOB 为二面角 α－l－β 的平面角． 方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足 作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角． 如图③，∠AFE 为二面角 A－BC－D 的平面角.
答案： B
3.如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于 A，B)且 PA＝AC，则二面角 P－BC－A 的大小为____________．
解析： 由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC， 又 PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， ∴∠PCA 为二面角 P－BC－A 的平面角． 在 Rt△PAC 中， 由 PA＝AC 得∠PCA＝45°. 答案： 45°
图形语言 α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，__O_A__⊥__l __，__O_B__⊥__l __⇒∠AOB
符号语言 为二面角 α－l－β 的平面角
平面与平面垂直 平面与平面垂直
定 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是_直__二__面___角__，就说这两个平面 义 互相垂直，记作：__α_⊥__β__
[同类练]☆
1．矩形 ABCD 的两边 AB＝3，AD＝4，PA⊥平面 ABCD，且 PA＝453，
则二面角 A－BD－P 的度数为( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析： 过 A 作 AE⊥BD，连接 PE，则∠AEP 为所求角．由 AB＝3，AD
＝4 知 BD＝5.
又 AB·AD＝BD·AE，∴AE＝152，
【高考数学】2018版人教A版高中数学必修二同步学习课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.1
1
2
3
4
证明
规律与方法
1.线线垂直和线面垂直的相互转化
2.证明线面垂直的方法
(1)线面垂直的定义.
(2)线面垂直的判定定理.
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂
直于这个平面.
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另
答案
梳理
文字 一条直线与一个平面内的 两条相交直线 都垂直，则该直线 语言 与此平面垂直 符号 语言 图形 语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α， a∩b ＝P⇒l⊥α
知识点三
有关概念 斜线 斜足
直线与平面所成的角
对应图形
与平面α 相交 ，但不和平面α 垂直 ，图 直线PA 中______ 点A 斜线和平面的 交点 ，图中____ 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线， 过垂足 和 斜足 的直线叫做斜线在这个平 面上的射影，图中斜线PA在平面α上的
①线面垂直的定义．
②线面垂直的判定定理．
③如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂
直于这个平面．
④如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另
一个平面．
跟踪训练1
如图，已知 PA垂直于⊙O所在的平面， AB是⊙O的直径，C
是 ⊙O 上任意一点，过点 A 作 AE⊥PC 于点 E ，作 AF⊥PB 于 F ，求证： PB⊥平面AEF. 证明 由引申探究知AE⊥平面PBC.
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．
跟踪训练2
如图，在三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC
＝60°，SA＝SB＝SC，求直线AS与平面SBC所成的角．
2018-2019学年人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2.3
ED ND AM BN ，即AM∶MC=BN∶ND. MC ND
【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)本题中若加上 条件“AD，BC分别交α 于E，F两点”，判断四边形 MENF是什么四边形？
【解析】四边形MENF为平行四边形，
因为平面ACD∩α =ME，CD∥α ，
所以CD∥ME，同理FN∥CD，所以ME∥FN. 又因为平面CAB∩α =MF，AB∥α ，
1 AB， 所以MF= 2
同理EN∥AB，因为N为BD的中点，所以E为AD的中 点，1 EN= AB，
2
所以MF∥EN且MF=EN， 所以四边形MENF为平行四边形，
1 又ME= CD，因为AB=CD，所以MF=ME， 2
所以四边形MENF为菱形， 因为MF∥AB，ME∥CD，所以∠FME为AB与CD所成 角， 且∠FME=90°，所以∠NMF=45°，即为AB与MN所 成角为45°.
【解题指南】可连接AD，交α 于点E，由线面平行，得 线线平行，从而利用平行线截线段成比例定理证明.
【证明】连接AD交平面α 于点E，连接ME和NE. 如图所示， 因为平面ACD∩α =ME，CD∥α ，
AM AE . 所以CD∥ME，所以 MC ED
同理可得EN∥AB， 所以 AE .BN 所以
所以MF∥AB，同理EN∥AB，
所以MF∥EN，
故四边形MENF是平行四边形.
2.(变换条件、改变问法)本题中若加上条件“AB=CD， 且所成角为90°，M，N分别为AC，BD的中点”.求异面 直线AB与MN所成角.
【解析】连接BC，AD分别交平面α 于点F，E，连接 MF，FN，EN，ME. 因为平面CAB∩α =MF，AB∥α ， 所以MF∥AB， 因为M为AC的中点， 所以F为BC的中点，
【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)本题中若加上 条件“AD，BC分别交α 于E，F两点”，判断四边形 MENF是什么四边形？
【解析】四边形MENF为平行四边形，
因为平面ACD∩α =ME，CD∥α ，
所以CD∥ME，同理FN∥CD，所以ME∥FN. 又因为平面CAB∩α =MF，AB∥α ，
1 AB， 所以MF= 2
同理EN∥AB，因为N为BD的中点，所以E为AD的中 点，1 EN= AB，
2
所以MF∥EN且MF=EN， 所以四边形MENF为平行四边形，
1 又ME= CD，因为AB=CD，所以MF=ME， 2
所以四边形MENF为菱形， 因为MF∥AB，ME∥CD，所以∠FME为AB与CD所成 角， 且∠FME=90°，所以∠NMF=45°，即为AB与MN所 成角为45°.
【解题指南】可连接AD，交α 于点E，由线面平行，得 线线平行，从而利用平行线截线段成比例定理证明.
【证明】连接AD交平面α 于点E，连接ME和NE. 如图所示， 因为平面ACD∩α =ME，CD∥α ，
AM AE . 所以CD∥ME，所以 MC ED
同理可得EN∥AB， 所以 AE .BN 所以
所以MF∥AB，同理EN∥AB，
所以MF∥EN，
故四边形MENF是平行四边形.
2.(变换条件、改变问法)本题中若加上条件“AB=CD， 且所成角为90°，M，N分别为AC，BD的中点”.求异面 直线AB与MN所成角.
【解析】连接BC，AD分别交平面α 于点F，E，连接 MF，FN，EN，ME. 因为平面CAB∩α =MF，AB∥α ， 所以MF∥AB， 因为M为AC的中点， 所以F为BC的中点，
2018-2019年人教A版高中数学必修二同步学习：第二章 点、直线、平面之间的位置关系章末复习课PPT课件
又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1， 所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以A1F∥平面ADE.
证明
引申探究
如图所示，在直三棱柱 ABC － A1B1C1 中， AC ＝ 3 ，
BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
证明
(2)直线A1F∥平面ADE. 证明 因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
(2)面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 α∥β，α∩γ＝a， a⊂β，b⊂β，a∩b _____________ ________________ 定理
性质
条件
结论
α∩β＝∅ ________ α∥β
β∩γ＝b ＝P，a∥α，b∥α _______ ________________
α∥β a∥b
(2)直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在 平面内的射影 所成的锐角叫做这条直线与这
个平面所成的角.
②当直线与平面垂直和平行 (或直线在平面内 )时，规定直线和平面所成的
角分别为 90°和0° .
(3)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线和由这条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫 做二面角. ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
证明
引申探究
如图所示，在直三棱柱 ABC － A1B1C1 中， AC ＝ 3 ，
BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点.
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
证明
(2)直线A1F∥平面ADE. 证明 因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，
所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
(2)面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 α∥β，α∩γ＝a， a⊂β，b⊂β，a∩b _____________ ________________ 定理
性质
条件
结论
α∩β＝∅ ________ α∥β
β∩γ＝b ＝P，a∥α，b∥α _______ ________________
α∥β a∥b
(2)直线和平面所成的角
①平面的一条斜线与它在 平面内的射影 所成的锐角叫做这条直线与这
个平面所成的角.
②当直线与平面垂直和平行 (或直线在平面内 )时，规定直线和平面所成的
角分别为 90°和0° .
(3)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线和由这条直线出发的 两个半平面 所组成的图形叫 做二面角. ②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内 分别作 垂直于棱 的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2018-2019学年最新人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.3.3~2.3.4
2.3.3直线与平面垂直的性质
2.3.4平面与平面垂直的性质
学习目标 1.掌握空间中线面、面面垂直的性质定理.2.能够运用线面、面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.3.理解线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理之间的相互联系．
知识点一直线与平面垂直的性质定理
思考在日常生活中常见到一排排和地面垂直的电线杆．一排电线杆中的每根电线杆都与地面垂直，这些电线杆之间的位置关系是什么？
答案平行．
梳理
知识点二平面与平面垂直的性质定理
思考黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
答案容易发现墙壁与墙壁所在平面的交线与地面垂直，因此只要在黑板上画出一条与这条交线平行的直线，则所画直线必与地面垂直．
梳理。
2018年秋人教A版高中数学必修2课件 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1、2 精品
[类题通法] 两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解 答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的 条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面 平行．
[活学活用] 如右图所示，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为矩形， E，F，H分别为AB，CD，PD的中点． 求证：平面AFH∥平面PCE.
(2)连接 SD.∵F，G 分别是 DC，SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴FG∥平面 BDD1B1. 又 EG∥平面 BDD1B1， 且 EG⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG， EG∩FG＝G， ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
4.探索点的位置问题
因为四边形 C1CDD1 与 B1BCC1 都是正方形，F，G 分别为 C1D1 和 CD 的中点，所以 FG∥C1C∥B1B，且 FG＝C1C＝B1B. 因此四边形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1F∥BG.而 B1F⊄平面 A1BE，BG⊂平面 A1BE，故 B1F∥平面 A1BE.
应用 落实体验
[活学活用] 如右图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中 点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点． 求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1.
证明：(1)如图，连接 SB. ∵E，G 分别是 BC，SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1， EG⊄平面 BDD1B1. ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
连接 BD，则 O∈BD， 又∵O 为 DB 的中点，P 为 D1D 的中点， ∴PO∥D1B.(8 分) 又∵PO⊂平面 PAO，D1B⊄平面 PAO， ∴D1B∥平面 PAO.(10 分) 又∵D1B∩BQ＝B， ∴平面 D1BQ∥平面 PAO.(12 分)
2018-2019学年人教版高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3
【证明】连接BC1，DC1，因为ABC1D1是平行四边形，
所以AD1∥BC1，又MN⊥AD1，所以MN⊥BC1，
又BD∩BC1=B，所以MN⊥平面BDC1，
连接B1C，因为BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C， 又A1B1⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
所以A1B1⊥BC1，又A1B1∩B1C=B1，
矛盾 _____.
结论：由矛盾判断假设不成立，从而肯定命 第三步：_______________________________________
题的结论正确 _____________.
【预习小测】 1.直线l⊥α ，直线m⊂α ，则有 ( )
A.l与m异面
C.l⊥m
B.l与m相交
D.l∥m
【解析】选C.由直线与平面垂直的性质知选C.
【证明】连接BD1，
则N为BD1的中点，又M为AB的中点，所以 MN∥AD1. 因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D，又 CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以 CD⊥AD1， 又CD∩A1D=D，所以AD1⊥平面A1DC，
2.(变换条件)本题若将条件“M是AB上的一点，N是A1C 的中点，MN⊥平面A1DC”改为“MN与异面直线AD1，BD 都垂直相交”，证明：MN∥A1C.
(1)求证：MN∥AD1. (2)求证：M是线段AB的中点.
【解题指南】(1)要证明线线平行，可以先证线面垂直， 即证AD1⊥平面A1DC. (2)设AD1与A1D交于O，证明四边形AMNO为平行四 边形.
【证明】(1)设AD1与A1D交于点O，
因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D，又CD⊥平面ADD1A1， AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1. 又A1D∩CD=D，所以AD1⊥平面A1DC， 又MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
2018学年高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.4 精品
边
的中点，故PE⊥AC，
又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PE⊂
平
2
面PAC，PE⊥AC，所以PE⊥平面ABC，从而PE⊥AB.
(2)设BC=x，则在Rt△ABC中，
AB AC2 BC2 36 x2 .
从而S△ABC=12
AB
BC
1 2
x
36 x2，
由EF∥BC，知 AF AE 得 2△，AEF∽△ACB，
【延伸探究】本题若将条件“直线a满足a⊥β，a⊄α” 改为“a∥α，a⊥AB”，试判断a与β的位置关系.
【解析】在AB上任取一点P，记由点P与直线a确定的 平面为γ， 设γ∩α=b，因为a∥α， 故a∥b，又a⊥AB，所以b⊥AB， 而α⊥β，所以b⊥β， 又a∥b，故a⊥β. 所以a与β的位置关系是垂直.
面垂直时，通常利用面面垂直的性质作出该半平面的 垂线，再通过向棱作垂线，从而作出二面角的平面角.
【巩固训练】如图所示，在四棱锥V-ABCD中，底面四 边形ABCD是正方形，侧面三角形VAD是正三角形，平面 VAD⊥底面ABCD.
(1)证明AB⊥平面VAD. (2)求面VAD与面VDB所成的二面角的平面角的正切值.
【规律总结】 1.线面垂直条件的应用技巧 当题目条件中含有线面垂直的条件时，一般想到的结 论为： (1)线线垂直，即直线与平面内任一直线垂直. (2)面面垂直，即经过该直线的平面与该平面垂直.
2.面面垂直条件的应用技巧 当题目中含有面面垂直的条件时，一般想到的解题思 路为： (1)可以在一个平面内找或作一条垂直于交线的直线， 转化为线面垂直，进而转化为线线垂直.
【规律总结】 1.平面与平面垂直的性质定理的三个作用 (1)证明直线与平面垂直. (2)证明直线与直线平行. (3)作平面的垂线.
2018学年高中数学必修二教师用书配套课件：第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 精品
(2)因为AD⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD. 因为CB=CD，F是BD的中点，所以CF⊥BD. 又EF∩CF=F，所以BD⊥平面EFC. 因为BD⊂平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD.
类型三：垂直关系的综合应用
【典例3】(2016·四川高考)如图,在四
棱锥P-ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=
【解题指南】(1)要证明线面平行可利用面面平行加以 证明.(2)过H点向AC作垂线，垂足为M，过M点向GF作垂 线，垂足为N，连接HN.求出∠MNH即可.
【解析】(1)因为DEF-ABC是三棱台，且AB=2DE， 所以BC=2EF，AC=2DF. 因为点G，H分别是AC，BC的中点，所以GH∥AB， 因为AB⊄平面FGH，GH⊂平面FGH，所以AB∥平面 FGH.
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选B.因为∠D1CD为二面角D1-BC-D的平面角， 而∠D1CD=45°.
2.直线l⊥α，l⊂β，则α与β的位置关系是( )
A.平行
B.可能重合
C.相交且垂直
D.相交不垂直
【解析】选C.由平面与平面垂直的判定定理，得α与
β垂直.
3.过两点与一个已知平面垂直的平面 ( )
【规律总结】求二面角的平面角的步骤 (1)作：找出或作出二面角的平面角. (2)证：证明所找或作的角就是二面角的平面角. (3)求：在三角形中解出角的大小.
【巩固训练】如图，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面 ABCD，且PA=AB.求二面角B-PC-D的大小.
【解题指南】作BE⊥PC，连接DE，证明DE⊥PC，确定 二面角B-PC-D的平面角，解三角形求解.
【规律总结】证明面面垂直的两个方法及实质 (1)定义法：证明二面角的平面角为直角. 步骤：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平 面角是直角；③根据定义，说明这两个平面互相垂直.
高中人教版数学教师用书配套课件：第2章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 2.2.4
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第八页，编辑于星期日：二十二点 五十六分。
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第九页，编辑于星期日：二十二点 五十六分。
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第十页，编辑于星期日：二十二点 五十六分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第三十二页，编辑于星期日：二十二点 五十六 分。
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第三十三页，编辑于星期日：二十二点 五十六 分。
基础预习点拨 要点探究归纳 知能达标演练 课后巩固作业
第三十四页，编辑于星期日：二十二点 五十达标演练 课后巩固作业
第二十页，编辑于星期日：二十二点 五十六分。
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第二十二页，编辑于星期日：二十二点 五十六 分。
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第十五页，编辑于星期日：二十二点 五十六分。
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内分别作垂直于棱的射线，如图，∠AOB即为二面角的 平面角.
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与
二面角的两个半平面相交，得两条交线，这两条交线 形成的角即为二面角的平面角，如图，∠AOB即为二面
角的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点A作另一个平 面的垂线，垂足为B，过垂足B作棱的垂线，垂足为O，
上的位置有无关系？ 提示：无关，只与二面角的张角大小有关.如图所示.
2.利用平面与平面垂直的判定定理证明两个平面垂直 的关键是什么？ 提示：关键是在一个平面内找一条线，再证所找的线 垂直于另一个平面.
【探究总结】 知识归纳：
方法总结：二面角一点，在两个半平面
2.直线l⊥α ，l⊂β ，则α 与β 的位置关系是( A.平行 B.可能重合
)
C.相交且垂直
D.相交不垂直
【解析】选C.由平面与平面垂直的判定定理，得α 与 β 垂直.
3.过两点与一个已知平面垂直的平面 A.有且只有一个 B.有无数个
(
)
C.一个或无数个
D.可能不存在
【解析】选C.当两点连线与平面垂直时，有无数个平 面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有
线，则两平面垂直 _________________.
⇓
AB⊥β ，AB⊂α ，则α ⊥β 用符号语言描述：_________________________. ⇓
平面与平面垂直的定义及判定定理： 两个平面相交，如果它们 1.平面与平面垂直的定义：_______________________
所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂 _____________________________________________
直，记作α ⊥β _______________. 2.平面与平面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _____________________________________________.
【深度思考】 结合教材P69例3你认为应怎样证明平面与平面垂直？
在一个平面内找一条直线 第一步：_______________________.
角，且∠AEB=90°，则α 与β 存在什么关系？
提示：垂直.
2.在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检 查墙面与地面是否垂直，即若铅锤线紧贴墙面，则确
定墙面与地面垂直，否则不垂直.这段话所体现的数学
意义是什么？
若一个平面经过另一个平面的垂 用文字语言描述：_____________________________
【解析】因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，
所以PA⊥平面PBC.
又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，
所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC. 同理可证平面PAB⊥平面PAC. 答案：平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC， 平面PAB⊥平面PAC
【互动探究】
1.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱
且只有一个平面与已知平面垂直.
4.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，则 二面角B-PA-C的大小为________.
【解析】因为PA⊥平面ABC， 所以AB⊥PA，AC⊥PA，所以∠BAC为二面角B-PA-
C的平面角，为90°.
答案：90°
5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则 互相垂直的平面有____________.
空间的，是从一条直线出发的两个半平面形成的.
2.如何来度量这个二面角的大小呢？ 用二面角的平面角来度量二面角 用文字语言描述：_____________________________ 的大小. ________ ⇓
用图形语言描述：
⇓
二面角及其平面角的有关概念：
1.二面角：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 (1)定义：_____________________________________
连接AO，如图，∠AOB即为二面角的平面角.
【题型探究】
类型一：二面角及其求法 【典例1】(2015·山东高考)如图，在三棱台DEF-ABC
中，AB=2DE，点G，H分别为AC，BC的中点.
(1)求证：BD∥平面FGH. (2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求 平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
OB⊥l OB⊂β ，_____.
(2)结论：∠AOB叫做二面角的平面角.
0°≤∠AOB≤180° (3)范围：__________________.
(4)直二面角：若二面角α -l-β 的平面角∠AOB=
直二面角 90°，则该二面角叫做_________.
主题2：平面与平面垂直及判定定理 1.如图，平面α ∩β =l，∠AEB是二面角α -l-β 的平面
证所找的直线垂直于另一个平面 第二步：_____________________________.
【预习小测】
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-BC-D的 平面角大小为 ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.因为∠D1CD为二面角D1-BC-D的平面角， 而∠D1CD=45°.
形叫做二面角 _____________.
(2)表示法：二面角α -a-β 或二面角α -AB-β . 棱； (3)相关概念：①定义中的直线叫做二面角的___
面 ②定义中的两个半平面叫做二面角的___.
2.二面角的平面角：
(1)满足条件：如图： OA⊥l， α ∩β =l，O∈l，OA⊂α ，_____
2.3.2
平面与平面垂直的判定
【自主预习】 主题1：二面角及平面角
翻开一本书，每页书所在的平面形成了一个角的
图形；打开一扇门，门所在平面与墙面所在平面也形 成了一个角的图形.
1.在上述问题中的角与以前学过的从一点出发的两条 射线形成的角有什么不同？
提示：以前学过的角是在一个平面内的，这两个角是
【解题指南】(1)要证明线面平行可利用面面平行加以 证明.(2)过H点向AC作垂线，垂足为M，过M点向GF作垂 线，垂足为N，连接HN.求出∠MNH即可.
(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与
二面角的两个半平面相交，得两条交线，这两条交线 形成的角即为二面角的平面角，如图，∠AOB即为二面
角的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点A作另一个平 面的垂线，垂足为B，过垂足B作棱的垂线，垂足为O，
上的位置有无关系？ 提示：无关，只与二面角的张角大小有关.如图所示.
2.利用平面与平面垂直的判定定理证明两个平面垂直 的关键是什么？ 提示：关键是在一个平面内找一条线，再证所找的线 垂直于另一个平面.
【探究总结】 知识归纳：
方法总结：二面角一点，在两个半平面
2.直线l⊥α ，l⊂β ，则α 与β 的位置关系是( A.平行 B.可能重合
)
C.相交且垂直
D.相交不垂直
【解析】选C.由平面与平面垂直的判定定理，得α 与 β 垂直.
3.过两点与一个已知平面垂直的平面 A.有且只有一个 B.有无数个
(
)
C.一个或无数个
D.可能不存在
【解析】选C.当两点连线与平面垂直时，有无数个平 面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有
线，则两平面垂直 _________________.
⇓
AB⊥β ，AB⊂α ，则α ⊥β 用符号语言描述：_________________________. ⇓
平面与平面垂直的定义及判定定理： 两个平面相交，如果它们 1.平面与平面垂直的定义：_______________________
所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂 _____________________________________________
直，记作α ⊥β _______________. 2.平面与平面垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 _____________________________________________.
【深度思考】 结合教材P69例3你认为应怎样证明平面与平面垂直？
在一个平面内找一条直线 第一步：_______________________.
角，且∠AEB=90°，则α 与β 存在什么关系？
提示：垂直.
2.在工程建设中，建筑工人用一端系有铅锤的线来检 查墙面与地面是否垂直，即若铅锤线紧贴墙面，则确
定墙面与地面垂直，否则不垂直.这段话所体现的数学
意义是什么？
若一个平面经过另一个平面的垂 用文字语言描述：_____________________________
【解析】因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，
所以PA⊥平面PBC.
又PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAC，
所以平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC. 同理可证平面PAB⊥平面PAC. 答案：平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC， 平面PAB⊥平面PAC
【互动探究】
1.对于确定的二面角而言，平面角的大小与顶点在棱
且只有一个平面与已知平面垂直.
4.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，则 二面角B-PA-C的大小为________.
【解析】因为PA⊥平面ABC， 所以AB⊥PA，AC⊥PA，所以∠BAC为二面角B-PA-
C的平面角，为90°.
答案：90°
5.如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，则 互相垂直的平面有____________.
空间的，是从一条直线出发的两个半平面形成的.
2.如何来度量这个二面角的大小呢？ 用二面角的平面角来度量二面角 用文字语言描述：_____________________________ 的大小. ________ ⇓
用图形语言描述：
⇓
二面角及其平面角的有关概念：
1.二面角：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 (1)定义：_____________________________________
连接AO，如图，∠AOB即为二面角的平面角.
【题型探究】
类型一：二面角及其求法 【典例1】(2015·山东高考)如图，在三棱台DEF-ABC
中，AB=2DE，点G，H分别为AC，BC的中点.
(1)求证：BD∥平面FGH. (2)若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求 平面FGH与平面ACFD所成的角(锐角)的大小.
OB⊥l OB⊂β ，_____.
(2)结论：∠AOB叫做二面角的平面角.
0°≤∠AOB≤180° (3)范围：__________________.
(4)直二面角：若二面角α -l-β 的平面角∠AOB=
直二面角 90°，则该二面角叫做_________.
主题2：平面与平面垂直及判定定理 1.如图，平面α ∩β =l，∠AEB是二面角α -l-β 的平面
证所找的直线垂直于另一个平面 第二步：_____________________________.
【预习小测】
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角D1-BC-D的 平面角大小为 ( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】选B.因为∠D1CD为二面角D1-BC-D的平面角， 而∠D1CD=45°.
形叫做二面角 _____________.
(2)表示法：二面角α -a-β 或二面角α -AB-β . 棱； (3)相关概念：①定义中的直线叫做二面角的___
面 ②定义中的两个半平面叫做二面角的___.
2.二面角的平面角：
(1)满足条件：如图： OA⊥l， α ∩β =l，O∈l，OA⊂α ，_____
2.3.2
平面与平面垂直的判定
【自主预习】 主题1：二面角及平面角
翻开一本书，每页书所在的平面形成了一个角的
图形；打开一扇门，门所在平面与墙面所在平面也形 成了一个角的图形.
1.在上述问题中的角与以前学过的从一点出发的两条 射线形成的角有什么不同？
提示：以前学过的角是在一个平面内的，这两个角是
【解题指南】(1)要证明线面平行可利用面面平行加以 证明.(2)过H点向AC作垂线，垂足为M，过M点向GF作垂 线，垂足为N，连接HN.求出∠MNH即可.