2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷
2017-2018年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)和解析PDF
【解答】解： （1﹣i） （1+i）=1+1=2， ﹣i（1+i）=1﹣i， i（1+i）=﹣1+i， （1+i） （1+i）=2i， 故与 z=1+i 的乘积为实数的是（1﹣i） ， 故选：A． 2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx ）
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16． （10 分）在各项均为正数的数列{an}中，a1=a 且 （Ⅰ）当 a3=2 时，求 a1 的值； （Ⅱ）求证：当 n≥2 时，an+1≤an． 解： （Ⅰ）
ห้องสมุดไป่ตู้
．
（Ⅱ） 某同学用分析法证明此问， 证明过程如下， 请你在横线上填上合适的内容． 证明：要证 n≥2 时，an+1≤an 只需证 只需证 只需证 只需证 只需证 an≥ 根据均值定理， 所以原命题成立． 17． （10 分）已知曲线 f（x）=x3 在点（1，f（1） ）处的切线为 l，其中 x0≠0． （Ⅰ）求直线 l 的方程； （Ⅱ）求证：直线 l 和曲线 f（x）一定有两个不同的公共点． 18． （12 分）已知函数 f（x）=x2﹣alnx﹣x，其中常数 a≠0． （Ⅰ）若函数 f（x）为单调函数，求实数 a 的最大值；
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1． （4 分）下列复数中，与 z=1+i 的乘积为实数的是（ A．1﹣i B．﹣i C．i ） D．1+i ）
2． （4 分）已知函数 f（x）=exsinx，则下面各式中正确的是（ A．f′（x）=exsinx C．f′（x）=﹣exco sx
精品解析：【全国区级联考】北京市海淀区2017-2018学年高二第二学期期中练习数学(理)试题(解析版)
A.
B.
C.
D.
【答案】C 【解析】
∵函数 f ( x ) = c o s x
x
∴函数 f ( x ) 的定义域为 ( − , 0 ) ( 0 , + )
∴ f ( − x ) = c o s ( − x ) = − c o s x = − f ( x ) ，即函数 f ( x ) 在定义域内奇函数.
B. 当函数 f ( x ) 有两个不同的极值点时， g ( x ) 一定有两个不同的零点
C. a R ，使得函数 g ( x ) 的零点也是函数 f ( x ) 的零点
D. a R ，使得函数 f ( x ) 的极值点也是函数 g ( x ) 的极值点 【答案】D 【解析】若 3 天做完，则有 C 2 种；以此类推，若 9 天做完，则有 C 8 种；若 10 天做完，则有 C 9
9
9
9
9
种；故总数为 . 0
1
2
8
9
9
C + C + C + C + C = 2 = 5 1 2
9
9
9
9
9
.故选 D
7.函数 f ( x ) = c o s x 的部分图像可能是
共点，但是它们相交，故错误. 故选 A.
6.数学老师给校名布置了 10 道数学题，要求小明按照序号从小到大的顺序，每天至少完成一道，如果时间 允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，则小明不同的完成方法种数为
A. 55
B. 90
C. 425
D. 512
【答案】D 【解析】
利用隔板法，10 道题中间有 9 个空格，若 1 天做完，有 C 0 种；若 2 天做完，从 9 个空格中插入一个板，分 9
北京市海淀区2017-2018学年第二学期期中高二数学(理)试题图片版含答案
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准2018.4一. 选择题.二.填空题.9.四，210. 211.333222，，12. (1,0)- 13. (1,+)∞14.2说明：9题，每个空2分，11题，第一个，第二空各1分，第三个空2分三.解答题.15.解: ( I )令242x x -+=，解得11x =-21x =-（舍）…………………2分因为点2(2), (4)A x,x B x,x -+所以2()(42)f x x x x =-+-3224x x x =--+，…………………4分其定义域为(0,1x ∈-…………………5分（II ）因为2'()344f x x x =--+…………………7分令0'()0f x =，得123x =，22x =-（舍） …………………8分 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表…………………10分因为23x =是函数()f x 在(0,1-+上的唯一的一个极大值，所以在23x =时，函数()f x 取得最大值4027.…………………12分 16.证明：（Ⅰ）因为32a =， 所以232222a a a =+=， 所以22244a a +=，解得22a =，…………………2分同理解得12a =.…………………4分（Ⅱ）证明：要证 2n ≥时，1n n a a +≤，只需证 1n na a + 1 ≤，…………………6分 只需证 22 n n n na a a a +1≤，…………………7分 只需证 21212na +≤. 只需证2n a ≥ 4 ，…………………9分只需证n a ≥ 2，…………………10分根据均值定理，112=22n n n a a a --+≥= 所以原命题成立.说明：上面的空，答案不唯一，请老师具体情况具体分析17.解：（I ）因为2'()3f x x =…………………1分所以直线l 的斜率200'()3k f x x ==…………………2分所以直线l 的方程为320003()y x x x x -=-…………………3分化简得到230032y x x x =-…………………4分(Ⅱ)法一：把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分所以220'()33g x x x =-，令'()0g x =，得到得10x x =，20x x =-…………………7分当00x >时，,'(),()x g x g x 的变化情况如下表…………………8分因为0x x =-时，300()40g x x -=>，而300(3)160g x x -=-<（或者说：x →-∞时，()g x →-∞），所以()g x 在0(,)x -∞-上有一个零点而0x x =时，0()0g x =，所以()g x 在0[,)x +∞上只有一个零点又()g x 在00(,)x x -上没有零点…………………9分所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. 当00x <时,同理可证()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点. …………………10分法二： 把曲线和直线l 的方程联立得3230032y x y x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 所以3230032x x x x =-…………………5分所以32300320x x x x -+=令32300()32g x x x x x =-+…………………6分因为3223200000()22()(2)g x x x x x x x x x x x =--+=-+…………………8分令()0g x =，得到10x x =，202x x =-…………………9分又00x ≠，所以002x x ≠-所以()g x 只有两个不同的零点，即直线l 和曲线()f x 有两个不同的公共点.…………………10分18.解：（Ⅰ）法一：…………………2分 因为22'()x x a f x x--=，其中0x > 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立当'()0f x ≥对0x >成立时，220x x a x--≥，…………………3分 即220x x a --≥对0x >成立所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a -≥ …………………4分 当'()0f x ≤对0x >成立时，220x x a x--≤，…………………5分 即220x x a --≤对0x >成立所以22x x a -≤，根据二次函数的性质这种情形不成立…………………6分 综上，18a ≤-，所以实数a 的最大值为18-.法二： 因为22'()x x a f x x--=，其中0x >…………………2分 因为()f x 是单调函数，所以'()0f x ≥或'()0f x ≤对0x >成立根据二次函数的性质知道当+x →∞时，22+x x a --→∞所以只能是'()0f x ≥对0x >成立 …………………4分即22'()0x x af x x--=≥对0x >成立所以220x x a --≥对0x >成立…………………5分所以22x x a -≥，根据二次函数的性质得到18a ≤-，…………………6分 所以实数a 的最大值为18-. （Ⅱ）法一：由（Ⅰ），当18a ≤-时，函数()f x 是单调递增函数， 而(1)0f =，（或者说：当0x →时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞） 所以函数()f x 只有一个零点…………………8分 当18a >-时，令22'()0x x af x x--==，得12x x ==， 当108a -<<时，120x x << 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表因为21111()ln f x x a x x =-- 而21120x x a --=，所以22111111()ln (1ln )f x x a x x a x x =--=-- 注意到121x x <<所以2111ln 0,0,0x a x -><-<， 所以2111()(1ln )0f x a x x =--< 所以在2(0,)x x ∈时，1()()0f x f x ≤<，(或者说：注意到121x x <<，因为(0,1)x ∈时，20,ln 0x x a x -<-<，所以()0f x <）所以函数()f x 在区间2(0,)x 上没有零点， 而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上有一个零点…………………10分 当0a >，其中10x =<（舍） 所以,'(),()x f x f x 的变化情况如下表当2114x ==时，即1a =时，2()0f x = 函数()f x 的唯一的一个极小值，即最小值为(1)0f =，符合题意，当21x =>时，即1a >时， 则2()(1)0f x f <=，而当x →+∞时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(+)x ∞，上还有一个零点，矛盾当201x <=<，即1a <时 则2()(1)0f x f <=，而此时0x →时，()f x →+∞，所以函数()f x 在区间2(0,)x 上还有一个零点，矛盾…………………12分 综上，实数a 的取值范围是{|0a a <或1}a =说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
【精品】2017-2018学年北京市海淀区高二(下)期中数学试卷(理科)
顺序，每天至少完成一道，如果时间允许，也可以多做，甚至在一天全部做完，
则小明不同的完成方法种数为（
）
A．55
B． 90
C．425
D． 512
【分析】 根据题意，分析可得小明最少需要 1 天完成，最多需要 10 天完成，据
此分 10 种情况讨论：分别求出每一种情况的完成方法数目，由加法原理计算可
得答案．
D．? a∈ R，使得函数 f（x）的极值点也是 g（x）的极值点
【分析】 对于 A：根据函数零点存在定理即可判断，
对于 B，根据极值，方程的根，函数零点的关系即可判断，
对于 C：当 a=0 时， g（ 0） =f（0）=0，
对于 D：根据极值点和方程根的关系即可判断． 【解答】 解：函数 f （x） =x3+ax2﹣ax，g（x）=f ′（x） =3x2+2ax﹣a， 若当函数 g（ x）只有一个零点，则△ =4a2+12a=0，解得 a=0 或 a=﹣ 3，
⑩ ，小明 10 天完成，即 1 天完成 1 道题目，有 1 种完成方法，
则
一
共
有
1+C92+C93+C94+C95+C9 6+C97+C98+1=C91+C92+C93+C94+C95+C96+C97+C98+C99=29=512
故选： D．
【点评】 本题考查分类计数原理的应用，注意正确的分类讨论，属于中档题．
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（Ⅰ）若函数 f （x）为单调函数，求实数 a 的最大值； （Ⅱ）如果函数 f（ x）只有一个零点，求实数 a 的取值范围．
《解析》北京市海淀区2016-2017学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
北京市海淀区2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题：1、复数1﹣i的虚部为（）A、iB、1C、D、﹣2、xdx=（）A、0B、C、1D、﹣3、若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A、﹣2B、2C、﹣2iD、2i4、若a，b，c均为正实数，则三个数a+ ，b+ ，c+ 这三个数中不小于2的数（）A、可以不存在B、至少有1个C、至少有2个D、至多有2个5、定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A、只有三个极大值点，无极小值点B、有两个极大值点，一个极小值点C、有一个极大值点，两个极小值点D、无极大值点，只有三个极小值点6、函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A、1B、﹣C、D、或﹣7、函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A、B、C、D、8、为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：①甲同学没有加入“楹联社”；②乙同学没有加入“汉服社”；③加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；④加入“汉服社”的那名同学在高一年级；⑤乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A、楹联社B、书法社C、汉服社D、条件不足无法判断二、填空题：9、在复平面内，复数对应的点的坐标为________．g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是________；函数f（g（x））在x=2处的导数值是________．11、如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是________．12、如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：(1)________ ；(2)f′（6）________f′（10）．13、已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么• =x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么• =x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么• =________．14、函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是________．（写出所有正确的结论的序号）三、解答题：15、已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n= ﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17、已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18、设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．答案解析部分一、<b >选择题：</b>1、【答案】D【考点】复数的基本概念【解析】【解答】解：复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．【分析】直接由虚部定义得答案．2、【答案】B【考点】定积分【解析】【解答】解：xdx= x2| = ，故选：B【分析】根据定积分的计算法则计算即可．3、【答案】A【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A【分析】利用复数的运算法则与共轭复数的定义、几何意义即可得出．4、【答案】B【考点】反证法与放缩法【解析】【解答】解：假设a+ ，b+ ，c+ 这三个数都小于2，∴a+ +b+ +c+ ＜6∵a+ +b+ +c+ =（a+ ）+（b+ ）+（c+ ）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B【分析】根据基本不等式，利用反证法思想，可以确定至少有一个不小于2，从而可以得结论．5、【答案】C【考点】利用导数研究函数的极值【解析】【解答】解：F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．【分析】根据函数的单调性结合函数的图象判断函数的极值点的个数即可．6、【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意，f′（x）= ，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a= ，故选C．【分析】求导数，利用函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，即可求出实数a的值．7、【答案】A【考点】函数的图象【解析】【解答】解：y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x 时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x= ，∴f（x）只有1个零点x= ，当x 时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x 时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．【分析】判断函数的单调性，计算函数与坐标轴的交点坐标即可得出答案．8、【答案】A【考点】进行简单的合情推理【解析】【解答】解：假设乙在高一，则加入“汉服社”，与②矛盾，所以乙在高二，根据③，可得乙加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．【分析】确定乙在高二，加入“书法社”，根据①甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社．二、<b >填空题：</b>9、【答案】（﹣1，﹣1）【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】解：复数= =﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．10、【答案】y=3x﹣1；12【考点】导数的运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；12【分析】求出f′（1）=3，f（1）=2，即可求出曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．利用复合函数的导数公式，可得函数f（g（x））在x=2处的导数值，11、【答案】π+2【考点】定积分在求面积中的应用【解析】【解答】解：由图象可得S= （1+sinx）dx=（x﹣cosx）| =π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+2【分析】由图象可得S= （1+sinx）dx，再根据定积分的计算法则计算即可．12、【答案】（1）＞（2）＜【考点】函数的图象【解析】【解答】解：（1.）由函数图象可知= ，= =2，∴．（2.）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．【分析】（1）代入函数值计算或根据平均变化率的几何意义比较割线的斜率；（2）根据导数的几何意义比较切线的斜率即可．13、【答案】a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n【考点】平面向量数量积的运算【解析】【解答】解：由题意可知• =a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．【分析】根据平面向量和空间向量数量积的计算公式归纳得出结论．14、【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】【解答】解：对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．【分析】求出f（x）的导数，设出切点（m，f（m）），可得切线的斜率，由已知切线的方程可得a，m，的方程，求得m=1，a=0，即可判断①；求出f（x）的导数，运用指数函数的值域和不等式的性质可得导数大于0，即可判断②；由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，即可判断③．三、<b >解答题：</b>15、【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出f（x）在闭区间的最小值即可．16、【答案】解：（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1= ，a3+a2= ﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2= ﹣1，a3= ﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n= ﹣，当n=1时，由a1=1= ﹣，猜想成立．假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k= ﹣则由a k+1+a k= ﹣，得a k+1= ﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n= ﹣【考点】数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】【分析】（Ⅰ）由数列{a n}的递推公式依次求出a2，a3，a4；（Ⅱ）根据a2，a3，a4值的结构特点猜想{a n}的通项公式，再用数学归纳法①验证n=1成立，②假设n=k 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立【题型解答题17、【答案】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）= ≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+ = ，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据导函数的符号，求出函数的单调区间，证明结论即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．18、【答案】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，因为f′（1）=0，且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0. ；令，则，故g（x）单调递增．又g（1）=0，当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值，判断即可；（Ⅱ）求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可．。
北京海淀2016-2017年高二下期中考试数学理及答案
海淀区高二年级第二学期期中考试数 学 （理科） 2017.4一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分． 1. 复数13-i 的虚部为（ ）A. 3iB. 1C. 3D. 3- 2.1d x x =⎰（ ）A. 0B.12C. 1D. 12-3. 若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A. 2-B. 2C. 2i -D. 2i4. 若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数 （ ）A.可以不存在B.至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5. 定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A. 只有三个极大值点，无极小值点B. 有两个极大值点，一个极小值点C. 有一个极大值点，两个极小值点D. 无极大值点，只有三个极小值点6. 函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 12-C. 12D. 12或12- 7. 函数(21)xy e x =-的大致图象是 （ ）8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。
调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1） 甲同学没有加入“楹联社”; （2） 乙同学没有加入“汉服社”;（3） 加入“楹联社”的那名同学不在高二年级; （4） 加入“汉服社”的那名同学在高一年级; （5） 乙同学不在高三年级。
试问：丙同学所在的社团是 （ ） A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 在复平面内，复数1-ii对应的点的坐标为 . 10. 设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：x1 2 3 4 ()f x 2 3 4 1 ()f x '3 4 2 1 ()g x 3 1 4 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ;函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ． 11. 如图，()1sin f x x =+，则阴影部分面积是 .12. 如图，函数()f x 的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点，试用“>，=，<”填空： （1）(4)(2)2f f -______(12)(8)4f f -；（2）(6)f '______(10)f '.13. 已知平面向量 ，，那么 ；空间向量 ，，那么 ．由此推广到 维向量：，，那么 ．14. 函数()e ln xf x a x =-（其中a ∈R ）① a ∃∈R ，使得直线e y x =为函数()f x 的一条切线； ② 对0a ∀<，函数()f x 的导函数()f x '无零点； ③ 对0a ∀<，函数()f x 总存在零点；则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值.16．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N .（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R . （Ⅰ）求证/；当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）设(1)() In t x f x e t x -=-，(0)t >（Ⅰ）若1t =，证明1x =是函数()f x 的极小值点； （Ⅱ）求证：()0f x ≥.海淀区高二年级第二学期期中参考答案 2017.4数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3.A4.B5.C6.C7.A8.A二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,1)-- 10. 31y x =-；12 11. 2π+ 12. (1) >； (2) < 13. 1122n n a b a b a b ⋅+++a b = 14. ①②③三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）解：'2()369f x x x =-- ………………………………（2分） )3)(1(3)32(3 2-+=--=x x x x令'()0f x =，得11-=x .；32=x ……………………………（3分）当x 变化时，)(x f ,'()f x 在区间(,)-∞+∞上的变化状态如下：x()1,-∞-1-()3,1-3()+∞,3'()f x +0 -+)(x f↗极大↘极小↗…………………………………（6分）所以)(x f 的单调递增区间是()1,-∞-，()+∞,3；单调递减区间是()3,1-. ………………………………（7分）…（Ⅱ）因为(2)0f -=，(2)20f =-， ………………………（9分） 再结合)(x f 的单调性可知，函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值为20-. ………………（10分）16．（Ⅰ）由题意11a =，212a a +=，3231a a +=-，4322a a +=-解得：221a =-，332a =-，423a =-………………………（3分）（Ⅱ）猜想：对任意的*n ∈N ，1n a n n =--………………………（4分）① 当1n =时，由11111a ==--,猜想成立. ………………………（5分）② 假设当k n = （∈k N *）时，猜想成立，即1--=k k a k ……………………（6分）则由111--+=++k k a a k k ，得k k a k -+=+11 ………………………（9分）即当1+=k n 时，猜想成立由①、②可知，对任意的*n ∈N ，猜想成立，即数列{}n a 的通项公式为1n a n n =-- ……………………（10分）17.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域是()+∞,0． ………………（1分） 当1a =时，1()2In f x x x x=--函数'221()1f x x x =-+ ………………（3分） 2212x x x +-=()0122≥-=xx ， ………………（5分） 所以函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增.所以当1a =时，函数()y f x =没有极值点. ……………（6分）（Ⅱ）'21()1a af x x x+=-+， ()+∞∈,0x ………………（7分） ()221x a x a x ++-=()()21x a x x --=. 令'()0f x =，得a x x ==21,1 .………………（8分） ① 0≤a 时，由'()0f x >可得1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()+∞,1； ………………（9分） ② 当10<<a 时，由'()0f x >可得a x <<0，或1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()a ,0，()+∞,1； ……………（10分） ③ 当1>a 时，由'()0f x >可得10<<x ，或a x>，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a ； ………………（11分） ④ 当1=a 时，由（Ⅰ）可知函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. ………………（12分）综上所述，当0≤a 时，函数()y f x =的增区间是()+∞,1；当10<<a 时，所以函数)(x f y =的增区间是),0(a ，),1(+∞； 当1=a 时，函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增； 当1>a 时，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a .18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………（ 1分） 若1=t ，则1()ln x f x e x -=-，'11()x f x ex-=-． ………………（2分） 因为'(1)0f =， ………………（3分）且10<<x 时，xe ex 1101<=<-，即'()0f x <，所以()f x 在)1,0(上单调递减； ………………（4分）1>x 时，xe e x 1101>=>-，即'()0f x >，所以()f x 在),1(+∞上单调递增； ………………（5分）所以1=x 是函数)(x f 的极小值点； ………………（6分）（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，0t >.'(1)(1)1()()t x t x t f x te t e x x --=-=-． ………………（7分）令(1)1()t x g x e x -=-，则'(1)21()0t x g x te x-=+>，故()g x 单调递增． ………………（8分）又(1)0g =， ………………（9分） 当1x >时，()g x ＞0，因而'()f x ＞0，()f x 单增，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞；当01x <<时，()g x ＜0，因而'()f x ＜0，()f x 单减，即()f x 的单调递减区间为(0,1)． ………………（11分） 所以()+∞∈,0x 时，()(1)10f x f ≥=≥成立. ………………（12分）。
北京市海淀区高二数学下学期期中试题 理（扫描版）(1)
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2021．04一. 选择题：本大题共8小题，每题4分，共32分.（8）讲评提示：考察函数ex.二.填空题：本大题共6小题，每题4分，共24分. （9）(2,) （10）4π （11）16（12）2（13）111111()2321n n n +++++<+∈-N* ，12k + （注：每空2分）（14）20(,0)a b （注：回答出20(,0)a b 给4分；答案为0(,0)ab b 或2(,0)b b 或220(,0)2a b b 给3分；其它答案酌情给1~2分；未作答，给0分）三.解答题：本大题共4小题，共44分.解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤. （15）（本小题总分值10分）证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于点O ，连接OE . 在矩形ABCD 中，AO OC .因为AE EP ，因此 OE ∥PC . ………………………2分 因为 PC平面BDE ，OE平面BDE ，因此 PC ∥平面BDE . ………………………5分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，BC CD . 因为 PD BC ，CD PDD ，PD平面PDC ，DC平面PDC ，因此 BC 平面PDC . ………………………8分 因为 PC平面PDC ，OAEBCDP因此 BC PC .即 PBC ∆是直角三角形. ………………………10分 （16）（本小题总分值11分）解：（Ⅰ）因为 332f xax x ，因此 2'()33f x ax =+. ………………………2分 因为 函数f x 的一个极值点是1, 因此 '(1)330f a =+=.解得：1a =-. ………………………4分 经查验，1a =-知足题意. 因此 (2)0,'(2)9f f ==-.因此曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程是9(2)y x =--，即9180x y +-=. ………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：2'()33f x x =-+.令'()0f x =，得 121,1x x =-=. ………………………7分 当x 在[2,3]-上转变时，()'(),f x f x 的转变情形如下表………………………10分 因此 函数()f x 在[2,3]-上的最大值为4，最小值为-16. ………………………11分 （17）（本小题总分值12分） 解：（Ⅰ）因为()e a xg x x -=，x ∈R ，因此'()(1)ea xg x x -=-． ………………………2分令'()0g x =，得1x =．当x 转变时，()g x 和'()g x 的转变情形如下：故()g x 5分 （Ⅱ）因为 ()e a x h x x -=+， 因此 '()1ea xh x -=-. ………………………6分令'()0h x =，得x a =．当x 转变时，()h x 和'()h x 的转变情形如下：即()h x 8分 因此()h x 的最小值为()1h a a =+.①当10a +>，即1a >-时，函数()h x 不存在零点.②当10a +=，即1a =-时，函数()h x 有一个零点. ………………………10分 ③当10a +<，即1a <-时，(0)e 0ah =>， 下证：(2)0h a >.令()e 2x m x x =-，那么'()e 2x m x =-. 解'()e 20x m x =-=得ln 2x =.当ln 2x >时，'()0m x >，因此 函数()m x 在[)ln 2,+∞上是增函数. 取1ln 2x a =->>，得：ln 2()e 2e 2ln 222ln 20a m a a --=+>-=->. 因此 (2)e 2()0a h a a m a -=+=->.结合函数()h x 的单调性可知，现在函数()h x 有两个零点.综上，当1a >-时，函数()h x 不存在零点；当1a =-时，函数()h x 有一个零点；当1a <-时，函数()h x 有两个零点. ………………………12分 （18）（本小题总分值11分）（Ⅰ）解：（1）不是，因为线段12A B 与线段12A A 不垂直；（2）不是，因为线段23B B 与线段23A A 不垂直. ………………………2分（Ⅱ）命题“对任意n ∈N 且2n >，总存在一条折线12n C A A A ---：有共轭折线”是真命题.理由如下：当n 为奇数时，不妨令21,2,3,4,n k k =-=，取折线1221k C A A A ----：.其中(,)(1,2,,21)i i i A a b i k =-，知足211(1,2,,21),0(1,2,,),i i a i i k b i k -=-=-==为折线C 关于x 轴对21(1,2,,1)i b i k ==-.那么折线C 的共轭折线称的折线.如下图.线当n 为偶数时，不妨令2,2,3,4,n k k ==，取折122kC A A A ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i A a b i k =，知足22121(1,2,,21),2,0(1,2,,),1(1,2,,)i k i i a i i k a k b i k b i k -=-=-=====.折线C 的共轭折线为折线122'kC B B B ---：.其中(,)(1,2,,2)i i i B x y i k =知足22212211(1,2,,23),21,21,2,0(1,2,,1),i k k k i x i i k x k x k x k y i k ---=-=-=-=+===-2222121(1,2,,2),3,1,1i k k k y i k y y y --=-=-=-=-=.如下图. ………………………7分注：此题答案不唯一.（Ⅲ）证明：假设折线1234B B B B ---是题设中折线C 的一条共轭折线（其中11B A =，44B A =），设1(,)t t t t B B x y += (1,2,3t =)，显然,t t x y 为整数.那么由11t t t t B B A A ++⊥，得：11223312312330, 30, 30, 9, 1. x y x y x y x x x y y y +=⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪++=⎪⎪++=⎩①②③④⑤由①②③式得11223,,.3333y x y x y x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩这与⑤式矛盾，因此，折线C 无共轭折线. ………………………11分 注：关于其它正确解法，相应给分.。
2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1?z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么?=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么?=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么?=．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①?a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对?a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对?a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1?z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知?=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则?a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，?a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对?a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k=﹣则由a k+a k=﹣，得a k+1=﹣，+1即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
2017海淀区高二(下)期中(数学)理含答案
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣ C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社 B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4f（x） 2 3 4 1f′（x） 3 4 2 1g（x） 3 1 4 2g′（x） 2 4 1 3则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．2017海淀区高二（下）期中数学（理科）参考答案一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x （﹣∞﹣﹣1 （﹣1，3） 3 （3，+∞）1）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n =﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+1+a k =﹣，得a k+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n =﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx ﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
【配套K12】北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题理
北京市海淀区2017届高三数学下学期期中试题理第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合|(1)0A x x x ，集合|0Bx x，则A B （）A ．|1x x B ．|1x x C ．|0x xD ．|0x x 2.已知复数()z i a bi （a ，bR ），则“z 为纯虚数”的充分必要条件为（）A ．22ab B ．ab C ．0a，0b D ．0a ，0b 3.执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（）A ．0B ．3C ．6D ．84.设a ，b R ，若a b ，则（）A ．11abB ．22abC ．lg lg ab D ．sin sin a b5.已知10a xdx ，120b x dx ，10c xdx ，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．ab c B ．a cb C ．ba c D ．c a b6.已知曲线C ：2222xtyat（t 为参数），(1,0)A ，(1,0)B ，若曲线C 上存在点P 满足0AP BP，则实数a 的取值范围为（）A ．22,22B ．1,1C ．2,2D ．2,27.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（）A ．12B ．40C ．60D ．808.某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等；项目②：打开过程中（如图2），检查''''OM ON O M O N ；项目③：打开过程中（如图2），检查''''OK OL O K O L ；项目④：打开后（如图3），检查123490；项目⑤：打开后（如图3），检查''''ABA B C D CD ．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（）A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．③④⑤第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.若等比数列n a 满足245a a a ，48a ，则公比q ，前n 项和nS ．10.已知1(2,0)F ，2(2,0)F ，满足12||||||2PF PF 的动点P 的轨迹方程为．11.在ABC 中，cos c a B ．①A；②若1sin 3C，则cos()B ．12.若非零向量a ，b 满足()0a a b ，2||||a b ，则向量a ，b 夹角的大小为．13.已知函数21,0,()cos ,0.x x f x x x若关于x 的方程()0f x a 在(0,)内有唯一实根，则实数a 的最小值是．14.已知实数u ，v ，x ，y 满足221uv，10,220,2,xy xy x则zux vy 的最大值是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知3是函数2()2cos sin 21f x xa x 的一个零点．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.16.据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约 6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月天津24 22 26 23 24 26 27 25 28 24 25 26 上海322733313031323330323030（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，设X 为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出X 的数学期望（不需要计算过程）．17.如图，由直三棱柱111ABCA B C 和四棱锥11D BB C C 构成的几何体中，90BAC，1AB ，12BCBB ，15C DCD，平面1CC D平面11ACC A ．（Ⅰ）求证：1ACDC ；（Ⅱ）若M 为1DC 的中点，求证：//AM 平面1DBB ；（Ⅲ）在线段BC 上是否存在点P ，使直线DP 与平面1BB D 所成的角为3？若存在，求BP BC的值，若不存在，说明理由．18.已知函数2()24(1)ln(1)f x xaxa x ，其中实数3a ．（Ⅰ）判断1x 是否为函数()f x 的极值点，并说明理由；（Ⅱ）若()0f x 在区间0,1上恒成立，求a 的取值范围．19.已知椭圆G ：2212xy，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C ，D 两点．（Ⅰ）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．20.已知含有n 个元素的正整数集12,,,n Aa a a …（12n a a a …，3n ）具有性质P ：对任意不大于()S A （其中12()n S A a a a …）的正整数k ，存在数集A 的一个子集，使得该子集所有元素的和等于k ．（Ⅰ）写出1a ，2a 的值；（Ⅱ）证明：“1a ，2a ，…，n a 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A ”；（Ⅲ）若()2017S A ，求当n 取最小值时n a 的最大值．海淀区高三年级第二学期期中练习数学（理科）答案一、选择题1-5:ADBBC 6-8:CDB二、填空题9.2，21n10.2213yx11.90，1312.120 13.1214.22三、解答题15.解：（Ⅰ）由题意可知()03f ，即22()2cossin10333f a ，即213()2()10322f a ，解得3a．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2()2cos 3sin 21f x xx cos23sin 22xx52sin(2)26x，函数sin y x 的递增区间为2,222kk，k Z ．由5222262k x k，k Z ，得236kxk，kZ ，所以，()f x 的单调递增区间为2,36kk，kZ ．16.解：（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的50%以上，所占比重大．（Ⅱ）设事件A ：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，82()123P A ．（Ⅲ）X 的数学期望8EX．17.（Ⅰ）证明：在直三棱柱111ABCA B C 中，1CC 平面ABC ，故1ACCC ，由平面1CC D 平面11ACC A ，且平面1CC D平面111ACC A CC ，所以AC平面1CC D ，又1C D 平面1CC D ，所以1ACDC ．（Ⅱ）证明：在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA 平面ABC ，所以1AA AB ，1AA AC ，又90BAC ，所以，如图建立空间直角坐标系Axyz ，依据已知条件可得(0,0,0)A ，(0,3,0)C ，1(2,3,0)C ，(0,0,1)B ，1(2,0,1)B ，(1,3,2)D ，所以1(2,0,0)BB ，(1,3,1)BD，设平面1DBB 的法向量为(,,)nx y z ，由10,0,n BB n BD即20,30,x xyz令1y ，则3z，0x ，于是(0,1,3)n ，因为M 为1DC 中点，所以3(,3,1)2M ，所以3(,3,1)2AM ，由3(,3,1)(0,1,3)02AM n ，可得AM n ，所以AM 与平面1DBB 所成角为0，即//AM 平面1DBB ．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面1BB D 的法向量为(0,1,3)n．设BPBC ，0,1，则(0,3,1)P ，(1,33,1)DP ．若直线DP 与平面1DBB 成角为3，则2|||23|3|cos ,|2||||2445n DP n DP n DP ，解得50,14，故不存在这样的点．18.解：（Ⅰ）由2()24(1)ln(1)f x xax a x 可得函数()f x 定义域为(1,)．4(1)'()221a f x x ax 22(1)(2)1x a x a x ，令2()(1)(2)g x xa x a，经验证(1)0g ，因为3a ，所以()0g x 的判别式222(1)4(2)69(3)0a a aa a ，由二次函数性质可得，1是函数()g x 的异号零点，所以1是'()f x 的异号零点，所以1x 是函数()f x 的极值点．（Ⅱ）已知(0)0f ，因为2(1)(2)'()1x xaf x x ，又因为3a ，所以21a ，所以当2a时，在区间0,1上'()0f x ，所以函数()f x 单调递减，所以有()0f x 恒成立；当23a 时，在区间0,2a 上'()0f x ，所以函数()f x 单调递增，所以(2)(0)0f a f ，所以不等式不能恒成立；所以2a 时，有()0f x 在区间0,1恒成立．19.解：（Ⅰ）由已知可知1(1,0)F ，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为1yx ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由221,1,2yx x y解得110,1,x y 224,31.3x y 所以AB 中点21(,)33M ，于是直线OM 的斜率为113223．（Ⅱ）假设存在直线l ，使得2||||||AM CM DM 成立．当直线l 的斜率不存在时，AB 的中点(1,0)M ，所以2||2AM ，||||(21)(21)1CM DM ，矛盾；故可设直线l 的方程为(1)(0)yk x k，联立椭圆G 的方程，得2222(21)42(1)0kx k xk ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2122421k x x k ，21222(1)21k x x k ，于是21212222(1)(1)222121y y x x k kk k kk，点M 的坐标为2222(,)2121kkkk，22222221222242(1)22(1)||(1)()1()4212121k k k AB k x x k kkk.直线CD 的方程为12yx k，联立椭圆G 的方程，得222421k xk，设00(,)C x y ，则2222222141||(1)421k OC x y x kk，由题知，222||4||||4(||||)(||||)4(||||)AB CM DM CO OM CO OM CO OM ，即22222222228(1)41(41)4()(21)21(21)k k k k kkk，化简，得212k，故22k，所以直线l 的方程为2(1)2yx ，2(1)2y x .20.解：（Ⅰ）11a ，22a .（Ⅱ）先证必要性：因为11a ，22a ，又1a ，2a ，…，n a 成等差数列，故na n ，所以(1)()2n n S A ；再证充分性：因为12n a a a …，1a ，2a ，…，n a 为正整数数列，故有11a ，22a ，33a ，44a ，…，na n ，所以12(1)()122nn n S A a a a n……，又(1)()2n n S A ，故ma m （1m，2，…，n ），故1a ，2a ，…，n a 为等差数列．（Ⅲ）先证明12m ma （1m ，2，…，n ）．假设存在12p pa ，且p 为最小的正整数．依题意3p ，则121pa a a …2112221p p …，，又因为12n a a a …，故当1(21,)p p k a 时，k 不能等于集合A 的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即12m m a （1m ，2，…，n ）成立．因此112201712221n nna a a ……，即22018n，所以11n ．因为2017S，则1212017nn a a a a …，若20171n n a a 时，则当(2017,)n n k a a 时，集合A 中不可能存在若干不同元素的和为k ，故20171nna a ，即1009na .此时可构造集合1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A .因为当2,21k 时，k 可以等于集合1,2中若干个元素的和；教育配套资料K12教育配套资料K12 故当22222,21,22,23k 时，k 可以等于集合21,2,2中若干不同元素的和；……故当88882,21,22,,2255k …时，k 可以等于集合81,2,,2…中若干不同元素的和；故当4973,4974,,497511k …时，k 可以等于集合81,2,,2,497…中若干不同元素的和；故当1009,10091,10092,,10091008k …时，k 可以等于集合81,2,,2,497,1009…中若干不同元素的和，所以集合1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009A 满足题设，所以当n 取最小值11时，n a 的最大值为1009．。
【全国市级联考】2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理试卷(带解析)
试卷第1页，共7页绝密★启用前【全国市级联考】2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：60分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、某折叠餐桌的使用步骤如图所示，有如图检查项目：项目①：折叠状态下（如图1），检查四条桌腿长相等； 项目②：打开过程中（如图2），检查； 项目③：打开过程中（如图2），检查；项目④：打开后（如图3），检查；试卷第2页，共7页项目⑤：打开后（如图3），检查．在检查项目的组合中，可以正确判断“桌子打开之后桌面与地面平行的是”（ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．②④⑤ D ．③④⑤2、甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙都排在丙的同一侧，排法种数为（ ） A ．12 B ．40 C ．60 D ．803、已知曲线：（为参数），，，若曲线上存在点满足，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知，，，则，，的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．5、设，，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第3页，共7页6、执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．3C ．6D ．87、已知复数（，），则“为纯虚数”的充分必要条件为（ ）A ．B ．C ．，D ．，8、已知集合，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第4页，共7页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、已知实数，，，满足，则的最大值是__________．10、已知函数若关于的方程在内有唯一实根，则实数的最小值是__________．11、若非零向量，满足，，则向量，夹角的大小为__________．12、在中，．①__________；②若，则__________．13、已知，，满足的动点的轨迹方程为__________．14、若等比数列满足，，则公比__________，前项和__________．三、解答题（题型注释）15、已知含有个元素的正整数集（，）具有性质：对任意不大于（其中）的正整数，存在数试卷第5页，共7页集的一个子集，使得该子集所有元素的和等于．（Ⅰ）写出，的值；（Ⅱ）证明：“，，…，成等差数列”的充要条件是“”；（Ⅲ）若，求当取最小值时的最大值．16、已知椭圆：，与轴不重合的直线经过左焦点，且与椭圆相交于，两点，弦的中点为，直线与椭圆相交于，两点．（Ⅰ）若直线的斜率为1，求直线的斜率；（Ⅱ）是否存在直线，使得成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．17、已知函数，其中实数．（Ⅰ）判断是否为函数的极值点，并说明理由； （Ⅱ）若在区间上恒成立，求的取值范围．18、如图，由三棱柱和四棱锥构成的几何体中，平面，，，，平面平面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若为棱的中点，求证：平面；试卷第6页，共7页（Ⅲ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由．19、据报道，巴基斯坦由中方投资运营的瓜达尔港目前已通航.这是一个可以停靠810万吨油轮的深水港，通过这一港口，中国船只能够更快到达中东和波斯湾地区，这相当于给中国平添了一条大动脉！在打造中巴经济走廊协议（简称协议）中，能源投资约340亿美元，公路投资约59亿美元，铁路投资约38亿美元，高架铁路投资约16亿美元，瓜达尔港投资约6.6亿美元，光纤通讯投资约为0.4亿美元．有消息称，瓜达尔港的月货物吞吐量将是目前天津、上海两港口月货物吞吐量之和．表格记录了2015年天津、上海两港口的月吞吐量（单位：百万吨）：（Ⅰ）根据协议提供信息，用数据说明本次协议投资重点；（Ⅱ）从表中12个月任选一个月，求该月天津、上海两港口月吞吐量之和超过55百万吨的概率；（Ⅲ）将（Ⅱ）中的计算结果视为瓜达尔港每个月货物吞吐量超过55百万吨的概率，试卷第7页，共7页设为瓜达尔未来12个月的月货物吞吐量超过55百万吨的个数，写出的数学期望（不需要计算过程）．20、已知是函数的一个零点．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求的单调递增区间.参考答案1、B2、D3、C4、C5、B6、B7、D8、A9、10、11、12012、 9013、14、 215、（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）．16、（Ⅰ）；（Ⅱ），.17、（Ⅰ）是函数的极值点；（Ⅱ）.18、（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）不存在这样的点．19、（Ⅰ）因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大;（Ⅱ）;（Ⅲ）的数学期望．20、（Ⅰ）;（Ⅱ），．【解析】1、A 项,项目②和项目③可推出项目①,所以判断项目②和项目③,若,则较低, 较高,所以不平行,错误;B 项,面面,平行底面,面,所以桌面平行于底面,故正确;C 项,由图3的正视图可得,,但与是否相等不确定,所以不确定与是否平行,又因为,所以不确定与是否平行,故错误;D项,,但不确定与的关系,所以无法判断与底面的关系,错误;综上所述,应选B.点睛:本题考查空间点、线、面的位置关系以及线面平行和面面平行的判断，需要学生结合所学知识与实际应用相联系,并结合选项判断,属于难题. 其中线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性，如a∥α，a∥β不一定得到α∥β，同时a∥α，b∥α也不一定得到a∥b.2、先从五个位置中选出三个给甲乙丙三人,共有种选法,其中丙在两端,有种选法,剩余两个位置乙丙全排,有种,剩余两个位置给丁、戊,有种,所以排法种数为=80,故选D.点睛:本题考查排列组合问题的应用,属于中档题目. 求排列应用题的主要方法有：1．直接法：把符合条件的排列数直接列式计算．2．特殊元素(或位置)优先安排的方法．即先排特殊元素或特殊位置.3．排列、组合混合问题先选后排的方法．4．相邻问题捆绑处理的方法．即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列．5．不相邻问题插空处理的方法．即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中．6．分排问题直排处理的方法．7．“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法．8．定序问题除法处理的方法．即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列．9．正难则反，等价转化的方法．3、曲线化为普通方程为:,由，可得点在以为直径的圆上,又在曲线上,即直线与圆存在公共点,故圆心到的距离小于等于半径,根据点到直线的距离公式有:,解得,故选C.4、因为,所以,故选C.5、A项,若异号不成立,错误;B项,为递增函数,故正确;C项,若则无意义,错误;D项,函数不单调,故无法判断大小关系;综上可知选B.6、由程序框图知,不满足 ,第一次循环,第二次循环,第三次循环,满足,输出故选B.7、,所以为纯虚数即,故选D.8、,故选A.9、根据题意画出可行域如图所示:根据柯西不等式可得: 因为表示三角形可行域内的点与原点距离的平方,所以当经过时距离的平方最大,最大值为8,又,当且仅当时等号成立,故填.点睛:本题考查的是简单的线性规划与柯西不等式的综合应用,属于中档题目. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.10、时,令,解得或 (舍),满足在内;时,令,解得:且,即在轴左边距离轴最近的零点为,若关于的方程在内有唯一实根，即图象最多往右平移个单位,故填11、因为,所以因此,又,所以夹角为,故填.12、由正弦定理得:,又,,即, 故填;,故填.13、根据双曲线的定义可得:长轴长,半焦距,由,解得,故方程为,应填.点睛:本题考查学生的是由定义法求曲线的轨迹方程问题,属于基础题目. 求动点的轨迹方程的一般步骤:(1)建系—建立适当的坐标系．(2)设点—设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式—列出动点P所满足的关系式．(4)代换—依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明—证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．14、;又,故填.15、试题分析: （Ⅰ）由为正整数,则，.，,即可求得，.（Ⅱ）先证必要性：由，，…，成等差数列，故，由等差数列的求和公式得:；再证充分性：由，故（，，…，），故，，…，为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）,因此，即，所以．由集合的性质,分类,即可求得当取最小值11时，的最大值为．试题解析:（Ⅰ），.（Ⅱ）先证必要性：因为，，又，，…，成等差数列，故，所以；再证充分性：因为，，，…，为正整数数列，故有，，，，…，，所以，又，故（，，…，），故，，…，为等差数列．（Ⅲ）先证明（，，…，）．假设存在，且为最小的正整数．依题意，则，，又因为，故当时，不能等于集合的任何一个子集所有元素的和．故假设不成立，即（，，…，）成立．因此，即，所以．因为，则，若时，则当时，集合中不可能存在若干不同元素的和为，故，即.此时可构造集合.因为当时，可以等于集合中若干个元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；……故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和；故当时，可以等于集合中若干不同元素的和，所以集合满足题设，所以当取最小值11时，的最大值为．16、试题分析: （Ⅰ）求出直线的方程,与椭圆联立,解出中点的坐标,进而求出直线的斜率. （Ⅱ）假设存在直线，使得成立．当直线的斜率不存在时不成立,斜率存在时联立直线与椭圆方程,根据韦达定理写出弦长的表达式以及中点的坐标,直线的方程联立椭圆的方程，得点坐标，则可求出,又，将坐标代入解出,即可求出直线的方程.试题解析:（Ⅰ）由已知可知，又直线的斜率为1，所以直线的方程为，设，，由解得所以中点，于是直线的斜率为．（Ⅱ）假设存在直线，使得成立．当直线的斜率不存在时，的中点，所以，，矛盾；故可设直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，，则，，于是，点的坐标为，. 直线的方程为，联立椭圆的方程，得，设，则，由题知，，即，化简，得，故，所以直线的方程为，.17、试题分析: （Ⅰ）对函数求导,将代入导函数的分子,可得函数值为0,根据判别式结合验证可得, 1是函数的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）分类讨论参数a, 当时，函数单调递减，所以恒成立；当时，在区间上单调递增，所以，所以不等式不能恒成立.试题解析:（Ⅰ）由可得函数定义域为．，令，经验证，因为，所以的判别式，由二次函数性质可得，1是函数的异号零点，所以是的异号零点，所以是函数的极值点．（Ⅱ）已知，因为，又因为，所以，所以当时，在区间上，所以函数单调递减，所以有恒成立；当时，在区间上，所以函数单调递增，所以，所以不等式不能恒成立；所以时，有在区间恒成立．点睛:本题考查学生的是导数在单调性以及恒成立问题的应用,属于中档题目.导数与极值点的关系：(1)定义域D上的可导函数f(x)在x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，并且f′(x)在x0两侧异号，若左负右正为极小值点，若左正右负为极大值点；(2)函数f(x)在点x0处取得极值时，它在这点的导数不一定存在，例如函数y＝|x|，结合图象，知它在x＝0处有极小值，但它在x＝0处的导数不存在；(3)f′(x0)＝0既不是函数f(x)在x＝x0处取得极值的充分条件也不是必要条件．最后提醒学生一定要注意对极值点进行检验．18、试题分析: （Ⅰ）在直三棱柱中，由平面，推得，由平面平面，推得平面，又平面，得证．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，写出各点坐标,求出平面的法向量为,因为,所以平面．（Ⅲ）设，，根据线面角公式列出方程,解得，可得结论．试题解析:（Ⅰ）证明：在直三棱柱中，平面，故，由平面平面，且平面平面，所以平面，又平面，所以．（Ⅱ）证明：在直三棱柱中，平面，所以，，又，所以，如图建立空间直角坐标系，依据已知条件可得，，，，，，所以，，设平面的法向量为，由即令，则，，于是，因为为中点，所以，所以，由，可得，所以与平面所成角为0，即平面．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可知平面的法向量为．设，，则，．若直线与平面成角为，则，解得，故不存在这样的点．19、试题分析: （Ⅰ）因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大; （Ⅱ）根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和超过55百万吨的月份个数,根据古典概型计算出概率; （Ⅲ）根据数学期望的公式求出即可.试题解析:（Ⅰ）本次协议的投资重点为能源，因为能源投资为340亿，占总投资460亿的以上，所占比重大．（Ⅱ）设事件：从12个月中任选一个月，该月超过55百万吨．根据提供的数据信息，可以得到天津、上海两港口的月吞吐量之和分别是：56,49,58,54,54,57,59,58,58,56,54,56，其中超过55百万吨的月份有8个，所以，．（Ⅲ）的数学期望．点睛:本题考查学生的是古典概型求概率以及离散型随机变量的期望与方差,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝．20、试题分析: （Ⅰ）由题意，可得a值; （Ⅱ）利用二倍角公式和两角和与差的正弦公式对函数解析式化简整理, 由，，求得x的范围,进而确定函数的单调递增区间.试题解析:（Ⅰ）由题意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，函数的递增区间为，．由，，得，，所以，的单调递增区间为，．。
【最新】北京市海淀区高二下期中考试数学理试题及答案(课标人教版).doc
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数12i z的虚部是A.2 B. 2 C.2i D.2i 2.下列导数运算错误．．的是（）A. 21()'2x x B.(cos )'sin x x C.(ln )'1ln x x x D.(2)'2ln 2xx3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3 4.若函数()f x 的导函数'()(2)e xf x x x ，则下列关系一定成立的是（）A.(2)f B.(0)(1)f f C. (2)(1)f f D.(2)(3)f f 5. 已知两个命题：:p “若复数12,z z 满足120z z ，则1z 2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得ii(2i)ab .”其真假情况是（）A.p 真q 假 B. p 假q 假 C.p 假q 真 D. p 真q 真6．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt （g 为常数），该小球在1t 到3t的平均速度为v ，在2t 的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为（）A ．2v v B．2vv C ．2vv D．不能确定7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln yx 交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y .①k 的取值范围是1(0,)e.②1211kx x .③当12(,)xx x 时，()ln f x kx x 先减后增且恒为负.以上结论中所有正确结论的序号是（） A.① B.①② C.①③ D.②③8.已知函数32()f x axbxcx d ，其导函数的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（）Ox1y11x 2x xyABxyOOx1yOx1yO x1yO x1y二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.9.计算1+2i i =_________.10．20(3)xdx_____________.11.已知()1xf x x ，则'()f x ______________．12. 方程(1)1xx e 的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.（本小题12分）已知函数cx bxaxx f 23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：x -3 -2 0 1 3 4 8 '()f x -24-1068-10-90根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）.（Ⅱ）求实数a ，b 的值.（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m上单调递减，求m 的取值范围.14.（本小题10分）如图，四棱锥B ACDE 的底面ACDE 满足 DE //AC ，AC =2DE .（Ⅰ）若DC ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，求证：平面ABE ⊥平面BCD ; （Ⅱ）求证：在平面ABE 内不存在直线与DC 平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第（2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.（Ⅰ）证明：欲证平面ABE 平面BCD ，只需证_______________________________，由已知AB ⊥BC ，只需证_________________，由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立，所以平面ABE ⊥平面BCD .（Ⅱ）证明：假设________________________________________，又因为DC平面ABE ，所以//DC 平面ABE .又因为平面ACDE 平面ABE =AE , 所以__________________，又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE ，这与_______________________________矛盾，所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）已知函数()ln f x x ax （a R ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2平行，求实数a 的值及该切线方程；（Ⅱ）若对任意的),0(x ，都有1)(x f 成立，求实数a 的取值范围.ABC DE16. （本小题8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答：问题1：已知数集1212,,1,2nn Aa a a a a a n 具有性质P ：对任意的,1i j ijn ，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集14,2,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a ，443a a ，442a a .所以44a a ,43a ,42a 都属于该集合.又因为14123a a ，所以4444432a a a a a . 所以4141a a a ,442,332a a ，故141,6a a .问题2：已知数集1212,,0,2nn A a a a a a a n具有性质P ：对任意的,1i j i j n ，ij a a 与j i a a 两数中至少有一个属于A .若数集14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. （本小题10分）已知函数1()(0)f x xx，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12nn S x x x ，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)in ，都满足4ii C S (1,2,,)in .（Ⅰ）求1x ；（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.yxix ()i f x (,())i i x f x O海淀区高二年级第二学期期中练习参考答案数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. AABD CCCD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.9.2i 10. 4 11.21(1)x12. 1三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.13.（本小题12分）（Ⅰ）6， 3.------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）解：2'()3f x a x，--------------------------------------------------------------5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f 解得2,32.a b---------------------------------------------7分（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x xx x x ，-----------------------8分由'()f x 可得(x(3，------------------------------------------------9分因为()f x 在(,2)m m 上单调递减，所以仅需21m或者3m ，------------------------------------------------------11分所以m的取值范为3m或3m .-----------------------------------------------------12分14.（本小题10分）（Ⅰ）证明：欲证平面ABE平面BCD ，只需证AB平面BCD ，---------------------------------------------------------------2分由已知AB ⊥BC，只需证ABDC，----------------------------------------------------4分由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立，所以平面ABE ⊥平面BCD .（Ⅱ）证明：假设在平面ABE 内存在直线与DC 平行，------------------------------------6分又因为DC平面ABE ，所以//DC 平面ABE .又因为平面ACDE平面ABE =AE ,所以//DC AE ，------------------------------------------8分又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以A C ，这与2AC DE 矛盾，-----------------------------------------------10分所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）（Ⅰ）解：11'()ax f x axx，0x .----------------------------------------------------------2分由已知可得'(1)12f a，解得1a.---------------------------------------------------3分因为(1)1f ，所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21yx .------------------------4分（Ⅱ）解1：若对任意),0(x ，都有1)(x f 成立，即1ln x ax成立.------------6分设1ln ()x g x x，--------------------------------------------------------------7分2ln 2'()xg x x，令'()0g x ，解得2e x，则'(),()g x g x 的情况如下：x 2(0,e )2e2(e)'()g x 0()g x ---------------------------------------------9分所以()g x 的最小值为22(e )e g ，------------------------------------------10分所以，依题意只需实数a满足2ea，---------------------------------------11分故所求a的取值范围是2(,e]. --------------------------------------------12分解2：当0a时，'()0f x 恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)又因为11(1)ln(1)11f a a a ，所以不符题意，舍.--------------------6分当a时，令'()0f x ，得1xa.----------------------------------------------7分所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示：x 1(0,)a1a1(,)a'()f x 0()f x -----------------------------------------9分所以()f x 的最大值为1()f a ，------------------------------------------------------10分所以，依题意只需11()ln()11f aa即可，解得2e a.---------------11分综上，a的取值范围是2(,e ].---------------------------------------------------12分16. （本小题8分）解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a ，443a a ，441a a -----------------2分所以44a a ,43a ,41a ,41a a 都属于该集合.--------------------------------------------4分又因为14013a a ，所以44a a 43a 41a 41a a .-----------------------6分所以10a a,431a ,------------------------------------------------------------------7分即140,4a a .-------------------------------------------------------------------------------------8分17. （本小题10分）（Ⅰ）解：由题意知，12(())2()i i i iiC x f x x x (1,2,,)i n ，所以12iiiS x x (i n .--------------------------------------------------------------1分令i ＝1，得11112S x x ，又11S x ，且1x ＞0，故11x .---------------------------------------------------------------2分（Ⅱ）解：令i ＝2，得22212S x x ，又212S x x ，11x ，且2x ＞0，故221x ；------------------------------------3分令i ＝3，得33312S x x ，又3123S x x x ，11x ，221x ，且3x ＞0，故332x ；----------4分由此猜想，1nx nn (n∈N +).-------------------------------------------------------5分下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，11x ，命题成立；---------------------------------------------------------6分②假设n ＝k 时命题成立，即1kx k k(k ∈N +)， -----------------------------7分则当n ＝k ＋1时，11112k kk S x x ，又11kk k S S x ，12k kkS x x ，故11111()2kkkkkx x x x x ，由1kx k k，得211210k kxk x ，--------------------------------------8分所以11kx kk (1kk舍去).-------------------------------------------9分即当n ＝k ＋1时命题成立。
北京市海淀区高二数学下学期期中试题 理 北师大版
海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）学校___________ 班级姓名成绩 ___本试卷共100分,考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(1,,2),(2,1,)x x =-=a b ，且⊥a b ，则x 的值为（） A.1- B. 0 C. 1 D. 22.曲线1()f x x=在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角为（） A.4π B. 3π C. 32π D.43π3.函数)(x f 在其定义域内可导，其图象如右图所示， 则导函数)('x f y =的图象可能为（）4.观察下列各等式：312555=，1562556=，7812557=，…，则20135的末四位数字是（）A. 3125B. 5625C. 8125D. 0625 5.已知下列命题： ①75102-<-；②三角形ABC 的三个内角满足sin sin sin A B C +>； ③存在等比数列{}n a 满足1322a a a +=成立.其中所有正确命题的序号是（）A. ①B. ①②C. ②③D. ①②③6.若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入右图的容器，则xyO xyOx y O Ax y Ox y O容器中水的高度h 与时间t 的函数关系图象是（）7.若函数b ax x x f ++=3)(有三个零点，分别为123,,x x x ，且满足11<x ，12=x ，13>x ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(,2)-∞-D ．(,3)-∞- 8.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是截面BD A 1内（包括边界）的动点，则11C P C B ⋅u u u u r u u u u r的值不可能是( )A ．9.0B ．2.1C ．5.1D ．8.1二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.已知三个点(1,1,),(2,,1),(0,0,0)A b B a O -在同一条直线上，则_________,==b a . 10.若函数sin y ax x =-是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围_____________. 11.由曲线2y x =和直线2y x =围成的封闭区域的面积为________.12.如图所示，已知三棱柱'''A B C ABC -的侧棱垂直于底面，AC CB ⊥，且'2AC CB CC ===.若点E 为''A B 中点，则CE 与底面ABC 所成角的余弦值为____________. 13.若函数2()(3)xf x x e =-，给出下面四个结论：①(3)f -是()f x 的极大值，(1)f 是()f x 的极小值；②()0f x <的解集为{|33}x x -<<；③()f x 没有最小值，也没有最大值；④()f x 有最小值，没有最大值，其中正确结论的序号有__________________. 14.已知函数()3xf x x =+,构造如下函数序列()n f x :()()1[]n n f x f f x -=（*∈N n ，且2≥n ）,其中()1()f x f x =，()0>x ，则3()f x =_____________________，函数()n f x 的值域为__________________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.t h O A t h O B th O C thODA BC 'B 'A 'C E15.（本小题共10分）已知函数232()2,3af x x ax bx=-+其中,a b∈R，且曲线()y f x=在点(0,(0))f处的切线斜率为3.（I）求b的值；（II）若函数()f x在1x=处取得极大值，求a的值.16.（本小题共10分）已知点列A n(x n,0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a (a>0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…A n是线段A n－2A n－1的中点，….（I）写出x n与x n－1、x n－2之间的关系式(n≥3)；（II）设a n＝x n＋1－x n，计算a1，a2，a3，由此推测数列{a n}的通项公式，并加以证明．17.(本小题共12分)已知平面ADEF ⊥平面ABCD ，其中ADEF 为矩形，AB //CD ，AB AD ^，且224AB CD DE ===，22AD =，如图所示.（Ⅰ）求证：BE AC ^；（Ⅱ）求二面角B CE D --的余弦值； （Ⅲ）在线段AF 上是否存在点P ，使得BP ∥平面ACE ，若存在，确定点P 的位置，若不存在，请说明理由.18.（本小题共12分）已知函数2()(2)ln f x ax a x x =-++.（I ）当2a =-时，判断函数()f x 零点的个数； （II ）求函数()f x 的单调区间.海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．D 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．2a =-，12b =10．1a ≥ 11．431213．①②④ 14．()31327xf x x =+； 2(0,)31n -（每空2分）三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）22()4f x a x ax b '=-+………………2分 由题意(0)3f b '==………………4分（Ⅱ）由函数()f x 在1x =处取得极大值 2(1)430f a a '∴=-+=解得1a =或3a = ………………6分①当1a =时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极大值，符合题意………………8分②当3a =时，2()91233(31)(1)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意. 综上所述，若函数()f x 在1x =处取得极大值，a 的值为1. ………………10分16.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，当3n ≥时，121()2n n n x x x --=+ ………………2分 （Ⅱ）10x =，2x a =，3211()22a x x x =+=，43213()24ax x x =+=121a x x a ∴=-=，2322a a x x =-=-，3434aa x x =-= ………………4分y推测1(2)n n aa -=- ………………6分方法一证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=- ……………….9分又10a a =>Q {}n a ∴是以a 为首项，以12-为公比的等比数列.故111()2(2)n n n aa a --=⋅-=-………………10分方法二下面用数学归纳法证明： ① 当11111=()2n a a a -==⋅-时，，1(2)n n a a -=-成立 ……….………………7分 ② 假设当(1,)n k k k =≥∈N 时，1(2)n n aa -=-成立，即11()2k ka a -=⋅-， 则1时，n k =+11+2112k k k k k k x x a x x x +++++=-=-12k k x x +-= +11111()()22k k k x x a -+=--=⋅-，所以1时，n k =+1(2)n n aa -=-成立. …………..…….9分由①②可知，数列{}n a 的通项公式为1*1(),2n n a a n N -=⋅-∈ ……………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD由已知可得AF AD ⊥且AF ⊂平面ADEF∴AF ⊥平面ABCD……………2分又AB AD ⊥如图，以A为原点建立空间直角坐标系A xyz -(0,0,0)A ，(4,0,0)B ，C ，E所以，有(BE =-u u u r ，AC =u u u r(0BE AC ⋅=-⋅=u u u r u u u rBE AC ∴⊥u u u r u u u r，BE AC ∴⊥………………4分 （Ⅱ）由已知可得,AD CD AD DE ⊥⊥，所以平面CED 的一个法向量为1(0,1,0)=n ………………5分 设平面BCE 的法向量为2(,,)x y z =n ，则有220420020BE x z BC x ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩n n u u u r u u u r ，不妨令1y =， 所以平面BCE的一个法向量为2=n . ……………7分121212cos ,||⋅<>=⋅n n n n |n |n由已知可得所求二面角B CE D --的余弦值为………………………………9分 （Ⅲ）设(0,0,)P z ，02z ≤≤，(4,0,)BP z =-u u u r设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有020020AE z AC x ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩n n u u u r u u u r ，不妨令1y =，则 平面ACE的一个法向量为(=n , ………………11分由(4,0,)(0BP z =-⋅=n u u u rg ，解得4z =，不符合题意,即线段AF 上不存在点P ，使得BP ∥平面ACE ………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞ , ………………1分当2a =-时，214'()x f x x-=， ………………3分因为11()ln 2022f =--<，所以，此时，在定义域上()0f x <，所以函数()f x 的零点个数为0. ………………………………………………….6分 （Ⅱ）1(1)(21)()2(2)ax x f x ax a x x--'=-++=, ………………8分 ①当0a ≤时,………9分②当02a <<时,……..10分③当2a =时，2(21)()0x f x x-'=≥对(0,)x ∈+∞恒成立,且仅当1=时'()0f x =所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ……………11分 ④当2a >时…12分综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2，单调递减区间是1(,)2+∞；当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2和1(,)a+∞，单调递减区间是11(,)2a；当2a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a和1(,)2+∞，单调递减区间是11(,)2a .说明：本题第二问不列表也可以。
2017海淀区高二(下)期中数学(理科)
2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在B．至少有1个C．至少有2个D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A．B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，a n），=（b1，b2，…，b n），那么•=．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1+a n=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+a n b n．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，a n=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即a k =﹣则由a k+a k =﹣，得a k+1=﹣，+1即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{a n}的通项公式为a n=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）。
高二数学下学期期中试题理扫描版北师大版
北京市海淀区高二数学下学期期中试题理（扫描版）海淀区高二年级第二学期期中练习数学（理科）参考答案及评分标准 2013.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．D 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．2a =-，12b =10．1a ≥ 11．4312．313．①②④ 14．()31327xf x x =+； 2(0,)31n -（每空2分）三、解答题：本大题共4小题，共44分. 15.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）22()4f x a x ax b '=-+………………2分 由题意(0)3f b '==………………4分（Ⅱ）由函数()f x 在1x =处取得极大值 2(1)430f a a '∴=-+=解得1a =或3a = ………………6分①当1a =时，2()43(1)(3)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极大值，符合题意………………8分②当3a =时，2()91233(31)(1)f x x x x x '=-+=--由上表知，函数()f x 在1x =处取得极小值，不符合题意. 综上所述，若函数()f x 在1x =处取得极大值，a 的值为1. ………………10分16.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）由题意，当3n ≥时，121()2n n n x x x --=+ ………………2分 （Ⅱ）10x =，2x a =，3211()22a x x x =+=，43213()24ax x x =+=121a x x a ∴=-=，2322a a x x =-=-，3434aa x x =-= ………………4分 推测1(2)n n aa -=-………………6分y方法一证明：对于任意*n N ∈，1n n n a x x +=-121111111()()222n n n n n n n n n a x x x x x x x a ++++++=-=+-=--=- ……………….9分又10a a =>Q {}n a ∴是以a 为首项，以12-为公比的等比数列.故111()2(2)n n n aa a --=⋅-=-………………10分方法二下面用数学归纳法证明： ① 当11111=()2n a a a -==⋅-时，，1(2)n n a a -=-成立 ……….………………7分 ② 假设当(1,)n k k k =≥∈N 时，1(2)n n aa -=-成立，即11()2k ka a -=⋅-， 则1时，n k =+11+2112k k k k k k x x a x x x +++++=-=-12k k x x +-= +11111()()22k k k x x a -+=--=⋅-，所以1时，n k =+1(2)n n aa -=-成立. …………..…….9分由①②可知，数列{}n a 的通项公式为1*1(),2n n a a n N -=⋅-∈ ……………10分17.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD由已知可得AF AD ⊥且AF ⊂平面ADEF∴AF ⊥平面ABCD……………2分又AB AD ⊥如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -(0,0,0)A，(4,0,0)B ，C ，E所以，有(BE =-u u u r，AC =u u u r(0BE AC ⋅=-⋅=u u u r u u u rBE AC ∴⊥u u u r u u u r，BE AC ∴⊥ ………………4分（Ⅱ）由已知可得,AD CD AD DE ⊥⊥，所以平面CED 的一个法向量为1(0,1,0)=n ………………5分 设平面BCE 的法向量为2(,,)x y z =n ，则有220420020BE x z BC x ⎧⎧⋅=-++=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩n n u u u ru u ur ，不妨令1y =， 所以平面BCE的一个法向量为2=n . ……………7分121212cos ,||⋅<>=⋅n n n n |n |n由已知可得所求二面角B CE D --的余弦值为………………………………9分 （Ⅲ）设(0,0,)P z ，02z ≤≤，(4,0,)BP z =-u u u r设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有020020AE z AC x ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇔⎨⎨⋅=+=⎪⎪⎩⎩n n u u u r u u ur ，不妨令1y =，则 平面ACE的一个法向量为(=n , ………………11分由(4,0,)(0BP z =-⋅=n u u u rg ，解得4z =，不符合题意,即线段AF 上不存在点P ，使得BP ∥平面ACE ………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞ , ………………1分当2a =-时，214'()x f x x-=， ………………3分因为11()ln 2022f =--<，所以，此时，在定义域上()0f x <， 所以函数()f x 的零点个数为0. ………………………………………………….6分 （Ⅱ）1(1)(21)()2(2)ax x f x ax a x x--'=-++=, ………………8分①当0a ≤时,………9分②当02a <<时,……..10分③当2a =时，2(21)()0x f x x-'=≥对(0,)x ∈+∞恒成立,且仅当1=时'()0f x =所以，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞. ……………11分 ④当2a >时…12分综上，当0a ≤时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2，单调递减区间是1(,)2+∞；当02a <<时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)2和1(,)a+∞，单调递减区间是11(,)2a；当2a =时，函数()f x 的单调递增区间是(0,)+∞；当2a >时，函数()f x 的单调递增区间是1(0,)a和1(,)2+∞，单调递减区间是11(,)2a .说明：本题第二问不列表也可以。
北京市海淀区 高二下期中考试数学理试题及答案(新课标人教版)【精选】.doc
海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（理科）学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数12i z =-的虚部是A. 2-B. 2C.2i -D. 2i 2.下列导数运算错误．．的是（ ） A. 21()'2x x --=- B.(cos )'sin x x =- C. (ln )'1ln x x x =+ D. (2)'2ln 2x x = 3. 函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的极大值点的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.若函数()f x 的导函数'()(2)e x f x x x -=-，则下列关系一定成立的是（ ）A.(2)0f >B. (0)(1)f f >C. (2)(1)f f <D. (2)(3)f f > 5. 已知两个命题：:p “若复数12,z z 满足120z z ->，则1z >2z .”:q “存在唯一的一个实数对(,)a b 使得i i(2i)a b -=+.”其真假情况是（ ）A.p 真q 假B. p 假q 假C. p 假q 真D. p 真q 真 6．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在1t =到3t =的平均速度为v ，在2t =的瞬时速度为2v ，则v 和2v 关系为（ ） A ．2vv > B ．2v v < C ．2v v = D ．不能确定7.如图，过原点斜率为k 的直线与曲线ln y x =交于两点11(,)A x y ，22(,)B x y . ① k 的取值范围是1(0,)e. ② 1211k x x <<.负.③ 当12(,)x x x ∈时，()ln f x kx x =-先减后增且恒为以上结论中所有正确结论的序号是（ ）A.①B.①②C.①③D.②③8.已知函数32()f x ax bx cx d =+++，其导函数的图象如图所示，则函数()f x 的图象可能是（ ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上. 9.计算1+2ii=_________. 10．2(3)x dx -=⎰_____________.11.已知()1xf x x =- ，则'()f x =______________． 12. 方程(1)1x x e -=的解的个数为_______________.三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）已知函数cx bx ax x f ++=23)(，其导函数为)('x f 的部分值如下表所示：根据表中数据，回答下列问题：（Ⅰ）实数c 的值为___________；当x = ________时，()f x 取得极大值．．．（将答案填写在横线上）. （Ⅱ）求实数a ，b 的值.（Ⅲ）若()f x 在(,2)m m +上单调递减，求m 的取值范围.14.（本小题10分）如图，四棱锥B ACDE -的底面ACDE 满足 DE //AC ，AC =2DE . （Ⅰ）若DC ⊥平面ABC ， AB ⊥BC ，求证：平面ABE ⊥平面BCD ; （Ⅱ）求证：在平面ABE 内不存在直线与DC 平行；某同学用分析法证明第（1）问，用反证法证明第 （2）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，只需证_______________________________，由已知AB ⊥BC ，只需证_________________， 由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立， 所以平面ABE ⊥平面BCD .（Ⅱ）证明：假设________________________________________，又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE .所以__________________，又因为DE //AC ，所以ACDE 是平行四边形，所以AC DE =，这与_______________________________矛盾， 所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分）已知函数()ln f x x ax =+（a ∈R ）.（Ⅰ）若函数)(x f 在点))1(,1(f 处的切线与直线x y 2=平行，求实数a 的值及该切线方程； （Ⅱ）若对任意的),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围.16. （本小题8分）请阅读问题1的解答过程，然后借鉴问题1的解题思路完成问题2的解答： 问题1：已知数集{}()1212,,1,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A .若数集{}14,2,3,a a 具有性质P ，求,a a 的值.问题2：已知数集1212,,0,2n n A a a a a a a n =≤<<<≥L L 具有性质P ：对任意的(),1i j i j n ≤≤≤，i j a a +与j i a a -两数中至少有一个属于A .若数集{}14,1,3,a a 具有性质P ，求14,a a 的值.17. （本小题10分）已知函数1()(0)f x x x=>，对于正数1x ，2x ，…，n x (n ∈N +)，记12n n S x x x =+++L ，如图，由点(0,0)，(,0)i x ，(,())i i x f x ，(0,())i f x 构成的矩形的周长为i C (1,2,,)i n =L ，都满足4i i C S =(1,2,,)i n =L .（Ⅰ）求1x ；（Ⅱ）猜想n x 的表达式（用n 表示），并用数学归纳法证明.数 学（理科）一、选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分.AABD CCCD二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分，共16分.9.2i - 10. 4- 11. 21(1)x -- 12. 1三、解答题:本大题共5小题,共52分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 13.（本小题12分）（Ⅰ）6， 3. ------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）解：2'()32f x ax bx c=++，--------------------------------------------------------------5分由已知表格可得'(1)8,'(3)0,f f =⎧⎨=⎩解得2,32.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩---------------------------------------------7分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得2'()2462(3)(1)f x x x x x =-++=--+，-----------------------8分由'()0f x <可得(,1)x ∈-∞-(3,)+∞U ，------------------------------------------------9分 因为()f x 在(,2)m m +上单调递减，所以仅需21m +≤-或者3m ≥， ------------------------------------------------------11分所以m 的取值范为3m ≥或3m ≤-.-----------------------------------------------------12分 14.（本小题10分）（Ⅰ）证明：欲证平面ABE ⊥平面BCD ，只需证---------------------------------------------------------------2分由已知AB ⊥BC，只需证----------------------------------------------------4分由已知DC ⊥平面ABC 可得DC ⊥AB 成立， 所以平面ABE ⊥平面BCD .（Ⅱ）证明：------------------------------------6分又因为DC ⊄平面ABE ，所以//DC 平面ABE . 又因为平面ACDE I 平面ABE =AE, 所以------------------------------------------8分又因为，所以是平行四边形，所以AC DE =，这与盾，-----------------------------------------------10分所以假设错误，原结论正确.15.（本小题12分） （Ⅰ）解：11'()ax f x a x x+=+=，0x >.----------------------------------------------------------2分由已知可得'(1)12f a =+=，解得1a =.---------------------------------------------------3分因为(1)1f =，所以在点))1(,1(f 处的切线方程为21y x =-.------------------------4分（Ⅱ）解1：若对任意),0(+∞∈x ，都有1)(≤x f 成立，即1ln xa x-≤成立.------------6分 设1ln ()x g x x-=，--------------------------------------------------------------7分 2ln 2'()x g x x-=，令'()0g x =，解得2e x =， 则'(),()g x g x 的情况如下：---------------------------------------------9分所以()g x 的最小值为22(e )e g -=-， ------------------------------------------10分所以，依题意只需实数a满足2e a -≤-，---------------------------------------11分故所求a 的取值范围是2(,e ]--∞-.--------------------------------------------12分解2：当0a ≥时，'()0f x >恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞又因为11(1)ln(1)11f a a a+=+++>，所以不符题意，舍.--------------------6分当0a <时，令'()0f x =，得1x a=-.----------------------------------------------7分所以'(),()f x f x 随x 的变化如下表所示：所以()f x 的最大值为1()f a-，------------------------------------------------------10分所以，依题意只需11()ln()11f a a-=--≤即可，解得2e a -≤-.---------------11分综上，a 的取值范围是2(,e ]--∞-.---------------------------------------------------12分16. （本小题8分）解：对于集合中最大的数4a ，因为444a a a +>，443a a +>，441a a +>-----------------2分所以44a a -,43a -,41a -,41a a -都属于该集合.--------------------------------------------4分又因为14013a a ≤<<<，所以44a a -<43a -<41a -41a a <-.-----------------------6分所以1440a a a =-=,431a -=,------------------------------------------------------------------7分即140,4a a ==.-------------------------------------------------------------------------------------8分 17. （本小题10分）（Ⅰ）解：由题意知，12(())2()i i i i iC x f x x x =+=+(1,2,,)i n =L ， 所以12i i iS x x =+(1,2,,)i n =L .--------------------------------------------------------------1分令i ＝1，得11112S x x =+， 又11S x =，且1x ＞0，故11x =.---------------------------------------------------------------2分 （Ⅱ）解：令i ＝2，得22212S x x =+， 又212S x x =+，11x =，且2x ＞0，故21x =-；------------------------------------3分令i ＝3，得33312S x x =+， 又3123S x x x =++，11x =，21x =，且3x ＞0，故3x =----------4分N +).-------------------------------------------------------5分下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，11x =，命题成立；---------------------------------------------------------6分②假设n ＝k时命题成立，即k x =k ∈N +)， -----------------------------7分则当n ＝k ＋1时，11112k k k S x x +++=+，又11k k k S S x ++=+，12k k kS x x =+， 故11111()2k k k k k x x x x x +++++=+，由k x =，得21110k k x +++-=，--------------------------------------8分所以1k x +=(舍去).-------------------------------------------9分即当n ＝k ＋1时命题成立。
海淀区高二下期中数学
2017 高二年级第二学期期中考试（海淀区）数 学------理科 2 0 1 7 . 4一．选 择 题：本 大 题 共 8小 题，每 小 题4分，共32分． 1. 复数13-i 的虚部为（ ）A. 3iB. 1C. 3D. 3- 2.1d x x =⎰（ ）A. 0B.12C. 1D. 12-3. 若复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，且1=1i z +，则12z z ⋅=（ ）A.2-B.2C.2i -D.2i4. 若,,a b c 均为正实数，则三个数111,,a b c b c a+++这三个数中不小于2的数 （ ）A.可以不存在B.至少有1个C. 至少有2个D. 至多有2个5. 定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其各自导函数()f x '和()g x '的图象如图所示，则函数()()()F x f x g x =-极值点的情况是（ ）A. 只有三个极大值点，无极小值点B. 有两个极大值点，一个极小值点C. 有一个极大值点，两个极小值点D. 无极大值点，只有三个极小值点6. 函数()ln f x x =与函数2()g x ax a =-的图象在点(10)，的切线相同，则实数a 的值为（ ）A. 1B. 12-C. 12D. 12或12- 7. 函数(21)xy e x =-的大致图象是 （ ）8.为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查。
调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1） 甲同学没有加入“楹联社”; （2） 乙同学没有加入“汉服社”;（3） 加入“楹联社”的那名同学不在高二年级; （4） 加入“汉服社”的那名同学在高一年级; （5） 乙同学不在高三年级。
试问：丙同学所在的社团是 （ ） A.楹联社 B.书法社 C.汉服社 D.条件不足无法判断 二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 在复平面内，复数1-ii对应的点的坐标为 . 10. 设函数(),()f x g x 在区间(0,5)内导数存在，且有以下数据：x 1 2 3 4 ()f x 2 3 4 1 ()f x ' 3 4 2 1 ()g x3 14 2 ()g x '2413则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程是 ;函数(())f g x 在2x =处的导数值是 ． 11. 如图，()1sin f x x =+，则阴影部分面积是 .12. 如图，函数()f x 的图象经过(0,0),(4,8),(8,0),(12,8)四个点，试用“>，=，<”填空： （1）(4)(2)2f f -______(12)(8)4f f -；（2）(6)f '______(10)f '.13. 已知平面向量 ，，那么 ；空间向量 ，，那么 ．由此推广到 维向量：，，那么 ． 14. 函数()e ln xf x a x =-（其中a ∈R ）① a ∃∈R ，使得直线e y x =为函数()f x 的一条切线； ② 对0a ∀<，函数()f x 的导函数()f x '无零点； ③ 对0a ∀<，函数()f x 总存在零点；则上述结论正确的是 ．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分10分）已知函数32()392f x x x x =--+ （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值.16．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =，111--+=++n n a a n n ，*n ∈N .（Ⅰ）求234,,a a a ；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明． 17．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln af x x a x x=-+-，其中a ∈R . （Ⅰ）求证/；当1a =时，函数()y f x =没有极值点； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调增区间．18．（本小题满分12分）设(1)() In t x f x e t x -=-，(0)t >（Ⅰ）若1t =，证明1x =是函数()f x 的极小值点； （Ⅱ）求证：()0f x ≥.海淀区高二年级第二学期期中参考答案数 学（理科）阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.(有两空的小题每空2分)9. (1,1)-- 10. 31y x =-；12 11.2π+ 12. (1) >； (2) <13. 1122n n a b a b a b ⋅+++L a b = 14. ①②③三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）解：'2()369f x x x =-- ………………………………（2分）)3)(1(3)32(32-+=--=x x x x 令'()0f x =，得11-=x .；32=x ……………………………（3分）当x 变化时，)(x f ,'()f x 在区间(,)-∞+∞上的变化状态如下：x()1,-∞-1-()3,1-3()+∞,3'()f x+0 -0 +)(x f↗ 极大↘极小↗…………………………………（6分）所以)(x f 的单调递增区间是()1,-∞-，()+∞,3；单调递减区间是()3,1-. ………………………………（7分） …（Ⅱ）因为(2)0f -=，(2)20f =-， ………………………（9分） 再结合)(x f 的单调性可知，函数)(x f 在区间[2,2]-上的最小值为20-. ………………（10分）16．（Ⅰ）由题意11a =，21a a +=321a a +=，432a a +=解得：21a =，3a ，42a =……………………（3分）（Ⅱ）猜想：对任意的*n ∈N ，n a =………………………（4分）① 当1n =时，由11a ==猜想成立. ………………………（5分） ② 假设当k n = （∈k N *）时，猜想成立，即1--=k k a k ……………………（6分）则由111--+=++k k a a k k ，得k k a k -+=+11 ………………………（9分）即当1+=k n 时，猜想成立由①、②可知，对任意的*n ∈N ，猜想成立，即数列{}n a 的通项公式为n a = ……………………（10分）17.（Ⅰ）证明：函数()y f x =的定义域是()+∞,0． ………………（1分） 当1a =时，1()2In f x x x x=-- 函数'221()1f x x x=-+ ………………（3分） 2212x x x +-=()0122≥-=x x ， ………………（5分） 所以函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. 所以当1a =时，函数()y f x =没有极值点. ……………（6分）（Ⅱ）'21()1a af x x x+=-+， ()+∞∈,0x ………………（7分） ()221x a x a x ++-=()()21x a x x --=. 令'()0f x =，得a x x ==21,1 .………………（8分） ① 0≤a 时，由'()0f x >可得1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()+∞,1； ………………（9分） ② 当10<<a 时，由'()0f x >可得a x <<0，或1>x ，所以函数()y f x =的增区间是()a ,0，()+∞,1； ……………（10分） ③ 当1>a 时，由'()0f x >可得10<<x ，或a x >，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a ； ………………（11分） ④ 当1=a 时，由（Ⅰ）可知函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增. ………………（12分）综上所述，当0≤a 时，函数()y f x =的增区间是()+∞,1； 当10<<a 时，所以函数)(x f y =的增区间是),0(a ，),1(+∞； 当1=a 时，函数()y f x =在定义域()+∞,0上单调递增； 当1>a 时，所以函数()y f x =的增区间是()1,0，()+∞,a .18．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………（ 1分） 若1=t ，则1()ln x f x ex -=-，'11()x f x e x-=-． ………………（2分）因为'(1)0f =， ………………（3分）且10<<x 时，xe ex 1101<=<-，即'()0f x <，所以()f x 在)1,0(上单调递减； ………………（4分）1>x 时，xe e x 1101>=>-，即'()0f x >，所以()f x 在),1(+∞上单调递增； ………………（5分）所以1=x 是函数)(x f 的极小值点； ………………（6分） （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，0t >.'(1)(1)1()()t x t x t f x te t e x x --=-=-． ………………（7分） 令(1)1()t x g x e x -=-，则'(1)21()0t x g x te x-=+>，故()g x 单调递增． ………………（8分）又(1)0g =， ………………（9分） 当1x >时，()g x ＞0，因而'()f x ＞0，()f x 单增，即()f x 的单调递增区间为(1,)+∞；当01x <<时，()g x ＜0，因而'()f x ＜0，()f x 单减，即()f x 的单调递减区间为(0,1)．………………（11分）所以()+∞∈,0x 时，()(1)10f x f ≥=≥成立. ………………（12分）。
海淀高二数学下期中理科
海淀区高二年级第二学期期中练习数 学（理科）2015.4学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 复数i z a =+（其中a ∈R ）的实部和虚部相同, 则实数a 的值为( ) A.1 B.0 C. i D. i -2. 下列导数公式错误的是 ( ) A. 211()'x x=-B. 1(ln )x '=xC. (sin )cos x 'x =-D. (e )e x x '= 3. 若22d 4m x x =⎰, 则实数m 的值为( )A.2-B.1-C. 12-D. 0 4. 如果把二次函数()f x ax bx c =++2与其导函数'()f x 的图象画在同一个坐标系中，则下面四组图中一定错误．．的是( )A B C D 5. 已知两个命题p ：“任给一个复数10z ≠，一定存在复数2z ，使得22120z z +=； q ：“存在复数12,z z ，使得1212+=1, 1z z z z = ”.则下面关于这两个命题判断正确的是( )A. 命题p 为真命题，命题q 为真命题B. 命题p 为真命题，命题q 为假命题C. 命题p 为假命题，命题q 为真命题D. 命题p 为假命题，命题q 为假命题xyOxyOxyOxyO6.观察如图所示的三角形数表，它们是由正整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第6行中最小的数为 ( ) A.160 B.172C. 190D. 11057. 函数32()=+7f x x kx x -在区间[1,1]-上单调递减，则实数k 的取值范围是( ) A. (2]-∞-， B. [2,2]- C. [2)-+∞， D. [2)+∞，8. 已知函数sin ()xf x x=，给出下面三个结论： ① 函数()f x 在区间π(,0)2-上单调递增，在区间π(0,)2上单调递减；② 函数()f x 没有最大值，而有最小值；③ 函数()f x 在区间(0,π)上不存在零点，也不存在极值点. 其中，所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C.②③D. ①②③ 二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上. 9. 已知函数()2f x x =，则()()0lim x f x f x∆→∆-=∆______.10. 计算 i(1i)=___-. 11. 已知函数2()1xf x x =+，则(1)f '= _____. 12. 已知函数3()=23f x x x -, 则在()f x 的切线中，斜率最小的一条切线方程为_________.13. 已知函数21, 1, 0()20x x f x x ax x +≤⎧=⎨-+>⎩有极大值且有极小值，则实数a 的取值范围是 .14. 已知函数()|||1|f x x x =+-，定义函数序列:1()()f x f x =,1()[()]n n f x f f x -=，其中 *,2n n ∈≥N ，则1()____,2n f =()____.n f x =1112 12 13 16 13 14 112 112 14三、解答题:本大题共4小题,共44分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.（本小题12分）(Ⅰ) 在所给的坐标系中画出函数()f x 在区间[0,3]的图象；(Ⅱ) 若直线6y x b =+是函数()f x 的一条切线，求b 的值.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M ，N 分别是AB 和PC 的中点.（Ⅰ）求证：MN平面PAD ；（Ⅱ）求证：MN CD ⊥.某同学用综合法证明第（Ⅰ）问，用分析法证明第（Ⅱ）问，证明过程如下，请你在横线上填上合适的内容.证明：（Ⅰ）取PD 的中点E ，连结,EN AE .在PCD △中，因为E ，N 分别为所在边的中点， 所以___________________, 又AMCD ，所以______________________， 又1122EN CD AB AM ===， 所以四边形AMNE 是平行四边形， 所以_________________.又AE ⊂平面PAD ，MN PAD ⊄平面， 所以MN平面PAD ．（Ⅱ）要证MN CD ⊥，由（Ⅰ）知 只需证明AE CD ⊥, 只需证明CD PAD ⊥平面， 只需证明_________________， _________________，而由矩形ABCD ，得_______________，又CD PA ABCD ABCD ⊥⊂平面，平面， 所以_______________， 所以MN CD ⊥成立.NMPDBA已知函数211()(1)ln()22f x x a x a =+---，其中1a a ∈≠R,且为常数. (Ⅰ) 当0a =时，求函数()f x 的极值; (Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间；（Ⅲ）若函数()f x 在区间[1,1]a +上有零点，求实数a 的取值范围.已知常数p 满足01p <<，数列{}n x 满足11x p p=+，212n n x x +=-. (Ⅰ) 求234,,x x x ；(Ⅱ) 猜想{}n x 的通项公式，并给出证明； （Ⅲ）求证：1n n x x +>对n ∈N *成立； （IV ）求证：112123121111np x x x x x x x x x ++++<.。
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2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷2017海淀区高二（下）期中数学（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．（4分）复数1﹣i的虚部为（）A．i B．1 C．D．﹣2．（4分）xdx=（）A．0 B．C．1 D．﹣3．（4分）若复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z1=1+i，则z1•z2=（）A．﹣2 B．2 C．﹣2i D．2i4．（4分）若a，b，c均为正实数，则三个数a+，b+，c+这三个数中不小于2的数（）A．可以不存在 B．至少有1个 C．至少有2个 D．至多有2个5．（4分）定义在R上的函数f（x）和g（x），其各自导函数f′（x）f和g′（x）的图象如图所示，则函数F（x）=f（x）﹣g（x）极值点的情况是（）A．只有三个极大值点，无极小值点B．有两个极大值点，一个极小值点C．有一个极大值点，两个极小值点D．无极大值点，只有三个极小值点6．（4分）函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，则实数a的值为（）A．1 B．﹣C．D．或﹣7．（4分）函数y=e x（2x﹣1）的大致图象是（）A． B．C．D．8．（4分）为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查．调查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉服社”，还满足如下条件：（1）甲同学没有加入“楹联社”；（2）乙同学没有加入“汉服社”；（3）加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；（4）加入“汉服社”的那名同学在高一年级；（5）乙同学不在高三年级．试问：丙同学所在的社团是（）A．楹联社B．书法社C．汉服社D．条件不足无法判断二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．（4分）在复平面内，复数对应的点的坐标为．10．（4分）设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：x1234f（x）2341f′（x）3421g（x）3142g′（x）2413则曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是；函数f（g（x））在x=2处的导数值是．11．（4分）如图，f（x）=1+sinx，则阴影部分面积是．12．（4分）如图，函数f（x）的图象经过（0，0），（4，8），（8，0），（12，8）四个点，试用“＞，=，＜”填空：（1）；（2）f′（6）f′（10）．13．（4分）已知平面向量=（x1，y1），=（x2，y2），那么•=x1x2+y1y2；空间向量=（x1，y1，z1），=（x2，y2．z2），那么•=x1x2+y1y2+z1z2．由此推广到n维向量：=（a1，a2，…，an），=（b1，b2，…，bn），那么•= ．14．（4分）函数f（x）=e x﹣alnx（其中a∈R，e为自然常数）①∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线；②对∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）无零点；③对∀a＜0，函数f（x）总存在零点；则上述结论正确的是．（写出所有正确的结论的序号）三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（10分）已知函数f（x）=x3﹣3x2﹣9x+2（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值．16．（10分）已知数列{an }满足a1=1，an+1+an=﹣，n∈N*．（Ⅰ）求a2，a3，a4；（Ⅱ）猜想数列{a}的通项公式，并用数学归纳法证明．n17．（12分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求证：当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．18．（12分）设f（x）=e t（x﹣1）﹣tlnx，（t＞0）（Ⅰ）若t=1，证明x=1是函数f（x）的极小值点；（Ⅱ）求证：f（x）≥0．参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．1．【解答】复数1﹣i的虚部为﹣．故选：D．2．【解答】xdx=x2|=，故选：B3．【解答】∵复数z1、z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=1+i，∴z2=﹣1+i．∴z1•z2=﹣（1+i）（1﹣i）=﹣2．故选：A4．【解答】假设a+，b+，c+这三个数都小于2，∴a++b++c+＜6∵a++b++c+=（a+）+（b+）+（c+）≥2+2+2=6，这与假设矛盾，故至少有一个不小于2故选：B5．【解答】F′（x）=f′（x）﹣g′（x），由图象得f′（x）和g′（x）有3个交点，从左到右分分别令为a，b，c，故x∈（﹣∞，a）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（a，b）时，F′（x）＞0，F（x）递增，x∈（b，c）时，F′（x）＜0，F（x）递减，x∈（c，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，故函数F（x）有一个极大值点，两个极小值点，故选：C．6．【解答】由题意，f′（x）=，g′（x）=2ax，∵函数f（x）=lnx与函数g（x）=ax2﹣a的图象在点（1，0）的切线相同，∴1=2a，∴a=，故选C．7．【解答】y′=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），令y′=0得x=﹣，∴当x＜﹣时，y′＜0，当x时，y′＞0，∴y=e x（2x﹣1）在（﹣∞，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，当x=0时，y=e0（0﹣1）=﹣1，∴函数图象与y轴交于点（0，﹣1）；令y=e x（2x﹣1）=0得x=，∴f（x）只有1个零点x=，当x时，y=e x（2x﹣1）＜0，当x时，y=e x（2x﹣1）＞0，综上，函数图象为A．故选A．8．【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与（2）矛盾，所以乙在高二，根据（3），可得乙加入“书法社”，根据（1）甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团是楹联社，故选A．二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．9．【解答】复数==﹣1﹣i在复平面内对应的点的坐标（﹣1，﹣1）．故答案为：（﹣1，﹣1）．10．【解答】f′（1）=3，f（1）=2，∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=3x﹣1，[f（g（x））]′=f′（g（x））g′（x），x=2时，f′（g（2））g′（2）=3×4=12，故答案为y=3x﹣1；1211．【解答】由图象可得S=（1+sinx）dx=（x﹣cosx）|=π﹣cosπ﹣（0﹣cos0）=2+π，故答案为：π+212．【解答】（1）由函数图象可知=，==2，∴．（2）∵f（x）在（4，8）上是减函数，在（8，12）上是增函数，∴f′（6）＜0，f′（10）＞0，∴f′（6）＜f′（10）．故答案为（1）＞，（2）＜．13．【解答】由题意可知•=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．故答案为：a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn．14．【解答】对于①，函数f（x）=e x﹣alnx的导数为f′（x）=e x﹣，设切点为（m，f（m）），则e=e m﹣，em=e m﹣alnm，可取m=1，a=0，则∃a∈R，使得直线y=ex为函数f（x）的一条切线，故①正确；对于②，∀a＜0，函数f（x）的导函数f′（x）=e x﹣，由x＞0，可得f′（x）＞0，则导函数无零点，故②正确；对于③，对∀a＜0，函数f（x）=e x﹣alnx，由f（x）=0，可得e x=alnx，分别画出y=e x和y=alnx，（a＜0）的图象，可得它们存在交点，故f（x）总存在零点，故③正确．故答案为：①②③．三．解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）f′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x+1）（x﹣3），令f′（x）=0，得x=﹣1或x=3，当x变化时，f′（x），f（x）在区间R上的变化状态如下：x（﹣∞﹣1）﹣1（﹣1，3）3（3，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗极大↘极小↗所以f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（3，+∞）；单调递减区间是（﹣1，3）；（Ⅱ）因为f（﹣2）=0，f（2）=﹣20，再结合f（x）的单调性可知，函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣20．16．【解答】（Ⅰ）由题意a1=1，a2+a1=，a3+a2=﹣1，a4+a3=2﹣解得：a2=﹣1，a3=﹣，a4=2﹣（Ⅱ）猜想：对任意的n∈N*，an=﹣，①当n=1时，由a1=1=﹣，猜想成立．②假设当n=k （k∈N*）时，猜想成立，即ak=﹣则由ak+1+ak=﹣，得ak+1=﹣，即当n=k+1时，猜想成立，由①、②可知，对任意的n∈N*，猜想成立，即数列{an }的通项公式为an=﹣．17．【解答】（Ⅰ）证明：函数f（x）的定义域是（0，+∞）．当a=1时，f（x）=x﹣2lnx﹣，函数f′（x）=≥0，所以函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增，所以当a=1时，函数y=f（x）没有极值点；（Ⅱ）f′（x）=1﹣+=，x∈（0，+∞）令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①a≤0时，由f′（x）＞0可得x＞1，所以函数f（x）的增区间是（1，+∞）；②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，可得0＜x＜a，或x＞1，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；③当a＞1时，由f′（x）＞0可得0＜x＜1，或x＞a，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）；④当a=1时，由（Ⅰ）可知函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数y=f（x）的增区间是（1，+∞）；当0＜a＜1时，所以函数f（x）的增区间是（0，a），（1，+∞）；当a=1时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；当a＞1时，所以函数f（x）的增区间是（0，1），（a，+∞）．18．【解答】证明：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），…（ 1分）若t=1，则f（x）=e x﹣1﹣lnx，．…（2分）因为f′（1）=0，…（3分）且0＜x＜1时，，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上单调递减；…（4分）x＞1时，，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增；…（5分）所以x=1是函数f（x）的极小值点；…（6分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），t＞0.；…（7分）令，则，故g（x）单调递增．…（8分）又g（1）=0，…（9分）当x＞1时，g（x）＞0，因而f′（x）＞0，f（x）单增，即f（x）的单调递增区间为（1，+∞）；当0＜x＜1时，g（x）＜0，因而f′（x）＜0，f（x）单减，即f（x）的单调递减区间为（0，1）．…（11分）所以x∈（0，+∞）时，f（x）≥f（1）=1≥0成立．…（12分）第11页共11页。