高等代数讲义456章
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第四章 矩 阵
知识点考点精要
一、矩阵及其运算
1、矩阵的概念
1）由m n ⨯个数排成的m 行n 列的数表
111212122212
n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 称为一个n m ⨯矩阵，记为 ()ij mn A a =。
2）矩阵的相等
设()ij mn A a =，()ij ls B b =，如果,m l n s ==，且,ij ij a b =
1,2,,,1,2,,i n j n == 都成立，则称A B =。
2、矩阵的运算 1）矩阵的加法
给定两个m n ⨯矩阵
1112121
2221
2
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ， 111212122212
n n m m mn b b b b b b B b b b ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭ ， A 和B 加法定义为
111112121121212222221122
n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫ ⎪+++ ⎪+= ⎪ ⎪+++⎝⎭ 运算规律：
（1） )()(C B A C B A ++=++； （2） A B B A +=+； （3） 0A A +=；
（4） ()0A A +-=。
2）数与矩阵的乘法
给定数域P 中的一个数k ，k 与矩阵A 的数乘定义为
11121111212122221222121
2n n n n m m mn m m mn a a a ka ka ka a a a ka ka ka kA k a a a ka ka ka ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 运算规律：
（1） A kl lA k )()(=； （2） kB kA B A k +=+)(； （3） ()k l A kA lA +=+； （4） 1A A ⋅=。
3）矩阵的乘法
给定一个m n ⨯矩阵和一个n l ⨯矩阵
1112121
2221
2
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 11121
21222
12
l l n n nl b b b b b b B b b b ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪ ⎪⎝⎭ ，
A 和
B 的乘法定义为
⎪
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========n
i il mi n i i mi
n i i mi n
i il i n
i i i n
i i i n
i il i n
i i i n
i i i b a b a
b a b a b
a
b a b a b a b a AB 11
2
1
11
212
21
1
211121111
运算规律：
（1） ()()AB C A BC =； （2） ()A B C AB AC +=+； （3） ()B C A BA CA +=+； （4） ()()()k AB A kB kA B ==。 一般情况下：
AB BA ≠；
0AB =推不出0A =或0B =； ,0AB AC A =≠推不出B C =
4）矩阵的转置 设
11121212221
2
n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎪⎝⎭
A 的转置就是指
11
21112222'12m m n
n mn a a a a a a A a a a ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
运算规律：
（1） (')''A A =； （2） '')'(B A B A +=+； （3） ()'''A B AB =； （4） ()''kA kA =。 5）方阵的行列式 设n 级方阵
111212122212
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ A 的行列式为
11
121212221
2n n n n nn
a a a a a a A a a a =
运算规律：
（1） 'A A =； （2） n
kA k
A =；
（3） AB A B BA ==,这里,A B 均为n 级方阵。
二、矩阵的逆
1、基本概念 1）逆矩阵
A 是n 级方阵，如果存在n 级方阵，使得,A
B BA E ==那么A 就称为是
可逆的，B 称为A 的逆矩阵，记1B A -=。
2）伴随矩阵 设ij A 是矩阵
111212122212
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 中元素ij a 的代数余子式，矩阵
1121112
22212n n n
n
nn A A A A A A A A A A *
⎛⎫ ⎪
⎪
= ⎪ ⎪
⎝⎭
称为A 的伴随矩阵。
2、n 级矩阵A 可逆的充要条件
A 可逆0A ⇔≠⇔秩
A n =（），而1*
1A A A
-=。 3、求逆矩阵的方法
1）如果n 级方阵,A B 满足,AB BA E ==则11
,A B B A --==；
2）公式法 1
*
1A
A A
-=
； 3）利用初等变换；