最新甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学(文)试题(精品解析)

甘肃省会宁县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=()A. {x|−1<x<2}B. {x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D. {x|x≤−1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】解：集合A={x|x2−x−2>0}，可得A={x|x<−1或x>2}，则：∁R A={x|−1≤x≤2}．故选：B．通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．2.等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=()A. 3B. 4C. 6D. 12【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n}中，S15=90，(a1+a15)=15a8=90，∴S15=152解得a8=6．故选：C．(a1+a15)=15a8=90，由此能求出a8．推导出S15=152本题考查等差数列的第8项的求法，考查等差数列的通项公式、前n项和公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．3.已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的()A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．根据充分必要条件的定义以及等比数列的性质判断即可．本题考查了充分必要条件，考查等比数列，是一道基础题．4.已知椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，则k的值为()A. 1B. 3C. 9D. 81【答案】C【解析】解：椭圆x2k +y25=1的一个焦点坐标为(2,0)，可得√k−5=2，解得k=9．故选：C．利用椭圆的方程，通过焦点坐标为(2,0)，求解k即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．5.已知等比数列{a n}中，a2a3a4═1，a6a7a8=64，则a5=()A. ±2B. −2C. 2D. 4【答案】C【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8=64，∴(q4)3=64，解得q2=2．又(a1q2)3=1，解得a1=12．则a5=12×22=2．故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4═1，a6a7a8=64，可得(q4)3=64，解得q2.又(a1q2)3=1，解得a1.利用通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.若x，y满足约束条件{x≥0x+2y≥32x+y≤3，则z=x−y的最小值是()A. −3B. 0C. 32D. 3【答案】A【解析】解：约束条件{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤3，表示的可行域如图，{2x +y =3x=0解得A(0,3)，{x +2y =3x=0解得B(0,32)、{2x +y =3x+2y=3解得C(1,1)；由A(0,3)、B(0,32)、C(1,1)；所以t =x −y 的最大值是1−1=0，最小值是0−3=−3； 故选：A ．画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z =x −y 的最小值．本题考查简单的线性规划的应用，正确画出约束条件的可行域是解题的关键，常考题型．7. 已知双曲线的方程为y 24−x 29=1，则下列关于双曲线说法正确的是( )A. 虚轴长为4B. 焦距为2√5C. 离心率为√133D. 渐近线方程为2x ±3y =0【答案】D【解析】解：双曲线的方程为y 24−x 29=1，可得虚轴长为6，实轴长为4，离心率e =√132，渐近线方程为：2x ±3y =0．故选：D ．求出双曲线的实轴长，虚轴长.焦距以及渐近线方程，判断选项即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8. 已知椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰好为一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A. 13B. 12C. √33D. √22【答案】D【解析】解：由题意，∵椭圆短轴上的两个顶点与两个焦点构成一个正方形，∴b =c∴a =√b 2+c 2=√2c∴椭圆的离心率为e =ca =√22故选：D ．根据椭圆短轴上的两个顶点与两个焦点构成一个正方形，可得b =c ，由此可求椭圆的离心率．本题考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．9.下列命题中错误的是()A. 若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨(￢q)”为真命题B. 命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”为真命题C. 命题p：∃x>0，sinx>2x−1，则￢p为∀x>0，sinx≤2x−1D. 命题“若x2−x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2−x=0，则x≠0且x≠1”【答案】D【解析】解：对于A，命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∨(￢q)”是真命题.所以A正确；对于B，命题“若a+b≠7，则a≠2或b≠5”，因为逆否命题：a=2且b=5，则a+b=7是真命题，所以B 正确；对于C，命题p：∃x>0，sinx>2x−1，则￢p为∀x>0，sinx≤2x−1，满足命题的否定的定义，所以C正确；对于D，命题“若x2−x=0，则x=0或x=1”的否命题为“若x2−x=0，则x≠0且x≠1”，不满足命题否命题的定义，所以不正确；故选：D．利用复合命题的真假判断A的正误；命题的真假判断B的正误；命题的否定判断C的正误；否命题的定义判断D的正误；本题考查命题的真假的判断与应用，考查基本知识的应用，是基础题．10.已知x，y∈(0,+∞)，且满足1x +12y=2，那么x+4y的最小值为()A. 32−√2 B. 3+√22C. 32+√2 D. 3−√22【答案】C【解析】解：∵x，y∈(0,+∞)，且满足1x +12y=2，那么x+4y=12(1x+12y)(x+4y)=12(3+x2y+4yx)≥12(3+2√x2y⋅4yx)=3+2√22=32+√2，当且仅当x=2√2y=1+√22时取等号．故选：C．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为a2+b2−c24，则C=()A. π2B. π3C. π4D. π6【答案】C【解析】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．△ABC的面积为a2+b2−c24，∴S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，∴sinC=a2+b2−c22ab=cosC，∵0<C<π，∴C=π4．故选：C．推导出S△ABC=12absinC=a2+b2−c24，从而sinC=a2+b2−c22ab=cosC，由此能求出结果．本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，则C的离心率为()A. 1−√32B. 2−√3 C. √3−12D. √3−1【答案】D【解析】解：F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60∘，可得椭圆的焦点坐标F2(c,0)，所以P(12c,√32c).可得：c24a2+3c24b2=1，可得14e2+34(1e2−1)=1，可得e4−8e2+4=0，e∈(0,1)，解得e=√3−1．故选：D．利用已知条件求出P的坐标，代入椭圆方程，然后求解椭圆的离心率即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.椭圆C：x29+y216=1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=10，则|AB|的值为______．【答案】6【解析】解：由题意可得：|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=10+|AB|=4a=16，解得|AB|=6．故答案为：6．利用椭圆的定义即可得出．本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 若关于x 的不等式x 2−3x +t <0的解集为{x|1<x <m,x ∈R}.则t +m =______． 【答案】4【解析】解：(1)∵不等式x 2−3x +t <0的解集为{x|1<x <m,x ∈R} ∴1，m 是方程x 2−3x +t =0的两根，∴{m =t 1+m=3，解得{t =2m=2∴t +m =4． 故答案为：4由不等式与相应方程的关系得：1，m 是方程x 2−3x +t =0的两个根，再依据根与系数的关系即可求得t ，m 的值；本小题主要考查一元二次不等式与一元二次方程、对数不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想.属于基础题．15. 已知双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于______【答案】√5 【解析】解：双曲线x 24−y 2b 2=1的右焦点为(3,0)，可得3=√4+b 2，即b =±√5，可得双曲线的渐近线方程为2y ±√5x =0， 即有d =√5|√4+5=√5．故答案为：√5．由题意可得b =±√5，可得双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，即可得所求值． 本题考查双曲线的方程和性质，渐近线的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．16. 过椭圆x 216+y 24=1内一点M(2,1)引一条弦，使得弦被M 点平分，则此弦所在的直线方程为______．【答案】x +2y −4=0【解析】解：设直线与椭圆交于点A ，B ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)由题意可得{x 1216+y 124=1x 2216+y 224=1，两式相减可得(x 1−x 2)(x 1+x 2)16+(y 1−y 2)(y 1+y 2)4=0由中点坐标公式可得，12(x 1+x 2)=2，12(y 1+y 2)=1K AB =y 1−y 2x 1−x 2=−x 1+x 24(y 1+y 2)=−12∴所求的直线的方程为y −1=−12(x −2)即x +2y −4=0 故答案为x +2y −4=0设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由题意可得{x 1216+y 124=1x 2216+y 224=1，两式相减，结合中点坐标公式可求直线的斜率，进而可求直线方程本题主要考查了直线与椭圆相交关系的应用，要掌握这种设而不求的方法在求解直线方程中的应用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知p ：−x 2+6x +16≥0，q ：x 2−4x +4−m 2≤0(m >0)．(1)若p 为真命题，求实数x 的取值范围．(2)若p 为q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)∵P ：−2≤x ≤8， ∴p 为真命题时，实数x 的取值范围[−2,8]． (2)Q ：2−m ≤x ≤2+m ∵P 是Q 的充分不必要条件， ∴[−2,8]是[2−m,2+m]的真子集．∴{ m >0 2−m ≤−22+m ≥8∴m ≥6．∴实数m 的取值范围为m ≥6．【解析】(1)化简p ：−2≤x ≤8，从而得出p 为真命题，实数x 的取值范围．(2)化简q ：2−m ≤x ≤2+m.由P 是Q 的充分不必要条件，知{ m >0 2−m ≤−22+m ≥8，由此能求出实数m 的取值范围．本题考查充分条件、必要条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式组的合理运用．18. (1)已知x >3，求y =x +4x−3的最小值，并求取到最小值时x 的值；(2)已知x >0，y >0，x2+y 3=2，求xy 的最大值，并求取到最大值时x 、y 的值． 【答案】解：(1)已知x >3， 则：x −3>0，故：y =x +4x−3=x −3+4x−3+3≥2√(x −3)4(x−3)+3=7， 当且仅当：x −3=4x−3， 解得：x =5，即：当x =5时，y 的最小值为7．(2)已知x >0，y >0，x 2+y3=2， 则：x 2+y 3≥2√xy6，解得：xy ≤6， 即：x 2=y3=1，解得：x =2，y =3时，xy 的最大值为6．【解析】(1)直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果． (2)直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19. 记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1=−7，S 3=−15．(1)求{a n }的通项公式； (2)求S n ，并求S n 的最小值．【答案】解：(1)∵等差数列{a n }中，a 1=−7，S 3=−15， ∴a 1=−7，3a 1+3d =−15，解得a 1=−7，d =2， ∴a n =−7+2(n −1)=2n −9； (2)∵a 1=−7，d =2，a n =2n −9，∴S n =n 2(a 1+a n )=12(2n 2−16n)=n 2−8n =(n −4)2−16， ∴当n =4时，前n 项的和S n 取得最小值为−16．【解析】(1)根据a 1=−7，S 3=−15，可得a 1=−7，3a 1+3d =−15，求出等差数列{a n }的公差，然后求出a n 即可；(2)由a 1=−7，d =2，a n =2n −9，得S n =n 2(a 1+a n )=12(2n 2−16n)=n 2−8n =(n −4)2−16，由此可求出S n 以及S n 的最小值．本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n 项的和公式，属于中档题．20. 在△ABC 中，a =7，b =8，cosB =−17．(Ⅰ)求∠A ；(Ⅱ)求AC 边上的高．【答案】解：(Ⅰ)∵a <b ，∴A <B ，即A 是锐角， ∵cosB =−17，∴sinB =√1−cos 2B =√1−(−17)2=4√37，由正弦定理得asinA =bsinB 得sinA =asinB b=7×4√378=√32，则A=π3．(Ⅱ)由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即64=49+c2+2×7×c×17，即c2+2c−15=0，得(c−3)(c+5)=0，得c=3或c=−5(舍)，则AC边上的高ℎ=csinA=3×√32=3√32．【解析】(Ⅰ)由正弦定理结合大边对大角进行求解即可．(Ⅱ)利用余弦定理求出c的值，结合三角函数的高与斜边的关系进行求解即可．本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理以及余弦定理建立方程关系是解决本题的关键．21.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n+1−2，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设∁n=na n，求数列{∁n}的前n项和T n．【答案】解：(1)当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n+1−2−2n+2=2n，当n=1时，a1=S1=2，符合上式．综上，a n=2n；(2)∁n=na n =n⋅(12)n，则前n项和T n=1⋅12+2⋅14+⋯+n⋅(12)n，1 2T n=1⋅14+2⋅18+⋯+n⋅(12)n+1，相减可得12T n=12+14+⋯+12n−n⋅(12)n+1，=12(1−12n)1−12−n⋅(12)n+1，化简可得T n=2−(n+2)⋅(12)n．【解析】(1)运用数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n−S n−1，计算可得所求通项；(2)求得)∁n=na n =n⋅(12)n，运用数列的错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．22.已知动点P与平面上两定点A(−√2,0),B(√2,0)连线的斜率的积为定值−12．(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：y=kx+1与曲线C交于M.N两点，当|MN|=4√23时，求直线l的方程．【答案】解：(Ⅰ)设动点P 的坐标是(x,y)，由题意得：k PA k PB =−12 ∴x+√2x−√2=−12，化简，整理得x22+y 2=1 故P 点的轨迹方程是x 22+y 2=1，(x ≠±√2)(Ⅱ)设直线l 与曲线C 的交点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由{x 2+2y 2=2y=kx+1得，(1+2k 2)x 2+4kx =0 ∴x 1+x 2=−4k1+2k 2，x 1 x 2=0， |MN|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√23， 整理得，k 4+k 2−2=0，解得k 2=1，或k 2=−2(舍) ∴k =±1，经检验符合题意．∴直线l 的方程是y =±x +1，即：x −y +1=0或x +y −1=0【解析】(Ⅰ)设出P 的坐标，利用动点P 与平面上两定点A(−√2,0),B(√2,0)连线的斜率的积为定值−12，建立方程，化简可求动点P 的轨迹方程C ．(Ⅱ)直线l ：y =kx +1与曲线C 方程联立，利用韦达定理计算弦长，即可求得结论．本题考查轨迹方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．。