高二数学(人教B版)空间中的点、直线与空间向量2课后练习

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高中数学(人教版必修2)配套练习第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

第二章点、直线、平面之间的位置关系§2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面一、基础过关1．下列命题：①书桌面是平面；②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．其中正确命题的个数为() A．1个B．2个C．3个D．0个2．下列图形中，不一定是平面图形的是() A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形3．空间中，可以确定一个平面的条件是() A．两条直线B．一点和一条直线C．一个三角形D．三个点4．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有() A．1条或2条B．2条或3条C．1条或3条D．1条或2条或3条5．给出以下命题：①和一条直线都相交的两条直线在同一平面内；②三条两两相交的直线在同一平面内；③有三个不同公共点的两个平面重合；④两两平行的三条直线确定三个平面．其中正确命题的个数是________．6．已知α∩β＝m，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则直线m与A的位置关系用集合符号表示为________．7．如图，梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．8．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直线必相交于一点．二、能力提升9．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是() A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定10．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是() A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂βB．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MNC．A∈α，A∈β⇒α∩β＝AD．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线⇒α、β重合11．下列四个命题：①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点有且只有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面；④在空间两两相交的三条直线必共面．其中正确命题的序号是________．12. 如图所示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与平面α相交于E，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．三、探究与拓展13. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证：(1)C1、O、M三点共线；(2)E、C、D1、F四点共面．答案1．A 2.D 3.C 4.D5．06．A∈m7. 解很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．∵E∈AC，AC⊂平面SAC，∴E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．8．证明∵l1⊂β，l2⊂β，l1D∥\l2，∴l1、l2交于一点，记交点为P.∵P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3交于一点．9．C10.C11．③12．证明因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．13．证明(1)∵C1、O、M∈平面BDC1，又C1、O、M∈平面A1ACC1，由公理3知，点C1、O、M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，∴C1、O、M三点共线．(2)∵E，F分别是AB，A1A的中点，∴EF∥A1B.∵A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E、C、D1、F四点共面．2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是() A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有() A．∠BAC＝∠B′A′C′B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB与MN所成的角为30°.故直线AB和MN所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)。

高中数学必修二2.1空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案解析

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 平面知识梳理1 平面含义：平面是无限延展的2 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为【公理 1 作用】判断直线是否在平面内.（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A、B、C三点不共线=> 有且只有一个平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理 2 作】确定一个平面的依据。

3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P∈α∩β => α∩β =L，且P∈L【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据知能训练一．选择题1．已知m，n 分别是两条不重合的直线，a，①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n；③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n；其中真命题的序号是（）2．在下列命题中，不是公理的是（）A．平行于同一个平面的两个平面平行B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线3．l1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．1 ⊥ l 2，l 2 ⊥ l 3?l 1 ∥ l 3B．1 ⊥ l 2，l 2 ∥l3?l 1⊥ l 3C．1∥ l 2∥l 3? l1，l 2 ，l 3 共面D．l1，l2，l3共点? l1，l2，l 3共面A．①②B．③④C．①④D．②③b 分别垂直于两不重合平面②若m∥a，n∥ b，且α④若m⊥α，n ⊥b，且4．下面四个说法中，正确的个数为（）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合（2）两条直线可以确定一个平面（3）若M∈α，M∈β，α∩β =l ，则M∈l（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 5．已知空间三条直线l 、m、n．若l 与m异面，且l 与n 异面，则（）A．m 与n 异面B．m与n 相交C．m 与n 平行D．m与n 异面、相交、平行均有可能6．若m、n 为两条不重合的直线，α、β 为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若m、n 都平行于平面α，则m、n 一定不是相交直线B．若m、n 都垂直于平面α，则m、n 一定是平行直线C．已知α、β互相垂直，m、n 互相垂直，若m⊥α，n ⊥βD．m、n 在平面α内的射影互相垂直，则m、n 互相垂直7．已知平面α，β，γ，直线m，l ，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（）A．若l ? α，m∩α =A，则l 与m 必为异面直线B ．若l ∥α，l ∥m，则m∥αC ．若l ? α，m?β，l ∥β，m∥α，则α∥βD ．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β =l ，l⊥m，则l ⊥α8．已知α，β 为互不重合的平面，m，n 为互不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m? α，n? α，m∥β，n∥β，，则α∥β；③若α⊥β，α∩β =m，n? α，n⊥m，则n⊥β；④若m⊥α，α⊥β，m∥ n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．③④二．填空题9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0 ，x+1=0，x+ky=0 ，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为．（将你认为所有正确的序号都填上）①0 ② 1/2 ③1 ④2 ⑤ 3．10．空间中有7 个点，其中有 3 个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定个平面．三．解答题1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥ CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2 ：3．（1）证明：点G、E、F、H四点共面；（2）证明：EF、GH、BD交于一点．2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

【优质文档】人教版高中数学必修二点、直线、平面间的位置关系教材配套习题(附答案可下载)

14. 本题考查学生的推理论证能力 .
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证明：因为 SA SB SC a ，又 ASC ASB 60 o ， A
所以， ASB 与 ASC 是等边三角形， AB AC a .
取 BC 的中点 H ，连接 AH ，所以， AH BC . 在 Rt BSC 中， BS CS a ，所以 SH BC ， BC
其中真命题的个数是
个.
三、解答题
12.（1）用符号语言表示语句： “直线 l 经过平面内一定点 P ，但 l 在外”，并画出图形 .
第2页共5页
（2）把下面的符号语言改写成文字语言的形式，并画出图形 . 若直线 a 平面， A ， A a ， A 直线 b ， a / /b ，则 b .
13. 如图，在长方体 ABCD A' B 'C ' D ' 中，指出 B 'C 、 D 'B 所在直线与各个面所在平面之间的关
人教版高一数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系教材配套检测题
一、选择题 1. 如图，点 P 、 Q 、 R 、 S 分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线
PQ 与 RS 是
异面直线的图是
P Q
R S
P
P
R
Q
QQΒιβλιοθήκη R SPS
R
S
A
B
C
D
2. 下列命题中，错．误．的．命题是
A . 平行于同一直线的两平面平行
1. C . 考查：① 异面直线的概念； ② 识图能力，空间想象能力 .
2. A . 考查：平面与平面位置关系的判定与性质问题 . 注重空间想象能力的培养 .

人教B版数学选修2-1：资源3.1.4空间向量的直角坐标运算(练习+答案)

教学建议
1.学习本节内容前应首先复习空间直角坐标系,以长方体为模型讲解空间任一点P的坐标的确定方法.
2.空间向量的坐标运算,加法、减法和数量积同平面向量类似,具有类似的运算法则,教学中应类比推广.在平面中有a=(x,y),在空间中有a=(x,y,z),在平面中有a·b=a1b1+a2b2,在空间中有a·b=a1b1+a2b2+a3b
3.
3.注意空间向量的平行与垂直条件的运用,注意向量夹角的范围与直线夹角范围的区别.
4.注意空间距离向向量的模的转化.
5.学习本节要正确运用条件,列方程组求参数,注意方程与函数思想方法的运用.。

高中数学第三章空间向量与立体几何章末复习课件新人教B版选修2_1

α⊥β⇔μ⊥v⇔_μ_·_v_＝__0_
l，m的夹角为θ
0≤θ≤π2，cos
|a·b| θ＝_|_a_||_b_| _
l，α的夹角为θ
0≤θ≤π2， sin
|a·μ| θ＝_|_a_||_μ_| _
|μ·v| α，β的夹角为θ 0≤θ≤π2， cos θ＝__|μ__||v_|__
2.用坐标法解决立体几何问题步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
题型二利用空间向量解决位置关系问题
例2 在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证： (1)PC∥平面EBD；
(2)平面PBC⊥平面PCD.
反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量. (2)证明线面平行的方法 ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. ②能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
线线平行线面平行面面平行线线垂直线面垂直
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R l∥α⇔_a_⊥__μ_⇔_a_·_μ_＝__0_
α∥β⇔μ∥v⇔_μ_＝__k_v_，__k_∈__R_ l⊥m⇔_a_⊥__b__⇔_a_·_b_＝__0_
l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ，k∈R
面面垂直线线夹角线面夹角面面夹角
跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
题型三利用空间向量求角
例3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；

高中数学必修2 立体图形空间点、直线、平面之间的位置关系常见例题考题及答案

空间点、直线、平面之间的位置关系一．相关知识点1．平面的基本性质(1)⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

(2)平行公理：公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行——空间平行线的传递性。

(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

(4)异面直线所成的角：①定义：设a 、b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)。

②范围：⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2。

3．直线与平面的位置关系一、细品教材1．(必修2P49练习题)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是() A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内的直线与a都相交D．α内存在唯一的直线与a平行2．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线。

以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④二、基础自我检测1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直2．下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面②梯形可以确定一个平面③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面A．0个B．1个C．2个D．3个3.如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝23，AD＝23，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是________，AE和BG所成角的大小是________。

4．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断：①MN≥1 2(AC＋BD)；②MN>12(AC＋BD)；③MN＝12(AC＋BD)；④MN<12(AC＋BD)。

2016高中数学人教B版必修二《空间点直线平面之间的位置关系小结》版同步练习含答案

人教B 版数学必修2:空间点、直线、平面之间的位置关系小结一、选择题1、 a ，b 就是两条异面直线, ( )A 、若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一个平面与a ,b 都平行B 、过直线a 且垂直于直线b 的平面有且只有一个C 、若P 为不在a 、b 上的一点,则过P 点有且只有一条直线与a ,b 都平行D 、若P 为不在a 、b 上的一点，则过P 点有且只有一条直线与a ，b 都垂直2、若三棱锥S-ABC 的项点S 在底面上的射影H 在△ABC 的内部,且就是在△ABC 的垂心,则（）A 、三条侧棱长相等B 、三个侧面与底面所成的角相等C 、H 到△ABC 三边的距离相等D 、点A 在平面SBC 上的射影就是△SBC 的垂心3、 a 、b 就是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b ；②过a 至少有一个平面垂直于b;③至少有一条直线与a 、b 都垂直;④至少有一个平面分别与a 、b 都平行,其中正确命题的个数就是( ）A 、0B 、1C 、2D 、34、把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的正棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（）A 、 90°B 、60°C 、 45°D 、30°5、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,A 1A=AB=2,若棱AB 上存在一点P ，使得D 1P ⊥PC,则棱AD 的长的取值范围就是（）A 、]2,1[B 、]2,0(C 、)2,0(D 、]1,0(二、填空题6、已知直线m,n ，平面βα,,给出下列命题:①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ；②若βαβα//,//,//则m m ;③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；④若异面直线m,n 互相垂直，则存在过m 的平面与n 垂直、其中正确的命题的题号为 ③④7、设l m n 、、就是三条不同的直线，αβγ、、就是三个不同的平面,下面有四个命题: ①,l l βαβα若∥∥,则∥； ②,l n m n l m 若∥∥,则∥； ③,l l αβαβ⊥⊥若∥,则； ④,,l m αβ⊥⊥若,.l m αβ⊥⊥则其中假命题的题号为 ①③8、在右图所示的就是一个正方体的展开图,在原来的正方体中，有下列命题:①AB 与EF 所在的直线平行;②AB 与CD 所在的直线异面；③MN 与BF 所在的直线成60°角；④MN 与CD 所在的直线互相垂直、其中正确的命题就是 ② ④9、有6根细木棒,其中较长的两根分别为a 3,a 2，其余4根均为a ,用它们搭成三棱锥,则其中两条较长的棱所在的 E N AFCB D M直线所成的角的余弦值为、10、下面就是关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱其中，真命题的编号就是②④（写出所有真命题的编号)、三、解答题11、下列五个正方体图形中,l就是正方体的一条对角线,点M,N,P分别为其所在棱的中点,求能得出l⊥面MNP的图形的序号（写出所有符合要求的图形序号)12、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=,233D就是CB延长线上一点,且BD=BC、(Ⅰ)求证:直线BC1//平面AB1D;(Ⅱ)求二面角B1—AD-B的大小;(Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积、13、如图，已知四棱锥S－ABCD的底面ABCD就是正方形,SA⊥底面ABCD,E就是SC上的一点、(1）求证：平面EBD⊥平面SAC；（2)设SA＝4，AB＝2，求点A到平面SBD的距离;（3）当错误!的值为多少时,二面角B－SC－D的大小为120º、14、如图,正三角形ABC的边长为2,D、E、F分别为各边的中点将△ABC沿DE、EF、DF折叠,使A、B、C三点重合，构成三棱锥A—DEF、(I)求平面ADE与底面DEF所成二面角的余弦值(Ⅱ)设点M、N分别在AD、EF上，λ==NFENMDAM(λ＞O,λ为变量）①当λ为何值时,MN为异面直线AD与EF的公垂线段? 请证明您的结论②设异面直线MN 与AE所成的角为a，异面直线MN与DF所成的角为β，试求a+β的值【课时42答案】1、D2、D3、A4、CACDES5、D6、③、④7、①、③8、②、④69、310、②、④11、为了得到本题答案,必须对5个图形逐一进行判别、对于给定的正方体，l位置固定，截面MNP变动,l与面MNP就是否垂直,可从正、反两方面进行判断、在MN、NP、MP三条线中,若有一条不垂直l,则可断定l与面MNP不垂直；若有两条与l都垂直，则可断定l ⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP,也可得l⊥面MNP、解法1 作正方体ABCD－A1B 1C1D1如附图,与题设图形对比讨论、在附图中,三个截面BA1D、EFGHKR与CB 1 D1都就是对角线l（即AC1）的垂面、对比图①,由MN∥BA l,MP∥BD,知面MNP∥面BA l D，故得l⊥面MNP、对比图②,由MN与面CB1D1相交,而过交点且与l垂直的直线都应在面CB l D l内，所以MN不垂直于l,从而l不垂直于面MNP、对比图③，由MP与面BA l D相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP、对比图④，由MN∥BD，MP∥BA、知面MNP∥面BA 1 D,故l⊥面MNP、对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合,故l⊥面MNP、综合得本题的答案为①④⑤、解法2 如果记正方体对角线l所在的对角截面为α、各图可讨论如下：在图①中，MN，NP在平面α上的射影为同一直线,且与l垂直，故l⊥面MNP、事实上，还可这样考虑：l在上底面的射影就是MP的垂线，故l⊥MP；l在左侧面的射影就是MN的垂线,故l ⊥MN,从而l⊥面MNP、在图②中,由MP⊥面α,可证明MN在平面α上的射影不就是l的垂线,故l不垂直于MN、从而l不垂直于面MNP、在图③中,点M在α上的射影就是l的中点，点P在α上的射影就是上底面的内点，知MP在α上的射影不就是l的垂线,得l不垂直于面MNP、在图④中,平面α垂直平分线段MN,故l⊥MN、又l在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线）与MP垂直，从而l⊥MP,故l⊥面MNP、在图⑤中，点N在平面α上的射影就是对角线l的中点，点M、P在平面α上的射影分别就是上、下底面对角线的4分点,三个射影同在一条直线上,且l与这一直线垂直、从而l ⊥面MNP、至此,得①④⑤为本题答案、12、（Ⅰ）证明:CD//C1B1,又BD=BC=B1C1，∴四边形BDB1C1就是平行四边形，∴BC1//DB1、又DB1⊂平面AB1D,BC1⊄平面AB1D,∴直线BC1//平面AB1D、(Ⅱ）解:过B作BE⊥AD于E,连结EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ,∴∠B1EB就是二面角B1-AD—B的平面角,∵BD=BC=AB,∴E 就是AD 的中点， .2321==AC BE 在Rt △B 1BE 中， .323323tan 11===∠BEB B BE B ∴∠B 1EB=60°、即二面角B 1—AD —B 的大小为60°(Ⅲ）解法一:过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AF ⊥平面BB 1C 1C,且AF=,323323=⨯ ∴ AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1111111131 .827233)323321(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827 解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111111111C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S---∆∆==∴= .827233)3434(313121111=⨯⨯⨯=⋅=∆AA S C B A 即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827 13、（1)证明：∵SA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，∴SA ⊥BD∵ABCD 就是正方形，∴AC ⊥BD∴BD ⊥平面SAC ，又BD ⊂平面EBD∴平面EBD ⊥平面SAC 、（2)解:设AC ∩BD ＝O ，连结SO ，则SO ⊥BD由AB ＝2,知BD ＝2错误!SO ＝错误!∴S △SBD ＝12 BD ·SO ＝错误!·2错误!·3错误!＝6 令点A 到平面SBD 的距离为h ，由SA ⊥平面ABCD ，则错误!·S △SBD ·h ＝错误!·S △ABD ·SA ∴6h ＝错误!·2·2·4 ⇒ h ＝错误! ∴点A 到平面SBD 的距离为错误!14、（Ⅰ）如图，取DE 的中点G,连接AG 、FG由题意AD=AE ，△DEF 为正三角形,得AG ⊥DE,∴∠AGF 为平面ADE 与底面DEF 所成二面角的平面角由题意得AG=FG=23、在△AGF 中, 3123232123232222222=⨯⨯-+=-+=∠）（）（FG·AG AF FG AG AGF cos ∴平面ADF 与底面DEF 所成二面角的余弦值为31 (Ⅱ）(1)λ=1时,MN 为异面直线AD 与EF 公垂线段当λ=1,M 为AD 的中点,N 为FF 的中点，连结AN 、DN,A B C DE S O则由题意，知AN=DN=23,∴MN ⊥AD ，同理可证MN ⊥EF ∴λ=1时，MN 为异面直线AD 与EF 公垂线段、（2)过点M 作MH ∥DF ，交AF 于点H ，则∠HMN 为异面直线 MN 与DF 所成的角、由MH ∥DF ，得 NF EN MD AM MD AM HF AH ==，又，∴NF EN HF AH =∴HN//AE,∠MNH 为异面直线 MN 与AE 所成的角、∴α+β=∠MNH+∠HMN=π—∠MHN由题意得，三棱锤A-DEF 就是正棱锤,则点A 在底面DEF 上的射影为底面△DEF 的中心,记为O 、∵ AE 在底面DEF 上的射影EO ⊥DF ， ∴AE ⊥DF又∵HN//AE,MH//DF,∴∠MNH=2π,∴2ππβα=∠-=+MHN。

高二【数学(人教B版)】空间中的点、直线与空间向量(2)

AE BC 2 2 2 2
E
则 AE, BC π
3
O B
即直线 AE 与 BC 所成的角是 π .
3
A
法二：如图建系
z
C
A(1, 0, 0), E(0, 0,1), B(0, 2, 0), C(0, 0, 2)
所以 AE (1, 0,1), BC (0, 2, 2) E
从而 AE BC 2
B
v2
A
l1
v1
l2
l2 v2
B
P
A
l1
v1
例正三棱柱 ABC A1B1C1 中，底面棱长和侧棱长都是3，E, F 为
棱 A1C1 的两个三等分点，M , N 为棱 BC 的两个三等分点.
求证：EM 与 FN 是异面直线. A1
E
F
C1
分析： B1
证明 EN 与 EM , FN 不共面.
A
C
N
(t s,t, s 1)
B
x
A N
D1 C1
Dy
C
前面得到
z
A1
MN (t s,t, s 1)
根据 MN A1B 0, MN AC 0 可得方程组
t s s 1 0 t s t 0
2s t 1 2t s 0
B1 M A
所以
t
1 3
s
2 3
.
N
B
x
也就是存在满足条件的点 M , N .
z
即
3 2
3 3
2
3 2
Байду номын сангаас
1 2
3 3 3
1 2 3 2
1
方程组无解，即EN EM FN .

高中数学 3.1.1 空间向量的线性运算课后知能检测新人

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.1.1 空间向量的线性运算课后知能检测新人教B 版选修2-1一、选择题1．如图3－1－6所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →等于( )图3－1－6A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c【解析】如题图A 1B →＝CB →－CA 1→＝CB →－(CC 1→＋CA →)＝b －(a ＋c )＝－a ＋b －c .【答案】 D 2．下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点，则它们的终点构成了一个圆； ②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有A C →＝A 1C 1→；④向量AB →与BA →的模相等；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中假命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】 ①空间中所有单位向量移到同一起点，应为球面，故错误； ②a ，b 方向不一定相同，故错误；③在正方体中AC →与A 1C 1→方向相同，长度也相等，故正确；④正确；⑤任意两个单位向量其模为1，但方向可以不同，故错误．【答案】 C3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( ) ①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→. A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④【解析】对于①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD 1→；对于②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝BC 1→＋C 1D 1→＝BD 1→； ③④化简结果不为BD 1→. 【答案】 A4．(2013·佛山高二检测)如图3－1－7，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )图3－1－7A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝0【解析】由图观察，EF →、GH →、PQ →平移后可以首尾相接，故有：EF →＋GH →＋PQ →＝0. 【答案】 A5．已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a ，CB →＝b ， AD →＝c ，则CD →＝( ) A ．a ＋b －c B ．－a －b ＋c C ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c【解析】 CD →＝AD →－AC →＝AD →－(AB →＋BC →)＝AD →－AB →－BC →＝AD →－AB →＋CB →＝c －a ＋b ，故选C. 【答案】 C 二、填空题6.12(2a －2b ＋c )－13(a ＋3b －c )＝________. 【解析】原式＝a －b ＋12c －13a －b ＋13c ＝23a －2b ＋56c .【答案】 23a －2b ＋56c7．平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，用AB →、AD →、AA 1→表示D 1B →＝________.【解析】 D 1B →＝－BD 1→＝－(BA →＋BC →＋BB 1→)＝AB →－BC →－BB 1→＝AB →－AD →－AA 1→. 【答案】 AB →－AD →－AA 1→8．已知点G 是正方形ABCD 的中心，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，则PA →＋PB →＋PC →＋PD →等于______．【解析】 PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝(PG →＋GA →)＋(PG →＋GB →)＋(PG →＋GC →)＋(PG →＋GD →) ＝4PG →＋(GA →＋GB →＋GC →＋GD →) ＝4 PG →＋0＝4 PG → 【答案】 4 PG →三、解答题9．如图3－1－8，以长、宽、高分别为AB ＝3，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，图3－1－8(1)单位向量共有多少个？ (2)试写出模为5的所有向量； (3)试写出与AB →相等的所有向量； (4)试写出AA 1→的相反向量．【解】 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA 1→、A 1A →、BB 1→、B 1B →、CC 1→、C 1C →、DD 1→、D 1D →共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD 1→、D 1A →、A 1D →、DA 1→、BC 1→、C 1B →、B 1C →、CB 1→，共8个． (3)与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)共有A 1B 1→、DC →及D 1C 1→，共3个． (4)向量AA 1→的相反向量为A 1A →、B 1B →、C 1C →、D 1D →，共4个．图3－1－910．如图3－1－9，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量．(1)AA ′→－CB →；(2)AB ′→＋B C ''u u u u r ＋C D ''u u u u r ；(3)12 AD →＋12 AB →－12A A 'u u u r11．已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点．求下列各式中x 、y 的值．(1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yPA →； (2)PA →＝xPO →＋yPQ →＋PD →. 【解】如图所示， (1)∵OQ →＝PQ →－PO → ＝PQ →－12(PA →＋PC →)＝PQ →－12PA →－12PC →，∴x ＝y ＝－12.(2)∵PA →＋PC →＝2PO →，∴PA →＝2PO →－PC →. 又∵PC →＋PD →＝2PQ →，∴PC →＝2PQ →－PD →. 从而有PA →＝2PO →－(2PQ →－PD →)＝2PO →－2PQ →＋PD →. ∴x ＝2，y ＝－2.。

人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件第一章空间中的点、直线与空间向量

.
解析如图所示,以C为原点,以CA,CB,CC1分别为x轴、y轴、z轴,建立空间
直角坐标系.
设AC=BC=CC1=2,可得A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,2),N(1,0,2),
∴=(-1,0,2),=(1,-1,2),
·
∴cos<, >=| || |
点,N是侧棱CC1上的点,且CN=
1
4
CC1.求证:AB1⊥MN.
证明设AB中点为O,作OO1∥AA1.以O为坐标原点,OB所在直线为x轴,OC所
在直线为y轴,OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
由已知得
1
1
3
3 1
1
A(- ,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),N(0, , ),B1( ,0,1).
点的位可以由向量唯一确定,此时, 通常称为点P的位置向量
置向量
直线的一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表
方
示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方
向向量向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l
过关自诊
[北师大版教材习题]已知点A(1,2,1),B(0,1,3), BC=2OA (点O为坐标原点),
3
y=-3,z=3.
.
(2)设a,b分别是两条不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的
位置关系:
①a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3);
②a=(5,0,2),b=(0,4,0).
解①∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3),
1
∴a=- b,∴a∥b,∴l1∥l2.

高二上册数学选修一《空间中的点、直线与空间向量》同步练习

高二上数学选修一第一章《空间向量与立体几何》1.2.1同步练习1.2.1空间中的点、直线与空间向量一．选择题1．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是棱AB的中点，点F是四边形CDD1C1所在平面内的一点，且AF⊥B1E，则点F为（）A．一条直线上任意一点B．一个平面上任意一点C．一个圆上任意一点D．一个椭圆上任意一点2．直线l的一方向向量为（2，3），则它的斜率k为（）A．B．C．D．3．若A（2，1，1），B（1，2，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A．（2，1，2）B．（﹣2，2，3）C．（﹣1，1，1）D．（1，0，0）4．若A（0，1，2），B（2，5，8）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）A．（3，2，1）B．（1，3，2）C．（2，1，3）D．（1，2，3）5．已知向量＝（sinθ﹣1，1），＝（cosθ，1），θ∈[﹣，﹣]，且，则θ的值为（）A．﹣B．C．D．6．已知＝（1，5，﹣2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x﹣1，y，﹣3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（）A．，﹣，4B．，﹣，4C．，﹣2，4D．4，，﹣157．平面α的法向量，平面β的法向量，已知α∥β，则x+y＝（）A．B．C．3D．8．若平面α与β的法向量分别是＝（2，4，﹣3），＝（﹣1，2，2），则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定9．平面α的一个法向量为（1，2，0），平面β的一个法向量为（2，﹣1，0），则平面α与平面β的位置关系是（）A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不能确定10．若直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），则直线l与平面α的位置关系为（）A．平行B．垂直C．在平面内D．斜交二．填空题11．在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是线段BC的中点，P是正方形DCC1D1（包括边界）上运动，且满足∠APD＝∠MPC，则P点的轨迹周长为．12．已知直线l过点A（3，2，1），B（2，2，2），且＝（2，0，x）是直线l的一个方向向量，则x＝．13．已知向量＝（x，3），＝（4，6），若，则实数x的值为；若⊥，则实数x的值为．14．已知平面α，β的法向量分别为＝（1，y，4），＝（x，﹣1，﹣2），若a⊥β，则x﹣y的值为．15．已知点A（3，2，1），点B（﹣1，4，3），线段AB中点为M，O为坐标原点，则|OM|＝．三．解答题16．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形：①直线l在平面α内；②直线m不在平面α内；③直线m与平面α交于点A；④直线l不经过点A．（2）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点，F为棱CC1的三等分点，画出由D1，E，F三点所确定的平面β与平面ABCD的交线．（保留作图痕迹）17．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角（是指不超过90°的角）的余弦值．18．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离．2021-2022学年人教B版（2019）数学高中选择性必修第一册1.2.1空间中的点、直线与空间向量参考答案与试题解析一．选择题1．【考点】空间点、线、面的位置．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，因为AF⊥B1E，所以F在过点A且与B1E垂直的一个平面α内，即为平面α的一个法向量，又平面CDD1C11法向量为，与不平行，所以平面α与平面CDD1C1一定相交于直线l，所以点F在直线l上运动．故选：A．2．【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；直线的斜率．【解答】解：∵，（1，k）是直线的方向向量，∴，故选：A．3．【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．【解答】解：A（2，1，1），B（1，2，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量为＝（﹣1，1，1）．故选：C．4．【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．【解答】解：A（0，1，2），B（2，5，8）在直线l上，则直线l的一个方向向量为：＝（2，4，6）＝（1，2，3），故选：D．5．【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【解答】解：由题意可得sinθ﹣1﹣cosθ＝0，即sinθ﹣cosθ＝1，所以2sin（θ﹣）＝1，sin（θ﹣）＝，因为θ∈[﹣，﹣]，所以θ﹣∈[﹣2π，﹣]，所以θ﹣＝﹣，所以θ＝﹣．故选：C．6．【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【解答】解：∵⊥，∴＝3+5﹣2Z＝0，解得z＝4．∴．∵BP⊥平面ABC，∴，．∴化为，解得．∴，，z＝4．故选：B．7．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【解答】解：根据题意，α∥β，则有∥，则有＝＝，解可得x＝4，y＝﹣，则x+y＝；故选：A．8．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【解答】解：＝﹣2+8﹣6＝0∴⊥∴平面α与平面β垂直故选：B．9．【考点】空间点、线、面的位置．【解答】解：由题意可得（1，2，0）•（2，﹣1，0）＝1×2﹣2×1+0×0＝0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选：C．10．【考点】空间点、线、面的位置．【解答】解：直线l的方向向量为＝（1，0，2），平面α的法向量为＝（﹣2，0，﹣4），∵＝﹣2，∴∥，∴直线l与平面α的位置关系为垂直．故选：B．二．填空题11．【考点】空间点、线、面的位置．【解答】解：如图，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则AD⊥平面DCC1D1，MC⊥平面DCC1D1，又DP，PC在平面DCC1D1上，∴AD⊥DP，MC⊥CP，又∠APD＝∠MPC，∴Rt△ADP～Rt△MCP，∴＝2，即PD＝2PC，如图，在平面DCC1D1中，以D为原点，DC，DD1分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则D（0，0），C（6，0），P（x，y），由PD＝2PC，知，化简整理得（x﹣8）2+y2＝16，0≤x≤6，圆心（8，0），半径r＝4的圆，所以P点的轨迹为圆（x﹣8）2+y2＝16与四边形DCC1D1的交点，即为图中的，其中，CM＝2，FM＝4，则∠FMC＝，由弧长公式知，故答案为：．12．【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．【解答】解：直线l过点A（3，2，1），B（2，2，2），且＝（2，0，x）是直线l的一个方向向量，∴＝（﹣1，0，1），∴∥，∴x＝﹣2．故答案为：﹣2．13．【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【解答】解：向量＝（x，3），＝（4，6），若，则6x﹣3×4＝0，解得x＝2；若⊥，则4x+3×6＝0，解得x＝﹣．故答案为：2；﹣．14．【考点】向量语言表述面面的垂直、平行关系．【解答】解：根据题意，平面α，β的法向量分别为＝（1，y，4），＝（x，﹣1，﹣2），若a⊥β，则有•＝x﹣y﹣8＝0，即x﹣y＝8．故答案为：8．15．【考点】空间点、线、面的位置．【解答】解：∵点A（3，2，1），点B（﹣1，4，3），线段AB中点为M，O为坐标原点，∴M（1，3，2），∴|OM|＝＝．故答案为：．三．解答题16．【考点】空间点、线、面的位置；平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【解答】解：（1）l⊂α；m⊄α；m∩α＝A；A∉l；示意图如下：（2）如图，分别延长DB，D1E相交于点L，分别延长DC，D1F相交于点I，直线IL即为所求．17．【考点】直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【解答】解：（1）以{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴＝（2，0，﹣4），＝（1，﹣1，﹣4），∴cos＜，＞＝＝＝，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z＝1，得y＝﹣2，x＝2，∴平面ADC1的法向量为＝（2，﹣2，1），设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ＝|cos＜，＞|＝||＝，∴平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值为：．18．【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系；点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴，建立如图的坐标系，则D（0，0，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），A（1，0，0）所以，设E（1，t，0），所以，，∴D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，E（1，1，0），，设平面ACD1的法向量是，求出，，由，得∵＝（1，1，﹣1）由点到平面的距离公式，得，∴点E到面ACD1的距离是．。

2020版高中数学人教版必修2高一数学第二章空间点、直线、平面之间的位置关系(课时作业) (2)

课时作业8　空间中直线与直线之间的位置关系基础巩固1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )A．一定平行B．一定相交C．一定是异面直线D．一定垂直解析：因为a⊥b，b∥c，则a⊥c，故选D.答案：D2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b ＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b⊂α成立．( )A．①②③B．①③④C．②③D．①④解析：②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．答案：D3．三棱锥的对角线互相垂直相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )A．梯形 B.矩形C．平行四边形 D.正方形图1解析：如图1所示，因为BD ⊥AC ，且BD ＝AC ，又因为E ，F ，G ，H 分别为对应边的中点，所以FG 綊EH 綊BD ，HG 綊EF12綊AC .所以FG ⊥HG ，且FG ＝HG .所以四边形EFGH 为正方形． 12答案：D4．若直线a ∥b ，b ∩c ＝A ，则a 与c 的位置关系是( ) A ．异面 B ．相交 C ．平行D ．异面或相交解析：a 与c 不可能平行，否则由a ∥b ，得b ∥c 与b ∩c ＝A 矛盾．故选D.答案：D5．(2019年绵阳高一检测)若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1且OA ∥O 1A 1，OA 与O 1A 1的方向相同，则下列结论中正确的是( )A ．OB ∥O 1B 1且方向相同 B ．OB ∥O 1B 1C ．OB 与O 1B 1不平行 D ．OB 与O 1B 1不一定平行解析：如图2甲，∠AOB ＝∠A 1O 1B 1且OA ∥O 1A 1，但OB 与O 1B 不平行，故A 、B 排除；如图2乙，∠AOB ＝∠A 1O 1B 1且OA ∥O 1A 1，此时OB ∥O 1B 1，故C 排除．答案：D图36．如图3，在三棱锥ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD 的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________.解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF所成的角或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.答案：60°能力提升1．如图4，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )图4A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE，B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°解析：由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．答案：C2．(2019年安徽宿州十三校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1的所有面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有( ) A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图5，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，所有与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．又△AB1D1也是等边三角形，同理满足条件的又有2条，共4条，选D.图5答案：D3．如图6，在四面体SABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC 的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是( )图6A ．相交B ．平行C ．异面D ．以上都有可能解析：连接SG 1，SG 2并延长，分别与AB ，AC 交于点M ，N ，连接MN ，则M ，N 分别为AB ，AC 的中点，由重心的性质，知SG 1SM ＝，∴G 1G 2∥MN .又M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴MN ∥SG 2SNBC ，再由平行公理可得G 1G 2∥BC ，故选B.答案：B4．如图7所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°图7图8解析：连接AB 1，易知AB 1∥EF ，连接B 1C ，B 1C 与BC 1交于点G ，取AC 的中点H ，连接GH ，则GH ∥AB 1∥EF .设AB ＝BC ＝AA 1＝a ，连接HB ，在三角形GHB 中，易知GH ＝HB ＝GB ＝a ，故所22求的两直线所成的角即为∠HGB ＝60°.答案：B5．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，有下列结论： ①∠BAC ＝∠B ′A ′C ′； ②∠ABC ＋∠A ′B ′C ′＝180°；③∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180°. 则一定成立的是________(填序号)．解析：因为AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，所以∠ACB ＝∠A ′C ′B ′或∠ACB ＋∠A ′C ′B ′＝180° 答案：③6．如图9，在三棱锥A BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形；当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 是正方形．图9解析：由图易证：EF 綊AC 綊HG ，∴四边形EFGH 为平行四12边形，故当EF ＝FG ，即AC ＝BD 时，四边形EFGH 为菱形；EF ⊥FG 且EF ＝FG ，即AC ⊥BD 且AC ＝BD 时，四边形EFGH 为正方形．答案：AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD7．如图10，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．图10解：(直接平移法)如图11，图11连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，则OG∥B1D，EF∥A1C1，∴∠GOA1为异面直线DB1与EF 所成的角或其补角．连接GA1，GC1，∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1，∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.拓展要求1.(2019年复旦大学自主招生)如图12，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )2图12A．60°B．75°C．90°D．105°解析：图13设BB1＝1，如图13，延长CC1至C2，使C1C2＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC22＝AB12＋336B1C22，则∠AB1C2＝90°.答案：C2．如图14，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．图14解：如图15，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.图15又∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，F，C，D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.。

高二数学课时作业§ 3《空间点、线、面之间的位置关系》参考答案

高二数学课时作业§3《空间点、线、面之间的位置关系》参考答案选项：若任意三点共线，则由该直线与第四个点可构成一个平面，则与四点不共面矛盾，则任意三点不共线，A正确；三点共线，直线DE与直线AC异面，此时共面，此时,b c可为异面直线，选项：依次首尾相接的四条线段可构成空间四边形，5.【答案】D【详解】∵a b P = ，∴P a ∈，P b ∈，∵a αβ= ，b βγ= ，∴P α∈，P β∈，P γ∈，∵c αγ⋂=，∴P c ∈，∴b c P = ，∴a c P ⋂=，如图所示：故A ，B ，C 错误；故选：D ．6.【答案】C【详解】由∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈根据公理1可得l ⊂α，故A 选项正确，由A α∈，A β∈，B α∈，B β∈根据公理2可得AB αβ= ，故B 选项正确，由l α⊄，l 可能与α相交，∈A l 可能有A α∈，故C 选项错误，由∈A l ，l ⊂α根据公理1可得A α∈，故D 选项正确，故选：C.7.【答案】ABD【详解】在A 中，由基本事实2知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故A 是基本事实；在B 中，由基本事实1得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故B 正确；在C 中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C 是定理，不是基本事实；在D 中，由基本事实4得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故D 是基本事实．故选：ABD.8.【答案】CD【详解】对于A ，斜棱柱的侧面不一定是矩形，A 错误；对于B ，若两个平面相交，已可将空间分为4个部分，第三个平面与前两个平面的交线相交时，将空间分成8个部分，B 错误；对于C ，圆台可由直角梯形以垂直底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周形成，C 正确；1BB 的中点F ，连接11,EC FC ，的中点，正方体中，1//C N FB ，，同理有1//EC AM ，则1EC F ∠或其补角为，设正方体的边长为a ，则222112EC a a a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册第一章第一节空间向量及其运算课时练习题含答案解析

1.1 空间向量及其运算文档中含有大量可修改的数学公式，在网页中显示可能会出现位置错误等情况，下载后均可正常显示、编辑。

1.1.1 空间向量及其运算.............................................................................................. - 1 - 1.1.2 空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 - 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 ................................................................ - 16 -1.1.1 空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗3.已知e 1,e 2为单位向量,且e 1⊥e 2,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A.-6 B.6C.3D.-3a ·b=0,e 1·e 2=0,|e 1|=|e 2|=1,所以(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=0,所以2k-12=0, 所以k=6.故选B .4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( )A.a 2B.12a 2 C .14a 2 D .√34a 2⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14a×a×12+a×a×12=14a 2.5.(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD 连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A.PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ )2≠0. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD , 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为AD ⊥AB ,AD ⊥PA ,所以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此B,C,D 中的数量积均为0.故选B,C,D .6.设e 1,e 2是平面内不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k= .87.化简:12(a +2b -3c )+5(23a -12b +23c)-3(a -2b +c )= .+92b -76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 .√11AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11. 9.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 10.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1. (1)求<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值; (2)求证:BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12.又|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,所以cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=25.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.已知空间向量a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),则|a -b |的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.4a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),∴a -b =(2,1-t ,t-1),则|a-b |=√22+(1-t )2+(t -1)2=√2(t -1)2+4, ∴当t=1时,|a-b |取最小值为2.故选C .12.设平面上有四个互异的点A ,B ,C ,D ,已知(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B .等腰三角形 C.钝角三角形 D .锐角三角形DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 是等腰三角形. 13.如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC 等于( )A.6√2 B .6C.12D .144PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 14.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|. 其中所有真命题的序号为 .①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC 中,P 在线段AB 上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .-√22|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a (a>0),由题知,0<λ<1.如图, CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=a 2λ-12a 2, PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(λ-1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ(λ-1)a 2, 则a 2λ-12a 2=λ(λ-1)a 2, 解得λ=1-√22λ=1+√22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2√29CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29.17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'.(1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)设点M 是底面ABCD 的中心,点N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C',因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.18.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c .(1)试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC=90°,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,AB=AC=AA 1=1,求MN 的长.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c-a )+a+13(b-a )=13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=√5,所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a+b+c |=√53,即MN=√53. 19.如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,且AB=7,AC=BD=24,线段BD 与α所成的角为30°,求CD 的长.AC ⊥α,可知AC ⊥AB ,过点D 作DD 1⊥α, D 1为垂足,连接BD 1,则∠DBD 1为BD 与α所成的角,即∠DBD 1=30°,所以∠BDD 1=60°,因为AC ⊥α,DD 1⊥α,所以AC ∥DD 1,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BD ⊥AB ,AC ⊥AB , 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =242+72+242+2×24×24×cos120°=625, 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25,即CD 的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),则边BC 上是否存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?Q (点Q 在边BC 上),使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 连接AQ ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥QD. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a2>1,即a>2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a<2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意.综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当0<a<2时,不存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .。

高二数学(人教B版)空间中的点、直线与空间向量2课后练习

高中数学(人教版必修2)配套练习 第二章2.1空间点、直线、平面之间的位置关系