第6章知识点自学

合集下载

线性代数知识点总结(第6章)

线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。

其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。

（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。

5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。

（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。

高二数学第6章知识点归纳总结

高二数学第6章知识点归纳总结高二数学的第6章主要涉及复数的运算、幂次运算和虚数。

下面将对这些知识点进行详细的归纳总结。

1. 复数及其表示法复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2=-1。

复数可以用平面直角坐标系表示，实部在实轴上，虚部在虚轴上。

复数的共轭是指实部相等、虚部互为相反数的两个复数，可以用求实部取负或者虚部取负的方法得到。

2. 复数的运算复数的加法和减法都是将实部和虚部分别相加或相减。

复数的乘法可以使用分配律展开计算，然后利用i^2=-1简化。

复数的除法可以将分子和分母同乘以分母的共轭，然后利用复数的乘法求解。

需要注意的是，复数的运算结果仍然是复数。

3. 幂次运算复数的幂次运算可以通过展开求解，然后利用i^2=-1简化。

实际计算中，可以利用欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ简化计算。

对于复数的幂次根，可以先将复数转化为三角形式，然后利用求根公式求解。

4. 虚数单位i的性质虚数单位i的一些性质有：i^0=1，i^1=i，i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，以此类推。

利用这些性质，可以简化复数运算和幂次运算中的计算过程。

5. 复数的模、辐角及其性质复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。

复数的辐角表示复数与实轴正方向之间的夹角，可以用三角函数计算。

复数可以转化为三角形式，即z=|z|(cosθ+isinθ)，其中|z|为复数的模，θ为复数的辐角。

复数的模和辐角有一些性质，如模的乘法和辐角的加法。

综上所述，高二数学的第6章主要掌握了复数的运算、幂次运算和虚数的相关知识。

通过对复数的表示法、运算性质以及模、辐角的计算，可以更好地理解和应用复数的概念。

同时，在实际问题中，可以利用复数的性质来简化计算过程。

对于复数的幂次运算和根的求解，可以通过展开、使用欧拉公式和求根公式来解决。

掌握这些知识，能够更好地理解数学中的抽象概念，提升解题能力。

六年级下学期地理第六章知识点

第六章我们生活的大洲——亚洲1. 地理位置:①半球位置：大部分位于北半球、东半球；②纬度位置：位于11°S-81°N 之间，地跨北寒带、北温带、热带；大部分位于北温带；③海陆位置：东临B 太平洋、北临A 北冰洋，南临C 印度洋，西与D 欧洲相连（分界线是乌拉尔山-乌拉尔河-大高加索山脉-土耳其海峡），西南隔E 苏伊士运河与非洲为邻，东隔 F 白令海峡与北美洲相望，东南隔海与大洋洲相望。

2. 七大洲按面积大小排列为：亚洲、非洲、北美洲、南美洲、南极洲、欧洲、大洋洲世界第一大洲是亚洲的原因：面积最大，跨纬度最广，东西距离最长。

3. 亚洲六个地理分区：东亚、南亚、西亚、北亚、中亚、东南亚 4. 东亚的国家有：中国、蒙古、朝鲜、韩国和俄罗斯。

5. 不同地区居民生活的差异a) 西亚 -沙特阿拉伯- 贝都因人-帐篷-袍子-游牧生活 b) 北亚 -东西伯利亚- 亚库特人-木屋-皮毛服装-狗拉雪橇 c) 南亚 -恒河三角洲- 孟加拉人-捕鱼-船d) 东南亚 -印度尼西亚加里曼丹岛- 达雅克人-长屋 6. 亚洲地形特征：地形复杂多样，以高原、山地为主。

地势特征：地势起伏很大，中间高，四周低；亚洲大陆沿北纬30°纬线由西向东地势呈现出“ 低 - 高 - 低 ”的变化。

7.见左图，填写下方信息：(1)A. 喜马拉雅山脉——世界最高大的山脉 (2)地形区:C. 青藏高原—世界最高大的大高原，有“世界屋脊”之称； D. 帕米尔高原 E. 蒙古高原 F. 西西伯利亚平原——亚洲最大的平原 G. 中西伯利亚高原 H. 东西伯利亚山地I. 东北平原 J. 华北平原 M. 德干高原N. 伊朗高原(3)P. 北冰洋 Q. 太平洋 R.印度洋(4)① 阿拉伯半岛——世界上最大的半岛； ② 印度半岛 ③ 中南半岛 ④ 马来群岛——世界上最大的群岛。

综合能力笔记-第6章行政区域界线测绘

第六章第1节行政区域界线测绘概述知识点一：界线测绘的基准和比例尺界线测绘的内容包括界线测绘准备、界桩埋设和测定、边界点测定、边界线及相关地形要素调绘、边界协议书附图制作与印刷、边界点位置和边界走向说明的编写。

界线测绘成果包括：界桩登记表、界桩成果表、边界点成果表、边界点位置和边界走向说明、边界协议书附图。

行政区域界线勘定后，应定期进行界线联合检查工作，界线联合检查内容包括：界桩维修更新、增设界桩、调整界线、重新测量界桩坐标与高程，重新修改协议书、重新测绘协议书附图等。

界线测绘宜采用国家统一的2000国家大地坐标系和1985国家高程基准。

界线测绘中，边界地形图和边界协议书附图的比例尺视情况选用：同一地区，勘界工作用图和边界协议书附图应采用相同比例尺；同条边界，协议书附图应采用相同比例尺；省级行政区选用1：5万或1：10万比例尺；省级以下行政区采用1：1万比例尺；地形地物稀少地区可适当缩小比例尺；地形地物稠密地区可适当放大比例尺。

知识点二：界线测绘的基本精度界线测绘的基本精度包括界桩点的精度和边界协议书附图的精度。

界桩点的精度以中误差来评定。

界桩点平面位置中误差一般不应大于相应比例尺地形图图上±0.1 mm。

界桩点高程中误差一般不大于相应比例尺地形图上平地、丘陵、山地（高山地）十分之一基本等高距（特殊困难地区可放宽0.5倍中误差）。

资源开发利用价值较高地区可执行地籍测绘规范中界址点精度的规定。

边界协议书附图中界桩点的最大展点误差不超过相应比例尺地形图图上±0.2 mm，补调的与确定的边界有关的地物点相对于邻近固定地物点的间距中误差不超过相应比例尺地形图图上±0.5 mm。

第六章第2节界线测绘的准备工作知识点一：边界地形图制作边界地形图（boundary topographical map），一般指利用国家最新的1：5 000、1：1万、1：5万、1：10万地形图作为资料，按照一定的经差、纬差自由分幅，图内内容范围为垂直界线两侧图上各10 cm或5 cm（1：10万）内，沿界线走向制作呈带状分布的地形图，供界线测绘工作时使用。

八年级物理上册第6章质量与密度知识点精细梳理

第6章质量与密度一、质量1.定义：物体所含物质的多少叫质量。

物体的质量不随它的形态、状态、位置、温度而改变，所以质量是物体本身的一种属性。

2.国际单位：千克（kg），常用单位：吨（t）、克（g）、毫克（mg）。

1t=103kg=106g3.测量⑴日常生活中常用的测量工具：案秤、台秤、杆秤，实验室常用的测量工具托盘天平，也可用弹簧测力计测出物重，再通过公式m=G/g计算出物体质量。

⑵托盘天平的使用方法：二十四个字：水平台上, 游码归零, 横梁平衡，左物右砝，先大后小, 横梁平衡。

具体如下:①“看”：观察天平的称量以及游码在标尺上的分度值。

②“放”：把天平放在水平台上，把游码放在标尺左端的零刻度线处。

③“调”：调节天平横梁右端的平衡螺母使指针指在分度盘的中线处时，横梁平衡。

④“称”：把被测物体放在左盘里，用镊子向右盘里加减砝码，并调节游码在标尺上的位置，直到横梁恢复平衡。

⑤“记”：被测物体的质量=盘中砝码总质量+ 游码在标尺上所对的刻度值。

⑥注意：A.不能超过天平的称量；B.保持天平干燥、清洁。

⑶方法：A.直接测量---固体的质量；B.特殊测量---液体的质量、微小质量。

二、密度1.定义：某种物质组成的物体在质量与它的体积之比叫做这种物质的密度。

2.公式：3.国际单位：kg/m3，常用单位：g/cm3。

1g/cm3=103kg/m3。

4.同种材料，同种物质，ρ不变，m与 V成正比；物体的密度ρ与物体的质量、体积、形状无关；密度随温度、压强、状态等改变而改变。

密度是物质的一种特性。

三、测量物质的密度1.测固体的密度：原理：ρ=m/V质量（m）：用天平测量。

体积（v）的测量（1）形状规则：用刻度尺测量（2）形状不规则：①ρ物＞ρ水，沉入水中工具：量筒、水、细线方法：A.在量筒中倒入适量的水，读出体积V1；B.用细线系好物体，浸没在量筒中，读出总体积V2，物体体积V=V2-V1②ρ物＜ρ水，浮在水面A.针压法（工具：量筒、水、大头针）；B.沉坠法（工具：量筒、水、细线、石块）说明：A.量筒（量杯）的使用方法：“看”：单位[1毫升（ml）=1厘米3 ( cm3 ) ]、量程、分度值。

八年级物理第6章知识点

八年级物理第6章知识点八年级物理学习的第六章主要是涉及力学的内容。

在力学方面，我们需要了解什么是力，力的比较，力的叠加，机械压力等方面的知识点。

下面我们将详细地介绍这些知识点。

一、力力是驱动物体产生或改变运动状态的原因。

力的大小可以通过测量物体的质量和加速度来计算。

物体的质量越大，所需要的力就越大。

二、力的比较力可以被比较，通过比较不同物体的重量，我们可以知道哪个物体更重。

同样，通过比较不同力大小，我们可以知道哪个力更强大。

三、力的叠加当两个或更多力作用在同一个物体上时，它们可以叠加。

力的叠加可以产生一个更大的力，因此，叠加的力比单个力更强大。

四、机械压力机械压力是指当物体之间有接触时产生的力。

它可以分为两种类型：弹性压力和塑性压力。

弹性力是指当两个物体接触时，它们会产生一个反向的力，这种力通常是弹性的。

而塑性压力是指当两个物体接触时，它们会产生一个压碎物体的力。

五、摩擦力物体之间的摩擦可以使物体停止移动或保持运动状态。

摩擦力的大小取决于物体的材料和接触面积。

六、动量动量是运动物体的一种性质，计算公式为动量=m*v。

其中m 是物体的质量，v是物体的速度。

物体的动量越大，它的运动越难以改变。

七、万有引力万有引力是地球与其他物体之间的引力，是由地球的质量和其他物体的质量、距离和速度共同决定的。

万有引力是太阳系中其他星球和行星之间发生的引力。

总结以上就是八年级物理第6章知识点的内容。

掌握这些知识点，可以更好地理解物体的力学和运动。

如果你最近正在学习这些知识点，希望这篇文章能帮助你更好地理解它们。

《高等数学》各章知识点总结——第6章

《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。

以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。

2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。

(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。

(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。

(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。

(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。

二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。

2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。

2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。

2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。

通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。

八年级物理第六章知识点

八年级物理第六章知识点八年级物理第六章知识点第六章、力与运动第一节：牛顿第一定律知识点一：实验：阻力对物体运动的影响器材：斜面、木板、棉布、毛巾、小车、刻度尺、实验过程：略（书本p102）结论：表面越光滑，滑块运动的距离越大，这说明小车受到的摩擦力减小，速度减小的越慢。

进一步推力：如果表面绝对光滑，物体受到的阻力为零时，速度不会减慢，将以恒定不变的速度永远运动下去。

（伽利略的观点）笛卡尔对伽利略的补充：如果运动物体在不受任何力的作用，不仅速度大小不变，而且运动方向也不变，将永远运动下去。

牛顿第一定律：一切物体在没有受到外力作用的时候，总保持匀速直线运动状态或静止状态。

科学推理法：牛顿第一定律是通过多次试验获得多组数据，在分析归纳的基础上，通过推理抽象概括出来的。

知识点二：惯性：物体保持运动状态不变的性质。

也就是静止物体保持静止状态不变的性质，运动着的物体有保持匀速直线运动状态不变的性质。

性质：1.惯性的普遍性：一切物体都有惯性，是物体的固有属性2.惯性大小的决定作用：惯性有质量决定，质量越大，惯性越大，与外力、运动状态无关。

惯性与惯性定律的区别：1.惯性是物体保持静止状态或匀速直线运动状态的性质，是物体固有的属性，是无条件，一切物体都具有惯性，与外力，所处状态无关2.惯性定律是说明力不是维持物体运动的原因，而是改变运动状态的原因。

是有条件的第二节合力知识点一：合力、分力概念：如果一个力产生的作用效果跟几个力产生的作用效果相同，这个力就是那几个力的合力，那几个力就是这个力的分力。

性质：同一性：几个力必须作用在同一物体上。

非重复性：合力并不是物体受到的有一个力，对物体进行受力分析是，考虑了合力就不能考虑分力，也就是说，要么考虑分力，要么只考虑合力。

等效性：合力不是简单的力的总和，而是从力的作用效果来判断，运用等效代替原则，合力实质是分力的等效力。

知识点二：同一直线上二力的合力同一直线上，方向相同的两个力的合力，大小等于两个力的大小之和，方向和这两个力的方向相同。

新人教版八年级上册物理第6章质量与密度知识点全面总结

新人教版八年级上册物理第6章质量与密度知识点全面总结6.质量与密度6.1 质量质量是构成物体的物质的多少，通常用字母m表示。

一个物体可以由多种物质组成，同种物质也可以组成不同的物体。

例如，铁锤和铁钉都是由铁这种物质组成的，但由于铁锤体积大，含有铁这种物质多；同样，一桶水的体积比一杯水的体积大，一桶水比一杯水含有水这种物质多。

常用的质量单位有千克、吨、克、毫克等，其中千克是国际单位制中的基本单位。

在日常生活中，我们购买物品时常说他们的重量是多少克或多少千克，实际上是指质量。

物体所含物质的多少与其温度、物态、形状、所处的空间位置无关，只与物体所含物质的多少有关。

商店中常用电子秤来称量物体的质量，对于载重车辆的质量通常用电子磅来称量。

在学校的实验室和工厂的化验室里，常用托盘天平测量物体的质量。

托盘天平是实验室常用的工具，其结构如图所示。

托盘天平由分度盘、横梁、标尺、游码、指针、平衡螺母、托盘等构成，并且每架天平都有一盒配套的砝码。

使用天平的步骤如下：1.放平：将天平放在水平平台上，如果需要调节底座水平的天平，应先调节底座下面的螺钉，使底座水平。

2.拨零：将游码拨到标尺左端的零刻度线处。

3.调平：调节横梁两端的平衡螺母，使指针指在分度盘的中央刻度线处（或指针在中央刻度线左右两侧摆动的幅度相等）。

调节平衡螺母的方法是将平衡螺母向指针偏向的反方向调，例如，如果指针向左偏，应向右调平衡螺母；如果指针向右偏，应向左调平衡螺母。

4.测量：在称量前，估计被测物体的质量；称量时，将被测物体放在左盘中，用镊子按“先大后小”的顺序依次在右盘中试加砝码，如果最小的砝码也不能使横梁平衡，需要调节游码在标尺上的位置，直到横梁恢复平衡。

此时需要注意，物体和砝码要遵循“左物右码”原则，加砝码要“先大后小”。

5.读数：右盘中砝码的总质量加上游码在标尺上所对的刻度值，就等于左盘中被测物体的质量。

读取游码在标尺上所对的刻度值时，应以游码左侧边缘所对刻度为准。

第6章质量和密度(知识点讲义)

知识点二 1 密度的测量 1、固体密度的测量
m 原理 ρ = v
器材天平、量筒、水、细针（适用于密度小于水的密度的固体）
方法
② 用天平测得物体质量 m; ②把适量水倒入量筒记下 V1； ③放入物体并用细针把物块压住浸没水中，记下得 V2，V=V2-V1
④密度为：ρ = m
V 2−V 1
原理器材
m ρ= v 天平、量筒、水、细线（适用于密度大于水的密度的固体）
V
【易错提示】 1、在测量液体密度时，如果先测量液体的体积，再将液体全部倒人烧杯中测量质量，
则会由于量筒中附着一定量的液体，而使测出的质量偏小，从而使计算出的密度值偏小。 2、量筒一般细而高，因此不便直接将量筒放到托盘天平上称量，否则容易打碎量筒。
例 2 （2012 江苏苏州中考）用天平和量筒测量某金属块的密度。
使用“排液法”测量固体体积的注意事项： ① 被测物体不能溶于水，更不能和水发生化学反应； ② ②所使用的线或针必须要细，以免影响测量结果； ③ 若物体浸人水中后物体表面附有气泡，可轻轻抖动细线，让气泡释放出来再读数。
例 1 用量筒量取溶液，视线与量筒内液体的凹液面最低处保持水平，读数为 15 毫升; 倒出部分液体后，俯视凹液面的最低处，读数为 9 毫升。则该学生实际倒出的溶液体积 ( ) A、小于 6 毫升 B、大于 6 毫升 C、等于 6 毫升 D、无法确定范围
，直至天平平衡。
第 2 节密度
教材知识全解
知识点一密度
1、质量与体积的关系 ① 同种物质的质量与体积的比值相同; ② 体积相等的不同物质，质量不相等（或不同物质的质量与体积的比值不同）。
2、密度定义
物理学中，某种物质组成的物体的质量与它的体积之比叫做这种物质的密度，通常用字母ρ表示

人教版初中数学第六章实数知识点

第六章实数6.1 平方根1、平方根如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）.一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.正数a的平方根记做“”.2、算术平方根正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”.正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零.()()a aaa a⎧≥⎪==⎨-<⎪⎩；注意a的双重非负性：0a≥⎪⎩例：求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151.例：若数m的平方根是32+a和12-a，求m的值.解：∵负数没有平方根，故m必为非负数.（1）当m为正数时，其平方根互为相反数，故（32+a）+（12-a）=0，解得3=a，故32+a=9332=+⨯，912312-=-=-a，从而8192==a.（2）当m为0时，其平方根仍是0，故032=+a且0433=-a，此时两方程联立无解.GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF例：估计10＋1的值是（）（A ）在2和3之间（B ）在3和4之间（C ）在4和5之间（D ）在5和6之间6.2 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）.其中3是根指数.一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零. 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面.例：已知：M a a b =++-82是a +8的算术数平方根，N b a b =--+324是b -3立方根，求M N +的平方根.分析：由算术平方根及立方根的意义可知a +≥8022243a b a b +-=⎧⎨-+=⎩，解方程组，得：a b ==13，GAGGAGAGGAFFFFAFAF代入已知条件得：M N ==903，，∴M N +=+=+=903033故M ＋N 的平方根是±3.6.3 实数 1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数整数包括正整数、零、负整数. 正整数又叫自然数.正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数.2、无理数：无限不循环小数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；GAGGAGAGGAFFFFAFAF（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o等例：在所给的数据:，13，π，0.57， 0.585885888588885…(相邻两个5之间8的个数逐次增加1个)其中无理数个数( B ).(A)2个 (B)3 (C)4个 (D)5个3、相反数实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=-b ，反之亦成立. 4、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，0a ≥.零的绝对值是它本身，若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤.正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小. 5、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立.倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数. 例：比较a aa 、、1的大小.GAGGAGAGGAFFFFAFAF①当01<<a 时，取a =001.，则110001aa ==、.，显然有1aa a >>GAGGAGAGGAFFFFAFAF②当a =1时，a aa ==1，③当a >1时，仿①取特殊值可得a a a>>1 例：解方程()2136x +=.解：∵()2136x +=∴x+1看着是36的平方根. 16x +=±. ∴15x=， 27x =-.例：已知一个数的平方根是2a －1和a －11，求这个数．解：由2a －1+a －11=0，得a =4，∴2a －1=2×4－1=7．∴这个数为72=49．例：已知2a －1和a －11是一个数的平方根，求这个数．解：根据平方根的定义，可知2a －1和a －11相等或互为相反数．当2a －1=a －11时，a =－10，∴2a －1=－21，这时所求得数为(－21)2=441;当2a －1+a －11=0时，a =4，∴2a －1=7，这时所求得数为72=49. 综上可知所求的数为49或441.实数大小进行比较的常用方法方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再GAGGAGAGGAFFFFAFAF根据当a －b ﹥0时，得到a ﹥b.当a －b ﹤0时，得到a ﹤b.当a －b ＝0，得到a=b.例1：（1）比较513-与51的大小. （2）比较1－2与1－3的大小.解 ∵513-－51＝523-＜0 ， ∴513-＜51. 解 ∵（1－2）－（1－3）=23-＞0 ， ∴1－2＞1－3.方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商.当ba ＜1时，a ＜b ；当ba ＞1时，a ＞b ；当ba =1时，a=b.来比较a 与b 的大小.例2：比较513-与51的大小.GAGGAGAGGAFFFFAFAF解：∵513-÷51=13-＜1 ∴513-＜51 方法三：倒数法倒数法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 的倒数，再根据当a1＞b1时，a ＜b.来比较a 与b 的大小.例3：比较2004－2003与2005－2004的大小.解∵200320041-=2004+2003，200420051-=2005+2004又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004－2003＞2005－2004（超纲，不作要求）方法四：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由2a ＞2b 得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小. 例5：比较62+与53+的大小解：1228)62(2+=+， 2)53(+=8+215.又∵8+212＜8+215 ∴62+＜53+.方法五：估算法估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较.例4：比较8313-与81的大小解：∵3＜13＜4 ∴13－3＜1 ∴8313-＜81方法六：移动因式法（穿墙术）移动因式法的基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a db c与的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.例6：比较27与33的大小GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF解：∵27=722•=28，33=332•=27.又∵28＞27， ∴27＞33.方法七：取特值验证法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单.例7：当10 x 时，2x ，x ，x1的大小顺序是______________.解：（特殊值法）取x =21，则：2x =41，x1=2.∵41＜21＜2，∴2x ＜x ＜x1.例：设a ＝20，b ＝(－3)2，cd ＝112-⎛⎫⎪⎝⎭，则a 、b 、c 、d 按由小到大的顺序排列正确的是（）A.c ＜a ＜d ＜bB.b ＜d ＜a ＜cC.a ＜c ＜d ＜bD.b ＜c ＜a ＜d 分析可以分别求出a 、b 、c 、d 的具体值，从而可以比较大小. 解：∵a ＝20＝1，b ＝(－3)2＝9，cd ＝112-⎛⎫⎪⎝⎭＝2＜1＜2＜9，∴c ＜a ＜d ＜b .故应选A .除以上七种方法外，还有利用数轴上的点，右边的数总比左边的数大；以及绝对值比较法等比较实数大小的方法.对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题.能快速地取得令人满意的结果.精品文档如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！22721 58C1 壁< Q28079 6DAF 涯r37902 940E 鐎*[25846 64F6 擶35585 8B01 謁kiU27717 6C45 汅GAGGAGAGGAFFFFAFAF。

生物必修二第六章知识点

生物必修二第六章知识点生物必修二第六章主要讲述了遗传与进化的相关内容。

以下是该章节的主要知识点：1. 遗传与进化的基本概念：- 遗传是指物种内部代际之间基因的传递和变异，是生物多样性的基础。

- 进化是指物种在长时间内经过适应环境的选择而发生的基因组和表型的变化。

2. 遗传物质的基本单位：- DNA是遗传物质的基本单位，包含了决定生物性状和功能的遗传信息。

- DNA通过遗传密码来储存和传递遗传信息。

3. 遗传的基本规律：- 孟德尔的遗传规律：包括显性和隐性基因、基因的分离和重新组合等。

- 随性状的Mendel定律：分别是基因单子性、基因的自由组合和基因的均等互换。

4. 遗传变异的基本原因：- 突变是指遗传物质发生的突然、全面而持久的变异。

- 突变是进化的原始材料，通过自然选择和遗传漂变，可以进一步产生新的遗传变异。

5. 进化的基本原理：- 自然选择是指环境对个体适应性的选择，有助于那些具有更有利变异的个体在繁殖中占优势。

- 遗传漂变是指小种群中由于偶然因素而导致基因频率的变化，可以导致物种中的基因流失或丰富。

6. 进化的证据：- 化石记录：通过考察化石记录，可以了解到古生物的形态和结构特征。

- 比较解剖学：通过比较不同物种之间的解剖结构，可以揭示它们的进化关系。

- 胚胎发育：通过比较不同物种之间的胚胎发育过程，可以了解它们的进化关系。

- 分子生物学：通过比较不同物种之间的DNA序列和蛋白质结构，可以揭示它们的进化关系。

以上是生物必修二第六章的主要知识点，包括遗传与进化的基本概念、遗传物质的基本单位、遗传的基本规律、遗传变异的基本原因、进化的基本原理以及进化的证据。

人教版八年级地理第六章-知识点总结

第六章知识点总结北京1.北京位于华北平原的北部，背靠群（燕）山，有便利的交通，如：京哈线，京沪线，京九线，京广线，京包线2. 纬度位置：40°N （北纬），116°E （东经）海陆位置：与渤海的直线距离仅150km从西北出居庸关可进入内蒙古高原相对位置：西面是黄土高原能源基地和广袤的大西北南面是物产丰富的黄淮海平原（东南）东面出山海关可进入东北地区暖温带大陆性季风气候，冬夏长，春秋短自然条件：华北平原的北部；西部、北部高，东、南低，西、北、东北三面环山；潮白河，温榆河，永定河流经北京境内人民大会堂是全国人民代表大会常务委员会所在地中南海是党中央国务院所在地：政治中心北京有外国大使馆、国际组织代表机构城市职能：海外企业代表机构和外国新闻机构驻京记者站高等院校、科研机构集中文化中心众多体育馆各类博物馆，展览馆众多唯一团体集中国际交往中心/70万年前有人生活（北京人）3.北京悠久的历史 3000多年前——公元10世纪蓟城北方重镇金、元、明、清在此建都形成于元、明两代旧城格局呈棋盘状中轴对称，“凸”字形4. 长城、明清故宫、周口店猿人遗址、颐和园、天坛被列入世界遗产名录5. 北京古城城址的变迁与水源有密切关系，不管城区如何变迁，有一个宗旨是不变的，那就是始终要保证城市附近有丰富的水源；随着城市职能的丰富和城市人口的增加，水源的丰裕程度直接制约着城市的进一步发展，乃至城址的变迁。

《1.城市空间以旧城为中心，向四周扩展，建卫星城6.北京城市建设 2.北京在城市建设和发展中，注意保持旧城基本格局和原有风貌遵循的原则： 3. 加大基础设施建设4. 积极发展高新技术产业7.正确处理古城保护和现代化建设：完全拆除祖辈留下的四合院，修建楼房，或完全保留古建筑，都是不可取的，是片面的；当然有代表性的、珍贵的古建筑群应保留并修缮，将现有的四合院加以改造，保留其古朴的外表，增添一些现代化的功能，这种想法还是比较合理的》北京香港8.祖国内地是香港最大的转口贸易伙伴9.“上天”、“下海”是香港扩展城市建设用地的两种重要方式…10.香港城市建设中仍保留有大片绿地，体现了香港在人多地狭的条件下，注重环境保护的可持续发展战略，做到了人地关系的协调发展11.香港的主要地形：低山、丘陵香港的新界连接大陆的广东省12.香港的美誉：“东方之珠”、“购物天堂”澳门的美誉：“海上花园”13 港、澳的香港：珠江口东侧，与深圳经济特区相邻祖国东南方向地理位置澳门：珠江口西侧，与珠海经济特区相邻广东省香港：1.香港岛，2.新界，3.九龙（半岛），多个岛屿$组成部分澳门：1.澳门半岛，2.氹仔岛，3.路环岛祖国内地：社会主义制度“一国两制”政策港澳地区：资本主义制度141.国际贸易中心香港的产业 2.运输中心构成 3.金融中心4.信息服务中心5.旅游中心澳门的支柱产业——博彩旅游业自然资源祖国内地|经济联系劳动力资源经济合作资金优势互补香港技术互惠互利人才管理经验台湾15 组成部分：台湾岛，澎湖列岛，钓鱼岛等诸多小岛东：太平洋~地理位置西：台湾海峡—福建南：南海北：东海资源：森林，矿产，水产气候：热带.亚热带季风气候农产品：水稻，稻米，甘蔗，茶叶，水果特产：树种：樟树。

七年级下册数学第6章知识点归纳

七年级下册数学第6章知识点归纳七年级下册数学第6章通常是围绕几何图形的性质和计算进行教学的。

以下是该章节的知识点归纳，为了便于理解和应用，每个知识点后都附有简要的说明和例题。

# 第6章几何图形的性质1. 平行线的性质- 知识点：两条平行线之间的距离处处相等。

- 例题：如图，ABCD为矩形，BE垂直于AD，求证：BE = CD。

2. 三角形的内角和- 知识点：三角形的内角和为180度。

- 例题：如图，△ABC中，∠A + ∠B + ∠C = ?3. 三角形的外角性质- 知识点：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角之和。

- 例题：如图，△ABC中，点D在边BC的延长线上，且∠ADC = 110°，求∠BAC。

4. 四边形的内角和- 知识点：四边形的内角和为360度。

- 例题：如图，四边形ABCD中，∠A + ∠B + ∠C + ∠D = ?5. 圆的基本性质- 知识点：圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离称为半径。

- 例题：如图，O为圆心，A、B、C在圆上，求证：OA = OB = OC。

6. 圆周角定理- 知识点：同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，且等于该弧所对的圆心角的一半。

- 例题：如图，圆O中，弧AB = 弧CD，求证：∠AOB = ∠COD。

7. 切线的性质- 知识点：圆的切线垂直于过切点的半径。

- 例题：如图，线段AB是圆O的切线，切点为T，求证：AT⊥BT。

8. 相似三角形的性质- 知识点：对应角相等且对应边成比例的三角形是相似三角形。

- 例题：如图，△ABC与△DEF相似，若AB/DE = 2/3，BC/EF = 4/3，求AC/DF的比值。

9. 勾股定理- 知识点：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

- 例题：如图，直角三角形ABC中，AB² + BC² = AC²。

10. 面积的计算- 知识点：矩形面积 = 长× 宽；三角形面积= 1/2 × 底× 高；圆的面积= π × 半径²。

第6章实数知识点及典型例题

第6章实数(一) 平方根1、平方根的含义：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根。

即a x =2，(0x a =解得：≥），x 叫做a 的平方根。

正数a 的平方根用a ±表示，其中a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根，也称为算术平方根的相反数。

注意点：（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数：记作a ±（根指数２省略）０有一个平方根，为０，记作0=，负数没有平方根。

0=，负数没有算术平方根。

（2）平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。

2222222223111211214413169141961522516256172891832419361=========（）熟记：，，，，，，，，（4a ≥0)a ≥0)表示非负数a 的算术平方根。

二次根式的要求：①根指数为2 ②被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是非负数。

（5）二次根式中字母的取值范围：二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0。

二次根式无意义的条件：被开方数小于0，二次根式做分母时: 被开方数大于0. 例1：求下列各数的平方根：（1）81（2）1625（3）214（4）0.49例2：下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要说明理由。

（1）－64（2）0（3）()-142（4）102-例3：求下列各数的算术平方根：（1）25（2）4964（3）0.81（4）81例4：求下列各式的值：（1）144（2）-36121（3）±00001.（4）214116+ 例5：（1）已知正方形的边长为5cm ，求这个正方形的面积；（2）已知正方形的面积是25cm 2，求这个正方形的边长。

例6：判断下列语句是否正确，正确的打“√”，错误的画“×”，并将错误改正。

（1）7是()-72的算术平方根；（）（2）-25的平方根是±5；（）（3）36等于±6；（）（4）16的平方根是±2；（）（5）6是()-62的平方根；（）（6）10是10的一个平方根；（）（7）正数的平方比它的算术平方根大。

7年级-上册-数学-第6章《图形的初步知识》-知识点

浙教版-7年级-上册-数学-第6章《图形的初步知识》分节知识点一、几何图形要点一、几何图形1、定义：对于各种物体，如果不不考虑它们的颜色、材料和质量等，而只关注它们的形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和它们之间的位置关系（如垂直、平行、相交等），就得到几何图形要点诠释：（1）几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.2、分类：几何图形包括立体图形（几何体）和平面图形（1）立体图形：几何图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，也叫几何体。

如长方体，圆柱，圆锥，球等.（2）平面图形：几何图形的各部分都在同一平面内，这样的图形就是平面图形．如线段、角、三角形、圆等.要点诠释：（2）常见的立体图形有两种分类方法：（2）常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、图形间的联系（1）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面与面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线与线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体是几何图形的基本要素.此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.二、线段、射线、直线要点一、线段、射线、直线的概念及表示1、概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．要点诠释：（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.（4）线段、射线、直线都没有粗细．2、表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.要点诠释：（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取的是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．图4图5（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．3、线段、射线、直线的区别与联系线段射线直线图示表示方法线段AB 或线段a 射线OA 或射线a 直线AB 或直线a 端点两个一个无长度可度量不可度量不可度量延伸性不向两方延伸向一方无限延伸向两方无限延伸要点二、基本事实1、直线：过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．要点诠释：（1）点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l 经过点O；②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P.（2）两条不同直线相交：当两条不同的直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.2、线段：两点之间的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图7所示，在A，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．要点诠释：（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.要点三、比较线段的长短1、尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．图72、线段的中点：如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点．要点诠释：（1）若点B是线段AC的中点，则点B一定在线段AC上且，或AC＝2AB＝2BC．（2）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等．3、用尺规作线段或比较线段（1）作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.（2）线段的比较：叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：（1）线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法．三、角要点一、角的概念及表示1、角的定义：（1）定义一：由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1图2（2）定义二：如图2所示，把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫做角．射线原来所在的位置OA叫做角的始边，旋转后的位置OB叫做角的终边，角的始边和终边统称为角的边．从始边旋转到终边所扫过的区域叫做角的内部．要点诠释：（1）角的大小与角的两边的长短无关，而由角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转的量的大小决定．（2）平角与周角：当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫做平角，如下图1所示．当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫做周角，如下图2所示．2、角的表示（1）角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：（1）在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或字母．要点二、角的比较与运算1、角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．（1）用量角器量角或画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．2、角的大小比较（1）角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．（2）如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3、角的和与差（1）如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4、角平分线（1）以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB。

高中数学选修二第6章：计数原理-知识点

1高中数学选修二第6章计数原理-知识点1、乘法原理：做一件事，需要依次完成 n 个步骤，每一步依次有a 1，a 2，a 3，...，a n 种不同的方法，那么完成这件事共有 a 1a 2a 3...a n 种不同的方法。

不同步骤之间是有先后顺序但互不影响的。

2、加法原理：做一件事，完成它一共有 n 类办法，每一类办法分别有a 1，a 2，a 3，...，a n 种不同的方法，那么完成这件事共有 a 1+a 2+a 3+...+a n 种不同的方法。

不同类的办法之间不能有重复，也不能遗漏。

3、排列：从n 个互不相同的元素中，取出m （m ≤n ）个不同元素按照一定顺序排成一列，用mn P 表示。

m n P = n(n-1)(n-2)...(n-m+1) ；m n P = ！ )m n (!n - 。

4、排列数的性质：①m n P = n 1-m 1-n P ；②m n P +m 1-m n P = m 1n +P ；③0n P = 0! = 1 ；n n P = n! 。

5、求解排列问题的常用方法：① 直接法，把符合条件的排列数直接列式计算。

② 优先法，即优先安排特殊元素或特殊位置。

③ 捆绑法，相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看成一个整体，与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列。

④ 插空法，不相邻问题插空处理，即优先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素的排列空中。

⑤ 除法，对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列。

⑥ 间接法，正难则反，等价转化的方法。

6、求解排列问题：现有8个人（5男3女）站成一排。

（1）甲必须站在排头有77P 种排法( 直接法 )；（2）甲、乙两人不能排在两端有26P 66P 种排法( 优先法 )；（3）女生必须排在一起有 33P 66P 种排法( 捆绑法 )；（4）女生两旁必须有男生有 55P 34P 种排法( 插空法 )；（5）甲在乙的左边有 2188P 种排法( 除法 )。