人教版高中数学选修2第1讲：命题与充要条件(学生版)

人教版高中数学命题与充要条件

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１理解四种命题及其相互关系，会判断四种命题的真假。

２理解简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，能用“或”“且”“非”表述相关的数学

内容。

３会用“全称量词与存在量词”对命题进行否定。

４理解充分条件、必要条件、充要条件等概念。

５能够判断给定的两个命题的充要关系，充分条件与必要条件的判断。

1．命题

能判断真假的语句叫做命题．

四种命题表述形式

原命题：

逆命题：

否命题：

逆否命题：

2．全称量词与全称命题

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词．

(2)全称命题：含有全称量词的命题．

(3)全称命题的符号表示

形如“对M中所有x，p(x)”的命题，可用符号简记为“x∈M，p(x)”．

3．存在量词与存在性命题

(1)存在量词：短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部

分，逻辑中通常叫做存在量词。

(2)存在性命题：含有全称量词的命题．

(3)存在性命题的符号表示

形如“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，用符号简记为x∈M，q(x)。

4．基本逻辑联结词

常用的基本逻辑联结词有“且”、“或”、“非”．

5．命题p∧q，p∨q，非p的真假判断

p q p∧q p∨q 非p

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

6．含有一个量词的命题的否定

命题命题的否定

x∈M，p(x) x∈M，非p(x)

x∈M，p(x) x∈M，非p(x)

7．充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若p，则q”形式的命题为真时，记作p q，称p是q的_________，q是p的_________．

(2)如果既有p q，又有q p，记作p q，则p是q的_________，q也是p的_________．

p是q的充要条件又常说成q当且仅当p，或p与q等价．

8．命题的四种形式及真假关系

互为逆否的两个命题等价(同真或同假)；互逆或互否的两个命题不等价．

【特别提醒】等价命题和等价转化

(1)逆命题与否命题互为逆否命题；

(2)互为逆否命题的两个命题同真假；

(3)当判断原命题的真假比较困难时，可以转化为判断它的逆否命题的真假．

类型一命题的四种形式及其关系

例1：已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是( )

A．否命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m>1”是真命题

B．逆命题“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m>1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题

练习1：给出命题“已知a、b、c、d是实数,若a=b,c=d,则a+c=b+d”,对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言,真命题有（）

A.0个

B.2个

C.3个

D.4个

练习2：命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

类型二含有逻辑联结词命题真假的判断

例2：设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π

2

；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x

＝π

2

对称．则下列判断正确的是( )

A.p为真

B.非q为假

C.p∧q为假

D.p∨q为真

练习１【2015高考新课标1，理】：设命题p：2

,2n

n N n，则p为( )

A.2

,2n

n N n B.2

,2n

n N n

C.

2

,2

n

n N n

D.

2,=2

n

n N n 练习2：已知命题p 1

：函数y ＝2x

－2

－x

在R 上为增函数；p 2

：函数y ＝2x

＋2

－x

在R 上为减函数，

则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(非p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(非p 2)中，真命题是(

)

A ．q 1，q 3

B ．q 2，q 3

C ．q 1，q 4

D ．q 2，q 4

例3：判断下列命题的真假．(1)x ∈R ，x 2

－x ＋1>1

2

；

(2)α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β；

(3)x ，y ∈N ，x －y ∈N ；(4)

x 0，y 0∈Z ，2x 0＋y 0＝3.

练习3：写出下列命题的否定形式，并判断其真假．(1)p ：

x ∈R ，x 2

－x ＋1

4

≥0；

(2)s ：至少存在一个实数x ，使x 3

＋1＝0.

类型三充要条件的判断

例4设集合m ＝{x |x >2}，p ＝{x |x <3}，那么“x ∈m 或x ∈p ”是x ∈p ∩m 的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件