切点三角形
切点三角形的性质探究
切点三角形的性质探究在三角形中，内切圆与三角形的三条边都有且仅有一个交点，我们称这个交点为切点。
由于内切圆具有许多有用的性质，切点三角形成为了一种非常有趣的研究对象。
在本文中，我们将探究切点三角形的几个性质，并且介绍它在实际应用中的一些应用范围。
性质一：切点三角形是等腰三角形在三角形ABC中，内切圆与三角形的三条边分别相切于点P、Q、R。
连接这些切点，我们可以得到一个新的三角形DEF，这个三角形就是切点三角形。
我们可以证明，切点三角形是等腰三角形。
证明：连接内切圆心O和三角形的顶点A，我们可以得到两个相似三角形。
由于内切圆切分了三角形ABC，因此我们可以得到：AD = AE = s - a同理，我们可以得到：BD = BF = s - bCE = CF = s - c因此，我们可以证明切点三角形DEF是等腰三角形。
实例1：考虑一个边长分别为3、4、5的三角形，我们可以计算出内切圆心到三边的距离分别为1、2和2。
连接这些切点，我们可以得到一个等腰三角形，它的底边长为2，而两条腰的长度分别为sqrt(2)和1。
性质二：切点三角形的面积是三角形ABC面积的一半。
证明：连接内切圆心O和三角形的三个顶点，我们可以得到三个三角形。
由于内切圆是三角形ABC的内切圆，因此这三个三角形的面积之和等于三角形ABC的面积。
而我们知道，这三个三角形可以组成一个三角形，这个三角形就是切点三角形DEF。
因此，切点三角形的面积就是三角形ABC面积的一半。
实例2：考虑一个边长分别为3、4、5的三角形，它的面积为6。
根据前面的计算，我们可以得到切点三角形的底边长为2，因此切点三角形的面积为1。
而1正好是6的一半，证明了这个性质的正确性。
性质三：切点三角形的高等于三角形ABC半周长与内切圆半径的比切点三角形的第三个性质是，它的高等于三角形ABC半周长与内切圆半径的比。
证明：连接内切圆心O和切点三角形DEF的重心G，我们可以得到两个相似三角形。
切点三角形的几个性质
P ' 、 R ' 、 r ' ,则 ' = r ; (1) 2R
p ' ≤1 p ; (2) 2
r ' ≤1 r ; (3) 2
A
E F
I 12
B
D
C
a12 + b12 + c12 ≤1 ; (4) a 2 + b2 + c2 4
当且仅当△ ABC 为正三角形时(2)、(3)、
(4)取等号. 证明 (1)如上图,连结 ID 、IE 、IF ,易知
同理 ∠E = π B , ∠F = π C (为叙述方
2
2
便这里用 ∠D 、 ∠E 、 ∠F 分别表示 ∠EDF 、 ∠DEF 、 ∠EFD ).
∵ A、 E 、 I 、 F 四点共圆, ∴ ∠EIF = π A,
在△ EIF 中由余弦定理,得
EF 2 = IE2 + IF 2 2IE IF cos ∠EIF
2
2
2
= 8r 2
2r 3 +
,
R
注意到 a2 + b2 + c2 = 2( p2 4Rr r 2) ,
欲证(4)式成立,只须证 8r 2 + 2r 3 ≤1 ( p 2 4Rr r 2 )
R2 Rp 2 4R2r 17 R2r 4r 3 ≥0
R( p2 16 Rr + 5r 2 ) +
2r (R 2r )(6R + 2r ) ≥0 ,
ID = IE = IF = r = R' , 由 Euler 不 等 式 :
R ≥2r 立得 R ' ≤1 R . 2
∵ I 切边 BC 、 CA、 AB 于点 D 、 E 、
＂切点三角形＂在解题中的应用
Ｂ Ｃ的垂 线分 别 交 Ｂ 的 延 长 线 于 Ｇ 交 Ａ Ａ ， Ｃ的 延 长 线 于
Ｐ Ｂ＝
一 ３连 ０Ａ， 图中易得 ４＝ ， 在
揠
２ ～
＿ ＿
简证
；４ 求 Ａ 的 值 （） Ｂ
过 Ａ作 内公 切
。 ＋ 。＋ 。＋ 。． 。＋ 。．
．
． ．
。＋
。 ．
。 ＋
；
＋
。＋
；
＋
，＋
。 ＋
。．
。＋
Ｃ Ｅ 是 Ａ 延 长 线 上 一 ． Ｐ
．＋ 。＋ 。． ．
线Ａ Ｔ交 Ｂ Ｃ于 ，． ． ’ ００． 。 ： 连
（ １）‘ ． 。
警～
。 ’
又由 线定 切割 理得Ａ＾ Ａ ・Ｄ＝ （＋ｏ ＝５ ＝ Ｐ Ａ ４４ ｊ ） ２，
’
…
。
。
’
。’
。
。
。
。
５ 在 Ｒ △Ａ 口中 ， Ｂ＝ ， ｔ Ｐ 一 ＝
．
．＋
。＋
。＋
．
◆ 致掌大世界 。。 。 ． ． ◆ ． ．
上
◇ 数掌大世界 ． ０。 ０
．。 。 ＋ ＋ ＋ ： 。 ＋＋＋ ； 。； ＋
， Ａ， 切 点 ｃ 在
Ｄ
Ｃ ＝ Ｔ ＡＢ．
且 满 足 ＝ ，Ｅ Ａ
Ｏ０ ，于 Ｄ．
ＡＢ Ｃ中 ，＿ Ａ Ａ ／Ｂ Ｃ：Ｒ ｔ Ａ．
Ｐ ＡＣ ＋ ／ Ｔ ＡＣ ：
ＨＢ ＋ Ｔ ＡＣ ＝ ９ ０。．‘ ． ．
线 ． Ｄ Ｃ Ａ，． ｔ 口 Ｒ ＡＢ Ｆ， ‘ ＬＢ Ａ＝ ． Ｂ ． Ｒ △Ｄ Ｃ ， ｔ Ｃ 、
切点三角形问题探讨
切点三角形问题探讨近年来，全国各地中考题有许多都与切点三角形有关。
两圆相外切，切点与一条外公切线和两圆的公共点构成的三角形称为“切点三角形”。
如图1所示，圆O 1和圆O 2外切于点A ，它们的半径分别为r 、R ，BC 是圆O 1和圆O 2的公切线，B 、C 为切点，则△ABC 为切点三角形（见人教版《几何》第三册P 129页例4）。
切点三角形具有以下重要性质：（1）△ABC 为直角三角形，且∠=BAC 90°；（2）若BE 、CD 分别为圆O 1和圆O 2的直径，则E 、A 、C 三点共线，B 、A 、D 三点共线；（3）BC Rr 24=（即切点三角形的斜边是两圆直径的比例中项）；（4）AB AC r R 22：：=；（5）内公切线AO 平分外公切线BC 长；（6）∠=∠∠=∠CAO ABC BAO ACB 21，（即两直角边与两圆连心线所夹锐角等于该直角边的对角）。
证明过程请同学们自己完成。
利用切点三角形的性质，可以简捷地处理有关问题。
下面举例予以说明。
图1例1. 图1的条件不变，延长CA ，交圆O 1于D ，如图2所示，若AC ：AD=3：1，求∠AC B 的度数。
图2分析：因为△ABC 为切点三角形，由性质（1）可知，∠=BAC 90°， 所以∠=BAD 90°，则BD 为圆O 1的直径，易证∆∆DBA BCA ~，得AB AC 2=·AD AC =132。
故AB AC =33。
故tan ∠==ACB AB AC 33。
又∠ACB 为锐角，故∠ACB=30°。
例2. 如图3所示，矩形ABCD 中，BC=25，直径为8的圆O 分别与AB 、AD 相切于点E 、F ，圆O’与圆O 相切于点P ，圆O’分别与BC 、CD 、DA 相切于点G 、H 、K ，求矩形ABCD 的宽AB 的长。
图3证明：连结OF 、PF 、PK 、O’K 。
显然△PFK 为切点三角形，由性质（3）知，FK 为圆O 与圆O’的直径的比例中项。
抛物线中“切点三角形”性质的探究及应用
２０２３年１１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀抛物线中 切点三角形 性质的探究及应用◉安徽省铜陵市义安区教育体育局教研室㊀陶㊀俊㊀㊀摘要:过抛物线外一点作抛物线的两条切线,这两条切线与过两切点的直线围成的三角形有哪些性质,本文中对这一问题作了深入的研究,并给出了简洁的结论．关键词:抛物线;切点三角形;性质;探究应用１抛物线切点三角形 及其性质图１过抛物线外一点P (x ０,y ０)作抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 的两条切线P A ,P B ,A ,B 为切点(如图１),M 为A B 的中点,连P M 交抛物线于点N ,称әP A B 为 切点三角形 ,它具有如下性质:性质１㊀ 切点三角形 的一条中线平行抛物线的对称轴l ,即P M ʊl ．性质２㊀ 切点三角形 的一条中线被抛物线平分,即P N ＝MN ．性质３㊀ 切点三角形 的面积表达式为S ＝２[f (x ０)－y ０]３a ．这里f (x ０)是当x ＝x ０时抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c (a ʂ０)的值f (x ０)＝a x ０２＋b x ０＋c ．图２对于图２的两种情况,只要点P 在抛物线外侧,f (x ０)－y ０a总有意义．２抛物线切点三角形 性质的证明设其切线方程为y －y ０＝k (x －x ０),与抛物线方程联立,整理得到a x ２＋(b －k )x ＋c ＋k x o －y ０＝０．由P A ,P B 与抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c 相切,得Δ＝０,即(b －k )２－４a (k x ０－y ０＋c )＝０,亦即k ２－(２b ＋４a x ０)k ＋b ２＋４a y ０－４a c ＝０,则k ＝２b ＋４a x ０ʃ(２b ＋４a x ０)２－４(b ２＋４a y ０－４a c )２＝b ＋２a x ０ʃ２a (a x ２０＋b x ０＋c －y ０)＝f ᶄ(x ０)ʃ２a [f (x ０)－y ０]．令δ＝a (f (x ０)－y ０),则k ＝f ᶄ(x ０)ʃ２δ,此时x １,２＝k －b ２a ＝b ＋２a x ０ʃ２δ－b ２a ＝a x ０ʃδa．不妨令x ２＞x １,A (x １,y １),B (x ２,y ２),则x ２＝a x ０＋δa ,x １＝a x ０－δa ,所以x ２－x １＝２δa ．由点B (x ２,y ２)在直线y －y ０＝k (x －x ０)上,可得y ２＝[fᶄ(x ０)＋２δ] δa＋y ０．同理,y １＝[f ᶄ(x ０)－２δ](－δa)＋y ０．所以y ２－y １＝２fᶄ(x ０) δa ＝２f ᶄ(x ０)aδ．所以,直线A B 的两点式方程为y －y １y ２－y １＝x －x １x ２－x １,也就是y ＋[f ᶄ(x ０)－２δ]δa －y ０２fᶄ(x ０)δa ＝x －a x ０－δa２δa,即a (y －y ０)＋(f ᶄ(x ０)－２δ)δfᶄ(x ０)＝a x －a x ０＋δ．整理,得y ＋y ０＝２a x ０x ＋b x ＋b x ０＋２c ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c ．所以直线A B 的方程为y ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０－y ０＋２c ．又点A ,B 在抛物线上,联立方程消去y ,得a x ２＋b x ＋c ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c －y ０．即a x ２－２a x ０x －b x ０－c ＋y ０＝０,则有Δ＝２af (x ０)－y ０a ,得x ＝１２a (２a x ０ʃ２a f (x ０)－y ０a)＝３５学习指导２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀x ０ʃf (x ０)－y ０a ,则x ２＝x ０＋f (x ０)－y ０a,x １＝x ０－f (x ０)－y ０a．将x ２,x １分别代入y ＝f ᶄ(x ０)x ＋b x ０＋２c －y ０中,可得y ２＝２f (x ０)－y ０＋f ᶄ(x ０) f (x ０)－y ０a ,y １＝２f (x ０)－y ０－f ᶄ(x ０) f (x ０)－y ０a,所以B (x ０＋f (x ０)－y ０a,２f (x ０)－y ０＋fᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a),A (x ０－f (x ０)－y ０a,２f (x ０)－y ０－f ᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a)．故A B 的中点坐标为M (x ０,２f (x ０)－y ０),又P 的坐标为(x ０,y ０),则P M ʊl ．性质１得证．又可得x ２－x １＝２fᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a,由两点间的距离公式可以得到A B ２＝２f (x ０)－y ０a éëêêùûúú２＋２f ᶄ(x ０)f (x ０)－y ０a éëêêùûúú２＝４ˑf (x ０)－y ０a [１＋f ᶄ(x ０)]２．所以|A B |＝２f (x ０)－y ０a[１＋f ᶄ(x ０)２]．而P A ２＋P B ２＝[(x １－x ０)２＋(y １－y ０)２]＋[(x ２－x ０)２＋(y ２－y ０)２]＝２f (x ０)－y ０a＋２[２(f (x ０)－y ０)]２＋２[f ᶄ(x ０)]２f (x ０)－y ０a＝８(f (x ０)－y ０)２＋２[(f ᶄ(x ０))２＋１]f (x ０)－y ０a．这里,P N ２＝(f (x ０)－y ０)２,A B ２＝４[(fᶄ(x ０))２＋１]f (x ０)－y ０a．所以,有㊀㊀㊀P A ２＋P B ２＝８P N ２＋１２A B ２．①由平面几何可知,在әP A B 中,P M 是A B 边上的中线,根据三角形中线定理,可得㊀㊀㊀P A ２＋P B ２＝１２A B ２＋２P M ２．②由①②式,可得４P N ２＝P M ２,即２|P N |＝|P M |．所以N 是P M 的中点,P N ＝MN ．性质２得证．由于x ２－x １＝２δa ＝２a (f (x ０)－y ０)a＝２f (x ０)－y ０a,因此可得S ＝１２|P M | (x ２－x １)＝|P N | (x ２－x １)＝|y ０－f (x ０)| ２f (x ０)－y ０a＝２(f (x ０)－y ０)３a．性质３得证．３抛物线切点三角形 性质的应用例１㊀已知抛物线y ＝－１３x ２＋２x ＋４３,过点P (４,７)可否作抛物线的切线?如果可以,切点为A 和B ,求әP A B 的面积S ．解析:当x ０＝４时,f (x ０)＝f (４)＝－１３ˑ４２＋２ˑ４＋４３＝４＜７,即f (x ０)＜y ０．又a ＝－１３＜０,f (x ０)－y ０a＞０,故点P 在抛物线的外侧．因此过点P 可以作抛物线的两条切线,A ,B 分别为切点．当x ０＝４时,根据抛物线切点三角形的面积公式可得S ＝２[f (x ０)－y ０]３a＝２(４－７)３－１３＝１８．所以әP A B 的面积为１８．图３例２㊀如图３,从抛物线上A (１,３),B (３,－１)两点分别作抛物线的切线交于点P ,若әA B P的面积为１０,求抛物线的解析式．解析:取A B 中点M 并连接P M 交抛物线于点N ,由切点三角形性质１,可知P M 平行于y轴,N 为P M 的中点．由A (１,３),B (３,－１),得M (２,１)．由әA B P 的面积为１０,得S әA B P ＝１２M P (x B －x A ),则１２M P (３－１)＝１０,可得M P ＝１０．所以P (２,－９),N (２,－４)．又抛物线过A ,N ,B 三点,设抛物线解析式为y ＝a x ２＋b x ＋c ,则a ＋b ＋c ＝３,９a ＋３b ＋c ＝－１,４a ＋２b ＋c ＝－４,{解得a ＝５,b ＝－２２,c ＝２０．{因此抛物线的解析式为y ＝５x ２－２２x ＋２０．对于例１用常规方法,可以先计算两切点A ,B 的坐标,再利用三点坐标求三角形P A B 的面积．这显然大费周折,用上面的方法要简便很多．对于例２也许用普通的方法就不好应对了,而用抛物线切点三角形的性质１则可迎刃而解,似乎 山重水复疑无路,柳暗花明又一村 ．Z４５。
切点三角形的性质
中。擞－ （１年 ４ 初中 ） ？ ？ ２０ 第 期・ 版 ０
・ 短论荟萃 ・
切 点 三 角 形 的 性 质
６ ３０ 云 南省广 南一 中 ６ ３０
最 近笔者对外切两圆作 了一点研究 ， 得到 了切 点三 角形的几个优美结论． 现论述如下 ， 供读者参考． 定义 由两 圆外 切 的公 共 切点和外 公切线 的两 切 点组成的三角形 叫做切点三角形．
Ｐ
ｒ ｔ＋
ｍ ，
又在 ＆Ａ 。 Ｏ Ｐ中， 由余弦定理得
ｃ ＝ ｏ 嘉 ＝ ， ｓ （ 一
．
．
：
Ｚ
：４丁 ３
：
８， ：２ｑ ｈ
：
８ ， ：４． ，
口
Ａ ２ ４ｍ 尸 ：— ｎ
—
２
．
（ 收稿 日期 ：０ ９ １２ ２０ １２ ）
．
船＋ ＝ ＋ 号 ２ ｃ：∥＋Ｂ， （ ） ｃ② Ｐ ＋ ＝ ＋ ： ＋ Ｄ ２ ÷ ③ （
定理 设 ｏＤ 和 ｏＤ 外 切 于 一 点 Ｐ， 们 的 半 径 。 ： 它
玉宏 图
由切点三角形 的性质知 ／ Ｐ ９ 。 Ａ Ｂ＝ ０ ． Ｓ ＝（ ｐ ・ ｓ ２ １ １ Ａ Ｐ）
・
．
．
＝
・
・
，
２ｍ ｎ２ ２
． 一
‘ 。 ｕ △ ｛ 一 丹
ｍ ＋ ｎ ‘
分别为 ｍ， ， ｎ 直线 ￡与 ｏ０ 和ｏ０ 分 别相切 于 Ａ， Ｂ两 点（ 通常将三角形 叫做 切点三 角形 ） ／Ｐ Ｂ的面 积为 ，Ｘ Ａ Ｓ 则 ，
３ ３
（ ） １ 的证 明 和勾 股 定 理 知 ２ 由（ ）
： ＝
三角形的内切圆与面积的关系
三角形的内切圆与面积的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，在我们的日常生活和学习中都有广泛的应用。
而内切圆作为三角形的特殊圆，与三角形的面积间存在着紧密的联系。
本文将探究三角形的内切圆与面积之间的关系。
一、三角形内切圆的定义和性质在讨论内切圆与三角形面积关系之前，我们先来了解一下三角形内切圆的定义和性质。
三角形的内切圆是指与三角形三条边都相切，且位于三角形内部的圆。
内切圆的圆心称为三角形的内切圆心，通常用字母O表示；内切圆的半径称为三角形的内切圆半径，通常用字母r表示。
根据内切圆的性质，我们可以得出以下结论：1. 内切圆的圆心与三角形的三个顶点连线的垂直平分线交于一点，且该点即为内切圆的圆心O。
这是内切圆定义的一部分，也是内切圆与三角形连接的关键性质。
2. 三角形的三条边均与内切圆相切，切点分别称为三角形的内切圆切点。
这是内切圆与三角形共有的性质，也是内切圆的中心定位于三角形内部的证据。
3. 内切圆与三角形的三条边的切点构成的线段相互垂直，且交于一点。
这是内切圆与三角形共有的性质，也是确保内切圆的圆心O位于三角形内部的证明。
以上是内切圆的一些定义和性质，它们为我们研究内切圆与三角形面积关系提供了基础。
二、三角形的面积在探讨内切圆与三角形面积关系之前，我们先来回顾一下三角形的面积计算方法。
三角形的面积可以通过海伦-秦九韶公式、三角形的高度、底边以及底边上的长度等不同公式进行计算。
其中，海伦-秦九韶公式是最常用的计算三角形面积的方法。
这里我们以海伦-秦九韶公式为例进行说明。
对于已知三角形的三边长a、b、c的情况，三角形的面积可以通过下式计算：S = √[ p*(p-a)*(p-b)*(p-c) ]其中，p = (a+b+c)/2是三角形的半周长。
三、三角形内切圆与面积的关系我们将探究三角形内切圆与三角形面积之间的关系。
在此之前，我们先来看一个简单的例子。
例子：假设有一个等边三角形ABC，边长为a。
三角形的六心及应用
三角形的六心及应用三角形的六心指的是以三角形的三个顶点为中心，分别作三条高线，三条中线，三条角平分线，所形成的交点。
这六个交点分别称为三角形的重心、垂心、外心、内心、费马点和射线心。
1. 重心是指三条高线的交点，记作G。
重心是三角形的质心，也是三角形内接圆的圆心。
重心平分各条高线的距离，即GA：GB：GC = 1：1：1。
重心的几何意义是使重心到三角形的三个顶点的距离之和最小。
2. 垂心是指三条高线的延长线的交点，记作H。
垂心的几何意义是垂直于三角形的三条边。
垂心到三个顶点的距离之和最小，即HA + HB + HC 最小。
垂心也是三个顶点关于相应边的对称点，即AH = 2HD。
3. 外心是指三角形外接圆的圆心，记作O。
外接圆通过三个顶点，在三角形外接圆上的任意一点到三个顶点的距离相等。
外心的几何意义是使外心到三个顶点的距离最小。
外心和内心的连线与三边相交于三个点，这三个点相互垂直。
4. 内心是指三角形内切圆的圆心，记作I。
内切圆触及三角形的三条边，且三条边的切点与内心共线。
内心的几何意义是使内心到三角形的三个边的距离之和最小。
内心和垂心的连线与三边的中垂线相交于三个点，这三个点共线。
5. 费马点是指使三个顶点与该点的距离之和最小的点，记作F。
三角形内任意一点到三个顶点的距离之和不小于费马点到三个顶点的距离之和。
如果三角形的内角都小于120，则费马点就是三角形内角的平分线的交点。
6. 射线心是指三角形的三个顶点通过各自的对边的中点所得的中点连线的交点，记作S。
射线心的几何意义是三角形的三个顶点通过各自对边的中点所得的中点连线的中线。
三角形的六心在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用：1. 几何问题求解：利用六心的概念，可以求解一些与三角形相关的几何问题。
比如，可以利用重心求解三角形内切圆的圆心坐标；利用垂心求解三角形外心的半径和圆心坐标；利用外心求解三角形内心到各边的距离；利用费马点求解最短路径等。
探究“切点三角形”的应用
（ 如何 表示 斜边 的 比呢？ 引导学生 利用 比例 的性质 以及 勾股 定理 ） 设
・
：
： ｋ
．ＡＢ ｋ － ＡＣ ｋ ・ ： ￣＇ ． ｆ ：
线，、 Ｂ ｃ为切点 ， Ｏ０ 和０Ｏ 的半径分别为 Ｒ和 ｒ则 ： 若 。 ， 外公切线
略
・
‘Ｆ Ａ ｆＢ ．面 ＝Ｃ Ｃ ｆ Ｄ Ｅ ・Ａ Ｄ ．Ｄ
百 ：Ｂ Ａ Ｄ Ｄ
Ｂ ＝ ／ 、 ：／ Ｃ 、 ：／ 、瓦
分析 ： 由于ＡＡ Ｃ 切点 三角形 ， Ｂ 是 故引导学生构造直 角梯 形去 探究 ， 图。 如
证 明： 连接 ０。 ０Ｃ， ０ ， Ａ作 ＡＤ上Ｂ Ｂ， ２ ０。２过 Ｃ于 Ｄ。 △ＡＢ Ｃ是切点三角形
‘ ． ． ・ ・ ．
略证：。Ｆ ＯＥ ． Ａ ＝ Ａ 。 ｆ ￣ ・ Ｆ 丽 ． Ａ ． ｏ
・ ．
・
．
ｄｒ －
． 酉
＝
击
Ｚ Ｄ．Ｂ Ｃ ． ＝ １ ‘ Ｃ Ｅ ・ 詈 ． Ａ Ｂ ． △
Ｂ ＝ＢＤ・ Ｃ ＥＣ ．ＢＣ２ Ｒ・ ｒ ‘ ． ＝２ ２
一 一＋ ・＝ ． ＋＝ 』 ．一｝ — 十一 斋＝一 ‘ 一 ・ ｝手 Ｒ 手— ． ■丁 ｒ． 蟊 丁
．
‘
．
．
分析 ２ 由于 ＡＡ Ｃ是切点三角形 ， 引导学生 构造平行线 去 ： Ｂ 故 探究 ， 如图 乙。
。 ．
．
Ｂ Ｃ的长是 ２ Ｒ和 ２ ｒ的比例 中项
请 同学们记住两圆外切时 ， 公切 线长公式 ： Ｃ＝ Ｘ － － 外 Ｂ ２／ 。 ￣ 探究 ２ ＱＯｔ ： 和００ 外切 于点 Ａ， Ｃ是 ＯＯ 和００ 的外公切 Ｂ ： 线 ， 、 切点 ，若００ 和 （Ｏ 的半径分别为 Ｒ和 ｒ Ｂ Ｃ为 Ｄ ，则 ： ＢＡ ： Ａ ：Ｃ
切点三角形
切点三角形如图：⊙O 1与⊙为O 2外切于点A ，BC 是两圆的外公切线，B 、C 为切点，则AB ⊥AC 。
即△ABC 为直角三角形。
这里的△ABC 称为切点三角形，它是一种特殊的几何图形，它有着丰富的内涵。
它的性质如下： 1、 切点三角形是直角三角形，两圆的切点是直角顶点。
2、 在切点三角形中，切线长是两圆直径的比例中项。
即BC 2＝2R ·2r3、 内公切线被外公切线截得的线段长等于外公线长。
（DE ＝BC ）4、 设两圆半径为R 、r ，则AB :AC :BC ＝R :r :r R例1、 已知⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 为⊙O 1、、⊙O 2的外公切线，切点分别为A 、B ，连心线O 1O 2交⊙O 1于点D ，交AB 于点C ，连结AD 、AP 、BP ，求证：1） AD ∥BP 2） PC2＝CA ●CB 3） CP ●CO 1＝CD ●CO 2 4） AP AD ＝BCPC例2、 已知⊙O 1与⊙O 2外切于点T ，PT 为其内公切线，AB 为外公切线，A 、B 为切点，AB 与TP 相交于点P ，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论并加以证明（本题将按正确结论的难易程度评分）C例3 、如图，⊙O 1与⊙O 2外切于点P ，AB 是外公切线，，A 、B 是切点，直线AP 、BP 分别交⊙O 1与⊙O 2于F 、E ，1） 求证：AE 、AF 分别是⊙O 1与⊙O 2有直径。
2） 求证：AB 2＝AE ●BF3） 当上图中的切点P 变为两圆的一个交点时，结论AB 2＝AE ●BF 还成立吗？若成立，请证明， 若不成立，请说明理由。
例4 、⊙O 1与⊙O 2外切于点A ，直线L 与⊙O 1与⊙O 2外切于点B 、C ，且与O 1O 2的延长线交于点P ，1） 求∠BAC 的度数；当L 绕P 点逆时针旋转（过点A 时除外），与⊙O 1与⊙O 2的交点从左到右依次为B 、G 、F 、C 时，试判断∠BAC ＋∠GAF 的度数是否能确定？若能确定，请求出。
切点弦定理
切点弦定理切点弦定理，是初中数学中的重要定理之一。
它是指在一个圆上，如果有一条弦，那么这条弦所在直线与圆的交点，以及这条弦所在直线上离圆最近的点，这两个点所构成的线段，其长度相等。
这个定理的证明可以采用相似三角形的方法。
我们先将圆心与这条弦所在直线的交点连接起来，然后可以得到两个相似的三角形。
其中一个三角形的底边是弦，另一个三角形的底边是切线，而且这两个三角形的顶角相等。
因此，我们可以得到这样一个方程：弦的长度/切线的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离/圆心到弦中点的距离。
由于圆心到弦中点的距离是常数，因此我们可以得到：弦的长度=切线上离圆最近的点到圆心的距离×2。
这个定理有很多应用。
其中一个应用就是求解圆内接四边形的对角线长度。
我们可以先连接对角线，然后将对角线所在直线与圆相交，可以得到四个交点。
根据切点弦定理，我们可以得到对角线长度相等。
另外一个应用就是求解圆外接四边形对角线长度之积。
我们可以将这个四边形分割成两个三角形和一个内接四边形。
由于内接四边形的对角线长度相等，因此我们只需要求解两个三角形的斜边长度即可。
我们可以连接两个顶点和圆心，然后根据切点弦定理求解出斜边长度。
除了初中数学中的应用之外，切点弦定理在高中数学和大学数学中也有很多应用。
例如，在高中数学中，我们可以利用切点弦定理来证明某些三角函数恒等式；在大学数学中，切点弦定理也有很多应用，例如在微积分中，我们可以利用切点弦定理来证明某些导数公式。
总之，切点弦定理是一个非常重要的定理，它不仅有着广泛的应用，而且还是许多高级数学知识的基础。
在学习数学时，我们应该认真掌握这个定理，并善于运用它来解决各种问题。
直角三角形内切圆半径与三边关系
直角三角形是指其中一个角为90度的三角形，内切圆是指圆内切与三角形的三条边。
直角三角形内切圆的半径与三条边之间有着特定的关系，本文将对直角三角形内切圆的半径与三边关系进行探讨。
1. 直角三角形内切圆的性质在直角三角形中，内切圆的圆心与三角形的直角顶点相重合，也就是说内切圆的圆心是直角三角形的顶点。
直角三角形的斜边就是内切圆的直径，这是内切圆的一个基本性质。
2. 内切圆半径与直角三角形的关系设直角三角形的三条边分别为a、b、c，内切圆的半径为r，根据内切圆的性质可知，内切圆的半径与三角形的三条边之间存在着如下关系：r = (a + b - c)/23. 推导过程为了更好地理解内切圆半径与直角三角形三边的关系，我们可以通过数学推导来得到上述结论。
我们可以利用直角三角形的性质得到三条边之间的关系：a^2 + b^2 = c^2我们利用内切圆的性质，根据内切圆的半径与直角三角形的三边之间的关系可以得到内切圆半径与三边的关系：r = (a + b - c)/24. 证明过程接下来，我们来证明上述结论。
我们连接内切圆的圆心和直角三角形的顶点，连接线的长度就是内切圆的半径r。
我们将直角三角形的斜边c分成两部分，分别为a-r和b-r，这里利用了直角三角形中相似三角形的性质。
我们利用勾股定理，得到直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：(a-r)^2 + (b-r)^2 = c^2继续化简方程，可以得到：a^2 - 2ar + r^2 + b^2 - 2br + r^2 = c^2化简之后得到：a^2 + b^2 - 2ar - 2br + 2r^2 = c^2再继续化简，得到：a^2 + b^2 = c^2 + 2ar + 2br - 2r^2再利用内切圆的性质，即内切圆的直径等于直角三角形的斜边c，可以得到：2r = 2ar + 2br - c经过移项、合并同类项等操作，最终可以得到：r = (a + b - c)/25. 结论直角三角形内切圆的半径与三条边之间满足着特定的关系，即r = (a + b - c)/2。
三角形的内接圆与外接圆的关系
三角形的内接圆与外接圆的关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它有许多有趣的性质和定理。
其中关于三角形内接圆与外接圆的关系就是一个重要的性质。
在本文中，我们将探讨三角形内接圆和外接圆的特点和关系。
首先，让我们来了解什么是三角形的内接圆和外接圆。
内接圆是指能够与三角形的三条边都相切的圆，而外接圆则是能够通过三角形的三个顶点的圆。
这两个圆在三角形内外部分别具有重要的性质。
内接圆的性质：1. 内接圆的圆心和三角形的三个角的平分线的交点重合。
也就是说，内接圆的圆心与三角形的内角平分线相交于同一点。
2. 内接圆的半径与三角形的面积以及三角形的半周长之间具有关系。
内接圆的半径可以通过以下公式计算：r = Δ / s，其中r表示内接圆的半径，Δ表示三角形的面积，s表示三角形的半周长。
3. 内接圆与三角形的三条边相切，切点分别是三角形的三个顶点。
外接圆的性质：1. 外接圆的圆心位于三角形的垂直平分线的交点上。
垂直平分线是通过三角形的一个顶点并垂直于相应边的直线。
2. 外接圆的半径等于三角形的边长之比的倒数。
也就是说，外接圆的半径可以通过以下公式计算：R = a / (2sinA) = b / (2sinB) = c / (2sinC)，其中R表示外接圆的半径，a、b、c表示三角形的边长，A、B、C表示三角形的角度。
3. 外接圆与三角形的三个顶点相切于圆上。
三角形内接圆与外接圆的关系：1. 三角形的内接圆与外接圆的圆心位于同一条直线上。
这条直线被称为欧拉直线，欧拉直线是通过三角形的外心、内心和重心的直线。
2. 内接圆的半径r可以通过外接圆的半径R和半周长s的关系进行表示：r = R / 2。
3. 内接圆与外接圆的半径之比为1：2。
也就是说，外接圆的半径是内接圆的两倍。
综上所述，三角形的内接圆和外接圆具有一些重要的性质和关系。
通过研究这些性质，我们可以更好地理解三角形的特点和性质。
在几何学的学习中，三角形的内接圆和外接圆的关系是一个基础性的知识点，我们可以通过这些性质来解决一些与三角形相关的问题。
三角形的垂心与外接圆的关系解析
三角形的垂心与外接圆的关系解析三角形是几何学中最基本的图形之一，而垂心和外接圆又是三角形中的重要概念。
本文将对三角形的垂心和外接圆之间的关系进行解析，以帮助读者更好地理解这一知识点。
一、垂心和垂心定理垂心是三角形的一个特殊点，定义为三条垂直于三边并在其上的高线的交点。
对于任意三角形ABC，其垂心标记为H。
引入垂心定理：对于任意三角形ABC，垂心H与三个顶点A、B、C分别连线构成的三角形AA'B'B、BB'C'C和CC'A'A是全等三角形。
即HA=HA'，HB=HB'，HC=HC'。
二、外接圆和外心外接圆是经过三角形三个顶点的圆，一般标记为O。
外接圆的圆心称为外心。
三角形的外接圆具有以下性质：1. 外心O在三角形ABC的外部，正好处于边AB、BC和AC的垂直平分线上。
2. 三角形的三条边与外接圆相切，切点分别是A、B和C。
3. 对于任意角∠A，其对应的弧AB和AC的中垂线都经过外心O。
三、垂心与外接圆的关系我们现在来探讨垂心H与外接圆的关系。
1. 垂心与外心的连线我们可以发现，三角形ABC的垂心H与外心O之间的连线HO是垂直于BC的。
由此，我们可以得出结论：三角形的垂心、外心和底边之间构成一个直角三角形。
2. 垂心和外接圆的位置关系通过观察可以发现，垂心H到外接圆的距离等于垂心到三角形对边的距离。
以垂心H到外接圆的距离为例，设为d1，垂心到底边BC的距离为h（即垂足到底边的距离），则有d1=h。
同样地，垂心H到外接圆AB的距离d2等于垂心到底边AC的距离，垂心H到外接圆AC的距离d3等于垂心到底边AB的距离。
综上所述，垂心H与三角形外接圆之间有如下关系：d1 = h (H到外接圆AB的距离等于H到底边BC的距离)d2 = h (H到外接圆AC的距离等于H到底边AB的距离)d3 = h (H到外接圆BC的距离等于H到底边AC的距离)这一关系可以从垂心定理得出，也可以通过梅涅劳斯定理来证明。
三角形的“三心”分别指的是什么(一)2024
三角形的“三心”分别指的是什么（一）引言概述：三角形是几何学中的基本图形之一，它有许多特殊的性质和重要的元素。
其中，三心是指三角形内部的三个特殊点，包括重心、外心和内心。
本文将详细介绍三角形的三心分别指的是什么。
正文内容：一、重心（也称质心）重心是三角形内部的一个点，它划分了三角形的重心线段将三角形分成两等面积的部分。
重心的计算公式是三个顶点坐标的平均值，其特点如下：1. 重心与三角形的三边的交点形成的三个三角形面积相等。
2. 重心离三角形的三个顶点的距离相等。
二、外心外心是三角形外接圆的圆心，它是通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点确定的。
外接圆是以三个顶点为圆周切点的唯一的圆，外心是该圆的圆心。
外心的特点如下：1. 外心到三角形的三个顶点的距离相等。
2. 外心是三角形三个外角的平分线的交点。
三、内心内心是三角形内切圆的圆心，它是通过三角形的三条边的垂直平分线的交点确定的。
内切圆是唯一以三个边相切的圆，内心是该圆的圆心。
内心的特点如下：1. 内心到三角形的三条边的距离相等。
2. 内心是三角形三个角的平分线的交点。
四、重心、外心和内心之间的关系重心、外心和内心之间有一定的几何关系，其关系如下：1. 重心在外心和内心之间的距离为两倍的外心和内心之间的距离。
2. 外心在重心和内心之间的距离为两倍的重心和内心之间的距离。
五、应用与拓展三心是三角形的重要性质，它们的几何特性不仅在数学中有着广泛的应用，也在科学和工程领域发挥着重要作用。
此外，还有许多其他特殊的点和线与三角形相关，值得进一步学习和研究。
总结：三角形的三心分别指重心、外心和内心。
重心划分了三角形的重心线段，外心是三角形的外接圆的圆心，内心是三角形的内切圆的圆心。
它们具有独特的几何特性和重要的应用价值，对于理解和研究三角形有着重要的意义。
三角形的内切圆与外接圆的切线方程
三角形的内切圆与外接圆的切线方程在几何学中，三角形是一个基本的图形，而内切圆与外接圆是与三角形紧密相关的概念。
本文将探讨三角形的内切圆与外接圆的切线方程。
首先，我们需要了解内切圆和外接圆的定义。
对于一个三角形来说，内切圆是与三角形的三条边都相切的一个圆。
而外接圆则是可以将三角形三个顶点作为圆上的三个点，并且圆的中心与顶点的连线都垂直于三角形的边。
接下来，我们讨论内切圆的切线方程。
为了简化问题，我们假设我们已知三角形的顶点坐标为A(X1, Y1), B(X2, Y2), C(X3, Y3)，内切圆的圆心坐标为O(x, y)，半径为r。
根据圆的性质，圆心到切点的距离与切线垂直。
因此，我们可以通过斜率来求得内切圆的切线方程。
首先，我们求出内切圆的圆心坐标。
根据三角形的性质，内切圆的圆心可以通过三角形的三边上的角平分线的交点来确定。
设内切圆的圆心为O(x, y)。
我们可以使用角平分线的性质来求解内切圆的圆心坐标。
设角A的平分线与边BC的交点为D，那么OD与BC垂直，并且OD平分角A。
根据点斜式，可以得到平分线AD的方程为：(1) (y - Y2)/(x - X2) = (Y2 - Y1)/(X2 - X1)同理，可以求得角B的平分线和角C的平分线的方程。
设平分线AD的方程为(2)，平分线BE的方程为(3)，平分线CF的方程为(4)。
根据圆的性质，内切圆的圆心O必须同时满足方程(2)，(3)，(4)。
解方程组(2)，(3)，(4)可以得到内切圆的圆心坐标O(x, y)。
接下来，我们求内切圆的切线方程。
以切点P(x1, y1)为例，斜率可以利用内切圆圆心O与切点P的连线与切线的斜率的相反数来得到。
对于内切圆切线的方程，斜率k可表示为：(5) k = -(x1 - x) / (y1 - y)另一方面，由于切线通过切点P(x1, y1)，我们可以利用点斜式得到切线方程：(6) (y - y1) = k(x - x1)将方程(5)代入方程(6)，我们可以得到内切圆切线的方程。
三角形的“三心”分别指的是什么2024
引言：三角形是几何学中最基础的形状之一，它的特征和性质一直受到学者们的广泛关注。
在研究三角形时，一个重要的概念是“三心”，正是这三个特殊的点赋予了三角形独特的特征和性质。
在前文中，我们已经介绍了三角形的“三心”分别是重心、内心和外心，并详细阐述了重心的概念及其性质。
本文将继续探讨三角形的“三心”，着重解释内心和外心的定义及其重要性。
概述：在三角形中，内心和外心是与重心不同的特殊点。
内心是以三角形的三条边为切线的圆的圆心，而外心则是以三角形的三个顶点为切点的圆的圆心。
这两个点在三角形的构造和性质分析中扮演着重要的角色。
接下来，我们将详细讨论内心和外心的定义、性质以及它们在三角形中的应用。
正文内容：一、内心的定义及性质1. 内心的定义：内心是以三角形的三条边为切线的圆的圆心。
2. 内心到三角形三边的距离：内心到三角形三边的距离相等，且与三边的距离成正比。
这一性质使内心成为构造等边三角形和判定三角形相似的重要工具。
3. 内心与三角形三条角平分线的交点：内心是三角形三条角平分线的交点，这意味着内心到三角形三个顶点的距离相等。
4. 内接圆：内心处存在一个以内心为圆心的，同时切线于三角形三边的圆，称为内接圆。
内接圆与三角形内心的关系是内心的重要性质之一。
5. 内心与三角形的面积：内心是使得三角形到三边距离之和最小的点，因此，内心还可用于计算三角形的面积。
根据海伦公式，我们可以通过内心到三边的距离以及三角形的半周长来计算三角形的面积。
二、外心的定义及性质1. 外心的定义：外心是以三角形的三个顶点为切点的圆的圆心。
2. 外心与三角形的外接圆：外心是三角形外接圆的圆心。
外接圆是唯一一个同时切线于三角形三边的圆，它的半径等于外心到三角形三个顶点的距离。
3. 外心与三角形的角度关系：外心是性质最简单的“三心”，因为外心到三个顶点的距离相等，所以外心与三个顶点之间的角度是直角。
4. 外心与三角形的中垂线：外心是三角形三条边上的中垂线的交点，这意味着外心到三个顶点的距离等于三条边上的中垂线的长度。
数学公式知识：几何图形的中心与内心位置关系
数学公式知识：几何图形的中心与内心位置关系在几何学中，中心和内心通常用于描述形状的特定点。
这些点的位置与形状的特定特点有着密切的联系。
在这篇文章中，我们将探讨几何图形中心和内心的位置关系。
首先，让我们来了解几何形状的“中心”是什么意思。
中心指的是图形的某个点，它与图形的各个部分具有某种特定的关系或对称性，这种关系与图形的形状和大小有着密切的关系。
几何形状可以有许多中心点，它们之间的关系通常可以用一系列几何公式来研究。
举个例子，对于任意三角形ABC，它的中心点被称为三角形的重心，记作G。
重心是三角形三条中线的交点，其中中线指从三角形一个角的顶点到对面边中点的线段。
三角形重心的坐标可以用下面的公式进行计算：G = (1/3)(A + B + C)其中，A、B、C分别为三角形ABC的三个顶点的坐标。
重心点是三角形中最常见的中心点之一，它在几何研究中有着广泛的应用。
重心点的位置比较靠近三角形内心，是三角形中心点中最接近外接圆圆心的点之一。
同时，重心点是三条垂线的交点，也是三角形面积的中心点。
接下来，我们来讨论一下几何形状中的“内心”。
内心指的是图形的内部的一个点，这个点与图形的多条边的交点距离相等。
在三角形中，内心通常被称为三角形的内心，记作I。
三角形内心是三角形三条角平分线的交点，也是三边到内切圆的切点。
三角形内心的坐标可以用下面的公式进行计算：I = (ax' + bx' + cx')/(a + b + c), (ay' + by' + cy')/(a + b + c)其中(a,b,c)是三角形ABC的三条边的长度，(x',y')是三角形ABC 三个顶点的坐标。
内心点是三角形中心点中最难确定的一个，它的研究要求几何学家有深厚的数学功底，同时需要运用复杂的数学公式进行计算。
内心点具有非常特殊的地位，它是三角形的所有内心点中离三角形三条边最近的一个点。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
切点三角形的应用姓名
所谓切点三角形是指两圆外切于点P，此两圆的一条切线切两圆于A、B
两点，连结三个点而成的三角形，如图△APB是切点三角形。
而且可以证
明（1）△APB是直角三角形；（2）△APB的外接圆与连心线相切；（3）
斜边AB与圆心距为直径的圆相切；（4）斜边AB是两圆直径的比例中项；（5）若两圆的半径分别为r、R，则切点三角形三边之比为r：R：
r
R 。
（证明方法是作两圆的公切线）
1、如图1，⊙O1与⊙O2相切于点A，一条直线与两圆外切于B和C，
已知⊙O1的半径是3，⊙O2的半径是5，求AB：AC的值。
2、如图2，已知半圆O1与半圆O2外切于点C，外公切线AB切半
圆O1于点A，切半圆O2于点B，BA的延长线交O2O1的延长
线于点P。
（1）求证：∠ACB=900；（2）求证：PC2=PA·PB；（3）
若AB=62，两圆半径之差为3，求以两半径为根的一元二次方
程。
3、两圆外切于P，AB是两圆的一条外公切线，A、B为切点，BP
的延长线交⊙O1于点D，AP的延长线交⊙O2于C（如图3）。
求证：（1）AP·AC=BP·BD；（2）AB2=BC·DA；（3）线段
AD和BC分别是两圆直径的比例中项。
4、如图4，半径为R的⊙O1和半径为r的⊙O2外切于点P，AB
是两圆的外公切线，切点为A、B。
连心线O1O2交⊙O1于C，
交⊙O2于D，CA与DB的延长线相交于Q。
（1）求证：CQ⊥
DQ；（2）若R=3r，求∠ABQ的度数。
5、如图⊙O与⊙O1外切于点T，PT为其内公切线，AB为其外公切线，且
A、B为切点，AB与TP相交于点P。
根据图中所给出的已知条件及线段，
请写出一个正确结论，并加以证明。
6、 知⊙O1与⊙O2外切于点A ，直线L 与⊙O1、⊙O2相切于B 、C 两点，且O1O2的延长线交于点P （如
图1）。
（1）求∠BAC 的度数；当L 绕P 点逆时针移动（过A 点时除外），与⊙O1和⊙O2的交点从左到右依次为B 、G 、F 、C 时（如图2）， ∠BAC+∠GAF 的度数吗？若能确定，请求出。
（3）当直线L 绕P 点移动到两圆的另一侧且与两圆分别相切于D 、E 时，在图3中各找出两组垂直线段和相似三角形（不再添加辅助线）。
7、 如图：⊙O1与⊙O2外切于点P ，AB 为⊙O1，
⊙O2的外公切线，切点分别为A 、B 两点，
连心线O1O2分别交⊙O1于点D ，交AB 于点C ，连结AD 、AP 、
PB 。
求证：（1）AD ∥BP ；（2）CP ·CO1=CD ·CO2；（3）AD ：
AP=PC ：BC 。
8、 图⊙O1与⊙O2外切于点A ，外公切线BC 与⊙O1切于点B ，与⊙O2切于
点C ，与O2O1的延长线交于点P ，已知∠P=300。
（1）求⊙O1与⊙O2的
半径的比；（2）若⊙O1的半径为2cm ，求阴影部分的面积。
（陕西省）
9、 如图两圆外切于点A ，外公切线BC （B 、C 为切点）与连心线O1O2交于点P ，过P 作BC 的垂线分别
交AC 、BA 的延长线于M 、N 两点，且O1A 、O2A 分别是方
程x2+mx+1=0的两根。
（1）求证：MP=NP ；（2）用含m 的代数
式表示MN ；（3）当PA=1时，求弧AB 的度数。