交大物理p0403

第 4 章 动量和角动量
§4.1 动量定理 动量守恒定律 §4.2 质心 质心运动定理 §4.3 碰撞问题 §4.4 火箭飞行基本原理 §4.5 质点的角动量 角动量守恒定律 §4.6 质点系的角动量
§4.3 碰撞问题
一、碰撞过程
1. 压缩阶段
2. 恢复阶段
• 弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞 前后系统的总机械能守恒。 • 非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系 统有部分机械能损失。 • 完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复， 两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。 微观粒子：碰撞⇔ 散射
v2
(m2 − m1 )v20 + 2m1v10 =
m1 + m2
v10 v20 v1
2
1
10
20
v2
讨论
1. 当m1=m2时， 则:
v1 = v20
v2 = v10
在一维弹性碰撞中, 质量相等的两个质点在碰撞中交 换彼此的速度。 2. 若v20=0，且 m2>>m1，则: v1 ≈ − v10 v2 ≈ 0 质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动 方向，而质量很大的质点几乎保持不动。 3. 若v20=0， 且m2<<m1， 则:
1 2
2
y
m1
θ
m2
m1v1x + m2 v2 = m1u cosθ m1v1 y = − m1u sin θ v2 − v1x 恢复系数： e = u cosθ
y
o
r u
x
m1
o
v1 x
v1 y
r v2
r v1
联立三个方程后求解，得：
( m1 − em2 )u cosθ v1x = m1 + m2
(1)
⇒ v0, θ
( 2)
END
v x = v0 , v y = 2 gh r 设 v 'r 为小球与平板碰撞后的速
小球速度为：
h
l
度， 为平板碰撞后的速度。对 V 于弹性碰撞：
mv y = mv′ + MV y
y
x
k
1 1 1 2 2 2 2 ′ + MV 2 m vx + v y = m vx + v y 2 2 2
(
)
(
)
2m 2 gh 解得： V = m+ M
(1) 弹性碰撞
m1v10 + m2 v20 = m1v1 + m2 v2 1 1 1 1 2 2 2 2 动能守恒： m1v10 + m2 v20 = m1v1 + m2 v2 2 2 2 2 (m1 − m2 )v10 + 2m2v20 v1 = m1 + m2 v −v =v −v
动量守恒：
v1
v2
v2 − v1 e= v10 − v20
弹性碰撞： e =1
（v2-v1）= （v10-v20）
非弹性碰撞： 0 < e < 1 完全非弹性碰撞： e =0 v2=v1
碰后两球的速度：
(1 + e)( v10 − v20 ) v1 = v10 − m2 m1 + m2
机械能损失：
(1 + e)( v10 − v20 ) v2 = v20 + m1 m1 + m2
球要与板发生碰撞， 首先 须满足条件 1：
m v0 h l
v0t1 ≤ l
一次碰撞后，小球弹起再落 回原碰撞处经历的时间： k
t2 =
2 v′y
g
设平板质量很大，碰后弹簧的压缩量<< h， 即假定 小球落回原碰撞处时板也位于同一高度处，则小球 只与板发生一次碰撞须满足的条件2：
v0 (t1 + t 2 ) > l
M − m 2 gh v′y = − m+ M
碰后，板、弹簧、地球系统：
1 1 1 2 2 2 MV + kΔy0 = k (Δy0 + Δy ) − MgΔy 2 2 2
Mg 其中 Δy0 = kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
得：
Δy =
M 2m V= k m+ M
2 Mgh k
(2)小球从桌面下落至板上经历的时间：
t1 = 2h / g
r v0
= mv sin θ − mv0 sin θ 0
θ0 θ
r N
r v
x
= mv cosθ v sin θ − v0 sin θ 0 −μ = v cos θ + v0 cos θ 0 0 − v cos θ 恢复系数： e = − v0 cos θ 0 − 0
r − ( − mv0 cosθ 0 ) f
1 m1m2 2 2 ( v10 − v20 ) ΔEk = − (1 − e ) 2 m1 + m2
[例4-8] 已知板 M，l；小球 m, v0 , h。弹簧 k，桌面光 滑，掉下时与板为弹性碰撞。求(1) 弹簧最大压缩量， (2) 若只发生一次碰撞，则v0 应满足什么条件？ m v0 解： （1）碰撞时（y方向碰撞）,
l l ∴ < v0 ≤ t1 + t2 t1
得：
m+M g l < v0 ≤ 3(M − m ) 2h
g l 2h
[例4-9] 光滑桌面上， 质量为m1的小球以速度u 碰在质量 为m2的静止小球上，u 与两球的连心线成θ 角(称为斜碰)。 设两球表面光滑， 它们相互撞击力的方向沿着两球的连心 线， 已知恢复系数为e ，求碰撞后两球的速度。 x m 解： 设碰后两球速度分别为v 、v ， 方向如图。 x、y方向动量分别守恒：
r r r r r I A = mv A − mv0 = m( −2i + 3.5 j )
A B
x
(2) A，B系统所受合外力的冲量
r r r I AB = I Ay j = 3.5mj
(3) 球与壁之间的恢复系数
1.5 e= = = 0.75 v0 y − 0 2
0 − v Ay
[例4-11] 如图所示，一个质量为 m 的小球以入射角θ与一 粗糙的表面发生斜碰。已知小球与表面的摩擦系数为μ ， 恢复系数为 e，求碰撞后小球的速度大小与方向。 y 解： 考虑小球，碰撞过程，忽略重力 由动量定理： x：− μ N t y： N t
m1 (1 + e)u cosθ v2 = m1 + m2
v1 y = −u sin θ
r ˆ ⇒ v1 = v1xi + v1 y ˆ j r ˆ v 2 = v 2i
讨论： 两个质量相等的小球发生弹性斜碰： m1=m2 , e =1 时，
r r v1x = 0, v1 ⊥ v2
[例4-10] 光滑球盘上有两只光滑弹性小球A和B，质量均 r r r 为m，半径为R，B球静止在盘壁边，A球以v0 = 2i − 2 j m/s的速度斜射至(-R，R)处与盘壁和B球同时碰撞, 碰撞 r r 后，若A球的速度为 v A = 1.5 j ， 求: (1) A球所受合外力 的冲量。 (2) A，B 组成的系统所受的合外力的冲量。 (3) 球与壁之间的恢复系数。 y 解：(1) A球所受合外力的冲量
v1 ≈ v10
v2 ≈ 2v10
质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几 乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。
v1
(m1 − m2 )v10 + 2m2v20 =
m1 + m2
v2
(m2 − m1 )v20 + 2m1v10 =
m1 + m2
(2) 完全非弹性碰撞
m1v10 + m2 v20 = ( m1 + m2 )v m1v10 + m2 v20 v= m1 + m2 机械能损失： 1 1 1 2 2 2 ΔE = Ek − Ek 0 = ( m1 + m2 )v − ( m1v10 + m2 v20 ) 2 2 2 2 m1m2 ( v10 − v20 ) ΔE = − 2( m1 + m2 )
动量守恒： v10 v20 v
(3) 非弹性碰撞： 动量守恒：
m1v10 + m2 v20 = m1v1 + m2 v2
碰撞定律： 碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前两 球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由两球 的质料决定。
v2 − v1 e= v10 − v20
v10 v20
——恢复系数