高中数学第3章导数及其应用章末分层突破学案苏教版选修11

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高中数学第3章导数及其应用温习导学案2苏教版选修11

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》温习2导学案苏教版选修1-1温习要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间.2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值．课前预习：1．知识要点回顾：(1)函数的导数与单调性的关系：(2)函数的极值与导数：(3)函数的最值与导数①函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：若是在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条持续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．②求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤：（4）若函数f(x)在概念域A上存在最大值与最小值，则①对任意x∈A，f(x)＞0⇔＞0；②存在x∈A，f(x)＞0⇔＞0.2．判断：(1)函数f(x)在区间(a，b)内单调递增，则f′(x)>0；( )(2)函数的极大值必然比极小值大；( )(3)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件；( )(4)函数的最大值不必然是极大值，函数的最小值也不必然是极小值。

( )3．函数f(x)＝x ＋4x的单调减区间是 4.函数f(x)＝xex 的极小值点是5．已知f(x)＝x3－ax 在[1，＋∞)上是增函数，则a 的最大值是课堂探讨：2.已知函数f(x)＝x －alnx ．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．3.已知函数f(x)＝2x3－3(a ＋1)x2＋6a x.(1)若a ＝1，求曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)若|a|>1，求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值．变式：已知函数f(x)＝(x －k)ex(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．3.设函数f(x)＝x3－3ax ＋b (a≠0)．(1)若曲线y ＝f(x)在点(2，f(x))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值点．4. 设L 为曲线C ：y ＝ln x x在点(1,0)处的切线． (1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．。

高中数学第3章导数及其应用常见函数的导数导学案苏教

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》3.2.1常见函数的导数导学案苏教版选修1-1学习目标：1．能按照导数的概念推导部份大体初等函数的导数公式；2．能利用导数公式求简单函数的导数．教学重点：大体初等函数的导数公式的应用．课前预习：1．在上一节中，咱们用割线逼近切线的方式引入了导数的概念，那么如何求函数的导数呢？2．用导数的概念求下列各函数的导数：（1）bkxxf+=)(（bk,为常数）；（2）Cxf=)(（C为常数）；（3）xxf=)(；（4）2)(xxf=；（5）3)(xxf=；（6）xxf1)(=；（7）xxf=)(．试探由上面的结果，你能发觉什么规律？3．大体初等函数的导数：课堂探讨：1.利用求导公式求下列函数导数．（1）5-=xy；（2）xxxy=； (3)3sinπ=y；（4）xy4=；(5)x y 3log =；（6）)2sin(x y +=π；（7）)2cos(x y -=π．5.已知直线1:-=x y l ，点P 为2x y =上任意一点，求P 在什么位置时到直线l 的距离最短．课堂检测：1．求下列函数的导函数（1）2y x -= （2）35y x =（3）41y x =（4）2x y =（5）4log y x = （6）ln y x =π=-（8）3cos()2y xπ=+（7）sin()2y x。

高中数学第三章导数及其应用 3.2.1 常见函数的导数学案苏教版选修11

3．2.1 常见函数的导数学习目标 1.能用导数的定义求比较简单的幂函数的导数.2.准确记忆基本初等函数的导数公式，并灵活运用公式求某些函数的导数．知识点一幂函数与一次函数的导数思考1 函数y ＝kx (k ≠0)增(减)的快慢与什么有关？思考2 你能结合x ′＝1，(x 2)′＝2x ，(x －1)′＝－x －2及(x 12)′＝12x 12 归纳出f (x )＝xn的导数有怎样的规律吗？梳理 (1)(kx ＋b )′＝k (k ，b 为常数)，特别地C ′＝0(C 为常数)． (2)(x α)′＝α·x α－1(α为常数)．知识点二基本初等函数的求导公式思考1 计算过程(cos π6)′＝－sin π6＝－12正确吗？思考2 如何利用(ln x )′推出(log a x )′？梳理类型一利用导数公式求函数的导数例1 求下列函数的导数： (1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝log 12x ；(6)y ＝3x.反思与感悟若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导．跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ＝(1－x )(1＋1x)＋x ；(2)y ＝2cos 2x2－1.类型二导数公式的综合应用命题角度1 利用导数公式解决切线问题例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程；若没有，说明理由．引申探究若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用： (1)切点处的导数是切线的斜率； (2)切点在切线上；(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．命题角度2 利用导数公式求最值问题例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．1．设函数f (x )＝log a x ，f ′(1)＝－1，则a ＝________. 2．下列结论：①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝1x2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的结论是________．3．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线倾斜角为135°，则点P 的坐标为__________．4．设正弦函数y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是________．5．求下列函数的导数．(1)y ＝cos π6；(2)y ＝1x 5；(3)y ＝x 2x ；(4)y ＝lg x ；(5)y ＝5x；(6)y ＝cos(π2－x )．1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．提醒：完成作业第3章 §3.2 3.2.1答案精析问题导学知识点一思考1 当k >0时，函数增加的快慢与系数k 有关，k 越大，增加的越快；当k <0时，函数减少的快慢与|k |有关，|k |越大，函数减少的越快．思考2 f ′(x )＝(x n )′＝nx n －1.知识点二思考1 不正确．因为cos π6＝32为常数，其导数为0.思考2 (log a x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ln a ′＝1ln a (ln x )′＝1ln a ·1x ＝1x ·ln a .题型探究例1 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x 3)′＝(x 35)′＝35x 315-＝35x 25-＝355x2. (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x . (5)y ′＝(log 12x )′＝1x ln12＝－1x ln 2. (6)y ′＝(3x )′＝3xln 3.跟踪训练1 解 (1)∵y ＝(1－x )(1＋1x)＋x＝1－x x ＋x ＝1x＝x 12-，∴y ′＝－12x 32-.(2)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .例2 解因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线．设切点为(x 0，y 0)，则PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12.所以切点为(－12，14)．所以所求切线方程为y －14＝(－1)(x ＋12)，即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究解因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|0x x ＝＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M (12，14)．所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.跟踪训练2 解设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝y ′|0x x ＝＝cos x 0，k 2＝y ′|0x x ＝＝－sin x 0. 要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1，即sin 2x 0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．例3 解依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1， ∴x 0＝12，∴切点坐标为(12，14)，∴所求的最短距离d ＝|12－14－2|2＝728.跟踪训练3 解设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝ y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0 ＝1. 故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点， ∴AB 为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大，故点M (1,1)即为所求弧AOB 上的点，使△ABP 的面积最大．当堂训练1.1e 2.④ 3.(2,1) 4．[0，π4]∪[3π4，π)5．解 (1)y ′＝0. (2)∵y ＝1x5＝x －5，∴y ′＝(x －5)′＝－5x －6＝－5x6.(3)∵y ＝x 2x＝x 32，∴y ′＝(x 32)′＝32x 12＝32x .(4)y ′＝1x ln 10. (5)y ′＝5xln 5.(6)∵y ＝cos(π2－x )＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .。

江苏省宿迁市高中数学第3章导数及其应用第2课时曲

第2课时曲线上一点处的切线学习目标：1. 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法；2. 掌握“局部以直代曲”和“用割线的逼近切线”的思想方法. 问题情境：1. 什么叫做平均变化率？2.如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？（点P 附近的曲线的研究）（1）观察“点P 附近的曲线”，随着图形放大，你看到了怎样的现象？（2）“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确位置么？（趋势）又为什么说是“几乎”？（逼近） Ⅱ.建构数学1.割线逼近切线2.割线斜率逼近切线斜率合作探究：展示点拨：例1：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在2x =处的切线斜率．练习：已知2()f x x =+1，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率.例2：已知2()f x x =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线方程．练习：已知1()f x x -=，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．思考：已知()f x =()y f x =在12x =处的切线斜率是多少？学以致用：1．抛物线y ＝14x 2在点Q (2，1)处的切线方程是________．【解析】 ∵Δy Δx ＝f （2＋Δx ）－f （2）Δx ＝14Δx ＋1，∴当Δx →0时，ΔyΔx →1，∴k ＝f ′(2)＝1，∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0. 【答案】 x －y －1＝02．在曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14， 116)D ．(12，14)解析由导数的定义，知y ′＝2x ，∴tan π4＝1，y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，∴x 0＝12，则y 0＝14，故选D. 答案 D3．某物体走过的路程S (单位：m)是时间t (单位：s)的函数：S ＝t 2－1，则该物体在t ＝2 s 时的瞬时速度为________．【解析】S （2＋Δt ）－S （2）Δt＝（Δt ）2＋4Δt ＋4－1－4＋1Δt＝Δt ＋4，当Δt →0时，S （2＋Δt ）－S （2）Δt＝Δt ＋4→4，即所求瞬时速度为4 m/s. 【答案】 4 m/s4．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系为s ＝18t 2，则当t ＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A. 2B. 1C.12D.14答案 C5．已知曲线y ＝x 2的切线分别满足下列条件，请求出切点的坐标．(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)切线的倾斜角为135°.【解】设切点坐标为P(x 0，y 0)，则Δy ＝(x 0＋Δx)2－x 20＝2x 0·Δx ＋(Δx)2， ∴Δy Δx ＝2x 0·Δx ＋（Δx ）2Δx ＝2x 0＋Δx ，当Δx →0时，ΔyΔx →2x 0，∴f ′(x 0)＝2x 0，即过点P(x 0，y 0)的切线的斜率为2x 0. (1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，x 0＝2，得P(2，4)．(2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，所以2x 0·26＝－1，得x 0＝－32，即P(－32，94)．(3)因为切线与x 轴成135°的倾斜角，所以其斜率为－1，即2x 0＝－1，得x 0＝－12，即P(－12，14)．同步训练2．如图3－1－5所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝________，f′(5)＝________．【解析】f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝k切线＝－1.【答案】 3 －17．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线x－y＋2＝0平行，则f′(2)等于________．【解析】由题意知k＝1，∴f′(2)等于1.【答案】 13．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1解析由导数的定义知y ′＝2ax ，∴f ′(1)＝2a ＝2. ∴a ＝1. 答案 A4．若曲线y ＝h (x )在点P (a ，h (a ))处切线方程为2x ＋y ＋1＝0，则( ) A ．h ′(a )<0 B ．h ′(a )>0 C ．h ′(a )＝0 D ．h ′(a )的符号不定答案 A6．(2013·陇西高二检测)如图3－1－5所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＝________，f ′(5)＝________．图3－1－5 【解析】 f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k 切线＝－1. 【答案】 3 －17．已知函数y ＝f (x )在点(2，1)处的切线与直线x －y ＋2＝0平行，则f ′(2)等于________．【解析】由题意知k ＝1，∴f ′(2)等于1. 【答案】 18．曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是________．【解析】 ∵点P (1，12)在曲线y ＝x 3＋11上，∴曲线在点P 处的切线斜率等于y ＝x 3＋11在x ＝1处的导数．∴Δy Δx ＝f （1＋Δx ）－f （1）Δx ＝（1＋Δx ）3＋11－（13＋11）Δx ＝(Δx )2＋3Δx ＋3，当Δx →0时，ΔyΔx →3，∴k ＝f ′(1)＝3.又∵过点P 的切线方程为y －12＝3(x －1)，即3x －y ＋9＝0，令x＝0，则y＝9.【答案】9Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P62 1,2,3,41.已知()3x x f =，求曲线()y f x =在1x =-处的切线斜率和切线方程．3．(2013·烟台高二检测)曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0，1)处的切线方程为________．【解析】 y ′＝e x＋x e x＋2，则曲线在点(0，1)处的切线的斜率k ＝e 0＋0＋2＝3，所以所求切线方程为y ＝3x ＋1.【答案】 y ＝3x ＋12. 5．已知曲线y ＝x 6在点P 处的切线与直线y ＝16x ＋3垂直，则此切线的方程为________．【解析】 ∵y ′＝6x 5，设切点为(x 0，x 60)，则6x 50×16＝－1，∴x 0＝－1，∴切点为(－1，1)，切线斜率为－6，∴切线方程为y －1＝－6(x ＋1)，即6x ＋y ＋5＝0. 【答案】 6x ＋y ＋5＝06．曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为________．【解析】 y ′＝cos x （sin x ＋cos x ）－（cos x －sin x ）sin x（sin x ＋cos x ）2＝1（sin x ＋cos x ）2，故y ′|x ＝π4＝12， ∴曲线在点M (π4，0)处的切线的斜率为12.【答案】 127．(2013·杭州高二检测)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，曲线在点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是________．【解析】 ∵y ′＝3x 2－3，又∵k ＝f ′(x )＝3x 2－3， ∴k ≥－ 3.结合正切函数图象可知： 0≤α<π2或2π3≤α<π.【答案】 [0，π2)∪[2π3，π)8．对正整数n ，设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列{a nn ＋1}的前n 项和为________．【解析】 y ′＝(x n－x n ＋1)′＝nxn －1－(n ＋1)x n ，曲线在x ＝2处的切点为(2，－2n)，则切线方程为y ＝y ′|x ＝2(x －2)－2n，当x ＝0时，a n ＝2n(n ＋1)，则a nn ＋1＝2n， ∴S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－210．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1，0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．【解】 (1)∵y ′＝2x ＋1， ∴直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (b ，b 2＋b －2)， ∵l 1⊥l 2，∴y ′|x ＝b ＝2b ＋1＝－13，∴b ＝－23，∴点B 的坐标为(－23，－209)，∴直线l 2的方程为y ＝－13x －229.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －3，y ＝－13x －229，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16，y ＝－52.∴直线l 1和l 2的交点坐标为(16，－52)；又l 1，l 2与x 轴交点的坐标分别为(1，0)，(－223，0)，∴所求三角形的面积S ＝12×[1－(－223)]×|－52|＝12512.11．设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ＞0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值是－12，求a ，b ，c 的值．【解】 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ， ∴c ＝0.∵f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12且a ＞0，∴b ＝－12. 又直线x －6y －7＝0的斜率为16，∴f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，∴a ＝2，综上可知，a ＝2，b ＝－12，c ＝0.曲线的切线一、学习目标1．知识目标：研究曲线的切线，从几何学的角度了解导数概念的背景，明确瞬时变化率就是导数，掌握求曲线切线斜率的一般方法.2．能力目标：通过嫦娥一号绕月探测卫星变轨瞬间的瞬时速度和运动的方向为背景，从极限入手，培养学生的创新意识和数形转化能力.3．情感目标：通过运动的观点，体会曲线切线的内涵，挖掘数形关系，激发学生学习数学的热情. 二、教学重点曲线切线的概念形成，导数公式的理解和运用. 三、教学难点理解曲线切线的形成是通过逼近的方法得出的.引导学生在平均变化率的基础上探求瞬时变化率. 四、教学过程1．新课引入，创设情景①（大屏幕显示）嫦娥一号绕月探测卫星运行轨迹以及四次变轨的全过程.②讨论问题：卫星在每次变轨的瞬间不仅有瞬时速度，而且要研究它运动的方向.引出本节课主要研究的课题——曲线的切线. 2．概念形成，提出问题①（大屏幕显示）分析卫星在变轨瞬间与变轨前的位置关系，引出曲线的割线. ②由运动的观点、极限的思想，归纳出曲线切线的概念.以及求曲线切线斜率的一种方法.3．转换角度，分析问题①引入增量的概念，在曲线C 上取P （x 0、y 0）及邻近的一点Q （x 0+△x ，y 0+△y ），过P 、Q 两点作割线，分别过P 、Q 作y 轴，x 轴的垂线相交于点M ，设割线PQ 的倾斜角β，tan y xβ∆=∆. ②割线斜率用增量表示的形式不变.（大屏幕显示）改变P 的邻近点Q 的位置、曲线的类型、倾斜角的性质，发现tan βy x ∆=∆表示的形式始终不变.左、右邻近点的讨论，为下面说明极限的存在做准备.4．归纳总结，解决问题①（大屏幕显示）由于△x 可正可负，但△x ≠0，研究△x 无限趋近于0，用极限的观点导出曲线切线的斜率.②讨论问题：引导学生将这一运动过程转化为已学的代数问题.k ==0000()()lim lim x x f x x f x y x x ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 点评公式，重点强调平均变化率和瞬时变化率之间的关系，提出导数.同时引导学生归纳出求曲线切线斜率的一般方法和步骤5．例题剖析，深化问题例：曲线的方程f (x )=x 2+1 求此曲线在点P （1,2）处的切线的方程6．学生演板，落实问题①已知曲线y =2x 2上一点A(1,2)，求（1）点A 处的切线的斜率；（2）点A 处的切线的方程.②求曲线y =x 2+1在点P (－2,5)处的切线方程.7．课堂小结8．作业P125 第6、7、8、9题。

高中数学第3章导数及其应用第4课时导数教案苏教版选修11

第三章导数及其应用第4课时导数教学目标：1.理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方式；2.理解导数的几何意义；3.理解导函数的概念和意义.教学重点：导数的求解方式和进程, 导数的灵活运用教学难点：导数概念的理解教学进程：Ⅰ.问题情境1.求函数2)(x x f =在点（2，4）处的切线斜率.2.直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是12-=t V ，求o t t =时的瞬时速度.Ⅱ.建构数学1.导数的概念：2.导数的几何意义：Ⅲ.数学应用例1：求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x （2）12)(-=x x f ，2=x（3）3)(=x f ，2=x练习：求1)(2+=x x f 在a x =处的导数.例2：函数)(x f 知足2)1('=f ，则当x 无穷趋近于0时，（1）→-+xf x f 2)1()1( （2）→-+x f x f )1()21(练习：设f(x)在x=x 0处可导，（1）xx f x x f ∆-∆+)()4(00无穷趋近于1，则)(0x f '=___________ （2）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无穷趋近于1，则)(0x f '=________________ （3）当△x 无穷趋近于0，x x x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系为_______________例3：若2)1()(-=x x f ，求：（1）)2('f 和((2))'f ；（2）()x f '.练习：已知函数x x f =)(，求)(x f 在2=x 处的切线.Ⅳ.课时小结:Ⅴ.课堂检测Ⅵ.课后作业书本P 67 习题2,41.求下列函数在已知点处的导数（1）31y x =+在3x =处的导数；（2）2y x =在x a =处的导数；（3）1y x=在2x =处的导数2.质点运动方程为31S t =+(位移单位:m,时间单位:s),别离求1,2t s t s ==时的速度。

高中数学第3章导数及其应用导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修11

江苏省响水中学高中数学第3章《导数及其应用》导数与函数的综合性问题导学案苏教版选修1-1学习目标：1.掌握用导数法求解函数单调性、极值、最值、参数等问题.2.理解导数与方程、函数、不等式等知识的综合.重点：导数与方程、函数、不等式等知识的综合课前预习：1.已知e为自然对数的底数,则函数y=xex的单调递增区间是2.已知曲线f(x)=ln x在点(x0,f(x0))处的切线通过点(0,-1),则x0的值为3.函数f(x)的概念域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点个.4.等比数列{an}中,a1=1,a2012=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a2012),求函数f(x)在点(0,0)处的切线方程.课堂探讨：一、若函数xaxxxf221ln)(2--=存在单调递减区间,求实数a的取值范围.二、已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线, 求a,b的值;(2)当a2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1]上的最大值.3、已知x>0,证明不等式x >ln(1+x).五、已知函数f(x)=ax-ln x,x ∈(0,e],g(x)x x ln =，其中e 是自然常数,a ∈R.(1)当a=1时,求f(x)的极值,并证明f(x)>g(x)21+恒成立.(2)是不是存在实数a,使f(x)的最小值为3?若存在,求出a 的值;若不存在,请说明理由.课堂检测：1.函数f(x)的概念域为(0,+∞),且f(x)>0,f'(x)>0,则函数y=xf(x)( ).A.存在极大值 B .存在极小值 C .是增函数 D.是减函数2.函数x x y 33+=在(0,+∞)上的最小值为3.已知函数f(x)=aln x+x 在区间[2,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是 .4.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是( ).A.∃x0∈R,f(x0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=05.若函数b ae ae x f x x ++=1)( (a>0)在点(2,f(2))处的切线方程为x y 23=, 求a,b 的值.。

高中数学第三章导数及其应用章末专题整合课件苏教版选修11

0－6x0－12＝－6x20－6x0，得 3x20－3＝0，∴x0＝±1. 当 x0＝1 时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)， ∴切线方程为 y＝12x＋9；当 x0＝－1 时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)， ∴切线方程为 y＝9，下面求曲线 y＝f(x)的斜率为 12 和 0 的切线方程：由(1)知 f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11. ∴f′(x)＝－6x2＋6x＋12.
利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不
是切点,常见的类型有两种,一是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得; 另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定
是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝ f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得 y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)．① 又y1＝f(x1)，② 由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
[解] f(x)的定义域是(0，＋∞)，则 f′(x)＝1＋x22－ax＝x2－xa2x＋2. 设 g(x)＝x2－ax＋2，二次方程 g(x)＝0 的判别式 Δ＝a2－8. ①当 Δ<0，即 0<a<2 2时，对一切 x>0 都有 f′(x)>0.此时 f(x) 是(0，＋∞)上的单调递增函数． ②当 Δ＝0，即 a＝2 2时，仅对 x＝ 2时，有 f′(x)＝0，对其余的 x>0 都有 f′(x)>0. 此时 f(x)也是(0，＋∞)上的单调递增函数．
(2)求已知函数单调区间的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数f′(x)； ③解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； ④结合定义域写出函数的单调增区间或减区间．当函数具有相同单调性的单调区间有多个时，绝对不能用 “∪”连结，而应用“和”或“，”隔开．

高中数学第三章导数及其应用疑难规律方法学案苏教版选修11

第三章导数及其应用1 巧用法则求导数导数的计算包括八个基本初等函数的导数公式，以及和、差、积、商的导数运算法则，它们是导数概念的深化，也是导数应用的基础，起到承上启下的作用．那么在掌握和、差、积、商的导数运算法则时，要注意哪些问题？有哪些方法技巧可以应用？下面就以实例进行说明．1．函数和(或差)的求导法则 (f (x )±g (x ))′＝f ′(x )±g ′(x ) 例1 求下列函数的导数： (1)f (x )＝1x＋ln x ；(2)y ＝x 3－2x ＋3. 解 (1)f ′(x )＝－1x 2＋1x.(2)y ′＝(x 3)′－(2x )′＋3′＝3x 2－2.点评记住基本初等函数的导数公式是正确求解导数的关键，此外函数和(或差)的求导法则可以推广到任意有限个可导函数和(或差)的求导．2．函数积的求导法则[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x ) 例2 求下列函数的导数： (1)f (x )＝x 2e x；(2)f (x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解 (1)f ′(x )＝(x 2e x)′＝(x 2)′e x ＋x 2(e x)′ ＝2x e x ＋x 2e x.(2)f ′(x )＝[(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)]′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝(2x ＋3)·(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2＝3x 2＋12x ＋11.点评特别要注意：[f (x )g (x )]′≠f ′(x )g ′(x )．同时要记住结论：若c 为常数，则[cf (x )]′＝cf ′(x )，由此进一步可以得到[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )．3．函数商的求导法则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)例3 求下列函数的导数： (1)f (x )＝ln xx；(2)f (x )＝tan x ；(3)f (x )＝11－x ＋11＋x .解 (1)f ′(x )＝(ln xx)′＝xx －ln xxx 2＝1－ln xx2. (2)f ′(x )＝(tan x )′＝(sin xcos x )′＝xx －sin x xcos 2x＝1cos 2x. (3)因为f (x )＝11－x ＋11＋x ＝1＋x ＋1－x －x＋x＝21－x ，所以f ′(x )＝(21－x )′＝－－x －x2＝2－x2.点评应在求导之前，先利用代数、三角恒等变换对函数进行化简，然后再求导，这样可以减少运算，提高运算效率． 4．分式求导对于能够裂项的分式型函数，可将函数转化为几个单项式的和差形式，然后再利用和差的导数公式来解决．例4 求下列函数的导数：(1)y ＝x 2－2x ＋3x －1；(2)y ＝x 5＋x 7＋x 9x.解 (1)因为y ＝x 2－2x ＋3x －1＝x －1＋2x －1，所以y ′＝1＋0－2×1x －2＝1－2x －2.(2)因为y ＝x 5＋x 7＋x 9x＝x 2＋x 3＋x 4，所以y ′＝2x ＋3x 2＋4x 3.点评本题启示我们，对于某些函数式，我们应先根据它的结构特点，适当地对函数式中的项进行合理的“拆”，然后“各个击破”.2 导数计算中的“陷阱”导数的计算是导数学习中的一个重要方面．但由于同学们不能熟记公式及法则，不能理解公式中的对应量的含义，不能灵活的运用化简及变形技巧而导致各种错误．下面对求导过程中的常见错误进行梳理，希望对同学们有所帮助． 1．未能区分好变量与常量而致错例1 求f (x )＝a x＋cos a 的导数(其中a 为常数)．错解 f ′(x )＝a xln a －sin a .错因分析本题错在忽视变量a x与常量cos a 的不同，常量的导数应为0. 正解 f ′(x )＝a xln a . 2．忽视导数定义中严谨结构例2 已知函数f (x )＝2x 3＋5，求当Δx →0时，f－3Δx －fΔx趋近于何值．错解一因为Δy Δx ＝f＋Δx －fΔx＝＋Δx3＋5－3＋Δx＝24＋12Δx ＋2Δx 2. 当Δx →0时，Δy Δx→24.所以f－3Δx －fΔx→24.错解二因为Δy Δx ＝24＋12Δx ＋2Δx 2，当Δx →0时，ΔyΔx →24.所以f－3Δx －fΔx→3×24＝72.错因分析未能把握导数定义中Δy 与Δx 的严格对应关系，实际上f x ＋Δx －f xΔx中增量Δx 分子与分母要一致，这与用哪个字母没关系．正解因为Δy Δx＝24＋12Δx ＋2Δx 2，当Δx →0时，ΔyΔx →24.所以f－3Δx －fΔx→(－3)×24＝－72.3．混淆函数的导函数与函数在某一点处的导数例3 已知f (x )＝2 015－xx，求f ′(2 015)．错解 ∵f (2 015)＝2 015－2 0152 015＝0，∴f ′(2 015)＝(0)′＝0.错因分析 f ′(2 015)表示的含义不是在一点处的函数值的导数，应先求f ′(x )，再求f ′(2 015)．正解 ∵f ′(x )＝－ 2 015x2， ∴f ′(2 015)＝－2 0152 0152＝－12 015. 指点迷津上述的错误都说明了对导数定义及运算规律不理解，因此大家学习中应注重基础，注重知识生成及本质规律．错误并不可怕，可怕的是舍本逐末，不吸取教训．3 导数运算的常用技巧同学们是否有这样的感受，求导公式及运算法则已经背得很熟但在求某些函数的导数时，仍然很困难，甚至无从下手？虽然掌握了基础知识，但还要掌握一定的方法和技巧，方能彻底解决问题，下面举几例来说明．1．多项式函数展开处理例1 求f (x )＝(x －3)(x －2)(x －1)的导数．分析若f (x )的表达式为两个因式相乘可以展开求导，也可以不展开而利用积的求导法则，但三个因式相乘最佳方法就是先展开再求导．解 ∵f (x )＝(x －3)(x －2)(x －1)＝x 3－6x 2＋11x －6， ∴f ′(x )＝3x 2－12x ＋11. 2．分式函数化整式函数例2 求函数f (x )＝x x ＋2＋2x ＋2的导数．分析如果直接利用积与商的求导法则，运算将很烦琐，不如先看分子、分母有无公因式可约分．解 ∵f (x )＝x 3＋2x 2＋x ＋2x ＋2＝x 2x ＋＋x ＋x ＋2＝x 2＋1(x ≠－2)．∴f ′(x )＝(x 2＋1)′＝2x (x ≠－2)． 3．无理函数化有理函数例3 求函数y ＝1＋x 1－x ＋1－x1＋x的导数．分析直接利用商的求导法则，运算量很大，且容易出错，不妨先通分变“无理”为“有理”．解 ∵y ＝＋x2＋－x 21－x＝＋x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝(41－x－2)′＝－－x －x2＝4－x2.整体总评上述三个实例虽然细节处理不相同，但都体现了化归思想这一重要方法，先变形(化简)再解决问题；当然化归是为了更简捷、更方便处理问题，化归不一定要化简到最简单，而是化归到最合适．比如求tan x 的导数，tan x 本身形式已较简单，但仍然用不上所学知识，因此可考虑将tan x 变形为sin xcos x ，从而使问题得到解决，总之同学们要明确化归的目的，是为更容易用所学知识解决问题.4 导数妙求数列前n 项和数列的求和是数列中特别重要的一个知识块，如我们常用的求和方法有公式求和、分组求和、裂项求和、错位相减求和、倒序相加求和等，但同学们想过用导数法求和吗？下面的例子将为我们展示导数法求和的魅力．例已知x ≠0，求数列{nxn －1}的前n 项和S n .解对于{a n b n }的求和，若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，一般用错位相减法求和，但计算量较大，且很容易出错，此时我们可构造函数f n (x )＝x n ，则f ′n (x )＝nx n －1.∴S n ＝f ′1(x )＋f ′2(x )＋…＋f ′n (x )＝1＋2x ＋3x 2＋…＋nxn －1＝[f 1(x )＋f 2(x )＋…＋f n (x )]′＝(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )′.讨论如下：(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2；(2)当x ≠1时，S n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －x n1－x′ ＝1－n ＋x n ＋nx n ＋1－x2. 感悟本题用导数方法让人耳目一新，但需要注意的是导数加法法则仅对有限项成立．5 利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一．而导数f ′(x 0)的几何意义为曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法．下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳． 1．已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f ′(x )，并代入点斜式方程即可．例1 曲线f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为________________．解析由f ′(x )＝3x 2－6x 知，在点(1，－1)处的斜率k ＝f ′(1)＝－3. 所以切线方程为y －(－1)＝－3(x －1)，即y ＝－3x ＋2. 答案 y ＝－3x ＋22．已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例2 求过曲线f (x )＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2. 所以切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，即y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)·(x －x 0)．又知切线过点(1，－1)，所以－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)．解得x 0＝1，或x 0＝－12.故所求切线方程为y －(1－2)＝(3－2)(x －1)，或y －(－18＋1)＝(34－2)·(x ＋12)，即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.点评可以发现直线5x ＋4y －1＝0并不以(1，－1)为切点，实际上是经过点(1，－1)，且以(－12，78)为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点．3．已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例3 求过点(2,0)且与曲线f (x )＝1x相切的直线方程．解设P (x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝－1x 20.所以切线方程为y －y 0＝－1x 20(x －x 0)，即y －1x 0＝－1x 20(x －x 0)．又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，得－1x 0＝－1x 20(2－x 0)．解得x 0＝1，y 0＝1x 0＝1，即x ＋y －2＝0.点评点(2,0)实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，这充分反映出待定切点法的高效性． 4．求两条曲线的公切线例4 已知曲线C 1：y ＝x 2与C 2：y ＝－x 2＋4x －4，直线l 与C 1，C 2都相切，求直线l 的方程．分析设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解．解设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－x 22＋4x 2－4)．由C 1：y ＝x 2，得y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)，即y ＝2x 1x －x 21，由C 2：y ＝－x 2＋4x －4，得y ′＝－2x ＋4，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.因为两切线重合，所以2x 1＝－2(x 2－2)，且－x 21＝x 22－4，解得x 1＝0，x 2＝2或x 1＝2，x 2＝0. 所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.点评公切线问题的一般解法是分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两直线重合的条件建立方程组求解．6 导数中的分类讨论思想分类讨论思想在导数中的应用非常广泛，尤其是在求含参数的函数的单调区间、极值或最值的问题中，那么如何确定分类讨论的标准呢？ 1．按导数为零的根的大小来分类例1 设函数f (x )＝－x (x －a )2(x ∈R )，其中a ∈R 且a ≠0，求函数f (x )的极大值和极小值．解 f ′(x )＝－(3x －a )(x －a )，令f ′(x )＝0，解得x ＝a 或x ＝a3.当a >a 3，即a >0，x ∈(－∞，a3)时，f ′(x )<0，x ∈(a3，a )时，f ′(x )>0，x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )<0，因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极小值－427a 3，在x ＝a 处取得极大值0.当a <a3，即a <0，x ∈(－∞，a )时，f ′(x )<0，x ∈(a ，a 3)时，f ′(x )>0，x ∈(a3，＋∞)时，f ′(x )<0，因此，函数f (x )在x ＝a 3处取得极大值－427a 3，在x ＝a 处取得极小值0.点评本题对f (x )求导后，得到一个二次函数，令f ′(x )＝0得到的两个根是含有参数的，因此应按两个根的大小来分类． 2．按是否为二次函数来分类例2 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ≤12)，讨论f (x )的单调性．解 f ′(x )＝－ax 2－x ＋1－ax 2，x ∈(0，＋∞)，令h (x )＝ax 2－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)， (1)当a ＝0时，h (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，h (x )>0，此时f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，此时f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． (2)当a ≠0时，由f ′(x )＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a－1，①当a ＝12，即x 1＝x 2时，h (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②当0<a <12，即1a－1>1>0，x ∈(0,1)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1，1a －1)时，h (x )<0，f ′(x )>0，f (x )单调递增，x ∈(1a－1，＋∞)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；③当a <0时，1a－1<0<1，x ∈(0,1)时，h (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减， x ∈(1，＋∞)时，h (x )<0，f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当0<a <12时，函数f (x )在(0,1)和(1a －1，＋∞)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增．点评由于f ′(x )的分子是一个二次项含参的函数，因此在分类讨论时，首先应按a 是否为零，即该函数是否为二次函数来分类，然后当a ≠0时，再按根的大小来分类(与例1类似)，另外，应注意参数的范围． 3．按最值来分类例3 设函数f (x )＝e x －e －x，若对所有x ≥0都有f (x )≥ax ，求实数a 的取值范围．解令g (x )＝f (x )－ax ，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝e x ＋e －x－a ，由于e x ＋e －x ＝e x＋1e x ≥2(当且仅当x ＝0时等号成立)，所以当a ≤2时，g ′(x )＝e x＋e －x－a ≥2－a ≥0，故g (x )在(0，＋∞)上为增函数．所以当x ≥0时，g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥ax . 当a >2时，方程g ′(x )＝0的根为x 1＝lna －a 2－42<0，x 2＝lna ＋a 2－42>0，此时，若x ∈(0，x 2)，则g ′(x )<0，故g (x )在区间(0，x 2)内为减函数．所以当x ∈(0，x 2)时，g (x )<g (0)＝0，即f (x )<ax ，与题设f (x )≥ax 相矛盾．综上所述，满足条件的实数a 的取值范围为a ≤2.点评本题对函数求导后应根据导数中含自变量部分的最值对a 进行分类讨论．小结通过以上几例我们可以总结出分类讨论的原则：(1)要有明确的分类标准；(2)分类要不重复、不遗漏；(3)当讨论的对象不止一种时，应分层次进行．分类讨论的一般步骤：先明确讨论对象，确定对象的范围，再确定分类标准，逐段分析，获得阶段性结果，最后归纳总结得出结论.7 “极值点类型”大揭密通过求导，我们能够探索函数极值的情况，根据对多种题型的分析，可从极值的有无和多少进行分类，有的函数仅有唯一极值点，有的函数无极值点，有的却有两个或两个以上的极值点，这些数量的不同从哪里体现出来呢？下面通过三个实例来讨论． 1．破解无极值点类型例1 若已知函数f (x )＝x 3＋ax 2－a 2x ＋m (a >0)在x ∈(－1,1)内没有极值点，试求实数a 的取值范围．分析 “没有极值点”即导数方程在区间(－1,1)内无解；在实数集上无解，或在实数集上有解但其根均在区间(－1,1)之外．解析由题意，得f ′(x )＝3x 2＋2ax －a 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝a3或x ＝－a .依题意知，两根不在区间(－1,1)内，则⎩⎪⎨⎪⎧a 3≥1，－a ≤－1，所以a ≥3，因此a 的取值范围为[3，＋∞)．点评本题还可以利用补集思想，先求出函数在(－1,1)内有极值点时a 的取值范围，再取其补集即可．2．破解唯一极值点类型例2 若函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b ，其中a ，b ∈R ，仅在x ＝0处存在极值，则实数a 的取值范围是________．分析问题中的“仅”即“存在且唯一”的意思，由此可得对应符号语言．解析由题意f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4)，而已知函数f (x )仅在x ＝0处存在极值，这说明方程4x 2＋3ax ＋4＝0要么无解，要么有两个相同实数根，因此它的判别式Δ＝(3a )2－64≤0，解得－83≤a ≤83，即a 的取值范围是[－83，83]．答案 [－83，83]点评对于导函数为三次函数的情形，要充分对三次式进行因式分解，这样便于显现出f ′(x )＝0的根的情况． 3．破解多个极值点类型例3 如果函数f (x )＝ax 5－bx 3＋c (a >0)在x ＝±1时有极值，极大值为4，极小值为0，试求a ，b ，c 的值．分析本题主要考查利用函数的极值来确定参数的值，解决本题的关键是运用待定系数法求a ，b ，c 的值．解 ∵y ′＝5ax 4－3bx 2，令y ′＝0，即5ax 4－3bx 2＝0， ∴x 2(5ax 2－3b )＝0. ∴x 2＝0或5ax 2－3b ＝0. ∵x ＝±1是极值点，∴5a (±1)2－3b ＝0，∴5a ＝3b . ∴极值点可能为x ＝0，x ＝±1. ∵a >0，∴y ′＝5ax 2(x 2－1)．当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：由上表可知，当x ＝－1时，f (x )有极大值，当x ＝1时，f (x )有极小值． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＋b ＋c ＝4，a －b ＋c ＝0，5a ＝3b⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5，c ＝2.经检验a ＝3，b ＝5，c ＝2符合题意．点评对于导函数的零点较多时，要充分利用表格寻找极值点．8 导数应用中的常见误区虽然导数确实为我们解决函数问题带来了便利，但如果混淆某些概念，忽视了定理的应用条件，就会得出错误的结论．本文将介绍在解题中出现的几种典型错误，以帮助大家走出误区，加深对概念的理解． 1．误把切点当极值点例1 已知函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 的图象经过点(0,1)，且在x ＝1处的切线方程是y ＝x －2，求f (x )的解析式．错解 f ′(x )＝4ax 3＋2bx .将x ＝1代入y ＝x －2中，得y ＝－1.由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧f ＝1，f＝－1，f＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝－1，4a ＋2b ＝0，解得a ＝2，b ＝－4，c ＝1.因此f (x )＝2x 4－4x 2＋1.剖析本题错在将切点当做极值点，得到f ′(1)＝0的错误结论．其实，虽然切点和极值点都与导数有关，但它们却是两个完全不同的概念，不能混为一谈．正解 f ′(1)表示函数f (x )的图象在点(1，－1)处的切线斜率，应有f ′(1)＝1，再联立f (0)＝1，f (1)＝－1便可得到正确答案：a ＝52，b ＝－92，c ＝1，因此f (x )＝52x 4－92x 2＋1.2．误把零点当极值点例2 求函数f (x )＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．错解 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0，即当4x 3－3x 2＝0，得x 1＝0，x 2＝34.所以f (0)＝0，f (34)＝－27256，又f (34)<f (0)，故极小值为－27256，极大值为0.剖析本题错在将导数为零的点都认为是极值点，其实不然，导数为零仅是零点是极值点的必要不充分条件，错解中还有一个误区就是认为极大值一定大于极小值．事实上，极值仅描述函数在该点附近的局部特征，极大值未必一定大于极小值．正解 f ′(x )＝4x 3－3x 2，令f ′(x )＝0，即4x 3－3x 2＝0时，得x 1＝0，x 2＝34.当x 变化时，f (x )、f ′(x )的变化情况如下表：由上表可知，函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间(0，34)上还是减函数，所以x＝0不是函数的极值点，而函数f (x )在区间(0，34)上是减函数，在区间(34，＋∞)上是增函数，所以函数f (x )在x ＝34处取得极小值，极小值为－27256.3．误把必要不充分条件当作充要条件例3 已知f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1在R 上是减函数，求实数a 的取值范围．错解 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1. ∵f (x )在R 上是减函数，∴f ′(x )<0，即3ax 2＋6x －1<0在x ∈R 上恒成立， ∴a <0且Δ＝36＋12a <0，因此a <－3.剖析 f (x )在R 上是减函数是f ′(x )<0的必要不充分条件，而不是充要条件，实际上f (x )在R 上是减函数可能存在着f ′(x )＝0的情况，只要f ′(x )不恒为0即可，本题可采用先由f ′(x )≤0求解，然后验证f ′(x )＝0的特殊情况即可．正解由f ′(x )≤0，即不等式3ax 2＋6x －1≤0在x ∈R 上恒成立，于是a <0且Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.当a ＝－3时，f (x )＝－3x 3＋3x 2－x ＋1＝－3(x －13)3＋89，显然是R 上的减函数，故a ≤－3符合题意．点评上述三个例题虽然错误根源不同，但为了防止出错，我们应该正确理解有关概念，掌握概念之间的区别和联系．在例3中我们应加强检验的意识．。

江苏省宿迁市高中数学第3章导数及其应用第18课时本章复习导学案(无答案)苏教版选修11

第18课时导数复习与小结【学习目标】1.复习复数的概念、表示形式以及复数代数形式的四则运算，理解复数几何意义.2.体会数系的扩充是实际的需要也是数学内部矛盾在数学发展中作用的结果，认识人类理性思维在数学发展中的作用. 【基础训练】1.函数()cos2f x x x =- ，则()4f π'= .2.函数()1sin 2x f x x =+-,则()f x 的单调增区间是_________________.3.若函数32()1f x x ax =-+ 在(0,2) 内单调递减，则实数a 的取值范围为 .4.若不等式43420x x a --+> 对一切x R ∈ 都成立，则实数a 的取值范围为 .5.已知定义在R 上的函数()f x 满足：对任意，x R ∈都有(1)(1)f x f x +=- 成立，且当(,1)x ∈-∞ 时，(1)()0x f x '-< .设1(0)()()2a f f f =，b ＝，c ＝３，则a b c ，，三者的大小关系是 .6. 设直线x t ＝与函数2()()ln f x x g x x =＝，的图像分别交于点,M N ，则当MN 达到最小时t 的值为_________________答案：1.3； 2.5(,)33ππ； 3. [3,)+∞ ； 4.(29,)+∞ ； 5.c a b << ；；设计意图：教学建议：通过知识点的训练让学生梳理本章的知识点和知识网络. 【合作探究】例1.求下列函数的导数：（1）22()(2)y x x x =-+ ；（2）tan y x =设计意图：复习复数相关概念；（1）~（3）复习复数相等、共轭复数等概念、复数是实数的条件；（4）巩固复数的几何意义；教学建议：让学生叙述相关定义并板演。

解：例2．确定下列函数的单调减区间：（1）y =；（2）cos 23y x x =--；设计意图：复习复数的运算法则；（1）复习复数除法、模的运算，（2）复习复数加减乘除乘方综合运算；（3）复习i n的规律，或用错位相减法；教学建议：让学生先观察再用简洁的方法求解。

高中数学第三章导数及其应用 3.3.1 单调性学案苏教版选修11

3．3.1 单调性学习目标 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间．知识点函数的单调性与导函数正负的关系思考1 观察下列各图，完成表格内容思考2 依据上述分析，可得出什么结论？梳理(1)(2)在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：类型一求函数的单调区间命题角度1 求不含参数的函数的单调区间例1 求f(x)＝3x2－2ln x的单调区间．反思与感悟求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，函数在定义域内的解集上为增函数；(4)解不等式f ′(x )<0，函数在定义域内的解集上为减函数．跟踪训练1 求函数f (x )＝exx －2的单调区间．命题角度2 求含参数的函数的单调区间例2 讨论函数f (x )＝x 2－a ln x (a ≥0)的单调性．引申探究若将本例改为f (x )＝ax 2－ln x (a ∈R )呢？反思与感悟 (1)在判断含有参数的函数的单调性时，不仅要考虑到参数的取值范围，而且要结合函数的定义域来确定f ′(x )的符号，否则会产生错误．(2)分类讨论是把整个问题划分为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的不确定因素就变成了确定性因素，当这些局部问题都解决了，整个问题就解决了．跟踪训练2 已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2x ＋t －1，其中x ∈R ，t ∈R .当t ≠0时，求f (x )的单调区间．类型二证明函数的单调性问题例3 证明：函数f (x )＝sin x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减．反思与感悟关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行． (2)f ′(x )>(或<)0，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥(或≤)0.跟踪训练3 证明：函数f (x )＝ln xx在区间(0，e)上是增函数．类型三已知函数的单调性求参数范围例4 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围．反思与感悟已知函数的单调性，求函数解析式中参数的取值范围，可转化为不等式恒成立问题，一般地，函数f (x )在区间I 上单调递增(或减)，转化为不等式f ′(x )≥0(f ′(x )≤0)在区间I 上恒成立，再用有关方法可求出参数的取值范围．跟踪训练4 已知函数f (x )＝13x 3－12ax 2－(a ＋1)x ＋2在区间[1,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．1．关于函数f(x)＝1－x－sin x，下列说法正确的是________．(填序号)①在(0,2π)上是增函数；②在(0,2π)上是减函数；③在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数；④在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数．2．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能是________．3．函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调增区间为________．4．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围为________．5．求函数f(x)＝(x－k)e x的单调区间．1．导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性，导数绝对值的大小反映了函数在某个区间或某点附近变化的快慢程度．2．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．提醒：完成作业第3章§3.3 3.3.1答案精析问题导学知识点思考1 正递增正正递增负递减负负递减负负递减思考2 一般地，设函数y ＝f (x )，在区间(a ，b )上， ①如果f ′(x )>0，则f (x )在该区间上单调递增； ②如果f ′(x )<0，则f (x )在该区间上单调递减．梳理 (1)> 锐上升递增 < 钝下降递减 (2)增减题型探究例1 解 f (x )＝3x 2－2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝6x －2x＝x 2－x＝3x －3x ＋x，由x >0，解f ′(x )>0，得x >33；由x <0，解f ′(x )<0，得0<x <33. 所以函数f (x )＝3x 2－2ln x 的单调递增区间为(33，＋∞)，单调递减区间为(0，33)．跟踪训练1 解函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝exx －－exx －2＝exx －x －2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x>0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0，得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0，得x <3.又函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3)．例2 解函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －a x ＝2x 2－ax.设g (x )＝2x 2－a ，由g (x )＝0，得2x 2＝a .当a ＝0时，f ′(x )＝2x >0，函数f (x )在区间(0，＋∞)上为增函数；当a >0时，由g (x )＝0，得x ＝2a 2或x ＝－2a 2(舍去)．当x ∈(0，2a2)时，g (x )<0，即f ′(x )<0；当x ∈(2a2，＋∞)时，g (x )>0，即f ′(x )>0.所以当a >0时，函数f (x )在区间(0，2a 2)上为减函数，在区间(2a 2，＋∞)上为增函数．综上，当a ＝0时，函数f (x )的单调增区间是(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调增区间是(2a 2，＋∞)，单调减区间是(0，2a2)．引申探究解 f ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x，当a ≤0时，且x ∈(0，＋∞)，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝2a 2a 或－2a2a (舍去)．当x ∈(0，2a2a)时，f ′(x )<0， ∴f (x )为减函数；当x ∈(2a2a，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )为增函数．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数；当a >0时，f (x )在(0，2a 2a )上为减函数，在(2a 2a，＋∞)上为增函数．跟踪训练2 解 f ′(x )＝12x 2＋6tx －6t 2＝6(x ＋t )(2x －t )，令f ′(x )＝0，得x 1＝－t ，x 2＝t2.当t <0，x ∈(t2，－t )时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x ∈(－∞，t2)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，同理当x ∈(－t ，＋∞)时，f (x )也为增函数．∴当t <0时，f (x )的增区间为(－∞，t2)和(－t ，＋∞)，f (x )的减区间为(t2，－t )；当t >0，x ∈(－t ，t2)时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数，当x ∈(－∞，－t )和x ∈(t2，＋∞)时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数，∴当t >0时，f (x )的增区间为(－∞，－t )，(t2，＋∞)，f (x )的减区间为(－t ，t2)．综上所述，①当t <0时，f (x )的单调增区间是(－∞，t 2)，(－t ，＋∞)，单调减区间是(t2，－t )．②当t >0时，f (x )的单调增区间是(－∞，－t )，(t 2，＋∞)，单调减区间是(－t ，t2)．例3 证明 f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，又x ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos x <0，sin x >0， ∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上是减函数．跟踪训练3 证明 ∵f (x )＝ln xx，∴f ′(x )＝x ·1x －ln xx 2＝1－ln xx 2.又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln xx2>0，故f (x )在区间(0，e)上是增函数．例4 解 f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2.要使f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立，即2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)时恒成立．∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)时恒成立． ∴a ≤(2x 3)min .∵当x ∈[2，＋∞)时，y ＝2x 3是单调递增的， ∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝2x 3－16x2≥0(x ∈[2，＋∞))，有且只有f ′(2)＝0， ∴a 的取值范围是(－∞，16]．跟踪训练4 解方法一 f ′(x )＝x 2－ax －(a ＋1)，因为函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，即x 2－ax －(a ＋1)≤0，解得a ≥x －1. 因为在[1,2]上，a ≥x －1恒成立，所以a ≥(x －1)max ＝1.所以a 的取值范围是[1，＋∞)．方法二 f ′(x )＝(x ＋1)[x －(a ＋1)]，由于函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，所以f ′(x )≤0，当a >－2时，解得－1≤x ≤a ＋1，即减区间为[－1，a ＋1]，则[1,2]⊆[－1，a ＋1]，得a ≥1. 当a ≤－2时，解得减区间为[a ＋1，－1]，则函数f (x )不可能在[1,2]上为减函数，故a ≥1. 所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)．当堂训练1．② 2.④ 3.⎝⎛⎭⎪⎫0，1a 4.[3，＋∞)5．解 f ′(x )＝e x＋(x －k )e x＝(x －k ＋1)e x，当x<k－1时，f′(x)<0；当x>k－1时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)，单调递增区间为(k－1，＋∞)．11。

高中数学第三章导数及其应用3.4导数在实际生活中的应用学案苏教版选修11

3.4 导数在实际生活中的应用学习目标：1.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法．(重点) 2.通过对实际问题的研究，促进学生分析问题、解决问题以及数学建模能力的提高．(难点)[自主预习·探新知]1．导数的实际应用导数在实际生活中有着广泛的应用，如用料最省、利润最大、效率最高等问题一般可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决．2．用导数解决实际生活问题的基本思路[基础自测]1．判断正误：(1)应用导数可以解决所有实际问题中的最值问题．( )(2)应用导数解决实际应用问题，首先应建立函数模型，写出函数关系式．( )(3)应用导数解决实际问题需明确实际背景．( )【解析】(1)×.如果实际问题中所涉及的函数不可导、就不能应用导数求解．(2)√.求解实际问题一般要建立函数模型，然后利用函数的性质解决实际问题．(3)√.要根据实际问题的意义确定自变量的取值．【答案】(1)×(2)√(3)√2．生产某种商品x单位的利润L(x)＝500＋x－0.001x2，生产________单位这种商品时利润最大，最大利润是________．【解析】L′(x)＝1－0.002x，令L′(x)＝0，得x＝500，∴当x＝500时，最大利润为750.【答案】500 750[合作探究·攻重难]r，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上．设CD＝2x，梯形的面积为S.(1)求面积S关于x的函数，并写出其定义域；(2)求面积S的最大值.【导学号：95902246】[思路探究] (1)建立适当的坐标系，按照椭圆方程和对称性求面积S 关于x 的函数式；(2)根据S 的函数的等价函数求最大值．【自主解答】 (1)依题意，以AB 的中点O 为原点建立直角坐标系如图所示，则点C的坐标为(x ，y )．∵点C 在椭圆上，∴点C 满足方程x 2r 2＋y 24r2＝1(y ≥0)，则y ＝2r 2－x 2(0< x <r )，∴S ＝12(2x ＋2r )·2r 2－x 2＝2(x ＋r )r 2－x 2(0< x <r )．(2)记S ＝4(x ＋r )2(r 2－x 2)(0＜x ＜r ) 则S ′＝8(x ＋r )2(r －2x )令S ′＝0，解得x ＝12r 或x ＝－r (舍去)．当x 变化时， S ′，S 的变化情况如下表：∴x ＝12r 时，S [规律方法]1．求面积、体积的最大值问题是生活、生产中的常见问题，解决这类问题的关键是根据题设确定出自变量及其取值范围，利用几何性质写出面积或体积关于自变量的函数，利用导数的方法来求解．2．选择建立适当的坐标系，利用点的坐标建立函数关系或曲线方程，以利于解决问题． [跟踪训练]1.在一个半径为1的半球材料中截取两个高度均为h 的圆柱，其轴截面如图341所示．设两个圆柱体积之和为V ＝f (h )．图341(1)求f (h )的表达式，并写出h 的取值范围． (2)求两个圆柱体积之和V 的最大值．【解】 (1)自下而上两个圆柱的底面半径分别为：r 1＝1－h 2， r 2＝1－h2.它们的高均为h ，所以体积之和V ＝f (h )＝πr 21h ＋πr 22h ＝π[]()1－h 2＋()1－4h 2h ＝π()2h －5h 3.因为0＜2h ＜1，所以h 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.(2)由f (h )＝π(2h －5h 3)，得f ′(h )＝π(2－15h 2)，令f ′(h )＝0，因为h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，得h ＝3015. 所以当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3015时，f ′(h )＞0；当h ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3015，12时，f ′(h )＜0. 所以f (h )在⎝⎛⎭⎪⎫0，3015上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3015，12上为减函数，所以当h ＝3015时，f (h )取得极大值也是最大值， f (h )的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫3015＝430π45. 答：两个圆柱体积之和V 的最大值为430π45.如图342A 处，乙厂与甲厂在海岸的同侧，乙厂位于离海岸40 km 的B 处，乙厂到海岸的垂足D 与A 相距50 km.两厂要在此岸边合建一个供水站C ，从供水站到甲厂和乙厂铺设的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，则供水站C 建在何处才能使水管费用最省？【导学号：95902247】图342[思路探究] 先列出自变量，通过三角知识列出水管费用的函数，然后求导，根据单调性求出最小值．【自主解答】设C 点距D 点x km ，则BD ＝40 km ，AC ＝(50－x )km ， ∴BC ＝BD 2＋CD 2＝402＋x 2(km)．又设总的水管费用为y 元，依题意，得y ＝3a (50－x ) ＋5a x 2＋402(0≤x ≤50)，则y ′＝－3a ＋5axx 2＋402，令y ′＝0，解得x ＝30.当x ∈[0,30)时，y ′＜0，当x ∈(30,50]时，y ′＞0,∴当x ＝30时函数取得最小值，此时AC ＝50－x ＝20(km)，即供水站建在A ，D 之间距甲厂20 km 处，可使水管费用最省．[规律方法]1．像本例节能减耗问题，背景新颖，信息较多，应准确把握信息，正确理清关系，才能恰当建立函数模型．2．实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出极值点(注意根据实际意义舍弃不合适的极值点)后，函数满足左减右增，此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．[跟踪训练]2．某工厂需要建一个面积为512 m 2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用的材料最省，则堆料场的长为________，宽为________．【解析】如图所示，设场地一边长为x m ，则另一边长为512xm ，因此新墙总长度L ＝2x ＋512x (x ＞0)，L ′＝2－512x 2.令L ′＝2－512x2＝0，得x ＝16或x＝－16.∵x ＞0，∵x ＝16.∵L 在(0，＋∞)上只有一个极值点，∴它必是最小值点．∵x ＝16，∴512x＝32.故当堆料场的宽为16 m ，长为32 m 时，可使砌墙所用的材料最省．【答案】 16 m 32 m[探究问题]1．在有关利润最大问题中，经常涉及“成本、单价、销售量”等词语，你能解释它们的含义吗？【提示】成本是指企业进行生产经营所耗费的货币计量，一般包括固定成本(如建设厂房、购买机器等一次性投入)和可变成本(如生产过程中购买原料、燃料和工人工资等费用)，单价是指单位商品的价格，销售量是指所销售商品的数量．2．什么是销售额(销售收入)？什么是利润？【提示】销售额＝单价×销售量，利润＝销售额－成本．3．根据我们以前所掌握的解决实际应用问题的思路，你认为解决利润最大问题的基本思路是什么？【提示】在解决利润最大问题时，其基本思路如图所示．某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w (单位：百千克)与肥料费用x (单位：百元)满足如下关系：w ＝4－3x ＋1，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克)，且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为L (x )(单位：百元)．(1)求利润函数L (x )的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ [思路探究] (1)利润＝收入－总成本．其中，收入＝产量×售价，总成本＝肥料费用＋其他成本；(2)利用求导、列表、定最值．【自主解答】 (1)当肥料费用为x 百元时，收入为16⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1百元，总成本为(x ＋2x )百元．所以L (x )＝16⎝⎛⎭⎪⎫4－3x ＋1－(x ＋2x )＝64－48x ＋1－3x (百元)，其中x ∈[0,5]． (2)L ′(x )＝48x ＋2－3，x ∈[0,5]．令L ′(x )＝0，得x ＝3. 列表如下：max 答：当投入的肥料费用为300元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是 4 300元．[规律方法] 解决最优化问题的一般步骤：根据各个量之间的关系列出数学模型；对函数求导，并求出导函数的零点，确定函数极值；比较区间端点处函数值和极值之间的大小，得到最优解. [跟踪训练]3．某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，日销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式；(2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价为多少元时，该工厂的每日利润最大？并求最大值.【导学号：95902248】【解】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，∴k ＝100e 30， ∴日销量q ＝100e30e x ，∴y ＝100e 30x －20－tex(25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e30x －ex，∴y ′＝100e30－x ex.由y ′＞0，得25≤x ＜26，由y ′＜0，得26＜x ≤40， ∴y 在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.故当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的每日利润最大，最大值为100e 4元．[构建·体系][当堂达标·固双基]1．一个圆锥形漏斗的母线长为20，高为h ，则体积V 的表达式为________．【解析】设圆锥的高为h ，则圆锥的底面半径为r ＝400－h 2，则V ＝13π(400－h 2)h .【答案】 13π(400－h 2)h2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x 的函数，y 2＝2x 3－x 2(x ＞0)，为使利润最大，应生产________千台.【导学号：95902249】【解析】构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x ＞0)，y ′＝36x －6x 2，由y ′＝0是x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．即生产6千台时，利润最大．【答案】 63．某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．【解析】 V ′(x )＝2x ·⎝⎛⎭⎪⎫60－x 2＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)．令V ′(x )＝0，得x ＝40或x ＝0(舍)．不难确定x ＝40时，V (x )有最大值．即当底面边长为40时，箱子容积最大．【答案】 404．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为________．【解析】设圆柱的底面半径为R ，母线长为L ，则V ＝πR 2L ＝27π，∴L ＝27R2.要使用料最省，只需使圆柱形表面积最小，∴S 表＝πR 2＋2πRL ＝πR 2＋2π·27R，∴S ′表＝2πR －54πR2.令S ′＝0，解得R ＝3.∵R ∈(0,3)时，S 表单调递减，R ∈(3，＋∞)时，S 表单调递增，∴当R ＝3时，S 表最小．【答案】 35．某厂生产某种产品x 件的总成本c (x )＝1200＋275x 3(万元)，已知产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为多少件时，总利润最大？并求出最大总利润．【解】由题意，可设p 2＝kx，其中k 为比例系数．因为当x ＝100时，p ＝50，所以k ＝250 000，所以p 2＝250 000x，p ＝500x，x ＞0.设总利润为y 万元，则y ＝500x·x －1200－275x 3＝500x －275 x 3－1 200.求导数得，y ′＝250x －225x 2.令y ′＝0得x ＝25.故当x ＜25时，y ′＞0；当x ＞25时，y ′＜0.因此当x ＝25时，函数y 取得极大值，也是最大值，即最大利润为2 6503万元．【答案】 25。

高中数学章末综合测评3导数及其应用苏教版选修11

章末综合测评(三) 导数及其应用(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在题中横线上．) 1．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于________．【解析】平均速度为V ＝＋Δt 2＋3－2＋3＋Δt －3＝6＋Δt .【答案】 6＋Δt2．若f ′(x 0)＝－3，则当h →0时，f x 0＋h －f x 0－3hh趋于常数________.【导学号：95902262】【解析】 f x 0＋h －f x 0－3hh＝4×f x 0＋h －f x 0－3h4h.∵f ′(x 0)＝－3，∴当h →0时，f x 0＋h －f x 0－3h4h趋于－3，故当h →0时，f x 0＋h －f x 0－3hh趋于－12.【答案】－123．已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．若f ′(1)＝3，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )．由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 【答案】 34．已知曲线f (x )＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是________．【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2，由f ′(x )＝0得x ＝－1，又f (－1)＝1－2－2＝－3，∴点M 的坐标为(－1，－3)．【答案】 (－1，－3)5．函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为__________.【导学号：95902263】【解析】由题知y ′＝e x＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .【答案】 y ＝－1e6．下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(x 2)′＝1x ；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x e x ′＝x －1ex，其中正确的有________(填序号)．【解析】由于(sin x )′＝cos x ，故①错误；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2，故②错误；由于(log 3x )′＝1x ln 3，故③错误；由于x 2＝2x ，故④错误；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫－x e x ′＝－e x －x e xx 2＝x －1ex，所以⑤正确．【答案】 ⑤7．函数y ＝e xcos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内的单调增区间是________．【解析】 y ′＝e x(cos x －sin x )，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4时cos x ＞sin x ，y ′＞0，∴函数y ＝e x cos x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2内的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.【答案】 ⎝⎛⎭⎪⎫0，π48．函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )在区间上的值域为________.【导学号：95902264】【解析】 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增．∴f (x )的最大值在x ＝π2处取得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值在x ＝0处取得，f (0)＝12.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π29．已知函数y ＝f (x )在定义域[－4,6]内可导，其图象如图1，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．图1【解析】不等式f ′(x )≤0的解集即为函数y ＝f (x )的减区间，由题图知y ＝f (x )的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，6，故f ′(x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，6. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43，1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，610．如图2，是y ＝f (x )的导函数的图象，现有四种说法： ①f (x )在(－2，－1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点．以上说法正确的序号是________(填序号)．图2【解析】由函数的图象可知：f ′(－2)＜0，f ′(－1)＝0，f (x )在(－2，－1)上是减函数，①不正确；x ＝－1时f ′(1)＝0，函数在(－3，－1)递减，在(－1,2)单调递增，所以x ＝－1是f (x )的极小值点，所以②正确；f (x )在(－1，2)上f ′(x )＞0，所以函数在(－1,2)上是增函数，所以③正确；函数在(－1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x ＝2是f (x )的极大值点，所以④不正确．【答案】 ②③11．已知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋a ，若f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ＋n 的值为________.【导学号：95902265】【解析】 ∵f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋a ，∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，∵f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ，n 为f ′(x )＝0的两个根，根据根与系数的关系可得，m ＋n ＝－－63＝2，∴m ＋n 的值为2.【答案】 212．若a ＞2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点．【解析】 ∵f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ，又a ＞2，∴2a ＞4.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减，又f (0)＝1，f (2)＝83－4a ＋1＝113－4a ，由a ＞2知f (2)＜0，∴函数f (x )在(0,2)上只有1个零点．【答案】 113．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则f (0)＋f (2)与2f (1)的大小关系为________．【解析】依题意，当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故当x ＝1时，f (x )取得极小值也为最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，∴f (0)＋f (2)≥2f (1)．【答案】 f (0)＋f (2)≥2f (1)14．已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________.【导学号：95902266】【解析】 f ′(x )＝x 2＋x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或1，则f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴x ＝1是极小值点．∵f (x )的图象不经过第四象限，即当x ＞0时，f (x )≥0.∴f (1)＝13＋12－2＋m ≥0，∴m ≥76.【答案】 m ≥76二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 15．(本小题满分14分)已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值．【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，解得：a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)得y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0，或x ＝1 当x ＞1或x ＜0时，y ′＜0，函数在(－∞，0)，(1，＋∞)内单调递减；当0＜x ＜1时，y ′＞0，函数在(0,1)单调递增．∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.16．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .(1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－1,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.【导学号：95902267】【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)． (2)f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a .因为f (x )在区间[－1,2]上，所以f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[－1,2]上单调递增，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－1,2]上的最小值为－7.17．(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．【解】函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x －x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)． (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx －x＋a ＞0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本小题满分16分)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【解】设火车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k ·203，∴k ＝1200，则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0＜x ≤100)．由f ′(x )＝a x 3－100x2＝0，得x ＝2035.当0＜x ＜2035时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当2035＜x ≤100时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝2035时，f (x )取极小值也是最小值，即速度为2035 km/h 时，总费用最少． 19．(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f (x )＝x (x －a )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值，试写出g (a )的表达式.【导学号：95902268】【解】 (1)由题意知函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋x －a 2x ＝3x －a2x(x ＞0) ①若a ≤0，则f ′(x )＞0，故f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3.当0＜x ＜a 3时，f ′(x )＜0，当x ＞a3时，f ′(x )＞0.故f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞.由于函数在某一点处没有增减性，故函数的单调区间的情况为：若a ≤0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；若a ＞0，f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞.(2)①若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝ f (0)＝0.②若0＜a ＜6，f (x )在[0，a 3 ]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a3，2上单调递增，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－2a 3a3.③若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减，所以g (a )＝f (2)＝2(2－a )．综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤0，－2a3a3，0＜a ＜6，2－a ，a ≥6.20．(本小题满分16分)已知二次函数h (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ＜4)，其导函数y ＝h ′(x )的图象如图3所示，函数f (x )＝8ln x ＋h (x )．图3(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫m ，m ＋12上是单调增函数，求实数m 的取值范围； (3)若对任意k ∈[－1,1]，x ∈(0,8]，不等式(k ＋1)x ≥f (x )恒成立，求实数c 的取值范围．【解】 (1)h ′(x )＝2ax ＋b ，由h ′(5)＝0，h ′(0)＝－10，解得a ＝1，b ＝－10. (2)f (x )＝8ln x ＋x 2－10x ＋c ，则f ′(x )＝8x＋2x －10＝x －x －x，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝4，列表如下：因f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m ＋2是单调增函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m ＋12⊆(0,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m ＋12⊆(4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤m ，m ＋12≤1或m ≥4，所以实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12∪[4，＋∞)．(3)由(k ＋1)x ≥f (x )在x ∈(0,8]恒成立，整理得k ≥8ln x x ＋x －11＋cx对任意k ∈[－1,1]恒成立，所以应有－1≥8ln x x ＋x －11＋c x恒成立，即c ≤－8ln x －x 2＋10x 对x ∈(0,8]恒成立，设g (x )＝－8ln x －x 2＋10x ，x ∈(0,8]，则g ′(x )＝－8x－2x ＋10＝－x －x －4.令g′(x)＝0，得x＝1或x＝4，列表如下：所以g(x)在x∈(0,8]的最小值为g(8)＝16－8ln 8，又c＜4，16－8ln 8－4＝12－8ln 8＜12－8ln e2＝12－16＜0，所以实数c的取值范围是(－∞，16－8ln 8]．。

江苏省宿迁市高中数学第3章导数及其应用第4课时导

课题：导数的概念姓名_____________班级日期：【学习任务】 1．了解导数的概念．2．掌握用导数的定义求导数的一般方法．3．在了解导数与几何意义的基础上，加深对导数概念的理解．【课前预习】1、函数223y x x =+在3x =时的导数为，在x a =时的导数为2、导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v (t )=3、函数()y f x =在点经x 0处的导数0'()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点P(x 0,,0'()f x )处的4、如图，函数()y f x =的图象在点Ｐ处的切线方程是8y x =-+，(5)f =______，'(5)f =【合作探究】例题１．已知 ()f x =2x +2. （1）求()f x 在x=1处的导数。

（2）求()f x 在x=a 处的导数。

变式１求下列函数在已知点处的导数：（１）31y x =+在3x =处的导数；（２）21y x =+在x a =处的导数；（３）1y x=在2x =处的导数．例题２已知曲线331x y =上一点⎪⎭⎫⎝⎛38,2P ．求：（1）点P 处的切线的斜率；（2）点P 处的切线方程．变式２已知曲线512++=x x y 上一点⎪⎭⎫⎝⎛219,2P ，求点P 处的切线方程．课题：3.1.2导数的概念当堂检测姓名1. 已知过点P （2，0）的曲线2()24f x x x =-，则该曲线在点P处的切线的斜率为2. 如右图，函数()y f x =的图象在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)'(4)f f +的值为3. 设()4,f x ax =+若'(1)f =2，则a= .4. 若300(),'()3,f x x f x x ==则= __________5已知曲线2311y x y x =-=-与曲线在点x 0 处的切线互相平行，则x 0=６过点P （—1，2），且与曲线2342y x x =-+在点M （1，1）处的切线平行的直线方程。

高中数学第3章导数及其应用第11课时单调性(2)导学案(无答案)苏教版选修1-1(2021学年)

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第11课时单调性（2)【学习目标】１。

掌握利用导数判断函数单调性的方法2．掌握含参数的函数的单调性。

【问题情境】1。

函数单调性和导数正负的关系2。

利用导数判断函数单调性的步郰【合作探究】１．探究一1、已知函数2()f x x ax =+在,1)∞(-上是减函数,在[1，+∞)上是增函数,则ａ=2。

探究二①已知函数2()f x x ax =+的增区间是［１，+∞），则a ＝②已知函数2()f x x ax =+在［1，+∞)上是增函数,则实数a 的取值范围是【展示点拨】例1已知函数32()2f x x bx cx =-++在区间(0，1)上是增函数,在区间(—∞,0），（1,+∞）上是减函数，求f(x ）的解析式【方法规律】(1) 函数的递增区间是（a,b)与函数在区间(a ，b ）上是增函数的含义是不同的(2) 若函数f （x ）的递增区间是(ａ，b),且ｆ(x ）在区间(c ，ｄ）上是增函数，则(ｃ,ｄ)⊆(a,b)例2。

(１）已知函数3()1f x x ax =-+在R 上是增函数,求实数a 的取值范围（1）已知函数()()x f x x a e =+在[０,1]上是减函数，求实数a 的取值范围（2）已知函数1()1ax f x x +=+在区间[1,２]上是增函数，求实数a 的取值范围【方法规律】区分清楚如下两个常用的解题结论① f(x)在区间I 上满足'()0(0)()f x f x ><⇒在区间I 上为增(减）函数② f(x)在区间I 上为增(减）函数'()0(0)f x ⇒≥≤在区间I 上恒成立,且'()f x 不恒等于0拓展延伸:当ｘ>0时,证明不等式：１+2x<e2【学以致用】1．已知函数()3f x ax=+在［1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是＿＿_＿_____＿＿___＿__２. 已知函数2()2f x ax x=-的递增区间为（１,+ ∞),则实数ａ的取值范围为_＿______＿＿_____3. 若函数32()f x x ax=-在［0,2]内单调递减,则实数a的取值范围是4．已知函数()ln af x xx=-在［1,ｅ］上是单调函数,求实数a的取值范围第1１课时单调性（2)同步训练【基础训练】1.若函数2()f x ax b=-在区间(,0)-∞上是减函数,则,a b应满足条件＿___＿＿_＿___＿＿＿＿__＿＿__＿＿＿_＿。

【数学】2020学年高中数学第三章导数及其应用章末复习提升教学案新人教B版选修11

【关键字】数学第三章导数及其应用1．对于导数的定义，必须明白定义中包含的基本内容和自变量的增量Δx→0的方式，导数是函数的增量Δy与自变量的增量Δx的比的极限，即＝.函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．2．曲线的切线方程利用导数求曲线过点P的切线方程时应注意：(1)判断P点是否在曲线上；(2)如果曲线y＝f(x)在P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)，可得方程为x＝x0；P点坐标适合切线方程，P点处的切线斜率为f′(x0)．3．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．4．判断函数的单调性(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)注意在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．5．利用导数研究函数的极值要注意(1)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧邻近区域而言的．(2)连续函数f(x)在其定义域上的极值点可能不止一个，也可能没有极值点，函数的极大值与极小值没有必然的大小联系，函数的一个极小值也不一定比它的一个极大值小．(3)可导函数的极值点一定是导数为零的点，但函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点．因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件，其充要条件是加上这点两侧的导数异号．6．求函数的最大值与最小值(1)函数的最大值与最小值：在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)，在[a，b]上必有最大值与最小值；但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函数最值的步骤一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上最大值与最小值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值及端点处的函数值f(a)，f(b)；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．7．应用导数解决实际问题，关键在于建立恰当的数学模型(函数关系)，如果函数在区间内只有一个极值点x0，则f(x0)是函数的最值.题型一应用导数解决与切线相关的问题根据导数的几何意义，导数就是相应切线的斜率，从而就可以应用导数解决一些与切线相关的问题．例1 已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．解函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x>0),∴f(1)＝1，f′(1)＝－1,∴y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1), 即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a;∵x∈(0，a)时，f′(x)<0，x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0∴f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．跟踪演练1 点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，且两条曲线在点P处有相同的切线，求a，b，c的值．解因为点P(2,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，所以23＋＝0①4b＋c＝0②由①得a ＝－4.所以f(x)＝x3－4x. 又因为两条曲线在点P 处有相同的切线，所以f ′(2)＝g ′(2)，而由f ′(x)＝3x2－4得到f ′(2)＝8，由g ′(x)＝2bx 得到g ′(2)＝4b ，所以8＝4b ，即b ＝2，代入②得到c ＝－8. 综上所述，a ＝－4，b ＝2，c ＝－8. 题型二应用导数求函数的单调区间在区间(a ，b)内，如果f ′(x)>0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内单调递加；在区间(a ，b)内，如果f ′(x)<0，那么函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内单调递减．例2 已知函数f(x)＝x －＋a(2－lnx)，a ＞0.讨论f(x)的单调性．解由题知，f(x)的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋2x 2－a x ＝x 2－ax ＋2x2. 设g (x )＝x 2－ax ＋2，二次方程g (x )＝0的判别式Δ＝a 2－8.①当Δ＜0即0＜a ＜22时，对一切x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )是(0，＋∞)上的增函数．②当Δ＝0即a ＝22时，仅对x ＝2，有f ′(x )＝0，对其余的x ＞0都有f ′(x )＞0.此时f (x )也是(0，＋∞)上的增函数．③当Δ＞0即a ＞22时，方程g (x )＝0有两个不同的实根x 1＝a －a 2－82，x 2＝a ＋a 2－82，0＜x 1＜x 2.当在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－82，a ＋a 2－82上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－82，＋∞上单调递增．跟踪演练2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝(x －3)e x，x ∈(0，＋∞)； (2)f (x )＝x (x －a )2.解 (1)f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x，令f ′(x )＞0，解得x ＞2，又x ∈(0，＋∞)，所以函数的单调增区间(2，＋∞)，函数的单调减区间(0,2)，(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝a3，x 2＝a .①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，a .②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 3.③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是递增的．综上，a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3，(a ，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，a .a <0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫a ，a 3.a ＝0时，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．题型三利用导数求函数的极值和最值 1．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．特别地，①当f (x )在[a ，b ]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(或极小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(最小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )(1)若f (x )在x ＝2时取得极值，求a 的值； (2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3.(1)解 f ′(x )＝x －a x ，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a2＝0，则a ＝4.此时f ′(x )＝x －4x ＝x ＋2x －2x，因为f (x )的定义域是(0，＋∞)，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0；当x ∈(2，＋∞)，f ′(x )＞0，所以当a ＝4时，x ＝2是一个极小值点，则a ＝4.(2)解因为f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax，x ∈(0，＋∞)，所以当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a ＞0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，所以函数f (x )的单调递增区间(a ，＋∞)；递减区间为(0，a )．(3)证明设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x ，因为当x ＞1时，g ′(x )＝x －12x 2＋x ＋1x ＞0，所以g (x )在x ∈(1，＋∞)上为增函数，所以g (x )＞g (1)＝16＞0，所以当x ＞1时，12x 2＋ln x ＜23x 3.跟踪演练3 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b 的图象上一点P (1,0)，且在点P 处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在区间[0，t ](0<t <3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x 的方程f (x )＝c 在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数c 的取值范围．解 (1)因为f ′(x )＝3x 2＋2ax ，曲线在P (1,0)处的切线斜率为：f ′(1)＝3＋2a ，即3＋2a＝－3，a ＝－3.又函数过(1,0)点，即－2＋b ＝0，b ＝2.所以a ＝－3，b ＝2，f (x )＝x 3－3x 2＋2.(2)由f (x )＝x 3－3x 2＋2得，f ′(x )＝3x 2－6x . 由f ′(x )＝0得，x ＝0或x ＝2.①当0<t ≤2时，在区间(0，t )上f ′(x )<0，f (x )在[0，t ]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝2，f (x )min ＝f (t )＝t 3－3t 2＋2.②当2<t <3x 0 (0,2) 2 (2，t ) tf ′(x )－0 ＋f (x )2 ↘ －2↗t 3－3t 2＋2f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )max 为f (0)与f (t )中较大的一个．又f (t )－f (0)＝t 3－3t 2＝t 2(t －3)<0. 所以f (x )max ＝f (0)＝2.综上可知，在区间[0，t ](0<t <3)上f (x )max ＝2，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 3－3t 2＋2，0<t ≤2，－2，2<t <3.(3)令g (x )＝f (x )－c ＝x 3－3x 2＋2－c ，g ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)．在x ∈[1,2)上，g ′(x )<0；在x ∈(2,3]上，g ′(x )>0.g (x )＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，则⎩⎪⎨⎪⎧g 1≥0，g 2<0，g 3≥0，解得－2<c ≤0.即c 的取值范围为(－2,0]．题型四导数与函数、不等式的综合应用利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点．考题利用导数作为工具，考查求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现．考查中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强．例4 设函数f (x )＝－13x 3＋2ax 2－3a 2x ＋b (0<a <1)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若当x ∈[a ＋1，a ＋2]时，恒有|f ′(x )|≤a ，试确定a 的取值范围；(3)当a ＝23时，关于x 的方程f (x )＝0在区间[1,3]上恒有两个相异的实根，求实数b 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2＝－(x －a )(x －3a )．令f ′(x )＝0，得x ＝a 或x ＝3a .当∴f (x )在(－∞，a )和(3a ，＋∞)上是减函数，在(a,3a )上是增函数．当x ＝a 时，f (x )取得极小值，f (x )极小值＝f (a )＝b －43a 3；当x ＝3a 时，f (x )取得极大值，f (x )极大值＝f (3a )＝b . (2)f ′(x )＝－x 2＋4ax －3a 2，其对称轴为x ＝2a . 因为0<a <1，所以2a <a ＋1.所以f ′(x )在区间[a ＋1，a ＋2]上是减函数．当x ＝a ＋1时，f ′(x )取得最大值，f ′(a ＋1)＝2a －1；当x ＝a ＋2时，f ′(x )取得最小值，f ′(a ＋2)＝4a －4.于是有⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤a ，4a －4≥－a ，即45≤a ≤1.又因为0<a <1，所以45≤a <1.(3)当a ＝23时，f (x )＝－13x 3＋43x 2－43x ＋b .f ′(x )＝－x 2＋83x －43，由f ′(x )＝0，即－x 2＋83x －43＝0，解得x 1＝23，x 2＝2，可知f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，23上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2上是增函数，在(2，＋∞)上是减函数． f (x )＝0在[1,3]上恒有两个相异实根，即f (x )在(1,2)，(2,3)上各有一个实根，于是有⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 2>0，f 3≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧－13＋b ≤0，b >0，－1＋b ≤0，解得0<b ≤13.跟踪演练4 证明：当x ∈[－2,1]时，－113≤13x 3－4x ≤163.证明令f (x )＝13x 3－4x ，x ∈[－2,1]，则f ′(x )＝x 2－4.因为x ∈[－2,1]，所以f ′(x )≤0，即函数f (x )在区间[－2,1]上单调递减．故函数f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f (－2)＝163，最小值为f (1)＝－113.所以，当x ∈[－2,1]时，－113≤f (x )≤163，即－113≤13x 3－4x ≤163成立．1.函数中求参数的取值范围问题，可以有两种类型：一是已知函数单调性(或极值)，求参数范围；二是已知函数最值(或恒成立)等性质，求参数范围．这两种类型从实质上讲，可以统一为：已知函数值的变化规律，探求其参数变化范围．2．在解决问题的过程中要处理好等号的问题：(1)注意定义域；(2)函数在某区间上递增(或递减)的充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零；(3)与函数最值有关问题要注意最值能否取得的情况，一般我们可以研究临界值取舍即可．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。

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第3章导数及其应用章末分层突破[自我校对]①f x＋Δx－f xΔx(Δx→0)②f′(x0)③导数的运算法则④导数的应用⑤函数的最值利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程.还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现.对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解.求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程.【精彩点拨】切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.【规范解答】设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0.∵y ′＝3x 2－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2，∴切线方程为y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0).又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或k ＝－54.故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y－1＝0.[再练一题]1.(2016·淮安高二检测)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝－3，f1＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－3，①1＋a ＋b ＋c ＝0.②∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2.【答案】 f (x )＝x 3－3x 2＋2利用导数研究函数的单调性1.)＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点.2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内.另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围.已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围.【精彩点拨】 (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围.【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数. ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a3时，f ′(x )＞0；当－3a 3＜x ＜3a3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数. 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数.(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立.因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数，所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]. [再练一题]2.(2016·湘潭高二检测)设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x)＝x (1－e x).若x ＜0，则1－e x＞0，所以f ′(x )＜0；若x ＞0，则1－e x＜0，所以f ′(x )＜0；若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞). (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立.即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2).利用导数研究函数的极值和最值1.2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.3.注意事项：(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. (2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x－y ＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值.(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值.【精彩点拨】 (1)利用f ′(1)＝3、f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0、f (1)＝4构建方程组求解； (2)令f ′(x )＝0→列表→求极值和区间端点的函数值→【规范解答】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：由表可知，函数y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.[再练一题]3.已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值.(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围.【解】 (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴ f (x )＝13x 3－12x2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ∈(－1,2]时，f ′(x )＜0，函数单调递减.∴x ＜0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ，∵x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，∴ 76＋d ＜16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0，∴d ＜－7或d ＞1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).分类讨论思想利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题，尤其是函数、导数中的解答题，在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论.已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0.(1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值. 【精彩点拨】 (1)求出函数f (x )的最小值用a 表示解方程可得a 的值；(2)构造函数g (x )＝f (x )－kx 2，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k 的取值范围，即得其最小值.【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞).f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－a,1－a )1－a (1－a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗因此，f (x a ＝1. (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0，故k ≤0不合题意. 当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －1－2k ]x ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时，1－2k2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立.故k ≥12符合题意.②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时， g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立.故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.[再练一题]4.(2016·南京高二检测)设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0). (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝ f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值.【解】 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x，当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增；当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减.①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b;②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.【解析】先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出a 的值. ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1).∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 【答案】 12.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.【导学号：24830093】【解析】因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x，所以f ′(0)＝3e 0＝3. 【答案】 33.(2016·北京高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________.【导学号：24830094】【解析】 f ′(x )＝x －1－x x －12＝－1x －12，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 24.(2014·辽宁高考改编)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】当x ＝0时，ax 3－x 2＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .当x ∈(0,1]时，ax 3≥x 2－4x －3，a ≥x 2－4x －3x 3，∴a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝2x －4x 3－x 2－4x －33x2x 6＝－x 2－8x －9x 4＝－x －9x ＋1x 4＞0，∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3x 3，∴a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－4x －3x 3min .仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－x －9x ＋1x4. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0.∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值.而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3－1＝－2，∴a ≤－2.综上可知－6≤a ≤－2. 【答案】 [－6，－2]5.(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.(1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x，讨论g (x )的单调性. 【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·169＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x，故g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋2x e x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋52x 2＋2x e x＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当－4<x <－1时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数；当－1<x <0时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数；当x >0时，g ′(x )>0，故g (x )为增函数.综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.章末综合测评(三) 导数及其应用 (时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.) 1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于________.【解析】平均速度为V ＝3＋Δt 2＋3－32＋33＋Δt －3＝6＋Δt .【答案】 6＋Δt2.若f ′(x 0)＝－3，则当h →0时，f x 0＋h －f x 0＋3hh趋于常数________.【解析】f x 0＋h －f x 0＋3h h ＝4×f x 0＋h －f x 0－3h4h.∵f ′(x 0)＝－3，∴当h →0时，f x 0＋h －f x 0－3h4h趋于－3，故当h →0时，f x 0＋h －f x 0－3hh趋于－12.【答案】 123.(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.【解析】 f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 【答案】 34.已知曲线f (x )＝x 2＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是________. 【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2，由f ′(x )＝0得x ＝－1，又f (－1)＝1－2－2＝－3，∴点M 的坐标为(－1，－3).【答案】 (－1，－3)5.函数y ＝x e x在其极值点处的切线方程为__________.【解析】由题知y ′＝e x＋x e x，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .【答案】 y ＝－1e6.下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(x 2)′＝1x ；⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x e x ′＝x －1e x ，其中正确的有________(填序号).【解析】由于(sin x )′＝cos x ，故①错误；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x2，故②错误；由于(log 3x )′＝1x ln 3，故③错误；由于x 2＝2x ，故④错误；由于⎝ ⎛⎭⎪⎫－x e x ′＝－e x －x e xe x 2＝x －1ex，所以⑤正确.【答案】 ⑤7.函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间是________.【解析】 ∵y ＝x sin x ＋cos x ，∴y ′＝x cos x ，令y ′＝x cos x ＞0，且x ∈(π，3π)，∴cos x ＞0，且x ∈(π，3π)，∴x ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2，∴函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫3π2，5π2.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π28.(2016·徐州高二检测)函数f (x )＝12e x(sin x ＋cos x )在区间上的值域为________.【解析】 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )故⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增.∴f (x )的最大值在x ＝π2处取得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值在x ＝0处取得，f (0)＝12.∴函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2 9.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________.【解析】由题意可知f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＜0，在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，即b ＜x (x ＋2)在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，由于y ＝x (x ＋2)在(－1，＋∞)上是增函数且y (－1)＝－1，所以b ≤－1.【答案】 (－∞，－1]10.如图1，是y ＝f (x )的导函数的图象，现有四种说法： ①f (x )在(－2，－1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点.以上说法正确的序号是________(填序号).图1【解析】由函数的图象可知：f ′(－2)＜0，f ′(－1)＝0，f (x )在(－2，－1)上是减函数，①不正确；x ＝－1时f ′(1)＝0，函数在(－3，－1)递减，在(－1,2)单调递增，所以x ＝－1是f (x )的极小值点，所以②正确；f (x )在(－1,2)上f ′(x )＞0，所以函数在(－1,2)上是增函数，所以③正确；函数在(－1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x ＝2是f (x )的极大值点，所以④不正确.【答案】 ②，③11.已知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋a ，若f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ＋n 的值为________.【解析】 ∵f (x )＝x 3－3x 2＋2x ＋a ，∴f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，∵f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ，n 为f ′(x )＝0的两个根，根据韦达定理可得，m ＋n ＝－－63＝2，∴m ＋n 的值为2.【答案】 212.若a ＞2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点.【解析】 ∵f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ，又a ＞2，∴2a ＞4.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减，又f (0)＝1，f (2)＝83－4a ＋1＝113－4a ，由a ＞2知f (2)＜0，∴函数f (x )在(0,2)上只有1个零点. 【答案】 113.(2016·郴州高二检测)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则f (0)＋f (2)与2f (1)的大小关系为________.【解析】依题意，当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故当x ＝1时，f (x )取得极小值也为最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，∴f (0)＋f (2)≥2f (1).【答案】 f (0)＋f (2)≥2f (1)14.已知函数f (x )＝13x 3＋12x 2－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是________.【解析】 f ′(x )＝x 2＋x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或1，则f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴x ＝1是极小值点.∵f (x )的图象不经过第四象限，即当x ＞0时，f (x )≥0.∴f (1)＝13＋12－2＋m ≥0，∴m ≥76.【答案】 m ≥76二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)已知函数y ＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值.【解】 (1)y ′＝3ax 2＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，解得：a ＝－6，b ＝9.(2)由(1)得y ＝－6x 3＋9x 2，y ′＝－18x 2＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0，或x ＝1 当x ＞1或x ＜0时，y ′＜0，函数在(－∞，0)，(1，＋∞)内单调递减；当0＜x ＜1时，y ′＞0，函数在(0,1)单调递增.∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)若f (x )在区间[－1,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞). (2)f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a .因为f (x )在区间[－1,2]上f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[－1,2]上单调递增，因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f (x )在区间[－1,2]上的最小值为－7.17.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0). (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值.【解】函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a .(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x 2－x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2). (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx 2－x＋a ＞0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18.(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【解】设火车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k ·203，∴k ＝1200，则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx 2＋400x ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1200x 2＋400x (0＜x ≤100). 由f ′(x )＝ax 3－40 000100x2＝0，得x ＝2035. 当0＜x ＜2035时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当2035＜x ≤100时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.∴当x ＝2035时，f (x )取极小值也是最小值，即速度为2035 km/h 时，总费用最少. 19.(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f (x )＝x (x －a ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值，试写出g (a )的表达式. 【解】 (1)由题意知函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋x －a 2x ＝3x －a2x(x ＞0) ①若a ≤0，则f ′(x )＞0，故f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3.当0＜x ＜a 3时，f ′(x )＜0，当x ＞a3时，f ′(x )＞0.故f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞.由于函数在某一点处没有增减性，故函数的单调区间的情况为：若a ≤0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；若a ＞0，f (x )有单调递减区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a 3，单调递增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞. (2)①若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝ f (0)＝0.②若0＜a ＜6，f (x )在[0，a 3 ]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a3，2上单调递增，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＝－2a 3a3.③若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减，所以g (a )＝f (2)＝2(2－a ).综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ≤0，－2a 3a3 ，0＜a ＜6，22－a ，a ≥6.20.(本小题满分16分)(2016·洛阳高二检测)设函数f (x )＝a (x ＋1)2ln(x ＋1)＋bx (x ＞－1)，曲线y ＝f (x )过点(e －1，e 2－e ＋1)，且在点(0,0)处的切线方程为y ＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥0时，f (x )≥x 2；(3)若当x ≥0时，f (x )≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围. 【解】 (1)f ′(x )＝2a (x ＋1)ln(x ＋1)＋a (x ＋1)＋b ，∵f ′(0)＝a ＋b ＝0，f (e －1)＝a e 2＋b (e －1)＝a (e 2－e ＋1)＝e 2－e ＋1，∴a ＝1，b ＝－1.(2)f (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x ，设g (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x －x 2，(x ≥0)，g ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)－x ， (g ′(x ))′＝2ln(x ＋1)＋1＞0，∴g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )≥g ′(0)＝0，∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (0)＝0.∴f (x )≥x 2.(3)设h (x )＝(x ＋1)2ln(x ＋1)－x －mx 2，h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋x －2mx ，由(2)中知(x ＋1)2ln(x ＋1)≥x 2＋x ＝x (x ＋1)， ∴(x ＋1)ln(x ＋1)≥x ， ∴h ′(x )≥3x －2mx ，①当3－2m ≥0即m ≤32时，h ′(x )≥0，∴h (x )在[0，＋∞)单调递增，∴h (x )≥h (0)＝0，成立.②当3－2m ＜0即m ＞32时，h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(1－2m )x ，h ′′(x )＝2ln(x ＋1)＋3－2m ，令h ′′(x )＝0，得x 0＝e 2m －32－1＞0，当x ∈[0，x 0)时，h ′(x )＜h ′(0)＝0，∴h (x )在[0，x 0)上单调递减， ∴h (x )＜h (0)＝0，不成立. 综上，m ≤32.。