初中数学巧用二次函数的性质比较数值大小
初中数学-----二次函数的最值问题
初中数学-----二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的一种重要的函数形式，它在解决实际问题、优化问题等中起着非常重要的作用。
其中，二次函数的最值问题是一个常见的应用问题，在解决问题中发现函数的最值，可以帮助我们更好地理解函数的性质和应用。
二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于0。
它的图像是一个抛物线。
利用二次函数的图像特点，我们可以通过分析函数的开口方向和顶点坐标来求解二次函数的最值问题。
首先，我们来看一下二次函数的图像特点。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上，称为开口向上的抛物线；当a小于0时，二次函数的图像开口向下，称为开口向下的抛物线。
此外，抛物线在对称轴上有一个顶点，坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中b/2a是对称轴的x坐标，f(-b/2a)是对称轴上的y坐标。
对于二次函数的最值问题，可以分为两种情况进行讨论：一种是开口向上的抛物线，另一种是开口向下的抛物线。
对于开口向上的抛物线，抛物线的最小值就是顶点的y坐标。
为了求解最值，我们需要确定抛物线的开口方向和顶点坐标。
首先，判断a的值是大于0还是小于0，如果a大于0，说明抛物线的开口方向是向上的，需要求解最小值。
然后，通过计算顶点坐标来确定最小值的具体数值。
通过求解方程f'(x) = 0，即2ax + b = 0，可以得到对称轴的x坐标为-x= -b/2a，将该值代入原函数，即可求得对应的y坐标。
因此，开口向上的抛物线的最小值为顶点的y坐标。
对于开口向下的抛物线，抛物线的最大值就是顶点的y坐标。
同样的，为了求解最值，我们需要确定抛物线的开口方向和顶点坐标。
首先，判断a的值是大于0还是小于0，如果a小于0，说明抛物线的开口方向是向下的，需要求解最大值。
然后，通过计算顶点坐标来确定最大值的具体数值。
同样地，通过求解方程f'(x) = 0，即2ax + b = 0，可以得到对称轴的x坐标为-x = -b/2a，将该值代入原函数，即可求得对应的y坐标。
利用二次函数性质巧解比较大小问题
上海中学数学・２００９年第１２期３７利用二次函数性质巧解比较大小问题２２６４０６江苏省拼茶高级中学康小峰二次函数作为最简单的非线性函数的模型之一，具有许多优美的性质．笔者发现，利用二次函数的性质来解决不等式中比较大小的问题，往往能收到事半功倍的效果，并用二次函数的一个性质，结合３个实例加以说明．命题设二次函数厂（ｚ）一ａｘ２＋ｂｘ＋ｆ（口＞ｏ），若厂（ｚ）满足厂（７，ｚ）＞０，，（口）＝，（ｐ＝０（ａ＜ｐ，，（咒）＜０，则ｍ∈（一。
，口）Ｕ（卢，＋ｏｏ），ｎＥ（口，ｐ．例１已知实数ｎ、ｂ、Ｃ、ｄ满足以＜ｂ，ｃ＜ｄ，（ｎ—ｆ）（ｎ—ｄ）一１，（６一ｆ）（ｂ—ｄ）一１，则ｎ、ｂ、ｆ、ｄ的大小关系是——．（用“＜”连接）．解析该题的一般解法是将两个等式相减，然后变形得出结论，但其过程繁琐．观察两个等式的结构特征，发现结构相同，其统一形式为（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）＝１（ｚ＝口、６），因此解析作出可行域（如图７中的阴影部分），该可行域是一个开放域，对于ｚ２＋ｙ２可以看成是可行域内的点（ｚ，ｙ）与点（ｏ，ｏ）（即原点）的距离／≯可的平方，在图像上以原点为圆心作圆，显然当圆周过Ａ点时，半径最短，求出点Ａ（１，２），代入Ｘ２＋ｙ２得最小值５，故答案为５．：民…．历—－垒’／礤ｙ乙丁Ⅵ啉一一图７３．逆向问题例８（２００６重庆）已知变量ｚ，Ｙ满足约束条件１４ｚ＋ｙ≤４，一２４ｚ—ｙ≤２．若目标函数ｚ一口ｚ＋ｙ（其中口＞ｏ）仅在点（３，１）处取得最大值，则口的取值范围为构造二次函数厂（ｚ）一（ｚ—ｆ）（ｚ—ｄ）一１，则口、ｂ为二次函数，（ｚ）一（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）一１与ｚ轴交点的横坐标．同样Ｃ、ｄ为二次函数ｇ（Ｘ）一（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）与ｚ轴交点的横坐标，显然ｇ（ｚ）一厂（ｚ）＋１，即ｇ（ｚ）的图像可由，（ｚ）的图像向上平移一个单位得到，观察２个函数图像（图１）得出ｎ＜ｆ＜ｄ＜ｂ．或者仅观察，（ｚ）一（ｚ—ｃ）（ｘ－－ｄ）一１的图像，由厂（ｃ）一，（ｄ）一一１＜ｏ，知ｎ＜ｃ＜ｄ＜ｂ．也可仅观察函数ｇ（ｚ）一（ｚ—ｃ）（ｚ—ｄ）的图像，方程ｇ（ｚ）一１的两个解为口和ｂ，如图２，有口＜ｃ＜ｄ＜ｂ．图１、辱∞，入∥“八√ｄｂＸ＼：渗＿．遵芦２＿ｔ／Ｎ）ｋ、令＼５６—７８９１０１１乡／３…一ｌ—未图８解析先作出约束条件的可行域（如图８中的阴影部分）．目标函数ｚ—日ｚ＋ｙ变化为ｙ一一ａｘ＋名．通过图像分析，最值有两种情况：①当斜率一ａ＞０且一口＞ｌ，即ａ＜一ｌ，ｚ为最小值；②当斜率一口＜０且一ｎ＜一１，即口＞１，２为最小值．因为口＞ｏ且要求最大值，故口＞１．在上述关于比值、距离等约束条件是非线性目标函数的最值或已知最值求目标函数中参量取值的逆向问题时，首先识别其几何意义，然后在图像上进行分析、求解．上海中学数学・２００９年第１２期极坐标法证一竞赛题及其推广２２５３００江苏省泰州实验学校黄萍高中数学新课程把“坐标系与参数方程”列入选修系列４，使得极坐标这一传统数学内容又回到了高中数学之中．为说明其应用，笔者应用极坐标法对一道美国数学竞赛题及其推广进行研究和探索．题目：已知Ｐ为正△Ａ．Ｅ；Ｃ的外接圆ＢＣ上任意一点，求证：ＰＡ—ＰＢ＋ＰＣ．证１：如图１，以。
比较二次函数值大小的方法
比较二次函数值大小的方法二次函数在我们的生活和数学学习中有着广泛的应用，而正确比较二次函数值的大小对于解决实际问题具有重要意义。
本文将介绍几种比较二次函数值大小的方法，并对其进行深入的探讨。
一、图像比较法图像是比较二次函数大小最直观的方法，利用函数的图像可以清晰地看出两个函数的大小关系。
首先，画出需要比较的二次函数的图像，根据图像上点的位置关系来判断大小。
具体步骤如下：1. 确定开口方向：二次函数的开口方向取决于系数a的值，如果a>0，则开口向上；如果a<0，则开口向下。
2. 确定对称轴：二次函数的对称轴是其顶点坐标的横坐标，通过对称轴可以判断两个函数的大小关系。
3. 比较函数图像上的点：根据图像上点的位置关系，可以直观地判断两个函数的大小关系。
二、公式法除了图像比较法外，还可以使用公式法比较二次函数值的大小。
二次函数的解析式为y=ax^2+bx+c(a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，y随x的增大而增大；当a<0时，抛物线开口向下，y随x的增大而减小。
因此，可以通过比较a、b、c的值来判断两个二次函数的大小关系。
具体步骤如下：1. 确定系数a、b、c的值：根据需要比较的二次函数的表达式，求出a、b、c的值。
2. 比较系数的大小：根据系数a、b、c的绝对值大小，可以初步判断两个二次函数的大小关系。
一般来说，如果|a|>|b|，则y=ax^2+bx+c的值域大于y=bx^2+cx+d的值域；反之亦然。
3. 根据对称轴和函数值的关系进行比较：如果对称轴在y轴左侧还是右侧，以及对应的函数值的大小关系如何，就可以判断两个二次函数的大小关系。
三、求根公式法对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)，可以使用求根公式法比较两个二次函数值的大小。
首先用配方法将一般形式的二次函数化成y=a(x-h)^2+k的形式，再使用求根公式求出x1和x2的值。
最后根据x1和x2的大小关系以及对应的函数值的大小关系来判断两个二次函数的大小关系。
九年级数学上册复习专题10二次函数比较大小和二次函数的平移(1)
专题10二次函数比较大小和二次函数的平移解题步骤：函数平移解题技巧：二次函数平移的具体方法如下：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减”【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位1．若点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，则12,y y 的大小关系是___________． 【答案】12y y > 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到函数图象的对称轴，根据函数的性质即可得到答案. 【详解】 ∵()21112y x =-+-， ∴函数图象的对称轴是直线x=-1，开口方向向下， ∵点()()121,,2,A y B y 在抛物线()21112y x =-+-上，且1<2, ∴由对称轴右侧y 随着x 的增大而减小得到12y y >， 故答案为：12y y >. 【点睛】此题考查二次函数的性质，根据顶点式解析式确定图象的开口方向，对称轴得到增减性，由此判定函数值的大小，正确掌握函数图象的性质是解题的关键.2．已知A （3，y 1）、B （4，y 2）都在抛物线y=x 2+1上，试比较y 1与y 2的大小：__________．【答案】y 1＜y 2【解析】把A（3（y 1（（B（4（y 2（代入抛物线y=x 2+1，可得y 1=10（y 2=17，所以y 1（y 2.3．点A （2，y 1）、B （3，y 2）在二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+c 的图象上，则y 1与y 2的大小关系为y 1_____y 2（填“＞”“＜”或“＝”）． 【答案】〉 【解析】 【分析】先根据解析式求出对称轴x=b2a-=-1,再根据函数开口方向且321>>-，即可比较y 1与y 2的大小. 【详解】∵抛物线的对称轴为x=b2a-=-1，函数开口向下，又∵321>>-， ∴y 1>y 2. 【点睛】此题主要考察二次函数的图像，利用函数的对称性是解题的关键.4．已知点(2,)A a -，(1,)B b -，(3,)C c 均在抛物线2(1)y x k =++上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．c a b <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】 【分析】由y=（x+1）2+k 可知抛物线的对称轴为直线x=-1，根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小． 【详解】解：∵y=（x+1）2+k ，∴抛物线的对称轴为直线x=-1，∵抛物线开口向上，而点C （3，c ）到对称轴的距离最远，B （-1，b ）是顶点， ∴b ＜a ＜c ． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．此题需要掌握二次函数图象的增减性． 5．已知(-3，y 1)，(-2，y 2)，(1，y 3)是抛物线y=-3x 2-12x+m 上的点，则( ) A ．y 3<y 2<y 1 B ．y 3<y 1<y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象性质计算即可； 【详解】解：抛物线的对称轴为直线 ()12x 223-=-=-⨯- ，a 30=-< ，x 2∴=- 时，函数值最大，又3- 到 2- 的距离比1到 2- 的距离小，312y y y ∴<< ．故答案为：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像性质，准确计算是解题的关键．6．若二次函数y=﹣x2+6x+c的图象过点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2【答案】C【解析】试题分析：先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=3，然后比较三个点都直线x=3的远近得到y1、y2、y3的大小关系．解：∵二次函数的解析式为y=﹣x2+6x+c，∴抛物线的对称轴为直线x=3，∵A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），∴点A离直线x=3最远，点C离直线x=3最近，而抛物线开口向下，∴y3＞y2＞y1；故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．7．已知A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3）在二次函数y＝x2+2x+c的图象上，比较y1、y2、y3的大小（）A．1y＞2y＞3y B．2y＞3y＞1y C．2y＞1y＞3y D．3y＞1y＞2y【答案】D【解析】【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据三点与对称轴的远近来判断函数值的大小.【详解】因为二次函数的解析式为y＝x2+2x+c，所以抛物线的对称轴为直线x=-1，因为A（-3，y1）、B（-2，y2）、C（2，y3），所以点C离直线x=-1最远，点B离直线x=-1最近，而抛物线开口向上，离对称轴越远对应的y值越大所以y3＞y1＞y2.故选D.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴及单调性，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键.8．若二次函数26y x x c =-+的图象过()11,A y -（()22,B y （()35,C y ，则1y （2y （3y 的大小关系是（ （ A ．y 1>y 2>y 3 B ．y 1>y 3>y 2 C ．y 2>y 1>y 3 D ．y 3>y 1>y 2【答案】B 【解析】y=x 2-6x+c=(x-3)2+c-9，从而可知抛物线开口向上，对称轴为x=3，A 、B 、C 三点离对称轴的距离为：3-（-1）=4，3-2=1，（），开口向上时离对称轴越远的点对应的y 值越大，所以y 1＞y 3＞y 2 ；故选D ． 点睛：在对同一抛物线上的点所对应 的y 值进行大小比较时，可采用这个方法：抛物线开口向上时，离对称轴越远的点对应的y 值就越大；开口向下时，离对称轴越近的点对应的y 值 越大.9．若二次函数y（（x -3（2（k 的图象过A(（1（y 1)（B(2（y 2（y 3)三点，则y 1（y 2（y 3的大小关系正确的是( ) A ．y 1（y 2（y 3 B ．y 2（y 1（y 3 C ．y 1（y 3（y 2 D ．y 3（y 1（y 2【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的对称轴为直线x=3（x（3时，y 随x 的增大而减小，x（3时，y 随x 的增大而增大进行判断，再根据二次函数的对称性确定出y 2（y 3（y 1（y 3（ 【详解】∵二次函数y =（x -3）2＋k 的对称轴为直线x =3（∴x <3时，y 随x 的增大而减小，x >3时，y 随x 的增大而增大， ∵−1<2<3（ ∴y 1＞y 2（∵x =2与x =4时的函数值相等>4（ ∴y 2（y 3（∵x =1与x =5时的函数值相等， ∴y 1（y 3（ ∴y 1＞y 3＞y 2. 故选C. 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.10．已知点A（﹣2，y1）、B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，y1与y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．y1≤y2【答案】C【解析】【分析】将两点的x分别代入二次函数,求出y值比较大小即可.【详解】解：当x＝﹣2时，y1＝x2+2x+2＝4﹣4+2＝2，当x＝1时，y2＝x2+2x+2＝1+2+2＝5，所以y1＜y2．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的增减性,关键在于灵活运用代点求值的方法.11．若二次函数y＝（x-3）2＋k的图象过A（－1，y1）B（2，y2）C（3＋2，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意可得函数的对称轴为直线x=3，根据函数的性质可得离对称轴越远，则函数值越大．根据题意可得：．考点：二次函数的性质．12．若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A（－1，y1）、B（2，y2）、C（3，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是________．【答案】y1＞y3＞y2．【解析】试题分析：根据函数解析式的特点，其对称轴为x=3，图象开口向上；利用y随x的增大而减小，可判断y2＜y1，根据二次函数图象的对称性可判断y3＞y2；于是y1＞y3＞y2．考点：二次函数的图象与性质13．若二次函数y=x2-6x+c的图象过A(-1，y1)，B（2，y2），y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（）A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y 2>y1>y3D．y3>y1>y2【答案】B【解析】试题分析：根据题意，得 y 1=1+6+c=7+c ，即y 1=7+c ； y 2=4-12+c=-8+c ，即y 2=-8+c ；y 3-18-+c=-7+c ， 即y 3=-7+c ； ∵7＞-7＞-8， ∵7+c ＞-7+c ＞-8+c ， 即y 1＞y 3＞y 2． 故选B ．考点：二次函数图象上点的坐标特征． 14．若123135(,)(1,)(,)43A yB yC y --、、为二次函数y=-x 2-4x+5的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 3<y 2<y 1 C ．y 3<y 1<y 2 D ．y 2<y 1<y 3【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数y=-x 2-4x+5配方，求对称轴，再根据A（B（C 三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y l （y 2（y 3的大小． 【详解】解：∵y=-x 2-4x+5=-（x+2（2+9（ ∴抛物线开口向下，对称轴为x=-2（（A（B（C 三点中，B 点离对称轴最近，C 点离对称轴最远， （y 2（y 1（y 3（ 故选D（ 【点睛】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数a（0时，开口向上，则离对称轴越近，函数值越小；当二次项系数a<0时，开口向下，则离对称轴越近，函数值越大（15．如果点()15,A y -与点()22,B y -都在抛物线()211y x =++上，那么1y ____2y （填“＞”、“＜”或“=”）【答案】＞． 【解析】 【分析】利用二次函数的性质得到当1x <-时，y 随x 的增大而减小，然后利用自变量的大小关系得到1y 与2y 的大小关系． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线1x =-， 而抛物线开口向上，所以当1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∵-5＜-2，所以12y y >． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．16．（（A（（3（y 1（（B（0（y 2（（（（（（y=（2（x（1（2+3（（（（（（（（（y 1（y 2（（（（（（________（（y 1（y 2（y 1=y2（y 1（y 2（（【答案】y 1＜y 2 【解析】试题分析：根据题意可知二次函数的对称轴为x=1，由a=-2，可知当x ＞1时，y 随 x 增大而减小，当x ＜1时，y 随x 增大而增大，因此由-3＜0＜1，可知y 1＜y 2. 故答案为y 1＜y 2.点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解题关键是求出其对称轴，然后根据对称轴和a 的值判断其增减性，然后可判断.1．抛物线231y x =--是由抛物线23(1)1y x =-++怎样平移得到的（ ） A ．左移1个单位上移2个单位 B ．右移1个单位上移2个单位 C ．左移1个单位下移2个单位 D ．右移1个单位下移2个单位【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数()2y a x h k =-+的性质即可判断. 【详解】抛物线()2311y x =-++经过右移1个单位下移2个单位，即()231112y x =-+-+-=231x --， 故选D.【点睛】此题主要考查抛物线顶点式()2y a x h k =-+的特点，熟知顶点式的性质特点是解题的关键.2．将抛物线()2y 2x 13=-++向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ） A ．()2y 2x 41=-++ B ．()2y 2x 21=--+ C ．()2y 2x 45=-++D ．()2y 2x 45=-+-【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解． 【详解】.解：抛物线 ()2y 2x 13=-++ 向右平移3个单位，得()2y 2x-23=-+，再向下平移2个单位，得：()2y 2x 21=--+．故答案为：B ． 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 3．将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A ．22(6)y x =- B ．22(6)4y x =-+ C ．22y x = D ．224y x =+【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线22(3)2y x =-+向左平移3个单位长度，得到22(3+3)2y x =-+， 再向下平移2个单位长度，得到22(3+3)2-2y x =-+， 整理得22y x =， 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键．4．把抛物线y ＝－12x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12 (x ＋1)2＋1 B ．y ＝－12 (x ＋1)2－1 C ．y ＝－12 (x －1)2＋ 1 D ．y ＝－12(x －1)2－1 【答案】B 【解析】试题分析：根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”，可直接求得平移后的抛物线的解析式为：21y x+112=-－（）.5．在平面直角坐标系中，将抛物线y =x 2﹣2x ﹣1先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得的抛物线的解析式是( ) A ．y =(x +1)2+1 B ．y =(x ﹣3)2+1 C ．y =(x ﹣3)2﹣5 D ．y =(x +1)2+2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式． 【详解】抛物线y =x 2﹣2x ﹣1可化简为y =(x ﹣1)2﹣2，先向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度， 所得的抛物线的解析式y =(x ﹣1+2)2﹣2+3=(x +1)2+1； 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，关键是得出抛物线的顶点坐标的求法及抛物线平移不改变二次项的系数的值．．6．将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为（ ） A ．y ＝（x+1）2﹣13 B ．y ＝（x ﹣5）2﹣5 C ．y ＝（x ﹣5）2﹣13 D ．y ＝（x+1）2﹣5【答案】D 【解析】 【分析】先把抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4化为顶点式的形式，再由二次函数平移的法则即可得出结论． 【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x ﹣4＝（x ﹣2）2﹣8，∴将抛物线y ＝x 2﹣4x ﹣4向左平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的表达式为y ＝（x ﹣2+3）2﹣8+3，即y ＝（x+1）2﹣5．【点睛】此题考查的是抛物线的平移，掌握抛物线的平移规律是解决此题的关键．7．将二次函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣1B ．y ＝x 2+1C ．y ＝（x ﹣1）2D ．y ＝（x +1）2【答案】D【解析】【分析】根据图像的平移规律：左加右减，可得答案．【详解】解：由题意，得y ＝x 2的图像向左平移1个单位，则平移后的二次函数的解析式为y ＝（x+1）2，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．8．如果将抛物线241y x x =--平移，使它与抛物线21y x =-重合，那么平移的方式可以是（ ）A ．向左平移2个单位，向上平移4个单位B ．向左平移2个单位，向下平移4个单位C ．向右平移2个单位，向上平移4个单位D ．向右平移2个单位，向下平移4个单位【答案】A【解析】【分析】先把241y x x =--化为顶点式，然后根据平移的规律解答即可．【详解】∵241y x x =--=(x -2)2-5，∴把y=(x -2)2-5向左平移2个单位，向上平移4个单位，可得21y x =-．故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式y=a (x -h )2+k (a ，b ，c 为常数，a ≠0)，确定其顶点坐标(h ，k )，在原有函数的基础上“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本9．在平面直角坐标系中，将函数y=2x 2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数解析式为_____．【答案】y=2(x-1)2+5【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线y=2x 2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2；由“上加下减”的原则可知，抛物线y=2（x -1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x -1）2+5．故答案是：y=2（x -1）2+5．【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．10．将抛物线y （2x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得抛物线的解析式为_____（【答案】y （2（x （1（2+3【解析】【分析】用顶点式表达式（按照抛物线平移的公式即可求解（【详解】y （2x 2向右平移1个单位长度（再向上平移3个单位长度后（函数的表达式为（y （2（x （1（2+3（故答案为：y （2（x （1（2+3（【点睛】本题考查了函数图象的平移（抛物线与坐标轴的交点坐标的求法（要求熟练掌握平移的规律（左加右减（上加下减（11．把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数图象的顶点是__________．【答案】(－1，1)【解析】【分析】用配方法可将抛物线一般式转化为顶点式,再利用平移规律求平移后的顶点坐标∵215322y x x =++ =2156)22x x ++（ =213)22x +-（∴图象向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位后,得出:y=12(x+1)2 +1; 得到顶点坐标为(-1,1).故答案为(-1,1)【点睛】 此题考查了二次函数图形与几何变换，解题关键在于用配方法将抛物线一般式转化为顶点式12．将函数y=5x 2的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线对应函数的表达式为__________．【答案】y=5（x+2）2+3【解析】【分析】根据二次函数平移的法则求解即可.【详解】解：由二次函数平移的法则“左加右减”可知，二次函数y=5x 2的图象向左平移2个单位得到y=25(2)x +，由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=25(2)x +的图象向上平移3个单位可得到函数y=25(2)3x ++，故答案是：y=25(2)3x ++．【点睛】本题主要考查二次函数平移的法则，其中口诀是：“左加右减”、 “上加下减”,注意数字加减的位置. 13．在平面直角坐标系中，将抛物线(5)(3)y x x =+-向左平移2个单位后顶点坐标为_______．【答案】()3,16--【解析】【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=（x+5）（x -3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．所以，抛物线y=（x+5）（x -3）向左平移2个单位长度后的顶点坐标为（-1-2，-16），即（-3，-16），故答案为：（-3，-16）此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．14．如果将抛物线2251y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3),A 那么所得新抛物线的解析式为____________.【答案】2253y x x =++【解析】【分析】设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把点A 的坐标代入进行求值即可得到b 的值．【详解】解：设平移后的抛物线解析式为2251y x x b =+-+，把A （0，3）代入，得3＝−1＋b ，解得b ＝4，则该函数解析式为2253y x x =++．故答案为：2253y x x =++．【点睛】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．。
函数值的大小比较
函数值的大小比较 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法：1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞ab -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜ab -，得221x x +＜ab 2-，即x 1离对称轴距离较远.】 （2）当抛物线开口向下时（即a ＜0时），离对称轴距离越远，函数值越小，反之越大。
当抛物线开口向下与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2，推理同（1）4、图象法：结合具体图象，利用y 轴“上大下小”的特点比较具体各点的函数值的大小。
（第一、二象限的函数值总是大于第三、四象限的函数值）5、移点法：利用抛物线的对称性将各点转化到对称轴的同一侧，再利用函数的增减性比较大小。
二、反比例函数的大小比较方法由于反比例函数图象为双曲线，所以比较大小时，首先应注意利用k 值弄清各点所处的象限。
利用二次函数性质-巧解比较大小问题
利用二次函数性质-巧解比较大小问题在数学中，二次函数是一种常见的函数形式，通常表示为f（x）=ax² + bx + c，其中a，b和c是实数常数且a ≠ 0。
二次函数有很多独特的性质，可以帮助我们解决比较大小问题。
在本文中，我们将探讨如何利用二次函数性质巧解比较大小问题。
首先，我们来回顾一下二次函数的基本性质。
对于任何二次函数f(x) = ax² + bx + c，其中a ≠ 0，它的图像是一个抛物线。
抛物线的开口方向（向上还是向下）由二次项的系数a决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，当a < 0时，抛物线开口向下。
其次，我们了解一些关于二次函数的特殊情况。
如果a>0，那么二次函数的最小值发生在抛物线的顶点上。
如果a<0，那么二次函数的最大值也发生在抛物线的顶点上。
这意味着我们可以通过找到二次函数的顶点来确定函数的最小值或最大值。
现在，让我们看一些具体的例子来展示如何利用二次函数性质巧解比较大小问题。
例1：比较两个二次函数的最小值假设我们要比较两个二次函数f(x)=x²+2x+1和g(x)=2x²-3x+4的最小值。
首先，我们可以找到这两个函数的顶点，因为最小值发生在顶点上。
对于f（x）=x²+2x+1，我们可以通过求导数找到x值，从而找到顶点。
f'(x)=2x+2，当f'(x)=0时，即2x+2=0，解得x=-1、将x=-1代入f(x)，得到f(-1)=(-1)²+2(-1)+1=0。
所以f(x)在x=-1处有一个最小值，最小值为0。
同样地，对于g(x)=2x²-3x+4，我们可以通过求导数找到顶点。
g'(x)=4x-3，当g'(x)=0时，即4x-3=0，解得x=3/4、将x=3/4代入g(x)，得到g(3/4)=2(3/4)²-3(3/4)+4=7/8、所以g(x)在x=3/4处有一个最小值，最小值为7/8由于0<7/8，所以f(x)的最小值小于g(x)的最小值。
二次函数值大小比较 对称轴
二次函数值大小比较对称轴二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用公式y=ax^2+bx+c 表示，其中a、b、c是常数，且a不等于零。
二次函数图像通常是一个U形的曲线，也称为抛物线。
在这篇文章中，我们将探讨以下几个方面：1.二次函数值大小比较2.对称轴一、二次函数值大小比较在比较两个二次函数的值的大小时，我们可以通过观察二次函数的系数a的正负来判断。
1.当a大于0时，代表抛物线开口朝上。
因此，二次函数的值随着自变量增大而增大，值随着自变量减小而减小。
换句话说，函数的最小值出现在对称轴的上方。
例如，对于函数f(x) = 2x^2+3x+1，当x>0时，f(x)值逐渐增大；当x<0时，f(x)值逐渐减小。
2.当a小于0时，代表抛物线开口朝下。
因此，二次函数的值随着自变量增大而减小，值随着自变量减小而增大。
换句话说，函数的最大值出现在对称轴的上方。
例如，对于函数g(x) = -2x^2-3x+1，当x>0时，g(x)值逐渐减小；当x<0时，g(x)值逐渐增大。
二、对称轴对称轴是二次函数图像的一条直线，具有对称性质。
对称轴可以通过计算公式中x的值来确定。
1.对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，对称轴的x坐标可以通过公式x=-b/(2a)计算得到。
例如，对于函数h(x) = 2x^2+4x-3，对称轴的x坐标为x=-4/(2*2)=-1。
这意味着对称轴与y轴的交点为(-1, 0)，抛物线在该点上下对称。
2.当二次函数通过顶点时，可以简化计算对称轴的方法。
顶点的x 坐标即为对称轴的x坐标。
例如，对于上述的函数f(x) = 2x^2+3x+1，顶点的x坐标为(-b/2a)=-3/4，因此对称轴的x坐标也是-3/4。
另外，二次函数的对称轴还具有以下几个性质：1.对称轴将抛物线分为两个对称的部分，左侧和右侧。
这意味着对称轴有助于我们了解函数的对称性质和图像的形状。
2.对称轴上的点是抛物线上最高点（当a<0）或最低点（当a>0）。
利用二次函数性质巧解比较大小问题
图象向上平移一个单位得到 , 观察两个函数
・44・
第 1 期 高中数学教与学
向量法魅力展示
邱邑峰
(江西省大余中学 , 341500 )
向量具有代数与几何形式的双重身份 , 它有着极其丰富的实际背景 , 在解题中具有 独特的功能 . 向量法的应用很广 , 也很巧妙 . 下面例举向量法在解决代数 、 几何等问题中 的应用 . 一、 在函数式求值问题中的应用 例 1 求 co s 5 °+ co s 77 °+ co s 149 °+
解 观察角的变化 , 前后相差 72 ° , 正好 是正五边形的一个外角 , 因此作一个边长为 1 的正五边形 A1 A2 A3 A4 A5 (如图 1 ) , 且 A1 A2 与 x
), 轴的夹角为 5 ° , 则 A1 A2 = ( co s 5 ° , sin 5 ° ), A2 A3 = ( co s 77 ° , sin 77 ° ), A3 A4 = ( co s 149 ° , sin 149 ° ), A4 A5 = ( co s 221 ° , sin 221 ° ). A5 A1 = ( co s 293 ° , sin 293 ° -
题 ) 对于非空集合 A, B , 定义运算 : A
| x ∈A ∪B ,且 x |
B = {x
A ∩ B }. 已知两个开区间 P 等于 ( )
M = ( a, b) , P = ( c, d ) , 其中 a, b, c, d满足 a + b < c + d, ab = cd < 0, 则 M
2 2 例 2 设 x1 , x2 ( x1 < x2 ) 是方程 a x + bx
二次函数函数值大小比较的方法
二次函数函数值大小比较的方法二次函数是一个非常重要的函数形式，在数学和实际应用中都经常出现。
如果我们要比较两个二次函数的函数值大小，可以通过以下几种方法来实现。
首先，我们可以通过图像的比较来判断二次函数函数值的大小。
对于给定的两个二次函数，我们可以首先画出它们的图像。
可以通过计算两个二次函数的顶点，以及求解二次函数和x轴的交点，来确定它们在坐标平面中的位置。
然后，我们可以观察二次函数在不同区间内的变化趋势。
比较这两个二次函数图像的高低，可以推断出它们的函数值大小关系。
其次，我们可以通过求解二次函数的零点来判断函数值的大小。
对于二次函数y=f(x)，我们可以通过将该函数等于0来求解它的零点。
设函数g(x)=f(x)-0，即g(x)=f(x)，然后我们可以求解g(x)=0对应的解x1，再将其带入原二次函数f(x)中可以得到对应的函数值f(x1)。
同样，对于另一个二次函数y=g(x)，我们可以求解g(x)=0对应的解x2，然后带入f(x)中可以得到对应的函数值f(x2)。
最后，比较f(x1)和f(x2)的大小即可判断二次函数函数值的大小关系。
第三，我们可以通过二次函数的求导来比较函数值的大小。
对于给定的两个二次函数f(x)和g(x)，我们可以分别求解它们的导数f'(x)和g'(x)。
然后，我们可以求解f'(x)=g'(x)对应的解x1，并通过将x1带入f(x)和g(x)中求解f(x1)和g(x1)。
最后，比较f(x1)和g(x1)的大小即可得到二次函数函数值的大小关系。
另外，我们还可以通过化简二次函数的标准形式来比较函数值的大小。
对于给定的两个二次函数f(x)=ax^2+bx+c和g(x)=px^2+qx+r，我们可以通过比较它们的系数a、b和c以及p、q和r的大小来判断二次函数的函数值大小。
首先，我们可以比较二次系数a和p的大小。
如果a>p，那么随着x的增大，f(x)的函数值会比g(x)的函数值大。
二次函数比较大小的方法
二次函数比较大小的方法二次函数是数学中的一种常见函数形式，它具有形如y=ax^2+bx+c的特点。
其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在二次函数中，通过比较a的大小可以判断二次函数的开口方向。
本文将介绍以二次函数比较大小的方法。
我们来研究二次函数的开口方向与a的关系。
当a大于0时，二次函数的抛物线开口朝上；当a小于0时，二次函数的抛物线开口朝下。
这是因为二次函数的一阶导数为2ax，二阶导数为2a，当a大于0时，一阶导数恒大于0，二阶导数恒大于0，说明函数在抛物线上是递增的，所以开口朝上；当a小于0时，一阶导数恒小于0，二阶导数恒小于0，说明函数在抛物线上是递减的，所以开口朝下。
对于开口方向相同的二次函数，我们可以比较二次函数的顶点位置来判断大小关系。
二次函数的顶点横坐标为x=-b/2a，纵坐标为y=-Δ/4a。
其中Δ=b^2-4ac称为二次函数的判别式。
当判别式大于0时，说明二次函数有两个不相等的实根，函数图像与x轴有两个交点；当判别式等于0时，说明二次函数有一个实根，函数图像与x轴有一个交点；当判别式小于0时，说明二次函数没有实根，函数图像与x轴无交点。
对于开口方向相同且判别式相等的二次函数，我们可以通过比较a 的大小来判断二次函数的大小关系。
当a大于0时，二次函数的顶点纵坐标最小；当a小于0时，二次函数的顶点纵坐标最大。
这是因为当a大于0时，顶点在函数图像上方，纵坐标最小；当a小于0时，顶点在函数图像下方，纵坐标最大。
需要注意的是，判别式相等只能说明二次函数的实根情况相同，并不能说明二次函数的大小关系相同。
比如，f(x)=x^2和g(x)=x^2+1都是开口朝上，且判别式为0的二次函数，但f(x)的顶点为(0,0)，而g(x)的顶点为(0,1)，所以f(x)<g(x)。
以二次函数比较大小的方法有以下几步：1. 比较二次函数的a的大小，确定开口方向；2. 比较二次函数的判别式，确定实根情况；3. 比较二次函数的顶点位置，确定大小关系。
利用二次函数的性质确定函数最大值和最小值
度是（）。
Ａ、２ Ｂ、４ Ｃ、６ Ｄ、２+ 6 ２、已知二次函数y=ax2+bx+c 的
图像如图所示，有下列4个结论： ①abc>0; ②b<a+c;③4a+2b+c>0; ④2c<3b; 其中正确的结论有:
A、2个 B、3个 C、4个 D、1个
面积y与时间t 之间的函数解析式为
（
y=
1 2
(20-2t)2
）
如图所示,阳光中学教学楼前喷 水池喷出的抛物线形水柱， 其解析式为 y=-x2+4x+2 , 则水柱的最大高度是（C ）。
Ａ、２ Ｂ、４ Ｃ、６ Ｄ、7
小结
实际问题
数学问题
求解数学问题
1、课本第48页作业题： 1、 2。
１、如图所示,阳光中学教学楼前喷 水池喷出的抛物线形水柱，其解析
交流思考
如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值?
首先应当求出函数解析式和自变量的取值范围， 然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最 小值。
注意：由此求得的最大值或最小值对应的
。 自变量的值必须在自变量的取值范围内
例2：如图，ABCD是一块边长为2 m的正方形铁板，在边AB上选取 一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料。当 AM的长为何值时，截取的板料面积最小？
二次函数的应用
学习目标：
1、能分析和表示不同实际背景下的二次函数关系，并 利用二次函数的知识解决实际问题。
2、理解如何运用二次函数的性质求实际问题中的最大 值或最小值
二次函数解析式的一般形式是_y_=_a_x_2_+_b_x_+_c__(a_≠_0)
二次函数的函数值大小比较
二次函数的函数值大小比较
点（x1,y1）和点（x2,y2）是二次函数图像上的任意两点，该怎么比较函数值和的大小哪？在函数背景下，比较函数值的大小，一般有两个方向：数与形。
从“数”的角度，将自变量代入函数解析式求出函数值直接比较；从“形”的角度，利用函数图像的增减性或者点到对称轴的距离比较函数值的大小。
例1 若点A(-3, y1),B(-1, y2),C(3, y3)为二次函数y=2(x-2)^2-m 的图像上得三点,则y1, y2, y3的大小关系为_________.
【解析】将自变量的值分别代入函数解析式，求出对应的函数值y1, y2, y3，然后直接比较大小，在这里m的取值不影响函数值的大小关系。
【解析】利用函数的单调性（增减性）比较函数值的大小。
首先要观察点的位置，看他们是否都在对称轴的同一侧。
如果不在同一侧，则需要利用对称性将所有的点转化到同一侧去。
然后利用增减性比较大小。
在这道题中，将点C转化到对称轴的左侧去。
利用这种方法比较大小，不必计算出对应的函数值，是从二次函数性质（增减性）的角度解决问题。
【解析】利用点到对称轴的距离比较大小，需要注意图像的开口方向。
开口向上，则点离对称轴的距离越远，对应的函数值最大。
反
之，亦然。
然后计算点到对称轴的距离，即每个点的横坐标与对称轴所在横坐标的差。
利用这种方法比较大小，不必计算出对应的函数值，是从“形”的角度解决问题。
优点是：不需要考虑点的位置（同侧或异侧），尤其是当需要计算函数的值运算比较复杂时。
例如下面的两个例子。
知识点归纳。
二次函数y1y2y3比较大小例题
二次函数y1y2y3比较大小例题在数学中，二次函数是一种非常重要且常见的函数类型，其表达式通常为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
在二次函数中，我们常常需要比较不同的二次函数的大小关系，这涉及到对二次函数的深入理解和灵活运用。
为了更好地掌握二次函数y1y2y3比较大小的方法，我们可以通过以下例题进行深入探讨和分析。
例题1:已知y1=2x^2+3x+1，y2=-3x^2+5x-2，y3=x^2-4x+3，比较y1、y2、y3的大小关系。
解析：我们可以对y1、y2、y3分别求出它们的二次项系数a、一次项系数b 和常数项c，以便更好地比较它们的大小关系。
y1中a=2，b=3，c=1；y2中a=-3，b=5，c=-2；y3中a=1，b=-4，c=3。
接下来，我们可以利用“二次函数顶点法”来判断二次函数的大小关系。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点横坐标为x=-b/2a，纵坐标为-(b^2-4ac)/4a。
根据顶点法，我们可以求出y1的顶点为(-3/4，-17/8)，y2的顶点为(-5/6，29/12)，y3的顶点为(2，-1)。
通过比较三个二次函数的顶点，可以得出y1<y3<y2的结论，即y1最小，y3次之，y2最大。
总结回顾：通过以上例题分析，我们学会了如何对二次函数进行比较大小的操作。
我们需要求出二次函数的系数a、b、c，然后利用顶点法来判断其大小关系。
在具体操作时，需要注意二次函数顶点的横纵坐标，从而得出正确的比较结论。
个人观点和理解：二次函数的比较并不是一件难事，但需要我们熟练掌握二次函数的相关知识和技巧。
通过多做类似的例题分析和练习，我们可以更加灵活地运用顶点法来比较不同二次函数的大小关系，从而提高自己的数学能力和解题水平。
结语：二次函数y1y2y3的比较大小，需要我们积极探索和思考，才能真正理解其内涵和运用方法。
希望通过对比赛例题的讲解，能够帮助大家更好地掌握二次函数的比较方法，提高数学解题能力。
非学科数学学培训-二次函数比较大小与最值问题
自学资料一、二次函数综合复习【知识探索】1．（一）二次函数的增减性的判断步骤：1.开口方向2.确定对称轴（二）比较大小的方法1.作差（最终的代数式应化为乘积的形式）2.数形结合【错题精练】例1．已知二次函数y=ax2+6ax+9a+2（a<0），若当−4≤x≤2时，二次函数的最小值为p，则（）A. p=25a+2；B. p=a+2；第1页共7页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x+1，﹣x}的最大值是（）A.B.C. 1第2页共7页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训第3页 共页 自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞 非学科培训④若P（4，y1），Q（4+m，y2）（m>0），是函数图象上的两点，如果y1>y2总成立，则a≤−112．2．当−2≤x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A. −74；B. √3或−√3；C. 2或−√3；D. 2或−√3或−74．3．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任一点（不含端点O、A），二次函数y1的图象过P、O两点，二次函数y2的图象过P、A两点，它们的开口均向下，顶点分别为B、C，射线OB与射线AC相交于点D．则当OD=AD=9时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A. 8；B. 3√5；C. 2√7；D. 6．4．已知二次函数y=−x2+x+6及一次函数y=−x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=−x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）A. −254<m<3B. −254<m<2C. −2<m<3D. −6<m<−25．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2−2mx+m2−2与直线第4页共7页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训x＝﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）抛物线F上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若﹣2≤x1＜x2，y1＜y2，求m的取值范围；（3）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点M（x1，y1）、N（x2，y2），若x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（4）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．6．若y是关于x的函数，H是常数（H>0），若对于此函数图象上的任一两点(x1,y1)，(x2,y2)，都有|y1−y2|≤H，则称该函数为有界函数，其中满足条件的所有常数H的最小值，称为该函数的界高．例如：下面所表示的函数的界高为4．（1）若函数y=x2（−2≤x≤m）的界高9，求实数m的取值范围；（2）若函数y=kx+1（−3≤x≤2）的界高为5，求k的值；（3）若函数y=x2−2ax+a2−1（−3≤x≤−1）的界高为16，求a的值．7．已知抛物线y1=ax2+bx+c（ab≠0）经过原点，顶点为A．（1）若点A的坐标是(−2，−4)，①求抛物线的解析式；②把抛物线在第三象限之间的部分图象记为图象G，若直线y=−x+n与图象G有两个不同的交点，求n的取值范围；（2）若直线y2=ax+b经过点A，当1<x<2时，比较y1与y2的大小．第5页共7页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训8．已知抛物线y=3ax2+2bx+c（1）若a=b=1，c=−1，则该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若a=13，c=2+b且抛物线在−2≤x≤2区间上的最小值是−3，则b的值；（3）若a+b+c=1，存在实数x，使得相应的y的值为1．请你判断以上三个命题的真假，并说出理由．9．一直二次函数y=ax2+bx−3（a≠3），且a+b=3．（1）若图像经过点（－3，0），求此二次函数的表达式；（2）若（m，n）为（1）中二次函数图像在第三象限内的点，请分别求m，n的取值范围．（3）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是函数图像上两个点，满足x1+x2=2且x1＜x2，试比较y1和y2的大小关系．10．在平面直角坐标系中，设二次函数y1=(x−m)(x+m+1)，其中m≠0．（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式；（3）已知点P（x0，a）和Q（－1，b）在函数y1的图象上，若a>b，求x0的取值范围．11．已知函数y=−x2+(m−1)x+m（m为常数）．（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是多少．（2）求证：不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上．（3）当−2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．1．二次函数y=x2+2ax+a在−1≤x≤2上有最小值−4，则a的值为．2．四位同学在研究函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）时，甲发现当x=−1时函数的最小值为－1；乙发现4a−2b+c=0成立；丙发现当x<1时，函数值y随x的增大而增大；丁发现当x=5时，y=−4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲；B. 乙；C. 丙；D. 丁．第6页共7页自学七招之错题本锁骨术：巧用智能错题本，错题定期反复练非学科培训3．已知二次函数y=x2+2bx+c，（1）若b=c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b=c−2，y在−2≤x≤2上的最小值是−3，求b的值．4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2−2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B，C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标；（2）抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y=kx+b经过点D和点E（﹣1，﹣2），求直线DE的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P（t，0），过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．第7页共7页自学七招之举一反三剑：总结归纳典型题，多种解法开脑洞非学科培训。
二次比一次函数求最值
二次比一次函数求最值二次函数和一次函数是两种常见的函数类型。
其中，一次函数的形式为y=ax+b，其中a和b都是实数，并且a不为0。
而二次函数的形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c都是实数，并且a不为0。
在求最值时，我们可以借助二次函数的性质以及一些数学方法来解决。
下面我将详细介绍二次函数求最值的方法，并进行一些相关的推导和证明。
首先，我们先来看一下二次函数的图像。
二次函数的图像一般是一个抛物线，具体的形状取决于系数a的正负和大小。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
这个性质对于求最值有很重要的作用。
接下来，我们来解决求二次函数最值的问题。
设二次函数为y=ax^2+bx+c，其中a不为0。
我们要求这个二次函数的最大值或最小值。
1.求最值的方法之一是利用二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/(2a)求得，带入函数中即可得到y的值。
这个顶点坐标就是二次函数的最值点。
当a>0时，二次函数的最小值为顶点坐标的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值为顶点坐标的纵坐标。
2. 另一种求最值的方法是通过化简二次函数。
我们可以将二次函数进行配方（即将ax^2+bx+c写成a(x-h)^2+k的形式，其中(h,k)为顶点坐标），然后根据二次函数的性质判断最值。
当a>0时，最小值为k；当a<0时，最大值为k。
3.还有一种方法是利用二次函数的对称性。
二次函数的轴对称线为x=-b/(2a)，这个线将函数分成两部分，并且两部分关于该线对称。
我们可以利用这个对称性来确定最值。
当a>0时，函数在轴对称线左右两侧分别增加或减小，最小值出现在轴对称线上；当a<0时，函数在轴对称线左右两侧分别减小或增加，最大值出现在轴对称线上。
除了上述方法外，我们还可以应用一些数学的推导和证明技巧来求解二次函数的最值。
1.利用导数求最值：我们可以求出二次函数的导函数，然后令导函数为0，解得的解即为最值点的横坐标。
函数值的大小比较
函数值的大小比较二次函数、反比例函数比较大小一、二次函数的大小比较方法： 1、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
2、利用函数的增减性：当各点都在对称轴的一侧时，利用函数的增减性进行比较。
3、计算各点到对称轴的距离，结合抛物线的开口方向比较大小：（本法适用于各点在对称轴同侧和异侧的大小比较，尤其是异侧。
）（1）当抛物线开口向上时（即a>0时），离对称轴距离越远，函数值越大，反之越小。
当抛物线开口向上与x 轴有两个交点，两点在对称轴的两侧时，若221x x +＞a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＜y 2;若221x x +＜a b 2-（x 1＜a b 2-＜x 2）时，y 1＞y 2【推理：由x 2-(a b 2-)＞a b 2--x 1得x 2+x 1＞ab -得221x x +＞a b 2-；即x 2离对称轴距离较远；由x 2-(a b 2-)＜a b 2--x 1，得x 2+x 1＜ab -，得221x x+＜a b 2-，即x 1离对3、特殊值代入法：直接根据题目要求，分别代入具体的数值，再比较大小。
三、试题：1、（若二次函数cx x y +-=62的图像过),23(),,2(),,1(321y C y B y A +-三点，则321y y y 、、大小关系正确的是（ ） A ．321y y y >> B ．231y y y>> C ．312y y y>>D ．213y y y >>2、点A （2，Y 1）、B （3，Y 2）是二次函数Y =X 2﹣2X +1的图象上两点，则Y 1与Y 2的大小关系为Y 1 Y 2（填“＞”、“＜”、“=”）．3、已知点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）是反比例函数y=的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则有（ ）A 、y 1＜0＜y 2B 、y 2＜0＜y 1C 、y 1＜y 2＜0 D 、y 2＜y 1＜04、若点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3）在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（）A、y1＞y2＞y3 B、y2＞y1＞y3 C、y3＞y1＞y2 D、y3＞y2＞y15、若A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是反比例函数y=图象上的点，且x 1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A、y 3＞y1＞y2B、y1＞y2＞y3C、y2＞y1＞y3 D、y3＞y2＞y16、反比例函数y=（k≠0）的图象如图所示，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数图象上的三点，且x1＞x2＞0＞x3，则y1、y2、y3的大小关系（）A、y3＜y1＜y2B、y2＜y1＜y3C、y3＜y2＜y1D、y1＜y2＜y37、若点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=﹣的图象上，且x 1＜0＜x2，则y1，y2和0的大小关系是（） A、y1＞y2＞0 B、y1＜y2＜0 C、y1＞0＞y2 D、y1＜0＜y28、反比例函数y=图象上有三个点（x 1，y1），（x2，y2），（x3，y3），其中x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）A、y1＜y2＜y3B、y2＜y1＜y3C、y3＜y1＜y2D、y3＜y2＜y19、已知P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（x3，y3）是反比例函数y=的图象上的三点，且x 1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A、y3＜y2＜y1B、y1＜y2＜y3C、y2＜y1＜y3D、y2＜y3＜y110、已知反比例函数图象上三个点的坐标分别是A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3），能正确反映y1、y2、y3的大小关系的是（）A、y1＞y2＞y3B、y1＞y3＞y2C、y2＞y1＞y3D、y2＞y3＞y111、已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函数y=的图象上．下列结论中正确的是（） A、y1＞y2＞y3 B、y1＞y3＞y2 C、y 3＞y 1＞y 2D 、y 2＞y 3＞y 112、已知：点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）是函数y=﹣图象上的三点，且x 1＜0＜x 2＜x 3则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A 、y 1＜y 2＜y 3B 、y 2＜y 3＜y1C 、y 3＜y 2＜y 1D 、无法确定13、设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a=-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．213yy y >> B ．312yy y >> C ．321yy y >>D ．312y y y >>14、已知二次函数y=﹣x 2﹣7x+，若自变量x分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是（ ） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＜y 2＜y 3 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＜y 3＜y 115、已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．16、反比例函数图象上的两上点为（x 1,y 1）,(x 2,y 2)，且x 1<x 2,则下列关系成立的是（ ） A.y 1>y 2 B.y 1<y 2 C.y 1=y 2 D.不能确定17、已知二次函数中，其函数与自变量之间的部分对应值如下表所示：… 0 1 2 3 …… 5 2 1 2 …点A （，）、B （，）在函数的图象上，则当，时， 与的大小关系正确的是（ ） A ．≥ B ． C ． D ．≤18、设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a=-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．213y y y >> B ．312yy y >> C ．321yy y >>D ．312y y y >>2y x=2y axbx c=++y x x y1x 1y 2x 2y 101x <<223x<<1y 2y 1y 2y 12y y >12y y <1y 2y19、已知二次函数y=﹣x2﹣7x+，若自变量x 分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y120、若二次函数y=x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y 1），B（2，y2），C（，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y221、已知一元二次方程x2+bx﹣3=0的一根为﹣3，在二次函数y=x2+bx﹣3的图象上有三点、、，y 1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y222、已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x ﹣1）2+1的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．23、点A （2，y 1）、B （3，y 2）是二次函数y=x 2﹣2x+1的图象上两点，则y 1与y 2的大小关系为y 1 y 2（填“＞”、“＜”、“=”）．24、在函数的图象上有三个点的坐标分别为（1，）、（，）、（，），函数值y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 3＜y 2＜y 1C ．y 2＜y 1＜y 3D ．y 3＜y 1＜y 225、若()A a b ，，(2)B a c -，两点均在函数1y x =的图象上，且0a <，则b 与c 的大小关系为（ ） A ．b c > B ．b c < C ．b c = D ．无法判断 26、如图,一次函数y 1=x －1与反比例函数y 2=x2的图像交于点A (2,1),B (－1,－2),则使1y x =1y 122y 3-3y11y 1>y 2的x 的取值范围是（ ） A. x>2 B. x>2或－1<x<0C.－1<x<2D. x>2或x<－127、若A (1x ，1y )、B (2x ，2y )在函数12y x =的图象上，则当1x 、2x 满足______时，1y >2y .（答案不唯一，x 1<x 2<0，或 0<x 1<x 2，或210xx <<或122,3x x ==-等均可） 28、在反比例函数12m y x -=的图象上有两点1122()()A x y B x y ，，，，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是（ ）A ．0m <B ．0m >C ．12m < D ．12m >。
中考数学复习考点知识归类讲解24 利用二次函数比较大小与解不等式(组)
中考数学复习考点知识归类讲解专题24 利用二次函数比较大小与解不等式（组）知识对接考点一、二次函数与不等式的关系ax 2+bx+c>0(a≠0)的解集⇔二次函数y=ax 2+bx+c 的图象位于x 轴上方部分对应自变量的取值范围;ax 2+bx+c<0(a≠0)的解集⇔二次函数y=ax 2+bx+c 的图象位于x 轴下方部分对应自变量的取值范围. 要点补充：考点二、函数及其图象1、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 2、几种特殊的二次函数的图像特征如下：专项训练 一、单选题1．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于(1,),(3,)A p B q -两点，则不等式2ax c mx n +>+的解集为（）A ．1x >-B ．3x <C ．13xD ．1x <-或3x >2．如图是二次函数210) (y ax bx c a =++≠和一次函数2(0)y mx n m =+≠的图象．则下列结论正确的是（）A ．若点()()12312,,,,2,2M d N d P d ⎛⎫- ⎪⎝⎭在二次函数图像上，则123d d d <<B ．当12x <-或3x >时，12y y > C ．20a b -=D ．当22x k =+（k 为实数）时，1y c ≤3．已知函数22y x ax =-+，当2x ≤时，函数值随x 增大而增大，且对任意的111x a ≤≤+和211x a ≤≤+，1x 、2x 相应的函数值1y 、2y 总满足129y y -≤，则实数a 的取值范围是（）A ．24a ≤≤B ．24a -≤≤C ．2a ≥D ．23a ≤≤4．已知二次函数211y ax ax =+-，221y x bx =++，令h b a =-，（）A ．若1h =，1a <，则21y y >B ．若=2h ，12a <，则21y y > C ．若3h =，0a <，则21y y >D ．若4h =，12a <-，则21y y >5．如图，己知抛物线()(0)y ax x t a =+≠经过点(3,3)A --，0t ≠．当抛物线的开口向上时，t 的取值范围是（）A ．3t >B ．3t >-C ．3t >或3t <-D ．3t <-6．已知抛物线2(1)22y m x mx m =+-+-与x 轴有两个交点()()12,0,,0x x ，现有如下结论：①此抛物线过定点(1,1)-；②若抛物线开口向下，则m 的取值范围是21m -<<-；③若1m >-时，有121x -<<-，212x <<，则m 的取值范围是2194m -<<．其中正确结论的个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．37．二次函数2()1y x b b =-++的图象与一次函数5(15)y x x =-+-≤≤的图象没有交点，则b 的取值范围是（） A ．4b <-B ．178b >C ．4b <-或178b >D ．1748b -<< 8．对于题目：“线段391344yx x与抛物线2220yax a x a有唯一公共点，确定a的取值范围”、甲的结果是32a ≤-，乙的结果是32a >，则（） A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确9．平面直角坐标系中有两条抛物线211:l y ax bx c =++与222:l y cx bx a =++，其中0a c ．下列三个结论中：①如果抛物线1l 与x 轴的一个交点为()0m ,，那么1(,0)m是抛物线2l 与x 轴的一个交点； ②如果当0x >时1y 随x 的增大而增大，那么当0x >时2y 也随x 的增大而增大； ③如果12y y <，那么x 的取值范围为11x -<<．其中正确结论是（ ） A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③10．给出下列命题及函数21y x y x y x=-=-=-，，的图象．①如果1a <-那么21a a a->->-；②如果10a -<<，那么21a a a->->-；③如果01a <<，那么21a a a->->-；④如果1a >，那么21a a a->->-，则正确命题的序号是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．③④二、填空题11．已知函数y ＝22(2)2(2)x x x x ⎧-+≤⎨->⎩的图象如图所示，观察图象，则当函数值y ≥﹣6时，对应的自变量x 的取值范围是______．12．如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点(),0A a 和(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ．下列四个命题：①当0x >时，0y >；②若1a =-，则4b =；③抛物线上有两点()11,P x y 和()22,Q x y ，若121x x ，且122x x +>，则12y y >；④点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G 、F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为中真命题的序号是______．13．如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝﹣mx ＋n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2＋mx ＋c ＞n 的解集是___________．14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）其部分图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②b2﹣4ac＜0；③方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝2；④将y＝ax2先向右平移1个单位，再向上平移4个单位可得到y＝ax2＋bx＋c的图象；⑤当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3其中正确的结论是_____．（填序号）15．如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝kx＋b交于A（﹣1，m），B（2，n）两点，则不等式ax2﹣kx＋c＜b的解集是__________．三、解答题16．如图，抛物线22y x x c =-+与y 轴交点为C ，与x 轴交点为A ，B ，点A 位于点B 左侧，目3OB OA =，点P 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点P 的坐标；（2）若经过点B ，C 的直线解析式为y kx b =+，则不等式22x x c kx b -+≤+的解集为______．17．已知抛物线22234y mx mx m =++-． （1）该抛物线的对称轴为______；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的函数表达式；（3）设点()1,M n y 、()22,N y 在该抛物线上，若12y y >，求n 的取值范围．18．如图，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点()4,5A 与点()0,3B -，且与x 轴交于点C 、D ．（1）求该二次函数的表达式，以及与x 轴的交点坐标． （2）若点(),Q m n 在该二次函数图象上， ①求n 的最小值；②若点Q 到x 轴的距离小于3，请结合函数图象直接写出m 的取值范围．19．如图，已知二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0A -和点()0,3C ，对称轴为直线1x =．（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；（2）结合图象，当3y <时，直接写出x 的取值范围． 20．如图，抛物线的顶点坐标为(2,1)A -，且过点(0,3)B ．（1）求抛物线的解析式；（2）当14x <<时，求y 的取值范围．21．已知二次函数的图像如图所示．（1）求这个二次函数的表达式；（2）该二次函数图像与y 轴的交点坐标为；（3）写出当0y >时自变量x 的取值范围．22．已知，点P 为二次函数()²21y x m m =---+图象的顶点，直线2y kx =+分别交x 轴的负半轴和y 轴于点A ，点B ．(1)若二次函数图象经过点B ，求二次函数的解析式．(2)如图，若点A 坐标为(40)-，，且点P 在AOB 内部(不包含边界)． ①求m 的取值范围；②若点16,5C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,5D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小23．已知抛物线y ＝﹣12x 2＋2ax ﹣4 （1）讨论抛物线与x 轴的交点个数，（2）若a ＝1，当﹣2≤x ≤m 时，该函数的最大值与最小值之差为4m ，求实数m 的值．链接材料：对于解一元二次不等式，常采用数形结合的方式．例：解不等式：x2＋x﹣2＞0.解：不等式x2＋x﹣2＞0的解集，等价于不等式（x﹣1）（x＋2）＞0的解集，等价于函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方部分对应的x的取值范围．如图，在平面直角坐标系（隐去y轴）中，画出函数y＝（x﹣1）（x＋2）的大致图象，由图象可知：函数y＝（x﹣1）（x＋2）的图象在x轴上方时，对应的x的取值范围是x ＜﹣2或x＞1∴不等式x2＋x﹣2＞0的解集是x＜﹣2或x＞1。
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初中数学巧用二次函数的性质比较数值
大小
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指导：__________
日期：__________
比较二次函数值的大小是二次函数图像与性质应用的重要题型之一，是中考的热点。
要熟练准确地解决这类问题，同学们要理解二次函数的增减性、能画出图像的大致位置，会确定对称轴，还要掌握解决这类问题的一般方法和解题步骤。
以下面这道题为例，豆姐帮同学们梳理一下此类题目的相关知识点。
知识点一判断二次函数的开口方向
①当a＞0时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；
②当a＜0时，抛物线开口向下，顶点为其最高点。
知识点二找到二次函数的对称轴
二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x-h)2+k的形式，即二次函数的顶点式，通过顶点式我们可以得出二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（h，k），因此，可以得出二次函数的对称轴为x=h
知识点三画示意图，确定点的位置大小
根据开口方向和对称轴，画出函数的示意图，不需要太精确。
根据对称轴，找到题目中所求点在x轴上的位置，对于有根号的数字，最好可以转化到小数形式，方便对比。
①对于开口向上的抛物线，离对称轴越近，点越低，y值越小；离对称轴越远，
点越高，y值越大
②对于开口向下的抛物线，离对称轴越近，点越高，y值越大；离对称轴越远，点越低，y值越小。