证明不等式的几种方法

合集下载

证明基本不等式的方法

基本不等式是解决数学不等式问题中常用的方法，其核心思想是将一

个不等式转化为另一个更简单的不等式，从而得到所需的解集。在证明基

本不等式的方法上，可以分为以下几种常见的方式：

1.数学归纳法：

数学归纳法是证明基本不等式的一种常用方法。首先，我们需要证明

当不等式成立时，对于一些特定的值$n$，不等式也成立。接着，我们假

设当$n=k$时不等式成立，可以通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式成立。最后，根据归纳法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。

2.递推法：

递推法是证明基本不等式的另一种常用方法。我们首先找到一个较小

的数$k$，证明不等式对于这个特定的数成立。然后，我们假设当$n=k$时

不等式成立，接着通过这个假设证明当$n=k+1$时不等式也成立。最后，

根据递推法的原理，我们可以得出不等式对于所有自然数$n$成立。

3.反证法：

反证法是证明基本不等式的另一种有效方法。我们首先假设不等式不

成立，即假设存在一些数使得不等式不成立。接着，我们通过一系列的推

导和推理，得出矛盾的结论。这表明我们的假设是错误的，即不等式是成

立的。

4.变量替换法：

变量替换法是证明基本不等式的一种常用方法。我们首先对不等式进

行变量替换，将其转化为一个使用其他变量的等价不等式。然后，通过对

这个等价不等式进行一系列的变换和推导，我们可以得出所需的结论。

5.辅助不等式法：

辅助不等式法是证明基本不等式的一种有效方法。我们首先找到一个

与原不等式相关的不等式，这个不等式往往更容易证明。然后，我们通过

不等式证明的几种常用方法

不等式证明是数学分析中的一种重要方法，它可以用来证明一个不等式的真实性。一般来说，常用的不等式证明方法有三种：反证法、极限法和数学归纳法。

反证法是一种常用的不等式证明方法，它的基本思想是：如果要证明某个不等式成立，那么我们可以假设它不成立，然后用反证的方法来证明它的真实性。

极限法是另一种常用的不等式证明方法，它的基本思想是：如果要证明某个不等式成立，那么我们可以用极限的方法来证明它的真实性。

数学归纳法是最常用的不等式证明方法之一，它的基本思想是：如果要证明某个不等式成立，那么我们可以用数学归纳法来证明它的真实性。

反证法、极限法和数学归纳法是不等式证明的常用方法，它们可以用来证明不等式的真实性。

2022考研数学：不等式证明的7种方法总结

不等式证明的7种方法总结

1. 拉格朗日中值定理适用于已知函数导数的条件，证明涉及函数(值)的不等式;

2. 泰勒公式适用于已知函数的高阶导数的条件，证明涉及函数(值)或低阶导函数(值)的不等式;

3. 应用函数的单调性定理证明：(1)对于证明数的大小比较的不等式，转化为同一函数在区间两端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;(2)对于证明函数大小比较的不等式，转化为同一个函数在区间内的任意一点函数值与区间端点函数(或极限)值大小的比较，利用函数在区间上的单调性进行证明;

4. 利用函数最大值、最小值证明不等式。把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间上某点x出的函数值大小的比较，然后证明(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;

5. 利用函数取到唯一的极值证明不等式。把待证的不等式转化为区间上任意一点函数值与区间内某点x处的函数值大小的比较，然后证明(fx)为唯一的极值且为极大值或极小值，即(fx)为最大值或最小值，即可证不等式成立;

6. 用柯西中值定理证明不等式;

7. 利用曲线的凹凸性证明不等式。

不等式的证明

最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法．

知识梳理

1.基本不等式

定理1：如果a ，b ∈R，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b 2≥a ＝b 时，等号成立，即两个正

数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均.

定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么

a ＋

b ＋

c 3≥a ＝b ＝c 时，等号成立.

2.不等式的证明方法

(1)比较法

①作差法(a ，b ∈R)：a －b >0⇔a >b ；a －b <0⇔a 0，b >0)：a b >1⇔a >b ；a b <1⇔a

＝1⇔a ＝b .

(2)综合法与分析法

①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.综合法又叫顺推证法或由因导果法.

②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.

[微点提醒]

1.作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系.

2.用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲

证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立.

3.利用基本不等式证明不等式或求最值时，要注意变形配凑常数.

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

【技巧题型】不等式题目的七种证明方法

高考的题目中，有80%都是中低档难度，也就是说，要想脱颖而出成为佼佼者，压轴题是无论如何都要攻克的难关！

压轴题目一般是开放型的题目，每年都是会变化。但大概率题目是函数、数列、圆锥曲线、不等式等知识的综合问题。

今天，我就来总结一下不等式的证明方法。

比较法

所谓比较法，就是通过两个实数a与b的差或商的符号（范围）确定a与b大小关系的方法，即通过

来确定a,b大小关系的方法。前者为作差法，后者为作商法。

但要注意作差法适用范围较广；作商法再用时注意符号问题，如果同为正的话是没有问题的，同为负的话记得改变不等式的符号。

分析法和综合

这两个方法我们一般会一起使用。

分析法是从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立。

综合法是从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式。

我们来看一个例题，已知

如果要用综合法或者分析法的话，对于过程上需要写明，即证，所以要证，也就是说，即等价于……一些转化的语句来过渡我们的题目。

当然这两个方法我们经常一起用，因为分析完条件，分析结论，两个一起分析做题速度更快一些呢。

反证法

从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的。

这个方法其实是按照集合的补集理论来的，正难则反，但是要注意用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形都要考虑到，不能少的。

不等式证明都有哪几种方法

不等式的证明方法（1）比较法：作差比较： . 作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差. ②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和. ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号. 注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小. （2）综合法：由因导果. （3）分析法：执果索因.基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件.

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达. （4）反证法：正难则反. （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的. 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：；；

②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：；；（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元. 如：已知，可设；已知，可设 ( )；已知，可设；已知，可设；（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．⑻数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究.

初中数学知识点：不等式证明的六大方法

马行软地易失蹄，人贪安逸易失志。对待生命要认真，对待生活要活泼。以下是为您推荐初中数学知识点：不等式证明的六大方法。

1、比较法：包括比差和比商两种方法。

2、综合法

证明不等式时，从命题的已知条件出发，利用公理、定理、法则等，逐步推导出要证明的命题的方法称为综合法，它是由因导果的方法。

3、分析法

证明不等式时，从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法。

4、放缩法

证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法。

5、数学归纳法

用数学归纳法证明不等式，要注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

6、反证法

证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的

条件或已证明的定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

不等式证明方法大全

在数学研究中，证明不等式是一项重要的内容。目前，关于证明不等式的方法可以分

为几类，下面将详细展开讨论：

一、绝对值的技巧：将不等式中的变量都化为绝对值，这样可以有效地转换原不等式。

二、代数变换法：通过恰当的代数变换，将不等式中变量交换，从而转化为更简单的

不等式。

三、数量不等式法：将相同的不等式进行变形，将其变换为数量不等式，然后继续解决，从而获得结论。

四、角度不等式法：如果不等式涉及到测量角度的变量，我们可以将其转换为角度不

等式，然后判断两个角度的大小关系，从而获得结论。

五、条件不等式法：将不等式的左右两侧都加上某个条件，将其变换为条件不等式，

然后根据条件判断两个式子大小关系。

六、单值不等式变形法：将不等式变为单值不等式，然后将单值不等式中的变量通过

某种方式改变，从而继续解决不等式本身，用这种方法可以得出不等式的正确性。

七、多元不等式的考虑：由于某些不等式涉及多个变量，因此需要考虑这些变量的关系，包括不等式的变换形式，和多个变量的联系在内的其他因素，这样才能正确地证明不

等式的正确性。

以上就是证明不等式的各种方法，正确运用上述方法，可以帮助我们轻松地证明定理，有助于提高科学研究的水平。

不等式证明的几种方法

1.直接证明法

直接证明法是最常用的证明方法之一、该方法是通过运用数学定义、

公理和已知条件，直接推导出要证明的不等式。例如，要证明

a+b≥2√ab，我们可以通过平方两边的方式将不等式变形为(a-b)^2≥0

的形式，再通过数学运算的方式得出结论。

2.反证法

反证法是常用的证明方法之一，尤其适用于不等式证明。该方法是先

假设要证明的不等式为假，然后通过推导得出与已知条件矛盾的结论，从

而证明所假设的不等式为真。例如，要证明3√ab≥2(a+b)不成立，我们

可以先假设不等式成立，然后通过运算推导出与已知条件不符的结果。由

此可知，不等式不成立。

3.数学归纳法

数学归纳法适用于一类特殊的不等式，即对于其中一自然数n，当

n=1时不等式成立，且当n=k时不等式成立，则当n=k+1时不等式也成立。通过反证法证明。例如，要证明n^2<2^n，首先当n=1时，不等式成立。

假设当n=k时，不等式也成立，即k^2<2^k成立。我们需要证明当n=k+1时，不等式也成立，即(k+1)^2<2^(k+1)成立。通过反证法推导出与已知

条件矛盾的结果，即可证明不等式成立。

4.几何法

几何法可以通过将不等式转化为几何问题来证明。例如，要证明

a^2+b^2≥2ab，可以将不等式转化为平面上两点的距离的问题。通过建立

几何模型，可以直观地看出不等式成立的原因。例如，可以将两个正方形

的面积进行比较，或者使用勾股定理来解决问题。

5.代数方法

代数方法是通过将不等式转化为代数方程或函数的性质来证明。例如，要证明3a^2+3b^2+2c^2≥4ab+4bc+4ca，可以通过将不等式整理为一个二

构造函数法证明不等式的八种方法

一、构造函数法是一种常用的数学证明方法，通过巧妙地构造函数，

并对其性质进行分析，可以证明各种数学不等式。下面就列举八种常用的

构造函数法证明不等式的方法。

1.构造平方函数法：对于形如x^2≥0的不等式，可以构造f(x)=x^2，然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

2.构造递增函数法：对于形如a≥b的不等式，可以构造f(x)=x，然

后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

3.构造递减函数法：对于形如a≤b的不等式，可以构造f(x)=-x，

然后通过分析f(x)的性质，来证明不等式的成立。

4.构造两个函数之差法：对于形如a-b≥0的不等式，可以构造

f(x)=x^2和g(x)=(x-a)(x-b)，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证

明不等式的成立。

5. 构造函数的和法：对于形如(a+b)^2≥0的不等式，可以构造

f(x)=x^2和g(x)=a^2+b^2+2ab，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证

明不等式的成立。

6.构造函数的积法：对于形如(a·b)^2≥0的不等式，可以构造

f(x)=x^2和g(x)=a^2·b^2，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明

不等式的成立。

7.构造函数的倒数法：对于形如1/(a·b)≥0的不等式，可以构造

f(x)=1/x和g(x)=a·b，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等

式的成立。

8.构造指数函数法：对于形如e^x≥1的不等式，可以构造f(x)=e^x 和g(x)=1，然后通过分析f(x)和g(x)的性质，来证明不等式的成立。

证明不等式的几种常用方法

证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用．

一、反证法

如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理．

反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的．

用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A ＞B ，先假设A ≤B ，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A ≤B 不成立，而肯定A ＞B 成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效．

例1 设a 、b 、c 、d 均为正数，求证：下列三个不等式：①a ＋b ＜c ＋d ；②(a ＋b)(c ＋d)＜ab ＋cd ；③(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)中至少有一个不正确．

反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a 、b 、c 、d 都是正数，所以不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④

证明不等式的八种方法

利用导数证明不等式的八种方法

构造函数法---1研究其单调性

2 极值、最值与0的关系张红娟学习所得 2012.10.18

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：

一、移项法构造函数

【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有

x x x ≤+≤+-)1ln(1

11 分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数

1)1ln()(-++

+=x x x g ，从其导数入手即可证明。【解】1111)(+-=-+='x x x x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数

当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数

故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞

于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证），现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 2

2)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时，

高中不等式的证明方法

在高中数学学习中，不等式是一个非常重要的内容。在解决不等式问

题的过程中，常常需要使用一些证明方法。下面我将介绍一些高中不等式

的证明方法。

一、计算法

对于一般的不等式，我们可以通过计算来证明。该方法常常适用于直

接证明不等式的正确性。

示例：

对于不等式a + b ≥ 2√(ab)，我们可以对其两边进行平方运算，

化简得到(a + b)² ≥ 4ab，继续化简得到a² + 2ab + b² ≥ 4ab，最后

得到a² + b² ≥ 2ab。由于a²，b²为非负数，所以a² + b² ≥ 2ab成立，从而不等式得到证明。

二、数轴法

数轴法是一种简便的证明不等式的方法。

示例：

对于不等式x+1>2，我们可以画出数轴，将不等式变形为x>1，即x

的取值范围在1的右侧。通过观察数轴即可发现x的取值大于1，所以不

等式成立。

三、加减法

对于含有多个项，且项之间存在加减关系的不等式，我们可以通过加

减法将不等式转化为一个已知不等式来证明。

示例：

对于不等式a+b+c>3，我们可以将不等式两边都减去c，得到a+b>3-c。由于c是一定的，所以不等式a+b>3-c成立，即不等式得到证明。

四、乘法

当不等式中存在连续的乘法关系时，我们可以通过乘法来证明不等式。示例：

对于不等式(x+1)(x+2)>0，我们可以使用因式分解法将不等式化简为(x+1)(x+2)≠0。由于(x+1)(x+2)的乘积肯定不为0，所以不等式成立。五、数学归纳法

对于有一定规律的不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。

不等式证明的基本方法

综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式：
“ 已知 → 可知 1→ 可知２ → …→ 结论”.
3.分析法是指“执果索因”的思维方法，即从结论出发，不断地去寻找需知，直至达到已知事实为止的方法. 分析法的思维全貌可概括下面形式： “结论←需知1←需知2←…←已知”. 4.反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法. 5.放缩法：欲证A>B，可通过适当放大和缩小，借助一个或多个中间量，使得 B<B1,B1≤B2,…,B1≤A，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法.
1 , a
放缩法的理论依据主要有：
①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较.
5.换元法是数学中的基本方法，它的应用十分广泛，不仅在不等式的证明中用到它，在其他数学问题的研究中也经常用到它.三角换元法有一定的规律性.
走进高考
江苏卷)设f(x)= x 1 -alnx(a∈R). 学例1 (2007·
a b2 a 2 b2 2≥4ab, (a+b) ≥( ); 2 2 ab ④ 2 ≥ ab(a>0,b>0)及其变形 a b b a + ≥2(ab>0), + ≤-2(ab<0); b a a b

证明函数不等式的六种方法

在高中数学中，函数的不等式是一个重要的主题。证明函数不等式是一个基本的技能，它可以帮助学生更好地理解函数的性质并提高数学思维能力。下面我们介绍六种证明函数不等式的方法。

1. 代数法

这种方法是最常用的方法之一。我们可以将不等式两边的函数展开，并进行简单的代数计算，以确定不等式的正确性。

例如，我们要证明：

f(x) > g(x)

其中

f(x) = x^2 + 2x + 1

g(x) = x^2 + x

我们可以将f(x)和g(x)展开，然后将它们相减，得到：

f(x) - g(x) = x + 1

因此，

f(x) > g(x) 当且仅当 x > -1

2. 消元法

这种方法通常适用于含有多个变量的不等式。我们可以将其中一个变量消去，从而使不等式简化。

例如，我们要证明：

f(x, y) > g(x, y)

其中

f(x, y) = x^2 + y^2

g(x, y) = x^2 - y^2

我们可以将y消去，得到：

f(x, y) - g(x, y) = 2y^2

因此，

f(x, y) > g(x, y) 当且仅当 y ≠ 0

3. 极限法

这种方法通常适用于连续函数的不等式。我们可以将不等式两边取极限，以确定不等式的正确性。

例如，我们要证明：

f(x) > g(x)

其中

f(x) = x^2 + 2x + 1

g(x) = x^2 + x

我们可以将f(x)和g(x)的极限计算出来，得到：

lim (f(x)) = +∞

x→+∞

lim (g(x)) = +∞

x→+∞

因此，

探究证明不等式的几种常用方法

不等式在数学中占有十分重要的地位,证明不等式的方法和技巧也很多,本文介绍一些常用方法,仅供大家参考。

1.比较法

欲比较两个数的大小,可以作它们的差,通过适当变形与零进行比较,最后下结论。

例:已知a、b都是正实数,且ab,求证a 3+b 3>a 2b+ab 2。

证明:由(a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)=(a 3-a 2b)-(ab 2-b 3)=a 2(a-b)-b 2(a-b)=(a 2-b 2)(a-b)=(a+b)(a-b) 2

∵a,b>0,a+b>0

又ab,(a-b) 2>0

故(a+b)(a-b) 2>0,即(a 3+b 3)-(a 2b+ab 2)>0

a 3+

b 3>a 2b+ab 2

2.增减项法

例:已知a>b>0,求证:a+1(a - b)b≥3,

证明:原式左端变形为(a-b)+b+1(a - b)b≥33(a-b)•b•1(a - b)b=3。

3.拆项法

例:设a、b、c∈R +,且a、b、c两两不相等,abc=1,求证:1a+1b+1c>a+b+c。

证

明:=1a+1b+1c=12(1a+1a)+12(1b+1b)+12(1c+1c)=12(1a+1b)+12(1b+1c)+12(1a+1c)

>1ab+1bc+1ca=abcab+abcbc+abcca=a+b+c。

4.放缩法

所谓放缩法,一是根据不等式的传递性,将和(或积)中的某些项换成较大(或较小)的,使其和(或积)较大(或较小);二是对于分式的分子(或分母)的扩大(或缩小),使其分式值增大(或缩小),再者是把某些项舍去(或添上)等等技巧性方法。