二次函数详细总结及典型练习例题

二次函数复习导学案
教学目标
教法：引导式教学、讲练结合
1、二次函数的定义：
一般地，形如)b a 0(2
为常数、、，c a c bx ax y ≠++=的函数，叫做二次函数。

其中x 是自变量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 常数项。

2.二次函数解析式的三种形式： 一般式： y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 顶点式： 2
()y a x h k =-+
2
24()24b ac b y a x a a
-=-+ 交点式： 12()()y a x x x x =--（轴交点的横坐标）为图像与、x 21x x 3.二次函数图像：（最值问题） 二次函数的图像是一条抛物线，
对称轴： 顶点坐标： 与y 轴交点坐标
4.增减性：
当a 0时，对称轴左边，y 随x 增大而减小；对称轴右边，y 随x 增大而增大； 当a 0时，对称轴左边，y 随x 增大而增大；对称轴右边，y 随x 增大而减小. 5.二次函数图像画法：
勾画草图关键点：○1开口方向 ○2对称轴 ○3顶点 ○4与x 轴交点 ○5与y 轴交点 6.图像平移步骤
（1）配方 2
()y a x h k =-+，确定顶点（ ）（2）对x 轴 左加右减；对y 轴 上加下减 7.二次函数的对称性：
知识与能力：1、二次函数的解析式 对称轴 顶点坐标 最大（最小）值
2、懂得利用二次函数解决生活中的实际问题
过程与方法：通过复习使学生掌握二次函数知识与其它知识综合形成较为复杂的综合题目的思考方法。

情感、态度和价值观：注重培养学生数形结合的思想和独立思考的能力。

重点：二次函数的图象与性质。

运用函数、方程、几何等知识解决与函数有关的综合题以及函数应用问题。

难点：二次函数知识与其它知识综合形成较为复杂的综合题目的思考方法。

教学过程
一、知识点学习
y x
O
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x 1, x 2 其对应的纵坐标相等那么对称轴12
2
x x x += 8. a 、b 、c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响．
（1）a 决定：开口方向、开口大小（2）c 决定与y 轴的交点为（0，c ） （3）b 与－b
2a 共同决定b 的正负性（b ——对称轴与a 左同右异）
9.抛物线与坐标轴的交点
（1）求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点
当函数值y ＝0时，求得的x 的值就是抛物线与x 轴交点的 ）．
如：求y ＝x 2－2x －3与x 轴交点坐标．
（2）求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交点
当x ＝0时，则y 的值是抛物线与y 轴交点的 ． 如：求抛物线y ＝x 2－2x －3与y 轴交点坐标． 10.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax 2 +bx+c 与x 轴交点的横坐标x 1, x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0（a ≠0）的根。

抛物线y=ax 2 +bx+c ，当y=0时，抛物线便转化为一元二次方程ax 2 +bx+c=0
24b ac ->0时，一元二次方程有两个不相等的实根，二次函数图像与x 轴有 个交点； 24b ac -=0时，一元二次方程有两个相等的实根，二次函数图像与x 轴有 个交点； 24b ac -<0时，一元二次方程有不等的实根，二次函数图像与x 轴 有交点
二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．因此，我们在学习本章内容时应注重培养数形结合的思想和独立思考问题的能力
练习：1. 抛物线()2
2-=x y 的顶点坐标是 .
2．将抛物线2
3y x =-向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是 ． 3. 如图所示的抛物线是二次函数2
2
31y ax x a =-+- 的图象，那么a 的值是 ．
4.二次函数2
(1)2y x =-+的最小值是（ ）
A.－2
B.2
C.－1
D.1
5. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式 .
三、典型例题
第3题图
例1、 函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）．
（1）当m_________时，该函数为二次函数；（2）当m_________时，该函数为一次函数．
2、二次函数的图象
例2、足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）
3、二次函数的图象与a 、b 、c 的符号及特殊代数式的值 例3、特殊代数式求值：
看图填空：
（1）a______0, (2)b_______0, (3) c______0,(4),0______42
ac b (5)a ＋b ＋c_______0, （6）a －b ＋c_______0,
4、求二次函数的解析式
例4、求满足下列条件的抛物线的解析式.
（1）已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式． （2）已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3），求抛物线的解析式．
（3）已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）， 求抛物线的解析式．
5、二次函数的顶点坐标、对称轴与最大（最小）值
A. B. C. D.
例5、用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝1
2 x 2－2x －1的顶点坐标、对称轴及最大或最小值.
6、二次函数的实际应用
例6、要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP ，柱子顶端P 处装上喷头，由P 处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP ＝3米，喷出的水流的最高点A 距水平面的高度是4米，离柱子OP 的距离为1米. （1）求这条抛物线的解析式；
（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池外？
例7、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m ）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2． （1） 求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （2） 怎样修建才能使围成的矩形面积最大？
例8、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．
例9.如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ． （1）用含y 的代数式表示AE ；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；
（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值． 解
Q P C B
A
四、课堂训练 1．y ＝(m ＋1)x
m
m -2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1
2
B ． y ＝3 (x －1)2
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝1
x
2 －x
6、如图为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，在下列说法中： ①ac ＜0；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根是x 1＝－1，x 2＝3； ③a ＋b ＋c ＞0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大．
正确的说法有__________________（把正确的序号都填在横线上）． 7．已知二次函数22
-++=a ax x y ．
（1）说明抛物线22-++=a ax x y 与x 轴有两个不同交点； （2）求这两个交点间的距离（关于a 的表达式）； （3）a 取何值时，两点间的距离最小？
4、已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．
综合题
例10、（2012•广东）如图，抛物线y=x2﹣x﹣9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC．
（1）求AB和OC的长；
（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．
只和学生探讨解题思路。

答案由学生做，哪里做的有问题在给予纠正。

解答：
解：（1）已知：抛物线y=x2﹣x﹣9；
当x=0时，y=﹣9，则：C（0，﹣9）；
当y=0时，x2﹣x﹣9=0，得：x1=﹣3，x2=6，则：A（﹣3，0）、B（6，0）；
∴AB=9，OC=9．
（2）∵ED∥BC，∴△AED∽△ABC，
∴=（）2，即：=（）2，得：s=m2（0＜m＜9）．
（3）S△AEC=AE•OC=m，S△AED=s=m2；
则：S△EDC=S△AEC﹣S△AED=﹣m2+m=﹣（m﹣）2+；
∴△CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=AB﹣AE=．
过E作EF⊥BC于F，则Rt△BEF∽Rt△BCO，得：
=，即：=∴EF=；
∴以E点为圆心，与BC相切的圆的面积S⊙E=π•EF2=．
11．（本题满分9分）正方形ABCD 边长为4，M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直，
（1）证明：Rt Rt ABM MCN △∽△；
（2）设B M x =，梯形ABCN 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置时，四边形ABCN 面积最大，并求出最大面积；
（3）当M 点运动到什么位置时Rt Rt ABM AMN △∽△，求x 的值．
解：（1）在正方形ABCD 中，490AB BC CD B C ===∠=∠=，°， AM MN ⊥， 90AMN ∴∠=°，
90CMN AMB ∴∠+∠=°．
在Rt ABM △中，90MAB AMB ∠+∠=°， CMN MAB ∴∠=∠，
Rt Rt ABM MCN ∴△∽△． ·
·········································· 2分 （2）Rt Rt ABM MCN △∽△，
44AB BM x
MC CN x CN
∴
=∴=
-，， 244
x x CN -+∴=， ···························································································· 4分
2221411
4428(2)102422ABCN
x x y S x x x ⎛⎫-+∴==+=-++=--+ ⎪⎝⎭
梯形， 当2x =时，y 取最大值，最大值为10． ·································································· 6分 （3）
90B AMN ∠=∠=°，
∴要使ABM AMN △∽△，必须有
AM AB
MN BM
=
， ···················································· 7分 由（1）知
AM AB
MN MC
=
， BM MC ∴=，
∴当点M 运动到BC 的中点时，ABM AMN △∽△，此时2x =． ····························· 9分
（其它正确的解法，参照评分建议按步给分）
N
D
A C D
B
M
第22题图。