2016-2017学年高中数学北师大版选修2-2教师用书：第四章 定积分 §2 微积分基本定理 Word版含解析

§2微积分基本定理
1.了解微积分基本定理的含义.(难点)
2.会利用微积分基本定理求函数的定积分.(重点)
[基础·初探]
教材整理微积分基本定理
阅读教材P82～P84，完成下列问题.
1.微积分基本定理
如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有
⎠⎛
a
b f(x)dx＝F(b)－F(a).
2.定积分和曲边梯形面积的关系
设曲边梯形在x轴上方的面积为S
上，x轴下方的面积为S
下
，则
(1)
图4-2-1
(1)当曲边梯形的面积在x轴上方时，如图4-2-1(1)，则
⎠⎛
a
b f(x)dx＝S上.
(2)当曲边梯形的面积在x轴下方时，如图4-2-1(2)，则
⎠⎛
a
b f(x)dx＝－S下.
(2)(3)
图4-2-1
(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图4-2-1(3)，则⎠⎛a b
f (x )dx ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则⎠⎛a
b f (x )dx ＝0.
1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)微积分基本定理中，被积函数f (x )是原函数F (x )的导数.( )
(2)应用微积分基本定理求定积分的值时，为了计算方便通常取原函数的常数项为0.( )
(3)应用微积分基本定理求定积分的值时，被积函数在积分区间上必须是连续函数.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ 2.⎠⎛02π(－sin x )dx 等于( ) A.0 B.2 C.－2
D.4
【解析】 ⎠⎛02π(－sin x )dx ＝cos x ⎪⎪⎪2
π0＝cos 2π－cos 0＝0. 【答案】 A
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：
[小组合作型]
利用微积分基本定理求定积分
(1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx ；(2)⎠⎛－π
0(cos x －e x )dx ； (3)⎠⎛1
22x 2
＋x ＋1x dx ；(4) ⎠
⎛0
π2 sin 2x 2dx . 【思路探究】 (1)、(2)先求被积函数的一个原函数F (x )，然后利用微积分基本定理求解；(3)、(4)则需先对被积函数变形，再利用微积分基本定理求解.
【自主解答】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋3)dx
＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛123dx ＝x 33⎪⎪⎪2
1＋x 2⎪⎪⎪2
1＋3x ⎪⎪⎪2
1
＝253.
(2)⎠⎛－π0
(cos x －e x )dx ＝⎠⎛－π0
cos xdx －⎠⎛－π0
e x dx ＝sin x ⎪⎪⎪0
－π－e x
⎪⎪⎪0
－π
＝1e π－1.
(3)2x 2＋x ＋1x ＝2x ＋1＋1x ，而(x 2
＋x ＋ln x )′＝2x ＋1＋
1x .
∴⎠⎛1
22x 2＋x ＋1x dx ＝(x 2
＋x ＋ln x )⎪⎪⎪21＝4＋ln 2.
(4)原式＝⎠⎛0π2 12(1－cos x )dx ＝12⎠⎛0
π
2 (1－cos x )dx ＝12⎠⎛0
π21dx －12⎠
⎛0
π2cos xdx ＝x 2⎪⎪⎪π20
－sin x 2⎪⎪⎪π20
＝
π－2
4.
求简单的定积分应注意两点：
(1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后再求解；
(2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限.
[再练一题]
1.
⎠⎛
1
2
x－1
x2dx＝________.
【解析】
⎠⎛
1
2
x－1
x2dx＝⎠⎛
1
2
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1
x
－1
x2dx
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
ln x＋
1
x⎪⎪
⎪2
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
ln 2＋
1
2
－(ln 1＋1)＝ln 2－1
2.
【答案】ln 2－
1
2
求分段函数的定积分
(1)f(x)＝
⎩⎪
⎨
⎪⎧sin x，0≤x<π2，
1，
π
2≤x≤2，
x－1，2<x≤4，
求
⎠⎛
4f(x)dx；
(2)
⎠⎛
2|x2－1|dx.
【精彩点拨】(1)按f(x)的分段标准，分成
⎣
⎢
⎡
⎭
⎪
⎫
0，
π
2，⎣⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
π
2，2，(2，4]三段求定积分，再求和.
(2)先去掉绝对值号，化成分段函数，再分段求定积分. 【自主解答】 (1)⎠⎛04f (x )dx ＝⎠⎜⎛0π2sin xdx
＋⎠
⎜⎛π2
21dx ＋⎠⎛24(x －1)dx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π20＋x ⎪
⎪⎪⎪2
π2＋⎝
⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪4
2 ＝1＋⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2－π2＋(4－0)＝7－π2.
(2)⎠⎛02|x 2－1|dx ＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛1
2(x 2－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪
21
＝2.
1.本例(2)中被积函数f (x )含有绝对值号，可先求函数f (x )的零点，结合积分区间，分段求解.
2.分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行.
3.带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解.
[再练一题]
2.计算定积分：⎠⎛－3
3(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx .
【解】 设f (x )＝|2x ＋3|＋|3－2x |，x ∈[－3，3]，
则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，－3≤x <－32，
6，－32≤x ≤3
2，
4x ，32<x ≤3.
所以⎠⎛－33
(|2x ＋3|＋|3－2x |)dx ＝⎠⎜⎛-3-32(－4x )dx ＋⎠⎜⎜⎛-32
326 dx ＋⎠
⎜⎛
32
34x dx ＝－2x 2⎪⎪⎪⎪-32-3＋6x ⎪⎪⎪⎪3
2-32
＋2x 2⎪⎪⎪⎪332＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫94－9＋6×⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋32＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－94＝45. [探究共研型]
利用定积分求参数
探究1 【提示】 不唯一，它们相差一个常数，但不影响定积分的值. 探究2 如何求对称区间上的定积分？
【提示】 在求对称区间上的定积分时，应首先考虑函数性质和积分的性质，使解决问题的方法尽可能简便.
(1)设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛0
1f （x ）dx ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，求x 0的值；
(2)已知f (x )是一次函数，其图像过点(3，4)，且⎠⎛01f （x ）dx
＝1，求f (x )的解
析式.
【精彩点拨】 (1)先利用微积分基本定理求出定积分⎠⎛0
1f （x ）dx
，然后列出关于x 0的方程，求出x 0的值.
(2)设出f (x )的解析式，再根据已知条件列方程组求解. 【自主解答】 (1)因为f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)， 且⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a 3x 3＋cx ′＝ax 2＋c ， 所以⎠⎛01f (x )dx ＝⎠⎛01(ax 2＋c )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x 3＋cx |10＝a 3＋c ＝ax 20＋c ，
解得x 0＝33或x 0＝－3
3(舍去).
(2)依题意设一次函数f (x )的解析式为 f (x )＝kx ＋b (k ≠0).
∵函数图像过点(3，4)，∴3k ＋b ＝4. ① ∵⎠⎛0
1f (x )dx ＝
⎠⎛0
1(kx ＋b )dx ＝⎝
⎛⎭
⎪⎫k 2x 2＋bx |10＝k
2＋b ，
∴k
2＋b ＝1.
②
由①②得，k ＝65，b ＝2
5， ∴f (x )＝65x ＋2
5.
1.含有参数的定积分可以与方程、函数或不等式综合起来考查，先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提.
2.计算含有参数的定积分，必须分清积分变量与被积函数f (x )、积分上限与积分下限、积分区间与函数F (x )等概念.
[再练一题]
3.已知⎠⎛0
k (2x －3x 2)dx ＝0，则k 等于( )
【导学号：94210072】
A.0
B.1
C.0或1
D.以上都不对
【解析】 ∵⎠⎛0
k (2x －3x 2)dx ＝(x 2－x 3)|k
0 ＝k 2－k 3， ∴k 2－k 3＝0，
解得k ＝1或k ＝0(舍去)，故选B .
【答案】 B
[构建·体系]
微积分基本定理—⎪
⎪
⎪⎪—定理
—定积分的计算—定积分的几何意义
1.下列定积分的值等于1的是( ) A.⎠⎛01xdx B.⎠⎛01(x ＋1)dx C.⎠⎛0
11dx D.⎠⎛0
112dx 【解析】 选项A ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2
2′＝x ，
所以⎠
⎛0
1xdx ＝x 22⎪⎪⎪1
0＝12； 选项B ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋x ′＝x ＋1，所以⎠
⎛0
1(x ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
x 2
2＋x ⎪⎪⎪10＝32；
选项C ，因为x ′＝1，所以⎠⎛011dx ＝x ⎪⎪⎪
1
0＝1；
选项D ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ′＝12，所以⎠
⎛0
112dx ＝12x ⎪⎪⎪1
0＝12.
【答案】 C
2. ⎠⎜⎛
-π2
π
2 (sin x ＋cos x )dx 的值是( ) A.0 B.π4 C.2
D.4
【解析】 ⎠⎜⎛-π2π2 (sin x ＋cos x )dx ＝⎠⎜⎛-π2π2sin xdx ＋⎠⎜⎛-π2
π2cos xdx ＝(－cos x )
⎪⎪⎪⎪π2-π2
＋sin x ⎪⎪⎪⎪π2
-π2
＝2. 【答案】 C
3.计算⎠⎛0
1x 2dx ＝________.
【导学号：94210073】
【解析】 由于⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 3′＝x 2，所以⎠
⎛0
1x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪1
0＝13.
【答案】 1
3
4.已知2≤⎠⎛1
2(kx ＋1)dx ≤4，则实数k 的取值范围为________.
【解析】 ⎠
⎛1
2(kx ＋1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2
＋x ⎪⎪⎪2
1＝(2k ＋2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1＝32k ＋1，所以2≤32
k ＋1≤4，解得2
3≤k ≤2.
【答案】 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
23，2
5.已知f (x )＝ax ＋b ，且⎠⎛－11f 2(x )dx ＝1，求f (a )的取值范围.
【解】 由f (x )＝ax ＋b ，⎠⎛－11
f 2(x )dx ＝1，
得2a 2＋6b 2＝3，2a 2＝3－6b 2≥0， 所以－22≤b ≤2
2，
所以f (a )＝a 2＋b ＝－3b 2＋b ＋3
2 ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫b －162＋1912， 所以－22≤f (a )≤1912.
我还有这些不足：
(1) (2) 我的课下提升方案：
(1) (2)
学业分层测评(十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题 1.⎠⎛241
x d x 等于( ) A.－2ln 2 B.2ln 2 C.－ln 2
D.ln 2
【解析】 ⎠⎛241
x d x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.
【答案】 D 2.设a ＝⎠⎛
01x 1
3d x ，b ＝
⎠⎛01x 2d x ，c ＝⎠⎛0
1x 3
d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b
D.c>b>a
【解析】 ∵a ＝⎠⎛
1x 13d x ＝x 4343
⎪⎪⎪1
0＝34，
b ＝⎠⎛0
1x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪1
0＝13，c ＝⎠
⎛0
1x 3d x ＝x 44⎪⎪⎪1
0＝14， ∴a >b >c . 【答案】 A
3.(2016·东莞高二检测)已知⎠⎛01(kx ＋1)d x ＝k ，则实数k ＝( )
A.2
B.－2
C.1
D.－1
【解析】 ⎠
⎛0
1(kx ＋1)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2＋x ⎪⎪⎪1
0＝1
2k ＋1＝k ，∴k ＝2.
【答案】 A
4.已知f (x )＝2－|x |，则⎠⎛－12f (x )d x ＝( ) A.3 B.4 C.72
D.92
【解析】 因为f (x )＝2－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋x ，x ≤0，
2－x ，x ≥0，
所以
⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－10
(2＋x )d x ＋⎠⎛02(2－x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 2
2⎪⎪⎪⎪0
－1
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －x 22⎪⎪⎪20＝32＋2＝72. 【答案】 C
5.设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，0≤x ＜1，
2－x ，1＜x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝( )
A.23
B.34
C.45
D.56
【解析】 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x
＝13x 3⎪⎪⎪1
0＋⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －12x 2⎪⎪⎪2
1
＝13＋12＝56. 【答案】 D 二、填空题
6.(2015·长沙高二检测)若f (x )＝sin x ＋cos x ，
则⎠⎜⎛-π2
π2f (x )d x ＝________. 【解析】 因为f (x )＝sin x ＋cos x ，所以f (x )的一个原函数F (x )＝sin x －cos x ， 则⎠⎜⎛-π
2
π2 (sin x ＋cos x )d x ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2－cos π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2. 【答案】 2
7.(2016·长沙高二检测)f (x )＝sin x ＋cos x ，则⎠⎜⎛-π2
π
2f (x )d x ＝__________. 【解析】
⎠⎜⎛-π2
π2f (x )d x ＝⎠⎜⎛-π2
π
2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )⎪⎪⎪⎪π2-π2
＝⎝
⎛⎭⎪⎫－cos π2＋sin π2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2
＝sin π2＋sin π
2＝1＋1＝2. 【答案】 2
8.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，
x ＋⎠⎛0
a 3t 2dt ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝__________.
【导学号：94210074】
【解析】 因为f (1)＝lg 1＝0，
且⎠⎛0
a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3－03＝a 3
， 所以f (0)＝0＋a 3＝1，所以a ＝1. 【答案】 1
三、解答题
9.已知f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ，F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ，求函数F (a )的最小值.
【解】 因为f (x )＝⎠⎛－a x (12t ＋4a )d t ＝(6t 2
＋4at )⎪⎪⎪x
－a
＝6x 2＋4ax －(6a 2－4a 2)＝6x 2＋4ax －2a 2， F (a )＝⎠⎛01[f (x )＋3a 2]d x ＝⎠⎛0
1(6x 2＋4ax ＋a 2)d x
＝(2x 3＋2ax 2＋a 2x )⎪⎪⎪
1
0＝2＋2a ＋a 2＝(a ＋1)2＋1≥1.
∴当a ＝－1时，F (a )有最小值1.
10.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，f (1)＝4，f ′(1)＝1，⎠⎛01f (x )d x ＝19
6，求f (x ).
【解】 因为f (1)＝4，所以a ＋b ＋c ＝4，① f ′(x )＝2ax ＋b ，
因为f ′(1)＝1，所以2a ＋b ＝1，② ⎠
⎛0
1f (x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪1
＝13a ＋12b ＋c ＝19
6，③
由①②③可得a ＝－1，b ＝3，c ＝2. 所以f (x )＝－x 2＋3x ＋2.
[能力提升]
1.已知等比数列{}a n ，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为
( )
A.π2
B.4
C.π
D.－9π
【解析】 ⎠
⎛02
4－x 2d x 表示以原点为圆心，半径r ＝2在第一象限的面积，
因此⎠⎛0
2
4－x 2d x ＝π，
a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6·a 2＋2a 6·a 6＋a 6·a 10＝a 24＋2a 4·a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2
，
故选A .
【答案】 A
2.如图4-2-2所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )
图4-2-2
A.1
4 B.1
5 C.16
D.17
【解析】 因为S 正方形＝1，
S 阴影＝⎠⎛0
1(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2⎪⎪⎪1
0＝23－12＝1
6，
所以点P 恰好取自阴影部分的概率为161＝1
6. 【答案】 C
3.计算：⎠⎛－2
2(2|x |＋1)d x ＝__________.
【解析】 ⎠⎛－22
(2|x |＋1)d x ＝⎠⎛－2
(－2x ＋1)d x ＋
⎠⎛0
2
(2x ＋1)d x ＝(－x 2＋x )|0－2＋(x 2＋x )|20 ＝－(－4－2)＋(4＋2)＝12.
【答案】 12
4.定义F (x ，y )＝(1＋x )y ，x ，y ∈(0，＋∞).令函数f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9))的图像为曲线C 1，曲线C 1与y 轴交于点A (0，m )，过坐标原点O 作曲线C 1的切线，切点为B (n ，t )(n >0)，设曲线C 1在点A ，B 之间的曲线段与OA ，OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值.
【解】 ∵F (x ，y )＝(1＋x )y ， ∴f (x )＝F (1，log 2(x 2－4x ＋9)) ＝2
log 2(x 2－4x ＋9)
＝x 2－4x ＋9，
故A (0，9)，f ′(x )＝2x －4. 又∵过O 作C 1的切线， 切点为B (n ，t )(n >0)，
∴⎩⎨⎧t ＝n 2－4n ＋9，t n ＝2n －4，
解得B (3，6). ∴S ＝⎠
⎛0
3(x 2－4x ＋9－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－3x 2＋9x ⎪⎪⎪
3
0＝9.。