2017年湖南省衡阳市十校联考高考数学三模试卷(理科)及参考答案

2017年湖南省衡阳市十校联考高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|lgx≤0}，B={x|x2＜1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1） B．（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0]2．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=2﹣i，则z+i在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（﹣1，2），b=（0，3），如果向量+2与﹣x垂直，则实数x的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣4．（5分）已知等比数列{a n}中，a3a9=2a52，且a3=2，则a5=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．25．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．116．（5分）给定命题p：“若a2017＞﹣1，则a＞﹣1”；命题q：“∀x∈R，x2tanx2＞0”，则下列命题中，真命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）7．（5分）将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）17世纪日本数学家们对这个数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V=kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱）、正方体也有类似的体积公式V=kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长，假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3=（）A．：：1 B．：：2 C．1：3：D．1：：9．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出K值是（）A．6 B．7 C．16 D．1910．（5分）如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是（）A．B．8C．D．411．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，右焦点为F，若以A为圆心，过点F的圆与直线3x﹣4y=0相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．212．（5分）定义在R上奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为（）A．10 B．1﹣2a C．0 D．21﹣2a二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）二项式（x+）8的展开式中含x项的系数为．14．（5分）直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c=2a，sinB=sinA，则B=．16．（5分）已知数列{a n}是首项为32的正项等比数列，S n是其前n项和，且=，若S k≤4•（2k﹣1），则正整数k的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．18．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（3）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90，100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC1中点，CC1=8．（1）求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；（2）求平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=，直线y=x（a≠0）为曲线y=f（x）的一条切线．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣bx2为增函数，求实数b的取值范围．选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）（共1小题，满分10分）22．（10分）直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ．（1）求C的参数方程；（2）若点A在圆C上，点B（3，0），求AB中点P到原点O的距离平方的最大值．[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|﹣2|x|+2．（1）解不等式：f（x）＜10；（2）若对任意的实数x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，求实数a的取值范围．2017年湖南省衡阳市十校联考高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A={x|lgx≤0}，B={x|x2＜1}，则（∁R A）∩B=（）A．（0，1） B．（0，1]C．（﹣1，1）D．（﹣1，0]【解答】解：∵集合A={x|lgx≤0}={x|0＜x≤1}，B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，∴C R A={x|x≤0或x＞1}，∴（∁R A）∩B={x|﹣1＜x≤0}=（﹣1，0]．故选：D．2．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数，若z=2﹣i，则z+i在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：z=2﹣i，则z+i=2﹣i+i（2+i）=1+i在复平面内所对应的点（1，1）位于第一象限．故选：A．3．（5分）已知向量=（﹣1，2），b=（0，3），如果向量+2与﹣x垂直，则实数x的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．﹣【解答】解：∵=（﹣1，2），=（0，3），∴+2=（﹣1，8），﹣x=（﹣1，2﹣3x），∵向量+2与﹣x垂直，∴（+2）•（﹣x）=1+8（2﹣3x）=0，解得x=，故选：C．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a3a9=2a52，且a3=2，则a5=（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【解答】解：∵等比数列{a n}中，a3a9=2a52，且a3=2，∴．∵，∴a1=1，由等比中项的性质得，∴a5==4．故选：B．5．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为（）A．﹣1 B．1 C．0 D．11【解答】解：作出变量x、y满足约束条件表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，2），B（1，0），C（3，2）由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z，经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最小，目标函数z达到最小值，=﹣3×1+2=﹣1，∴z最小值故选：A．6．（5分）给定命题p：“若a2017＞﹣1，则a＞﹣1”；命题q：“∀x∈R，x2tanx2＞0”，则下列命题中，真命题的是（）A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【解答】解：命题p：幂函数y=a2017，在R上单调递增，因此若a2017＞﹣1，则a＞﹣1”，是真命题．命题q：取x=，则x2tanx2=tan=﹣＜0，因此命题q是假命题．则B，C，D都为假命题．只有A是真命题．故选：A．7．（5分）将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：设总长度是1，一段是x，则另一段是1﹣x，由题意得：x＞3（1﹣x）或1﹣x＞3x，解得：x＞或x＜，故满足条件的概率是p==，故选：C．8．（5分）17世纪日本数学家们对这个数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式“V=kD3”中的常数k称为“立圆术”或“玉积率”，创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”，其中，D为直径，类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱叫做等边圆柱）、正方体也有类似的体积公式V=kD3，其中，在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长，假设运用此“会玉术”，求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为k1，k2，k3=（）A．：：1 B．：：2 C．1：3：D．1：：【解答】解：在球中，===，解得；在等边圆柱中，=，解得，在正方体中，，解得k3=1．∴k 1：k2：k3==1：：．故选：D．9．（5分）如图是一个算法的流程图，则输出K值是（）A．6 B．7 C．16 D．19【解答】解：由程序框图得：输出s=2+2×4+2×7+…+2×（3n﹣2）==3n2﹣n，令3n2﹣n≥80，解得；n≥6，故输出k=3×6﹣2+3=19，故选：D．10．（5分）如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，俯视图是平行四边形，则该几何体的体积是（）A．B．8C．D．4【解答】解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱，底面是平行四边形（两相邻边分别为2，4），侧棱垂直于底面，且侧棱柱等于4，由俯视图易知，底面平行四边形边2上的高为，故该几何体的体积是V=2××4=8，故选：B．11．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，右焦点为F，若以A为圆心，过点F的圆与直线3x﹣4y=0相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：A（a，0），F（c，0），∴圆A的半径r=c﹣a，∵圆A与直线3x﹣4y=0相切，∴=c﹣a，即c=．∴e==．故选：C．12．（5分）定义在R上奇函数f（x），当x≥0时，f（x）=，则关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为（）A．10 B．1﹣2a C．0 D．21﹣2a【解答】解：由题意，函数g（x）共有5个零点x1＜x2＜x3＜x4＜x5，x1+x2=﹣10，x4+x5=10，x∈[﹣3，0）时，f（x）=﹣log2（1﹣x），令﹣log2（1﹣x）+a=0，则x3=1﹣2a，∴关于x的函数g（x）=f（x）+a（0＜a＜2）的所有零点之和为1﹣2a，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）二项式（x+）8的展开式中含x项的系数为28．【解答】解：二项式（x+）8的展开式中的通项公式：T r=x8﹣+1r =．令8﹣=1，解得r=2．∴含x项的系数==28．故答案为：28．14．（5分）直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为．【解答】解：联立方程组，解得或，∴S=（4x﹣x2）dx=（2x2﹣）=．故答案为．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若c=2a，sinB=sinA，则B=．【解答】解：∵sinB=sinA，c=2a，∴由正弦定理可得：b=a，∴由余弦定理可得：cosB===，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．16．（5分）已知数列{a n}是首项为32的正项等比数列，S n是其前n项和，且=，若S k≤4•（2k﹣1），则正整数k的最小值为4．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，=，∴==q2=，解得q=．∴S k==．不等式S k≤4•（2k﹣1），即≤4•（2k﹣1），化为：16≤2k，则正整数k的最小值为4．故答案为：4．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），求函数g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]．18．（12分）某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图所示的频率分布直方图，其中前三段的频率成等比数列．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数；（3）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，记这两名学生成绩在[90，100]内的人数为X，求随机变量X的分布列和期望值．【解答】解：（1）∵频率分布直方图前三段的频率成等比数列，∴由频率分布直方图，得：（10b）2=0.05×0.20，解得b=0.010，∴a=0.1﹣0.005﹣0.010﹣0.020﹣0.025﹣0.010=0.030．（2）成绩不低于80分的人数估计为：640×（0.025+0.010）×10=224．（3）样本中成绩在[40，50）内的人数为40×0.005×10=2，成绩在[90，100]内的人数为40×0.010×10=4，X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，∴X的分布列为：∴E（X）==．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC 1中点，CC1=8．（1）求证：平面AB1M⊥平面A1ABB1；（2）求平面AB1M与平面ABC所成二面角的正弦值．【解答】证明：（1）连结A1B，交AB1于点P，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1是矩形，∴P是A1B的中点，取AB的中点N，连结CN，PN，MP，则NP∥CM，且NP=CM，∴四边形MCNP是平行四边形，∴CN∥MP，又AC=BC，∴CN⊥AB，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥CN，又AA1∥CC1，∴CN⊥AA1，∴CN⊥平面A1ABB1，∴MP⊥平面A1ABB1，∵MP⊂平面AB1M，∴平面AB1M⊥平面A1ABB1．解：（2）以N为原点，NA为x轴，CN为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，∵AC=BC=5，AB=6，M是CC1中点，CC1=8，∴A（3，0，0），M（0，﹣4，4），B1（﹣3，0，8），=（﹣3，﹣4，4），=（﹣6，0，8），设平面AB1M的法向量=（x，y，z），则，取x=4，得=（4，0，3），平面ABC的法向量=（0，0，1），设平面AB1M与平面ABC所成二面角的平面角为θ，则cosθ==，sinθ==．∴平面AB 1M与平面ABC所成二面角的正弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点（，1），以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）设过点（﹣1，0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得•恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由圆的方程x2+y2=b2，由椭圆短半轴长为半径的圆经过椭圆的焦点，则b=c，∴a2=2b2，将（，1）代入椭圆方程，解得：b2=2，则a2=4，∴椭圆的标准方程：；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），当直线k的斜率存在，设直线l的方程为：y=k（x+1），则，整理得：（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，则y1y2=k（x1+1）×k（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=k2（﹣+1）=﹣，•=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=[﹣m×（﹣）+m2]+（﹣），==为定值，则=，解得：m=﹣，则•=﹣，当直线l的斜率k不存在时，点A（﹣1，），B（﹣1，﹣），此时，当m=﹣时，则•=（﹣1﹣m）（﹣1﹣m）﹣=﹣，综上可知：存在点M（﹣，0），使得•=﹣．21．（12分）已知函数f（x）=，直线y=x（a≠0）为曲线y=f（x）的一条切线．（1）求实数a的值；（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x﹣}（x＞0），若函数h（x）=g（x）﹣bx2为增函数，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）设切点坐标为（x0，y0），f′（x）=，则，∴a=1；（2）记F（x）=f（x）﹣（x﹣），x＞0．下面考察y=F（x）的符号．求导F′（x）=﹣1﹣，x≥2，F′（x）＜0，0＜x＜2，x（2﹣x）≤1，∴F′（x）=﹣1﹣≤﹣＜0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递减，∵F（1）=＞0，F（2）=﹣＜0，∴F（x）在[1，2]上有唯一零点x0，∴g（x）=，∴h（x）=g（x）﹣bx2=，x＞x0，h′（x）=﹣2bx≥0恒成立，∴2b≤，设u（x）=，u′（x）=，函数在（x0，3）上单调递减，（3，+∞）上单调递增，∴u（x）min=﹣，∴2b≤﹣，∴b≤﹣；0＜x≤x0时，h′（x）=1+﹣2bx，b≤0，h′（x）＞0在（0，x0）上恒成立，综上所述，b≤﹣时，函数h（x）=g（x）﹣bx2为增函数．选做题：[选修4－4：坐标系与参数方程]（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分）（共1小题，满分10分）22．（10分）直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ．（1）求C的参数方程；（2）若点A在圆C上，点B（3，0），求AB中点P到原点O的距离平方的最大值．【解答】解：（1）极坐标方程两边同乘ρ，可得ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣2y=0，即（x﹣2）2+（y+1）2=5，参数方程为（α为参数）；（2）设P（x，y），A（m，n），则m=2x﹣3，n=2y，∴x2+y2=+==∴sin（α﹣θ）=﹣1，AB中点P到原点O的距离平方的最大值为．[选修4－5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|﹣2|x|+2．（1）解不等式：f（x）＜10；（2）若对任意的实数x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x＜0时，不等式化为﹣3x+1+2x+2＜10，解得x＞﹣7，∴﹣7＜x＜0；0时，不等式化为﹣3x+1﹣2x+2＜10，解得x＞﹣，∴0；x＞时，不等式化为3x﹣1﹣2x+2＜10，解得x＜9，∴；综上所述，不等式的解集为（﹣7，9）；（2）对任意的实数x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，即|3x﹣1|﹣|3x|≤a﹣2，∵|3x﹣1|﹣|3x|≤|3x﹣1﹣3x|=1，∴a﹣2≥1，∴a≥3．。