协方差传播律及权

2 3
设随机向量X的两个函数向量为
4 5 6
Y=F(X)
其误差向量为
Z=K(X)
7 8 9
ΔY=FΔX
ΔZ=KΔX
随机向量与其函数向量间的方差传递公式为：
10
DY F
DXFT
8 /6
DZ K D YZ F
D D
X X
K K
T T
3
D ZY K
D
X
F
T
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
10
系数矩阵为:
F=［4 -3］
Y的方差为：
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Y 2FX F D T 4 3 7 23 2 4 3 T 9c 12 m
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
例2
设有函数
x x Y1 2 20
21
2
1 2 3
已知X(
x1
当函数为非线性形
式时，fij是一偏导数 值 ，因Δ 很小，可用
相应微分值代替 Ym fm1x1 fm2x2 ... fmnxn
7 /6
以上三式的矩阵形式表示为
3
Y=FX+F0 Y=F(X) ΔY=FΔX
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误差理论与测量平差
2. 协方差的传递
1
（1）协方差传递基本公式及应用
FD XFTFD XFT
7 8 9
10
D D Y Z Y Z E Y E Y Z E Z T
E F X E F X K X E K X T
F X E E X X E X T K T
9 /6
FD XK TFD XK T
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返回
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
3.2 协方差传播律
1
1. 误差的传递
2
（1）线性函数误差的传递
3
4
Y f1 x 1 f2 x 2 . .f .n x n f0
5 6 7
其中fi为常系数， f0为常数，观测值xi的误差Δxi为
x i ~ x i x i i 1 ,2 ,.n ..,
10
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
3.1 数学期望的传播
1
2
3
E(C)C;
4
5
E(C)X C(E X);
6
7
E ( X 1 X 2 X n ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n );
8
9
当Xi 相互独立时（i =1，2， …，n），
10
E ( X 1 ,X 2 , ,X n ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n )
Y2 ..........
f 2 x1 , x 2 ,..., x
.......... ..........
n
...
Ym f m x1 , x 2 ,..., x n
可以得到观测向量与其函数向量之间的误差传
7 递关系式为
8 9
10
Y1 f11x1 f12x2 ... f1nxn Y2 f21x1 f22x2 ... f2nxn .....................................
6
7
协方差传播律的应用
8
9
权与定权的常用方法
10
协因数和协因数传播律
2 /6
由真误差计算中误差及其实际应用
3
退出
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
3.1 数学期望的传播
1 2
3.2 协方差传播律
3
4 5
授课目的要求：熟记协方差传播律的基本公式，
6 7
掌握传播律公式的应用方法 。
8 9
重 点、难 点: 协方差传播律公式的应用 。
证明： D Y D Y E Y E Y Y E Y T
1
E F X E F X F X E F X T
2 3 4 5 6
E F X E X X E X T F T
F X E X X E X T F T
8 9
令
10
x f1 x1 x f2 x2 x fn xn
f xi
fi
i1,2, n
则非线性函数误差的传递公式为：
6 /6
3
Y f1 x 1 f2 x 2 . .f .n x n
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
（3）函数向量误差的传递 若有m个线性函数或m个非线性函数
1
3
同理可证另外两式
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 x2T)的
方差阵为：
1 2 3
D 7 2 X2 3
cm2
4 5
试求Y的方差
2 Y
。
6
解: 将函数写成矩阵形式，即
7
8 9
Y 4 x 1 3 x 2 6 4 0 3 x 1x 2 T 60
8 9
~x i 表示观测值xi的真值，而函数Y的真值 Y~为:
10
Y ~ f1 ~ x 1 f2 ~ x 2 . .fn .~ x n f0
顾及
Y Y ~Y xi ~ xi xi
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得线性函数的误差传递公式： Yf1 x 1 f2 x 2 . .f.n x n
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协方差传播律及权
Y1 f11x1 f12x2 ... f1nxn f10 Y1 f1 x1 , x 2 ,..., x n
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Y2 f21x1 f22x2 ... f2nxn f20
..............................................
Ym fm1x1 fm2x2 ... fmnxn fm0
误差理论与测量平差
（2）非线性函数误差的传递
1
设 Yfx 1 ,x2,.x .n.,Y ~ fx ~ 1 ,x ~ 2, ,x ~ n
2 3
将 Y ~ Y Y,X ~x i X代入上式按泰勒公式展开，取至
4 一次项，并取函数的近似值为用观测值求得的函数值，得:
5 6 7
~ f( x 1 ,x 2 , ,x n ) x f1 x 1 x f2 x 2 x fn x n
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
1
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介绍协方差传播律公式及
7 8
其应用，权的定义，定权的常用
9
方法 ，协因数(阵)、权阵的计算
10
，协因数传播律公式的应用 ，
利用真误差计算中误差的方法，
需重点掌握。
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1
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数学期望的传播
4
5
协方差传播律