协方差传播律及权
第三章协方差传播律及权-2
S0
sin sin
L1 , L2
aAC a0 180 L1 L2 ,
xC xA S AC cos Ac,
yc y A S AC sin a AC .
现在提出这样一个问题：观测值的函数的中误差值的中 误差之间，存在着怎样的关系？观测值函数的协因数与观测 值的协因素之间，存大着怎样的关系？本节将导出这些关系 式，我们把这些关系式称为广义传播律。
m1
k20
km0
,
则上式可写为
Z K
m1 mn
X
n1
K0
m1
也就是要求Z的协方差阵DZZ。
因为Z 的数学期望为
EZ EKX K0 KX K0
所以，Z的协方差阵为
DZZ E Z EZ Z EZ T E KX KX KX K X T
KE X x X x T K T ,
所以
DZZ
2 z
KDXX K T .
将上式展1,1开成纯量形式，得
DZZ
2 Z
k12
2 22
kn2
2 nn
2k1k212 2k3k313
1,1
2k1kn1n 2kn1kn n1,n
第三章 协方差传播律及权
2020年1月31日星期五
1
第一节 协方差传播律
一、协方差传播律
在实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直
接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来
的，即常常遇到的某些量是观测值的函数。这类例子很多，
例如，在一个三角形中，观测了三内角L1、L2、L3，其闭合
第三章 协方差传播率及权
xy E( x y )
• 式中 x E( X ) X 和 真误差。
y E(Y ) Y
分别是 X和Y的
• 协方差则是这两种真误差所有可能取值的乘积的理 论平均值，即 lim [ x y ] lim 1 ( xy x n n
n n
ˆ xy [ x y ] n
12 0 2 0 2 Dxx 0 0 0 0 2 n
4.互协方差阵
设有观测值向量 Y。 为 和 r ,1
X n ,1
X
n ,1
和
Y
r ,1
，它们的数学期望分别
D XY DYY
令：
X Z Y
在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、角 度、方向和三角高程测量求得的高差等，都认为 是独立观测值。 一般来说，独立观测值的各个函数之间是不独立 的，或者说是相关的，因而它们是相关观测值。 例如，当一个测站上的水平方向观测值是独立观 测值时，由这些方向值所算得的相邻角度就是相 关观测值；又如，三角网或导线网中根据观测角 度和边长求得的各点的坐标也是相关观测值。
2 r
D XY
X 1Y1 X Y 21 X nY1
XY X Y
1 2
2 2
X Y
n 2
X 1Yr X 2Yr X nYr
T DYX DXY
若有 X 的
t 个线性函数：
Z 1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
协方差传播律当σxy=时表示这两个观测值的误差之间互不影响
t ,1
kt
0
DZZ K DXX KT
t ,1
t,n n,n n,t
2、多个观测值线性函数的协方差阵
设另外还有X的r个线性函数： Y 1 = f11X1 +f12X2 + … + f1nXn + f10 Y 2 = f21X1 + f22X2 + … + f2nXn + f20 ……………………………………… Y r = fr1X1 + fr2X2 + … + frrXn + fr0
1,1
例题1
设X为独立观测变量L1，L2，L3的函数
X
1 7
L1
2 7
L2
4 7
L3
已知L1，L2，L3的中误差1= 3mm， 2 = 2mm，3 = 1mm，
求函数的中误差 X
解：因为L1，L2，L3是独立的观测变量，按协方差传播律，
2 X
（
1 7
）212
（2 7
1 2
,
D
2 1
21
12 2 2
1.96
1
1 1.96
B
根据协方差传播律，
β1
2 x
1
1 1221
12 2 2
1 1
1.92
A
β2
α
x
x 1.4''
即得 DZZ = K DXX KT 协方差传播
第2章协方差传播律
2、等精度独立观测三角形三内角，若已知观测值的方差m， 则由三个平差值构成的向量的精度如何？
ˆ L （L L L 1800） L 1 1 1 2 3 ˆ L 2 ˆ L 3 1 3 1 L2 （L1 L2 L3 1800） 3 1 L3 （L1 L2 L3 1800） 3
若有函数：
ˆ L 1（L L L 1800） L 1 1 2 3 3 1 ˆ L 1（L L L 1800） L 2 2 2 3 3 1 ˆ L 1（L L L 1800） L 3 3 2 3 3 1
T ˆ L ˆ L ˆ L ˆ ，试求 D LL 并记 L ˆˆ 1 2 3
0
求其函数的协因数阵以及互协因数阵，即
QYY ? QZZ ? QYZ ?
下面由协方差传播律来导出协因数传播律
若：Y FX F 0 ,且QXX已知。
则：DYY FDXX F T
2 又因：DXX 0 Q XX 2 DYY 0 QYY
2 2 故： 0 QYY FDXX F T F 0 QXX F T
F12 F22 Fr 2
F1n F10 F F2 n , 0 20 F r 1 Frn Fr 0
则X的t个线性函数式可写为:
r 1
Y F X F0
r n n 1
r 1
同样,根据协方差阵的定义可得Y的协方差阵为:
E (CX ) CE ( X )
3、设有随机变量X和Y，则 E( X Y ) E( X ) E(Y ) 推广之，则有 E( X X X ) E( X ) E( X ) E( X ) 4、若随机变量X、Y相互独立，则有
误差理论与平差基础-第3章 协方差传播率及权
2 0 0 2 DLL 0 0 2 0 0
2 0 0 2 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 1 / 3 1 / 3 2 / 3 1 / 3 0 2 0 1 / 3 2 / 3 1 / 3 DL ˆL ˆ 2 1 / 3 1 / 3 2 / 3 0 0 1 / 3 1 / 3 2 / 3
106.1 7.8 121 2.6 6.8 244.3
二、协方差传播律
2、线性函数的方差——协方差
[例7] 求等精度观测的三角形三个内角按照闭合差分配后角 度的协方差阵。 三角形闭合差: w 180 L1 L2 L3
1 2 1 1 ˆ L1 L1 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 1 1 2 1 ˆ L2 L2 W L1 L2 L3 60 3 3 3 3 ˆ L 1 W 1 L 1 L 2 L 60 L 3 3 1 2 3 3 3 3 3
a1( X A X s ) b1 (YA YS ) c1 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
a 2 ( X A X s ) b2 (YA YS ) c2 ( Z A Z S ) a3 ( X A X S ) b3 (YA YS ) c3 ( Z A Z S )
XY
XY XY
表示X、Y 间互不相关，对于 正态分布而言，相互独立。
YX XY 0
YX XY 0
表示X、Y 间相关。
二、协方差传播律
3-协方差传播律及权
Xn
§3-2 协方差传播律
1. 误差的传递
（2）非线性函数误差的传递
%
f ( x1 , x2 ,L
, xn
)
f x1
x1
f x2
x2
L
f xn
xn
令
f X i
ki ,
i 1,2,L n
则非线性函数误差的传递公式为：
Y
注意：求偏 导后，代入观 测值xi
Y k1 X1 k2 X 2 ... kn Xn
f1
Z1
Z
2
M
Z
t
X 1 f2 X 1 L
ft
X1
f1 X 2 f2 X 2 L
ft X 2
L
L O L
f1
X
n
f2 X n
L
ft
X1
X
2
M
X
n
X n
Z Z X
t1
X n1
tn
Z
Z
t1
X
tn
X n1
例题：测定待定点G，需测量水平角β和边长s
1. 误差的传递
（3）函数向量误差的传递 若有t 个线性函数
Z1 k11 X1 k12 X 2 ... k1n X n k10
Z2
k21 X1
k22 X 2
...
k2n Xn
k20
... ... ... ...
Zt kt1 X1 kt 2 X 2 ... ktn X n kt0
db1
S3 a2
da2
S3 b2
db2
S3 a3
da3
S3 b3
db3
S3 cot a1da1 cot b1db1 cot a2da2 cot b2db2 cot a3da3 cot b3db3
测量平差复习资料
PLL
Q1 LL
P Q LL LL E
a、当L相互独立时；
b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念 权阵P与权Pｉ是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
side10
例1：
L
( L1 ,
L2
)T
,
QLL
side22
基础方程和它的解
数学模型
A W 0 W F (L)
D
02Q
2 0
P
1
V T PV 最小
A V W 0
rn n1 r1
V QAT K
A V W 0
rn n1 r1
K ( AQAT )1W Naa1W
法方程式
side23
side25
五、附加参数的条件平差
基础方程：
A V B x W 0
cn n1 cu u1 c1
V T PV 最小
法方程式： AQAT K B xW 0 BT K 0
side26
算例6
在下图所示测角网中，A、B、C 为待定点，同精度观测了 L1、L2、 L3和 L4共四个角度观测值。设平差后BAC 为参数 Xˆ ，指出采用何 种平差模型，并写出函数模型和法方程。
以上项：
side19
算例4：
下图所示三角网中，A,B 为已知点，FG 为已知边，观测角 Li （i 1,2, ,20），观测边 S j （ j 1, 2），则 ①在对该网平差时，共有几种条件？每种条件各有几个？ ②用文字符号列出全部条件方程，将其中的一个极条件和一个 边长条件线性化。
协方差传播律
协方差传播律1. 引言协方差是统计学中用来衡量两个随机变量之间关系的指标。
在金融领域，协方差被广泛应用于风险管理和资产组合优化等方面。
协方差传播律（Covariance Propagation Law）是指在多个随机变量之间存在关联时，如何计算它们之间的协方差。
2. 协方差的定义和性质协方差衡量了两个随机变量之间的线性关系程度。
对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为：Cov(X,Y)=∑(X i−X‾)ni=1(Y i−Y‾)n−1其中，X i和Y i分别表示第i次观测到的X和Y的取值，X‾和Y‾分别表示X和Y的均值。
协方差具有以下性质：•对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)•线性性：Cov(aX+bY,Z)=a Cov(X,Z)+b Cov(Y,Z)，其中a和b为常数，X、Y和Z为随机变量。
3. 协方差传播律的推导在实际问题中，我们经常需要计算多个随机变量之间的关系。
假设有n个随机变量X1,X2,...,X n，它们与另一个随机变量Y之间存在关联。
我们希望计算Y与这n个随机变量的协方差。
根据协方差的线性性质，我们可以将Y表示为这n个随机变量的线性组合：Y=a1X1+a2X2+...+a n X n其中a1,a2,...,a n为常数。
现在我们来计算Y与任意两个随机变量X i和X j之间的协方差Cov(Y,X i)和Cov(Y,X j)。
根据协方差的定义：Cov(Y,X i)=∑(Y k−Y‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1其中，Y k表示第k次观测到的Y的取值，X ik表示第k次观测到的X i的取值，Y‾和X i‾分别表示Y和X i的均值，m为样本数量。
将Y的表达式代入上述公式：Cov(Y,X i)=∑(a1X1k+a2X2k+...+a n X nk−Y‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1展开并整理上式：Cov(Y,X i)=a1∑(X1k−X1‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1+a2∑(X2k−X2‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1+...+a n∑(X nk−X n‾)mk=1(X ik−X i‾)m−1可以看出，Cov(Y,X i)可以表示为n个随机变量X j与X i之间协方差的线性组合。
误差理论与测量平差基础第三章协方差传播律及权
参数估计可采用最小二乘法或加权最小二乘法。在选择方 法时，需根据实际问题的特点和需求进行权衡。
算法性能评估指标选取
精度指标
精度指标是衡量算法性能的重要指标之一。常用的精度指标包括均方误差、均方根误差、 中误差等，可用于评估算法的估计精度和稳定性。
可靠性指标
可靠性指标用于评估算法在复杂环境和噪声干扰下的性能表现。常用的可靠性指标包括失 败率、误警率、漏警率等。
误差传递规律探讨
误差传递概念
在测量过程中，由于各种因素的影响，观测值会存在一定 的误差。这些误差在传播过程中会遵循一定的规律，即误 差传递规律。
线性函数误差传递
对于线性函数Z=aX+bY（其中a、b为常数），其误差传 递公式为D(Z)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abcov(X,Y)。可以 看出，误差传递与观测值的方差和协方差有关。
的线性相关程度。
对称性
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)
加法性
Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y)
独立性
若X与Y独立，则Cov(X,Y) = 0
传播律意义与作用
传播律意义
协方差传播律描述了随机变量经过线 性变换后，其协方差矩阵如何变化。 这对于理解和分析复杂系统的误差传 递机制具有重要意义。
权重因子的选择应根据实际情况和测量任务的要求进行，要综合考虑观测值的 精度、稳定性、可靠性等因素。
使用方法
在平差计算中，应根据所选权重因子对观测值进行加权处理，以充分利用观测 值的信息并提高平差结果的精度和可靠性。同时，要注意避免过度加权或欠加 权的情况，以免对结果产生不良影响。
04
基于协方差传播律和权的平差算法设
834误差理论与测量平差基础大纲(2012年版)
《误差理论与测量平差基础》考研复习大纲（2012年）第一章、绪论（4分）了解系统误差、偶然误差、粗差及其处理方法；掌握测量平差学科的研究对象；理解测量平差任务；了解本课程的任务和内容。
第二章、误差分布与精度指标（6分）理解偶然误差的特性；掌握衡量精度的绝对指标和相对指标，精度、准确度与精确度；理解测量不确定度。
第三章、协方差传播律及权（20分）理解数学期望的传播；掌握方差协方差阵、权、权阵、协因数、协因数阵的概念及其表示方法；掌握协方差传播律及其应用；熟练掌握权与定权的常用方法，协因数、协因数传播律及其应用，理解由观测值函数的真误差估计中误差的方法；了解系统误差的传播。
第四章、平差数学模型与最小二乘原理（10分）掌握各种平差问题必要观测数，多余观测数的确定方法；掌握测量平差的函数模型，函数模型的线性化，掌握参数估计与最小二乘平差准则。
第五章、条件平差（20分）熟练掌握条件数的确定，条件平差原理；掌握各种平差问题条件方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第六章、附有参数的条件平差（15分）了解附有参数的条件平差函数模型和随机模型的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第七章、间接平差（20分）掌握间接平差原理，误差方程的建立；掌握法方程的组成与解算，精度评定；掌握间接平差应用（直接平差，三角网坐标平差，导线网间接平差，GPS 网平差）。
第八章、附有限制条件的间接平差（15分）掌握附有限制条件的间接平差原理；掌握误差方程、条件方程列立；掌握法方程的组成与解算，精度评定。
第九章、概括平差函数模型（10分）熟悉基本平差方法的概括函数模型；附有限制条件的条件平差原理，精度评定；熟悉各种平差方法的共性与特征；理解平差结果的统计性质。
第十章、误差椭圆（10分）了解点位中误差概念以及计算方法；掌握任意方向的位差计算；点位误差的极大值和极小值的计算；理解误差曲线的基本概念；掌握误差椭圆要素计算；理解点位落入误差椭圆内的概率；第十一章、平差系统的统计假设检验（10分）熟悉统计假设检验的基本方法；了解误差分布的假设检验；掌握平差模型正确性的统计检验；理解平差参数的统计检验和区间估计；了解粗差检验的数据探测法。
第三章 协方差传播率及权
离散型：
E( X ) =
E( X ) =
∑x
i =1
∞
i
pi
连续型：
∫
+∞
−∞
xf ( x ) dx
误差理论与测量平差基础
§3-1 数学期望的传播
2.数学期望的传播规律
1
设C为一常数，则
E (C ) = C
2
设C为一常数，X为一随机变量，则
E (CX ) = CE ( X )
3
设有随机变量X和Y，则
⎣ ⎦
（1）. 令W=(Y Z)T，求W的协方差阵。 （2）. F的方差
σ
2 F
D ZW = E [( Z − E ( Z ))( W − E (W )) T ]
= E [( KX + K 0 − Kμ x − K 0 )( FY + F0 − FμY − F0 ) T ]
= KE [( X − μ x )(Y − μY ) T ]F T
:
1
σ n2
误差理论与测量平差基础
§3-4 权与常用定权的方法
课堂练习
pi
σ = σ
2 0 2 i
§3-4 权与常用定权的方法
1.权的定义（续）
2 (一) 权的大小随σ 0 而变化，但权比不会发生变化。
2 (二) 选定了σ 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个σ0。 （四）只要事先给定一定的条件，就可以定权。
第三章 协方差传播率及权
第一节 数学期望的传播 第二节 协方差传播率 第三节 权与定权的常用方法 第四节 协因数与协因数传播率 第五节 由真误差计算中误差及其应用 第六节 系统误差的传播
习题1-协方差传播律
目录
• 协方差传播律的基本概念 • 协方差传播律的推导过程 • 协方差传播律的实例分析 • 协方差传播律的优化方法 • 协方差传播律的未来研究方向
01
协方差传播律的基本概念
定义与公式
定义
协方差传播律是描述测量误差传递规 律的数学公式，用于评估测量误差对 估计量的影响。
公式
协方差传播律的公式为： cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]，其中X和 Y是随机变量，EX和EY分别是X和Y的 期望值。
4. 对优化后的算法进行测试和验证，确保其正确性和有 效性。
优化效果评估
评估指标
计算精度、计算效率、稳定性。
评估方法
通过对比优化前后的计算结果，分析优化后的算法在 计算精度、计算效率和稳定性方面的表现。
评估结果
经过优化，协方差传播律的计算精度和效率得到显著 提高，稳定性也得到增强。
05
协方差传播律的未来研究方 向
02
协方差传播律的推导过程
推导步骤与公式
推导步骤
协方差传播律的推导过程包括随机变量的定义、期望值的计算、方差的计算、协方差的定义和性质、 协方差与期望值的运算性质等步骤。
公式
协方差传播律的公式为$Delta X_i = E[X_i] cdot Delta Y_i$，其中$X_i$和$Y_i$是随机变量，$Delta X_i$和$Delta Y_i$是$X_i$和$Y_i$的增量，$E[X_i]$是$X_i$的期望值。
总结词
神经网络模型是一种复杂的机器学习模型， 其预测结果也可以通过协方差传播律进行解 释。
详细描述
神经网络模型是一种模拟人类神经系统的机 器学习模型，它由多个神经元组成，通过训 练来学习输入数据和目标输出之间的关系。 在神经网络模型中，协方差传播律可以用来 解释预测结果的方差，并考虑到输入特征和 输出结果之间的相关性。
协方差传播律
即 当
D XY
X
不 和
D YX
Y
互为转置。
n r 1
的维数
（即
X
、 Y 关亍Y
都是一个观测值）时，互协方差阵就是 的协方差。 若
D XY 0
X
，则称 X 不 Y 是相互独立的观
测向量。
1.4 协方差传播律
内 容 安 排
一、基本概念 二、观测值线性函数的方差 三、多个观测值线性函数的协方差阵 四、非线性函数的协方差传播 五、协方差传播律的应用
1.4 协方差传播律
协方差传播律是研究函数不自变量乊间的
协方差运算规律。
描述观测值方差不观测值函数方差乊间的
关系式。
1.4 协方差传播律
L3 L 例如，在一个三角形中，观测了三内角L1 、2 、， 其闭合差 和将闭合差平均分配后所得的各角的 ˆ ˆ ˆ L L 最戒然值 L1 、2 、 分别为
在本课程中，我们假设观测误差为偶然误差，即丌含系统 误差和粗差。换句话说，我们假设观测误差服从正态分布。
1.4 协方差传播律
1.4 协方差传播律
现在提出这样几个问题： 观测值函数的精度如何评定？ 观测值函数中误差不观测值的中误差存在 怎样的关系？ 如何从观测值的中误差得到观测值函数中 误差？ 这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关 系的公式称为协方差传播律。
1.4 协方差传播律
又例如，图中A和B为已知点，为了确定P的平面坐标， 观测了边长s和角度β。
P点坐标为： x P x B s cos BP
y P y B s sin
BA arctan(
yA yB xA xB )
BP
BP BA 360
协方差传播律
协方差传播律协方差传播律指的是在多变量情况下怎么计算协方差。
协方差是衡量两个变量之间关系的统计度量，我们可以通过协方差矩阵分析多个变量之间的相互作用。
在多变量情况下，协方差传播律有很重要的作用，因为很多时候我们需要计算多个变量之间的协方差。
以下是协方差传播律的具体解释：假设有一个由多个变量组成的向量x，对应一个方差-协方差矩阵S，而且还有一个由x组成的函数y = f(x)，那么y对应的方差、协方差矩阵可以通过以下方式计算：Var(y) = J*S*J'，Cov(y) = J*S其中，J是一个m×n的Jacobian矩阵，m是y的维度，n是x的维度。
J由y对x每个元素的一阶偏导数组成。
这些公式可能看起来比较复杂，但实际上非常简单。
举个例子，如果我们有两个变量x和y，它们之间有一个函数z = x + y，那么z 的协方差矩阵可以通过以下方式求解：⎡ Var(x) Cov(x,y) ⎡⎡⎡⎡ Cov(y,x) Var(y) ⎡其中Var(x)是x的方差，Var(y)是y的方差，Cov(x,y)和Cov(y,x)是x和y之间的协方差。
在实际应用中，协方差传播律可以帮助我们解决很多问题。
比如，假设我们有一个模型，它包含多个变量，我们想要在这个模型的基础上进行优化，那么我们需要知道每个变量对模型的影响。
这时协方差传播律就派上用场了。
我们可以利用这个公式计算每个变量的方差和协方差，从而分析出它们对模型的重要性，并确定优化方向。
总之，协方差传播律是多变量统计分析中不可或缺的工具，通过它，我们可以更加深入地了解变量之间的相互作用，进一步优化我们的统计分析和预测模型。
第三章 协方差传播率
第三章 协方差传播律一、 公式汇编广义传播律T YY XX T ZZ XX T YZ XX D FD F D KD K D FD K ⎫=⎪=⎬⎪=⎭220022002200()()()T YY XX T ZZ XX YZ XX Q F Q F Q K Q K Q F Q K σσσσσσ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭T YY XX T ZZ XX YZ XX Q FQ F Q KQ K Q FQ K ⎫=⎪⇒=⎬⎪=⎭独立观测值权倒数22211221111Z n nf f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭方差与协因数阵202020XX XX YY YY XY XYD Q D Q D Q σσσ===22022020i iij jj ji ijQ Q Q σσσσσσ===22100XX XX XX D Q P σσ-==权202i ip σσ=二、 解题指南1.观测值及其方差阵 写成向量、矩阵形式,XX X D2 按要求写出函数式，对函数式求全微分，写成矩阵形式 函数式),,2,1(),,,,(21n i X X X f Z n i i ==全微分写成矩阵形式：dZ KdX =3应用协方差传播律求方差或协方差阵。
T ZZ XX D KD K =三、 例题讲解在三角形ABC 中观测三个内角 ，将闭合差平均分配后得到各角值及其方差阵为：123ˆ4010'30"ˆˆ5005'20"ˆ8944'10"L L L L ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 解：1.观测量 及其方差123ˆˆˆˆL L L L ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ˆˆ633363336LL D --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 2.写出函数式12033ˆˆsin sin ˆˆsin sin a b L L S S S S LL==线性化01323ˆˆln ln ln sin ln sin ˆˆln ln ln sin ln sin a bS S L L S S LL =+-=+-11332233ˆˆˆˆcot cot ˆˆˆˆcot cot a a a bbbdS S L dL S L dL dS S L dL S L dL=-=-123ˆˆˆ,,LL L 已知边长S0=1500.000m,求Sa 、Sb 的长度及他们的协方差阵 Dss写成矩阵形式1133233ˆˆˆcot 0cot ˆˆˆ0cot cot ˆa a a b b b dLdS S L S L dS dL dS S L S L dL ⎡⎤⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1313233ˆˆcot cot ˆ0ˆˆˆcot cot ˆ0a a a b b b S L S L dL dS dS dL dS S L S L dL ρρρρ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦133ˆ1146041ˆˆ09625ˆdL dL KdL dL ρ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.应用协方差传播律求方差或协方差阵263311460114604136309620962533645Dss ρ--⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦21.860.770.77 1.32Dss cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦四、练习题1. 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =。
4第三章 协方差传播律_第二部分
令： Y1 L1
F1 23
1 3
13
得： Y1F1X1F10
L1
X
1
L
2
L 3
F 0 60o 1
根据协方差传播公式：
21ຫໍສະໝຸດ 003得：
D YYL 21F 1D XXFT
2 3
=7
同理可求
2 L2
2 L3
9
1 3
1 3
0 0
2 0
0
1 3
1
1
3
§1协方差传播律
二、多个观测值线性函数的协方差阵
{[Ssin(0 )]2[Scos(0 )]2}2
2 s
S2
2
2
点位误差另一个计算公式：
c2
s2
S2
2
2
§3 非线性函数的广义传播律
求函数协方差的步骤小结
38
§4 广义传播律在测量中的应用
① 水准测量的精度 ② 一个量独立等精度观测算术中数的中误差 ③ 三角高程测量的精度 ④ 距离丈量的精度
39 39
K 称为单位距离高差的中误差 或每公里高差中误差。
b2
h2
P2
h
mh nm nS s
mh
m s
S
mh K S
§4 广义传播律在测量中的应用
一、水准测量的精度
例2：如图所示水准路线，由两已知水准点测两高差确定 P 点
高程。要求 P 点高程的中误差小于等于10mm。问每公里的观
解测高：H 差中P A误 差1 2 应H 限8kP 定m1在 h1什H 么P 2 范围 P 内1 2 ？H （已A 8 知kmh 点1 高 程H 无B B误 差h ）2
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8 9
~x i 表示观测值xi的真值，而函数Y的真值 Y~为:
10
Y ~ f1 ~ x 1 f2 ~ x 2 . .fn .~ x n f0
顾及
Y Y ~Y xi ~ xi xi
5 /6 3
得线性函数的误差传递公式： Yf1 x 1 f2 x 2 . .f.n x n
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协方差传播律及权
2 3
设随机向量X的两个函数向量为
4 5 6
Y=F(X)
其误差向量为
Z=K(X)
7 8 9
ΔY=FΔX
ΔZ=KΔX
随机向量与其函数向量间的方差传递公式为：
10
DY F
DXFT
8 /6
DZ K D YZ F
D D
X X
K K
T T
3
D ZY K
D
X
F
T
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
协方差传播律及权
误差理论与测量平差
1
2
3
4
5
6
介绍协方差传播律公式及
7 8
其应用，权的定义，定权的常用
9
方法 ，协因数(阵)、权阵的计算
10
，协因数传播律公式的应用 ，
利用真误差计算中误差的方法，
需重点掌握。
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
本章主要内容
1
2 3
数学期望的传播
4
5
协方差传播律
4 /6 3
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
3.2 协方差传播律
1
1. 误差的传递
2
（1）线性函数误差的传递
3
4
Y f1 x 1 f2 x 2 . .f .n x n f0
5 6 7
其中fi为常系数， f0为常数，观测值xi的误差Δxi为
x i ~ x i x i i 1 ,2 ,.n ..,
误差理论与测量平差
（2）非线性函数误差的传递
1
设 Yfx 1 ,x2,.x .n.,Y ~ fx ~ 1 ,x ~ 2, ,x ~ n
2 3
将 Y ~ Y Y,X ~x i X代入上式按泰勒公式展开，取至
4 一次项，并取函数的近似值为用观测值求得的函数值，得:
5 6 7
~ f( x 1 ,x 2 , ,x n ) x f1 x 1 x f2 x 2 x fn x n
Y2 ..........
f 2 x1 , x 2 ,..., x
.......... ..........
n
...
Ym f m x1 , x 2 ,..., x n
可以得到观测向量与其函数向量之间的误差传
7 递关系式为
8 9
10
Y1 f11x1 f12x2 ... f1nxn Y2 f21x1 f22x2 ... f2nxn .....................................
当函数为非线性形
式时，fij是一偏导数 值 ，因Δ 很小，可用
相应微分值代替 Ym fm1x1 fm2x2 ... fmnxn
7 /6
以上三式的矩阵形式表示为
3
Y=FX+F0 Y=F(X) ΔY=FΔX
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协方差传播律及权
误差理论与测量平差
2. 协方差的传递
1
（1）协方差传递基本公式及应用
10
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误差理论与测量平差
3.1 数学期望的传播
1
2
3
E(C)C;
4
5
E(C)X C(E X);
6
7
E ( X 1 X 2 X n ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n );
8
9
当Xi 相互独立时（i =1，2， …，n），
10
E ( X 1 ,X 2 , ,X n ) E ( X 1 ) E ( X 2 ) E ( X n )
8 9
令
10
x f1 x1 x f2 x2 x fn xn
f xi
fi
i1,2, n
则非线性函数误差的传递公式为：
6 /6
3
Y f1 x 1 f2 x 2 . .f .n x n
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误差理论与测量平差
（3）函数向量误差的传递 若有m个线性函数或m个非线性函数
1
证明： D Y D Y E Y E Y Y E Y T
1
E F X E F X F X E F X T
2 3 4 5 6
E F X E X X E X T F T
F X E X X E X T F T
Y1 f11x1 f12x2 ... f1nxn f10 Y1 f1 x1 , x 2 ,..., x n
2 3 4 5 6
Y2 f21x1 f22x2 ... f2nxn f20
..............................................
Ym fm1x1 fm2x2 ... fmnxn fm0
6
7
协方差传播律的应用
8
9
权与定权的常用方法
10
协因数和协因数传播律
2 /6
由真误差计算中误差及其实际应用
3
退出
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误差理论与测量平差
3.1 数学期望的传播
1 2
3.2 协方差传播律
3
4 5
授课目的要求：熟记协方差传播律的基本公式，
6 7
掌握传播律公式的应用方法 。
8 9
重 点、难 点: 协方差传播律公式的应用 。
3
同理可证另外两式
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误差理论与测量平差
例 1 设有函数Y=4x1-3x2-60, 已知X(= x1 x2T)的
方差阵为：
1 2 3
D 7 2 X2 3
cm2
4 5
试求Y的方差
2 Y
。
6
解: 将函数写成矩阵形式，即
7
8 9
Y 4 x 1 3 x 2 6 4 0 3 x 1x 2 T 60
FD XFTFD XFT
7 8 9
10
D D Y Z Y Z E Y E Y Z E Z T
E F X E F X K X E K X T
F X E E X X E X T K T
9 /6
FD XK TFD XK T
10
系数矩阵为:
F=［4 -3］
Y的方差为：
10 /6 3
Y 2FX F D T 4 3 7 23 2 4 3 T 9c 12 m
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例2
设有函数
x x Y1 2 20
21
2
1 2 3
已知X(
x1