【高中数学】湖北省荆州中学2016-2017学年高一(下)3月段测试卷(文科)

湖北省荆州中学2016-2017学年高一（下）3月段测
数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）cos1200°=（）
A．B．C．D．
2．（5分）化简=（）
A．0 B．C．D．
3．（5分）已知集合P={﹣1，0，1}，，则P∩Q=（）
A．P B．Q C．{﹣1，1} D．{0，1}
4．（5分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=3，，，则b=（）
A．B．C．2 D．3
5．（5分）若，则sinα﹣cosα的值与1的大小关系是（）
A．sinα﹣cosα＞1 B．sinα﹣cosα=1 C．sinα﹣cosα＜1 D．不能确定
6．（5分）已知α是锐角，，且∥，则α为（）
A．15o B．30o C．30o或60o D．15o或75o
7．（5分）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递减区间是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，﹣1）C．（3，+∞）D．（1，+∞）
8．（5分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）
9．（5分）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）
A．B．
C．D．
10．（5分）若，则tanβ=（）
A．﹣1 B．C．D．1
11．（5分）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若＜cos A，则△ABC为（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形
12．（5分）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0，a≠1），恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）
A． B．（1，4）C．（4，8）D．（8，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）数列0，3，8，15，24，…的一个通项公式a n=．
14．（5分）已知垂直，则λ等于．15．（5分）一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北偏东65°，港口A的东偏南20°处，那么B，C两点的距离是海里．
16．（5分）对于集合M，N定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，M⊕N=（M﹣N）∪（N﹣M）．设M={y|y=x2﹣4x，x∈R}，N={y|y=﹣3x，x∈R}，则M⊕N=．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．（10分）已知数列{a n}满足a1=2，a2=3，a n+2=3a n+1﹣2a n（n∈N*）；
（1）求a3，a4，a5；
（2）用归纳法猜想它的一个通项公式．
18．（12分）设α∈（0，），满足sinα+cosα=．
（1）求cos（α+）的值；
（2）求cos（2α+π）的值．
19．（12分）已知向量，，向量与夹角为θ；
（1）求cosθ；
（2）求在方向上的投影．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，；（1）求A的大小．
（2）若b=4，求△ABC的面积．
21．（12分）已知函数．（1）求函数y=f（x）的周期和单调递增区间．
（2）若△ABC的三角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且满足（a﹣c）（a+c）=b（b ﹣c），试求f（B）的取值范围．
22．（12分）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0时，有＞0成立．
（1）判断f（x）在[﹣1，1]上的单调性，并用定义证明；
（2）解不等式：f（2x﹣1）＞f（x2﹣1）；
（3）若f（x）≤m2﹣3am+1对所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
【参考答案】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B
【解析】原式=cos（3×360°+120°）=cos120°=﹣cos60°=﹣，
2．D
【解析】=+=．
3．A
【解析】∵集合P={﹣1，0，1}，
={x|x≥﹣1}，
∴P∩Q={﹣1，0，1}=P．
4．A
【解析】∵a=3，，，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc cos A，可得：32=b2+（）2﹣2b••（﹣），整理可得：b2+2b﹣35=0，
∴解得：b=，或﹣（舍去）．
5．A
【解析】若，则sinα﹣cosα＞0，sinαcosα＜0，
∵（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα＞1，∴sinα﹣cosα＞1，
6．C
【解析】根据题意，，
若∥，则有sinαcosα=×=，
即有sin2α=，
又由α是锐角，则有0°＜2α＜180°，
即2α=60°或120°，
则α=30o或60o，
7．C
【解析】要使函数有意义，则x2﹣2x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞3，
设t=x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．
因为函数log0.5t在定义域上为减函数，
所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是（3，+∞）．
8．C
【解析】∵函数f（x）=3x+x﹣2，f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=2＞0，f（0）f（1）＜0．根据函数的零点的判定定理可得函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的一个区间是（0，1），9．D
【解析】由题意可知A=2，
最小正周期为T=4（﹣）=π，
∴ω==2；
又当x=时f（x）取得最大值2，
由五点法作图知，2=2sin（2x+φ），
即2×+φ=，
解得φ=；
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）．
10．C
【解析】∵，可得：=1，可得：，即：tanα=2，∴由tan（α﹣β）=3==，
解得：tan，
11．A
【解析】∵＜cos A，
由正弦定理可得，sin C＜sin B cos A
∴sin（A+B）＜sin B cos A
∴sin A cos B+sin B cos A＜sin B cos A
∴sin A cos B＜0 又sin A＞0
∴cos B＜0 即B为钝角
12．C
【解析】∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），
∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），
∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．
又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）在区间（﹣2，6）上有3个不同的交点，如下图所示：
又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，
则对于函数y=log a（x+2），
由题意可得，当x=6时的函数值小于1，
即log a（6+2）＞1，log a（2+2）＜1
由此解得：8＞a＞4，
∴a的范围是（4，8）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．n2﹣1
【解析】根据题意，对于数列数列0，3，8，15，24，…
有a1=12﹣1=0，
a2=22﹣1=3，
a3=32﹣1=8，
…
则可以归纳a n=n2﹣1；
故答案为：a n=n2﹣1．
14．
【解析】∵
∴①
∵
即②
即12λ﹣18=0
解得
故答案为：．
15．10
【解析】如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，从而∠ACB=45°．在△ABC中，由正弦定理可得BC=×sin30°=10．
故答案为：；
16．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）
【解析】由y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4得，y≥﹣4，
则M={y|y=x2﹣4x，x∈R }=[﹣4，+∞），
由y=3x＞0得，y=﹣3x＜0，则N={y|y=﹣3x，x∈R}=（﹣∞，0），
∵M﹣N={x|x∈M且x∉N}，∴M﹣N=[0，+∞），N﹣M=（﹣∞，﹣4），
∵M⊕N=（M﹣N）∪（N﹣M），
∴M⊕N=（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞），
故答案为（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）．
三、解答题：本题共6小题，共70分．
17．解：（1）∵a n+2=3a n+1﹣2a n，a1=2，a2=3，
∴a3=3a2﹣2a1=3×3﹣2×2=5，
a4=3a3﹣2a2=3×5﹣2×3=9，
a5=3a4﹣2a3=3×9﹣2×5=17；
（2）由a1=2=20+1，a2=3=21+1，a3=5=22+1，a4=9=23+1，a5=17=24+1，
于是可以猜想它的一个通项公式a n=2n﹣1+1．
18．解：（1）∵α∈（0，），满足sinα+cosα==2sin（α+），∴sin（α+）=．∴cos（α+）==．
（2）∵cos（2α+）=2﹣1=，sin（2α+）=2sin（α+）cos（α+）=2••=，
∴cos（2α+π）=cos[（2α+）+]=cos（2α+）cos﹣sin（2α+）sin=
﹣=．
19．解：（1）=﹣6+4=﹣2，
||=，||==2，
∴cosθ==．
（2）在方向上的投影为．
20．解：（1）由；
根据正弦定理，可得sin A sin B=sin B cos A．
∵0＜B＜π，∴sin B≠0．
可得：sin A=cos A，即，
∵0＜A＜π，
∴A=．
（2）∵，A=，b=4
由正弦定理：，可得，
可得：a=．
余弦定理可得：cos A=，即=，
可得c=
∴△ABC的面积S=ac sin B=（1+）×﹣
21．解：函数．化简可得：f（x）=2sin2x+cos x sin x+cos2x=1﹣cos2x+sin2x+cos2x
==sin（2x﹣）+．
（1）∴函数f（x）的周期T=．
由2x﹣，k∈Z．
得：≤x≤，
∴函数f（x）的单调递增区间为[：，]，k∈Z．
（2）f（x）=sin（2x﹣）+．
∴f（B）=sin（2B﹣）+．
由（a﹣c）（a+c）=b（b﹣c），即a2﹣c2=b2﹣bc．
由余弦定理，可得：cos A=，
0＜A＜π，
∴A=．
那么：．
2B﹣∈（，）
∴sin（2B﹣）∈（，1]．
∴f（B）的取值范围是（1，]．
22．解：（1）f（x）在[﹣1，1]上为增函数，
证明：设x1，x2是[﹣1，1]上的任意两个数，且x1＜x2，
令a=x1，b=﹣x2，则＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数．
（2）由题意得：，解得0＜x≤1，
（3）∵f（x）是增函数，且f（1）=1，
∴1≤m2﹣3am+1恒成立，即m2﹣3am≥0恒成立，
令g（a）=﹣3am+m2，则g min（a）≥0，
①若m=0，则g（a）=0，显然符合题意；
②若m＞0，则g min（a）=g（1）=﹣3m+m2≥0，解得m≥3，
③若m＜0，则g min（a）=g（﹣1）=3m+m2≥0，解得m≤﹣3，综上，m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）∪{0}．。