复数的计算
复数的运算
回顾总结
1.复数的四则运算； 2.复数运算的乘方形式； 3.共轭复数的相关运算性质； 4.复数运算中的常用结论。
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高中数学中的复数运算知识点总结
高中数学中的复数运算知识点总结在高中数学学习中，复数运算是一个重要的知识点。
复数是由实数和虚数构成的数，其运算包括四则运算、乘方运算等。
下面将对高中数学中的复数运算进行总结。
一、复数的定义复数是由实部和虚部构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i是虚数单位。
实部和虚部都是实数，虚部的系数b前面必须加上虚数单位i。
二、复数加法和减法1. 加法复数a+bi和c+di相加，实部和虚部分别相加即可，即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
2. 减法复数a+bi和c+di相减，实部和虚部分别相减即可，即(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
三、复数乘法和除法1. 乘法复数a+bi和c+di相乘，按照分配律展开式进行计算，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。
2. 除法复数a+bi除以c+di，先将被除数和除数的虚部有理化，然后根据乘法的倒数性质进行计算。
先将除数的虚部变号，得到复数的共轭复数，然后将除数乘以其共轭复数，再将结果化简为标准形式即可。
四、复数的乘方和开方1. 乘方复数的乘方可以使用二项式定理进行展开，然后根据i的幂次去化简。
2. 开方复数的开方可以先将复数化为三角形式或指数形式，然后利用根式的性质进行计算。
五、复数的模和辐角1. 模复数a+bi的模用|a+bi|表示，|a+bi|=√(a²+b²)。
2. 辐角复数a+bi的辐角用θ表示，可以通过a和b的值以及复数所在象限求得，tanθ=b/a。
六、复数的共轭与倒数1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数记作a-bi，共轭复数的实部相同，虚部的符号相反。
2. 复数的倒数复数a+bi的倒数记作1/(a+bi)，倒数的实部和虚部由实部和虚部的比例求得。
综上所述，高中数学中的复数运算涉及到复数的加法、减法、乘法、除法，以及乘方、开方等运算。
同时，复数的模、辐角、共轭与倒数也是重要的概念。
复数的概念与运算
复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。
在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。
一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。
在复数的表示中，a和b都是实数。
二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。
设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。
2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。
复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。
在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。
总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。
复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。
复数运算具有交换律、结合律和分配律。
复数在电学和物理学中有着广泛的应用。
以上就是对复数的概念与运算的介绍。
复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。
复数的基本概念和运算
复数的基本概念和运算复数是数学中一个重要的概念，它是由实数和虚数构成的。
本文将介绍复数的基本概念和运算方法。
一、复数的基本概念复数是由实数与虚数相加组成的数，通常表示为a+bi，其中a 是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
实数部分和虚数部分都可以是正数、负数或零。
在复数的表示中，实数部分和虚数部分都是具体的数，可以是整数、小数或分数。
当虚数部分为0时，复数退化成实数。
当实数部分为0时，复数是纯虚数。
二、复数的运算1. 复数的加法复数的加法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的和为(a+c)+(b+d)i。
2. 复数的减法复数的减法是加法的逆运算，即将减数取相反数后，按照加法的规则进行计算。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的差为(a-c)+(b-d)i。
3. 复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位平方为-1的原则，即(a+bi)×(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
4. 复数的除法复数的除法是乘法的逆运算，即将除数的共轭复数作为分子和分母的乘积，然后按照乘法的规则进行计算。
例如，设有两个复数a+bi和c+di，它们的商为[(ac+bd)/(c²+d²)]+[(bc-ad)/(c²+d²)]i。
三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，在物理学、工程学、电子学等领域都起着重要的作用。
1. 物理学中的应用复数在波动理论、电磁场理论等物理学中有着重要的应用。
例如在波动理论中，复数可以表示波的振幅、相位等信息。
2. 工程学中的应用在工程学中，复数在信号处理、控制系统、电路分析等方面起着关键的作用。
例如在控制系统中，复数可以表示系统的稳定性、响应速度等性能指标。
3. 电子学中的应用在电子学中，复数在交流电路分析、滤波器设计等方面被广泛应用。
例如在交流电路分析中，复数可以表示电压和电流的相位关系等信息。
复数模的公式六个公式
复数模的公式六个公式
复数模（Complex Modulus）是一种复杂的数学模型，它可以用来描述复数的运算和表示。
它由六个公式组成：
第一个公式是“复数模（z）= |z|=√(a²+b²)”，其中z=a+bi。
这个公式描述了复数模的计算方式，即将复数的实部和虚部分别平方，然后将其相加，最后开根号计算出复数模。
第二个公式是“复数的极角θ=tan-1（b/a）”，这个公式描述了复数的极角的计算方式，即将复数的虚部和实部分别除以另一个，然后求反正切值。
第三个公式是“复数的纯虚部形式=bi”，这个公式描述了复数的纯虚部形式，它只有虚部，没有实部。
第四个公式是“复数的纯实部形式=a”，这个公式描述了复数的纯实部形式，它只有实部，没有虚部。
第五个公式是“复数的共轭复数=a-bi”，这个公式描述了复数的共轭复数，它的实部和虚部都是原复数的相反数。
最后一个公式是“复数的幅角形式=|z|(cosθ+isinθ)”，这个公式描述了复数的幅角形式，它是复数的模与极角的乘积，其中θ是复数的极角。
以上就是复数模的六个公式，它们可以用来计算和表示复数，是复数数学的基础。
它们包括复数模、复数的极角、复数的纯虚部形式、复数的纯实部形式、复数的共轭复数和复数的幅角形式，这些公式构成了复数模的基本框架。
在这些框架的基础上，可以进一步研究用复数模解决的一些复杂的数学问题，为数学的发展和应用做出贡献。
复数的运算公式
复数的运算公式复数的四则运算公式：加减法运算：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i除法运算：(c+di)(x+yi)=(a+bi)了解复数的运算公式之前，应该先明白复数的定义，在定义的基础上理解、运用复数的运算公式。
一、复数的定义复数是形如a＋bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i＝－1的数，因为任何实数的平方不等于－1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a＋bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数；当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z＝a＋bi叫做代数式。
二、复数的四则运算公式加减法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i。
乘法运算设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i。
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i=-1，把实部与虚部分别合并。
两个复数的积仍然是一个复数。
除法运算复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商。
运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。
例：求（a+bi)/(c+di)我们设结果为x+yi只需解方程（a+bi)=(c+di)(x+yi)即可也就是方程组cx-dy=a cy+dx=b解得x=(ac+ba)/(c+d) y=(bc-ad)/(c+d)三、小结总的来说，复数的基本运算很简单，把它当做是关于i的多项式进行计算即可。
复数的基本运算与性质
复数的基本运算与性质1. 复数的定义复数是由实部和虚部组成的数，可以用以下形式表示：z=a+bi其中，a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i2=−1。
2. 复数的四则运算2.1 加法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i则它们的和为：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i2.2 减法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i则它们的差为：z1−z2=(a1−a2)+(b1−b2)i2.3 乘法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i则它们的乘积为：$$z_1 \\cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i$$2.4 除法设有两个复数：z1=a1+b1iz2=a2+b2i当z2eq0时，它们的除法为：$$\\frac{{z_1}}{{z_2}} = \\frac{{(a_1a_2 + b_1b_2)}}{{(a_2^2 + b_2^2)}} +\\frac{{(a_2b_1 - a_1b_2)}}{{(a_2^2 + b_2^2)}}i$$3. 复数的性质复数具有以下性质：3.1 封闭性复数的加法和乘法运算是封闭的，即两个复数相加或相乘的结果仍为复数。
3.2 结合律复数的加法和乘法满足结合律，即对于任意三个复数z1,z2,z3，满足：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)$$(z_1 \\cdot z_2) \\cdot z_3 = z_1 \\cdot (z_2 \\cdot z_3)$$3.3 交换律复数的加法和乘法满足交换律，即对于任意两个复数z1,z2，满足：z1+z2=z2+z1$$z_1 \\cdot z_2 = z_2 \\cdot z_1$$3.4 分配律复数的加法和乘法满足分配律，即对于任意三个复数z1,z2,z3，满足：$$z_1 \\cdot (z_2 + z_3) = z_1 \\cdot z_2 + z_1 \\cdot z_3$$3.5 共轭复数设有复数z=a+bi，其中a和b分别是它的实部和虚部。
复数的基本概念与运算
复数的基本概念与运算复数是由实数与虚数构成的数。
它的基本形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以用于描述一些实际问题，比如电路分析、信号处理和数学问题等。
本文将介绍复数的基本概念与运算。
一、复数的基本概念复数的实部和虚部分别是实数，实部用a表示，虚部用b表示。
实数是复数的一种特殊情况，当b=0时，复数退化为实数。
对于任意一个复数z=a+bi，其中a和b都是实数，可以将其表示为有序对(z=a,b)。
复数可以用复平面上的点来表示，其中实轴是实数轴，虚轴是虚数轴。
实部对应着实轴上的点，虚部对应着虚轴上的点。
二、复数的运算1. 加法与减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只是需要对实部和虚部进行独立的运算。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的和z₃=z₁+z₂为(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i，差为z₄=z₁-z₂为(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。
2. 乘法复数的乘法运算可以通过分配律展开，然后利用i²=-1化简。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的乘积z₃=z₁z₂可以计算为(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。
3. 除法复数的除法可以通过将除数和被除数都乘以共轭复数的形式进行。
对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的商z₃=z₁/z₂可以计算为[(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)]+[(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)]i。
三、复数的性质1. 共轭复数给定一个复数z=a+bi，它的共轭复数记为z*，即a-bi。
共轭复数的实部相同，虚部符号相反。
2. 模或绝对值对于一个复数z=a+bi，它的模记为|z|，可以计算为√(a²+b²)，表示复数到原点的距离。
3. 平方根复数的平方根是一个复数，它满足平方后等于给定的复数。
复数计算
复数的加法法则复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1,z2,z3,有： z1+z2=z2+z1; (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 编辑本段复数的乘法法则规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，展开得:ac+adi+bci+bdi^2，因为i^2=-1，所以结果是(ac－bd)+(bc+ad)i 。
两个复数的积仍然是一个复数。
编辑本段复数的除法法则复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：可以把除法换算成乘法做,在分子分母同时乘上分母的共轭. 所谓共轭你可以理解为加减号的变换,互为共轭的两个复数相乘是个实常数.除法运算规则：①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i.∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi.由复数相等定义可知 cx-dy=a dx+cy=b解这个方程组，得 x=(ac+bd)/(c^2+d^2) y=(bc-ad)/(c^2+d^2)于是有:(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2) +(bc-ad)/(c^2+d^2)i分母有理化②利用共轭复数将分母有理化得（见右图）：点评：①是常规方法；②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c－di，相当于我们初中学习的的对偶式，它们之积为1是有理数，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化. 把这种方法叫做分母实数化法。
复数概念及公式总结
复数概念及公式总结复数是数学中一个重要的概念，用来表示两个实数的有序对。
复数可以用实数两部分，实部和虚部来表示，形式为a + bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的实部是a，表示复数在实数轴上的投影，而虚部是b，表示复数在虚数轴上的投影。
当虚部b为0时，复数就是一个实数; 当实部a为0时，复数就是一个虚数。
例如，3 + 4i是一个复数，它的实部是3，虚部是4；而5是一个实数，实部为5，虚部为0；而4i是一个虚数，实部为0，虚部为4。
对于复数的加法和减法，实部和虚部分别进行相加和相减。
例如(3 + 4i) + (2 + 5i) = (3 + 2) + (4 + 5)i = 5 + 9i; (3 + 4i) - (2 + 5i) = (3 - 2) + (4 - 5)i = 1 - i。
复数的乘法使用分配律进行计算。
例如，(3 + 4i) * (2 + 5i) = 3 * 2 + 3 * 5i + 4i * 2 + 4i * 5i = 6 + 15i + 8i + 20i^2 = 6 + 23i - 20 = -14 + 23i。
复数的除法可以通过将分子和分母的实部和虚部分别相乘，然后使用有理化的方法消去虚数i得到结果。
例如，(3 + 4i) / (2 + 5i) = (3 + 4i)(2 - 5i) / (2 + 5i)(2 - 5i) = (6 - 15i + 8i - 20i^2) / (4 + 25) = (-14 - 7i) / 29 = -14/29 - 7i/29。
复数还可以使用极坐标形式表示，其中模长表示复数到原点的距离，参数表示复数的辐角。
复数的极坐标形式为a * cosθ + a * sinθi，其中a是模长，θ是辐角。
例如，3 + 4i的极坐标形式为5 * cos(arctan(4/3)) + 5 * sin(arctan(4/3))i。
复数的乘方运算可以通过将复数转换为极坐标形式，并使用欧拉公式进行计算。
复数的四则运算
a + bi 记做(a + bi ) ÷ (c + di )或 . c + di
(a + bi) ÷ (c + di) = a + bi ac + bd bc − ad = 2 + 2 i 2 2 c + di c + d c +d
例ห้องสมุดไป่ตู้、计算
1− i (1) 1+ i
13 + 9i (2) 2 (2 + i)
是____________. ____________. 解析：设z=x+yi(x、y∈R)，则x2+y2+2x=3表示圆. 答案：以点（－1，0）为圆心，2为半径的圆
【练习】 练习】 1、在复数范围内解方程 、 (1) x2+4=0 (2) z2=2i
2、在复数范围内分解因式 、 (1) x2 + 4 (2) x4 - y4
Cz2-z1 B
z1+z2
2 、 | z 1+ z 2| = | z 1- z 2| 平行四边形OABC OABC是 平行四边形OABC是 矩形
o
z1 A
3、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 平行四边形OABC是 平行四边形OABC是 正方形 OABC
三、复数的乘法
o
x
A,说明下列各式所表示的几何意义 例1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 1:已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义. 已知复数
(1)|z－ (1)|z－(1+2i)| (2)|z+(1+2i)| (3)|z－ (3)|z－1| (4)|z+2i|
复数的运算公式法则公式大全,建议收藏(一)2024
复数的运算公式法则公式大全，建议收藏（一）引言概述：复数的运算公式法则在数学和工程领域中具有重要的应用价值。
掌握这些公式和法则可以帮助我们更有效地进行复数的运算和计算，从而解决许多实际问题。
本文将介绍复数的运算公式法则的全部内容，并建议读者将其收藏起来，以备日后查阅。
正文：一、加法和减法公式1. 加法公式：复数的加法运算可以通过实部和虚部的分别相加得到。
若有两个复数a+bi和c+di，则它们的和为(a+c)+(b+d)i。
2. 减法公式：复数的减法运算可以通过实部和虚部的分别相减得到。
若有两个复数a+bi和c+di，则它们的差为(a-c)+(b-d)i。
3. 复数加减法的性质：加法和减法满足交换律和结合律，即复数的加法和减法运算不受次序影响，同时多个复数进行加法或减法运算时，可以先计算任意两个复数之和或之差，然后再进行下一步的运算。
二、乘法公式1. 乘法的基本原理：复数的乘法可以通过实部和虚部的分别相乘，同时注意到i的平方为-1。
2. 复数的乘法公式：若有两个复数a+bi和c+di，则它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。
3. 复数乘法的性质：乘法满足交换律和结合律，即复数的乘法运算不受次序影响，并且多个复数进行乘法运算时，可以先计算任意两个复数之积，然后再进行下一步的运算。
三、除法公式1. 除法的基本原理：复数的除法可以通过实部和虚部的分别相除，同时注意到i的平方为-1。
2. 复数的除法公式：若有两个复数a+bi和c+di，则它们的商为[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。
3. 复数除法的性质：除法不满足交换律和结合律，除法运算的结果与除数和被除数的次序有关。
同时，需要注意除数不为零。
四、幂次运算公式1. 幂次运算的基本原理：复数的幂次运算可以通过连乘多个复数本身得到。
2. 复数的幂次运算公式：若有复数a+bi和自然数n，则(a+bi)^n可以通过展开式的方式计算出来。
复数的四则运算
练习、计算
• 1.
(1).(3 4i)( 2 3i) (2).(7 6i)( 3i) (3).(1 2i)(3 4 i)( 2 i) (4).( 3 2i)( 3 2 i) (5).(1 i)
2
• 2
1 i (1). 1 i 1 (2). i 7i (3). 3 4i ( 1 i )(2 i ) (4). i
复数除法的法则是: ac bd bc ad a bi c di 2 2 2 2 i c di 0. c d c d
由此可见 , 两个复数相除 除数不为 0 , 所得的商 是一个确定的复数 .
在进行复数除法运算时通常先把 a bi c di , a bi 写成 的形式, 再把分子与分母都乘于 分母的 c di 共轭复数 c di , 化简后就可得到上面的 结果.这与 作根式除法时的处理是 很类似的在作根式除法时 . , 分子分母都乘以分母的有理化因式 , 从而使分母 " " " 有理化 " .这里分子分母都乘以分 母的 " 实数化因 式" (共轭复数), 从而使分母"实数化".
例2 计算1 2i3 4i 2 i.
解
例3
1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i. 2 计算 : 13 4i3 4i; 21 i .
分析 本例可以用复数乘法法 则计算 也可以用乘法 , 公式计算.
例4 计算 1 2i 3 4i.
解 1 2i 1 2i 3 4i 3 4i 3 8 6i 4i 2 2 3 4
1 2i3 4i 3 4i3 4i
复数计算知识点总结
复数计算知识点总结一、复数的定义复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的数。
复数通常以“a+bi”的形式表示，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
例如：3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。
二、复数的加法和减法1. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，只不过需要将实部和虚部分别相加即可。
例如：(3+4i) + (5+2i) = 8+6i2. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，同样需要将实部和虚部分别相减。
例如：(3+4i) - (5+2i) = -2+2i三、复数的乘法和除法1. 复数的乘法复数的乘法要利用到实数的乘法和虚数单位的性质，即i²=-1。
例如：(3+4i) * (5+2i) = 15+6i+20i+8i² = 15+26i-8 = 7+26i2. 复数的除法复数的除法可以转化为乘法的倒数来进行运算，需要借助到共轭复数。
例如：(3+4i) / (5+2i) = (3+4i) * (5-2i) / (5²+2²) = (15-6i+20i+8) / (25+4) = (23+14i) / 29 = 23/29 + 14i/29四、复数的模和幅角1. 复数的模复数的模即为复数到原点的距离，即复数a+bi的模为√(a²+b²)。
例如：复数3+4i的模为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 52. 复数的幅角复数的幅角即为复数与实轴正半轴的夹角，通常用θ表示，可以通过反正切函数来计算。
例如：对于复数3+4i，可以计算出其幅角为arctan(4/3) ≈ 53.13°。
五、复数的共轭和乘幂1. 复数的共轭复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即a+bi的共轭为a-bi。
例如：复数3+4i的共轭为3-4i2. 复数的乘幂复数的乘幂可以通过极坐标形式来计算，利用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i·sinθ可以得到。
复数问题计算复数的加减乘除和模长
复数问题计算复数的加减乘除和模长复数问题：计算复数的加减乘除和模长复数是由实部和虚部组成的数学对象。
在计算复数时，我们可以进行加法、减法、乘法、除法以及求模长等操作。
本文将详细介绍如何进行这些操作，并提供相关的示例。
一、复数的加法和减法复数的加法和减法遵循实部和虚部分别相加或相减的原则。
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的加法和减法计算公式如下：加法：z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i减法：z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i例如，计算复数z1 = 3 + 2i和z2 = 1 - 4i的和与差：z1 + z2 = (3 + 1) + (2 - 4)i = 4 - 2iz1 - z2 = (3 - 1) + (2 + 4)i = 2 - 6i二、复数的乘法复数的乘法涉及到实部与实部相乘、虚部与虚部相乘以及实部与虚部相乘的运算。
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i，则它们的乘法计算公式如下：乘法：z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + a2b1)i例如，计算复数z1 = 3 + 2i和z2 = 1 - 4i的乘积：z1 * z2 = (3 * 1 - 2 * (-4)) + (3 * (-4) + 2 * 1)i = 11 - 10i三、复数的除法复数的除法首先需要将除数和被除数都乘以其共轭复数的结果。
然后，按照乘法的规则进行计算。
设有两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i（其中z2≠0），则它们的除法计算公式如下：除法：z1 / z2 = [(a1a2 + b1b2) / (a2^2 + b2^2)] + [(a2b1 - a1b2) / (a2^2 + b2^2)]i例如，计算复数z1 = 3 + 2i除以z2 = 1 - 4i的结果：首先计算共轭复数：z2的共轭复数为1 + 4i，然后进行乘法运算：z = z1 * (1 + 4i) = (3 + 2i) * (1 + 4i) = (3 + 14) + (12 - 2)i = 17 + 10i接下来计算模长的平方：|z2|^2 = (1^2 + 4^2) = 17最后进行除法运算：z1 / z2 = z / |z2|^2 = (17 + 10i) / 17 = 1 + (10/17)i四、复数的模长复数的模长表示复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。
复数的运算和表示方法
复数的运算和表示方法复数是由实部和虚部组成的数，可以用来表示在数轴上的点。
本文将介绍复数的运算规则以及常见的复数表示方法。
一、复数的基本概念复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 表示实部，b 表示虚部，i 表示虚数单位。
实部和虚部都是实数。
例如，3 + 2i 就是一个复数，其中实部为 3，虚部为 2。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法运算与实数类似，实部与实部相加（减），虚部与虚部相加（减）。
例如，(3 + 2i) + (2 + 4i) = 5 + 6i，(3 + 2i) - (2 + 4i)= 1 - 2i。
三、复数的乘法复数的乘法遵循分配律和虚数单位平方为 -1 的规则。
具体操作如下：(3 + 2i) × (2 + 4i) = 6 + 12i + 4i + 8i² = 6 + 16i - 8 = -2 + 16i四、复数的除法复数的除法可以通过乘以倒数的方式进行。
具体操作如下：(6 + 2i) ÷ (3 + 1i) = (6 + 2i) × (3 - 1i) ÷ ((3 + 1i) × (3 - 1i)) = (18 - 6i +6i - 2i²) ÷ (9 + 3i - 3i - i²)= (18 - 2) ÷ (9 + 1) = 16 ÷ 10 = 1.6五、复数的共轭复数的共轭是将复数的虚部取负数得到的新复数。
例如，对于复数3 + 2i，它的共轭为 3 - 2i。
六、复数的绝对值复数的绝对值表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
对于复数 a + bi，它的绝对值为√(a² + b²)。
七、复数的表示方法常见的复数表示方法有三种：代数形式、三角形式和指数形式。
1. 代数形式：a + bi，将实部和虚部直接表示出来。
如 3 + 2i。
2. 三角形式：r(cosθ + isinθ)，使用极坐标表示，其中 r 表示模长，θ 表示辐角。
复数的基本运算与分析
复数的基本运算与分析复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数构成，可以用来描述很多实际问题。
在初中数学中，我们学习了复数的基本运算和分析，这些知识对于我们理解和解决问题非常有帮助。
一、复数的定义和表示方法复数是由实数和虚数构成的，可以表示为a+bi的形式，其中a是实数部分，bi 是虚数部分，i是虚数单位，满足i²=-1。
例如，2+3i就是一个复数，其中实数部分是2，虚数部分是3。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，分别对实数部分和虚数部分进行运算。
例如，(2+3i)+(4+5i)=(2+4)+(3+5)i=6+8i，(2+3i)-(4+5i)=(2-4)+(3-5)i=-2-2i。
三、复数的乘法复数的乘法是根据乘法分配律进行计算的。
例如，(2+3i)×(4+5i)=2×4+2×5i+3i×4+3i×5i=8+10i+12i+15i²=8+22i-15=8+22i-15=-7+22i。
四、复数的除法复数的除法是通过乘以倒数进行计算的。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(2+3i)×(4-5i)/(4+5i)×(4-5i)=(8-10i+12i-15i²)/(4²-5²i²)=(8+2i)/(16+25)=8/41+2/41i。
五、复数的模和共轭复数的模表示复数到原点的距离，可以用勾股定理计算。
例如，复数2+3i的模是√(2²+3²)=√13。
复数的共轭表示实部不变，虚部取相反数的复数。
例如，复数2+3i的共轭是2-3i。
六、复数的应用复数在数学和物理中有广泛的应用。
在数学中，复数可以用来解决方程，例如x²+1=0的解是±i。
在物理中，复数可以用来描述交流电路中的电压和电流，例如电压V=V0sin(ωt)可以表示为V=V0e^(iωt)，其中V0是幅值，ω是角频率，t是时间。
复数的四则运算
z1 z2 z3 a bi c di e fi a bi c e d f i
a c e b d f i
z1 z2 z3 z1 z2 z3 ,即复数的加法满足结合 律
复数加法的几何意义：
z1 a bi, z2 c di（a,b, c, d R）
y
b
Z
.
O1
a
x
复数的加法与减法：
若：z1 a bi，z2 c di (a,b, c, d R)
则：z1 z2 (a c) (b d )i
z1 z2 (a c) (b d )i
两个复数的和（或差）仍是一个复数，两个复数的和（或差）的 实部是它们实部的和（或差），两个复数的和（或差）的虚部是它们 虚部的和（或差）.
n个
内正整数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，
zm zn zmn , zm n zmn, z1 z2 n z1n z2n
注：i0 1,i1 i,i2 1,i3 i,
一般地，对于任意自然 数n, 有：i4n 1, i4n1 i, i4n2 1, i4n3 i
例7、计算：
（1）1 i4;
(2)2 i22 i2
解：（1）原式 1 i2 2 1 2i i2 2 2i2 4
（2）原式 2 i2 i2 4 12 25
若：z a bi其中a,b R
则：z z a bia bi a2 b2
互为共轭 复数的两个复数的乘积是实 数，等于这个复数 （或其共轭复数）模的 平方.
复数的除法
给定复数z2,若存在复数z，使得z2z 1,则称z是z2的
倒数，记作z 1 . z2
设z2 c di 0和z x yi(c, d, x, y R), 则
复数的运算和性质
复数的运算和性质复数是数学中一个重要的概念，它由实数和虚数的和构成。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，同时具有一些特殊的性质。
本文将对复数的运算和性质进行探讨。
一、复数的定义复数可以写成a+bi的形式，其中a和b都是实数，i是虚数单位（i^2=-1）。
实部a和虚部b分别表示复数的实数部分和虚数部分。
二、复数的加法和减法复数的加法和减法与实数的运算类似。
两个复数相加时，实部和虚部分别相加；两个复数相减时，实部和虚部分别相减。
例如，设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的和为z1+z2=(a+c)+(b+d)i，它们的差为z1-z2=(a-c)+(b-d)i。
三、复数的乘法和除法复数的乘法和除法是按照公式进行计算的。
两个复数相乘时，实部和虚部的计算采用分配律。
例如，设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，则它们的乘积为z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，它们的商为z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i。
四、复数的性质1. 加法和乘法都满足交换律和结合律。
即对于任意两个复数z1和z2，有z1+z2=z2+z1和z1*z2=z2*z1，以及对于任意三个复数z1、z2和z3，有(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)和(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3)。
2. 复数的乘法满足分配律。
即对于任意三个复数z1、z2和z3，有z1*(z2+z3)=z1*z2+z1*z3。
3. 复数的加法和乘法都有零元素。
即对于任意复数z，有z+0=0+z=z和z*0=0*z=0。
4. 复数的加法有负元素。
即对于任意复数z，存在一个复数-x，满足z+(-x)=x+(-z)=0。
5. 复数的乘法有倒数。
即对于任意非零复数z，存在一个复数w，满足z*w=w*z=1。
五、应用复数的运算和性质在数学和物理等领域中有广泛的应用。
在电路分析中，复数可用于表示电压和电流的幅值和相位关系；在信号处理中，复数可用于表示频谱和振幅调制等问题。
复数的运算 角度
复数的运算角度复数是数学中的一个概念，由实数和虚数部分构成。
在复数的运算中，角度是一个重要的概念。
本文将介绍复数的定义、运算规则以及角度的概念，并给出相关的参考内容。
一、复数的定义复数是实数和虚数部分构成的数，通常用符号a+bi表示，其中a是实部， b是虚部，i为虚数单位。
二、复数的运算规则1. 复数的加法和减法：将实部和虚部分别相加或相减。
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2. 复数的乘法：使用分配律展开并进行合并，注意虚数单位i 的平方等于-1。
(a+bi) × (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i3. 复数的除法：将被除数与除数都乘以共轭复数的结果，然后按照乘法规则计算。
(a+bi) ÷ (c+di) = (ac+bd) ÷ (c^2+d^2) + (bc-ad) ÷ (c^2+d^2)i三、复数的角度表示复数可以用角度表示，常用的表示方法有极坐标形式和指数形式。
1. 极坐标形式：对于复数z=a+bi，其极坐标形式可以表示为：z=r(cosθ +isinθ)，其中r为复数的模长，θ为与正实轴之间的夹角。
2. 指数形式：复数z=a+bi可以表示为指数形式：z=re^(iθ)，其中r为复数的模长，e表示自然对数的底，i为虚数单位，θ为与正实轴之间的夹角。
四、相关参考内容1. 《高等数学》（第七版）- 同济大学数学系编著该教材详细介绍了复数运算的概念、定义、规则以及角度表示的方法，提供了丰富的例题和习题供学习者练习。
2. 《线性代数及其应用》(第五版) - Gilbert Strang著该教材在第三章中介绍了复数和复数运算，包括复数的定义、运算规则以及复数的表示方法。
通过具体的例题帮助读者理解复数运算的概念和方法。
3. 《数学分析》（下册）- 同济大学数学系编著该教材在第十章中介绍了复数的基本性质和运算规则，详细阐述了复数的角度表示方法，并提供了相关的例题和习题。
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复数的概念与计算
重点难点
重点：(1)复数的有关概念．
(2)复数代数形式的四则运算法则．
难点：复数的分类、几何意义及除法运算．
知识归纳
一、复数的概念
1．虚数单位i ：(1)i 2＝－1；(2)i 和实数在一起，服从实数的运算律．
2．代数形式：a ＋bi (a ，b ∈R)，其中a 叫实部，b 叫虚部．
3．复数的分类
复数z ＝a ＋bi (a 、b ∈R)中，
z 是实数⇔_______， z 是虚数⇔
z 是纯虚数⇔⎩⎨⎧ a ＝0
4．a ＋bi 与a －bi (a ，b ∈R)互为共轭复数
二、复数相等的条件
a ＋bi ＝c ＋di (a 、
b 、
c 、
d ∈R)⇔a ＝c 且b ＝d .
特别a ＋bi ＝0(a 、b ∈R)⇔a ＝0且b ＝0.
三、复平面
建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴. 实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．原点对应复数0，建立复平面后，复平面内的点与复数集构成一一对应关系．以原点O 为起点，复数z 在复平面内的对应点Z
为终点的向量OZ →，与复数z 一一对应，OZ →
的模叫做复数z 的模．
四、运算法则
z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，(a 、b 、c 、d ∈R)．
1．z 1±z 2＝(a ±c )＋(b ±d )i ；
2．z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；
3. z 1z 2
＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 误区警示
1．在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a 、b 、c 、d ∈R . 因此，解决复数相等问题，一定要把复数的实部和虚部分离出来，再利用复数相等的充要条件化复数问题为实数问题．
2．两复数不全是实数，就不能比较大小，只有相等与不相等关系．
3．注意虚数与纯虚数的区别．
（一）复数的实部与虚部
[例1] 已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12
的实部和虚部相等，则m 等于________．
1.如果复数z ＝2－b i 1＋i
(b ∈R)的实部和虚部互为相反数，则b 的值等于( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
（二）复数的分类
[例2] 若sin2θ－1＋i (2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为( )
A ．2k π－π4(k ∈Z)
B ．2k π＋π4(k ∈Z)
C ．2k π±π4(k ∈Z) D.k 2π＋π4(k ∈Z)
1.若复数(a2－4a＋3)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()
A．1 B．3 C．1或3 D．－1
2.若复数z＝lg(m2－2m－3)＋i·lg(m2＋3m－3)为实数，则实数m 的值为()
A．－4 B．1 C．－4或1 D．－2
（三）复数相等的条件
[例3]已知(x＋i)(1－i)＝y，则实数x，y分别为()
A．x＝－1，y＝1 B．x＝－1，y＝2
C．x＝1，y＝1 D．x＝1，y＝2
1若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则()
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
2已知i是虚数单位，复数z满足i
z＋i
＝2－i，则z＝()
A．－1
5－
3
5i B．－
1
5＋
3
5I C.
1
5－
3
5i D.
1
5＋
3
5i
（四）共轭复数
[例4]复数2＋i
1－2i
的共轭复数是()
A．－3
5i B.
3
5i C．－i D．i
1.复数i(2i－1)＋2－i的共轭复数是________．
（五）复数的几何意义
[例5] 已知复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋(1－a 2)i ，在复平面内的对应
点分别为P 1、P 2，P 1P 2→
对应复数为－3＋i ，则实数a ＝________.
1.复数z ＝2－i 2＋i
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
（六）复数的模
[例6] 设复数z 满足关系式z ＋|z －|＝2＋i ，则z 等于( )
A ．－34＋i B.34－i C.34＋i D ．－34－i
课堂练习
一、选择题
1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1·z 2在复平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2.若a 、b ∈R ，则复数(a 2＋6a ＋10)＋(－b 2－4b －5)i 对应的点在
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 表示的点在虚轴上，则实
数m 的值是( )
A ．－1
B ．4
C ．－1和4
D ．－1和6
4.复数z 1＝2－i ，z 2＝4＋3i 在复平面内的对应点分别为A 、B ，线段AB 的中点为P ，则点P 对应复数的共轭复数为________．
5.若a 是复数z 1＝1＋i 2－i
的实部，b 是复数z 2＝(1－i )3的虚部，则ab 等于________．
练习
一、选择题
1．若121212,,z z C z z z z --
∈+是( ).
A ．纯虚数
B ．实数
C ．虚数
D ．不能确定
2．若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ).
A ．R +
B ．R -
C ．R R +-
D ．{}0R +
3212i
i -+++的值是( ).
A ．0
B ．1
C ．i
D ．2i
4．若复数z 满足)1z z i +=,则2z z +的值等于( )
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．1
22-+
5．已知3(23)z i =-,那么复数z 在平面内对应的点位于( )
A ．第一象限
B ． 第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
6．已知12121z z z z ==-=,则12z z +等于( )
A ．1
B
C
D ．
7．若12ω=-,则等于42
1ωω++=( )
A ．1
B ．0 C
．3 D
．1-+
8．给出下列命题
(1)实数的共轭复数一定是实数;
(2)满足2z i z i -++=的复数z 的轨迹是椭圆;
(3)若2,1m Z i ∈=-,则1230;m m m m i i i i ++++++=
其中正确命题的序号是( )
A.(1)
B.(2)(3)
C.(1)(3)
D.(1)(4)
二、填空题
1．若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 使虚数单位，则22a b +=_________。
2．若 12z a i =+, 234z i =-，且
12z z 为纯虚数，则实数a 的值为 ． 3．复数11z i
=-的共轭复数是_________。
4．计算=++-i
i i 1)21)(1(__________。
5．复数234z i i i i =+++的值是___________。
6．复数.111-++-=
i
i z 在复平面内，z 所对应的点在第________象限。
7．已知复数032,z i =+复数003,z z z z z +=+满足则复数z =__________. 8．计算()()221111i
i i i -++=+-______________。
9．若复数i
i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为___________。
10．设复数121,2(),z i z x i x R =+=+∈若12z z 为实数，则x =_____________。