【高中数学必修一ppt课件】2.4.1平面向量的数量积物理背景及含义
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高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT
为(
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.
)
A.30° B.60°
C.120°
D.150°
(2)已知非零向量a,b满足|a|=|b|=|a+b|,求a与a+b夹角及a与a-b
夹角.
分析(1)将已知条件展开变形后利用数量积定义求解;(2)可采取
数形结合方法组成平面图形求解.
第25页
探究一
探究二
探究三
(1)解析:因为(2a+b)⊥b,
所以2(a+b)·b=0,
∴|b|2-2|b|-3=0.∴|b|=3 或|b|=-1(舍去).
答案:(1)5 7 (2)3
第22页
探究一
探究二
探究三
|a|= ·，
反思感悟 依据数量积定义a·
a=|a||a|cos 0°=|a|2,得
这是求向量模一个方法.即要求一个向量模,先求这个向量与本
身数量积(一定非负),再求它算术平方根.对于复杂向量也是如此.比
结合方法求解.
第28页
探究一
探究二
探究三
本例(1)中,若非零向量a,b夹角为60°,且|a|=|b|,当(a+2b)⊥(ka-b)
时,求实数k值.
解:因为(a+2b)⊥(ka-b),
所以(a+2b)·(ka-b)=0,
即k|a|2+(2k-1)a·b-2|b|2=0,
1
所以 k|a|2+ - 2 |a|2-2|b|2=0,
所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9,
代入①式得
4+2a·b+9=16,得2a·b=3.
又因为(a-b)2=a2-2a·b+b2=4-3+9=10,
所以|a-b|= 10.
高一数学平面向量数量积的物理背景及其含义PPT课件
解： | BC | 8
A
| CA| 7
120
Bபைடு நூலகம்
7
120
60
8
C
B C C A |B C ||C A |c o s 1 2 0
87(1)28 2
例题：
在△ABC中，a4,b9,C30，求 BCCA
解： | BC | 4
A
| CA| 9
150
B
9
150
30
4
C
B C C A |B C ||C A |c o s 1 5 0
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
整体概况
+ 概况1
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概况2
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概况3
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学法指导
• 1.多动脑筋 • 2.数形结合 • 3.总结基本题型 • 4.限时训练
cos180 练1习
( 1 ) |a | 2 ,|b | 7 , 1 8 0 ， a b 2714
( 2 ) |a | 1 0 , |b | 1 5 , 1 8 0 ， a b 1015 150
( 3 ) |a | 8 ,|b | 2 , 1 8 0 ， a b 8216
• 总结规律：a ,b 反 向 a b |a ||b |
49( 3)18 3 2
cos900 练习
( 1 ) |a | 2 ,|b | 7 , 9 0 ， a b 0
( 2 ) |a | 1 0 ,|b | 1 5 , 9 0 ， a b 0
( 3 ) |a | 8 ,|b | 2 , 9 0 ， a b 0
2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义[1]课件PPT
![2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义[1]课件PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/094ac83b81c758f5f71f6774.png)
向量数量积的物理背景
F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做 的功为多少？
W |F||s|cos θ 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
W |F||s|cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
⑵数乘结合律： (a)b(ab)a(b) ⑶分配律：(ab)cacbc
（ 4） (a•b)•ca•cb•c
典例解析
例2 求证：
(1) ( a
b)2
2
a
2a
b
b 2；
(2)(a
b）（ a
b)
a
2
2
b.
例 3已 知 |a|6,|b|4， a与 b的 夹 角 为 60， 求 (a2b)(a3b).
例4 已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
ab |a||b|co s
B C b
O
a B1 A
| b | c o s 叫 做 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影 ；
| a | c o s 叫 做 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 .
为60 时，分别求a b.
18
9
4.已知 | a | =1， | b |
2，
若
a
b与a垂
直，求
a与b的
夹
角
.
4
个人观点供参考，欢迎讨论
运算律 实数a,b,c 向量a,b,c 是否成立
F
s 一个物体在力 F的作用下发生了位移 s，
那么该力对此物体所做 的功为多少？
W |F||s|cos θ 其中力F和位移 s是向量， s 是F与 的夹角，而功 W是数量.
W |F||s|cos θ
功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；
将公式中的力与位移推广到一般向量
⑵数乘结合律： (a)b(ab)a(b) ⑶分配律：(ab)cacbc
（ 4） (a•b)•ca•cb•c
典例解析
例2 求证：
(1) ( a
b)2
2
a
2a
b
b 2；
(2)(a
b）（ a
b)
a
2
2
b.
例 3已 知 |a|6,|b|4， a与 b的 夹 角 为 60， 求 (a2b)(a3b).
例4 已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb互相垂直？
当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。
ab |a||b|co s
B C b
O
a B1 A
| b | c o s 叫 做 向 量 b 在 a 方 向 上 的 投 影 ；
| a | c o s 叫 做 向 量 a 在 b 方 向 上 的 投 影 .
为60 时，分别求a b.
18
9
4.已知 | a | =1， | b |
2，
若
a
b与a垂
直，求
a与b的
夹
角
.
4
个人观点供参考，欢迎讨论
运算律 实数a,b,c 向量a,b,c 是否成立
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义4
(a b ) c a (b c )
(3)(a b ) c a c b c
b
B
a
A
C1
O
A1
c
B1
C
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· b＋b2； （2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)· (a＋b) ＝(a＋b)· a＋(a＋b)· b ＝a· a＋b· a＋a· b＋b· b ＝a2＋2a· b＋b2.
3.向量的数量积（内积） b
θ
a
规定:0 a 0
向量的数量积是一个数量，那么它什 么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | cos (a 0, b 0)
B
b
O
A
a
b B
A
A1
a
aA
大于零
B1 O
O
b
B
等于零
小于零
例1 已知|a|=5,||=4, b a与b 的夹角 =120求a b.
解: a 2b a 3b a a b 6b
6 4 cos 60 12
0 2 2
且a 36, b 16
a 2b a 3b
36 12 6 16 72
例5.已知 | a | 3,| b | 4,当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？ 解:
a
A
B1
b 在 a 上投影
a 的长度 a
练习2
1.若a =0,则对任一向量b,有a b 0 √ 2.若a 0,则对任一非零向量b,有a b 0 × 3.若a 0, a b 0, 则b 0 × 4.若a b 0, 则a, b中至少有一个为0 × 5.若a 0, a b b c, 则a c 7.对任意向量a有a a
(完整)2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (公开课使用)
思考：类比
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
两个向量的加法，减法，以及向量的数乘运算 rr rr
结果都得到一个向量，那向量的数量积a b= a b cos
的运算结果得到的是一个向量还是数？你是根据什么 判断的？
答：不是向量 rr
向量的数量积a b的运算结果是一个数， rr
因为 a ，b , cos三个量都是数。
rr
rr rr
2.4.1 平面向量数量积的 物理背景及其含义
功的概念： 如果一个物体受到力的作用，并且在力 的方向上发生了位移，物理学就说这个力对物体做了功。
F s
F θ
s
W | F || s |
W | F || s |cos
在物理学中，力F和位移S是什么量，功W是 什么量？在数学中F和S又是什么量？ 与这 两个量有什么关系？
rr
rr
a与b的数量积记作：a b，它跟数量的什么运算
法则有点类似？二者的运算性质一样吗？
rr 注意：a b中“g”不可省略，也不可写成“”。
rr
rr
数量积的定义要求a, b是非零向量，如果a, b中有0，那么数量积是多少呢？
为什么？
四、平面向量的数量积定义分析
解 ：1 10 2 2 3 5
2
三、提升检测
uur uuur 1. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uur uuur 则BAgBC =
_____1_0_____
uur uuur
2. 已知ABC中，BA 5, BC 4,且 ABC =1200，
uuur uuur 则ABgBC
=
_____10______
3
r 已知 b
3,
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思考8：对于非零向量a，b，c，若 a·b＝a·c，那么 b＝c吗？
思考9：对于向量a，b，等式(a＋b)2＝ a2＋2a·b＋b2和(a＋b)(a－b)＝a2－b2是 否成立？为什么？
思考10：对于向量a，b，如何求它们的
夹角θ？
cos
ab | a || b |
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
思考6：对于向量a，b，c，(a＋b)·c有意 义吗？它与a·c＋b·c相等吗？为什么？
A
θ2
a
b
B
O θ1 θ a＋b
A1
B1
cC
思考7：对于非零向量a，b，c，(a·b)·c
有意义吗？(a·b)·c与a·(b·c)相等吗？为
什么？
(a·b)·c≠a·(b·c) 最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
理论迁移
例1 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的
夹角为120°，求a·b.
－10
例2 已知︱a︱＝6，︱b︱＝4，a与b的
夹角为60°，求(a＋2b)·(a－3b).
－72
例3 已知︱a︱＝3，︱b︱＝4，且a与b
不共线.求当k为何值时，向量a＋kb与
a－kb互相垂直？
3
最新高中数学必修课件-【数学】2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
平面向量数量积的物理背景及其含义
思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹 角为θ，把︱a|︱b︱cosθ叫做a与b的 数量积（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cosθ.那么a·b的运算结
果是向量还是数量？
思考4：特别地，零向量与任一向量的数 量积是多少？
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 (课件 )
⊥ 2. 如图，在平行四边形ABCD中，AP BD,垂足为P，AP=3，则
=
aaabbabb
2
2
a 2a b b
（2）(a b) (a b) a a - a b b a - b b
22
a b
例3. ︱ ︱＝a3，︱ ︱＝b4，且 与a 不共b线.求
当k为何值时，向量 a ＋k b 与 a－k b 互相垂直？
a b a b 0
解： (akb )(akb )0
B
b
O OB
| b | cos
B1
1
a b | a || b | cos
a
A
| b | cos 叫做 b在 a方向上的投影；
| a | cos 叫做 a在 b方向上的投影；
B
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b| cosθ＞0
B
b
B1 O
aA
θ为钝角时，
|b | cosθ＜0
B b
O(B1 ) a
Ab
a
B
O
cC
平面向量数量积的运算律
交换律 结合律
ab ba
(a) b a (b) a b
分配律
(a b) c a c bc
例2．证明（1） (a
b)2
2
a
2a b
2
b
；
2
2
（2） (a b) (a b) a b .
证明:（1） (a b)2 (a b) (a b)
(0 180 ) 叫做向量 a 和b 的夹角．
B
b
O
a
A
b
a
B
O
A
数学(2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义)
功率
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
功率等于功与作用时间的比值。平面向量数量积可以用来描述功率，即功率等于功向量与时间向量的 模的比值。
03
平面向量数量积的应用
速度与加速度的研究
速度
速度是描述物体运动快慢的物理量， 等于位移与时间的比值。在平面向量 中，速度可以表示为向量，其模即为 线段长度与时间的比值。
加速度
加速度是描述物体速度变化快慢的物 理量，等于速度的变化量与时间的比 值。在平面向量中，加速度可以表示 为速度向量的变化率，其模即为速度 变化量与时间的比值。
详细描述
根据数乘的定义，实数k与向量a的数乘记作 ka，其模长为|ka|=|k||a|。设向量a与向量b的
夹角为θ，则有k(a·b)=k(|a||b|cosθ)， (ka)·b=|ka||b|cosθ=k(|a||b|cosθ)，
a·(kb)=|a||kb|cosθ=k(|a||b|cosθ)。这说明数 乘律成立，即k(a·b)=(ka)·b=a·(kb)。
几何意义
总结词
平面向量数量积表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。
详细描述
平面向量数量积的几何意义在于表示两个向量在方向上的相似性和夹角关系。当两个向量的夹角为锐角时，数量 积大于0，表示两个向量方向相同；当夹角为钝角时，数量积小于0，表示两个向量方向相反；当夹角为0或180 度时，数量积为0，表示两个向量垂直或反向。
动量与冲量
动量
物体的动量等于物体的质量与速 度的乘积。平面向量数量积可以 用来描述动量，即物体的动量等 于质量与速度向量的模的乘积。
冲量
冲量等于力的作用时间与力的乘 积。平面向量数量积可以用来描 述冲量，即冲量等于力向量与时 间向量的模的乘积。
功与功率
功
2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
![2[1].4.1平面向量数量积的物理背景及其含义](https://img.taocdn.com/s3/m/15737b2958fb770bf78a554e.png)
注意:两个向量的数量积是一个实数， 可以是正数，负数，零.
投影：
若是a与b的夹角， b cos叫做向量 b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
O
B
b
b cos B1
零向量与任一向量的数量积为0. 思考：
a A
（数量） 1.投影是一个数量还是一个向量？
（与的取值有关） 2.投影的正负与什么有关？
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c)是否成立？
不成立，因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。
例2：求证：
(1)(a b)2 a 2 2a b b2 ;
5. a b a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
数量积的运算律：
1.a b b a; 2.(a) b (a b) a (b); 3.(a + b) c a c b c.
(2)(a b)(a b) a 2 b2 . a b) 证明： (1)(a b)2 (a b)(
a a a b ba bb
a 2 2a b b2 ;
(2)(a b)(a b) a a a b + b a + b b a 2 b2 .
总结：
1.数量积的概念；
2.投影的概念； 3.两个向量数量积的性质； 4.数量积的几何意义.
作业：
习题2.4A组第2，4，题 习题2.4B组第1题
投影：
若是a与b的夹角， b cos叫做向量 b在a方向上的投影，如图，OB1 b cos .
O
B
b
b cos B1
零向量与任一向量的数量积为0. 思考：
a A
（数量） 1.投影是一个数量还是一个向量？
（与的取值有关） 2.投影的正负与什么有关？
思考：对于不共线向量a, b, c,判断(a b)c a (b c)是否成立？
不成立，因为(a b)c表示一个与c共线的向量，而a (b c ) 表示一个与a共线的向量，而a与c不共线，所以式子不成立。
例2：求证：
(1)(a b)2 a 2 2a b b2 ;
5. a b a与b的夹角 120o，求a b.
解：a b a b cos
5 4cos120o
1 5 10 ( ) 2
10.
数量积的运算律：
1.a b b a; 2.(a) b (a b) a (b); 3.(a + b) c a c b c.
(2)(a b)(a b) a 2 b2 . a b) 证明： (1)(a b)2 (a b)(
a a a b ba bb
a 2 2a b b2 ;
(2)(a b)(a b) a a a b + b a + b b a 2 b2 .
总结：
1.数量积的概念；
2.投影的概念； 3.两个向量数量积的性质； 4.数量积的几何意义.
作业：
习题2.4A组第2，4，题 习题2.4B组第1题
2.4.1平面向量数量积的物理背景及其意义 课件
解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 °
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ
＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° =2
例1 . 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ.
解：①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ
＝０°，
∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜cos0°＝3×6×1＝18；
二、平面向量的数量积的运算律：
数量积的运算律：
(1)a
b
b
a
(2)( a ) b
(a
b
)
a
(b
)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、 c c是a 任(b意 c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b 在c上的射影的数量 分别是OM、MN、 ON, 则
(a + b) ·c = ON |c|
b
a a+b
OM
Nc
= (OM + MN) |c|
= OM|c| + MN|c|
= a·c + b·c .
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b) ＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b ＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b ＝a2＋2a·b＋b2.
例 3：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； （2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
证明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－
b·b ＝a2－b2.
高中数学2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义优秀课件
例题讲解
例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 120，求a ·b.
解： a ·b = |a | |b |cosθ
54co1s20
54( 1) 2
10.
物理上力所做的功实际上是将力正交分解，只有在位移方
向上的力做功．
F
θ
如图作 O A a， O B b，过点B作BB1
s
垂直于直线OA，垂足为 B1，那么OB1 | b | cosθ
2、 、 a 都b是单位向量，以下结论正确的选项是〔 B 〕
A、
B、 2 2
3、有a以b下四1 个关系a式：b⑴
C、 a
∥
b⑵ab
D、 ab 0
⑶
⑷
0，0 其0中正确(的a个b)c数是a(〔bc)
〕
A、a1bbB、a 2 C0、a 30 D、4
A
课后作业
1.教材第108页 A组1,2,3,4,6,7,8 2.完成教辅练习册第26页作业 3.预习教材106页~107页
解： akb与akb互相垂直
(akb)(akb)0
即a2k2b2 0 a 2 32 9， b2 42 16 916k20 k 3 .
4 即当且k仅 当 3时， akb与akb互相垂. 直
4
练习：P130
2 .已|p 知 |8 ， |q|6 ， p与 q的夹 6， 0 角 p求 q 为 .
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
B
B
B
b
O
a B1 A
θ为锐角时，
| b | cosθ＞0
b
B1 O
aA
θ为钝角时，
| b | cosθ＜0
人教版数学必修四.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 课件
人 教 版 数 学 必修四 .1 平 面 向量数 量积的 物理背 景及其 含义 课 件
人 教 版 数 学 必修四 .1 平 面 向量数 量积的 物理背 景及其 含义 课 件
（3）a • b的几何意义：
数量积a • b 等于的 a 长度a 与b 在a 方向上的投
影 b cos 的乘积．
或数量积 a • b 等于b 的长度b 与 a 在b 方向
例 2 设正三角形 ABC 的边长为 2， AB c ， BC a ， CA b ，求 a • b b • c c • a
A
c
b
B
b c o s 1 2 0 0 b c c o s 1 2 0 0 c a c o s 1 2 0 0
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
人 教 版 数 学 必修四 .1 平 面 向量数 量积的 物理背 景及其 含义 课 件
学习目标: 1.理解平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。
学习重点： 平面向量的数量积的概念。
学习难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量 数量积的应用。
人 教 版 数 学 必修四 .1 平 面 向量数 量积的 物理背 景及其 含义 课 件
上的投影 a cos 的乘积．
人 教 版 数 学 必修四 .1 平 面 向量数 量积的 物理背 景及其 含义 课 件
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4．.平面向量数量积的性质：已知 a 、b 是两个
非零向量
（1） aba•b0
（2）当a 与b 同向时，a•b a b，当 a与b 反向
平面向量数量积的运算律
已知向量 a ，b ，c 和实数λ则：
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（3）a • b的几何意义：
数量积a • b 等于的 a 长度a 与b 在a 方向上的投
影 b cos 的乘积．
或数量积 a • b 等于b 的长度b 与 a 在b 方向
例 2 设正三角形 ABC 的边长为 2， AB c ， BC a ， CA b ，求 a • b b • c c • a
A
c
b
B
b c o s 1 2 0 0 b c c o s 1 2 0 0 c a c o s 1 2 0 0
2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2
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学习目标: 1.理解平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律。
学习重点： 平面向量的数量积的概念。
学习难点： 平面向量数量积的定义及运算律的理解，平面向量 数量积的应用。
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上的投影 a cos 的乘积．
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4．.平面向量数量积的性质：已知 a 、b 是两个
非零向量
（1） aba•b0
（2）当a 与b 同向时，a•b a b，当 a与b 反向
平面向量数量积的运算律
已知向量 a ，b ，c 和实数λ则：
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| b | cos 的乘积。
例1
直角ABC中, AC 3,
B 150
AB 6, 求AB AC,
30
6
33
CA CB, BC AB
60
A 3C
a b | a || b | cos
非零向量的数量积是一个数量，那么 它何时为正，何时为0 ,何时为负？
a b | a || b | cos
已知两个非零向量a和b，作OA=a， OB=b，则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°） 叫做向量a与b的夹角。
B
θ
O
A
问题1：回忆一下物理中“功”的计算，功 的 大小与哪些量有关？
结合向量的学习你有什么想a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a·b
分别是OA1、A1B1、 OB1, 则 (a + b) ·c = OB1 |c|
a a+b
O A1
B1 c
= (OA1 + A1B1) |c|
= OA1|c| + A1B1|c|
= a·c + b·c .
例 2：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
回忆过去研究过的运算律，向量的数 量积应有怎样的运算律？
实数中乘法的运算律
x, y, z R 1)交换律xy yx 2)结合律(xy)z x( yz) y(xz) 3)分配律(x y)z xz yz
数量积的运算律：
(1)a b b a
a·b=|a| |b| cosθ
|b| c注os意θ叫：向做量向的量b在a 方向上数的量积投是影一。个
数量。
b
θ |b|cosθ B1 a
问题2：定义中涉及哪些量？它们有怎样的 关系？运算结果还是向量吗？
bB
O
θ |b|cosθ B1 a
A
a
b等于
a
的长度
|
a
|与
b在a方向上的投影
(2)(a) b (a b) a (b)
(3)(a b) c a c b c
其注中：，a(a、bb)、c c是a 任(b意c三) 个向量， R
证明运算律(3)
向量a、b、a + b
b
在c上的射影的数量
请同学们合作探究，向量共线或垂 直时，数量积有什么特殊性呢？
练习：
1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0． √ 2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a ·b≠0． ×
3．若a ≠0，a · b =0，则b=0 ×
4．若a ·b=0，则a ·b中至少有一个为0．× 5．若a≠0，a ·b= b ·c，则a=c × 6．若a · b = a · c ,则b≠c,当且仅当a=0 时成立． × 7．对任意向量 a 有 a2 | a |2 √
例3 已知 a 6, b 4, a b 12
1)求a与b的夹角 ;
2)求 a b ; 3)求(a 2b) (a 3b)
小结：