高数上期末考试复习A卷

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高数期末考试题(复习题)附答案

大一上学期高数期末考试一、单项选择题1. )(0),sin (cos )(　处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（　，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小；（C ）()x α是比()x β高阶的无穷小；（D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点；（D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。

4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.5、设22sin y x y e y -=，则dydx=（） (A) 22cos 2y xy y e + (B) 222cos yxy e y x+- (C) 0 (D) 222cos 2y xy y e x +- 6、设函数11()1xx f x e-=-，则（）。

(A) 0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点； (B) 0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点；(C) 0x =是()f x 的第一类间断点, 1x =是()f x 的第二类间断点； (D) 0x =是()f x 的第二类间断点, 1x =是()f x 的第一类间断点。

2016-2017学年高数试卷A卷

《高等数学》试卷，第1页，共4 页《高等数学》试卷，第2页，共4页江西应用科技学院2016—2017学年第一学期期末考试高等数学 A 卷机械设计制造及自动化、车辆服务与工程专业一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列极限存在的是（）A ．11lim 0-→x x eB ．xx e 10lim →C ．x x sin lim ∞→D ．221lim x x x -∞→2．若120lim(1)xx ax e -→+=则a=（）A. -2B. 12-C. 2D. 123．设⎩⎨⎧=≠-+=-0,00),11()(1x x x x x f 则0=x 是)(x f 的（）A 、可去间断点B 、无穷间断点C 、连续点D 、跳跃间断点4．函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =处可导的（）. A 、必要但非充分条件 C 、充分必要条件B 、充分但非必要条件 D 、既非充分又非必要条件5．31log d x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭( )32221111ln .;.log ;.;..ln 3ln 3ln 3xA B xdx C D dx x x x x --6. 若曲线ln(5+2)y x =在0x x =处的切线平行于直线23y x =-，则 x 0=（）A. -1B. 0C. 1D. -2二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的五个选项中有两个以上选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

多选、少选、错选均无分。

7. 若211limx x x kA x→++=- ，则k= ，A= 8. 曲线tan y x =在点(3π处的切线斜率为9. 函数3()3f x x x =-在[0,2]上的最小值是________________________10. 作直线运动的质点的运动方程是322+31s t t =-，则t=2时的瞬时速度为 _____11. 定积分dx x xx ⎰-+554231sin =___________三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）12. 求极限201limln(1)x x x →+⎰《高等数学》试卷，第3页，共4 页《高等数学》试卷，第4页，共4页…………………………………… 密 ……………………………… 封 …………………………. 线 ………………………………13. 已知yxe y -=1，求dxdy14. 设)(xe f y -=，)(x f ''存在，求22,dx y d dx dy15. 求曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点)1,0(的法线方程。

上海高二数学第一学期期末复习卷A版(重点中学版)2(含解析)

高二数学第一学期期末复习卷2本卷说明：1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考，具体考查范围与难度系数由不同学校而定。

2、考查内容：数列与数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵和行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线与线性规划、圆锥曲线一、填空题（每题3分，满分36分）1、若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析：由S n ＝23a n ＋13得：当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1，∴a n ＝(－2)n －1.2、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则a n ＝________.[解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.3、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且a n ＝a n －1a n －2(n ≥3)，则a 2 013＝________.解析：将a 1＝1，a 2＝2代入a n ＝a n －1a n －2得a 3＝a 2a 1＝2，同理可得a 4＝1，a 5＝12，a 6＝12，a 7＝1，a 8＝2，故数列{a n }是周期数列，周期为6，故a 2 013＝a 335×6＋3＝a 3＝2.4、设S n ，T n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，已知S n T n ＝2n ＋14n －2，n ∈N *，则a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝________.解析：由等差数列性质，a 10b 3＋b 18＋a 11b 6＋b 15＝a 10＋a 11b 1＋b 20＝a 1＋a 20b 1＋b 20＝(a 1＋a 20)×202(b 1＋b 20)×202＝S 20T 20＝2×20＋14×20－2＝4178.5、已知向量OA ＝(0,1)，OB ＝(1,3)，OC ＝(m ，m )，若AB ∥AC，则实数m ＝________.解析：由题意知，AB ＝OB －OA ＝(1,3)－(0,1)＝(1,2)，AC ＝OC －OA＝(m ，m )－(0,1)＝(m ，m －1)，∵AB ∥AC ，∴存在实数λ使得AB ＝λAC，即(1,2)＝λ(m ，m －1)．解得，λ＝－1，m ＝－1.6、已知向量a ＝(sin x ，cos x )，b ＝(1,2)，且a ∥b ，则tan x ＝________.解析：由a ∥b ，得2sin x ＝cos x ，则tan x ＝12.7、设e 1，e 2为单位向量，非零向量b ＝x e 1＋y e 2，x ，y ∈R .若e 1，e 2的夹角为π6，则|x ||b |的最大值等于________．解析：当x ＝0时，|x ||b |＝0，当x ≠0时，⎝⎛⎭⎫|x ||b |2＝x 2x 2＋y 2＋3xy ＝11＋⎝⎛⎭⎫y x 2＋3y x ＝1⎝⎛⎭⎫y x ＋322＋14≤4，所以|x ||b |的最大值是2，当且仅当y x ＝－32时取到最大值．8、直线x cos θ＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是________．解析：由题知k ＝－33cos θ，故k ∈⎣⎡⎦⎤－33，33，结合正切函数的图像，当k ∈⎣⎡⎦⎤0，33时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎦⎤0，π6，当k ∈⎣⎡⎭⎫－33，0时，直线倾斜角α∈⎣⎡⎭⎫5π6，π，故直线的倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π. 9、已知点A (1，2)，B (3，1)，则线段AB 的垂直平分线的点向式方程是_________.10、过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．解析：∵圆的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5可知圆心为(3,4)，半径为 5.如图可知：CO ＝5，∴OP ＝25－5＝2 5.在Rt △POC 中，OC ·PM ＝OP ·PC ，∴PM ＝25×55＝2.∴PQ ＝2PM ＝4.11、2＜m ＜6是方程x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的________条件．解析：若x 2m －2＋y26－m＝1表示椭圆，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＞0，6－m ＞0，m －2≠6－m ，∴2＜m ＜6且m ≠4，故2＜m ＜6是x 2m －2＋y 26－m＝1表示椭圆的必要不充分条件．12、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为___________．解析：由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，所以F (－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1.二、选择题（每题3分，满分12分）1、若M 为△ABC 所在平面内一点，且满足(MB －MC )·(MB ＋MC－2MA )＝0，则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B. 直角三角形C. 等腰三角形D.等边三角形解析：由(MB －MC )·(MB ＋MC －2MA )＝0，可知CB ·(AB ＋AC)＝0，设BC 的中点为D ，则AB ＋AC＝2AD ，故CB ·AD ＝0.所以CB ⊥AD .又D 为BC 的中点，故△ABC为等腰三角形．2、如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是（）．A. B. C. D.解析：由流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.3、过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点．若AF ＝3，则BF 的长为（）.A. B. C. D. 解析：由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又∵AF ＝3，由抛物线定义知，点A 到准线x ＝－1的距离为3，∴点A 的横坐标为2.将x ＝2代入y 2＝4x 得y 2＝8，由图知，y ＝22，∴A (2,22)， ∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．又⎩⎨⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2 2.由图知，点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－2，∴BF ＝12－(－1)＝32. 4、已知直线y ＝x ＋b 与平面区域C ：⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤2的边界交于A ，B 两点，若|AB |≥22，则b 的取值范围是（）．A.[－2，2]B.[－2，0]C.[0，22]431211242521211232D.[－22，22]解析：不等式⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤2，|y |≤2对应的区域如图，因为直线y ＝x ＋b 的斜率为1，由图像可知|CD |＝|EF |＝22，要使|AB |≥22，则－2≤b ≤2，即b 的取值范围是[－2,2]．三、解答题（本大题满分44分）1、已知数列{}a n 中，a 2＝1，前n 项和为S n ，且S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 1；(2)证明数列{}a n 为等差数列，并写出其通项公式；(3)设lg b n ＝a n ＋13n ，试问是否存在正整数p ，q (其中1<p <q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p ，q )；若不存在，说明理由．解：(1)令n ＝1，则a 1＝S 1＝1×(a 1－a 1)2＝0. (2)证明：由S n ＝n (a n －a 1)2，即S n ＝na n2，①得S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋12.②②－①，得(n －1)a n ＋1＝na n .③ 于是，na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1.④由③④，得na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1.又a 1＝0，a 2＝1，a 2－a 1＝1，所以数列{}a n 是以0为首项，1为公差的等差数列．所以a n ＝n －1.(3)假设存在正整数数组(p ，q )，使b 1，b p ，b q 成等比数列，则lg b 1，lg b p ，lg b q 成等差数列，于是2p 3p ＝13＋q3q .所以q ＝3q (2p 3p －13)．⑤易知(p ，q )＝(2,3)为方程⑤的一组解．当p ≥3，且p ∈N *时，2(p ＋1)3p ＋1－2p 3p ＝2－4p 3p ＋1<0，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2p 3p (p ≥3)为递减数列，于是2p 3p －13≤2×333－13<0，所以此时方程⑤无正整数解．综上，存在唯一正整数数组(p ，q )＝(2,3)，使b 1，b p ，b q 成等比数列． 2、已知向量m ＝(3sin 2x ＋2，cos x )，n ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m ·n .(1)求f (x )的最小正周期与单调增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若f (A )＝4，b ＝1，△ABC 的面积为32，求a 的值． [自主解答] 因为m ＝(3sin 2x ＋2，cos x )， n ＝(1,2cos x )，函数f (x )＝m ·n ，所以f (x )＝3sin 2x ＋2＋2cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋3. (1)f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .所以f (x )的单调增区间为πππ,π36k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦－+，，k ∈Z .(2)因为f (A )＝4，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＋3＝4，即sin ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝12. 由于0<A <π，所以2A ＋π6＝5π6，即A ＝π3.又因为S △ABC ＝12bc sin A ＝32且b ＝1，所以34c ＝32，解得c ＝2. 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，所以a ＝ 3.3、用矩阵变换的方法求解下列方程：321222=+-=+-=+-z y x z y x z y x4、已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴，y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 为原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当MA ·MB 取得最小值时，求直线l 的方程．解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k <0)， A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0，1－2k )， △AOB 的面积S ＝12(1－2k )⎝⎛⎭⎫2－1k ＝12⎣⎡⎦⎤4＋－4k ＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥12(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时，等号成立．故直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵MA ＝ 1k2＋1，MB ＝4＋4k 2， ∴MA ·MB ＝1k2＋1·4＋4k 2＝2 k 2＋1k2＋2≥2×2＝4，当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝－1时取等号，故直线方程为x ＋y －3＝0.5、已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.[自主解答] 由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．(2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝2 3.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则|QP ||QM |＝R r 1，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得|3k |1＋k 2＝1，解得k ＝±24.当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 24＋y 23＝1，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝－4±627.所以|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝187. 当k ＝－24时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187.。

高等数学A(一)期末试题及答案

济南大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课程高等数学A （一）考试时间 2013 年 12 月 31 日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。

………………一、填空题（每小题2分，共10分)（1) =-∞→x x x )11(lim e1 ．（2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ．(3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- 。

（4) =-⎰10211dx x 2π . (5） =⎰∞+121dx x1 ．二、选择题(每小题2分，共10分）（1） =∞→x x x 2sin lim (A ）（A ） 0. (B ） 1。

（C ） 2. （D)21。

（2) 设xx x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的（A) （A ）可去间断点. （B) 跳跃间断点。

(D ）连续点.（3）当0→x 时,下列变量中与x 是等价无穷小的是（B)（A) x 3sin . （B ） 1-x e 。

(D ） x +1.(4）函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的（C)(A ）充分必要条件. (B ）必要条件。

（C ）充分条件. (D ）以上都不对.(5）设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数,则下列等式正确的是（D ）（A) ⎰=')()(x f dx x f 。

（B ） C x f dx x f dx d +=⎰)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x-='⎰. （D ） )())((0x f dt t f x ='⎰.三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分)(1） 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 62)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x(2） 22)2(sin ln lim x x x -→ππ.解:)2(4sin cos lim )2(sin ln lim 222x x xx x x x --=-→→ππππ 812sin lim 41sin 12cos lim 4122-=---=⋅--=→→x x x x x x πππ (3) 设函数)(x y y =由方程0ln =+-y x y y 所确定，求：dxdy 和22dx y d 。

高数历年考题(第一学期)

历年高等数学(A)Ⅰ期末考试卷1998级一．试解下列各题（24分）1．讨论极限112lim 21-+-→x x x x 2.求x dt e e xt t x cos 1)(lim 0 0--⎰-→ 3.求⎰xdx arccos4．求dx x x ⎰-2cos sin π二．试解下列各题（35分）1．若函数⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1,11,01,1)(x x x x f 及x e x g =)(，确定)]([x g f 与)]([x f g 的间断点，指出其类型2．设)(x y y =由方程y x x arctg y +=所确定，求y ' 3．求⎰+41x x dx 4．求⎰+42sin 1πθθd 5．设)(x y y =由方程组⎩⎨⎧+=+=tt y arctgtt x 63所确定，求)(x y '' 三．求圆域222)(a c y x ≤-+ )0(c a <<绕x 轴旋转而成的旋转体的体积（10分）四．设有底面为等边三角形的一个直柱体，其体积为常量V （0>V ），若要使其表面积达到最小，底面的边长应是多少？（10分）五．设函数f (x ) 在[0,1]上可导且0< f (x )<1，在(0,1)上有1)(' ≠x f ，证明在(0,1)内有且仅有一个x ，使f (x )=x .（8分）六．连接两点M (3, 10, -5)和N (0, 12, z )的线段平行平面0147=-++z y x ，确定N 点的未知坐标（6分）七、自点P (2, 3, -5)分别向各坐标面作垂线，求过三个垂足的平面方程（7分）1999级一．试解下列各题（30分） 1．求)12(lim +-+∞→n n n n2．验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[-1,3]上的正确性3．x arctgx x x 30sin lim -→ 4．求⎰++dx x x 1322 5．设)(x y y =由方程1=++y xy x 确定，求y ' 二．试解下列各题（28分）1．设⎩⎨⎧+=+=t t y t t x 2222，求22dx y d 2．求⎰-πθθ 0 3)sin 1( d 3．求⎰1 0 dx e x4．试求空间直线⎩⎨⎧-=+=7652z y z x 的对称式方程三．求由y = ln x , y =0和 x = 2所围图形的面积及该平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积(12分)四．求函数⎰+=xtdt t y 0arctan )1(的极小值（12分）五．设j i a +=，k j b +-=2，求以向量b a,为边的平行四边形的对角线的长度(8分)六．证明：当0≠x 时，有不等式x e x +>1（10分）一、试解下列各题(30分)1. 求x x x )3l n (2lim+∞→ ； 2. 求dx x x⎰-31 ； 3. 设x x e e y -+=，求y '' ；4. 求曲线)2()1(2-+=x x y 的凹凸区间；5. 求过球面9)4()1()3(222=++++-z y x 上一点2)- 0, ,1(p 的切平面方程。

中山大学2019高数上期末考试A卷试题与答案

考试题（A 卷）一、计算下列数列或函数的极限（请从三道题目中任选二道题，多选的话则按照前两道题目给分。

每题5分，合计10分）1. n211lim 1x n n →∞⎛⎫+- ⎪⎝⎭.解（方法一）22n n22n(1)12111lim 1lim 11li 1.m x x n n n n x n n n n n e n →∞→∞--→∞-⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎛⎫⎢⎥=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦（方法二）222n 1nln 1211limnln 1limn 111lim 1li .m x x n n x x n n n n e n n eee e →∞→∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭→∞→∞-⎛⎫-+⋅⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭====2.2()()limxx x t f t dtx →-⎰，其中()f x 是一个连续函数.解220()()()()limlim()()()lim2()(0)lim 22.xx xx x x x x x t f t dtx f t dt tf t dtxxf t dt xf x xf x xf x f →→→→--=+-===⎰⎰⎰⎰3. 求二元函数()()()()44,0,0lim2ln x y x y x y →++的极限. 解（方法一）平面极坐标为(),ρθ。

由于()(),0,0x y →，不妨设11,22x y ≤≤，于是()()44444444max ,,21,414ln lnln 2ln 24ln ,x y x y x y x y ρρρρ≥+≥+=≤=-+所以()()()4402ln 6ln 22ln 0x y x y ρρ≤++≤-→()()()()44,0,0lim2ln 0x y x y x y →++=解（方法二）有界量与无穷小量之积是无穷小量，所以()()()()()()()()()()44,0,01444441,0,0444lim2ln 2lim ln 0x y x y x y x y x y x y x y x y →→++⎡⎤+⎢⎥=⋅++=⎢⎥⎢⎥+⎣⎦二、（8分）过原点作抛物线()y f x ==D 是该切线与上述抛物线及x 轴围成的平面区域. 求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.解设切点为()00,x y ，则00y y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 解方程组得()()00,2,1x y =。

《高等数学》期末考试A卷(附答案)

《高等数学》期末考试A卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题（每小题2分，共20分）1．设是正整数，为非零实数，若20001lim ()x x x x，则 _________________，______________________。

【答案】120012001,2．设)(x f 的定义域是]1,0[，且102a ，则()()f x a f x a 的定义域是____________________________ .【答案】1[,]a a3．2211sin()lim x x x x ______________________。

【答案】04．设1111010,(),x x x x e e x f x e e x，0 x 是)(x f 的___________间断点. 【答案】跳跃5．设24cos y x ，则dy ________________________. 【答案】3448sin cos x x x dx6．203sin limxx t dt x _________________________________.【答案】137．函数2412()()x f x x的渐近线有______________________________.【答案】20,x y8．函数()x f x x e 的单调递增区间为____________________________.【答案】(,0)9．若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f .【答案】C e x )sin( 10.[()()]aaf x f x dx ______________________________________.【答案】0二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．若下列极限存在，则成立的是( ) .A. 0()()lim '()x f a x f a f a x B. 0000()()lim '() x f x f x x f x xC. 0(12)(1)lim '(1)t f t f f tD. 4(8)(4)lim '(4)4x f x f f x【答案】B2．当0 x 时，与x 等价的无穷小量是( )A. x x 1sinsin B. xx sin C. x x 22 D. )1ln(x【答案】D3．当0x x 时，0'()f x ，当0x x 时，0'()f x ，则0x 必定是函数()f x 的（）A. 驻点B. 最大值点C.极小值点D. 以上都不对【答案】D4．设'()f x 存在且连续，则()'df x （）A. ()f xB. '()f xC. '()f x cD. ()f x c 【答案】B 5．设4()2xx f t dt，则40 f dx （）A. 16B. 8C. 4D. 2【答案】A三、计算下列各题（每小题5分，共35分）1. 求极限)sin 11(cot lim 0xx x x解: )sin 11(cot lim 0x x x x xx x xx x tan sin sin lim 030sin lim x xx x （0 x 时x sin ～x ，x tan ～x ）2031cos lim x x x 616sin lim 0 x x x2. 设3sin 2,0()9arctan 2(1),0xx ae x f x x b x x ，确定,a b 的值，使函数在0 x 处可导。

上海高二数学第一学期期末复习卷A版(重点中学版)2(含解析)

高二数学第一学期期末复习卷2本卷说明:1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考,具体考查范围与难度系数由不同学校而定。

2、考查内容:数列与数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵和行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线与线性规划、圆锥曲线一、填空题（每题３分,满分３6分)１、若数列｛ａn }的前n 项和S n =23a n +错误!未定义书签。

,则｛a n ｝的通项公式是a n =________. 解析：由S ｎ=错误!未定义书签。

ａn ＋13得：当n ≥2时，S ｎ－1＝错误!未定义书签。

a n -1+错误!未定义书签。

，∴当ｎ≥2时,a n =-2a ｎ－1，又n =1时,S 1=ａ1=错误!a 1＋错误!未定义书签。

，a 1=1,∴a n ＝(－2)n -1.2、已知数列{a ｎ}满足a １=1，ａn +1=３a n +２，则ａn =_＿_＿_＿＿_．[解析］ ∵a n ＋1＝３ａn ＋2，∴a ｎ+1+1＝3(a ｎ+１),∴错误!=３，∴数列{ａｎ+1}为等比数列,公比q =３，又ａ1+1=2,∴a n +1=2·3n -1，∴a n ＝2·3n －1－1.３、已知数列｛ａｎ}满足a 1＝１，a 2＝2，且a n =错误!未定义书签。

(n ≥３）,则a 2 0１3＝___＿____.解析:将ａ1=1，a 2=2代入a n =错误!得a ３＝错误!＝2,同理可得a 4=1，a 5＝错误!，ａ6=错误!，a ７=１,ａ8＝2,故数列｛ａn ｝是周期数列，周期为６，故a 2 0１3＝a 335×6＋3＝a 3＝2.4、设Ｓn ,T n 分别是等差数列｛a n }，{b n }的前n 项和,已知错误!=错误!,n ∈Ｎ*,则错误!未定义书签。

＋ａ１1b 6＋b 15＝___＿____．解析：由等差数列性质，错误!＋错误!=错误!=错误!未定义书签。

高数试题A卷试题及答案

４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有ｆ'（ｘ）〈０，ｆ"（ｘ）〉０，则在（ａ，ｂ）
内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为（）
①上升的凸弧 ②下降的凸弧 ③上升的凹弧 ④下降的凹弧
５．设Ｆ'(x) ＝Ｇ'(x)，则（）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数
ｄｐ
② 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ ───
ｄｙ
ｄｐ
③ 设ｙ'＝ｐ，则ｙ"＝ｐ───
３．下列说法正确的是（）
①若ｆ（ X ）在 X＝Xo连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo可导
②若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可导，则ｆ（ X ）在X＝Xo不连续
③若ｆ（ X ）在 X＝Xo不可微，则ｆ（ X ）在X＝Xo极限不存在
④若ｆ（ X ）在 X＝Xo不连续，则ｆ（ X ）在X＝Xo不可导
_______
R √R2－ｘ2
８．累次积分∫ ｄｘ ∫ ｆ（Ｘ2 ＋Ｙ2 ）ｄｙ化为极坐标下的累次积分为
____________。
0 0
n=1 n=1000
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，
１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
（一）每小题１分，共１０分
１
高数试题 A卷
一、填空题（每小题１分，共１０分）
________ １
１．函数ｙ＝ａｒｃｓｉｎ√１－ｘ2 ＋ ────── 的定义域为
_________
３
ｘｙ
１７．ｌｉｍｘｙｓｉｎ ───── ＝（）
x→0 ｘ2＋ｙ2

2005-2006第一学期高数期末A卷

x 1

2
x
2．求极限
lim[(1 x)e
x
1 x
x]
第 2 页共 5 页
2
对外经济贸易大学信息学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
f x) 二阶可导，求 y 。 3. 设 y f ln 1 x ，其中（
4. 设参数方程
x ln(1 t 2 ) y t arctgt
B D
f '(0) f (1) f (0) f '(1) f '(0) f '(1) f (1) f (0)
第 1 页共 6 页
1
对外经济贸易大学经贸学院
高等数学（上）
期末考试试卷 A
5 3．函数 y ln sin x 在 , 上满足罗尔定理的 = （ 6 6
（1） f x 在 , 上连续；（2） f x 在 , 上可导。解：（1）显然 f x 除了 x 0 外必连续，而 f 0 0 lim ln ax b ln b f 0 ， f 0 0 lim sin x 0 ，
D
）。
(B) ( x x0 )[ f ( x) f ( x0 )] 0 ; (D) lim
t x0
f (t ) f ( x) 0 ( x x0 ) ; (t x) 2
2
t x0
f (t ) f ( x) 0 (t x) 2
( x x0 ) 。
得分
三、计算题：（每题 6 分，共 42 分） 1．求极限 lim(1 x ) tan
2
5．设 f ( x) 为可导函数，且 lim 切线斜率是_________.

大学第一学期高等数学期末考试A(含答案)打印

第一学期期末考试机电一体化专业《高等数学》试卷( A )1．函数()314ln 2-+-=x x y 的定义域是（),2[]2,(∞+--∞Y ）。

2．若函数52)1(2-+=+x x x f ，则=)1(f （ -5 ）。

3．=→xx x 20lim （ 0 ） 4．函数xxx f -=)(的间断点是x =（ 0 ）。

5．设735223-+-=x x x y 则y '＝（ 31062+-x x ）。

1、设()00=f , 且()00='f 存在, 则()=→xx f x 0lim ( C )；Ａ. ()x f ' Ｂ. ()0f ' Ｃ. ()0f Ｄ. ()021f 2、17下列变量中是无穷小量的有 ( C )；Ａ. )1ln(1lim0+→x x Ｂ. )1)((2()1)(1(lim 1-++-→x x x x x Ｃ. x x x 1cos 1lim ∞→ Ｄ. xx x 1sin cos lim 0→3、下列各组函数为同一函数的原函数的是 ( C )；Ａ. 31)(x x F =与324)(x x F -= Ｂ. 31)(x x F =与32214)(x x F -=Ｃ. C x x F +=21sin 21)(与x C x F 2cos 41)(2-=Ｄ.x x F ln )(1=与22ln )(x x F =4、在函数()x f 连续的条件下, 下列各式中正确的是 ( C )；Ａ. ()()x f dx x f dx d b a =⎰ Ｂ. ()()x f dx x f dx d ab =⎰Ｃ. ()()x f dt t f dx d x a =⎰ Ｄ. ()()x f dt t f dxd ax =⎰ 5、下列说法正确的是 ( D )；Ａ. 导数不存在的点一定不是极值点Ｂ. 驻点肯定是极值点Ｃ. 导数不存在的点处切线一定不存在Ｄ. ()00='x f 是可微函数()x f 在0x 点处取得极值的必要条件1、函数的三要素为: 定义域, 对应法则与值域. (√ )2、函数)(x f 在区间[]b a ,上连续是)(x f 在区间[]b a ,上可积的充分条件。

上海交通大学_高等数学期末试题(A卷)(附参考答案)

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高等数学研究
9:;<，!""#
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试题照登
上海交通大学·高等数学期末试题（! 卷）（附参考答案）
!""!年第一学期
一、选择题（每题#分，共$%分，每题选项仅有一项符合要求，把所选项前的字母填入括号内）
$&"（#）在$ 连续，且’#(!)$"（（##）**$"（）%$）+&""，其中 % 是偶数，则 …………………………（,）
!&$ 是"（#）的极大值点； ’&$ 是"（#）的极小值点；
(&$ 不是"（#）的极大值点； )&不能判别$ 是否"（#）的极值点&
!&"（#），*（#）均为恒不为零的可微函数，且"+（#）*（#）**+（#）"（#）""，则当#"$ 时，成立不
等式 …………………………………………………………………………………………………（-）
!
$ #& #1 #1-#!/# 0!!& "
$ 1&# !"时，##2(3##5/5是"#$ 的等价无穷小，则$ 0 1 " 0 "
# 1
&
!#
$ %&"（#）为连续函数，6（#）0 "（#.5）/5，则 6+（#）0#"（##）-"（#）& "
三、计算下列积分（$4分）

2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷(A类)

2017级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类)一、单项选择题（本题共15分，每小题3分）1. 下列曲线中必有渐近线的是（）（A ）cos =+y x x ；（B ）2cos =+y x x ；（C ）1cos =+y x x ；（D ）21cos =+y x x。

2. 平面221x y z +-=与直线212122x y z ---==-的夹角是（）（A ）8arcsin 9；（B ）8arccos 9；（C ）4arcsin 9；（D ）4arccos 9。

3. 若21()|1|2()d f x x f x x -=-+⎰，则()f x 等于（）（A ）1()|1|2f x x =-+；（B ）()|1|1f x x =--；（C ）3()|1|5f x x =-+；（D ）3()|1|5f x x =--。

4. 下列选项中，肯定不是某个二阶常系数线性微分方程的一组解的是（）（A ）e x x +，22e x x --，2e x x -+；（B ）e e x x x -+，2+e x x xe x -，e e x x x x -+；（C ）e 1x x -+，2x -，e x x -；（D ）(e 1)x x +，e 2e x x x --，+2+2e x x xe x -。

5. 对于命题：① 设函数f 在R 上可积，则f 在R 上连续的充要条件是变上限积分 0()()d xx f t t Φ=⎰在R 上可导； ② 若R 上的单调函数f 有原函数，则对于任意取定的常数a 和b ，必存在 ξ∈R ，使得()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，下述选项正确的是（）（A ）①错误，②正确；（B ）①正确，②错误；（C ）①和②均正确；（D ）①和②均错误。

二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设可导函数()=y f x 由方程cos()ln 1+-=xy y x 确定，则2lim [()1]n n f n→∞-=___________。

高数a上册期末试题及答案

高数a上册期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20题）1. 设函数 $f(x) = \sqrt{3x-2}$，则其定义域为A. $(-\infty, \frac{2}{3}]$B. $\left[ \frac{2}{3}, \infty \right)$C. $[\frac{2}{3}, \infty)$D. $(-\infty, \frac{2}{3}) \cup [\frac{2}{3}, \infty)$答案：C2. 函数 $y = \sin^2 x + \cos^2 x$ 的值域为A. $(-\infty, 1]$B. $[0, 1]$C. $[1, \infty)$D. $[\frac{1}{2}, 1]$答案：B3. 设函数 $f(x) = e^x \ln x$，则 $f'(x) = $A. $e^x \ln x$B. $e^x \left( \frac{1}{x} + \ln x \right)$C. $e^x \left( \ln x - \frac{1}{x} \right)$D. $e^x \left( \frac{1}{x} - \ln x \right)$答案：B4. 若直线 $y = 3x + b$ 与抛物线 $y = ax^2 + bx + 1$ 相切，则 $a + b = $A. 2B. 3C. 4D. 5答案：D5. 函数 $f(x) = \frac{x-1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的渐近线为A. $y = x - 1$B. $y = x + 1$C. $y = -x + 1$D. $y = -x - 1$答案：A6. 函数 $f(x) = \ln(1 + e^{2x})$ 的反函数为A. $f^{-1}(x) = \ln(x) - \ln(1 - x^2)$B. $f^{-1}(x) = \ln(x^2 - 1)$C. $f^{-1}(x) = \frac{e^x - 1}{2}$D. $f^{-1}(x) = \frac{1}{2} \ln(x) + \ln(1 - x)$答案：D7. 设函数 $f(x) = \arcsin (\sin x)$，则当 $x = \frac{5\pi}{6}$ 时，$f(x) =$A. $\frac{5\pi}{6}$B. $\frac{\pi}{6}$C. $\frac{\pi}{3}$D. $\frac{2\pi}{3}$答案：C8. 函数 $f(x) = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$ 的最大值为A. 1B. $\sqrt{3}$C. 2D. $2\sqrt{3}$答案：D9. 函数 $f(x) = x^2 + 2x + 1$ 在区间 $[-1, 1]$ 上的最大值为A. 0B. 1C. 2答案：D10. 函数 $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ 的图像关于直线 $x = a$ 对称，则 $a = $A. 1B. 0C. -1D. 2答案：B11. 设 $\sin \alpha = \frac{1}{4}$，$\cos \beta = \frac{4}{5}$，且$\alpha$ 和 $\beta$ 都是第二象限角，则下列四个式子中成立的是A. $\sin (\alpha - \beta) = -\frac{3}{4}$B. $\sin (\alpha + \beta) = \frac{3}{8}$C. $\cos (\alpha - \beta) = \frac{1}{5}$D. $\cos (\alpha + \beta) = \frac{2}{5}$答案：C12. 如果点 $A(1, 2)$ 在抛物线 $y = -x^2 + 3x + k$ 上，那么 $k = $A. -3B. -5D. -9答案：B13. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12$，则 $f'(x)$ 的零点有A. -2, 2B. -1, 3C. -4, 3D. -1, 4答案：A14. 设点 $P(x, y)$ 满足 $y^2 = px$，其中 $p > 0$ 是常数，则焦点所在的直线方程为A. $y = -\frac{p}{2}$B. $x = -\frac{p}{2}$C. $y = \frac{p}{2}$D. $x = \frac{p}{2}$答案：B15. 函数 $f(x) = x^3 - 3x + 1$ 在区间 $[0, 2\pi]$ 上的最小值为A. -1B. 0D. 2答案：A16. 设直线 $y = 2x + 1$ 与曲线 $y = x^2 + bx + c$ 相切，则 $b + c = $A. 0B. $\frac{1}{2}$C. 1D. 2答案：C17. 设函数 $f(x) = (1 - x^2) \cos x$，则 $f''(x)$ 的一个零点在A. $(0, \frac{\pi}{2})$B. $(0, \pi)$C. $(\pi, 2\pi)$D. $(\pi, 3\pi)$答案：B18. 设函数 $f(x) = \sin^2 x - \sqrt{3} \sin x \cos x + \cos^2 x$，则$f(x)$ 的最大值为A. 2B. $2\sqrt{2}$C. 3D. $2 + \sqrt{3}$答案：C19. 设函数 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$，则 $f(x) \cdot g(x) = $A. $e^{x^2}$B. $x^2 e^x$C. $x^2 e^{x^2}$D. $x^2 + e^x$答案：B20. 设 $a > 0$，则 $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^a}{e^x}$ 的值为A. 0B. $\frac{1}{e}$C. 1D. $+\infty$答案：A二、计算题（每题10分，共4题）1. 求函数 $f(x) = \frac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ 的极限 $\lim\limits_{x\to 1} f(x)$.解：使用“分子分母可约”的性质，可将函数 $f(x)$ 化简为 $f(x) = 2x - 1$，则 $\lim\limits_{x \to 1} f(x) = \lim\limits_{x \to 1} (2x - 1) = 2(1) - 1 = 1$.答案：12. 求曲线 $y = e^x$ 与直线 $y = kx$ 相交的两个点的坐标，其中 $k > 0$ 是常数.解：将曲线 $y = e^x$ 和直线 $y = kx$ 代入方程中，得到 $e^x = kx$，然后可以使用迭代法或图像法求得相交点的坐标.答案：相交点的坐标为 $(x_1, e^{x_1})$ 和 $(x_2, e^{x_2})$，其中$x_1$ 和 $x_2$ 是满足方程 $e^x = kx$ 的两个解.3. 求曲线 $y = \sin x$ 与直线 $y = x$ 相交的点的个数，并说明理由.解：将曲线 $y = \sin x$ 和直线 $y = x$ 代入方程中，得到 $\sin x = x$，然后可以通过分析函数的周期性和图像来确定相交点的个数.答案：方程 $\sin x = x$ 的解存在无穷个，但相交点的个数取决于给定的区间. 在区间 $[0, \pi]$ 上，方程有一个解；在区间 $[2\pi, 3\pi]$ 上，方程又有一个解. 因此，相交点的个数是不确定的.4. 求函数 $y = x^2 + x$ 在区间 $[-2, 2]$ 上的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值的点.解：首先求导数 $y' = 2x + 1$，然后令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{1}{2}$，将 $x = -2, -\frac{1}{2}, 2$ 代入函数 $y = x^2 + x$，得到对应的 $y$ 值. 最大值为 $y = y_{\text{max}}$ 对应的点为 $(-\frac{1}{2},y_{\text{max}})$，最小值为 $y = y_{\text{min}}$ 对应的点为 $(-2,y_{\text{min}})$ 和 $(2, y_{\text{min}})$.答案：最大值为 $y_{\text{max}} = \frac{5}{4}$，取得最大值的点为 $(-\frac{1}{2}, \frac{5}{4})$；最小值为 $y_{\text{min}} = -2$，取得最小值的点为 $(-2, -2)$ 和 $(2, -2)$.三、证明题（每题20分，共2题）1. 证明函数 $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$ 的导数 $f'(x)$ 恒大于零.证明：求导数 $f'(x) = x^2 - 2x + 2$，我们可以通过判别式来判断 $f'(x)$ 的正负性.判别式为 $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4$，由于 $\Delta < 0$，所以判别式小于零，即 $f'(x)$ 的二次项系数小于零，说明二次项的系数是正的，从而导数 $f'(x)$ 恒大于零.证毕.2. 证明函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证明：要证明函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称，需证明对于任意$x$ 值，函数 $f(x)$ 和 $f(2 - x)$ 的函数值相等.将 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 3$ 代入 $f(2 - x)$，得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 -3(2 - x)^2 + 3$，对其进行展开和化简得到 $f(2 - x) = (2 - x)^3 - 3(2 -x)^2 + 3 = x^3 - 3x^2 + 3 = f(x)$，即 $f(x) = f(2 - x)$，证明了函数的图像关于直线 $x = 1$ 对称.证毕.四、应用题（每题50分，共1题）1. 求函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值.解：求导函数 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3$，令 $f'(x) = 0$，求得驻点的 $x$ 坐标，然后将其代入原函数求得对应的 $y$ 坐标.求导的一阶导数方程为 $f'(x) = 3x^2 + 2x - 3 = 0$，通过求根公式求得 $x = -1$ 和 $x = \frac{1}{3}$，将其代入原函数 $f(x)$ 得到对应的$y$ 坐标.将 $x = -1$ 代入 $f(x)$，得到 $f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 3(-1) = -1 + 1+ 3 = 3$，将 $x = \frac{1}{3}$ 代入 $f(x)$，得到 $f(\frac{1}{3}) =(\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - 3(\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} +\frac{1}{9} - 1 = 0$.因此，函数 $f(x) = x^3 + x^2 - 3x$ 的驻点及其对应的极值为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$.答案：驻点为 $(-1, 3)$ 和 $(\frac{1}{3}, 0)$，分别对应极大值和极小值.。

上海高二数学第一学期期末复习卷A版(重点中学版)1(含解析)

高二数学第一学期期末复习卷1本卷说明：1、适用于上海市重点、区重点高中期末考试复习，试卷仅供参考，具体考查范围与难度系数由不同学校而定。

2、考查内容：数列与数学归纳法、平面向量的坐标表示、矩阵和行列式初步、算法初步、坐标平面上的直线与线性规划、圆锥曲线一、填空题（每题3分，满分36分）1、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n 等于________．解析：a 2＝a 1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋11，a 3＝a 2＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12，…，a n ＝a n －1＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n －1， ∴a n ＝a 1＋ln ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫21⎝⎛⎭⎫32⎝⎛⎭⎫43…⎝⎛⎭⎫n n －1＝2＋ln n .2、数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________.[解析] 由已知得b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 2－a 1＝－6，a 3－a 2＝－4，…，a 8－a 7＝6，由累加法得a 8－a 1＝－6＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，所以a 8＝a 1＝3. 3、已知数列{a n }满足a s t ＝a s a t (s ，t ∈N *)，且a 2＝2，则a 8＝________.解析：令s ＝t ＝2，则a 4＝a 2×a 2＝4，令s ＝2，t ＝4，则a 8＝a 2×a 4＝8.4、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝lg ⎝⎛⎭⎫1＋2n 2＋3n ，n ＝1,2，…，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________.解析：a n ＝lg n 2＋3n ＋2n (n ＋3)＝lg(n 2＋3n ＋2)－lg [n (n ＋3)]＝[lg(n ＋1)－lg n ]－[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]，所以S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝[lg(n ＋1)－lg n ]＋[lg n －lg(n －1)]＋…＋(lg 2－lg 1)－{[lg(n ＋3)－lg(n ＋2)]＋[lg(n ＋2)－lg(n ＋1)]＋…＋(lg 4－lg 3)}＝[lg(n ＋1)－lg 1]－[lg(n ＋3)－lg 3]＝lg n ＋1n ＋3＋lg 3.5、已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于________．解析：由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)．6、在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2PC ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC 等于________．解析：BC ＝3PC ＝3(2PQ －PA )＝6PQ －3PA ＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．7、已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0. 若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是________．解析：以a 和b 分别为x 轴和y 轴正向的单位向量建立直角坐标系，则a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，设c ＝(x ，y )，则c －a －b ＝(x －1，y －1)，∵|c －a －b |＝1，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.即(x ，y )是以点M (1,1)为圆心，1为半径的圆上的点，而|c |＝x 2＋y 2.所以|c |可以理解为圆M 上的点到原点的距离，由圆的性质可知，|OM |－r ≤|c |≤|OM |＋r ，即|c |∈[2－1，2＋1]．8、在平面直角坐标系xOy 中，若与点A (2,2)的距离为1且与点B (m,0)的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意知以A (2,2)为圆心，1为半径的圆与以B (m,0)为圆心，3为半径的圆相交，所以4＜(m －2)2＋4＜16，所以－23＋2＜m ＜23＋2，且m ≠2. 答案：(2－23，2)∪(2,2＋23)9、若直线的法向量恰好为直线的方向向量，则实数m 的值为________.解析：m =1或－210、设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是________．解析：∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离d ＝r ，d ＝|m ＋1＋n ＋1－2|(m ＋1)2＋(n ＋1)2＝1，整理得m ＋n ＋1＝mn ，又m ，n ∈R ，有mn ≤(m ＋n )24，∴m ＋n ＋1≤(m ＋n )24，即(m ＋n )2－4(m ＋n )－4≥0，解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋2 2.11、已知椭圆的焦点为双曲线x 216－y 29＝1的顶点，且经过抛物线x 2＝12y 的焦点，则椭圆的方程为________．解析：双曲线x 216－y 29＝1的顶点为(－4,0)，(4,0)．由题意，知椭圆的焦点为(－4,0)，(4,0)，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝4.03)2(=++-my x m 03=--my x抛物线x 2＝12y 的焦点为(0,3)，由点(0,3)在椭圆上，可知点(0,3)为椭圆短轴的一个端点，故b ＝3. 所以a 2＝b 2＋c 2＝32＋42＝25. 故所求椭圆方程为x 225＋y 29＝1.12、已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，准线与y 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且NF ＝32MN ，则∠NMF ＝________.解析：过N 作准线的垂线，垂足为H ，则NF ＝NH ＝32MN ，如图． ∴cos ∠MNH ＝32，∴∠MNH ＝π6，∴∠NMF ＝π6.二、选择题（每题3分，满分12分）1、已知P 为锐角三角形ABC 的AB 边上一点，A ＝60°，AC ＝4，则|PA ＋3PC |的最小值为（） A. B. C. 6 D. [自主解答] 因为PC ＝AC －AP ，所以|PA ＋3PC |2＝|3AC －4AP |2＝9AC 2－24AP ·AC ＋16AP 2.设|AP |＝x ，则|PA ＋3PC |2＝16×9－48x ＋16x 2＝16(x 2－3x ＋9)．因为三角形ABC 是锐角三角形，所以0<x <8，则当x ＝32时，|PA ＋3PC |2取得最小值为16×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫322－3×32＋9＝108，故|PA ＋3PC |的最小值为108＝6 3.2、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则a ＝________.A. 3B. 4C. 5D. 6⎝⎛⎭⎫11－12＋解析：依框图知：当k ＞a 时，S ＝1＋11×2＋12×3＋…＋1k (k ＋1)＝1＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1＝1＋1－12＋12－13＋…＋1k －1k ＋1＝2－1k ＋1.当S ＝95时，k ＝4，接着继续计算“k ＝k ＋1”，所以4≤a ＜5.那么，a =43、已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是（）．A. B. C. D.33363924252628解析：抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)．因为P 到此抛物线准线的距离d 1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，所以d 1＋d 2的最小值为点F 到直线x ＋y －10＝0的距离|－2＋0－10|2＝6 2.4、若实数a ，b ，c 成等差数列，点P (－1，0)在动直线ax ＋by ＋c ＝0上的射影为M ，已知点N (3，3)，则线段MN 长度的最大值是（）．A.5＋ 2B. 5－ 2C.5D.62,解析：由题可知2b ＝a ＋c ，∴直线方程为2ax ＋(a ＋c )y ＋2c ＝0，即a (2x ＋y )＋c (y ＋2)＝0，∴动直线ax ＋by ＋c ＝0过定点A (1，－2)．设点M (x ，y )，由MP ⊥MA 可求得点M 的轨迹方程为圆Q ：x 2＋(y ＋1)2＝2，故线段MN 长度的最大值为|QN |＋r ＝5＋ 2.三、解答题（本大题满分44分）1、已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 1＋a 2＝16且S n ＝2S n －1＋n ＋4(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{}a n 的通项a n ；(2)令b n ＝na n ，求{}b n 的前n 项和T n ，并判断是否存在唯一不等于1的n 使T n ＝22n －17成立？若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由已知S n ＝2S n －1＋n ＋4，可得S n －1＝2S n －2＋n ＋3(n ≥3，n ∈N *)，两式相减得，S n －S n －1＝2(S n －1－S n －2)＋1，即a n ＝2a n －1＋1，从而a n ＋1＝2(a n －1＋1)，当n ＝2时，S 2＝2S 1＋6，则a 2－a 1＝6，又a 1＋a 2＝16，所以a 1＝5，a 2＝11. 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)，故总有a n ＋1＝2(a n －1＋1)，n ≥2，n ∈N *. 又a 1＝5，a 1＋1≠0，从而a n ＋1a n －1＋1＝2(n ≥2，n ∈N *)，即数列{}a n ＋1是以6为首项，2为公比的等比数列，则a n ＋1＝6·2n －1，故a n ＝3×2n －1.(2)由(1)，知T n ＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n )＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6，T n －(22n －17)＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2－22n ＋23＝3(n －1)·2n ＋1－12(n 2＋45n －46)＝12(n －1)[6·2n ＋1－(n ＋46)]，令f (n )＝6·2n ＋1－n －46，因为f (n ＋1)－f (n )＝6·2n ＋1－1>0，所以f (n )单调递增，观察可知f (2)＝6·23－(2＋46)＝0，所以存在唯一不为1的n 使T n ＝22n －17成立，此时n ＝2. 2、已知O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM ＝t 1OA ＋t 2AB .(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．解：(1) OM ＝t 1OA ＋t 2AB ＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)．当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎪⎨⎪⎧4t 2<0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2<0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明：当t 1＝1时，由(1)知OM ＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB ＝OB －OA ＝(4,4)，AM ＝OM －OA ＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB ，∴不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． 3、已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 201对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，求点P 的坐标．解：(1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是M ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 20 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)．4、已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6，6)，C (－2，0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的点方向式方程，并写出线段BC 的中垂线的点法向式方程．解：(1)平行于BC 边的中位线就是AB ，AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标分别为⎝⎛⎭⎫72，1，⎝⎛⎭⎫－12，－2，所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1272＋12，整理得一般式由方程为6x －8y －13＝0，截距式方程为x 136－y138＝1.(2)因为BC 边上的中点为(2,3)，所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －12－1，即一般式由方程为7x －y －11＝0，点方向式方程略.5、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)，且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA ＋OB 与PQ 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：(1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.①直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，0. (2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)则OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，由方程①得x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.② 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4.③因P (0,2)、Q (6,0)，PQ ＝(6，－2)，所以OA ＋OB 与PQ 共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)，将②③代入上式，解得k ＝－34.而由(1)知k ∈⎝⎛⎭⎫－34，0，故没有符合题意的常数k . 6、已知：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，且，椭圆上任意一点到右焦点F 的距离的最大值为2＋1.(1)求椭圆的方程；(2)已知点C (m,0)是线段OF 上一个动点(O 为坐标原点)，是否存在过点F 且与x 轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 点，使得AC ＝BC ？并说明理由．解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22a ＋c ＝2＋1，∴⎩⎨⎧a ＝2c ＝1，∴b ＝1，∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)得F (1,0)，∴0≤m ≤1. 假设存在满足题意的直线l ，c a 2=设l 的方程为y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1中，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝－2k2k 2＋1.设AB 的中点为M ，则M ⎝⎛⎭⎫2k 22k 2＋1，－k2k 2＋1.∵AC ＝BC ，∴CM ⊥AB ，即k CM ·k AB ＝－1， ∴k2k 2＋1m －2k 22k 2＋1·k ＝－1，即(1－2m )k 2＝m .∴当0≤m ≤12时，k ＝±m1－2m，即存在满足题意的直线l ；当12≤m ≤1时，k 不存在，即不存在满足题意的直线l .。

高等数学上期末考试试题及参考答案

高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} $ 的反函数$ f^{-1}(x) $ 的定义域为（）A. $ (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) $B. $ [0, +\infty) $C. $ (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $D. $ (-1, 1) $答案：C2. 设函数 $ f(x) = \ln(2x - 1) $，则 $ f'(x) $ 的值为（）A. $ \frac{2}{2x - 1} $B. $ \frac{1}{2x - 1} $C. $ \frac{2}{x - \frac{1}{2}} $D. $ \frac{1}{x - \frac{1}{2}} $答案：A3. 设 $ f(x) = e^x + e^{-x} $，则 $ f''(x) $ 的值为（）A. $ e^x - e^{-x} $B. $ e^x + e^{-x} $C. $ 2e^x + 2e^{-x} $D. $ 2e^x - 2e^{-x} $答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 $ x = 0 $ 处可导但不可微？（）A. $ f(x) = |x| $B. $ f(x) = \sqrt{x} $C. $ f(x) = \sin x $D. $ f(x) = \cos x $答案：A5. 设 $ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 $，则 $ f'(0) $ 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 $ f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) $ 的导数 $ f'(x) $ 为_________。

高三数学上学期期末考试试题文含解析A 试题

2021届高三上学期期末考试数学〔文〕试题本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

本套试卷一共分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

第I 卷〔选择题一共60分〕考前须知：1．答第I 卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．全集U=R ，集合{}02|2≥+=x x x A ，那么[U A= A ．[]0,2-B ．()0,2-C ．(][)+∞⋃-∞-,02,D ．[]2,0【答案】B{}2|20{02}A x x x x x x =+≥=><-或，所以{20}UA x x =-<<，所以选B.2． ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα那么)4tan(απ-等于 A ．7B ．71C ．71-D ．7-【答案】B【解析】因为 ,54cos ,23,-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∈αππα所以3sin 5α=-，3tan 4α=。

所以3tantan 1144tan()3471tan tan 144παπαπα---===++，选B. 3．假如等差数列{}n a 中，15765=++a a a ，那么943...a a a +++等于A ．21B ．30C ．35D ．40【答案】C【解析】由15765=++a a a 得663155a a ==，。

所以3496...77535a a a a +++==⨯=，选C. 4．要得到函数)23sin(-=x y 的图象，只要将函数x y 3sin =的图象 A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位【答案】D【解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-，所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位，即可得到)23sin(-=x y 的图象，选D.5．“1-=m 〞是 “直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直〞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当210m -=，即12m =时，两直线方程为4x =-和13302x y ++=，此时两直线不垂直。

高三数学上学期期末考试试题文含解析A 试题

2021届高三上学期期末考试数学〔文〕试题本套试卷一共分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，一共150分，考试时间是是120分钟。

第I 卷〔选择题一共60分〕考前须知：1．答第I 卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。

一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

所以3496...77535a a a a +++==⨯=，选C.4．要得到函数)23sin(-=x y 的图象，只要将函数x y 3sin =的图象 A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位C ．向左平移32个单位 D ．向右平移32个单位【答案】D【解析】因为2sin(32)sin 3()3y x x =-=-，所以只需将函数x y 3sin =的图象向右平移32个单位，即可得到)23sin(-=x y 的图象，选D.5．“1-=m 〞是 “直线02)12(=+-+y m mx 与直线033=++my x 垂直〞的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当210m -=，即12m =时，两直线方程为4x =-和13302x y ++=，此时两直线不垂直。

高三数学上学期期末考试试题A卷文含解析试题

宁夏六盘山高级中学2021届高三数学上学期期末考试试题〔A 卷〕文〔含解析〕测试时间是：120分钟满分是：150一.选择题：〔每一小题5分，一共60分，每一小题只有一个答案是正确的〕1.{}24410M x x x =-+=，{}1P x ax ==，假设P M ⊆，那么a 的取值集合为〔〕 A. {}2 B. {}0C. {}0,4D. {}0,2【答案】D 【解析】【分析】先求解集合,M N ，再根据集合之间的关系，确定参数的值.【详解】因为24410x x -+=，解得12x =，故集合12M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭. 当0a =时，1ax =没有实数根，故P =∅，满足P M ⊆；当0a ≠时，1ax =，解得1x a =，故集合1P a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，假设满足P M ⊆，那么112a =，解得2a =. 综上所述，{}0,2a ∈. 应选：D.【点睛】此题考察由集合之间的关系，求参数值的问题，属根底题.2.复数2aii+-是纯虚数〔i 是虚数单位〕，那么实数a 等于〔〕A. 2-B. 2C. 1-D. 0【答案】D 【解析】【分析】利用复数的运算法那么，化简复数，根据其类型，列方程计算即可.【详解】因为2ai i +-2222i ai a i i+==-+-，因为其是纯虚数，故可得0a -=，解得0a =. 应选：D.【点睛】此题考察复数的运算，以及由复数的类型求参数值的问题，属根底题.3.假设x ，y 满足2,1,2,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，那么2x y +的最大值为〔〕A. 8B. 9C. 2D. 10【答案】A 【解析】【分析】根据题意，画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求得目的函数的最大值. 【详解】由题可知，不等式组表示的平面区域如下列图所示：目的函数2z x y =+，可以整理为2y x z =-+，与直线2y x =-平行. 数形结合可知，当且仅当目的函数过点()3,2A 时，获得最大值. 那么2x y +的最大值为2328⨯+=. 应选：A.【点睛】此题考察简单线性规划求目的函数最值的问题，属根底题. 4.直线1y kx =+被圆222x y +=截得的弦长为2，那么k 的值是( ) A. 0B. 12±C. ±1D. 22±【答案】A 【解析】【分析】利用圆的弦的性质，通过勾股定理求出k .【详解】圆心为(0,0)2；圆心到直线的间隔为21d k =+2，所以212d +=，解得0k =，应选A.【点睛】此题主要考察直线和圆的位置关系，利用弦长求解参数.直线和圆相交弦长问题，一般通过勾股定理来建立等式.5.等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，那么4a =( ) A. 6 B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】设公比为q ，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q ，即可得到所求值．【详解】12,,6a a 成等差数列，得12642a a +==，即：14a q =，2q = 所以，341a a q =＝16应选C ．【点睛】此题考察等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考察方程思想和运算才能，属于根底题．6.假设角θ的始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线2y x =上，那么sin 2θ=〔〕 A. 45-B.35C.45D.35【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知tan θ，利用同角三角函数关系，将目的式转化为tan θ的代数式，代值计算即可.【详解】因为角θ终边在直线2y x =上，故可得2tan θ=；又22222442sin cos tan 1415sin cos tan sin θθθθθθθ====+++.应选：C.【点睛】此题考察正弦的倍角公式，由角度终边所在位置求解三角函数值，属综合根底题.7.过点2(1)A ，的直线在两坐标轴上的截距之和为零，那么该直线方程为〔〕 A. 10x y -+=B. 30x y +-=C. 20x y -=或者+30x y -=D. 20x y -=或者10x y -+=【答案】D 【解析】【分析】设直线方程为(1)2y k x =-+，计算截距得到2210k k--+=，计算得到答案. 【详解】易知斜率不存在时不满足；设直线方程为(1)2y k x =-+，那么截距和为：2210k k--+=解得1k =或者2k = 故直线方程为：1y x =+和2y x = 应选D【点睛】此题考察了直线方程，意在考察学生的计算才能.8.假如双曲线的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，一条渐近线方程为y =，那么经过双曲线焦点且垂直于x 轴的弦的长度为〔〕A. B. C. 2D. 1【答案】A 【解析】【分析】根据题意，先求出双曲线的方程，再计算出通径的长度即为所求.【详解】设双曲线方程为22221x y a b-=，由题可知3,2bc a==，结合222a b c +=，解得2223,6,9a b c ===.故双曲线的通径长2212433b a ==. 应选：A.【点睛】此题考察双曲线方程的计算，以及通径长度的计算，涉及由抛物线方程求焦点的坐标，属综合根底题.9.函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()4f a =- ，那么(14)f a -= 〔〕A. 74-B. 54-C. 34-D. 14-【答案】A 【解析】因为1222x -->-，所以1a >，那么2()log (1)4f a a =-+=-，即15a =，那么27(14)(1)224f a f --=-=-=-；应选A.10.如下列图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面ABCD 的中心，那么异面直线1AD 和1OC 所成角的大小为〔〕A.3πB.6π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】【分析】连接1BC ，找出异面直线的夹角为1OC B ∠，在1OBC 中求解即可.【详解】连接1BC ，如下列图所示：因为1111ABCD A B C D -是正方形，故可得1111,D C AB D C =//AB ，故四边形11D C BA 为平行四边形，故1AD //1BC ，那么1OC B ∠即为所求角或者其补角. 设正方体棱长为2，那么在1OC B 中：112,22,6OB BC OC ==故22211111322OC BC OB cos OC B OC BC +-∠==⨯，那么16OC B π∠=.那么异面直线1AD 和1OC 所成角的大小为6π. 应选：B.【点睛】此题考察异面直线夹角的求解，处理问题的关键是平移直线从而找到夹角，属根底题.11.假设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x ，都有()()30f x f x ++-=.当(]0,1x ∈时，()3sin12f x x π=-，那么()()20192020f f +=〔〕 A. 0 B. 1-C. 1D. 2-【答案】D 【解析】【分析】根据题意，求得函数的周期，再根据(]0,1上函数的解析式，即可求得函数值. 【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故可得()()()00,f f x f x ==--，又因为()()30f x f x ++-=，故可得()()3f x f x =+，故()f x 是周期为3的周期函数.那么()()20192020f f +=()()6733067331f f ⨯++⨯+()()3010sin122f f π=+=+-=-. 应选：D.【点睛】此题考察函数周期的求解，以及利用函数周期求函数值的问题，涉及特殊角的三角函数值，属根底题.12.函数()f x 的导函数()f x '，对x ∀∈R ，都有()()f x f x '>成立，假设()10f =，那么满足不等式()0f x >的x 的范围是〔〕 A. 01x << B. 1x >C. x e >D. 0x >【答案】B 【解析】【分析】构造函数()()xf x F x e=，根据()f x 的性质，求得()F x 的性质，再利用()F x 的性质，求解不等式即可.【详解】构造函数()()xf x F x e=，那么()()()xf x f x F x e-=''；因为对x ∀∈R ，都有()()f x f x '>成立，故可得()0F x '>在R 上恒成立，故()F x 是R 上的单调增函数. 又因为()10f =，故可得()10F =，又不等式()0f x >等价于()0xe F x >，根据()F x 的性质，容易得不等式解集为()1,+∞. 应选：B.【点睛】此题考察利用导数求解函数的单调性，涉及构造函数法，属中档题. 二、填空题：〔每一小题5分，一共20分〕13.如下列图是一个算法流程图，那么输出的k 的值是______.【答案】2 【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可得到输出结果. 【详解】模拟执行程序框图如下：1,1s k ==2s =，不满足10s >，故2k =， 6s =，不满足10s >，故3k =， 15s =，满足10s >，输出2.故答案为：2.【点睛】此题考察由程序框图求输出结果，属根底题.14.如图是一组数据〔x ，y 〕的散点图，经最小二乘估计公式计算，y 与x 之间的线性回归方程为ˆy＝ˆb x ＋1，那么ˆb ＝________.【答案】【解析】【分析】根据线性回归直线必过样本点中心(),x y ，即可求出．【详解】由图可知，x ＝01344+++＝2，y ＝0.9 1.9 3.2 4.44+++＝26，将〔2，〕代入ˆy＝ˆb x ＋1中，解得ˆb ＝．故答案为：．【点睛】此题主要考察由线性回归直线必过样本点中心(),x y ，求参数的值，属于根底题． 15.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，36S =，那么20S =______. 【答案】210【解析】【分析】根据等差数列的根本量，求出数列的公差，利用公式即可求得结果.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为36S =，故可得()23316a d =+=，解得1d =. 故2012019?202102S a d ⨯=+=. 故答案为：210.【点睛】此题考察等差数列前n 项和的根本量的计算，属根底题.16.向量a ()2,0=，b (),1t =，且a b a ⋅=，那么向量a 与b 的夹角大小为______弧度.【答案】4π 【解析】【分析】根据向量数量积的坐标运算，求得参数t ，再根据向量夹角的坐标计算公式，即可求得.【详解】因为a ()2,0=，b (),1t =，且a b a ⋅=，故可得2t =，解得1t =，那么()1,1b =，故2,?22?a bcos a b a b ⋅===⨯，又向量夹角的范围为[]0,π，故向量a 与b 的夹角大小为4π. 故答案为：4π. 【点睛】此题考察向量坐标的运算，涉及数量积的坐标运算，夹角的坐标运算，属根底题.三、解答题：〔本大题一一共5小题，一共60分，解容许写出文字说明〕17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222sin sin sin sin A C B A C +-．〔1〕求角B ；〔2〕点D 在线段BC 上，满足DA DC =，且11a =，cos()A C -=DC 的长．【答案】〔Ⅰ〕6B π=;〔Ⅱ〕5AD =．【解析】【试题分析】〔1〕运用正弦定理将中的222sin sin sin sin A C B A C +-=等式转化为边的关系，再借助运用余弦定理求解；〔2〕借助题设条件DA DC =，且11a =，()cos A C -=，再运用正弦定理建立方程求解：〔Ⅰ〕由正弦定理和条件，222a c b +-=所以cos 2B =．因为()0,B π∈，所以6B π=．〔Ⅱ〕由条件．由()()cos sin 55A C A C -=⇒-=．设AD x =，那么CD x =，11BD x =-，在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD AD BAD B=∠．故512x x =⇒=．所以5AD DC ==． 18.房管局为了理解该民2021年1月至2021年1月期间购置二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积m 〔单位：平方米，60130m ≤≤〕进展了一次调查统计，制成了如下图的频率分布直方图.〔Ⅰ〕试估计该民的平均购房面积：〔Ⅱ〕现采用分层抽样的方法从购房面积位于[]110,130的40位民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在[]120,130的概率，【答案】(1) 96平方米；(2)12. 【解析】【分析】〔1〕根据频率分布直方图，结合平均数的求解方法即可代值计算；〔2〕先计算出从区间[)110,120，[]120,130各抽取的人数，再计算出所有抽取的可能情况数量以及满足题意的可能情况的数量，用古典概型的概率计算公式即可求得. 【详解】〔1〕设该民的平均购房面积为x 平方米，那么650.05750.1850.2950.251050.21150.151250.05x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 解得96x =.故该民的平均购房面积为96平方米.〔2〕由题可知在区间[)110,120，[]120,130上的人数分别有30人，10人，从中抽取4人，那么在区间[)110,120，[]120,130上抽取的人数分别为3人，1人. 设区间[)110,120的3人为123,,A A A ，在区间[]120,130的1人为B ，故从4人中抽取2人的所有可能有6种，详细如下： 121312323,,,,,A A A A A B A A A B A B ，其中满足题意的有3种，详细如下：123,?,A B A B A B ，故这2人的购房面积恰好有一人在[]120,130的概率3162P ==. 【点睛】此题考察由频率分布直方图计算平均数，涉及古典概型的概率求解，分层抽样性质的应用，属综合根底题.19.在平行四边形ABCD 中，3AB =，2BC =，过A 点作CD 的垂线，交CD 的延长线于点E ，3AE =.连结EB ，交AD 于点F ，如图1，将ADE ∆沿AD 折起，使得点E 到达点P 的位置，如图2.〔1〕证明：平面BFP ⊥平面BCP ；〔2〕假设G 为PB 的中点，H 为CD 的中点，且平面ADP ⊥平面ABCD ，求三棱锥G BCH -的体积.【答案】〔1〕见解析；〔2〕316. 【解析】【分析】〔1〕证明BE AD ⊥．PF AD ⊥，BF AD ⊥．推出PF BC ⊥，BF BC ⊥，得到BC ⊥平面BFP ，然后证明平面BFP ⊥平面BCP ．〔2〕解法一：证明PF ⊥平面ABCD ．取BF 的中点为O ，连结GO ，得到GO ⊥平面ABCD ．然后求解棱锥的高．解法二：证明PF ⊥平面ABCD ．三棱锥G BCH -的高等于12PF ．说明BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14，通过ABCD 13P ABCD V S PF -=⨯⋅平行四边形，求解三棱锥G BCH -的体积．【详解】〔1〕证明：如题图1，在Rt BAE 中，3AB =，3AE =，所以60AEB ∠=︒．在Rt AED 中，2AD =，所以30DAE ∠=︒．所以BE AD ⊥．如题图2，,PF AD BF AD ⊥⊥．又因为AD BC ，所以PF BC ⊥，BF BC ⊥，PF BF F ⋂=，所以BC ⊥平面BFP ，又因为BC ⊂平面BCP ，所以平面BFP ⊥平面BCP ．〔2〕解法一：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，PF AD ⊥，所以PF ⊥平面ABCD ．取BF 的中点为O ，连结GO ，那么GO PF ，所以GO ⊥平面ABCD ．即GO 为三棱锥G BCH -的高．且113sin30224GO PF PA ==⨯︒=．因为，三棱锥G BCH -的体积为111313333332462416BCH BCD G BCH V S GO S -=⋅=⨯⨯=⨯⨯=三棱锥．解法二：因为平面ADP ⊥平面ABCD ，平面ADP ⋂平面ABCD AD =，PF ⊂平面ADP ，所以PF ⊥平面ABCD ．因为G 为PB 的中点．所以三棱锥G BCH -的高等于12PF ．因为H 为CD 的中点，所以BCH 的面积是四边形ABCD 的面积的14，从而三棱锥G BCH -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的18．ABCD 平行四边形面ABCD 113332P ABCD V S PF -=⨯⋅=⨯=平行四边形，所以三棱锥G BCH -的体积为316．【点睛】此题考察直线与平面垂直，平面与平面垂直的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考察空间想象才能以及计算才能．20.在MAB 中，点()1,0A -，()1,0B ，且它的周长为6，记点M 的轨迹为曲线E ． ()1求E 的方程；()2设点()2,0D -，过点B 的直线与E 交于不同的两点P 、Q ，PDQ ∠是否可能为直角，并说明理由．【答案】〔1〕()221043x y y +=≠；〔2〕见解析【解析】【分析】()1由题意得，6MA MB AB ++=，那么4MA MB AB +=>，可得M 的轨迹E 是以()1,0A -，()1,0B 为焦点，长轴长为4的椭圆，那么E 的方程可求；()2设直线PQ 的方程为1x my =+，与椭圆方程联立，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系，结合向量数量积，证明PDQ ∠不可能为直角．【详解】()1由题意得，6MA MB AB ++=， 4MA MB AB ∴+=>，那么M 的轨迹E 是以()1,0A -，()1,0B 为焦点，长轴长为4的椭圆，又由M ，A ，B 三点不一共线，0y ∴≠．E ∴的方程为()221043x y y +=≠； ()2设直线PQ 的方程为1x my =+，代入223412x y +=，得()2234690m y my ++-=．设()11,P x y ，()22,Q x y ，那么122634m y y m -+=+，122934y y m -=+． ∴()()()()()121212121222112114DP DQ x x y y my my my my y y ⋅=+++=++++++++ ()()()222121222291182713990343434m m m y y m y y m m m -+=++++=-+=>+++． PDQ ∴∠不可能为直角．【点睛】此题考察定义法求椭圆方程，考察了数量积在圆锥曲线中的应用，处理直线与椭圆的位置关系的问题常用到设而不求的方法，考察运算求解才能，考察化归与转化思想等，是中档题．21.函数()ln 2f x x x =--.〔Ⅰ〕求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；〔Ⅱ〕函数()y f x =在区间(),1k k +〔k ∈N 〕上有零点，求k 的值.【答案】(1)1y =-；(2)0或者3.【解析】【分析】〔1〕对函数求导，解得()1f '，利用点斜式即可求得切线方程；〔2〕利用导数判断函数单调性，根据零点存在定理，即可求得零点所在区间，k 值得解.【详解】〔1〕因为()ln 2f x x x =--，故可得()11f x x '=-，那么()()11,10f f =-'=，切线方程为()10y --=，整理得1y =-.故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y =-.〔2〕令()0f x '=，解得1x =，容易知函数()f x 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，在区间()0,1上，存在3x e -=，使得()3310f ee --=+>，故()f x 在区间()0,1上有一个零点；在区间()3,4上，因为()()3130,4240f ln f ln =-=-，故()f x 在区间()3,4上有一个零点；综上所述，满足题意的区间为()0,1，()3,4，故k 的可取值为0或者3.【点睛】此题考察根据导数的几何意义求切线的斜率，以及利用导数讨论函数的零点分布，涉及零点存在定理，属综合根底题.选做题：一共10分.请考生在第22，23题中任选一题答题.假如多做，那么按所做的第一题计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>；直线l 的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，直线l 与曲线C 分别交于,M N 两点．〔1〕写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；〔2〕假设点P 的极坐标为(2,)π，||||PM PN +=a 的值．【答案】(1) 曲线C 的直角坐标方程为即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+；〔2〕2a =.【解析】【分析】〔1〕利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线l 的普通方程，极坐标方程两边同乘以ρ利用222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+== 即可得曲线C 的直角坐标方程；〔2〕直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.【详解】〔1〕由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+. (2)将直线l的参数方程2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=. 因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠.由根与系数的关系，得12t t +=，1244t t a =+.因为点P 的直角坐标为()2,0-，在直线l 上.所以12PM PN t t +=+==解得2a =，此时满足0a >.且1a ≠，故2a =.．【点睛】参数方程主要通过代入法或者者恒等式〔如22cos sin 1αα+=等三角恒等式〕消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，222tan x y y xρθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．23.a ，b ，c 为正数，函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －5|.(1)求不等式f (x )≤10的解集；(2)假设f (x )的最小值为m ，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥12.【答案】(1) {x |－3≤x ≤7} (2) 证明见解析【解析】【分析】〔1〕分段讨论x 的范围，去掉绝对值符号得出不等式的解；〔2〕求出m 的值，根据根本不等式得出结论．【详解】解：〔1〕()|1||5|10f x x x =++-，等价于1(1)(5)10x x x -⎧⎨-+--⎩或者15(1)(5)10x x x -<<⎧⎨+--⎩或者5(1)(5)10x x x ⎧⎨++-⎩，解得31x --或者15x -<<或者57x ，所以不等式()10f x 的解集为{|37}x x -．〔2〕因为()|1||5||(1)(5)|6f x x x x x =++-+--=，当且仅当(1)(5)0x x +-即15x -时取等号．所以6m =，即6a b c ++=．创作人：历恰面日期：2020年1月1日创作人：历恰面日期： 2020年1月1日 222a b ab +，222a c ac +，222c b bc +， 2222()222a b c ab ac bc ∴++++，22222223()222()36a b c a b c ab ac bc a b c ∴+++++++=++=．22212a b c ∴++．当且仅当2a b c ===时等号成立．【点睛】此题考察了绝对值不等式的解法，不等式的证明与根本不等式的应用，属于中档题．。

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