高二数学选修2-1《抛物线》练习卷

合集下载

人教版选修2-1抛物线测试题

抛物线测试题（2）一．选择题1.抛物线2y ax =的准线方程为y=1,则实数a 的值是… ( ) A.14B.12C.14-D.12-解析:抛物线2y ax =化为21ax y =,由于其准线方程为y=1,故a<0,且|14a |=1, 解得14a =-.答案:C2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标为( )A ．(9,6)B ．(6,9)C ．(±6,9)D ．(9，±6)解析：选D.设P (x 0，y 0)，则x 0－(－1)＝10，即x 0＝9，代入抛物线方程，得y 20＝36，即y 0＝±6. 3.若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B4..若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B5. 对任意实数θ，则方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是(A ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆6.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4解析:抛物线22y px =的准线为2px =-与圆2(3)x -+216y =相切,∴21p-=-.∴p=2.答案:C7.点P 是抛物线24y x =上一动点,则点P 到点A(0,-1)的距离与P 到直线x=-1的距离和的最小值是 ( ) A.5B.3C.32D.2解析:抛物线焦点为F(1,0),AF 连线与抛物线交点P 为所求点,最小值为|AF|2=.答案:D8．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.116解析：选D.依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12px ，故18p ＝2，得p ＝116. 9．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A.由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c ＝1，又e ＝12，所以a＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求的椭圆方程为x 24＋y 23＝1.10.已知F 是抛物线2y x =的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B.1C.54D.74解析:如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3.|CD|=32,所以中点C 的横坐标为32-5144=.答案:C11.抛物线2y x =-上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D.3解析:(方法一)设直线4x+3y+m=0与2y x =-相切,则联立两方程,消去y 得2340x x m --=.令0∆=,有m=-43.两直线间的距离为15|438()---|43=.(方法二)设抛物线2y x =-上一点为2()m m ,-, 该点到直线4x+3y-8=0的距离为15|2438m m --|,当23m =时,取得最小值为43.答案:A12.已知抛物线y 2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A. B.+1 C.+1 D.【解析】选B.如图，由双曲线-=1，且AF ⊥x 轴得-=1得|y|=，由抛物线y 2=2px 的定义得AF=p ，即=2c.得b 2=2ac ，所以=，e 2-1=2e ，所以e=+1.13.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.1122[]-,B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,得 28(2)y x y k x ⎧=,⎨=+,⎩ 消去x 得到关于y 的方程28160ky y k -+=.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当0k ≠时,令264640k ∆=-≥,解得10k -≤<或0<k ≤1.所以11k -≤≤. 答案:C 二．填空题14.抛物线2y x =-的焦点坐标为_____. 答案:14(0),-15.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为_____. 解析:抛物线焦点为4(0)a F ,,则直线l 的方程为y=2(x-4)a.令x=0得2(0)a A ,-, 则12OAFS=⋅|4a |⋅|2a|=4,∴8a =±.∴抛物线方程为28y x =±. 答案:28y x =±16．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝c a＝ 6. 答案： 617．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

高二数学选修2-1抛物线复习卷

高二数学选修2－1抛物线复习卷班级_______号码_______姓名______________知识点归纳1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离_______的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的_______，定直线l叫做抛物线的_______．2抛物线的图形和性质：①顶点是焦点向准线所作垂线段的_______。

②焦准距：FK=p。

③通径：过焦点垂直于轴的弦长为_______。

④焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相_______。

所有这样的圆过定点_______。

⑤焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与_____________________直线相切。

⑥焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与_______相切。

3抛物线标准方程的四种形式：______________，______________，______________，______________4抛物线y²=2px的图像和性质：①焦点坐标是_______，②准线方程是_______。

③焦半径公式：若点P(x۪₀，y₀)是抛物线y²=2px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是______________，④焦点弦长公式：已知P（x₁，y₁）Q（x₁，y₁），则过焦点弦长｜PQ｜＝(2y2y₀²=2px₀一、选择题1．关于抛物线的命题下列说法不正确的一个是（）Ａ．必有一个顶点Ｂ．必有一个焦点Ｃ．必有一个对称中心Ｄ．必有一条对称轴2．抛物线2y ax=的准线方程为2y=，则a的值为（）Ａ．18Ｂ．18-Ｃ．8Ｄ．8-3．抛物线22y px=上三点的纵坐标的平方成等差数列，则这三点的横坐标（）Ａ．成等差为数列Ｂ．成等比数列Ｃ．既成等差数列又成等比数列Ｄ．既不成等差数列又不成等比数列4．抛物线28y x=的焦点为F，点P在抛物线上，若5PF=，则点P的坐标为（）Ａ．(3 Ｂ．(3-，Ｃ．(3或(3-，Ｄ．(3-或(3--，5．若抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，且AB =AB 的距离为（）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．56．P 为抛物线22y px =上任意一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（）Ａ．相切Ｂ．相离Ｃ．相交Ｄ．位置由P 决定二、填空题7．抛物线240x y +=的准线方程为．y=1/168．已知P 是抛物线216y x =上的一点，它到x 轴的距离为12，则它到焦点的距离为．13 9．直线y x b =+交抛物线212y x =于A B ，两点，O 为抛物线的顶点，OA OB ⊥，则b 的值为．2 10．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点1122()()A x y B x y ，，，，若124x x +=，则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为．311．若动圆与圆22(2)1x y -+=外切，又与直线10x +=相切，则动圆的圆心的轨迹方程为．y2=8x12．已知抛物线22y x =的焦点F 和点(32)A ，，点P 在抛物线上，最小值时，点P 的坐标为．(2,2)三、解答题13．求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x －2y －4=0上14．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且3，，AM AF=求此抛物线的标准方程．15．已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线⑴只有一个公共点；⑵有两个公共点；⑶没有公共点。

人教A版2019高中数学选修2-1习题：第二章2.4-2.4.1抛物线及其标准方程_含答案

第二章圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程A 级基础巩固一、选择题1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．y ＝－116 答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0) 解析：由题意，y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，将点(2，4)代入可得p ＝4或p ′＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y .答案：C4．过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12x C ．x 2＝12y D ．x 2＝－12y 解析：由题意，知动圆圆心到点F (0，3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x 2＝12y .答案：C5．已知点P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋2y－12＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A ．5B ．4 C.1155 D.115答案：C二、填空题6．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y7．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．解析：因为|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，所以x A ＋x B ＝52. 所以线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：548．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线与圆(x －3)2＋y 2＝16相切，则p 的值为________．答案：2三、解答题9．已知动圆M 经过点A (3，0)，且与直线l ：x ＝－3相切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：法一：设动点M (x ，y )，设⊙M 与直线l ：x ＝－3的切点为N ，则|MA |＝|MN |，所以点M 的轨迹是抛物线，且以A (3，0)为焦点，以直线l ：x ＝－3为准线，所以p2＝3，所以p ＝6. 所以圆心M 的轨迹方程是y 2＝12x .法二：设动点M (x ，y )，则点M 的轨迹是集合 P ＝{M ||MA |＝|MN |}，即（x －3）2＋y 2＝|x ＋3|，化简得y 2＝12x .所以圆心M 的轨迹方程为y 2＝12x .10.如图，已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3，2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求此时P 点坐标．解：如图，作PQ ⊥l 于Q ，由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA |＋|PF |的最小值的问题可转化为求|PA |＋d 的最小值的问题．将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6>2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d .由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72.即|PA |＋|PF |的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2.所以P 坐标为(2，2)．B 级能力提升1．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16xB ．y 2＝－16x C ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x 答案：A2．抛物线y ＝－14x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为 x 2＝－4y ，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－14，所以点E (1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l ，过M 点作MP ⊥l 于点P ，过点E 作EQ ⊥l 于点Q ，由抛物线的定义可知，|MF |＋|ME |＝|MP |＋|ME |≥|EQ |，当且仅当点M 在EQ 上时取等号，又|EQ |＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：43.一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处．已知接收天线的口径(直径)为4.8 m ，深度为0.5 m ，试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点与原点重合．设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p ＞0)，由已知条件可得，点A 的坐标是(0.5，2.4)，代入方程，得2.42＝2p ×0.5，所以p ＝5.76.所以所求抛物线的标准方程是y 2＝11.52x ，焦点坐标是(2.88，0)。

高二数学选修21《抛物线》练习卷

高二数学选修2－1《抛物线》练习卷知识点：1、平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 4、焦半径：若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =>上，焦点为F ，则02p F x P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220y px p =->上，焦点为F ，则02p F x P =-+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =>上，焦点为F ，则02p F y P =+；若点()00,x y P 在抛物线()220x py p =->上，焦点为F ，则02p F y P =-+．同步练习：1、抛物线220x y +=的准线方程是（）A ．12x =B ．12x =-C ．12y =D ．12y =- 2、抛物线2y x =-的焦点坐标是（）A ．1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭3、抛物线24x y =-与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A ，B 两点，O 为顶点，则（）A ．8AB =，4S ∆AOB = B ．8AB =，2S ∆AOB =C ．4AB =，2S ∆AOB =D ．4AB =，4S ∆AOB =4、抛物线2y ax =的准线方程为2y =，则a 的值是（）A ．18 B ．18- C ．8 D ．8-5、抛物线28y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，若5F P =，则点P 的坐标是（）A ．(3,B ．(3,-C ．(3,或(3,-D ．(3,-或(3,--6、若抛物线24y x =的弦AB 垂直于x 轴，且AB =，则抛物线的焦点到直线AB 的距离是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．57、顶点在原点，准线方程为4y =的抛物线方程是（）A ．216y x =B ．216y x =-C ．216x y =D ．216x y =-8、顶点在原点，焦点为()2,0F -的抛物线方程是（）A ．28y x =B ．28y x =-C ．28x y =D ．28x y =-9、已知M 为抛物线24y x =上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()3,1P ，则 F MP +M 的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．610、抛物线2y x =上到直线24x y -=的距离最短的点的坐标是（）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()1,1 C ．39,24⎛⎫⎪⎝⎭ D ．()2,411、若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值是（）A ．2-B ．2C ．4-D ．4 12、若双曲线22218x y b -=的一条准线与抛物线28y x =的准线重合，则双曲线的离心率是（）A B ． C ．4 D ．13、抛物线24x y =上一点A 的纵坐标是4，则点A 与抛物线焦点的距离是（）A ．2B ．3C ．4D ．514、直线2y kx =-交抛物线28y x =于A 、B 两点，若AB 中点的横坐标为2，则k 等于（）A ．2或1-B ．1-C ．2D ．315、已知点(),x y 在抛物线24y x =上，则22132z x y =++的最小值是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．016、若点(),x y P 到点()0,2F 的距离比它到直线40y +=的距离小2，则(),x y P 的轨迹方程是（）A ．28y x =B ．28y x =-C ．28x y =D ．28x y =-17、已知抛物线2112x y =上一点()12,y P ，则点P 到焦点的距离是_____________． 18、顶点在原点，准线方程为1y =-的抛物线的标准方程是_________________．19、以原点为顶点，对称轴为坐标轴，且焦点在直线10x y --=上的抛物线的标准方程是_____________________________________．20、若抛物线2112x y =上一点到焦点的距离为9，则该点的坐标是____________． 21、以双曲线221169x y -=的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程是_________________________．22、抛物线240x y +=的准线方程是____________________．23、已知P 是抛物线216y x =上的一点，它到x 轴的距离为12,则它到焦点的距离是__________．24、已知抛物线22y x =的焦点F 和点()3,2A ，点P 在抛物线上，当F PA +P 取得最小值时，点P 的坐标是_______________．25、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切，则a =_____________．26、如果过两点(),0a A 、()0,a B 的直线与抛物线223y x x =--没有交点，那么实数a 的取值范围是_____________________．27、求适合下列条件的抛物线的标准方程：()1 准线方程为14x =-； ()2 焦点到准线的距离为2；()3 经过点()3,5--．。

人教A版选修一高二数学：抛物线的几何性质练习卷(2-1).docx

2014.12高二数学抛物线的几何性质练习卷（2-1）1、抛物线24x y =的准线方程是（） A 、1=y B 、1-=y C 、161=y D 、161-=y 2、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点P (m ，－2)到焦点的距离为4，则m 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．12或－23、抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线141222=-y x 的渐近线的距离为 ( ) A ．1 B. 3 C.33 D. 63 4、过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有 ( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5、已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是 ( ) A.6π或65π B.4π或43π C. 3π或32π D. 2π 6、设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ( )A ．2y ＝±4xB ．2y ＝±8xC ．2y ＝4xD ．2y ＝8x7、已知抛物线y 2＝4x 上两个动点B 、C 和点A (1,2)，且∠BAC ＝90°，则动直线BC 必过定点 ( )A ．(2,5)B ．(－2,5)C ．(5，－2)D ．(5,2)8、在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点P (2,4)，则该抛物线的方程是______________． 9、若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线13622=-y x 的右焦点重合，则p 的值为． 10、已知点M 是抛物线y 2＝4x 上的一点，F 为抛物线的焦点，A 在圆C ：(x －4)2＋(y －1)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值为________．11、已知抛物线x y 42=，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(),(),2211y x B y x 、两点，则=+2121x x y y , y 2221y +的最小值是。

高中数学人教A版选修2-1抛物线训练题.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作抛物线训练题（含答案） A 组一填空题：（每题5分，合计40分）1抛物线y=4x 2的焦点坐标是_______(0,116) 2准线方程为x=2的抛物线的标准方程是____y 2=-8x3点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为________x 2=-12y 或y 2=16x4一直线过点(-p 2,0)交抛物线y 2=-2px 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，且|AB|=3p, x 1+ x 2=-2，则抛物线方程为__y 2=-2x5抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则抛物线焦点到弦AB 所在直线的距离是____2 6抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点横坐标是____ 27过抛物线y=4x 2的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则1p +1q=____168以双曲线x 24-y 25=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是____. y 2=12x二选择题（每题5分,合计40分）9抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)( A ) 1716 ( B ) 1516 ( C ) 78( D ) 010已知椭圆的中心在原点，离心率e=12，且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ A ）A ．x 24+y 23=1B ．x 28+y 26=1C ．x 22+y 2=1D ．x 24+y 2=111双曲线x 2m -y 2n =1(mn ≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为（ A ）A ．316 B ．38 C ．163 D ．8312已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|→MN |·|→MP |+→MN ·→NP =0，则动点P（x ，y ）的轨迹方程为（ D ）（A ）y 2=8x （B ）y 2=-8x （C ）y 2=4x （D ）y 2=-4x13已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则p 为( B )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）14抛物线y 2=4x 上与焦点相距最近的点的坐标是（ B ） A 、（0，0） B 、（1，2） C 、（1，-2） D 、以上都不是15动点P 到定点F （0,3）的距离等于到定直线2x+y-3=0的距离则点P 的轨迹是（C ） A .x 2=12y B .2x+y-3=0 C. x-2y+6=0 D.y=12 x 216已知抛物线y 2=a(x-1)的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 (B)A ．1B ．2C ．3D ．4三解答题（17题6分，18题14分）17已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C 的方程。

新人教A版(选修2-1)《抛物线》word训练题

抛物线训练题(含答案)A组一填空题：(每题5分，合计40分)1抛物线y=4x2的焦点坐标是_______ (0,16)2准线方程为x=2的抛物线的标准方程是______ y2=-8x3点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为_________ x2=-12y或y2=16xp 24一直线过点(-2,0)交抛物线 y =-2px于 A(x i,y i),B(X2,y2)两点，且|AB|=3p, x i+ X2=-2, 则抛物线方程为__y2=-2x5抛物线y2=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=4 ;3,则抛物线焦点到弦AB所在直线的距离是_____________ 26抛物线y2=2x上的两点A、B到焦点的距离之和是5,则线段AB中点横坐标是____ 27过抛物线y=4x2的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的1 1长分别为p、q，则-+-= 16p q-----2 28以双曲线-葺=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是.____ y2=12x二选择题(每题 5分，合计40分)9抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是(B)17 15(A ) 117 ( B ) 屁 (C )1 210已知椭圆的中心在原点，离心率 e=^，且它的一个焦点与抛物线 y2=-4x的焦点重合，则此椭圆方程为(A )2 2 2 2 2 2x v x v x 2x 2A . 4+3=1 B. §+ 6=1 c. 2+y =1D - 7+y =12 211双曲线xmyn=1(mn工0)离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn 的值为( A )C.1612已知两点M ( — 2, 0)、N (2, 0),点P为坐标平面内的动点，满足|刑2而P|+M N NP=0,则动点P (x, y)的轨迹方程为(D )(A) y2=8x (B) y2=-8x (C) y2=4x (D) y2=-4x2 2 213已知圆x +y -6x-7=0与抛物线y =2px(p>0)的准线相切，则p为(B )(A) 1 ( B) 2 (C) 3 ( D) 14抛物线y2=4x上与焦点相距最近的点的坐标是( B )A 、（0， 0）15动点P 到定点 A .x 2=12y 16已知抛物线y 2=a （x-1）的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为（B ）A. 1B. 2 三解答题（17题6分，18题14分）17已知动圆过定点F （0,2）,且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C 的方程。

高中数学选修2-1同步练习题库：抛物线(简答题：较难)

抛物线（简答题：较难）1、已知是直线：上的动点，点的坐标是，过的直线与垂直，并且与线段的垂直平分线相交于点．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）设曲线上的动点关于轴的对称点为，点的坐标为，直线与曲线的另一个交点为（与不重合）．是否存在一个定点，使得，，三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2、已知椭圆的左、右焦点分别为，，点也为抛物线的焦点.（1）若，为椭圆上两点，且线段的中点为，求直线的斜率；（2）若过椭圆的右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，设线段，的长分别为，，证明是定值.3、已知抛物线：的焦点与椭圆：的一个焦点重合，点在抛物线上，过焦点的直线交抛物线于、两点.（Ⅰ）求抛物线的方程以及的值；（Ⅱ）记抛物线的准线与轴交于点，试问是否存在常数，使得且都成立？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.4、已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.5、已知抛物线的焦点，为坐标原点，是抛物线上异于的两点，若直线的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点。

6、已知抛物线：（），焦点为，直线交抛物线于，两点，为的中点，且．（1）求抛物线的方程；（2）若，求的最小值．7、已知曲线C上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=-3的距离小2（1）求曲线C的方程（2）过点F且斜率为K的直线L交曲线C于A、B两点，交圆F：于M、N两点（A、M两点相邻）若，当时，求K的取值范围8、已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．（1）求，的标准方程；（2）是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同的两点且满足？若存在，求出直线方程；若不存在，请说明理由．9、已知抛物线（）和定点，设过点的动直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线交点为.（1）若在以为直径的圆上，求的值；（2）若三角形的面积最小值为4，求抛物线的方程.10、设点是轴上的一个定点，其横坐标为（），已知当时，动圆过点且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）当时，若直线与曲线相切于点（），且与以定点为圆心的动圆也相切，当动圆的面积最小时，证明：、两点的横坐标之差为定值．11、已知过抛物线焦点且倾斜角的直线与抛物线交于点的面积为．（I）求抛物线的方程；（II）设是直线上的一个动点，过作抛物线的切线，切点分别为直线与直线轴的交点分别为点是以为圆心为半径的圆上任意两点，求最大时点的坐标．12、已知抛物线的准线与轴交于点，过点作曲线的切线，切点到轴的距离为,（I）求抛物线的方程；（II）设是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）（i）求证：直线必过定点，并求出该定点的坐标；（ii）过点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.13、已知是抛物线上一点，到直线的距离为，到的准线的距离为，且的最小值为．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）直线交于点，直线交于点，线段的中点分别为，若，直线的斜率为，求证：直线恒过定点．14、已知抛物线的焦点为，过点的直线与相交于两点，点关于轴的对称点为.（Ⅰ）证明：点在直线上；（Ⅱ）设，求的内切圆的方程.15、抛物线C:y2＝2px(p＞0)的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO＝OB＝2．(1)求⊙M和抛物线C的方程；(2)若P为抛物线C上的动点，求的最小值；(3)过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．16、已知直线与抛物线切于点，直线经过点且垂直于轴。

高中数学北师大版选修2-1练习：第三章2.1 抛物线及其标准方程 1 含解析

[基础达标]1.已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，则它的标准方程为( ) [~#&%*]A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y解析：选D.p2＝2，∴p＝4，焦点在y轴负半轴上，故其标准方程为x2＝－8y.2.抛物线x2＝8y的准线方程为( )A．y＝－2 B．x＝－2C．y＝－4 D．x＝－4解析：选A.其焦点为(0，2)，故准线方程为y＝－2. [#@~%*]3.点P为抛物线y2＝2px上任一点，F为焦点，则以P为圆心，以|PF|为半径的圆与准线l( )A．相交B．相切C．相离D．位置由F确定解析：选B.圆心P到准线l的距离等于|PF|，∴相切．4.如图，南北方向的公路L，A地在公路正东2 km处，B地在A北偏东60 °方向2 3 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路L和到A地距离相等．现要在曲线PQ上某处建一座码头，向A，B两地运货物，经测算，从M到A，B修建公路的费用都为a万元/km，那么，修建这两条公路的总费用最低是( )A．(2＋3)a万元B．(23＋1)a万元C．5a万元D．6a万元解析：选C.依题意知曲线PQ是以A为焦点、L为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只需求出B到直线L 的距离即可．∵B地在A地北偏东60°方向2 3 km处，∴B到点A的水平距离为3 km，∴B到直线L的距离为3＋2＝5(km)，那么，修建这两条公路的总费用最低为5a万元，故选C.5.一个动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点( )A．(0，2) B．(0，－2)C．(2，0) D．(4，0) [#&%~^]解析：选C.由抛物线定义知圆心到准线x＋2＝0的距离等于到焦点F(2，0)的距离，∴动圆必过定点(2，0)．6.经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为________．解析：设抛物线的标准方程为y2＝2px或x2＝－2py，把P(4，－2)分别代入得(－2)2＝8p或16＝－2p×(－2)；∴p＝12或p＝4，故对应的标准方程为y2＝x和x2＝－8y. [*^%~&]答案：y2＝x或x2＝－8y7.已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________．解析：圆方程可化为(x－3)2＋y2＝16，圆心为(3，0)，半径为4，由题意知1＝p 2，∴p ＝2. 答案：28.过点A(0，2)且和抛物线C ：y 2＝6x 相切的直线l 方程为________． [#^~*&]解析：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝0，与抛物线C 相切；当直线l 的斜率存在时，设其方程为y －2＝kx ，与y 2＝6x 联立，消去x 得y －2＝k 6y 2， [#*&^~]即ky 2－6y ＋12＝0，由题意可知k ≠0，Δ＝(－6)2－48k ＝0，∴k ＝34，∴y －2＝34x. 即为3x －4y ＋8＝0.答案：x ＝0或3x －4y ＋8＝09.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M(m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值、抛物线方程及其准线方程．解：设所求抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)，则焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－p 2.因为M(m ，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ， m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4，m ＝±2 6. 所以所求的抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2.10.一辆卡车高3 m ，宽1.6 m ，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB 宽恰好是拱高CD 的4倍，若拱宽为a m ，求能使卡车通过的a 的最小整数值．解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py(p>0)，则点B 的坐标为(a 2，－a 4)，由点B 在抛物线上，∴(a 2)2＝－2p ·(－a 4)，p ＝a 2， ∴抛物线方程为x 2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y ＝－0.64a. [&@^%#] ∴点E 到拱底AB 的距离为a 4－|y|＝a 4－0.64a>3. 解得a>12.21，∵a 取整数，∴a 的最小整数值为13. [@%^&~][能力提升]1.O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：选C.设P(x 0，y 0)，则|PF|＝x 0＋2＝42， ∴x 0＝32，∴y 20＝42x 0＝42×32＝24，∴|y 0|＝2 6.∵F(2，0)，∴S △POF ＝12|OF|·|y 0|＝12×2×26＝2 3.2.从抛物线y 2＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积为________．解析：∵抛物线方程为y 2＝4x ，则准线方程为x ＝－1.令P 点坐标为P(x 0，y 0)，由图可知， [%&~@*]|PM|＝x 0＋1＝5.∴x 0＝4.把x 0＝4代入y 2＝4x ，解得y 0＝±4，∴△MPF 的面积为12|PM|×|y 0|＝12×5×4＝10. [%*^&@] 答案：103.已知抛物线的方程为x 2＝8y ，F 是焦点，点A(－2，4)，在此抛物线上求一点P ，使|PF|＋|PA|的值最小． [&%^~*]解：∵(－2)2<8×4，∴点A(－2，4)在抛物线x 2＝8y 的内部．如图，设抛物线的准线为l ，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，过点A 作AB ⊥l 于点B ，由抛物线的定义可知：|PF|＋|PA|＝|PQ|＋|PA|≥|AQ|≥|AB|，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时，|PF|＋|PA|取得最小值，即为|AB|.∵A(－2，4)，∴不妨设|PF|＋|PA|的值最小时，点P 的坐标为(－2，y 0)，代入x 2＝8y 得y 0＝12，故使|PF|＋|PA|的值最小的抛物线上的点P 的坐标为(－2，12)．4．已知点A(3，2)，点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12. (1)求点M 的轨迹方程； [^%&@*](2)是否存在M ，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由． [%#&^@]解：(1)由于动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0的距离比它到y 轴的距离大12，所以动点M 到F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0的距离与它到直线l ：x ＝－12的距离相等，由抛物线的定义知动点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程应为y 2＝2px(p>0)的形式，而p 2＝12，∴p ＝1，2p ＝2，故轨迹方程为y 2＝2x. (2)如图，由于点M 在抛物线上，所以|MF|等于点M 到其准线l 的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|，所以当A 、M 、N 三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M 的纵坐标为2，可设M(x 0，2)代入抛物线方程得x 0＝2，即M(2，2)． [%#&~*][#~@%^]。

高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：2-4-2抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质一、选择题1．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点作直线交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝3p ，则|PQ |等于( )A ．4pB ．5pC ．6pD ．8p[答案] A[解析] |PQ |＝x 1＋x 2＋p ＝4p .2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点(－5，25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝－4x 或y 2＝－36x[答案] B[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为： y 2＝－2px (p >0)，由题意，得p2＋5＝6，∴p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝－4x .3．与y 轴相切并和圆x 2＋y 2－10x ＝0外切的动圆圆心的轨迹为( ) A ．圆 B ．抛物线和一条射线 C ．椭圆D ．抛物线[答案] B [解析] 如图，设动圆圆心坐标为(x ，y )，由题意得 y ＝0(x <0)或y 2＝20x (x ≠0)．4．设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点(k ，－2)与F 点的距离为4，则k 的值是( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．2或－2[答案] B[解析] 由题意，设抛物线的标准方程为：x 2＝－2py ，由题意得，p 2＋2＝4，∴p ＝4，x 2＝－8y .又点(k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝16，k ＝±4.5．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点，且过A 、B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x [答案] C[解析] 由抛物线的对称性及AB ⊥x 轴知，抛物线的焦点在x 轴上．设方程为y 2＝nx (n ≠0)．∵OA 的方程为y ＝33x ，且OA ＝1. 得A ⎝⎛⎫32，12或A ⎝⎛⎭⎫－32，－12，代入y 2＝nx ，得n ＝±36，∴方程为y 2＝±36x ，故选C.6．抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.1716B.1516C.78D ．0[答案] B[解析] 设M (x ，y )，且方程化为x 2＝14，则必有|MF |＝y ＋p 2＝y ＋116＝1，所以y ＝1516，故选B.7．(2008·重庆)若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．4 2[答案] C[解析] 双曲线的左焦点⎝⎛⎭⎫－3＋p 216，0，抛物线的准线x ＝－p 2，∴－3＋p 216＝－p2⇒p 2＝16，由题意知p >0，∴p ＝4.故选C.8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一动点，记点P 到y 轴的距离为d ，对于定点A (4,5)，则|PA |＋d 的最小值为( )A ．4B.74C.17－1D.34－1[答案] D[解析] 因为A 在抛物线的外部，所以，当点P 、A 、F 共线时，|P A |＋|PF |最小，此时|P A |＋d 也最小，|PA |＋d ＝|PA |＋(|PF |－1)＝|AF |－1＝(4－1)2＋52－1＝34－1.9．已知直线l ：y ＝k (x ＋1)，抛物线C ：y 2＝4x ，l 与C 有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条C ．3条D ．1条、2条或3条[答案] C[解析] 将直线l 和C 的方程联立，消去y ，得 k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0.当k ＝0时，方程①只有一个解，x ＝0.所以直线l 与C 只有一个公共点(0,0)，此时直线l 的方程为y ＝0，当k ≠0时Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝0，解得k ＝±1，此时l 与C 有一个公共点，l 与C 相切．综上可知，当k ＝0或k ＝±1时，l 与C 有一个公共点．10．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则OA →·OB →的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－3[答案] D[解析] 本题考查抛物线的性质和向量数量积的有关运算设A (y 214，y 1)，B (y 224，y 2)，则OA→＝(y 214，y 1)，OB →＝(y 224，y 2)，则OA →·OB →＝(y 214，y 1)·(y 224，y 2)＝y 21y 2216＋y 1y 2，又∵AB 过焦点，则有y 1y 2＝－p 2＝－4，∴OA →·OB →＝(y 1y 2)216＋y 1y 2＝(－4)216－4＝－3，故选D.二、填空题11．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，其上有一点A (4，m )，其到准线的距离为6，则m ＝________.[答案] ±4 2[解析] x 1＋p2＝4，p ＝4，∴y 2＝8x ，将A (4，m )代入，解得m ＝±4 2.12．抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是________．[答案] 1或9[解析] 设抛物线上一点M 坐标为(x 0，y 0) 由题意，得y 0＝6，x 0＋p2＝10，又y 20＝2px 0，解得x 0＝1或9.13．(2010·重庆文，13)已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝____.[答案] 2[解析] 本题考查抛物线的定义，基本知识点．设A 点(x 1，y 1)，B 点(x 2，y 2)抛物线y 2＝4x ，焦点为(1，c )，准线为x ＝－1. |AF |＝x 1－(－1)＝2，所以x 1＝1. 则AF 与x 轴垂直，|BF |＝|AF |＝2.14．抛物线y 2＝4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为________．[答案] 2[解析] 由题意，设A 点坐标为(x,23)，则x ＝3，又焦点F (1,0)，∴焦点到AB 的距离为2. 三、解答题15．根据下列条件写出抛物线的标准方程． (1)焦点是F (3,0)． (2)准线方程是x ＝－14.(3)焦点到准线的距离是2.[解析] (1)设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，又焦点F (3,0)，∴p ＝6， ∴抛物线方程为y 2＝12x .(2)由题意，设抛物线的标准方程为y 2＝2px (p >0)，又准线方程为x ＝－14，∴p ＝12，∴抛物线方程为：y 2＝x . (3)∵焦点到准线的距离为2，∴抛物线的标准方程为y 2＝±4x 或x 2＝±4y .16．求证：以抛物线y 2＝2px 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切． [证明] 如图，过A 、B 分别作AC 、BD 垂直于l ，垂足为C 、D ，取AB 中点M ，作MH ⊥l 于H .由抛物线定义，知|AC |＝|AF |，|BD |＝|BF |. ∴|AB |＝|AC |＋|BD |.又ACDB 是梯形，MH 是其中位线，∴|MH |＝12AC |＋|BD |)＝12|AB |.∴|MH |是圆M 的半径，从而命题得证．17．如下图所示，线段AB 为抛物线y ＝x 2上的动弦，且|AB |＝a (a 为常数，且a ≥1)，求弦的中点M 到x 轴的最近距离．[解析] 如下图所示，设点A ，M ，B 的纵坐标为y 1，y 2，y 3，点A ，M ，B 在抛物线y ＝x 2的准线上的射影分别为A ′，M ′，B ′，由抛物线的定义，得 |AF |＝|AA ′|＝y 1＋14，|BF |＝|BB ′|＝y 3＋14，∴y 1＝|AF |－14，y 3＝|BF |－14.又M 是线段AB 的中点， ∴y 2＝12y 1＋y 3)＝12(|AF |＋|BF |－12)≥12(|AB |－12) ＝14(2a －1) 当且仅当线段AB 过焦点F 时等号成立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，点M 到x轴的距离最近，最近距离为14(2a －1)．18．点P 在抛物线2y 2＝x 上，点Q 在圆(x －2)2＋y 2＝1上，求|PQ |的最小值． [解析] 圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为M (2,0)，设P (2y 21，y 1)，则|PM |2＝(2y 21－2)2＋y 21＝4y 41－7y 21＋4＝4(y 21－78)2＋1516≥1516.∴|PM |≥154， ∴|PQ |min ＝|PM |min －1＝154－1. 此时P 点的坐标为(74，144)或(74，－144)．。

人教版高中数学选修2-1 抛物线及其标准方程练习

(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：
(1)如图(1)，易知抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.
∵点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F(1,0)的距离，
∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小．
如图(2)，显然P是A、F的连线与抛物线的交点，最小值为|AF|＝ .
解析：抛物线方程化为标准形式为x2＝ y，其准线方程为y＝－＝2，所以a＝－ .
答案：B
6．抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，则此抛物线的方程为()
A．y2＝－16x
B．y2＝8x
C．y2＝16x或y2＝－8x
D．y2＝－16x或y2＝8x
解析：抛物线的准线方程为x＝－，则＝3，m＝8或－16.
答案：y2＝8x
8．已知点A(0，－2)，直线l：y＝2，则过点A且与l相切的圆的圆心的轨迹方程为________．
解析：设圆心为C，则|CA|＝d，其中d为点C到直线l的距离，所以C的轨迹是以A为焦点，l为准线的抛物线．
所以所求轨迹方程为x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
9．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
答案：A
12．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是__________．
解析：由题意知P到抛物线准线的距离为4－(－2)＝6，由抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离也是6.
答案：6
13．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的一点M到定点A 和焦点F的距离之和的最小值等于5，求抛物线的方程．

北师大版高中数学选修2-1抛物线的简单性质同步练习

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）抛物线的简单性质同步练习【选择题】1．抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别是（A ）(14a , 0), x =－14a （B ）(－14a , 0), x =－14a（C ）(0, 14a ), y =－14a （D ）(0, －14a ), y =14a2．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，点A 的坐标是(－1, 8)，P 是抛物线上一点，|PA |+|PF |则的最小值是（A ）8 （B ）9 （C ）651 （D ）103．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（A ）x 2+y 2－x －2y －41=0 （B ）x 2+y 2+x －2y +1=0 （C ）x 2+y 2－x －2y +1=0 （D ）x 2+y 2－x －2y +41=0 4．抛物线y = 4x 2上一点到直线y = 4x －5的距离最短，则该点的坐标是（A ）(1, 2) （B ）(0, 0) （C ）(21, 1) （D ）(1, 4) 5．抛物线x 2=－32y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是（A ）4 （B ）－4 （C ）41 （D ）－41 6．对于抛物线，有如下说法：① 抛物线只有一个顶点，一个焦点；② 抛物线没有对称轴，也没有对称中心；③ 抛物线的焦点与准线之间的距离为2p ，其中说法正确的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7．已知点A (4, －2)，F 为y 2=8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |+|MF |取最小值时，点M 的坐标是（A ）(0, 0) （B ）(1, －22) （C ）(2, －2) （D ）(21, －2) 8．过点M (－p , p )作直线l 与抛物线y 2=2px 仅有一个公共点的直线共有（A ）3条（B ）2条（C ）1条（D ）不能确定9．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A , B 两点，A , B 在准线上的射影分别为A 1, B 1，则∠A 1FB 1为（A ）等于90° （B ）大于90° （C ）小于90° （D ）不能确定10．以过抛物线的焦点弦为直径的圆与它的准线的位置关系是（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定11．已知A , B 是抛物线y 2=2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |=|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（A ）x =p （B ）x =3p （C ）x =23p （D ）x =25p 12．若抛物线的准线为2x +3y －1=0，焦点坐标为(－2, 1)，则抛物线的对称轴方程是（A ）2x +3y +1=0 （B ）3x －2y +8=0 （C ）3x －2y +6=0 （D ）3x +2y +4=0【填空题】13．若抛物线y 2==2px (p >0)上一点到其准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标是 .14．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点的纵坐标是－4，且该点到焦点的距离是6，则抛物线的标准方程是 .15．已知三点A (2, y 1), B (x 2, －4), C (6, y 2)，三点均在抛物线y 2=2px (p >0)上，且2<x 2<6，若A , B , C 三点到焦点的距离依次成等差数列，则x 2= ;y 1= ;y 2= .16．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切，则p = .17．已知M ={(x , y )| y 2=21x }, N ={(x , y )| (x －23)2+y 2=49}，则M ∩N 中元素的个数是 .18．斜率为1的直线与抛物线x 2=2y 相交于A , B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 .19．对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P(a, 0)都满足|PQ|≥a，则a的取值范围是 .【解答题】20. 过(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，求|AB|21．已知抛物线y2=2px(p>0)，过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A, B，（1）若|AB|≤2p，求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求△MNQ的面积。

高中数学人教A版选修2-1抛物线基础训练

抛物线基础训练一、选择题：1．（）抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是A ．25 B ．5 C ．215 D ．10 B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p2．（）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为 A ．(7,14)± B ．(14,14)± C ．(7,214)± D ．(7,214)-±对C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离，得7,214P p x y ==±3．（）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=D 圆心为(1,3)-，设22112,,63x py p x y ==-=-；设2292,,92y px p y x === 4．（）设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为 A ．2p B ．p C ．p 2 D ．无法确定 C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,2p x y p ==±min 2AB p = 5．（）若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（） A ．12(,)44±B ．12(,)84±C ．12(,)44D ．12(,)84B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =，过点P 所作的高也是中线 18x P ∴=，代入到x y =2得24y P =±，12(,)84P ∴± 6．（）抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称，且2121-=⋅x x ，则m 等于 A ．23 B ．2 C ．25 D ．3 A 22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,) 在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 222212*********()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++== 7．（）若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为A ．()0,0 B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21 C ．()2,1 D ．()2,2 D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取得最小值，即2y M =，代入x y 22=得2x M =二、填空题：8．抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.32x =- 326,3,22p p p x ===-=-。

高二数学选修2-1理科第二章圆锥曲线第3节抛物线—练习题含答案

第二章圆锥曲线
第3节抛物线
1.抛物线22
y x
的焦点坐标是( )
A。

1(0,)
4B。

1(0,)
8
C.1(,0)
8
D。

1(,0)
4
2。

抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是( ）
A 。

1
B .2
C 。

4
D .8
3.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=－2，则抛物线的方程是（)
A。

y2=－8x B。

y2=－4x C.y2=8x D。

y2=4x
4.若直线y=kx－k交抛物线y2=4x于A，B两点,且线段AB中点到y轴的距离为3 ,则|AB|=（)
A.12
B.10
C.8
D.6
5.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为直线l，过抛物线上一点P 作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°,则|PF｜=________.
6.抛物线过点（1 ,2) ，其准线与x轴垂直，直线l过其焦点F，交抛物线于A，B两点，若AB的中点到准线距离为5
，求直线l
2
的方程.
7。

已知抛物线C的顶点在坐标原点O ,焦点为F（1 ，0）,经过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点.
(Ⅰ)求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）若△AOB的面积为4 ，求|AB|。

答案：
1。

C
2。

C
3.C
4.C
5。

4
3
6.()
=±-
21
y x
7。

（Ⅰ)y2=4x. (Ⅱ）AB的长为16。

人教新课标版数学高二-数学选修2-1练习抛物线的简单几何性质

练习十一、选择题1．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1) 、B (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，那么，|AB |等于( )A ．8B ．10C ．6D ．42．到点(－1,0)与直线x ＝3的距离相等的点的轨迹方程为( )A ．x 2＝－4y ＋4B ．y 2＝－4x ＋4C ．x 2＝－8y ＋8D ．y 2＝－8x ＋83．设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )A ．4B ．6C ．8D ．124．已知A 、B 在抛物线y 2＝2px (p >0)上，O 为坐标原点，如果|OA |＝|OB |，且△AOB 的垂心恰好是此抛物线的焦点F ，则直线AB 的方程是( )A ．x －p ＝0B ．4x －3p ＝0C ．2x －5p ＝0D ．2x －3p ＝05．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点O 为坐标原点，则OA →·OB→的值是( )A ．12B ．－12C ．3D ．－36．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线二填空题7．已知点A (4,0)，M 是抛物线y 2＝6x 上的动点，当点M 到A 距离最小时，M 点坐标为________．8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线为l ，过M (1,0)且斜率为3的直线与l 相交于A ，与C 的一个交点为B ，若AM →＝M B →，则p ＝________.三解答题9．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB→<0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10．已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝52p ，求AB 所在的直线方程．练习十1.A ；2.D ；3.B ；4.C ；5.D ；6.D ；7. (1，±6)；8.2；9. [解析] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x －1)2＋y 2－x ＝1(x >0)化简得y 2＝4x (x >0)(2)设过点M (m,0)(m >0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧ x ＝ty ＋m y 2＝4x得y 2－4ty －4m ＝0，此时Δ＝16(t 2＋m )>0.于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t y 1·y 2＝－4m ① 又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2) FA →·FB →<0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1·x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2<0②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－(y 214＋y 224)＋1<0⇔(y 1y 2)26＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1<0③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1<4t 2④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1<0，即3－22<m <3＋2 2由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任意一直线，都有FA →·FB→<0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)． 10. [解析] 解法1：焦点F (p 2，0)，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，若AB ⊥Ox ，则|AB |＝2p <52p所以直线AB 的斜率存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)，k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，消去x ，整理得ky 2－2py －kp 2＝0.由韦达定理得，y 1＋y 2＝2p k ，y 1y 2＝－p 2.∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋1k 2)·(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝2p (1＋1k 2)＝52p . 解得k ＝±2.∴AB 所在直线方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．解法2：如图所示，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设A 、B 到准线的距离分别为d A ，d B ，由抛物线的定义知，|AF |＝d A ＝x 1＋p 2，|BF |＝d B ＝x 2＋p 2，于是|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝52p ；x 1＋x 2＝32p .当x 1＝x 2时，|AB |＝2p <52p ，直线AB 与Ox 不垂直．设直线AB 的方程为y ＝k (x －p 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －p 2)，y 2＝2px ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋14k 2p 2＝0. x 1＋x 2＝p (k 2＋2)k 2，即p (k 2＋2)k 2＝32p ，解得k ＝±2.∴直线AB 的方程为y ＝2(x －p 2)或y ＝－2(x －p 2)．。

人教版数学高二理科选修2-1第二章双曲线与抛物线(强化练)

双曲线与抛物线(强化练)一、选择题1．顶点在坐标原点，准线方程为y ＝1的抛物线的标准方程是( ) A ．x 2＝－2y B ．x 2＝－4y C ．x 2＝2yD ．x 2＝4y解析：选B ．抛物线的准线为y ＝1，故其焦点在y 轴负半轴上，且p2＝1，所以抛物线的标准方程为x 2＝－4y .2．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a >0)的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．43解析：选C ．根据右焦点坐标为(3，0)，知c ＝3，则a 2＋5＝9，所以a ＝2，故e ＝c a ＝32.3．已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为( )A ．x 24－y 24＝1B ．y 24－x 24＝1C ．y 24－x 28＝1D ．x 28－y 24＝1解析：选B ．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，2a ＋2b ＝2×2c ，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2.易知双曲线的焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为y 24－x 24＝1.4．(2019·郑州检测)已知双曲线的一个焦点是抛物线y 2＝36x 的焦点，且双曲线的虚轴长为4，则此双曲线的标准方程是( )A ．x 277－y 24＝1B ．y 277－x 24＝1C ．x 265－y 216＝1D ．y 265－x 216＝1解析：选A ．因为抛物线y 2＝36x 的焦点坐标是(9，0)，所以c ＝9.由于双曲线的虚轴长为4，所以2b ＝4，即b ＝2，所以a 2＝c 2－b 2＝81－4＝77，故此双曲线的标准方程是x 277－y 24＝1.5．若抛物线y 2＝2x 上有两点A ，B ，且AB 垂直于x 轴，若|AB |＝22，则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A ．12B ．14C ．16D ．18解析：选A ．由题意得，线段AB 所在的直线的方程为x ＝1，抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，则焦点到直线AB 的距离为1－12＝12.6．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的离心率为( )A ． 6B ． 5C ．62D ．52解析：选D ．由题意知过点(4，－2)的渐近线的方程为y ＝－b a x ，所以－2＝－ba ×4，所以b a ＝12，e 2＝b 2a 2＋1＝14＋1＝54，所以e ＝52.故选D ． 7．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A ． 5B ．4 2C ．3D ．5解析：选A ．由题易得抛物线的焦点为(3，0)，所以双曲线的右焦点为(3，0)，所以b 2＝9－4＝5，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝52x ，即5x －2y ＝0，所以所求距离为d ＝|35|5＋4＝ 5.8．已知点P 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S△PMF 1＝S△PMF2＋14S △MF 1F 2，则双曲线的离心率为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C ．设△PF 1F 2的内切圆的半径为R ，由S△PMF 1＝S△PMF2＋14S △MF 1F 2，得12×|PF 1|×R －12×|PF 2|×R ＝14×12×|F 1F 2|×R ，即12×2a ×R ＝14×12×2c ×R ，所以ca＝4.9．已知点A (4，0)，抛物线C ：x 2＝12y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线和它的准线分别相交于点M 和N ，则|FM |∶|MN | 等于( )A ．2∶3B ．3∶4C ．3∶5D ．4∶5解析：选C ．抛物线焦点为(0，3)，又A (4，0)，所以F A 的方程为3x ＋4y －12＝0，设M (x M ，y M )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝12y ，3x ＋4y －12＝0，可得x M ＝3或x M ＝－12(舍去)，所以y M ＝34，所以|FM ||MN |＝35.故选C ．10．如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F 2P 的延长线与y 轴交于点A ，△APF 1的内切圆在边PF 1上的切点为Q ，若|PQ |＝1，则双曲线的离心率是( )A ．3B ．2C ． 3D ． 2解析：选B ．记△APF 1的内切圆在边AF 1，AP 上的切点分别为N ，M ，则|AN |＝|AM |，|NF 1|＝|QF 1|，|PM |＝|PQ |.又|AF 1|＝|AF 2|，所以|NF 1|＝|AF 1|－|AN |＝|AF 2|－|AM |＝|MF 2|，所以|QF 1|＝|MF 2|.则|PF 1|－|PF 2|＝(|PQ |＋|QF 1|)－(|MF 2|－|PM |)＝|PQ |＋|PM |＝2|PQ |＝2，即2a ＝2，则a ＝1.由|F 1F 2|＝4＝2c ，得c ＝2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2.故选B ．二、填空题11．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为________．解析：将y ＝ax 2化为x 2＝1a y ，由于准线方程为y ＝2，所以抛物线开口向下，1a ＜0，且⎪⎪⎪⎪14a ＝2，所以a ＝－18.答案：－1812．已知a >b >0，若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率之积为32，则双曲线的渐近线方程为________．解析：由已知及椭圆、双曲线的几何性质，得1－⎝⎛⎭⎫b a 2·1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，所以b a ＝12，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.答案：x ±2y ＝013．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2的坐标分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为________．解析：由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|·|PF 2|＝2|PF 1|2＋|PF 2|2＝（25）2⇒(|PF 1|－|PF 2|)2＝16，即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，所以所求双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝114．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为________．解析：如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |，因为△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，所以S △AMFS △AOF ＝12×|AF |×|AM |×sin ∠MAF 12×|OF |×|AF |×sin （π－∠MAF ）＝3.所以|AF |＝|AM |＝3|OF |＝3.设A ⎝⎛⎭⎫y 24，y 0，所以y 204＋1＝3，所以y 204＝2，解得y 0＝±2 2.所以点A 的坐标是(2，±22)．答案：(2，±22) 三、解答题15．已知双曲线的渐近线方程是y ＝±23x ，焦距为226，求双曲线的标准方程．解：当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线的标准方程为x 2a 21－y 2b 21＝1(a 1>0，b 1>0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b 1a 1＝23，c 21＝a 21＋b 21＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 21＝18，b 21＝8，此时双曲线的标准方程为x 218－y 28＝1.当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的标准方程为y 2a 22－x 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝23，c 22＝a 22＋b 22＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 22＝8，b 22＝18，此时双曲线的标准方程为y 28－x 218＝1.综上，所求双曲线的标准方程为 x 218－y 28＝1或y 28－x 218＝1. 16．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为(1，0)． (1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝x －1与抛物线C 交于A ，B 两点，求弦长|AB |. 解：(1)由题意，得p2＝1，所以p ＝2，抛物线C 的标准方程是y 2＝4x . (2)易知直线l ：y ＝x －1过抛物线的焦点．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，可得x 2－6x ＋1＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.17．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A (1，0)，B (0，－2)，点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α，β∈R ，且α－2β＝1.(1)求点C 的轨迹方程；(2)设点C 的轨迹与双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)交于两点M ，N ，且OM ⊥ON ，求该双曲线的方程．解：(1)设C (x ，y )，因为OC →＝αOA →＋βOB →，所以(x ，y )＝α(1，0)＋β(0，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝α，y ＝－2β.因为α－2β＝1，所以x ＋y ＝1.即点C 的轨迹方程为x ＋y ＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2a 2－y 2＝1得(a 2－1)x 2－2a 2x ＋2a 2＝0.由题意，得a 2－1≠0，且Δ＝4a 4－8a 2(a 2－1)>0，即a 2<2且a 2≠1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 2a 2－1，x 1x 2＝2a 2a 2－1.又OM ⊥ON ，所以OM →·ON →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝1－2a 2a 2－1＋4a 2a 2－1＝0，即3a 2－1＝0，得a 2＝13.所以双曲线的方程为3x 2－y 2＝1.18．已知抛物线C ：y 2＝4x ，F 是抛物线C 的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)如果l 的斜率为1，求以AB 为直径的圆的方程； (2)若|F A |＝2|BF |，求直线l 的方程．解：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)因为y 2＝4x ，所以F (1，0)，准线为x ＝－1，又直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为y ＝x －1. 代入y 2＝4x ，得x 2－6x ＋1＝0.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1，易得AB 的中点，即所求圆的圆心的坐标为(3，2)．又由抛物线的定义，知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，所以所求圆的半径r ＝4，所以以AB 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16. (2)因为|F A |＝2|BF |，所以F A →＝2BF →. 又F A →＝(x 1－1，y 1)，BF →＝(1－x 2，－y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1－1＝2（1－x 2），y 1＝－2y 2.易知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，代入y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.又x 1－1＝2(1－x 2)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝12，所以k ＝±22，此时Δ>0，所以直线l 的方程为y ＝－22(x －1)或y ＝22(x －1)．。