2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角_课件(人教A版必修4)
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人教新课标A版高中数学(必修4)2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件
二、基础知识讲解
c3o、s向ar量,br的夹角rar brr |a||b|
cos x1x2y1y2
x12y12 x22y22
随堂练习
r
rr
rr
3 、 已 知 向 量 a ( 1 ,1 ),2 a b (4 ,2 ),则 a 与 b 的
夹 角 为 ;
4
三、例题分析
例 1 、 已 知 A O B 中 ， O 为 原 点 ， A (2 ,2 ),B (,1 ) 且 A B O 是 钝 角 ， 求 的 取 值 范 围
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
2、向量的模
r rr |a| aa
rr a•bx 1x 2y 1y2
r |a| x12y12
特 别 的 ， 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 uuur |AB| (x2x1)2(y2y1)2
随堂练习
u u u ru u u r u u u r
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。
三、例题分析 例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。
u u u r u u u r 变 式 ： 在 R t A B C 中 ， A B ( 2 , 3 ) , A C ( 1 , k ) , 求 k 的 值
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
rr a•bx 1x 2y 1y2
随堂练习
rr
1 、 已 知 向 量 a (1 ,3 ),b (2 ,5 ),则
rr
rr rr
a b 17 ;(a b )(2 a b ) 8 .
2.4.2平面向量数量积的坐标表示p模p夹角 课件(人教A版必修4)
∴|a+b|= x 2 x 2 2 2 x 12 2,
当x=-1时，|a+b|取最小值，为2.
2.(1)∵a= AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3),
∴|a|=
42 3 5.
2x-1)，则|a+b|的最小值为(
(A) 2 1 (B)2 2 (C) 2
)
(D)2
2.(2012²天津高 一检 测 ) 若向量 a 的始点为 A(-2,4), 终点为
B(2,1).求： (1)向量a的模; (2)与a平行的单位向量的坐标; (3)与a垂直的单位向量的坐标.
【解析】1.选C.∵a=(2x-1,3-x),b=(1-x,2x-1), ∴a+b=(2x-1,3-x)+(1-x,2x-1)=(x,x+2),
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示﹑模﹑夹角
1.理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关
的问题.
1.本课的重点是平面向量的数量积的坐标表示及运算.
2.本课的难点是利用向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂 直有关的问题.
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).
1.已知向量a＝(－2,1)，b＝(－3,0)，则a在b方向上的投影为
(
(A)- 5 (B) 5 (C)-2 (D)2
)
2.若a=(2,3),b=(-2,4),则(a+b)²(a-b)=__________. 3.已知向量a与b共线,b=(1,2),a²b=10,求a的坐标.
【解析】1.选D.设a与b的夹角为θ,a在b方向上的投影是
高一数学人教A版必修4第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模和夹角课件(共45张PPT)
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向 D．平行且反向
解析：已知向量 a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30 ＝0，则 a 与 b 垂直，选 A.
答案：A
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3 已知向量 a＝(1,1)，b＝(2，－3)，若 λa－2b 与 a 垂 直，则实数 λ 等于___－__1___．
解法一：λa－2b＝(λ，λ)－2(2，－3)＝(λ－4，λ＋6)，由 于(λa－2b)⊥a⇔(λa－2b)·a＝0，∴(λ－4)＋(λ＋6)＝0，∴λ＝ －1.
温馨提示
1通过向量的坐标表示实现向量问题代数化，应注意与 方程、函数等知识的联系.
2向量问题的处理有两种思路：一种是纯向量式，另一 种是坐标式，两者互相补充.
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2．设向量 a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b 和 a 垂直，
那么 λ＝( )
A．2B．1 C．－2D．－1答案：D
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高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第二章 平面向量§2.4 平面向量的数量积2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角明目标知重点填要点记疑点探要点究所然内容索引010203当堂测查疑缺 04明目标、知重点1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.1.平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.即两个向量的数量积等于 .2.两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.x1x2＋y1y2填要点·记疑点相应坐标乘积的和x1x2＋y1y2＝03.平面向量的模(1)向量模公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝探要点·究所然情境导学在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来，那么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示？通过回顾两个向量的数量积的定义及向量的坐标表示，在此基础上推导、探索平面向量数量积的坐标表示.探究点一 平面向量数量积的坐标表示思考1 已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示a ·b ?答 ∵a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1j ·i ＋y 1y 2j 2.又∵i ·i ＝1，j ·j ＝1，i ·j ＝j ·i ＝0，∴a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.思考2 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，这就是平面向量数量积的坐标表示.你能用文字描述这一结论吗？答 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.例1 已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；解 设a＝λb＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝(2,4).(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.解 ∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝1×2＋2×4＝10，∴a(b·c)＝0a＝0，(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10).反思与感悟 两个向量的数量积是实数，这和前面三种运算性质不同.同时本例进一步验证了平面向量的数量积不满足结合律.跟踪训练1 若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c ＝____________；a·(b·c)＝____________.(－16，－8) (－8，－12)解析 ∵a·b＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，∴(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8).∵b·c＝(－1)×2＋(－2)×1＝－4，∴a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12).探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考2 如图，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如何计算向量 的模？＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，思考1 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ⊥b ，则x 1，y 1，x 2，y 2之间的关系如何？反之成立吗？答 a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.思考2 设a ，b 都是非零向量，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ是a 与b 的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？探究点三 平面向量夹角的坐标表示例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为________.直角(2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是________三角形.跟踪训练2 已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围.解 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∵a，b的夹角α为钝角.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1).例3 已知在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD为BC边上的高，求与点D的坐标.解 设点D的坐标为(x，y)，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3).∴x－3＝2(y－2)，即x－2y＋1＝0.①即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0.即2x＋y－3＝0.②反思与感悟 在几何中利用垂直及模来求解点的题型是一种常见题型，其处理方法：设出点的坐标，利用垂直及模长列出方程组进行求解.跟踪训练3 以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求点B和的坐标.可得10x＋4y＝29，①即x2－5x＋y2－2y＝0，②当堂测·查疑缺 1234 1.已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为( )B又∵a，b的夹角范围为[0，π].C5呈重点、现规律1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持.2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.明目标、知重点3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆.若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2).则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(人教版必修4)
• 【题后总结】求两向量数量积的关键是求出它们的坐标，求解过程熟 练运用了方程的思想，加减消元法求出a，b.
• 1．已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求a·b的值．
2a＋b＝－4，3， 解：由 a－2b＝3，4， a＝－1，2， 解得 b＝－2，－1.
(2)因为 a 与 b 的夹角为钝角， 所以 cos θ＜0 且 cos θ≠－1， 所以 a· b＜0 且 a 与 b 不反向.9 分 1 由 a· b＜0 得 1＋2λ＜0，故 λ＜－ ， 2 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 1 所以 λ 的取值范围为(－∞，－2).12 分
∴a· b＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0.
• a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
已知在△ABC 中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－ → 1)，AD 为 BC 边上的高，求|AD|与点 D 的坐标．
→ → 【思路点拨】AD 为 BC 边上的高，隐含着BD、 BC共线， → → AD⊥BC.
• 2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、 夹角
• 1．理解并掌握平面向量的数量积的坐标表示及运算．(重点) • 2．能够用两个向量的坐标来判断向量的垂直关系．(难点) • 3．增强用向量法与坐标法来处理向量问题的能力．(易混点)
• 一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 • 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积 的和，即a·b＝ x x ＋y y
1 的取值范围为－2，2∪(2，＋∞)．
• 【题后总结】对于两向量夹角为钝角(或锐角)求参数范围的题型．可 先根据夹角余弦值的符号列不等式求出参数范围，再排除夹角为 180°(或0°)的情况．
数学：2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件(新人教A版必修4)
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b 的夹角为（0 180 ），
则 cos
a b ab
设a x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， （ (0 180 )则 cos
2 1 2 1 2 2
x1 x2 y1 y2 x y x y
(1) a a a 或 a
2
a a；
(1)向量的模 设a ( x, y ), 则 a x y , 或 a
2 2 2 2 2
x y ；
（2）两点间的距离公式 则 AB （x1 x2 ) y1 y2 ) （
=(x1,y1), b =(x2,y2),则
故两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和。即 y A(x ,y )
1 1
a b x1 x2 y1 y2 .
B(x2,y2)
b
j
a
i
o
x
根据平面向量数量积的坐标表示，向 量的数量积的运算可转化为向量的坐标运 算。
2、向量的模和两点间的距离公式
设两个非零向量
a
a x1 i y1 j b x2 i y2 j , a b ( x1 i y1 j ) ( x2 i y2 j ) 2 2 x1 x2 i x1 y2 i j x2 y1 i j y1 y2 j x1 x2 y1 y2
例3 （1）已知 a =（4，3），向量 b 是 垂直于 a 的单位向量，求 b .
（2）已知 a 10 , b (1,2)，且a // b，求a的坐标.
3 （3）已知a (3,0), b (k ,5)，且a与b的夹角为 ， 4 求k的值.
人教A版高中数学必修四课件：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.pptx
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
题型一 题型二 题型三 题型四
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
解:(1)a·b=2 3 + 2 3 = 4 3.
(2)cos θ= ������1������2+������1������2
垂直 夹角
a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0
cos θ= ������·������ =
|������ ||������ |
������ 1 ������ 2 +������1 ������2 ������12+������12 ������22+������22
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Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
2.向量数量积性质的坐标表示
剖析:设两个非零向量 a=(a1,a2),b=(b1,b2),a 与 b 的夹角为 θ.
(1)a·b=a1b1+a2b2;
(2)a⊥b⇔a1b1+a2b2=0;
(3)a·a=|a|2⇔|a|= ������12 + ������22;
则
cos
θ=
������·������ |������||������|
=
-15 3×5 2
=
−
22.
由
0≤θ≤π,知
θ=
3π 4
,
即a
与
b
的夹角为
34π.
答案:
3π 4
2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1 课件(人教A版必修4)
(3)向量垂直的坐标表示：由向量数量积的定义，a·b＝
|a||b|·cosθ＝x1x2＋y1y2，所以 a⊥b⇔a·b＝0(|a|·|b|≠0)⇔x1x2＋ y1y2＝0 .
已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构
成的集合是( )
A．{2,3}
B．{－1,6}
C．{2}
数量积；对于∠ACB的大小，则可以通过模长获得．
[解析] 由题，A→B＝(3，－1)，A→C＝(－1，－3)， ∴A→B·A→C＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴A→B⊥A→C. 而|A→B|＝ 10，|A→C|＝ 10， ∴∠ACB＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形．
第二章
平面向量
第二章
2．4 平面向量的数量积
第二章
2．4.2 平面向量数量积 的坐标表示、模、夹角
课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．若m，n满足：|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°， 则m·n＝________.
[答案] －12 2
2．已知|a|＝ 2，|b|＝ 2，a与b的夹角为45°，若λb－a与 a垂直，则λ＝________.
D．{6}
[答案] C
[解析] 考查向量垂直的坐标表示，a＝(x－5,3)，b＝(2，x)， ∵a⊥b，∴a·b＝2(x－5)＋3x＝0，解之得x＝2，则由x的值构 成的集合是{2}．
3．向量夹角的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，由数量积的
定义
a·b
a·b＝|a||b|cosθ，得cosθ＝ |a||b| ，
[答案] 2
3．若i，j是平面直角坐标系xOy中的正交基底，且|i|＝|j| ＝1，a＝3i＋4j，b＝7i＋j，则a·b＝________，|a|＝ ________，|b|＝________，向量a与b的夹角θ为________．
高中数学人教A版必修4课件：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
D.(7,-6)
2.已知向量a在向量b=(1, 3 )方向上的投影为2,且|ab|= 5 ,则|a|=________.
【审题路线图】1.向量的夹角、模⇒坐标表示⇒设出点 B的坐标,列方程组求解. 2.投影、模⇒表示出投影式、模平方⇒构造模求值.
【解析】1.选D.因为向量 A 与B 向量a=(-3,4)的夹角 为π, 所以设 A B=ka=k(-3,4)=(-3k,4k),其中k<0，
所以 A EB F ＝ 2. 答案: 2
【方法技巧】关于向量数量积的运算 (1)在计算数量积的过程中,注意数量积运算律的应用, 强调先化简再代入坐标运算. (2)注意平面向量基本定理的应用,利用已知坐标的向 量表示未知向量后计算.
(3)在特殊图形中,如等腰三角形、矩形、正方形等可 以通过建立直角坐标系,表示出向量的坐标后计算.
(3)因为b·c=2×2+5×1=9, 所以a·(b·c)=9a=9(1,3)=(9,27).
类型二 平面向量的模
【典例】1.向量 A B 与向量a=(-3,4)的夹角为π ,|A B | =10,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标为 ( )
A.(-7,8)
B.(9,-4)
C.(-5,10)
3
3
2.选C.因为向量m=(2x-1,3),向量n=(1,-1),m⊥n,所以
m·n=(2x-1,3)·(1,-1)=2x-1-3=0,解得x=2.
【方法技巧】解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法:先利用平面向量的坐标表示出这两个向
量的数量积a·b及|a||b|,再由cosθ
=
a a
b b
是θ 是锐角,二是θ 为0°.
【变式训练】已知向量a=(-1,2), b=(m,1).若向量 a+b与a垂直,则m=________. 【解题指南】如果a=(x1,y1),b=(x2,y2)(b≠0), 则a⊥b的充要条件是x1x2+y1y2=0.
人教版必修4 数学2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件(28张)精选ppt课件
(2)由 x⊥y，得 x·y＝0， 即[a＋(t2＋3)b]·(－ka＋tb)＝0， ∴－ka2＋(t3＋3t)b2＋[t－k(t2＋3)]a·b＝0， ∴－k|a|2＋(t3＋3t)|b|2＝0. 又|a|2＝1，|b|2＝1， ∴－k＋t3＋3t＝0， ∴k＝t3＋3t， ∴k＋t t2＝t3＋tt2＋3t＝t2＋t＋3
向量模的坐标运算
已 知 A(1 ， 2) ， B(2 ， 3) ， C( － 2 ， 5) ， 试 判 断 △ABC的形状，并给出证明． (链接教材P106例5) [解] △ABC 是直角三角形． ∵A→B＝(2－1，3－2)＝(1，1)， A→C＝(－2－1，5－2)＝(－3，3)， B→C＝(－2－2，5－3)＝(－4，2)．
进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运 算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标 表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律 将原式展开，再依据已知计算．
1．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，2)． (1)求a·(a－b)； (2)求(a＋b)·(2a－b)； (3)若c＝(2，1)，求(a·b)c，a(b·c)． 解：(1)法一：∵a＝(－1，2)，b＝(3，2)， ∴a－b＝(－4，0)． ∴a·(a－b)＝(－1，2)·(－4，0) ＝(－1)×(－4)＋2×0＝4.
∴cos 120°＝（ka|k－a－b）b|·|（a＋a＋b| b），
即－1＝
－2
，
2 2· k2＋（k＋2）2
化简整理，得 k2＋2k－2＝0，解得 k＝－1± 3.
易错警示
没能正确理解夹角范围致误
已知 a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且 a 与 b 的夹角 θ 为锐
角，则实数 λ 的取值范围是( A )
2.4.2-平面向量数量积的坐标表示、模、夹角-课件(人教A必修4)
第24页，共31页。
已知向量 a＝( 3，－1)和 b＝(1， 3)，若 a·c＝b·c，试求 模为 2的向量 c 的坐标．
[解] 法一：设 c＝(x，y)， 则 a·c＝( 3，－1)·(x，y)＝ 3x－y， b·c＝(1， 3)·(x，y)＝x＋ 3y， 由 a·c＝b·c 且|c|＝2，得x23＋x－y2＝y＝2，x＋ 3y，
如图，求 D 点及 AD的坐标．
[自主解答] 设 D(x，y)，
∴ AD＝(x－2，y＋1)，
又 BC ＝(－6，－3)， AD·BC ＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即 2x＋y＝3.
①
第21页，共31页。
又 BD与 BC 为共线向量， BD＝(x－3，y－2)，
BC ＝(－6，－3)，
第17页，共31页。
(2)cos∠OAB＝cos〈
AO
，
AB
〉＝ |
AO ·AB AO|| AB|.
其中 AO·AB＝－OA·AB ＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22.
∴∠OAB＝45°.
第18页，共31页。
第25页，共31页。
解之得x＝ y＝
32＋1， 32－1，
或x＝－ y＝－
32＋1， 32－1，
所以 c＝( 32＋1， 32－1)或 c＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
第26页，共31页。
法二：由于 a·b＝ 3×1＋(－1)× 3＝0，且|a|＝|b|＝2， 从而以 a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 a·c＝ b·c，所以 c 与 a，b 的夹角相等，从而 c 与正方形的对角线共线．此 外，由于|c|＝ 2，即其长度为正方形对角线长度( 2|b|＝2 2) 的一半， 故 c＝12(a＋b)＝( 32＋1， 32－1)或 c＝－12(a＋b)＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
已知向量 a＝( 3，－1)和 b＝(1， 3)，若 a·c＝b·c，试求 模为 2的向量 c 的坐标．
[解] 法一：设 c＝(x，y)， 则 a·c＝( 3，－1)·(x，y)＝ 3x－y， b·c＝(1， 3)·(x，y)＝x＋ 3y， 由 a·c＝b·c 且|c|＝2，得x23＋x－y2＝y＝2，x＋ 3y，
如图，求 D 点及 AD的坐标．
[自主解答] 设 D(x，y)，
∴ AD＝(x－2，y＋1)，
又 BC ＝(－6，－3)， AD·BC ＝0，
∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0，即 2x＋y＝3.
①
第21页，共31页。
又 BD与 BC 为共线向量， BD＝(x－3，y－2)，
BC ＝(－6，－3)，
第17页，共31页。
(2)cos∠OAB＝cos〈
AO
，
AB
〉＝ |
AO ·AB AO|| AB|.
其中 AO·AB＝－OA·AB ＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300.
故 cos∠OAB＝20×30105
＝ 2
22.
∴∠OAB＝45°.
第18页，共31页。
第25页，共31页。
解之得x＝ y＝
32＋1， 32－1，
或x＝－ y＝－
32＋1， 32－1，
所以 c＝( 32＋1， 32－1)或 c＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
第26页，共31页。
法二：由于 a·b＝ 3×1＋(－1)× 3＝0，且|a|＝|b|＝2， 从而以 a，b 为邻边的平行四边形是正方形，且由于 a·c＝ b·c，所以 c 与 a，b 的夹角相等，从而 c 与正方形的对角线共线．此 外，由于|c|＝ 2，即其长度为正方形对角线长度( 2|b|＝2 2) 的一半， 故 c＝12(a＋b)＝( 32＋1， 32－1)或 c＝－12(a＋b)＝(－ 32＋1，－ 32－1)．
高中数学新课标人教A版必修四《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件
(1) 2；（2）17；（3）－3.
第十一页，编辑于星期一：点 十一分。
例2 已知点A（1，2）,B（2，3）,
C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给
出证明. △ABC是直角三角形
例3 已知向量a＝(5，－7)，b＝ (－ 6，－4)，求向量a 与b的夹角θ（精确
到1°）.
cosθ≈－0.03，θ≈92°.
第十二页，编辑于星期一：点 十一分。
例4 已知向量a＝(λ，－2)，b＝(－3， 5)，若向量a 与b的夹角为钝角，求λ的取
值范围.
( 10 , 6) (6 ,
)
35 5
例5 已知b＝(1，1)，a·b＝3， |a－b|＝2，求|a|.
22
第十三页，编辑于星期一：点 十一分。
小结作业
1.a∥b x1 y2 x2 y1 0
P107练习：1，2. P108习题2.4A组：9，10，11.
第十五页，编辑于星期一：点 十一分。
之成立吗？
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角
为θ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那么
cosθ如何用坐标表示？
cos a b
ab
x1 x2 y1 y2
x12 y12
x22 y22
第十页，编辑于星期一：点 十一分。
理论迁移
例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
i2=1，j2=1，i·j=0.
第六页，编辑于星期一：点 十一分。
思考3：根据数量积的运算性质，a·b等于 什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
第十一页，编辑于星期一：点 十一分。
例2 已知点A（1，2）,B（2，3）,
C(－2，5)，试判断△ABC的形状，并给
出证明. △ABC是直角三角形
例3 已知向量a＝(5，－7)，b＝ (－ 6，－4)，求向量a 与b的夹角θ（精确
到1°）.
cosθ≈－0.03，θ≈92°.
第十二页，编辑于星期一：点 十一分。
例4 已知向量a＝(λ，－2)，b＝(－3， 5)，若向量a 与b的夹角为钝角，求λ的取
值范围.
( 10 , 6) (6 ,
)
35 5
例5 已知b＝(1，1)，a·b＝3， |a－b|＝2，求|a|.
22
第十三页，编辑于星期一：点 十一分。
小结作业
1.a∥b x1 y2 x2 y1 0
P107练习：1，2. P108习题2.4A组：9，10，11.
第十五页，编辑于星期一：点 十一分。
之成立吗？
a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
思考4：设a、b是两个非零向量，其夹角
为θ，若a＝(x1，y1),b＝(x2，y2)，那么
cosθ如何用坐标表示？
cos a b
ab
x1 x2 y1 y2
x12 y12
x22 y22
第十页，编辑于星期一：点 十一分。
理论迁移
例1 已知向量a＝(4，3),b＝(－1，2), 求: (1) a·b； (2) (a＋2b)·(a－b)； (3) |a|2－4a·b.
i2=1，j2=1，i·j=0.
第六页，编辑于星期一：点 十一分。
思考3：根据数量积的运算性质，a·b等于 什么？
a·b＝x1x2＋y1y2
新课标高中数学人教A版必修四全册课件2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
第十六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和. 即
第十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
a b x1 x2 y1 y2 .
第十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第三十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.106到P.107;
2.2. 《习案》作业二十四.
第三十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量
的坐标.
2. 在△ABC中，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
设 a、b 为两个非零向量 , e 是与 b 同向的单位向量 .
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量 , e 是与 b
同向的单位向量 .
(1) e a a e a cos .
a b 及 a、b 间的夹角 (精确到1o ).
第二十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例: 例3. 已知 a (1, 3 ),
b ( 3 1, 3 1), 则 a 与 b 的夹角是多少 ?
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例:
例3. 已知 a (1, 3 ), b ( 3 1, 3 1),
2.平面内两点间的距离公式: (1) 设 a ( x , y), 则
1. 平面两向量数量积的坐标表示:
两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和. 即
第十七页，编辑于星期日：十三点 十九分。
1. 平面两向量数量积的坐标表示: 两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和. 即
a b x1 x2 y1 y2 .
第十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
第三十三页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后作业
1. 阅读教材P.106到P.107;
2.2. 《习案》作业二十四.
第三十四页，编辑于星期日：十三点 十九分。
课后思考:
1. 以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角 2.△OAB，使B=90，求点B和向量
的坐标.
2. 在△ABC中，
且△ABC的一个内角为直角，求k值.
第五页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质:
设 a、b 为两个非零向量 , e 是与 b 同向的单位向量 .
第六页，编辑于星期日：十三点 十九分。
复习引入
2. 两个向量的数量积的性质: 设 a、b 为两个非零向量 , e 是与 b
同向的单位向量 .
(1) e a a e a cos .
a b 及 a、b 间的夹角 (精确到1o ).
第二十八页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例: 例3. 已知 a (1, 3 ),
b ( 3 1, 3 1), 则 a 与 b 的夹角是多少 ?
第二十九页，编辑于星期日：十三点 十九分。
讲解范例:
例3. 已知 a (1, 3 ), b ( 3 1, 3 1),
2.平面内两点间的距离公式: (1) 设 a ( x , y), 则
2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》课件(人教A版必修4)
2.已知向量 a =（2,3）, b =（1,2）,且（ a +λ b ）⊥ （ a - b ）,则λ 等于（ （A）5 （B ）） （C）-3 （D ）3
3
5 3
【解析】选B.∵（ a +λ b ）·（ a - b ）=0, ∴ a 2 - a · b +λ a · b -λ b 2 =0, 又∵ a =（2,3）, b =（1,2）, ∴4+9+（λ-1）·（2+6）-λ（1+4）=0,3λ+5=0 λ=-
4 ＜m＜2. 3
2.（5分）（2010·浙江高考）已知平面向量 α ,β ,| β |=1, | β |=2, α ⊥( α -2 β )，则|2 α + β |的值是______.
【解题提示】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用
向量求模公式求解. 【解析】由题意可知 α ·（α -2 β ）=0，结合| α |2=1， | β |2=4，解得 α · β = 1 ，所以|2 α + β |2=4 α 2 +4 α· β +
5 . 3
3.已知向量 OA =（2，2）， OB =（4，1），在x轴上取一点 P使 AP · BP 有最小值，则P点的坐标是（ ） （A）（-3，0） （C）（3，0） （B）（2，0） （D）（4，0）
【解题提示】由题意可设P点坐标为（x,0），再由向量的 数量积有最小值可得关于x的方程，由二次函数求解. 【解析】选C.设P点坐标为（x,0）,则 AP =（x-2,-2）,
a
,
b 〉＜0,解不等式即可.
【解析】选B.∵ a 与 b 的夹角大于90°,∴cos〈 a , b 〉 ＜0,
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栏目 导引
第二章
平面向量
小结
1.向量数量积的坐标表示
2.向量模的计算 3.平面内两点间的距离公式. 4.向量垂直的等价条件
栏目 导引
第二章
平面向量
栏目 导引
2 5 答案： 5
栏目 导引
第二章
平面向量
想一想
向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则向量a在向 量b方向上的投影怎样用a，b的坐标表示？
提示： 向量 a 在向量 b 方向的投影为|a|cos 〈a， b〉 ， a· b 而 cosθ ＝ . |a||b| a·b x1x2＋y1y2 ∴|a|cosθ ＝ ＝ 2 2 . |b| x2＋y2
两个向 量垂直
x1x2＋y1y2＝0 a⊥b⇔_________________
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第二章(1 ， 2) ， b ＝ (2 ， 3) ，则 a· b＝ ________． 解析：a· b＝1×2＋2×3＝8. 答案：8
栏目 导引
第二章
平面向量
2.三个重要公式
栏目 导引
第二章
平面向量
典题例证技法归纳
题型探究
数量积的坐标运算
例1 已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)， 求：(1)a· b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)· (a－b)．
【解】
(1)∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
∴a· b＝3×1＋(－1)×(－2)＝3＋2＝5.
栏目 导引
栏目 导引
第二章
平面向量
两个向量的夹角问题
例2 已知 a ＝ (1 ， 2) ， b ＝ (1 ， λ ) ，分别确
定实数 λ 的取值范围，使得 (1)a 与 b的夹角为
直角； (2)a与b的夹角为钝角； (3)a与b的夹角为锐角．
栏目 导引
第二章
平面向量
【解】 设 a 与 b 的夹角为 θ， |a|＝ 12＋22＝ 5，|b|＝ 1＋λ 2，a·b＝1＋ 2λ. (1)因为 a 与 b 的夹角为直角，所以 a⊥b，所 1 以 a· b＝0，所以 1＋2λ＝0，即 λ＝－ . 2 (2)因为 a 与 b 的夹角为钝角， 所以 cosθ <0 且 cosθ ≠－1， 所以 a· b<0 且 a 与 b 不反向．
数与形紧密结合起来．
栏目 导引
第二章
平面向量
互动探究
1.在本例中若条件不变，又知c＝(－2，1)，
又如何求(b· c)a的值呢？
解： (b· c)a ＝ [(1 ，－ 2)· ( － 2 ， 1)]· (3 ，－ 1) ＝
[1×(－2)＋(－2)×1]· (3，－1)
＝(－4)×(3，－1)＝(－12，4)．
第二章
平面向量
备选例题
1.已知平行四边形 OABC 中(O 为坐标原点)， → → → → OA＝(2， 1)， OC＝(1， 2)， 则OB· AC等于( A．0 )
B．2 C．4 D．5 → → → 解析： 选 A.OB＝OA＋OC＝(2＋1， 1＋2)＝(3，
→ → → 3)，AC＝OC－OA＝(1－2，2－1)＝(－1，1)， → → ∴OB·AC＝3×(－1)＋3×1＝0.
栏目 导引
第二章
平面向量
1 由 a· b<0 得 1＋2λ<0，故 λ<－ ， 2 由 a 与 b 共线得 λ＝2，故 a 与 b 不可能反向． 1 所以 λ 的取值范围为－∞，－2. (3)因为 a 与 b 的夹角为锐角， 所以 cosθ >0，且 cosθ ≠1， 所以 a· b>0 且 a，b 不同向． 1 由 a· b>0 得 λ>－ ，由 a 与 b 不同向得 λ≠2. 2
a· b |a||b| (4)cosθ ＝______________ ．
≤ (5)|a· b|_______| a||b|.
栏目 导引
第二章
平面向量
探究 单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 0 1 1 0 i· i =_____, j· j=______, i· j=______, j· i =_______.
第二章
平面向量
一、复习
1、数量积的定义：
2、投影： a· b=|a| |b| cosθ
|b| cosθ叫做向量b在向量a方向上的投影
b等于a的长度|a|与向量b在向量a 3、数量积的几何意义： a· 方向上的投影 |b| cosθ的乘积 4.向量数量积的运算律 b· a (1)a· b＝___________ (交换律)． λ(a· b)＝a· (λb) (结合律)． (2)(λa)· b＝_______________ a· c＋b· c (3)(a＋b)· c＝______________ (分配律)．
(1)试计算a· b与|a＋b|的值；
(2)求向量a与b夹角的余弦值． 解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1,－1), b＝4e1＋3e2＝4(1，0)＋3(0，1)＝(4，3)， 得a· b＝4×1＋3×(－1)＝1，
栏目 导引
第二章
平面向量
|a ＋ b|＝ （4＋1）2＋（3－1）2 ＝ 25＋4 ＝ 29. (2)由 a· b＝|a||b|cosθ ， a· b 1 2 得 cosθ ＝ ＝ ＝ . |a||b| 2×5 10
x＝1 由①②可得 ，8 分 y＝1
→ ∴|AD|＝ （1－2）2＋（1＋1）2＝ 5， → 即|AD|＝ 5，点 D 的坐标为(1，1).10 分
栏目 导引
第二章
平面向量
变式训练 2.已知点A(1，2)和B(4，－1)，问能否在y轴 上找到一点 C ，使∠ACB ＝ 90 °，若不能， 请说明理由；若能，求出C点的坐标． 解：假设存在点 C(0，y)使∠ACB＝90°，
→ → 则AC⊥BC. → → → → ∵AC＝ (－1， y－2)，BC＝ (－ 4， y＋1)，AC⊥BC，
→ → ∴AC· BC＝4＋(y－2)(y＋1)＝ 0， ∴ y2－ y＋ 2＝ 0. 而在方程 y2－ y＋2＝ 0 中，Δ <0， ∴方程无实数解，故不存在满足条件的点 C.
栏目 导引
栏目 导引
第二章
平面向量
由(a＋tb)· b＝|a＋tb||b|cos45°， 5 2 得 5t＋5＝ · （t＋1）2＋4，即 t2＋2t－3 2 ＝0. ∴t＝－3 或 t＝1，经检验 t＝－3 不合题意， 舍去，∴t＝1.
栏目 导引
第二章
平面向量
3.已知向量 a＝ e1 － e2， b ＝ 4e1 ＋ 3e2 ，其中 e1 ＝(1，0)，e2＝(0，1)．
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b 的坐标表示a· b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a· b = (x1i+y1j) · (x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2i· j+x2y1i· j+y1y2j2 = x1x2+y1y2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
栏目 导引
第二章
平面向量
2．4.2 平面向量数量积的坐标 表示、模、夹角
栏目 导引
第二章
平面向量
新知初探思维启动
1.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
设向量 a ＝ (x1 ， y1) ， b ＝ (x2 ， y2) ， a 与 b 的夹 角为θ. 相应坐标 两个向量的数量积等于___________ 数量积 乘积的和 x1x2＋y1y2 ________，即a· b＝____________
1 所以 λ 的取值范围为－2，2 ∪(2，＋∞)．
栏目 导引
第二章
平面向量
【名师点评】 利用数量积求两向量夹角的步 骤 ①利用平面向量数量积的坐标表示公式求出 这两个向量的数量积． ②利用|a|＝ x2＋y2计算出这两个向量的模． x1x2＋y1y2 ③由公式 cosθ ＝ 2 2 2 2直接求出 x1＋y1· x2＋y2 cosθ 的值． ④在 0≤θ≤π 内，由 cosθ 的值求角 θ.
第二章
平面向量
(2)a＋b＝(3，－1)＋(1，－2)＝(4，－3)，
∴(a＋b)2＝|a＋b|2＝42＋(－3)2＝25. (3)∵a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，
∴a2＝32＋(－1)2＝10，
b2＝12＋(－2)2＝5， (a＋b)· (a－b)＝a2－b2＝10－5＝5. 【名师点评】 向量的坐标表示和向量的坐 标运算实现了向量运算的完全代数化，并将
第二章
平面向量
→ BD＝(x－3，y－2)， → → ∵D 在直线 BC 上，即BD与BC共线， → → ∴存在实数 λ，使BD＝λ BC， 即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．
x－3＝－6λ ∴ ，∴x－3＝2(y－2)， y－2＝－3λ
栏目 导引
第二章
平面向量
即 x－2y＋1＝0.4 分 → → 又∵AD⊥BC，∴AD·BC＝0. 即(x－2，y＋1)· (－6，－3)＝0， ∴－6(x－2)－3(y＋1)＝0. 即 2x＋y－3＝0.
栏目 导引
第二章
平面向量
5.向量的数量积的性质
设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角． a· b＝0 ． (1)a⊥b⇔___________ |a||b| ， (2)当a与b同向时，a· b＝_________ －|a||b| 当a与b反向时，a· b＝____________ ．
2 | a | (3)a· a＝________或|a|＝ a·a＝ a2.
栏目 导引
第二章
平面向量
两向量垂直的坐标运算
例3 (本题满分 10 分)已知在△ABC 中， A(2，－1)，B(3，2)，C(－3，－1)，AD 为 BC